Monty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen

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1 Monty Hall-Problem Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen US-amerikanische Fernseh-Show Let s make a deal, moderiert von Monty Hall: WBL 15/17, Alain Hauser Hauptgewinn ist hinter einer von 3 Türen versteckt. Sie als KandidatIn wählen eine der 3 Türen. Der Moderator öffnet Ihnen eine andere Türe; dahinter ist der Hauptpreis nicht Wechseln Sie die Tür oder bleiben Sie bei Ihrer Wahl? Berner Fachhochschule, Technik und Informatik Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 2 / 46 Lernziele Diskrete Verteilungen Sie können die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen angeben... Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen berechnen... mit binomial- und Poisson-verteilten Zufallsvariablen rechnen... eine Zählgrösse mit einer passenden Verteilung modellieren Vorlesung basiert auf Kapitel 2.6 und 2.8 des Skripts. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 3 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 4 / 46

2 Modelle für Zähldaten: diskrete Zufallsvariablen Wiederholung: diskrete Zufallsvariablen Die Zufallsvariablen, die wir bisher betrachtet haben, konnten bloss Werte aus einer (möglicherweise unendlich langen) Liste annehmen: X : Ω { 1, 2,...} Solche Zufallsvariablen nennt man diskrete Zufallsvariablen Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen ist spezifiziert durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X = 1 ), P(X = 2 ), P(X = 3 ),..., die jedem möglichen Wert von X die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass er angenommen wird Normalisierung: P(X = k ) = 1 k Wahrscheinlichkeit, dass X in einer Menge A liegt: P(X A) = P(X = k ) k: k A Zusammenhang zur kumulativen Verteilungsfunktion: F X () = P(X ) = P(X = k ) k: k Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 5 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 6 / 46 Wiederholung: Erwartungswert und Varianz Beispiel: zufällig gezogene Jasskarte Eine diskrete Zufallsvariable X kann die Werte 1, 2, 3,... annehmen. Definition (Erwartungswert und Varianz) Der Erwartungswert von X ist definiert als Zufallseperiment: Sie ziehen aus den 9 Jasskarten der Farbe Eichel zufällig eine heraus; X : Wert der gezogenen Karte. Wahrscheinlichkeitsverteilung und kumulative Verteilungsfunktion von X : E[X ] = k P(X = k ). k Die Varianz von X ist definiert als Var(X ) = ( k E[X ]) 2 P(X = k ). k P(X = ) F X () Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 7 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 8 / 46

3 Beispiel: fairer Würfel Vergleich der Beispiele Ein Würfel kann die Werte {1, 2,..., 6} annehmen; wenn er fair ist, wird jede Zahl mit derselben Wahrscheinlichkeit angenommen. Wahrscheinlichkeitsverteilung und kumulative Verteilungsfunktion der gewürfelten Augenzahl X : P(X = ) F X () Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 9 / 46 Es scheint plausibel, dass wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilung wie die des fairen Würfels öfter verwenden können als die des Werts einer zufällig gezogenen Jasskarte Jasskarten-Beispiel: Wahrscheinlichkeitsverteilung genau auf ein sehr spezifisches Beispiel abgestimmt Fairer Würfel: Beispiel eines Zufallseperiments mit diskretem Resultat, bei dem jeder mögliche Ausgang gleich wahrscheinlich ist Verteilungen, die in vielen Situationen auftreten, haben spezielle Namen erhalten Wir werden ein paar wichtige Verteilungen betrachten: Gleichverteilung Binomialverteilung Poisson-Verteilung Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 10 / 46 Diskrete Gleichverteilung Bernoulli-Verteilung Wir betrachten eine diskrete Zufallsvariable X, die die Werte 1, 2, 3,..., n annehmen kann. X heisst gleichverteilt, wenn alle Werte mit Wahrscheinlichkeit angenommen werden 1 n Beispiel: fairer Würfel Modell für beliebiges Laplace-Eperiment, bei dem die verschiedenen Ausgänge durchnummeriert werden Einfachste (nicht-triviale) Zufallsvariable: binäre Zufallsvariable X {0, 1} Verwendung: Messung von Erfolg/Misserfolg (Qualitätskontrolle), Ausgang eines medizinischen Tests, Erfassung eines Merkmals in einer Population, etc. Verteilung einer binären Variable durch einzelnen Parameter bestimmt: brauche Wahrscheinlichkeit für X = 1 Formal: P(X = 1) = π [0, 1] P(X = 0) = 1 π Notation: X Bernoulli(π) Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 11 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 12 / 46

