Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Vorlesungsrogramm für den K. Steffen, Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, WS 2006/07) 2.2 Zins- und Zinseszinsrechnung Einfache Verzinsung liegt vor, wenn die Zinsen nicht wieder verzinst werden, also z.b. wenn anfallende Habenzinsen sofort entnommen werden, wenn anfallende Schuldzinsen sofort beglichen werden oder wenn die Zinsen erst am Ende der betrachteten Zeitsanne fällig werden. Wir diskutieren nun verschiedene Vorgänge einfacher Verzinsung genauer: DISKUSSION der einfachen Verzinsung: 1) Grundlage eines jeden Verzinsungsvorgangs ist ein Kaital, ein Zinsfuß und eine Laufzeit. Unter einem Kaital verstehen wir dabei sowohl ein Guthaben eine Einlage bei einer Bank) als auch eine Schuld ein Darlehen). Das ist ohnehin nur eine Frage des Standunkts des einen Schulden sind des anderen Guthaben. Aber natürlich ist bei jeder Bank der Zinsfuß für Guthaben ein anderer als für Darlehen.) Das zu verzinsende Kaital wird häufig K oder K 0 bezeichnet Anfangskaital). Den Zinsfuß Zinssatz) beziehen wir immer auf eine Laufzeit der einfachen Verzinsung von einem Jahr und geben ihn in Prozent % = an Jahreszinsfuß ; oft wird dies mit dem Zusatz.a. für er annum ausgedrückt). Um Verwirrung zu vermeiden, sollte man von der Angabe von Quartalszinsfüßen, Monatszinsfüßen etc. absehen und stets nur Jahreszinsfüße angeben! Ein in Verträgen ausgewiesener Zinsfuß wird auch nomineller Zinsfuß genannt, weil der effektive Zinssatz aufgrund von Gebühren, Disagio etc. ein anderer ist niedriger als der nominelle Zinsfuß bei der Verzinsung von Guthaben, höher bei der Verzinsung von Schulden; auf die genaue Definition des Effektivzinses kommen wir säter). In der Finanzmathematik oeriert man ferner oft mit einem sog. konformen Zinsfuß relativen Zinsfuß), das ist derjenige Zinsfuß, der in einem gewissen Vergleichsverfahren anzuwenden ist, um auf dasselbe Ergebnis zu kommen wie in dem aktuell betrachteten Kaitalverzinsungsverfahren. Die Laufzeit t geben wir immer in Jahren an. t = 1, 7, 1, 1, 1, 1, 2, bzw. 10 entsricht also einer Laufzeit von einem Tag, einer Woche, einem Monat, einem Quartal, einem Halbjahr, einem Jahr, einem Doeljahr, bzw. einem Jahrzehnt. Dabei wird ein Zinsjahr mit 12 Monaten von je 30 Tagen gerechnet.) Die Laufzeit t wird oft als Subskrit Index) an Größen gehängt, die einen Wert am Ende der Laufzeit bezeichnen, also etwa K t für den Kaitalstand am Laufzeitende und Z t für die am Ende der Laufzeit angefallenen Zinsen. Von der Laufzeit zu unterscheiden ist die Zinseriode, das ist der Zeitraum zwischen zwei aufeinander folgenden Fälligkeitsterminen für die Zinsen. Die Laufzeit kann mehrere Zinserioden umfassen; wenn die anfallenden Zinsen bei Fälligkeit sofort entnommen werden Habenzinsen) bzw. beglichen werden Sollzinsen) und der Zinsfuß über die gesamte Laufzeit derselbe ist, so ist trotzdem ein Vorgang mit einfacher Verzinsung gegeben. Sind die Zinserioden kürzer als ein Jahr, so sricht man von unterjährlicher Verzinsung, bei Zinserioden von einem Jahr entsrechend von jährlicher Verzinsung. 73

