Ausgleichungsrechnung I

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1 Ausgleichungsrechnung I oder Die Anwendung statistischer Methoden in Vermessungswesen und GIS Gerhard Navratil mit Beiträgen von Martin Staudinger Institute for Geoinformation Technical University Vienna Gußhausstraße Vienna, Austria Stand: 28. November 2006

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Warum wir uns mit Statistik beschäftigen Was ist Statistik? Literatur Mathematische Grundlagen Einleitung Lineare Algebra Matrizenalgebra Definitionen Spur und Determinante Matrizenoperationen Orthogonale Matrizen Inversion Auflösung von Gleichungssystemen durch Matrizenoperationen Lineare Abhängigkeit und der Rang einer Matrix Das einfache Eigenwertproblem Eigenwerte Eigenvektoren Singulärwertzerlegung Generalisierte Inverse Moore-Penrose Pseudoinverse Berechnung der Pseudoinversen mit Singulärwertzerlegung Iterative und numerische Verfahren Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren Matrixnormen Die Kondition eines Gleichungssystems Differentialrechnung Reelle Funktionen in einer Variablen Taylorreihen Funktionen in mehreren Variablen Differentiation von Matrizenfunktionen Optimierung Zusammenfassung iii

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 3 Datenanalyse und deskriptive Statistik Einleitung Methoden der explorativen Datenanalyse Darstellungsformen von Datenmengen Grafische Darstellungen Kennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen Lagekennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen Streuungskennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen Form-Kennwerte empirischer Häufigkeitsverteilungen Statistische Begriffe der Messtechnik Wahrer Wert und Erwartungswert Messabweichungen Deskriptive Statistik im Vermessungswesen Statistische Kennwerte bei bekanntem Erwartungswert Statistische Kennwerte bei empirischer Schätzung des Erwartungswertes Weitere in der Vermessung übliche Genauigkeitsangaben und Fehlermaße Genauigkeit - Präzision - Richtigkeit: Ein babylonisches Sprachengewirr im Vermessungswesen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Statistische Modellierung des Messvorgangs Zufällige Versuche und Zufallsereignisse Zufallsgrößen und ihre Realisierungen Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungen von Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Gleichverteilung Normalverteilung Chi-Quadrat Verteilung Student-Verteilung Fisher-Verteilung Weitere Verteilungen Der zentrale Grenzwertsatz Zufallsvektoren Zufallsvektoren Begriffe Beziehungen zwischen zwei Elementen eines Zufallsvektors Stochastische Abhängigkeiten Funktionen eines Zufallsvektors Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors Übergang von der Abweichung y zur Standardabweichung Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz

5 INHALTSVERZEICHNIS v 6 Ausgleichungsrechnung Einleitung Die Methode der kleinsten Quadrate Beispiel: Ausgleichende Gerade Herleitung der Methode der kleinsten Quadrate Das stochastische Modell a priori Ausgleichungsverfahren Das funktionale Modell Allgemeine Auflösung Die Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen Ausgleichung bedingter Beobachtungen Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten Das stochastische Modell a posteriori Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz Die Kofaktoren a posteriori A priori Ausgleichung Die Varianz der Gewichtseinheit a posteriori Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen der ausgeglichenen Größen und ihrer Funktionen Anmerkungen Allgemeine Eigenschaften der Ausgleichung Anmerkungen zum funktionalen Modell Anmerkungen zu den Bedingungsgleichungen Anmerkungen zum stochastischen Modell Ausgleichung großer Netze Weitere Begriffe und Bezeichnungsweisen Analogien der Ausgleichungsrechnung zu anderen technischwissenschaftlichen Disziplinen Ausgleichung ohne Linearisierung Einleitung Lösen von nicht überbestimmten Gleichungssystemen Nicht überbestimmte, nicht-lineare Systeme Gröbner-Basis Bestimmung der Gröbner-Basis Überbestimmte, nicht-lineare Systeme Grundidee Kombinationsansatz für lineare Gleichungen Kombinationsansatz für nicht-lineare Gleichungen Induktive Statistik Stichproben Stichprobenverteilungen Stichprobenverteilungen wichtiger Maßzahlen Bestimmung von Vertrauensbereichen Vertrauensbereich für den Mittelwert µ einer normalverteilten Zufallsgröße X

6 vi INHALTSVERZEICHNIS Vertrauensbereich für die Standardabweichung σ einer normalverteilten Zufallsgröße X Vertrauensbereiche für beliebige Ausgleichungsaufgaben Statistische Prüfverfahren Prinzip und Arbeitsgang beim statistischen Test Test eines Mittelwertes µ bei bekannter Standardabweichung σ Test eines Mittelwertes µ bei unbekannter Standardabweichung σ Test zweier Mittelwerte µ 1 und µ 2 bei bekannten Standardabweichungen σ 1 und σ Test zweier Mittelwerte µ 1 und µ 2 bei unbekannten Standardabweichungen σ 1 und σ Test einer Standardabweichung σ Test zweier Standardabweichungen σ 1 und σ Test mehrerer Standardabweichungen σ 1, σ 2,..., σ m (Cochran- Test) Test eines Korrelationskoeffizienten ϱ XY Test eines extremen Merkmalswertes (Ausreißertest) Test einer Normalverteilung Literaturverzeichnis 207 Stichwortverzeichnis 214

7 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Warum wir uns mit Statistik beschäftigen Vermessungswesen und GIS basieren auf Daten, das heißt: Wir sammeln Daten, bereiten sie auf und analysieren sie. Statistik spielt dabei eine wesentliche Rolle. Statistische Methoden sind bereits beim Sammeln von Daten wichtig. Ein elektronisches Distanzmessgerät führt beispielsweise nicht nur eine einzige Messung durch, sondern bestimmt die Strecke oftmals und mittelt dann das Ergebnis. Dieser Vorgang erfolgt für den Anwender unsichtbar. Andere Arten der Datenerfassung arbeiten beispielsweise mit einfachem Abzählen und Klassifizieren der Daten. Auch hier sind statistischem Methoden notwendig um aussagekräftige Parameter zu ermitteln. Das betrifft beispielsweise bevölkerungsstatistische Daten, Durchschnittseinkommen, Bildungsniveau, medizinische Daten, Verkehrsströme usw. Eine gemeinsame Eigenschaft all dieser Daten ist, dass sie eine Struktur aufweisen. Diese kann geometrisch, zeitlich oder räumlich sein. Man spricht somit von geometrisch, zeitlich oder räumlich strukturierten Daten. Die Unterscheidung zwischen zeitlicher und räumlicher Struktur ist einfach zu verstehen. Der Unterschied zwischen geometrischer und räumlicher Struktur ist nicht ganz so einfach zu verstehen. Er bedarf daher einer näheren Erläuterung: Räumliche Daten wurden an einem bestimmten Ort erhoben. Dieser Ort kennzeichnet die Daten und wird als Parameter mitgeführt. Bei manchen (nicht bei allen) Anwendungen wird dieser Ortsparameter bei der Auswertung der Daten mitbenutzt. Beispiel: Abgegebene Stimmen bei einer Wahl werden in den Wahlsprengeln erfasst. Die Angabe des Wahlsprengels ist also der Ortsparameter. Zur Bestimmung des Endergebnisses wird dieser Ortsparameter nicht verwendet. Wählerstromanalysen hingegen nehmen sehr wohl bezug darauf, da sie die Daten mit den Daten des Vorjahres vergleichen müssen. Geometrische Daten sind Angaben, welche eine Beziehung zur realen Welt erst ermöglichen. Dieser Vorgang heißt Verortung. Beispiel: Richtung und Strecken sind beispielsweise eine Möglichkeit zur Bestimmung von Koordinaten in einem vorher definierten Koordinatensystem. 1

