CreditMetrics. Portfoliokreditrisko Seminar. Korrelation und Asset Value Ansatz. 17. Oktober 2007 Robert Schilling

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1 Korrelation und Ansatz Portfoliokreditrisko Seminar 7. Oktober 007 Robert Schilling Seminarleitung: PD Dr. Rafael Weißbach Universität Mannheim

2 Berechnung des Exposures Schätzung der Volatilität Schätzung der Korrelationen VaR des Portfolios bezüglich Kreditrisiken

3 Inhalt.. Portfolioeffekte beim Kreditrisiko Modell : Pfizer und Allianz 3

4 Existenz von Korrelation bei Kreditausfällen? Businessmodelle jeder Firma einzigartig? Beobachtete Ausfälle bzw. Ratingänderungen anhand historischer Zeitreihendaten Vergleich der credit events verschiedener Schuldner zu gleichem Zeitpunkten Indizien für? Gemeinsame Ursachen/Ereignisse: Konjunktur, Finanzkrisen, etc. Indizien für Unabhängigkeit der Bonitätsänderungen? z.b. stabile Häufigkeit von Defaults über die Zeit (für eine Vielzahl an beobachteten Unternehmen, Stichprobe ausreichend groß) 4

5 Historische Ausfallraten Realität/Evidenz: Existenz von, signifikant größer Null (Moody s oder S&P default rate statistics) Quelle: Moody s year default rates and volatilities (Carty & Lieberman [96a]). JPMorgan CM Technical Document Problem: u.a. Beobachtungszeitraum und Konjunktur 5

6 Direkte gemeinsame Ratingänderung Gemeinsame Ratingänderungen, historisch (.34 Firmen, 40 Quartale) Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten (in %): Bsp.: Schuldner, P (BBB BBB und A A) = Quelle: JPMorgan CM Technical Document 6

7 Portfolioeffekte bei der Modellierung des Kreditrisikos Kreditrisiko prob( credit event={ugrade, downgrade, default}) > 0 Messung des Kreditrisikos: messbare stochastische Faktoren, die die Eintrittswahrscheinlichkeit und die Größe des Kreditrisikos determinieren Korrekte Modellierung des Portfoliokreditrisikos verlangt Beachtung gemeinsamer Stochastik der gesamten Risikofaktoren - perfektes Modell muss alle beinhalten - Ausfallkorrelationen der KN, Recovery Rates Korrelationen, Korrelation Recovery und Ausfallwahrscheinlichkeit, Praxis: Beschränkung der Analyse von Korrelationseffekten auf stochastische innerhalb der möglichen credit events 7

8 : Konzentration auf Korrelationen von möglichen Credit events {Ratingänderung, Default}, Ausschluss möglicher der recovery rates oder Exposures Annahme der Unabhängigkeit! Argument: Extreme Ratingänderungen (Bonitätszustandsänderungen) wie bei Eintritt Default Zustand mit extremen Wertänderungen verbunden höchste Relevanz für Portfoliowert: Ausfallkorrelation bzw. der Eintritt gemeinsamer Ausfälle mehrerer Schuldner eines Portfolios Auswirkungen der Höhe der Korrelation: Value at Risk sehr sensitiv auf Korrelation 8

9 Credit Metrics Basis Ratingsystem Schuldner mit Einzelrating Ermitlung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für Veränderungen des Portfoliowerts Am Risikohorizint T Risiko: Ratingänderungen der Schuldner zum Riskohorizont T Credit Event: {default, upgrade, downgrade} Interessierende Größen für den Portfoliowert.) Umweltzustände = {(Kombination der Ratingzustände der KN)} (siehe letzte Woche: Bonität/Rating bestimmt CreditSpread PresentValue Verfahren zur Bewertung).) Eintrittswahrscheinichkeiten der Umweltzustände Ziel: Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Veränderung des Portfoliowertes zum Risikohorizont T infolge Bonitätsänderungen 9