2 74 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2) Die Zinsen Z 1 auf ein Kaital K 0 für ein Jahr bei einfacher Verzinsung zum Zinsfuß % betragen % des Kaitals, also Z 1 = K 0. Ist die Laufzeit t nicht genau ein Jahr, so gilt dieselbe Formel mit der Maßgabe, dass der Jahreszinsfuß zu ersetzen ist durch den Laufzeit-anteiligen Zinsfuß Laufzeit-bezogener relativer Zinsfuß) t. Also gilt die allgemeine Zinsformel bei einfacher Verzinsung: Z t = t K 0 Diese Formel gibt die Zinsen für eine Laufzeit von t Jahren einfacher Verzinsung eines Anfangskaitals K 0 zum Zinsfuß %.a. an. Da der Zinsfuß hier auf ein Jahr bezogen ist, muss auch die Laufzeit t in Jahren angegeben werden. Für t = 1 ergeben sich somit die Zinsen nach einem Jahr, und für t = n/360, also für n Zinstage, erhält man die Tageszinsformel: Z n/360 = n 360 K 0 einfache Verzinsung für n Tage). 3) Werden die Zinsen dem Kaital am Ende der Laufzeit t zugeschlagen, so ergibt sich der neue Kaitalstand K t = K 0 +Z t = K 0 + t K 0. Wir haben schon darauf hingewiesen, dass man multilikativ denken, also diese Gleichung so auffassen sollte, dass sich K t aus K 0 durch Multilikation mit dem Faktor q t := 1 + t ergibt. allgemeine Aufzinsungsformel bei einfacher Verzinsung: K t = q t K 0 = 1 + t ) K 0 Dabei heißt q t der Aufzinsungsfaktor für t Jahre einfacher Verzinsung zum Zinsfuß %; für den Aufzinsungsfaktor eines Jahres schreiben wir meist q = 1 + statt q 1 ). Ist eine Dezimalzahl zwischen 0 und, so erhält man q als Dezimalzahl einfach, indem man bei der Dezimaldarstellung von eine 1 statt 0 vor dem Dezimalunkt schreibt, also q = 1.04 bei = 4%, q = bei = 13.5% usw. Allgemein versteht man unter Aufzinsen die Berechnung des sich nach Zinszuschlag ergebenden Endkaitals. 4) Der umgekehrte Vorgang, die Berechnung des Anfangskaitals aktuellen Barwerts) aus gegebenem Endkaital, Zinsfuß und Laufzeit heißt Abzinsen oder Diskontieren. Dies erfolgt z.b. beim vorzeitigen Rückzahlen einer Schuld, es ist dann von Gebühren abgesehen) nur der für die restliche Laufzeit diskontierte Betrag fällig, wobei als Zinsfuß der Diskontsatz zugrunde gelegt wird, zu dem die Bank selbst kurzfristig Geld anlegen kann. Der Abzinsungsfaktor oder Diskontierungsfaktor zu gegebenem Zinsfuß % und Laufzeit t ist das Reziroke 1/q t des entsrechenden Aufzinsungsfaktors; denn man muss ja das Endkaital K t mit 1/q t multilizieren, um K 0 zu erhalten. Also lautet die allgemeine Abzinsungsformel bei einfacher Verzinsung: K 0 = q 1 K t = 1 + t ) 1Kt t 5) In gewissen Geschäftsbereichen, insbesondere im Wechselgeschäft, ist ein anderes Verzinsungsverfahren als die oben beschriebene sog. nachschüssige Verzinsung dekursive Verzinsung) üblich. In diesen Bereichen werden die Zinsen nicht als Prozentwert des Anfangskaitals, sondern als Prozentwert des aufgezinsten) Endkaitals angegeben, wobei der Prozentsatz % nun vorschüssiger Zinsfuß antiziativer Zinsfuß) genannt wird. Hier gilt für die Zinsen also Z t = K t, so dass sich K 0 = K 1 Z t = K t K t = 1 t )K t ergibt. Also lauten die Auf- und Abzinsungsformeln bei vorschüssiger einfacher Verzinsung: K t = 1 t ) 1K0 K 0 = 1 t ) K t

3 Ka. 2, Abschnitt Der einfachere Ausdruck 1 t t für den Diskontierungsfaktor im Vergleich zu 1+ ) 1 bei nachschüssiger Verzinsung) ist der Grund, warum sich die vorschüssige Verzinsung in Bereichen durchgesetzt hat, in denen häufig diskontiert wird. Die vorschüssige Verzinsung bereitet oft Verständnisschwierigkeiten. Man muss nur zur Kenntnis nehmen, dass ein vorschüssiger Zinsfuß von % für eine Laufzeit der einfachen Verzinsung von t Jahren einen Aufzinsungsfaktor 1 t ) 1 bedeutet im Unterschied zum nachschüssigen Zinsfuß %, durch den der Aufzinsungsfaktor 