8 2 KAPITEL 1. EINLEITUNG Beispiel 1.1 Räumliche Daten können aus Beobachtung, Klassifizierung und Abzählen entstehen. In einer statistischen Untersuchung wurde festgestellt, dass die Donau bei Wien innerhalb eines Jahres an 6 Tagen im Jahr braun, an 55 Tagen lehmgelb, 38 Tage schmutzig grün, 49 Tage hellgrün, 47 Tage grasgrün, 24 Tage stahlgrün, 109 Tage smaragdgrün und 37 Tage dunkelgrün, niemals jedoch BLAU ist. Warum müssen wir als Vermesser eigentlich Statistik und statistische Methoden verstehen? Wir wissen, wie unsere Daten entstanden sind. Bei einer Weitergabe der Daten geht dieses Wissen jedoch verloren. Dasselbe passiert natürlich, wenn wir Daten von Dritten übernehmen. Dazu kommt noch, dass Daten interpretiert und zu Informationen 1 weiterverarbeitet werden. Dazu ist es notwendig, die Qualität der Daten zu bewerten. Das kann nur mit statistischen Mitteln geschehen Es gibt nun drei Anwendungsfälle, bei denen statistische Methoden für die Bearbeitung räumlicher und geometrischer Daten eigens erhobener oder von Dritten erworbener notwendig sind: 1. Zu viele Daten haben wir oft, weil der Detaillierungsgrad der Rohdaten oft viel zu hoch ist und eigentlich nur daraus abgeleitete Kennwerte benötigt werden. Beispiel: Wenn wir eine Standortsuche für eine Werbekampagne für ein bestimmtes Produkt durchführen und ein wichtiges Kriterium ist dabei das Einkommen potentieller Kunden, so ist das individuelle Einkommen jedes Einwohners einer bestimmten Region nicht von Bedeutung, wohl aber das mittlere Einkommen in dieser Region. 2. Zu wenig Daten haben wir immer dann, wenn wir nur an einzelnen Stellen gemessen haben, aber ein kontinuierliches Bild einer bestimmten Region darstellen wollen. Wir wenden dann Verfahren der statistischen Interpolation an, um dieses Gesamtbild zu erhalten. Beispiel: An einzelnen Stellen werden Bohrungen durchgeführt und Proben entnommen und daraus Verteilungen für eine ganze Region generiert. Dabei ist die Menge an Bohrungen aus Kostengründen stark beschränkt. 3. Fehlerhafte Daten treten immer dann auf, wenn wir mit physikalischen Verfahren messen. Physikalische Messungen sind per se ungenau 2. Es gibt eine Reihe von Ursachen für diese Ungenauigkeiten. Dazu gehören unter anderen die Auflösung der Messgeräte und die Verwendung vereinfachter Modellen der Realität. Wir werden darauf noch später zurückkommen. 1 Daten werden dann zu Informationen, wenn sie zur Beantwortung einer Frage benötigt werden. Die Nummern in einem Telefonbuch beispielsweise sind Daten. Wenn ich hingegen eine bestimmte Person anrufen will, ist diese spezielle Telefonnummer eine Information. 2 Dabei ist jedoch zu beachten, dass der Begriff ungenau in diesem Fall relativ zu sehen ist. Eine Bestimmung auf 10 4 m kann sehr genau, aber auch sehr ungenau sein. Um den Abstand zwischen zwei Häusern zu charakterisieren wäre 10 4 m eine sehr genaue Bestimmung, für die Angabe des Abstandes zweier Leiterbahnen auf einer Platine wäre die Genauigkeit nicht ausreichend.

9 1.1. WARUM WIR UNS MIT STATISTIK BESCHÄFTIGEN 3 Abbildung 1.1: Statistische Daten können auch grafisch vorliegen: Der Wasserstand der unteren Salzach an unterschiedlichen Stellen in Salzburg während der verheerenden Niederschläge im August 2002 (Land Salzburg - Hydrographischer Dienst, 2002) Aus diesen Anwendungsfällen ergeben sich zwei wichtige Ziele, die wir mit der Anwendung von Statistik verfolgen: 1. Die Bestimmung von Qualitätsparametern und -kennzahlen für die von uns beobachteten Daten. 2. Eine räumliche statistische Interpolation, um weitere Daten aus den ursprünglich beobachteten Daten abzuleiten (zum Beispiel Koordinaten aus Richtungen und Strecken) und ein möglichst vollständiges Bild der geographischen Situation wiederzugeben (auch an Stellen, an denen wir nicht beobachtet haben). Abbildung 1.1 enthält eine grafische Darstellung von Wasserstandshöhen. Es zeigt sich klar, dass die einzelnen Messungen einer gewissen Schwankung unterworfen sind, was sich in einem gezackten Kurvenverlauf ausdrückt. Die Schwankungen sind bei allen Kurven ähnlich groß. Die einzige Ausnahme ist der Zeitraum vom 10./11. August beim Pegel Adnet. Hier fällt auf, dass es eine Anzahl großer Sprünge gibt. Eine Anwendung, die aber nur Hochwasser-Ereignisse detektieren soll, wird die hier verwendete Auflösung nicht benötigen. Es kann dann mit geglätteten Kurven oder mit einer Auswahl an Daten gearbeitet werden.