4 Anzahl Erfolge in n Versuchen Bernoulli-Verteilung zeigt Erfolg oder Misserfolg in einzelnem Zufallseperiment an Spannendere Grösse bzw. Zufallsvariable: Anzahl Erfolge in n unabhängigen Wiederholungen eines Zufallseperiments Beispiel: medizinischer Test stuft gesunde Person mit 10% Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise als krank ein. 8 zufällig zusammengekommene, gesunde Personen lassen sich testen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der 8 Personen fälschlicherweise ein positives Testergebnis erhalten? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1, 2 oder 3 der 8 Personen fälschlicherweise als krank eingestuft werden? Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 13 / 46 Binomialverteilung I Eine Zufallsvariable, die die Anzahl Erfolge in n unabhängigen Versuchen zählt, heisst binomialverteilt. Definition (Binomialverteilung) Eine diskrete Zufallsvariable X {0, 1,..., n} hat Binomialverteilung mit Parametern n und π, falls ( ) n P(X = ) = π (1 π) n. Wir schreiben dafür kurz X Bin(n, π) mit n N, π (0, 1). π bezeichnet gerade die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Versuch Die Bernoulli-Verteilung ist demnach ein Spezialfall der Binomialverteilung: Bernoulli(π) = Bin(1, π). Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 14 / 46 Binomialverteilung II Rechnen mit der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Binomialverteilung Bin(30, π) for verschiedene Werte des Parameters π: π = 0.2 π = 0.5 π = 0.9 p() p() p() X sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und π: X Bin(n, π). X hat Erwartungswert E(X ) = nπ X hat Varianz Var(X ) = nπ(1 π) R-Funktionen zum Arbeiten mit Binomialverteilungen: dbinom liefert die Wahrscheinlichkeitsverteilung, pbinom die kumulative Verteilungsfunktion Namensgebung folgt allgemeinem Schema: viele Verteilungen in R implementiert! Wahrscheinlichkeitsverteilung erhält man immer mit d, kumulative Verteilungsfunktion mit p, wobei die Verteilung spezifiziert Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 15 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 16 / 46

5 Beispiel: Test eines neuen Medikaments Erfolge in unbeschränkter Anzahl Versuche Ein neues Medikament wird in einer Studie an 200 Patienten getestet. Personen mit einer seltenen genetischen Disposition, 1 von der 1000 der Bevölkerung betroffen ist, könnten schwere Nebenwirkungen erleiden. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Patient in der Studie die genetische Disposition hat? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Patienten die genetische Disposition haben? Binomialverteilung: zählt Erfolge in beschränkter Anzahl Versuche Wertebereich beschränkt Was, wenn wir Anzahl Erfolge in einer (potentiell) unbeschränkten Anzahl Versuche zählen wollen? Beispiele: Anzahl Anrufe Tag in Telefonzentrale Anzahl Mutationen in der DNA einer Zelle Anzahl Verkehrsunfälle in der Schweiz in einem Jahr etc. Für diese Fälle geeignet: Poisson-Verteilung Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 17 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 18 / 46 Poisson-Verteilung I Poisson-Verteilung II Definition (Poisson-Verteilung) Eine diskrete Zufallsvariable X N hat Poisson-Verteilung mit Parameter λ, falls λ λ P(X = ) = e!. Wir schreiben X Pois(λ), λ > 0. Poisson-Verteilung modelliert Anzahl seltener Ereignisse in einem festen Raum- oder Zeitbereich Erwartungswert: E[X ] = λ, Varianz: Var(X ) = λ R-Funktionen: dpois (Wahrscheinlichkeitsverteilung), ppois (kumulative Verteilungsfunktion) Poisson-Verteilung für verschiedene Werte des Parameters λ: λ = 0.3 λ = 2 λ = 6 p() p() p() Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 19 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 20 / 46