1 + t festgelegt wird. Und weiß man den Aufzinsungsfaktor, so kann man auch ein beliebiges Kaital damit aufzinsen multilizieren) oder abzinsen dividieren). Übrigens sind bei Laufzeit t nur vorschüssige Zinsfüße zwischen 0% und 1 % sinnvoll; sonst wäre ja der Abzinsungsfaktor Null oder negativ. t 6) Um die beiden verschiedenen Verzinsungsverfahren vergleichen zu können, gehen wir nun von einem vorschüssigen Zinsfuß von % und einer Laufzeit t aus und bestimmen dazu den nachschüssigen Zinsfuß %, der bei gleicher Laufzeit denselben Effekt hat, also denselben Aufzinsungsfaktor. Die Gleichung hierfür ist dann 1 t ) 1 = 1 + t, und es bereitet keine Schwierigkeiten, dies nach aufzulösen: [ = 1 1 t ) ] 1 1 = 1 t t t 1 t = t Das Ergebnis % heißt der konforme nachschüssige Zinsfuß zum vorschüssigen Zinsfuß % und zur Laufzeit t Jahre. Das ist also derjenige Zinsfuß, der bei der üblichen einfachen Verzinsung für t Jahre denselben Kaitalzuwachs bringt wie die vorschüssige Verzinsung zu % für dieselbe Laufzeit. Die einfache vorschüssige Verzinsung zum Zinsfuß % mit Laufzeit t lässt sich somit äquivalent beschreiben als nachschüssige Verzinsung mit dem konformen Zinsfuß % für dieselbe Laufzeit, und wenn man diesen Übergang zu äquivalenter nachschüssiger Verzinsung vorgenommen hat, kann man die begrifflichen t kleiner Schwierigkeiten der vorschüssigen Verzinsung vergessen! Da der Nenner in als ist, fällt immer größer aus als, und dieser Effekt ist um so größer, je größer die Laufzeit ist. Bei der Wahl zwischen nachschüssiger und vorschüssiger Verzinsung zum gleichen Zinsfuß % müsste man sich also für die vorschüssige Verzinsung entscheiden, da sie ja äquivalent ist mit nachschüssiger Verzinsung zum größeren Zinsfuß %. Die letzte Überlegung demonstriert ein wichtiges Prinzi der Finanzmathematik, das Prinzi der Bestimmung konformer Parameter. Es dient dazu, verschiedene Finanzierungsverfahren vergleichbar zu machen. Dazu betrachtet man einen relevanten Parameter z.b. einen Zinsfuß) in einem zu beurteilenden Verfahren und in einem zu Vergleichzwecken herangezogenen anderen Verfahren. Man nennt die Parameter im ersten und im zweiten Verfahren konforme Parameter oder äquivalente Parameter, wenn beide Verfahren bei Verwendung dieser Parameter genau dasselbe Ergebnis liefern z.b. denselben Kaitalzuwachs). Man kann also statt mit dem ursrünglichen Verfahren genau so gut mit dem geläufigen) Vergleichsverfahren rechnen, wenn darin der Parameter konform gewählt wird. Ist als Vergleichsverfahren ein Standardverfahren allgemein akzetiert oder gar gesetzlich vorgeschrieben, so nennt man die konforme Parameterwahl im Standardverfahren auch den effektiven Parameterwert für das zu beurteilende Verfahren. Ein Effektivzins-fuß) ist also derjenige Jahreszins in einem Standardverfahren, der genau dasselbe Ergebnis liefert wie das zu beurteilende Verfahren. Diese Definition des Effektivzinses erfordert natürlich, dass das Standardverfahren und die Quantifizierung des Ergebnisses genau festgelegt sind. Bei einfacher Verzinsung eines Kaitals K 0 könnte man z.b. sagen, dass die nachschüssige Verzinsung das Standardverfahren ist und der Kaitalzuwachs in der gegebenen Laufzeit das Ergebnis. Dann wäre der Effektivzins einer vorschüssigen Verzinsung zu % genau der oben berechnete konforme nachschüssige Zinsfuß % = t, und dieser Effektivzinsfuß ist größer als der vorschüssige Zinsfuß.