10 4 KAPITEL 1. EINLEITUNG 1.2 Was ist Statistik? Das Wort Statistik kommt aus dem Lateinischen (status) und bedeutet wörtlich übersetzt (Zu-)Stand, Verfassung, Beschaffenheit 3. Es geht darum Daten zu sammeln, zu analysieren, zusammenzufassen, zu interpretieren, anzuzeigen, darzustellen und Informationen daraus abzuleiten. Dabei wird sowohl die aus einer Bestandsaufnahme hervorgehende Datensammlung als Statistik bezeichnet 4, als auch die Methode, mit der Datensammlungen ausgewertet, analysiert und weiterverarbeitet werden. Dabei anfallende Qualitätsparameter sind für Entscheidungsträger oft mindestens genauso wichtig sind wie die Ergebnisse selbst. Dabei haben wir das Ziel, die Daten möglichst transparent zu machen, die zu Grunde liegende Struktur zu finden, wichtige Variablen und Kennzahlen aus einer Vielzahl von Daten zu finden, Anomalien und Ausreißer herauszufinden, Schlüsse zu ziehen und diese auch zu überprüfen, wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle zu erstellen und für diese Modelle die Faktoren und Parameter zu finden. Methodisch unterscheiden wir zwei wichtige Teilbereiche der Statistik: Die beschreibende Statistik und die schließende Statistik: Beschreibende Statistik (auch: Deskriptive Statistik 5 ) hat zum Ziel, Informationen aus zu vielen Daten zu generieren. Dabei bedienen wir uns 3 ursprünglich in der Bedeutung status rei publicae, also die Beschreibung und Darstellung geographischer, wirtschaftlicher, politischer Zustände eines Gemeinwesens = Staates. 4 Zum Beispiel Daten über die wirtschaftlichen, demographischen, sozialen, ökologischen und kulturellen Gegebenheiten, die in Form eines jährlich erscheinenden Statistischen Jahrbuchs veröffentlicht werden. 5 lat. describere = beschreiben, darstellen; auch: einteilen

11 1.3. LITERATUR 5 numerischer und graphischer Methoden mit denen wir umfangreiche und komplizierte Datensätze möglichst anschaulich darstellen. Es geht um Fragen nach Häufigkeiten und Verteilungen der Daten bzw. um Kenngrößen und -werte. Alle Ergebnisse und Aussagen beziehen sich grundsätzlich nur auf die untersuchte Datenmenge. Beispiel: Wir erheben bei TU-Studenten die Ausgaben für Fachliteratur getrennt nach den jeweiligen Studiengängen. Diese Daten stellen wir in einer Tabelle oder einem Diagramm dar und berechnen die durchschnittlichen Ausgaben. Interessant könnte es auch sein, einen Zusammenhang zwischen unterschiedlichen Daten zu untersuchen, zum Beispiel einen Zusammenhang zwischen der Wahl des Studiengangs und der Geldmenge, die man monatlich für Fachliteratur auszugeben gewillt ist. Schließende Statistik (auch: Induktive Statistik 6 ) schließt aus wenigen Daten auf eine übergeordnete Menge. Dabei wenden wir Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie an. Man wählt ein (beliebiges) theoretisches Wahrscheinlichkeitsmodell und führt Schätzungen und Testverfahren durch, um Zusammenhänge zwischen den einzelnen beobachteten Daten und den Parametern des Wahrscheinlichkeitsmodells zu untersuchen. Beispiel: Wir befragen 100 Studenten der TU über ihre monatlichen Ausgaben für Fachliteratur und schließen daraus die Ausgaben aller Studenten. In weiterer Folge stellen wir die Hypothese auf, dass Informatik- Studenten monatlich mehr für ihre Fachliteratur ausgeben als Vermessungswesen-Studenten. Diese Vermutung überprüfen wir auf Grund der uns vorliegenden Daten und geben eine Wahrscheinlichkeit dafür an, dass wir uns mit unserer Vermutung nicht irren. 1.3 Literatur Über Statistik und Ausgleichungsrechnung wurden viele Bücher geschrieben. Im Folgenden findet sich eine kleine Auswahl von Büchern, die jeweils bestimmte Aspekte der in dieser Lehrveranstaltung behandelten Probleme beinhalten 7 : Ernst Gotthardt, Einführung in die Ausgleichungsrechnung, 2. Auflage (1978), Sammlung Wichmann Neue Folge Band 3 / Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe: Fehlerlehre, bedingte und vermittelnde Ausgleichung Walter Großmann, Grundzüge der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendungen in der Geodäsie (1961), Springer-Verlag, Berlin: Fehlerrechnung, Methode der kleinsten Quadrate Walter Höpcke, Fehlerlehre und Ausgleichungsrechnung (1980), Walter de Gruyter: Matrizenrechnung, Fehlerlehre, Korrelation, Fehlerfortpflanzung, Methode der kleinsten Quadrate, Ausgleichung mit singulären Matrizen, statistische Tests 6 lat. inducere = hin(ein)führen; Induktion = Schlussfolgerung vom Besonderen auf das Allgemeine, Beweisführung durch ähnliche Fälle 7 Die Bücher sind in alphabetischer Reihenfolge der Autoren angeführt. Es handelt sich dabei keineswegs um eine Reihung nach Wichtigkeit oder Güte.

12 6 KAPITEL 1. EINLEITUNG Wolfgang Niemeier, Ausgleichungsrechnung (2002), de Gruyter: Statistik, Fehlerfortpflanzung, Methode der kleinsten Quadrate Hans Pelzer et al., Geodätische Netze in Landes- und Ingenieurgeodäsie (1985), Vermessungswesen bei Konrad Wittwer: Statistik und statistische Tests, Methode der kleinsten Quadrate Günter Reißmann, Die Ausgleichungsrechnung (1976), VEB Verlag für Bauwesen: Fehlerrechnung, Methode der kleinsten Quadrate, Korrelationen, statistische Prüfverfahren Wolfgang Schneider, Joachim Kornrumpf, Walter Mohr, Statistische Methodenlehre (1995), R.Oldenbourg Verlag, München: Statistik Dietrich Stoyan, Stochastik für Ingenieure und Naturwissenschaftler (1993), Akademie Verlag, Berlin: Wahrscheinlichkeitsrechnung, statistische Verteilungen, statistische Tests, Korrelation Helmut Wolf, Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate (1968), Dümmlerbuch 7820 / Ferd. Dümmler s Verlag, Bonn: Fehlerlehre und -Theorie, Methode der kleinsten Quadrate, Korrelation, statistische Tests Rudolf Zurmühl, Sigurd Falk, Matrizen und ihre Anwendung, 5. Auflage (1984), Springer Verlag, Berlin: Matrizenrechnung, Eigenwertaufgabe Nur noch von historischem Interesse sind hingegen folgende Bücher: Friedrich Hartner, Josef Wastler, Eduard Dolezal, Hand- und Lehrbuch der Niederen Geodäsie I. Band - 1. Hälfte, 10. Auflage (1910), Verlag von L.W.Seidel & Sohn, k.u.k. Hofbuchhändler, Wien: Fehlerrechnung, Methode der kleinsten Quadrate Jordan, Eggert, Kneissl, Handbuch der Vermessungskunde Band 1, 10. Auflage (1961), J.B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung und Carl Ernst Poeschel Verlag GmbH, Stuttgart: Lineare Gleichungssysteme, Methode der kleinsten Quadrate In englischer Sprache ist ebenfalls eine große Anzahl entsprechender Bücher erschienen. Am Institut vorhanden sind die folgenden Werke: Joseph Awange, Erik Grafarend, Solving Algebraic Computational Problems in Geodesy and Geoinformatics (2005), Springer Verlag, Berlin: Gröbner-Basis, Gauß-Jacobi Kombinations-Algorithmus Charles D. Ghilani, Paul R. Wolf, Adjustment Computations 4. Auflage (2006), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey: Statistik, Fehlerrechnung, Methode der kleinsten Quadrate, Teststatistik