10 Modell Modell (Unternehmenswertmodell) nach Merton (974) Indirekter Ansatz Modellierung gemeinsamer Wahrscheinlichkeiten von Ratingänderungen Mögliche credit events: {upgrade, downgrade, default} Keine historischen Daten mehr nötig Ansatz: Unternehmen bestehend aus Assets (Aktiva) und Liabilities (Verbindlichkeiten) -Assets- -Liabilities- 0

11 Idee. Annahme Existenz eines jedem credit event zugrunde liegenden Prozesses Erklärung für einzelne Ratingänderung Erklärung gemeinsamer Ratingänderungen Vorteil: Prozess beobachtbar und erklärbar (i. Ggs. zum Vorgehen direkter Beobachtungen von Ausfallhäufigkeiten). Schätzung der den Prozess bestimmenden Parameter Resultat: Änderung Unternehmenswert Änderung Bonität bzw. Rating Verbesserte Schätzung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit von Bonitätszustandsänderungen

12 Vereinfachung: credit events: {default, non default} Implikation Unternehmenswert: Am Risikohorizont T gilt: a) b) -Assets- -Liabilities- -Assets- -Liabilities- Assets > liabilities Assets < liablities (Zahlungsunfähigkeit) credit event: no default credit event: non default

13 Erweiterung: Interesse an verschiedenen Bonitätszuständen eines Schuldners zwischen default und non default zum Risikohorizont T Ziel: Bestimmung ratingadäquater Wertintervalle der Assetrealisationen in T Ausgangsrating BB Unternehmenswert T Max. Schwankungsbreite damit keine Ratingänderung 3

14 Bestimmung der Renditegrenzen Verteilungsannahme: Aktivarenditen ~ (0,) nv. Wahrscheinlichkeitsmasse unter kritischer Renditegrenze = Ausfallwahrscheinlichkeit gemäß Rating Adäquat für alle Ratingänderungen : Ausgangsrating BBB und Übergangswahrscheinlichkeiten (T) Vorgabe historischer Übergangswahrscheinlichkeiten ( Jahr) je Rating Annahme homogener Schuldner je Rating R BBB default als gesuchte kritische Ausfallrendite gegeben: P(BBB Default)=0.008 Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung: N - (P=0.008) = -.9 (R BBB default ) 4

15 Ratingänderung ohne Default gegeben: P (BBB CCC)=0.00 P( R BBB default <R< R BBB CCC ) = P( -.9<R< R BBB CCC ) N (R BBB CCC ) N (R BBB default ) = N (R BBB CCC ) N (-.9) = 0.00 N (R BBB CCC ) = N(-.9) = = N - (P=0.003) = (R BBB CCC ) 5

16 AAA AA A BBB BB B CCC Default 0.0% 0.33% 5.59% 86.9% 5.30%.% 0.% 0.8% R BBB default -Renditeintervall- Rendite T R BBB CCC Quelle: nach JPMorgan CM Technical Document 6

17 Fall: Zwei Kreditnehmer Gemeinsame Wahrscheinlichkeit Ratingänderung zweier Schuldner Annahme: Assetrendite (0,) nv. zwei Assetprozesse P (R BBB <R BBB default und R BB <R BB Default ) R BBB---> default BB > default R ρ RR + π ρ e ( ρ ((R ) R ) dr dr Paarweise Korrelation schätzen (beachte: Volatilitäten der Assetrendite(n) ohne Einfluss, Grund sind standardisierte Renditen) 7

18 Schätzung Assetkorrelation Beobachtung der Assetwerte/-renditen schwierig Aktienkurse/Kursrenditen börsengehandelter Unternehmen allg. Info Korrelation Kursrenditen als Proxy für Korrelation Assetrenditen aber: paarweise Korrelationen aufwändig (M Schuldner M(M-)/ Paare zu schätzen)) Einführung lineares Aktienindex als systematischer Erklärungsfaktor Einteilung nach Land und Branche Wegfall redundanter Branchen (hohe Korrelation) M = Korrelationen systematischen Komponente (Index) Annahmen:. keine Abhängigkeit der firmenspezifischen Komponente (ε). keine Abhängigkeit der unsystematischen Komponente von Renditekorrelationen vollständig von Indexkorrelation erklärt 8

