6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

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1 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster besteht (Pixel haben ganzzahlige Koordinaten im Bildschirmkoordinatensystem, siehe Abbildung 6.1). Auf diesem Raster werden nun Objekte gezeichnet. Wie können wir zum Beispiel eine Gerade, die ja kontinuierlich ist, auf dem Bildschirmraster zeichnen, damit sie gut aussieht? Wir nehmen an, dass die Pixel den Gitterpunkten entsprechen und entweder auf schwarz oder weiß (Startwert) gesetzt werden können. Wie zeichnen wir Abbildung 6.1: Pixel: Bildschirmkoordinaten als Gitterpunkte eine Gerade y = mx + B? Annahme: wir zeichen fein, d.h. falls die Steigung m [ 1, 1] (Abbildung 6.2), schwärzen wir pro Spalte ein Pixel, sonst pro Zeile ein Pixel. Das Problem hierbei ist, dass steilere Geraden schwächer Abbildung 6.2: m [ 1, 1] abgebildet werden als flachere Geraden. Die Lösung ist, dass wir die Pixel nicht schwarz, sondern je nach Steigung mit einem entsprechenden Grauwert einfärben. Somit sehen alle Geraden gleich intensiv aus (Abbildung 6.3). 126

2 Abbildung 6.3: Verschiedene Intensitäten Zeichnen einer Geraden Abbildung 6.4: Gerade durch Pixel dargestellt Naiver Ansatz Ein naiver Algorithmus zum Zeichnen einer Geraden sieht folgendermaßen aus. Für die Steigung m [ 1, 1] (der andere Fall ist symmetrisch, einfach die x i mit den y i vertauschen) sind die x 0, x 1, x 2,... ganzzahlig und x i+1 = x i + 1 ( x = 1, da die Spalten aufeinander folgen). Die Gleichung y i = mx i + B wird mit Gleitkomma-Rechnung berechnet und auf den nächsten ganzzahligen Wert gerundet. Wir schwärzen die Punkte (x i, ỹ i ), wobei ỹ i der nächste ganzzahlige Wert zu y i ist. Jedoch haben wir hier zwei Gleitkomma- Operationen und Rundungen pro Iteration, das dauert einfach zu lange. 127

3 Besserer Ansatz Eine Verbesserung im Algorithmus ergibt sich, wenn wir uns den Wert des Vorgängers merken. y i+1 = mx i + B = m(x i + 1) + B = y i + m Hier haben wir nur noch eine Gleitkomma-Addition und Rundung pro Iteration. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass man es noch besser machen kann Bresenham-Scan (Variante) Gerade Wir nehmen an, dass m [0, 1], der anderer Fall ist symmetrisch. Die Gerade ist gegeben durch zwei Punkte (x o, y 0 ) und (x 1, y 1 ), diese beiden Punkte haben jeweils ganzzahlige Bildschirmkoordinaten. In Abbildung 6.5 ist der Punkt P ein bereits gezeichneter Punkt der Geraden. Die Punkte E und N E sind die Kandidaten für den nächsten zu zeichnenden Punkt. M ist der Mittelpunkt zwischen N E und E. Der Punkt Q ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Strecke ENE. Welcher der beiden Punkte wird nun NE Q M P=(x P,y P ) E Abbildung 6.5: Gerade zeichnen mit Bresenham-Scan genommen? E, wenn Q zwischen E und M liegt, NE sonst. In unserem Fall also der Punkt NE. 128

4 (x1,y 1 ) (x0,y 0 ) Abbildung 6.6: Gerade durch zwei Punkte gegeben Implizite Form der Geraden Zum Berechnen der Geradengleichung F (x, y) = ax + by + c = 0 betrachten wir die Abbildung 6.6 und setzen a = dy = y 0 y 1 b = dx = x 1 x 0 c = B dx Bis auf B, welches noch zu berechnen bleibt, sind die Werte bekannt. Dann ist < 0, falls(x, y)über der Geraden liegt F (x, y) = 0, falls(x, y)auf der Geraden liegt > 0, falls(x, y)unter der Geraden liegt Wir definieren eine Entscheidungsvariable d: d := F (M) = F (x p + 1, y p ) = a(x p + 1) + b(y p ) + c Jetzt wird das Vorzeichen von d getestet. Ist d > 0, wählen wir NE, ist d 0, wählen wir E als nächsten Punkt. Wir überlegen uns, wie sich M und d im nächsten Schritt ändern? Hierzu Abbildung