13 1.3. LITERATUR 7 Peter Meissl, Least Squares Adjustment - A Modern Approach (1982) Mitteilungen der geodätischen Institute der Technischen Universität Graz, Folge 43: Statistik, Fehlerrechnung, Methode der kleinsten Quadrate, Teststatistik Gligorije Perović, Least Squares (2005), University of Belgrade, Belgrad, Serbien und Montenegro: Methode der kleinsten Quadrate

14 8 KAPITEL 1. EINLEITUNG

15 Kapitel 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Einleitung Ziel dieses Kapitels ist es, die mathematischen Werkzeuge zu wiederholen, ohne deren Hilfe das Erlernen und die Anwendung statistischer Methoden nicht möglich ist. Es sind dies im Speziellen Grundkenntnisse der linearen Algebra (vor allem die Verwendung der Matrizenrechnung zur Auflösung linearer Gleichungssysteme), Funktionsapproximationen durch Taylorreihen und die Behandlung von Optimierungsaufgaben. Auch Aspekte der numerischen Mathematik sind dabei von Bedeutung. Wir werden zum Beispiel sehen, dass beim Rechnen mit Matrizen Ungenauigkeiten des Rechners oder des Rechenverfahrens zu erstaunlichen - aber leider falschen - Ergebnissen führen können. Diese Problematik müssen wir bei allen von uns verwendeten Verfahren im Auge behalten. 2.2 Lineare Algebra Die lineare Algebra beschäftigt sich mit der Lösung von linearen Gleichungen und linearen Gleichungssystemen. Lineare Gleichungssysteme sind für uns vor allem im Rahmen der Methode der kleinsten Quadrate wichtig. Das Werkzeug für den Umgang mit linearen Gleichungssystem ist die Matrizenrechnung. Viele der von uns verwendeten Berechnungsmethoden und Algorithmen werden in Matrizenschreibweise angegeben und behandelt. Somit ist das Beherrschen der Matrizenrechnung in weiterer Folge unentbehrlich 1. Ein zentrales Problem der lineare Algebra ist die Lösung linearer Gleichungssysteme, wie z.b. des folgenden: 1 Die Matrizenrechnung wurde übrigens in den 1950er-Jahren in die Geodäsie eingeführt. Zu den ersten Pionieren zählen dabei unter anderem Gotthardt (1951), (Hirvonen, 1958), Wolf (1959) und (Linkwitz, 1960) 9

16 10 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 8x 1 + 1x 2 + 6x 3 = 15 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 15 4x 1 + 9x 2 + 2x 3 = 15 (2.1) oder (etwas allgemeiner ausgedrückt): a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (2.2) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Dabei treten die Koeffizienten a 11 bis a 33, die Unbekannten x 1 bis x 3 und die Konstanten ( rechte Seite ) b 1 bis b 3 auf. Lineare Gleichungssysteme sind dadurch definiert, dass die Unbekannten nur in der Potenz 0 und 1 vorkommen 2. Ein Gleichungssystem heißt inhomogen, wenn mindestens ein b i ungleich Null ist. Andernfalls heißt das Gleichungssystem homogen. Obiges Gleichungssystem besteht aus 3 Gleichungen in 3 Unbekannten und ist - unter bestimmten Voraussetzungen, die wir in weiterer Folge noch näher betrachten werden - eindeutig lösbar. Lineare Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als Unbekannten heißen überbestimmt, solche mit mehr Unbekannten als Gleichungen unterbestimmt. Das Wort Algebra (das im Übrigen im Deutschen auf der ersten Silbe betont wird, im Österreichischen hingegen oft auf der zweiten) kommt aus dem Arabischen. Die wörtliche Übersetzung heißt Wiederherstellung : Eines der ersten algebraischen Lehrbücher hieß Hisab al-gabr w al-muqabala - Wiederherstellen und Zusammenführen und wurde um 800 von Al-Chwarismi 3 geschrieben. Es behandelt das Auflösen von Gleichungen. Al-Chwarismi s Buch über Algebra verdanken wir übrigens nicht nur das Wort Algebra selbst. Als sein Buch ins Lateinische übersetzt wurde, wurde Al-Chwarismi zu Algoritmi - unser Wort Algorithmus kommt davon. In weiterer Folge war Algebra die Bezeichnung für die Lehre vom Auflösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystemen. Die klassische Algebra beschränkte sich dabei auf die elementaren Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, das Potenzieren und das Radizieren 4. Nicht dazu gehören somit Exponentialgleichungen, Logarithmusgleichungen und trigonometrische (goniometrische) Gleichungen, also Gleichungen die z.b. Ausdrücke wie e x, lg x oder sin x enthalten. Sie werden auch als transzendente Gleichungen bezeichnet. Die moderne Algebra beschäftigt sich heute nicht nur mit Gleichungssystemen und elementaren Operationen zu ihrer Auflösung, sondern generell und 2 Es kommen auch keine gemischten Terme vor, wie das bei quadratischen Gleichungen in mehreren Variablen der Fall ist. 3 Abu Ja far Muhammad ibn Musa Al-Chwarismi, persischer Gelehrter (Mathematiker, Astronom, Geograph und Historiker), ca ca Wurzelziehen