19 Indizes Verfügbarkeit Quelle: nach JPMorgan CM Technical Document 9

20 Lineares Allgemeine Form des Erklärungsmodells: Kursrendite Kreditnehmer j: R = w INDEX + w INDEX w j Kreditnehmer j, j, j,k ε j Daten Betrachtung der Indexrenditen auf Wochenbasis (90 Wochen) Mittelwert und Standardabweichung Paarweise Kovarianzen aller Indexpaare, Indexkorrelationen 0

21 Anwendung Vorgehen:. Festlegung Gewichtungsfaktoren Firma Index/Land Hintergrund: Höhe des Erklärungsgehaltes Index/Land an Firma; Höhe des nicht durch Index erklärten Anteil der Aktienrendite. Standardisierte Rendite als gewichtet Indexrendite und verbleibendem unsystematischen Teil der Rendite 3. Anwendung der Gewichtungsfaktoren zur Schätzung der Korrelation

22 : Pfizer und Allianz Zielstellung: Korrelation Pfizer und Allianz Vorgehen:. Indexpartizipation (systematische Komponente) A) Land USA Branche Pfizer Pharma USA/ Pharma-Chemie 90% Land Branche Deutschland Finance+Banking Insurance Allianz Deutschland/ Finance+Banking, Insurance 5% 75%

23 Information: Korrelationen INDEX Voltilität USA/Pharma D/Insurance D/ Bank+Finanz USA/Pharma.03% D/Insurance.09% D/ Bank+Finanz.5% Quelle: JPMorgan CM Technical Document 3

24 B) Systematische und firmenspezifische Renditekomponente Pfizer: 90% Indexrendite 0% nicht erklärte Rendite Allianz: 80% Indexrendite 0% nicht erklärte Rendite 4

25 Pfizer, standardisierte Renditen: Gewichtung Pfizer US_PHARMA R = wr + Pfizer Summe der Vola muss ergeben w Rˆ w =0.9 Rendite (0,) nv Var(R Pfizer ) = w Var(R US_PHRAMA ) + w Var(Rˆ Pfizer ) w = w = 0.44 Allianz, standardisierte Renditen: Allianz D_Bank D_Insurance R = wr + w R + Allianz! Indexformung aus 5% D/Bank und 75% D/Insurance w 3 Rˆ Volatilität berechnen 5

26 Volatiltät des Index σˆ = 0.75 σ D_Insurance σ D_Bank + *0.75*0.5*ρ (D_Insurance, D_Bank) *σ D_Insurance σ D_Bank = 0.07 Summe Volatilität : 80% erklärt, davon 75% durch D_Insurance, 5% durch D_Bank w 0.75σ = 0.80 σˆ D_Insurance = 0.74 w = 0,5σ 0.80 σˆ D_Bank = 0.5 w 3 = 0.8 = 0.6 6

27 Resultat Gewichtungsfaktoren Pfizer: w 0.9 w 0.44 Allianz: w 0.74 w 0.5 w Einsetzen in Pfizer US_PHARMA R = 0.9 R Rˆ Pfizer Allianz D_Bank D_Insurance R = 0.5 R R + 0.6Rˆ Allianz ideosynkratische Rendite unabhängig 7

28 Korrelation Pfizer Allianz Korrelation im Schuldner Fall ρ = ρ (Pfizer, Allianz) (US_Pharma,D_Insurance) 0.5 ρ (US_Pharma,D_Bank) Korrelationen INDEX Voltilität USA/Phar ma D/ Insurance D/Bank+ Finanz USA/ Pharma.03% D/ Insurance.09% D/Bank+ Finanz.5% ρ (Pfizer, Allianz) = ρ (Pfizer, Allianz) = = 0.7 8

29 9 Gemeinsame Wahrscheinlichkeit ) R R ρ R ((R ) ρ ( R R dr dr e ρ π default BB default BBB--- + > >

30 Recap: Ansatz ( Schuldner Fall) Abhängigkeit Bonität KN Bonität KN Unternehmenswert KN Unternehmenswert KN Linearfaktormodell 30

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