4 76 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler BEISPIELE einfache Verzinsung): 1) Ein Darlehen von 6000e zu 8%.a. ist nach 30 Monaten zurückzuzahlen; monatlich anfallende Schuldzinsen werden während der Laufzeit beglichen. Welche Zinskosten entstehen insgesamt? Lösung : Z 30/12 = e = 1 200e. 12 2) Ein Kaital von 2 400e wird 3 Monate zu 6%.a. verzinst und nach Zuschlagen der Zinsen 2 Monate zu 7%. Wie hoch ist der Zinsertrag insgesamt? Lösung : K 3/12 = )K 0, K 5/12 = )K 3/12, also K 5/12 = )1 + ) 2 400e = e, und der Zinsertrag ist K 5/12 K 0 = 64.42e. Das war eigentlich Zinseszinsrechnung.) 3) Viele verschiedene Konten sollen für unterschiedlich kurze Laufzeiten mehrere Tage) zu demselben Zinsfuß % verzinst werden. Wie rechnet man das am günstigsten? Man hat für das i-te Konto die Laufzeit von n i Tagen und den Anfangskontostand K i0 zu ermitteln, dann ergeben sich die Zinsen für das i-te Konto aus der Tageszinsformel zu n i K 360 0i. Das schreibt man zweckmäßigerweise in der Form n i K i0, dann hat man für jede Zinsberechnung nur zwei Rechenoerationen durchzuführen: die Multilikation von K i0 mit der Anzahl n i der Tage und die Multilikation mit der festen Zahl Die Zinsen für mehrere Konten desselben Inhabers erhält man, indem man die Produkte n i K i0 dafür addiert und die Summe mit multiliziert. In der Kontokorrentrechnung hat man die Zinsen früher in der Form n i K i0 : 360 n berechnet, wobei i K i0 die Zinszahl des i-ten Kontos heißt und durch den Zinsdivisor 360 dividiert wird.) 4) Eine am fällige Zahlung von 6 000e soll am desselben Jahres vorzeitig geleistet werden. Welcher Betrag ist zu zahlen, wenn die marktüblichen Zinsen für kurzfristige Einlagen 8%.a. betragen. Lösung: Hier ist mit 8% zu diskontieren, und zwar um einen vollen Monat 30 Tage!) für Februar, 23 Tage im Januar den nicht mitgerechnet) und 22 Tage im März den mitgerechnet), also insgesamt für 75 Tage. Der Diskontierungsfaktor ist somit ) 1, und die am zu leistende Zahlung ist ) e = e. 5) Ein in 3 Monaten fälliger Wechsel über e wird der Bank zum Diskontieren eingereicht. Welcher Betrag wird gutgeschrieben, wenn der Diskontsatz 8% beträgt und Steuern, Sesen, Provisionen unberücksichtigt bleiben)? Wie hoch ist der Effektivzins? Lösung: Hier muss man wissen, dass der Diskontsatz ein vorschüssiger Zinsfuß ist. Also ist der anzuwendende Diskontierungsfaktor 1 8 3, und die Gutschrift beträgt ) e = 9 800e. 12 Der effektive Zins ist hier der konforme Zinsfuß für nachschüssige Verzinsung, also da die Laufzeit 3 Jahre ist) 8 12 % = %. Dies ist der Zinssatz, den die 8 3/12 Bank für ein Darlehen von 9 800e angewendet hätte, wenn es nach 3 Monaten mit einer Gesamtzahlung von 00e für Tilgung und Schuldzinsen abgelöst worden wäre.)

5 Ka. 2, Abschnitt Wir kommen nun zur Zinseszinsrechnung, also zu Verzinsungsvorgängen, bei denen Zinsen dem Kaital zugeschlagen werden und in einer weiteren Zinseriode mit verzinst werden. Im Unterschied zu Vorgängen mit einfacher Verzinsung, bei denen Zinsen erst am Ende der ins Auge gefassten Laufzeit fällig werden oder während der Laufzeit auf searaten Konten abgerechnet werden, fallen nun also auch Zinsen auf die dem Kaital zugeschlagenen) Zinsen an, eben sog. Zinseszinzen. DISKUSSION der Zinsverzinsung: 1) Wird ein Anfangskaital K 0 über mehrere Zinserioden evtl. unterschiedlicher Dauer s j Jahre) und mit einfacher Verzinsung zu evtl. unterschiedlichen Zisfüßen j % verzinst, wobei zum Ende jeder Zinseriode die fälligen Zinsen dem Kaital zugeschlagen werden, so ist das aufgezinste Kaital am Ende der ersten Zinseriode gleich K s1 = 1+ 1 s 1 /)K 0, am Ende der zweiten Zinseriode gleich K s2 = s 2 /)K 1 = s 2 /) s 1 /)K 0 usw.. Für jede abgelaufene Zinseriode kommt einfach der zugehörige Aufzinsungsfaktor 1 + j s j / hinzu, und wir haben die allgemeine Aufzinsungsformel für mehrere Zinserioden: n K t = K j s ) j j=1 Dabei ist n die Anzahl der Perioden einfacher Verzinsung zum Zinsfuß j %.a.) für die Dauer s j Jahre) und t = s 1 + s s n die Gesamtlaufzeit des Zinseszinsvorgangs in Jahren). Da die Reihenfolge der Aufzinsungsfaktoren in dem Produkt seinen Wert nicht beeinflusst, ist es auch belanglos, in welcher Reihenfolge die einzelnen Zinserioden aufeinander folgen. Es kommt nur auf die Zinsfüße j % an und auf die Zeitsannen s j, für die jeweils zum Zinsfuß j % einfach verzinst wird. Wir haben das in 1.1 schon am Beisiel des Sarens mit wachsendem oder fallendem Zins diskutiert. 