17 2.3. MATRIZENALGEBRA 11 sehr formal mit den Beziehungen mathematischer Größen untereinander, ihren Strukturen, Regeln und Operationen. Die lineare Algebra befasst sie sich dabei speziell mit dem n-dimensionalen Vektorraum und mit linearen Transformationen in ihm. Neben dieser Bedeutung des Wortes Algebra als ein Teilgebiet der Mathematik gibt es auch noch eine weitere wichtige Bedeutung. Eine mathematische Struktur wird ebenfalls als Algebra bezeichnet, wenn sie bestimmte Eigenschaften erfüllt. Diese Eigenschaften betreffen unter anderem das Assoziativ-, das Kommutativ- und das Distributivgesetz, sowie das Vorhandensein eines neutralen und eines inversen Elements. Ein Beispiel dafür sind beispielsweise die rationalen Zahlen mit den Operationen Addition und Multiplikation. Unter diesen Gesichtspunkten können wir jedoch auch die Menge der Matrizen und ihrer Operationen als eine Algebra bezeichnen. 2.3 Matrizenalgebra Der Begriff der Matrix wurde von Sylvester 5 geprägt (Sylvester, 1850). Mittlerweile gibt es eine Vielzahl einführender Bücher über Matrizenrechnung (z.b. Antosik, 1985; Ayres, 1978; Bellman, 1960; Eves, 1980; Horn, 1985; Schmidt, 1998; Zurmühl and Falk, 1984). Matrizenrechnung ist mittlerweile jedoch auch fester Bestandteil vieler allgemeiner Bücher über Mathematik (z.b. Reinhardt and Soeder, 1991) und vieler Bücher über Ausgleichungsrechnung (z.b. Höpcke, 1980; Niemeier, 2002; Perović, 2005; Reißmann, 1976) Definitionen Eine (m, n)-matrix ist eine (im Allgemeinen rechteckige) Anordnung von m n Elementen in m Zeilen und n Spalten: a 11 a a 1n a 21 a a 2n (a ik ) := = m A n. (2.3) a m1 a m2... a mn Als Elemente einer Matrix erlaubt sind Variablen, Zahlen C (oder Untermengen davon, also N, Z, Q oder R), Polynome, Differentiale, sonstige Operatoren (Funktionen) und Symbole aber auch selbst wieder Matrizen sein. Speziell Polynome und Differentiale als Elemente werden im Weiteren wichtig sein. Ist nicht anders angegeben, so werden die von uns betrachteten Matrizen immer reelle Zahlen als Elemente enthalten, oder Variablen, die an Stelle von reellen Zahlen stehen. Der Typ der Matrix wird charakterisiert durch die Anzahl der Zeilen und Spalten (auch bezeichnet als Dimension oder Größe). Hat eine Matrix die glei- 5 James Joseph Sylvester, englischer Mathematiker,

18 12 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN che Anzahl von Zeilen und Spalten so heißt sie quadratische Matrix (oder genauer: eine n-reihige quadratische Matrix). In allen anderen Fällen sprechen wir von einer rechteckigen Matrix. Die Dimension wird als Ausdruck (Zeilen x Spalten) angegeben. Eine (m x 1)-Matrix hat somit nur eine Spalte und heißt Spaltenvektor und eine (1 x n)-matrix Zeilenvektor. Skalare, also einzelne Zahlen, können - mit bestimmten Einschränkungen 6 - als (1 x 1)-Matrizen aufgefasst werden. Die einzelnen Elemente innerhalb einer Matrix werden über ihren Index angesprochen: Der Zeilenindex gibt die Zeile an, in der sich das Element befindet und der Spaltenindex die Spalte. Meist wird zuerst der Zeilen- und dann der Spaltenindex angegeben. a 51 ist demnach das Element in der fünften Zeile und der ersten Spalte. Wir können nun (ohne uns um die Art der Berechnung zu kümmern) das Gleichungssystem (2.1) mit Matrizen ausdrücken als Ax = b. (2.4) Die auftretenden Matrizen sind dabei die quadratische Koeffizientenmatrix A, den Konstantenvektor b und den Unbekanntenvektor x. Die Elemente der Matrizen entsprechen dabei jeweils den konkreten Elementen wie in (2.1) angegeben. Im Unbekanntenvektor stehen Variablen für die Lösungen des Gleichungssystems. Unser Ziel ist es nun, einen oder mehrere Lösungsvektoren x zu finden, der statt der Variablen solche reelle Zahlen enthält, dass Gleichung (2.4) erfüllt ist. A = b = x = x 1 x 2 (2.5) 15 x 3 Beim Anschreiben von Matrizen ist sowohl die Verwendung runder als auch eckiger Klammern erlaubt. Wir werden im Folgenden eckige Klammern für Matrizen mit Zahlen und runde Klammern für alle anderen Matrizen verwenden. Die Lesbarkeit erhöht sich auch, wenn blockweise auftretende Nullen in Matrizen nicht angeschrieben sind, also zum Beispiel M = an Stelle von M = Matrizen sind übrigens keine neue Erfindung der Mathematik. Der Kupferstich Die Melancholie (Melencolia I) von Albrecht Dürer 7 aus dem Jahr 1514 enthält bereits die Darstellung einer Matrix (siehe Abbildung 2.1). Bei der Matrix handelt es sich um eine spezielle Matrix, ein sogenanntes magisches Quadrat. Die Summen der Zahlen ist für jede Zeile oder Spalte und für jede Diagonale gleich groß (hier: 34). Die Matrix A aus (2.5) war übrigens ebenfalls ein magisches Quadrat (mit der Summe 15). Zusätzlich enthält die Matrix in 6 z.b. Matrizen können zwar mit einem Skalar, nicht aber mit einer (1 x 1)-Matrix multipliziert werden, wie wir später noch sehen werden. 7 Albrecht Dürer, deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und Kunsttheoretiker,

19 2.3. MATRIZENALGEBRA 13 Abbildung 2.1: Die Melancholie von Albrecht Dürer zeigt rechts oben die Darstellung einer Matrix (siehe vergrößerter Ausschnitt rechts). Die Matrix enthält ein magisches Quadrat. Abbildung 2.1 in der letzten Zeile das Entstehungsjahr des Werkes und Zahlen, welche nach Meinung von Astrologen - angeblich den Planeten Jupiter repräsentieren und dem schädlichen Einfluss des Saturns (der durch andere Symbole auf dem Bild repräsentiert ist) entgegenwirken. Submatrizen Innerhalb einer (m, n)-matrix kann man jeden (p, q)-block von Elementen mit p m und n q selbst wieder als Matrix auffassen. Dieser (rechteckige oder quadratische) Block heißt Submatrix der ursprünglichen Matrix (Ausgangsmatrix). Wir können beispielsweise die Matrix A aus (2.5) zerlegen in A = ( P q = r s ). Dabei entstehen die Submatrizen P, q (ein Spaltenvektor), r (ein Zeilenvektor), sowie die (1,1)-Matrix s mit P = [ ] [ 6, q = 7 ], r = [ 4 9 ], s = [ 2 ].