6 Poisson-Verteilung: Grenzfall der Binomialverteilung Poisson-Approimation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung modelliert Anzahl seltener Ereignisse in einem festen Raum- oder Zeitbereich Formaler: lässt man bei einer Binomialverteilung n ins Unendliche wachsen und π gleichzeitig schrumpfen, so dass das Produkt nπ stets konstant bleibt, strebt die Binomialverteilung gegen eine Poisson-Verteilung. Noch formaler: wir betrachten eine Sequenz X n Bin(n, π) mit nπ = λ (konstant!). Dann gilt im Grenzwert n P(X n = ) n λ λ e! Praktische Konsequenz dieses Grenzwerts: man kann eine Binomialverteilung für grosses n und kleines π ungefähr durch eine Poisson-Verteilung annähern. Vage Faustregel: Poisson-Approimation ist gut für n 50 und π 0.05 Beispiel: Anzahl Druckfehler auf einer Buchseite. Es hat höchstens so viele Druckfehler wie Zeichen Druckfehler sind aber selten, und eine Buchseite enthält viele Zeichen Daher ist die Poisson-Verteilung ein gutes Modell: man muss bloss die Fehlerrate pro Seite (λ) schätzen, nicht die Fehlerrate pro Zeichen (π) sowie die Anzahl Zeichen pro Seite (n). Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 21 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 22 / 46 Summe Poisson-verteilter Zufallsvariablen Satz Falls X Poisson-verteilt mit Parameter λ 1 und Y Poisson-verteilt mit Parameter λ 2 ist, ist auch X + Y Poisson-verteilt mit Parameter λ 1 + λ 2. Stetige Zufallsvariablen Spezielle Eigenschaft der Poisson-Verteilung! Die Summe zweier gleichverteilten Variablen ist z.b. nicht gleichverteilt (Augensumme bei 2 Würfeln). Falls X Pois(λ 1 ) und X Pois(λ 2 ): ist dann auch 1 2 (X + Y ) Pois( 1 2 (λ 1 + λ 2 ))? Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 23 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 24 / 46

7 Lernziele Modellierung von Messdaten Sie können das Konzept der Wahrscheinlichkeitsdichte erklären... zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte die zugehörige kumulative Verteilungsfunktion berechnen und umgekehrt... Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsvariablen berechnen... Erwartungswert, Varianz und Quantile linear transformierter Zufallsvariablen berechnen... mit den wichtigsten stetigen Verteilungen rechnen: uniforme, Normal- und Eponentialverteilung... eine Messgrösse mit einer passenden Verteilung modellieren Vorlesung basiert auf Kapitel 4.4 und 4.5 des Skripts. Bisher nur diskrete Zufallsvariablen betrachtet, bei denen man alle möglichen Werte auflisten kann Messdaten sind nicht von dieser Art: Länge, Masse, Geschwindigkeit etc. können Werte in ganz R (oder zumindest einem Intervall davon) annehmen Entsprechende Zufallsvariablen heissen stetig Da man bei stetigen Zufallsvariablen nicht die Werte auflisten kann, kann man offensichtlich keine Liste P(X = i ) angeben andere Beschreibung der Verteilung nötig Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 25 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 26 / 46 Stetige Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariable: Zufallsvariable, die alle Werte in R (oder einem Intervall [a, b] R) annehmen kann. Charakterisiert durch ihre Wahrscheinlichkeitsdichte (kurz Dichte ) f X (): eine nicht-negative Funktion auf R mit f X () d = 1 Beispiel: Regenprognose Wie viel Regen wird morgen in Zürich fallen? Auf Grund der Prognosemodelle wird morgens eine Störung mit schwachem Regen erwartet. Eventuell bildet sich abends eine Gewitterzelle mit lokalem Starkregen. Mögliche Dichtefunktion für X = morgiger Niederschlag (mm) : Verwendung der Dichtefunktion f X : Wahrscheinlichkeiten können als Fläche unter ihrer Kurve dargestellt werden D.h.: für jedes Intervall [a, b] gilt P(a X b) = b a f X () d f() Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 27 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 28 / 46