2) Wir interessieren uns nun natürlich für den Zinseszinz, d.h. für den zusätzlichen Kaitalertrag, der durch Mitverzinsung der angefallenen Zinsen entsteht. Hätten wir nur einfach verzinst, also die angefallenen Zinsen zum Ende jeder Zinseriode entnommen und auf ein searates Konto überwiesen, so hätte sich dort insgesamt der Betrag 1 1s s n s n )K 0 an Zinsen angesammelt. Der Aufzinsungsfaktor für die gesamte Laufzeit wäre bei dieser Vorgehensweise also s s ns n. Das ist gerade die Summe der ersten n+1 Summanden, die wir erhalten, wenn wir das Produkt in 1) mit dem Distributivgesetz ausmultilizieren. Es entstehen bei diesem Ausmultilizieren aber noch weitere Produkte, wenn n 2 ist, nämlich alle Produkte, die man durch Auswahl von 2 bis n Faktoren aus den Zahlen 1 1 1s 1, 1 2s 2,..., ns n erhält, also die Produkte 1 )2 i s i j s j mit 1 i < j n und 1 )3 h s h i s i j s j mit 1 h < i < j n usw.. Da diese Produkte ositiv sind, ist der Aufzinsungsfaktor bei Zinsverzinsung größer als bei einfacher Verzinsung, eine ökonomisch evidente Feststellung! Exakt beträgt der 1 s 1 2 s 2 Zinseszinz bei 2 Zinserioden: K 2 0 und der 1 s 1 2 s 2 Zinseszinz bei 3 Zinserioden: + 1s 1 3 s 3 + 2s 2 3 s 3 + 1s 1 2 s 2 3 s ) 3 K Bei n 3 Zinserioden ist der Zinseszins größer als die Summe K 0 1 )2 i<j is i j s j, wobei über alle Wahlen von i, j {1, 2,...,n} mit i < j zu summieren ist.

6 78 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 3) In der Praxis hat der Fall von Zinserioden mit gleicher Dauer s und mit gleichem einfachen Zisfuß % besondere Bedeutung. Hierfür gilt dann die Aufzinsungsformel für mehrere gleichartige Zinserioden: K t = qs n K 0 = 1 + s ) nk0, wobei q s = 1+ s der Aufzinsungsfaktor für eine Periode der Dauer s Jahre) mit einfacher Verzinsung zum Zinsfuß %.a.) ist, n die Anzahl solcher Zinserioden und t = ns die Gesamtlaufzeit des Vorgangs. Man erkennt, dass die Kaitalstände K 0, K s, K 2s,...,K ns = qs n K 0,... nach den jeweiligen Zinszuteilungen eine geometrisch wachsende Folge mit Quotient q s bilden. Ohne die Zinsverzinsung hätte man dagegen eine arithmetische Folge K 0, K 0 + s K 0, K 0 +2 s K 0,...,K 0 +n s K 0,... von Kaitalständen die, abgesehen von den beiden ersten, kleiner sind als die entsrechenden Glieder der geometrischen Folge. Der über die einfache Verzinsung hinausgehende Zinsgewinn bei Zinsverzinsung beträgt hier am Ende der Gesamtlaufzeit exakt [ 1 + s ) n ] s 1 n K 0. Die Potenz 1 + s )n kann man mit der binomischen Formel als Summe schreiben: 1 + s ) n ) s n2 s = 1 + n + ) nn ) s Die beiden ersten Summanden dieser Summe geben den Aufzinsungsfaktor 1 + n s = 1 + t für einfache Verzinsung während der gesamten Laufzeit t = ns an, die folgenden Summanden beschreiben die höhere Aufzinsung aufgrund von Zinseszinsen, Zinseszinseszinsen usw. Insbesondere ist der Zinseszins für n 3 größer als und für n = 2 genau so groß wie) ) n 2 s )2 K 0 = 1 s nn 1) 2 )2 K 0. Vergleicht man dies mit dem Zinsgewinn bei einfacher Verzinsung n s K 0, so erkennt man, dass die Zinseszinsen um mehr als den Faktor n 1) s größer sind als die Zinsen für große n, d.h. die Zinseszinsen 200 wachsen mit zunehmender Laufzeit schneller als die einfachen Zinsen bei sehr vielen Zinserioden fallen die einfachen Zinsen im Vergleich mit den Zinseszinsen raktisch nicht mehr ins