20 14 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Diagonal-, Dreiecks- und Treppenform einer Matrix Als Hauptdiagonale einer (m,n)-matrix bezeichnet man die Diagonale die durch die Elemente mit gleichem Zeilen- und Spaltenindex gebildet wird. Das sind somit die Elemente a 11, a 22,... a mm für eine Matrix mit m n bzw. die Elemente a 11, a 22,... a nn für eine Matrix mit m n. Bei einer quadratischen Matrix sind dies alle Elemente von der linken oberen bis zur rechten unteren Ecke. Als Diagonalmatrix bezeichnen wir eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen = 0 sind. a ij = 0, i j (2.6) Ein Spezialfall der Diagonalmatrix ist die Nullmatrix, bei der auch die Elemente der Hauptdiagonale = 0 sind. Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Elemente unteroder oberhalb der Hauptdiagonale alle Null sind. Die Elemente 0 bilden also ein Dreieck. In einer oberen Dreiecksmatrix sind nur die Hauptdiagonale und Elemente oberhalb von ihr belegt und alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen = 0: a ij = 0, i > j. (2.7) In einer unteren Dreiecksmatrix sind die Hauptdiagonale und Elemente unterhalb von ihr belegt: a ij = 0, i < j. (2.8) Eine obere Dreiecksmatrix wird auch als rechte Dreiecksmatrix bezeichnet, da alle belegten Elemente im rechten, oberen Bereich angesiedelt sin. Für eine solche Matrix wird dann oft der Buchstabe R verwendet, bzw. entsprechend in der englischsprachigen Literatur die Bezeichnungen U ( upper ) verwendet. Eine untere Dreiecksmatrix wird auch als linke Dreiecksmatrix bezeichnet und dann - sowohl im Deutschen wie auch im Englischen - mit L ( lower ) abgekürzt. Wenn man die Definitionen 2.7 und 2.8 betrachtet, sieht man sofort, dass eine quadratische Diagonalmatrix gleichzeitig auch eine Dreiecksmatrix (und zwar sowohl eine obere, als auch eine untere Dreiecksmatrix) ist. Nicht-quadratische Matrizen, die die Forderung (2.8) erfüllen, haben keine strenge Dreiecksform. Solche Matrizen werden als Matrizen in Treppenform (im Englischen: echelon form) bezeichnet. Symmetrische und schief-symmetrische Matrizen Als symmetrisch bezeichnet man eine Matrix, wenn gilt und als schief-symmetrisch, wenn gilt a ij = a ji i, j {1...n} (2.9) a ij = a ji, i, j {1...n}. (2.10) Eine schief-symmetrische Matrix darf also der Hauptdiagonalen ausschließlich Nullen haben, da andernfalls die Forderung a ii = a ii nicht erfüllt wäre.

21 2.3. MATRIZENALGEBRA 15 Gleichheit von Matrizen Zwei Matrizen A und B sind genau dann gleich, wenn sie gleichen Typ haben und die Elemente an den entsprechenden Positionen in beiden Matrizen gleich sind, d.h. a ij = b ij, i {1...m}, j {1...n}. (2.11) Spur und Determinante Spur und Determinante sind nur für quadratische Matrizen definiert. Sie sind Funktionen, jeder eine bestimmte Zahl zu. Spur einer Matrix Die Spur einer quadratischen Matrix wird abgekürzt mit tr(a) (entsprechend dem englischen Ausdruck trace). Sie ist die Summe der Hauptdiagonal-Elemente der Matrix. Für eine (n x n)-matrix gilt also tr(a) = a 11 + a a nn. (2.12) Determinanten Die Determinante (genauer: die n-reihige Determinante) einer quadratischen Matrix (abgekürzt mit det(a)) ist rekursiv definiert über den Laplace schen 8 Entwicklungssatz: det(a) = A = = n a ik ( 1) i+k A (ik) i=1 n a ik ( 1) i+k A (ik) k=1 (2.13) für n > 1 und für n = 1. det(a) = a 11 (2.14) Die Matrix A (ik) erhalten wir aus A durch Streichen der i-ten Zeile und k- ten Spalte. Diese Matrix heißt daher auch Streichungsmatrix. Die Determinante A (ik) der Streichungsmatrix wird Minor genannt und das Skalar ( 1) i+k A (ik) ist der Kofaktor 9 (auch: algebraisches Komplement) von a ik in A. 8 Pierre-Simon Marquis de Laplace, französischer Mathematiker, Astronom und Physiker, Wir werden in Kapitel 6 noch eine Größe kennen lernen, die unglücklicherweise ebenfalls den Namen Kofaktor erhalten hat. Diese Größe und auch die dort definierten Kofaktormatrix hat jedoch eine komplett andere Definition.

22 16 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Wie man aus (2.13) erkennt, kann man die Determinante auf zwei verschiedene Arten errechnen: spaltenweise (obere Formel, der Index i ist der Laufindex) oder zeilenweise (untere Formel, k ist der Laufindex). Der jeweils andere Index darf beliebig gewählt werden und bleibt während der Berechnung fest. Man spricht auch davon, dass man die Determinante nach der k-ten Spalte entwickelt bzw. nach der i-ten Zeile entwickelt. Man wählt jene Spalte (Zeile), die die meisten Nullen enthält, um den Rechenaufwand zu minimieren. Die Determinante gibt Auskunft über einige wichtige Eigenschaften der Matrix; sie bestimmt (determiniert) sozusagen ihr Verhalten. Daher kommt auch ihr Name 10. Einige Regeln über Determinanten Beim Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) in A ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Die Addition (Subtraktion) eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) lässt die Determinante unverändert. Die Determinante einer Dreiecks- oder Diagonalmatrix ist das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen. Wenn zwei Zeilen (Spalten) in A gleich oder zueinander proportional sind, ist det(a) = 0. Hat eine Matrix eine Determinante gleich Null, so sagt man auch, sie hat eine verschwindende Determinante. Reguläre und Singuläre Matrizen Eine reguläre Matrix ist eine quadratische (n, n)-matrix mit nichtverschwindender Determinante. Eine singuläre Matrix hat eine verschwindende Determinante det(a) = 0. Zwei- und dreireihige Determinanten Die Determinante einer (2,2)-Matrix kann direkt angegeben werden: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 (2.15) Für (3,3)-Matrizen liefert die Regel von Sarrus 11 ebenfalls direkt das Ergebnis: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = +a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (2.16) a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a aus dem lat.: determinare = abgrenzen, bestimmen, festsetzen 11 Pierre Frédérique Sarrus, französischer Mathematiker,