8 Rechnen mit stetigen Zufallsvariablen X ist eine stetige Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f X (). Kumulative Verteilungsfunktion: F X () = P(X ) = f X (u) du ( kumulative Verteilungsfunktion ist Stammfunktion der Dichte ) Umgekehrte Umrechnung: f X () = F X () ( Dichte ist Ableitung der kumulativen Verteilungsfunktion ) Für jeden Wert R gilt P(X = ) = 0 Erwartungswert: E(X ) = f X () d Varianz: Var(X ) = ( E[X ])2 f X () d Andere Berechnung der Varianz: Var(X ) = E(X 2 ) E(X ) 2 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 29 / 46 Median Definition (Median) Der Median einer (stetigen) Zufallsvariablen X ist diejenige reelle Zahl m, für die gilt: P(X m) = 1 2, P(X m) = 1 2 Zusammenhang mit der kumulativen Verteilungsfunktion: der Median ist die Zahl m, für die F X (m) = 1 2 gilt. Beispiel Regenprognose (Forts.): E(X ) = 18. Ist der Median grösser oder kleiner? f() Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 30 / 46 Quantile Lineare Transformationen stetiger Zufallsvariablen Quantile verallgemeinern die Idee des Medians. X ist eine (stetige) Zufallsvariable. Für eine Zahl 0 < α < 1 ist das α-quantil von X die Zahl q α mit der Eigenschaft P(X q α ) = α Zusammenhang zur kumulativen Verteilungsfunktion: F (q α ) = α oder q α = F 1 (α) Der Median entspricht gerade dem 0.5-Quantil. X sei eine stetige Zufallsvariable, a und b reelle Konstanten Wir definieren Y = a X + b: lineare Transformation von X Wie ist Y verteilt? Satz (Lineare Transformation einer Zufallsvariablen) Mit X und Y wie oben gilt: ( ) y b 1. F Y (y) = F X, f Y (y) = 1 ( ) y b a a f X a 2. E(Y ) = a E(X ) + b 3. Var(Y ) = a 2 Var(X ) 4. Quantile von Y : q Y,α = a q X,α + b (q X,α : α-quantil von X ) Hinweis: 2. und 3. gelten auch für diskrete Zufallsvariablen. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 31 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 32 / 46

9 Anwendung: Standardisieren einer Zufallsvariablen X sei eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X ) und Standardabweichung σ(x ) Wir definieren Z = X E(X ) σ(x ) Dann hat Z Erwartungswert E(Z) = 0 und Standardabweichung σ(z) = 1 Transformation nennt sich Standardisierung von X. Stetige Verteilungen Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 33 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 34 / 46 Uniforme Verteilung Uniforme Verteilung: Beispiel Stetiges Analogon der Gleichverteilung: Definition (Uniforme Verteilung) Eine stetige Zufallsvariable X hat uniforme Verteilung auf [a, b], falls { 1 f X () = b a, [a, b], 0, sonst. Wir schreiben X Uniform([a, b]). Erwartungswert: E(X ) = b+a (b a)2 2, Varianz: Var(X ) = 12 R-Funktionen: dunif (Wahrscheinlichkeitsdichte), punif (kumulative Verteilungsfunktion) Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 35 / 46 Auf einer Tramlinie fährt alle 7 Minuten ein Tram. Wenn Sie zu einer zufälligen Zeit zu einer Haltestelle kommen, ist Ihre Wartezeit X (in Minuten) aufs nächste Tram uniform verteilt auf dem Intervall [0, 7]: f() Dichte F() Kumulative Vert.funktion Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 36 / 46