Gewicht! Das Kaital wächst bei Zinsesverzinsung mit der Periodenzahl n sogar exonentiell schnell an, wie man sagt, nämlich so schnell wie die Potenzen qs n des Aufzinsungsfaktors für eine Periode. Das ist sehr viel schneller als das lineare Anwachsen des einfach verzinsten Kaitals K 0 + n s K 0 mit wachsendem n, insbesondere auch schneller als das Wachstum jeder Potenzfolge 1 k, 2 k,...,n k,... mit noch großem Exonenten k.) 4) Mit der Aufzinsungsformel aus 3) kann man die üblichen Aufgaben der Zinseszinsrechnung lösen, insbesondere das Aufzinsen, also die Berechnung des Endkaitals K t = qs n K 0 zu gegebenen K 0,, n und t = ns wobei s die Dauer einer Zinseriode in Jahren angibt, t die Gesamtlaufzeit und n die Anzahl der Zinserioden), das Abzinsen / Diskontieren, d.h. die Berechnung von K 0 = qs n K t zu gegebenen K t,, n und t, die und die Laufzeitbestimmung, wobei K 0,, s und ein Zielwert K für das Endkaital vorgegeben sind und die Anzahl n der Zinserioden zu bestimmen ist, nach denen dieser Zielwert erreicht oder überschritten ist, also die kleinste Zahl n N mit qs n K 0 K. Die letztere Aufgabe läuft auf die Bestimmung eines unbekannten Exonenten hinaus und kann mit Logarithmenrechnung gelöst werden. Ein Probierverfahren für die Laufzeitbestimmung besteht darin, dass man einfach für einige Werte von n testet, ob qs n K 0 noch kleiner oder schon größer als der Zielwert K ist, und dann beginnend mit einem Wert von n, der noch ein zu kleines Endkaital liefert, den Wert von n schrittweise um 1 erhöht, bis das Endkaital erstmals mindestens so groß ist wie K. ) n.

7 Ka. 2, Abschnitt ) Auf die Aufgabe der Bestimmung eines unbekannten Zinsfußes stößt man, wenn zwei verschiedene Verzinsungsverfahren verglichen werden sollen und der konforme Zinsfuß % auch äquivalenter Zinsfuß genannt) im zweiten Vefahren zu bestimmen ist, der dasselbe Ergebnis, d.h. denselben Aufzinsungsfaktor, liefert wie ein gegebener Zinsfuß % im ersten Verfahren. Besonders wichtig ist hier bei unterjährlicher Verzinsung zum Zinsfuß %, d.h. Aufteilung des Jahres in m gleichlange Zinserioden mit einfacher Verzinsung zu %.a. und Zinszuschlag am Ende jeder Periode m = 4 oder m = 12 ist tyisch), die Berechnung des sog. jahreskonformen Zinsfußes %, der bei einfacher Verzinsung für ein Jahr dasselbe Resultat liefert. Gleichsetzen der beiden Aufzinsungsfaktoren liefert die Gleichung ) m 1 + = 1 + m, also = [ 1 + m ) m 1 ]. Sieht man einjährige Zinserioden als Standardverfahren an, so nennt man % auch den effektiven Jahreszinssatz der m-fachen unterjährlichen Verzinsung zum Zinsfuß %. Ist umgekehrt der Jahreszinsfuß % gegeben und dazu der Zinsfuß % gesucht, der bei m-facher unterjährlicher Verzinsung äquivalent ist, so hat man die obige Gleichung, die und verbindet, durch Ziehen der m-ten Wurzel beiderseits nach aufzulösen und erhält m = m 1 + ) 1. Mit dieser Methode der konformen Zinsfüße kann man allgemeiner die Verzinsung mit Zinseszins) zu einem gegebenen Zinsfuß % bei m Zinserioden gegebener Länge s äquivalent beschreiben als Verzinsung zu dem konformen Zinssatz % für eine andere Zahl m von Zinserioden einer anderen Länge s gemäß 1 + s ) m = 1 + s wobei normalerweise gleiche Laufzeit für beide Vorgänge angenommen wird, d.h. ms = m s. Das wird sich bei der Rentenrechnung mit Zinseszins noch als nützlich erweisen. 6) Die Zinsverzinsung bei vorschüssiger Verzinsung kommt in der Praxis nicht vor, könnte aber natürlich theoretisch mit Hilfe der entsrechenden Aufzinsungsfaktoren 1 s ) 1 bei Verzinsung für die Dauer s Jahre zum antiziativen Zinsfuß % ganz analog behandelt werden. Oder man geht einfach zum konformen nachschüssigen Zinsfuß = über, t der zu dem vorschüssigen Zinsfuß und zur Laufzeit s gehört, und rechnet mit diesem Zinsfuß dann wie oben. BEISPIELE Zinseszinsrechnung): 1) Auf welchen Betrag wächst 1 e in 0 Jahren a) bei einfacher Verzinsung, bzw. b) bei Zinsverzinsung mit 1-jährigen Zinserioden, wenn der Zinsfuß jeweils 6%.a. ist? 6 Lösung: a) K 0 = ) 1e = 61e. b) K 0 = )0 1e = e e. Dies ist ein 25-stelliger Eurobetrag Quartillionen Euro)! Dieses Beisiel illustriert, was gemeint ist, wenn gesagt wird, dass ein Kaital bei Zinsverzinsung langfristig sehr viel schneller wächst als bei einfacher Verzinsung. ) m,