23 2.3. MATRIZENALGEBRA 17 Für alle anderen Matrizen gibt es keine solchen Formeln. Ab einer (4,4)-Matrix muss also der Laplace sche Entwicklungssatz verwendet werden. Es wird sofort klar, dass der Aufwand für die Berechnung sehr schnell (nicht linear) wächst Matrizenoperationen Transposition Die Transposition ist die einfachste Matrizenoperation. Sie hat eine einzige Matrix als Parameter und stürzt der Matrix: Reihen und Spalten tauschen ihre Funktionen, Reihen werden also zu Spalten und umgekehrt. Die so entstandene transponierte Matrix erhält die Bezeichnung A T (wenn A die Ausgangsmatrix war). Manchmal wird in der Literatur auch die Bezeichnung A verwendet. ( a T ji ) := (aij ), i {1...m}, j {1...n} (2.17) Bei elementweiser Betrachtung kann man auch sagen, dass die transponiert Matrix durch Vertauschen der Indizes der Elemente der Ausgangsmatrix entsteht. Ein Problem der Matrizenschreibweise ist die Unterscheidung zwischen einem Spalten- und einem Zeilenvektoren. Bei allen folgenden Betrachtungen werden wir die Transposition zur Unterscheidung verwenden. Ein Vektor x bezeichnet dabei einen Spaltenvektor und x T einen Zeilenvektor. Mit Hilfe der Transposition können wir auch die Definitionen (2.9) und (2.10) über symmetrische und schief-symmetrische Matrizen neu formulieren: Eine Matrix ist symmetrisch, wenn gilt A = A T (2.18) und schief-symmetrisch, wenn gilt A = A T. (2.19) Jede beliebige quadratische Matrix A kann als die Summe einer symmetrischen Matrix B und einer schief-symmetrischen Matrix C dargestellt werden: mit der symmetrischen Matrix A = B sym + C ssym (2.20) B = 1 2 und der schief-symmetrischen Matrix C = 1 2 ( A + A T ) (2.21) ( A A T ). (2.22) Für die Berechnung benötigen wir allerdings noch Addition und Subtraktion von Matrizen.

24 18 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Addition und Subtraktion Addition und Subtraktion von Matrizen sind definiert als Addition bzw. Subtraktion der jeweiligen Elemente (also der Elemente mit gleicher Position) der beiden Matrizen: a 11 a 1n.. a m1 a mn A ± B = (a ik ) ± (b ik ) = (a ik ± b ik ), (2.23) b 11 b 1n a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n ±.. =... b m1 b mn a m1 ± b m1 a mn ± b mn Formal genügen Matrixaddition und -subtraktion den bekannten Rechenregeln für Addition und Subtraktion reeller Zahlen. Eine Einschränkung ist jedoch, dass sie offensichtlich nur für Matrizen desselben Typs definiert sind. Die Matrizenaddition ist assoziativ, d.h. und kommutativ (A + B) + C = A + (B + C) (2.24) A + B = B + A. (2.25) Das Transponieren einer Summe kann auch summandenweise vorgenommen werden: (A + B) T = A T + B T. (2.26) Die Nullmatrix 0 ist ist das neutrale Element der Matrizenaddition. Sie hat als Elemente ausschließlich Nullen. Die Addition einer beliebigen Matrix zur Nullmatrix (oder umgekehrt) ergibt wieder die Ausgangsmatrix: A + 0 = 0 + A = A. (2.27) Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar α ist definiert als α A = α (a ik ) := (α a ik ), (2.28) d.h. jedes Element aus A wird mit α multipliziert. Man kann somit natürlich auch aus einer Matrix einen Faktor 12 herausheben, der in allen Elementen enthalten ist. Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ist kommutativ und assoziativ. Für die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar und die Matrizenaddition gilt auch das Distributivgesetz. αa = Aα (2.29) α(βa) = (αβ)a (2.30) (α + β)a = αa + βa (2.31) α(a + B) = αa + αb (2.32) 12 Der Faktor kann ein Skalar oder auch eine beliebige Funktion sein. Es darf sich jedoch nicht um eine Matrix handeln.

25 2.3. MATRIZENALGEBRA 19 Matrizenmultiplikation und -potenzen Die Multiplikation zweier Matrizen ist definiert als ( n ) A B = (a i k) (b k j ) := a i k b k j = a i b j. (2.33) Das Produkt AB einer (m, n)-matrix A mit einer (n, p)-matrix B ist also die (m, p)-matrix C = AB, deren Elemente e ij als skalares Produkt der i-ten Zeile von A (des Zeilenvektors a i ) mit der j -ten Spalte von B (dem Spaltenvektor b j ) gebildet werden. Es ist offensichtlich, dass Matrizen nur dann miteinander multipliziert werden können, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix ist. Daher sind auch Potenzen einer Matrix (z.b. A 2, A 3, etc.) nur für quadratische Ausgangsmatrizen möglich. Zusätzlich wird auch klar, warum die Multiplikation mit einem Skalar unterschiedliche ist von der Multiplikation mit einer (1,1)-Matrix: Letztere ist nur in Ausnahmefällen (als Multiplikation mit einem Zeilen- bzw. Spaltenvektor) möglich. Ergibt das Produkt AB = 0 (die Nullmatrix), heißt das nicht, dass A oder B (oder gar beide) = 0 sind, sondern nur, dass mindestens eine der beiden Matrizen singulär ist. Ein Beispiel für einen solche Fall sind die beiden unten angegeben Matrizen (wobei die Matrix B die vierte Potenz der Matrix A ist): A = B = k= A B = Aus AB = AC kann außerdem nicht geschlossen werden, dass B = C; der umgekehrte Schluss hingegen stimmt immer: B = C = AB = AC (2.34) Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen sind AB und BA verschiedene Matrizen (sofern sie überhaupt auf beide Arten multiplizierbar sind). Es gilt zu beachten, dass es zwei Arten der Multiplikation gibt: von

26 20 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN rechts und von links. Das wird insbesondere beim Arbeiten mit Matrizengleichungen wichtig - man multipliziert stets beide Seiten in gleicher Weise mit einer Matrix: entweder beide Seiten von rechts oder beide Seiten von links. Die Matrizenmultiplikation ist aber assoziativ, d.h. (AB)C = A(BC) (2.35) Das neutrale Element der Matrizenmultiplikation heißt Einheitsmatrix I (von der englischen Bezeichnung identity matrix; manchmal - im Deutschen - auch als E bezeichnet). I ist eine quadratische Diagonalmatrix mit den Elementen Dabei steht δ ik für das Kroneckersymbol 13. I ik = δ ik. (2.36) δ ik = { 1 für i = k 0 für i k (2.37) Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix ist kommutativ und es gilt IA = AI = A. (2.38) Für Matrizenaddition und -multiplikation gilt das Distributivgesetz, d.h. A(B + C) = AB + AC (2.39) (A + B)C = AC + BC. (2.40) Für das Potenzieren von Matrizen gelten folgende Regeln: A p A q = A p+q (2.41) (A p ) q = A p q. (2.42) Unter Verwendung der Einheitsmatrix können wir die Multiplikation mit einem Skalar doch noch als Matrizenmultiplikation definieren: α A = (α I) A. (2.43) Die Multiplikation mit einem Skalar kann also auch durch eine Matrizenmultiplikation mit einer Diagonalmatrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen diesem Skalar entsprechen, erfolgen. Transponieren von Matrizenprodukten Wird ein Matrizenprodukt transportiert, so kann man stattdessen auch zunächst die Matrix transportieren und dann die Multiplikation in gestürzter Reihenfolge durchführen: (A B C... Z) T = Z T... C T B T A T. (2.44) 13 Leopold Kronecker, preußischer Mathematiker,