5 M neu Abbildung 6.7: Nächster Schritt Falls E gewählt wurde d neu = F (x p + 2, y p ) = a(x p + 2) + b(y p ) + c = d alt + a = d alt dy Wir erhalten d neu aus d alt mit einer ganzzahligen Addition. E := dy. Falls NE gewählt wurde d neu = F (x p + 2, y p ) = a(x p + 2) + b(y p ) + c = d alt + a + b = d alt + dx dy NE := dx dy. Da dx und dy ganzzahlige Konstanten sind, können wir NE vorher berechnen, erhalten also auch hier eine ganzzahlige Addition. Initialisierung: bei (x 0, y 0 ) ( linkestes Pixel der Geraden im Bild) ist der erste M-Punkt: (x 0 + 1, y 0 + 1) 2 erste Wert von d : F (x 0 +1, y 0 + 1) = F (x 2 0, y 0 )+a+ b, mit F (x 2 0, y 0 ) = 0, da (x 0, y 0 ) auf der Geraden liegt. Also ist d start = a + b = dx dy, was 2 2 im Allgemeinen nicht ganzzahlig ist. 130

6 Wenn wir statt d einfach d = 2d benutzen, umgehen wir das Problem. Wir prüfen ja nur, ob d positiv oder negativ ist. Als Initialisierung also: d start = dx 2dy und als Inkrement: E = 2dy NE = 2(dx dy) Kreis Wir betrachten obda Kreise um den Ursprung, denn durch die nun gegebene Symmetrie ergeben sich einige Erleichterungen bei der Berechnung des Kreises. x 2 + y 2 = R 2 y = ± R 2 x 2 Zur Vereinfachung lassen wir R 2 x 2 weg und bekommen den Halbkreis. y = + R 2 x 2 Im nächsten Schritt betrachten wir nur den Viertelkreis y = + R 2 x 2, x [0, R]. Im Grunde reicht es aus, den oberen Achtelkreis im ersten Quadranten zu betrachten (siehe Abbildung 6.8). Um einen Kreis zu zeichnen, zeichnen wir mit jedem (x, y) insgesamt acht Punkte: (±x, ±y), (±y, ±x). Die Steigung Abbildung 6.8: Kreis, Halbkreis, Viertel- und Achtelkreis des Achtelkreises liegt zwischen 1 und 0, d.h. wir zeichnen ein Pixel pro Spalte (s.o.). In Abbildung 6.9 ist P das zuletzt gezeichnete Pixel. E und SE sind die Möglichkeiten für das nächste Pixel, die drei Pixel in der Spalte ganz rechts die Möglichkeiten für das übernächste Pixel. 131

7 P=(x P,y P ) M E SE ME MSE Abbildung 6.9: Kreiszeichnen = 0(x, y)auf dem Kreis F (x, y) = x 2 + y 2 R 2 > 0(x, y)außerhalb des Kreises < 0(x, y)innerhalb des Kreises Wir fragen uns, ob M innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt? Falls F (M) > 0 SE ist näher am Kreis. { d alt := F (M) = (x p + 1) 2 + (y p 1 2 )2 R 2 < 0 E ist nächster Punkt 0 SE ist nächster Punkt Falls E als nächster Punkt gewählt wurde d neu = F (M E ) = F (x p + 2, y p 1 2 ) = F (M) + 2(x p + 1) + 1 = F (M) + 2x p + 3 Mit F (M) = d alt und E = 2x p + 3. Im Gegensatz zur Geraden ist E hier keine Konstante sondern eine Funktion, die von x abhängig ist. Falls SE als nächster Punkt gewählt wurde d neu = F (M SE ) = F (x p + 2, y p 3 2 ) = F (M) + 2(x p + 1) + 1 2(y p 1 2 ) + 1 = F (M) + 2x p 2y p + 5 = d alt + 2x p 2y p + 5 In diesem Fall ist SE = 2x p 2y p

8 Initialisierung: (Annahme R ist positiv ganzzahlig) P 0 = (0, R) M = (1, R 1 2 ) d start = F (M) = 1 + (R 1 2 )2 R 2 = 5 4 R Problem: 5 ist nicht ganzzahlig. Wir nehmen stattdessen eine neue Entscheidungsvariable d mit d = d 1 daraus folgt als Initialwert d 4 start = 1 R. 4 Test ob d < 0 d < 1 4 d < 0 da d ganzzahlig ist. Differenzen 2. Ordnung Wie oben schon gesagt ändern sich beim Kreis die E und SE in Abhängigkeit der aktuellen Pixelposition. Das bedeutet einen erhöhten Aufwand bei der Berechnung. Zur Beschleunigung des Algorithmus erstellen wie für die Inkremente die Differenzen 2. Ordnung. Falls E gewählt wurde (x p, y p ) (x p + 1, y p ) mit E = 2x p + 3 Eneu = 2(x p + 1) + 3 = E + 2 Der Unterschied zwischen den E ist eine Konstante (2. Ableitung), d.h. wir brauchen nur eine ganzzahlige Addition zur Aktualisierung von E. Analog: SE = 2x p 2y p + 5 SEneu = 2(x p + 1) 2y p + 5 = SE + 2 Falls SE gewählt wurde (x p, y p ) (x p + 1, y p 1), dann Eneu = E + 2 SEneu = SE + 4 damit benötigen wir pro Iteration eine ganzzahlige Addition für je E, SE, dann berechnen wir noch d. Im Wesentlichen sind das drei ganzzahlige Additionen. 133

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