8 80 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2) Was ist der effektive Jahreszins bei Zinsverzinsung zu 5% mit Jahren, Quartalen, Monaten bzw. Tagen als Zinserioden? Lösung: Hier ist eff = [1 + 5 m )m 1] mit m = 1, 4, 12 bzw Für m = 1 ergibt sich natürlich) 5% als effektiver Jahreszins, für m = 4 erhält man durch Rechnung den Wert %, für m = 12 den Wert % unf für m = 360 schließlich %. Es ist klar, dass der effektive Jahreszins bei Verkürzung der Zinserioden zunimmt, da dann ja Zinsen in kürzeren Abständen dem Kaital zugeschlagen werden, was den Zinseszinseffekt verstärkt. Allerdings bleibt der effektive Jahreszins auch bei weiterer Verkürzung der Zinserioden auf Stunden, Minuten, Sekunden,... unter einer gewissen Grenze, nämlich unter dem zu % konformen Jahreszinsfuß für kontinuierliche Verzinsung e / 1)% mit der Eulerschen Zahl e = Hier, bei = 5, ist diese Grenze %. Der Aufzinsungsfaktor bei kontinuierlicher Verzinsung zum Zinsfuß % für den Zeitraum t Jahre ist e t/. Die kontinuierliche Verzinsung hat keine ökonomische Bedeutung, sondern nur die abstrakte Bedeutung der Zinsverzinsung mit dem größtmöglichen Zinseszinseffekt. Die Mathematik dazu haben wir schon in 1.3 besrochen.) 3) Was ist der Quartals-konforme bzw. der Monats-konforme Zinsfuß % zu 8%.a.? Lösung: )4 = 1.08 bzw )12 = 1.08 ist nach aufzulösen 4 te bzw. 12 te Wurzel ziehen, dann 1 subtrahieren und mit multilizieren). Das Ergebnis ist % bzw %; der Monats-konforme Zinsfuß muss natürlich kleiner sein als der Quartals-konforme. 4) Beim Saren mit wachsendem Zins wird im ersten Jahr mit 4%, im zweiten mit 5% und im dritten mit 6% verzinst. Was ist das Endkaital bei K 0 = 250e? Was ist der effektive Jahreszins? Lösung: K 3 = e = e. Der effektive Jahreszins bestimmt sich aus 1+ 1 eff) 3 = zu eff = )% %. Dieser Wert ist kleiner als der arithmetische Mittelwert 5% der drei verschiedenen Jahreszinsfüße bei diesem Sarvorgang. Bei einfacher Verzinsung über alle drei Jahre wäre der konforme Jahreszinsfuß genau der Mittelwert 5% gewesen; dass er hier etwas kleiner ausfällt, ist also ein Zinseszinseffekt. Mathematisch steht dahinter die Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, siehe ) Eine mit 9% jährlich zu verzinsende Schuld e soll 3 Jahre vor Fälligkeit zurückgezahlt werden. Welcher Betrag ist als Ablösung der Schuld zu zahlen, wenn der marktübliche Zins für Einlagen 7% ist und der Vertrag vorzeitige Rückzahlung nicht vorsieht? Lösung: Zunächst sind e für 3 Jahre mit 7% abzuzinsen, das ergibt e e. Diesen Betrag wird der Gläubiger als Ablösung für die 3 Jahre säter fällige Schuld akzetieren da er ihn ja selbst zu Marktzinsen anlegen könnte). Allerdings sind dabei die dem Darlehensgeber eigentlich noch zustehenden Zinszahlungen in Höhe von jährlich 9% der Schuld nicht berücksichtigt, für die er als Komensation e = 3 600e verlangt Faktor 4, weil 4 Mal Zinsen zu zahlen wären, den Ablösungstag eingerechnet). Das ergäbe einen Ablösungsbetrag von e. Diese Rechnung ist jedoch insofern nachteilig für den Schulder, als die Zinszahlungen ja nicht alle zum Ablösungszeitunkt, sondern bis zu 3 Jahren säter fällig gewesen wären. Somit sind auch die jährlich fälligen Schuldzinsen mit 7% abzuzinsen für 0,1,2 bzw. 3 Jahre, das ergibt ) e e als Komensation für entgangene Schuldzinsen und e als Ablösesumme insgesamt zuzüglich Gebühren). Dies ist eigentlich eine Beisiel zur sog. Kursrechnung, mit der alle zu veschiedenen künftigen Zeitunkten zu leistenden Zahlungen auf einen gemeinsamen Zeitunkt abgezinst werden.)