27 2.3. MATRIZENALGEBRA 21 Abbildung 2.2: Falk sches Schema zur Matrizenmultiplikation p D n B n C CD m A C=AB B A BCD ABCD Das Falk sche Schema Manchmal kann es vorkommen, dass man zwei oder mehr Matrizen von Hand multiplizieren muss (z.b. wenn die einzelnen Elemente nicht numerische Zahlen sondern beispielsweise Submatrizen sind). Dann ist eine von Falk 14 (1951) vorgeschlagene Anordnung nützlich, bei der jedes Produktelement c ik genau im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B erscheint (Abbildung 2.2 links). Die Falk sche Anordnung empfiehlt sich insbesondere bei der Berechnung von Produkten aus mehr als zwei Matrizen (z.b. ABCD). Baut man das Schema dabei von oben nach unten auf (vgl. Abbildung 2.2 rechts), so beginnt man die Rechnung mit dem letzten Faktor und arbeitet sich somit von hinten nach vorne. Determinante und Spur nach Matrizenoperationen Die Determinante einer (n, n)-matrix hat im Zusammenhang mit Matrizenoperationen folgende Eigenschaften: αa = α n A, (2.45) A = ( 1) n A, (2.46) AB = A B, (2.47) A = A T. (2.48) Aus (2.47) wird ersichtlich, dass das Produkt zweier Matrizen genau dann singulär wird, wenn zumindest eine der miteinander multiplizierten Matrizen singulär ist. Für die Spur einer Matrix gilt: 14 Sigurd Falk, deutscher Mathematiker, * 1920 (?) tr(a) = tr(a T ), (2.49)

28 22 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN tr(a + B) = tr(a) + tr(b), (2.50) tr(αa) = αtr(a). (2.51) Rechnen mit Submatrizen Elementare Matrizenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation können auch durchgeführt werden, wenn die Elemente der einzelnen Matrizen selbst wieder Matrizen (Submatrizen) sind. Dabei ist natürlich besonders darauf zu achten, dass die Dimensionen der Submatrizen miteinander korrespondieren ( Dimension einer Matrix ist hier sowohl im Sinne von Anzahl der Zeilen mal Anzahl der Spalten zu verstehen als auch im Sinne der physikalischen Einheiten der einzelnen Elemente). Die Gauß sche Transformation Unter der Gauß schen Transformation 15 einer rechteckigen (m, n)-matrix A versteht man das Produkt N = A T A. (2.52) Das Ergebnis ist eine quadratische, symmetrische (n, n)-matrix N. Die Elemente der Produktmatrix N entstehen aus dem skalaren Produkt zweier Spaltenvektor von A (oder eines Spaltenvektors mit sich selbst). Die Diagonalelemente sind stets positiv. Zusätzlich ist die Matrix positiv definit (bzw. semidefinit, wenn auch Diagonalelemente = 0 vorkommen). Positiv definit bedeutet, dass alle Subdeterminanten, die man durch Streichen der jeweils letzten k Spalten und Zeilen erhält (mit k=0 bis n-1 ; das sind also alle Minoren), 0 sind. Es gibt einige Hinweise darauf, dass eine Matrix positive definit ist: Die Diagonalelemente jeder positiv definiten Matrix sind positive reelle Zahlen. Jede Untermatrix einer positiv definiten Matrix ist positiv definit. Spur, Determinante und alle Minoren (Determinanten der Untermatrizen) einer positiv definiten Matrix sind positiv. Die Summe A + B zweier beliebiger positiv definiter Matrizen ist ebenfalls positiv definit. Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn ihre Eigenwerte positiv sind. Man kann auch ein Matrizenprodukt, z.b. PA, einer Gauß schen Transformation unterziehen: N = A T PA. (2.53) 15 Johann Carl Friedrich Gauß, deutscher Mathematiker, Astronom und Geodät,

29 2.3. MATRIZENALGEBRA 23 N ist dann ebenfalls wieder quadratisch, symmetrisch und positiv definit. Aus (2.47) und (2.48) folgt jedoch, dass N genau dann singulär ist, wenn A (oder P) singulär ist. Diese Eigenschaft wird uns noch in A2 beim geodätischen Datum beschäftigen Orthogonale Matrizen Orthogonale Matrizen sind quadratische Matrizen, bei denen die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) ein System orthonormaler Einheitsvektoren bilden. Das Skalarprodukt zweier beliebiger Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) ergibt immer 0 oder 1: q T i q k = δ ik mit δ ik dem Kroneckersymbol (siehe (2.34)). Anders ausgedrückt: Ist Q eine orthogonale Matrix, so gilt Q T Q = I bzw. Q T = Q 1. (2.54) Ist Q eine orthogonale Matrix, dann ist die Determinante det(q) = ±1. Dieser Schluss gilt jedoch nicht umgekehrt, also nicht jede Matrix mit det = ±1 ist orthogonal. Orthogonale Matrizen mit det = 1 werden auch als eigentlich orthogonal, jene mit det = 1 als uneigentlich orthogonal bezeichnet. Die Definition über die Orthonormalität gilt sowohl für die Spaltenvektoren als auch für die Zeilenvektoren, d.h. wenn Q eine orthogonale Matrix ist, dann auch Q T. Die Multiplikation orthogonaler Matrizen ist außerdem kommutativ. Daher gilt: Q T Q = QQ T = I. (2.55) Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist wieder eine orthogonale Matrix. In der Vektorrechnung heißen Vektoren, die aufeinander normal stehen und die Länge 1 haben, orthonormal. In der Matrizenrechnung ist hingegen für Matrizen nach obiger Definition nur der Begriff orthogonal üblich (was eigentlich nur auf die Orthogonalität hindeutet, nicht aber auf die Einheitslänge von 1). Sind jedoch Vektoren nur orthogonal und nicht auch gleichzeitig orthonormal, so bilden sie keine orthogonale Matrix, denn det(q) ±1 und Q T Q I. Auch bei rechteckigen Matrizen können die Spalten oder Zeilen orthonormale Vektoren sein. Die Bezeichnung Orthogonalmatrix ist jedoch nur für quadratische Matrizen vorgesehen (für rechteckige Matrizen sind weder Determinante noch Inverse definiert) Inversion Als inverse Matrix oder Kehrmatrix einer quadratischen Matrix A ist die Matrix A 1 mit folgender Eigenschaft: AA 1 = A 1 A = I. (2.56)