10 Normalverteilung und Gauss-Verteilung Normalverteilung I Normalverteilung: wichtigste stetige Verteilung, häufigste Verteilung für Messwerte Dichte durch bekannte Gausssche Glockenkurve beschrieben Anwendungen (Beispiele): Modellierung zufälliger Messfehler, individueller physiologischer Messgrössen, etc. Verteilung ist wegen des zentralen Grenzwertsatzes (s. später) so wichtig: viele kleine, unabhängige Effekte summieren sich zu einem normalverteilten Gesamteffekt auf. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 37 / 46 Definition (Normalverteilung) Eine stetige Zufallsvariable X ist normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2, falls { f X () = 1 ep 1 ( ) } µ 2, R. 2πσ 2 σ Wir schreiben X N (µ, σ 2 ), µ R, σ 2 > 0. Es gilt E(X ) = µ, Var(X ) = σ 2. R-Funktionen: dnorm (Dichte), pnorm (kumulative Verteilungsfunktion) Achtung: R-Funktionen nehmen als Parameter µ und σ, nicht µ und σ 2! Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 38 / 46 Normalverteilung II Normalverteilung mit Erwartungswert µ = 1 und Varianz σ 2 = 4: f() Dichte kumulative Verteilungsfunktion F() Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 39 / 46 Standard-Normalverteilung Normalverteilung mit µ = 0 und σ 2 = 1 heisst Standard-Normalverteilung Standard-Normalverteilung wird oft verwendet, z.b. in Tests; daher haben ihre Dichte und kumulative Verteilungsfunktion eigene Symbole: ϕ(z) = 1 2π e z2 /2, Φ(z) = z ϕ(t) dt. Φ() kann nicht als Verknüpfung elementarer Funktionen geschrieben werden Eine beliebige normalverteilte Zufallsvariable X N (µ, σ 2 ) kann linear in eine standard-normalverteilte Zufallsvariable umgerechnet werden: Z = X µ N (0, 1) σ Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 40 / 46

11 Fläche unter der Glockenkurve Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1, 2 oder 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt zu sein? Beispiel: Fertigungstoleranzen bei Widerständen Wegen nicht vollständig kontrollierbarer Prozesse bei der Herstellung haben elektrische Widerstände immer Fertigungstoleranzen Z.B. kann der tatsächliche elektrische Widerstand eines Bauteils mit Nennwert 220 Ω als normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 220 Ω und σ = 11 Ω aufgefasst werden. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein produziertes Bauteil Widerstand von weniger als 200 Ω hat? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Widerstand grösser als 250 Ω ist? Quelle: Samuels et al. (2012) Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 41 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 42 / 46 Eponentialverteilung I Eponentialverteilung II Definition (Eponentialverteilung) Eine stetige Zufallsvariable X 0 ist eponentialverteilt mit Parameter λ, falls { λe λ, 0, f X () = 0, sonst. Wir schreiben X Ep(λ), λ > 0. Erwartungswert: E(X ) = 1 λ, Varianz: Var(X ) = 1 λ 2 R-Funktionen: dep (Dichte), pep (kumulative Verteilungsfunktion) f() Eponentialverteilung für λ = 2: Dichte kumulative Verteilungsfunktion F() Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 43 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 44 / 46

12 Eponentialverteilung: Verteilung ohne Gedächtnis Literatur Eponentialverteilung verwendet zur Modellierung bestimmter Wartezeiten : radioaktiver Zerfall eines Atoms Wartezeit auf nächsten Anruf in Telefonzentrale Ausfallzeit von Maschinen, falls Alterung keine Rolle spielt T sei eponentialverteilt mit Parameter λ P(T > t) = e λt P(T > t + s T > s) = e λt = P(T > t): erwartete Wartezeit verkürzt sich nicht, wenn man schon Zeit s gewartet hat gedächtnislose Wartezeit Myra L Samuels, Jeffrey A Witmer, and Andrew Schaffner. Statistics for the life sciences. Pearson Education, Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 45 / 46 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 46 / 46

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