9 Ka. 2, Abschnitt ) Ein Unternehmer hat 5 Millionen e freies Kaital. Er könnte bei Aufnahme desselben Betrags an Fremdmitteln eine Investition tätigen, die im 2 ten Jahr einen Ertrag von 1 Millione versricht und in den folgenden 8 Jahren jeweils 2 Millionene. Wie soll er sich entscheiden, wenn der marktübliche Zins für große Einlagen 8% und für Kredite 10% ist? Lösung: a) Zunächst berechnen wir den Gewinn, wenn die Investition unterlassen und das Eigenkaital für 10 Jahre zu 8% angelegt wird: Der Kaitalendstand ist dann Millionen e, der Zinsgewinn also e. b) Dem stehen die erwarteten Erträge der Investition von 17 Millionen e gegenüber abzüglich der investierten Eigenmittel von 5 Millionen DM und der Kosten für die aufgenommenen Fremdmittel. Diese Kosten lassen sich auf e = e beziffern, wenn der Kredit einschließlich angefallener Zinsen nach 6 Jahren zurückgezahlt wird. Nach 5 Jahren würde der bis dahin erzielte Investitionsgewinn von 7 Millionen e für die Rückzahlung samt Zinsen noch nicht ausreichen.) Als Gewinn ergibt sich somit )e = e. Diese gegenüber a) deutlich kleinere Summe scheint klar gegen die Investition zu srechen oder? c) Bei den Überlegungen in b) wurde außer Acht gelassen, dass die Erträge der 10-jährigen Investition nicht erst am Ende der Laufzeit anfallen, sondern früher. Diese Erträge müssen zur Schuldentilgung verwendet und der übersteigende Ertrag muss zu Marktzinsen angelegt werden, um einen wirklich sinnvollen Vergleich mit a) anstellen zu können! Der Stand des Darlehenskontos ist dann wenn wir die Rückzahlbarkeit beliebiger Teilbeträge zum Jahresende unterstellen) nach dem 1 ten Jahr Beträge in Millionene), = 5.05 nach dem 2 ten, = nach dem 3 ten, = nach dem 4 ten und = nach dem 5 ten Jahr. Am Ende des 6 ten Jahres sind zur vollen Ablösung der Schuld noch = Millionene zu zahlen. Die verbliebenen e des Jahresertrags und die in den Folgejahren jeweils jährlich erwarteten 2 Millionene werden zu 8% bis zum Ende der Laufzeit angelegt, das macht = Millionene als abschließenden Kaitalstand. Der Gewinn aus der Investition ist daher, wenn die erwarteten Erträge eintreffen, e und damit etwas höher als in a), was für die Ausführung des Investitionsvorhabens sricht allerdings nicht sehr deutlich, so dass der Unternehmer angesichts der Unsicherheiten der Prognosen hier wohl die Investition unterlassen würde). Die beiden zuletzt diskutierten Vorgänge, vorzeitige Schuldablösung mit Ausgleich der dem Gläubiger entgangenen Zinsgewinne bzw. Prüfung der Rentabilität einer teilweise durch Fremdmittel zu finanzierenden Investition, waren eigentlich schon Beisiele zur Kursrechnung und zur Investitionsrechnung. Dort werden finanzmathematische Methoden verwendet, um z.b. den aktuellen Kurs eines Rentenaiers Schatzbriefs) zu bestimmen, das gewisse regelmäßige Erträge und eine gewisse Auszahlung am Ende seiner Laufzeit bringt, oder um eine mit einer komlexen Abfolge von Ausgaben und erwarteten Einnahmen verbundene Investition zu bewerten. Die ausführliche Behandlung derartiger Vorgänge würde den Zeitrahmen dieser Vorlesung srengen, wir müssen daher diesbezüglich auf Lehrbücher der Finanzmathematik verweisen z.b. von Bosch oder Köhler). In 2.3 sagen wir im Zusammenhang mit der Diskussion von Teilzahlungskrediten noch etwas mehr zur Investitionsrechnung und den dabei maßgeblichen finanzmathematischen Grundsätzen.