Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe. Übungen Regelungstechnik 2

Transkript

1 Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow Übungen Regelungstechnik 2 Inhalt der Übungen: 1. Grundlagen (Wiederholung RT1) 2. Störgrößenaufschaltung 3. Störgrößennachbildung 4. Nichtlinearitäten im Regelkreis 5. Ausnutzen von Zweipunkt-Verhalten 6. Aufbau eines RRG mit Hilfe von OV 7. Zeitdiskrete Regelsysteme Aufgaben zum Stoff der Vorlesung und der Übungen. Blatt 1

2 Umdruck 1: Grundlagen 1.1 Steuerung - Regelung Technische Systeme sollen häufig so beeinflusst werden, dass bestimmte zeitveränderliche Systemgrößen ein vorgeschriebenes Verhalten aufweisen. Beispielsweise soll eine Heizanlage die Temperatur eines Raumes auf einen bestimmten Wert einstellen. Diese Aufgabe kann mit Hilfe einer Steuerung oder Regelung gelöst werden. Bild 1.1: Steuerung Bild 1.2: Regelung Da eine Regelung immer eine Rückführung für den Ist-Wert besitzt, kann es in Folge dieser zu Stabilitätsproblemen im System kommen, eine Stabilitätsuntersuchung ist daher unumgänglich. Gemäß DIN wird eine Regelung wie folgt definiert: Das Regeln, die Regelung, ist ein Vorgang, bei dem fortlaufend eine Größe, die Regelgröße (zu regelnde Größe), erfasst, mit einer anderen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird. Blatt 2

3 1.2 Beschreibung der Regelstrecke Die Laplace-Transformation Häufig lässt sich der Zusammenhang zwischen den einzelnen Zustandsgrößen, bzw. zwischen der Stellgröße und der Regelgröße nur mit Hilfe von Differentialgleichungen beschreiben. Mit Hilfe der Laplace-Transformation können diese Differentialgleichungen in algebraische Ausdrücke umgewandelt werden, wodurch sich die Rechnung erheblich vereinfacht. Folgender einfacher Zusammenhang kann verwendet werden: dx p x dt Wichtig: Diese einfache Überführung aus dem Laplace- in den Zeitbereich gilt nur wenn die Anfangsbedingungen Null sind! Damit lassen sich selbst komplizierte physikalische Zusammenhänge in ein übersichtliches Blockschaltbild überführen, vorausgesetzt sie sind linear oder lassen sich linearisieren und sind zeitinvariante. Man spricht dann von LTI-Modellen (LTI = linear time invariante) Das regelungstechnische Blockschaltbild Da das Vorgehen zum Erstellen eines regelungstechnischen Blockschaltbildes ausführlich in RT1 behandelt wurde, ist der Ausgangspunkt für Untersuchungen in RT2 immer ein gegebenes Blockschaltbild, welches meist auf einem LTI-Modell basiert. Bild 1.3: Regelungstechnisches Blockschaltbild einer Regelstrecke Wichtige Bezeichnungen: Abkürzung y x,x 1 2 x Bezeichnung Stellgröße Zustandsgrößen Regelgröße Blatt 3

4 1.2.3 Die Übertragungsfunktion Die Übertragungsfunktion der in Bild 1.3 dargestellten Regelstrecke lautet: F(p) x 1 = = s OR y 2 1 p(t1 T 2) p TT 1 2 Mit Hilfe der Laplace-Transformation kann der Zusammenhang der Größen im Zeitbereich angegeben werden: 2 dx1 d x y= x + (T + T ) + TT dt 1.3 Die Zustandsregelung Die in der Vorlesung und in den Übungen zu RT2 am häufigsten eingesetzte Regelung ist der Regler mit Hilfe eines vollständigen, zeitlich konstant gewichteten Satzes von Zustandsvariablen (kurz: Zustandsregelung). Das bedeutet, dass jede Zustandsgröße an das Regel- Rechengerät (RRG) zurückgeführt und gewichtet wird. dt Bild 1.4: Zustandsregelung Wichtige Bezeichnungen: Abkürzung w K,K 1,K 2 Bezeichnung Führungsgröße Einstellparameter Blatt 4

5 1.3.1 Die Führungsübertragungsfunktion In dem in Bild 1.4 dargestellten Regelsystem kann ein Zusammenhang zwischen der Führungsgröße w und der Regelgröße x in Form einer Übertragungsfunktion hergeleitet werden. Diese wird als "Führungsübertragungsfunktion" F g bezeichnet. x K 1 F(p) g = = w 1+ KK1+ KK T 2 1+ T2 + TKK TT 1 + p + p KK1+ KK2 1+ KK1+ KK2 Die Einstellparameter K, K 1, K 2 können nun theoretisch frei gewählt werden, soll aber ein gewünschtes Einschwingverhalten erreicht werden, so kann F g mit einer Sollübertragungsfunktion verglichen werden und die Werte der Einstellparameter mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs ermittelt werden. Die Sollübertragungsfunktion wird dabei in folgender Form aufgestellt, wobei n für die Ordnung der Regelstrecke steht (Anzahl der Glieder mit Zeitverhalten): x! 1 g = = Kw w 2 2 n n 1+ pt + p q2t p qnt F(p) Wichtige Bezeichnungen: Abkürzung K w T q 2,q 3,...,q n Bezeichnung Führungsbeiwert im stat. Zustand (meist gilt: Kw = 1) Zeitmaßstab des Regelsystems Parameter für das dyn. Verhalten Alle oben genannten Parameter zusammen, werden als Eigenschaftsparameter bezeichnet Stabilität Wie bereits erwähnt muss ein Regelsystem, auf Grund der Rückführung immer auf stabiles Verhalten hin untersucht werden, d.h. die Regelgröße x erreicht einen stationären Endzustand. Für die Stabilität sind die Polstellen der Übertragungsfunktion zu untersuchen. Sind die Realteile aller Polstellen negativ liegt stabiles Verhalten vor. { } Re p 1,p 2,...,pn < 0 => Stabiles Verhalten Blatt 5

6 1.3.3 Bestimmung des eingeschwungenen Zustands mit Hilfe einer Übertragungsfunktion Eine Fragestellung in RT2 ist, ob und wie stark sich der stationäre Wert einer Regelgröße in Abhängigkeit der Führungsgröße und einer oder mehrerer Störgrößen ändert. Diese Untersuchung kann mit Hilfe von Übertragungsfunktionen und dem Endwertsatz der Laplace- Transformation durchgeführt werden. Dabei wird angenommen, dass sich die Führungs- und Störgrößen sprungförmig ändern. Der Endwertsatz der Laplace-Transformation lautet: f(t) t = lim p f(p) p 0 Angewandt auf das Beispielregelsystem aus Bild 1.4: x 1 F(p) = = K g w w pt+ p q2t 1 x(t) = lim p K t w w(p) p pt+ p q2t x(t) t lim p K 1 1 w p pt p q w = + + p 2T x(t) K w t = w Die Anwendung des Überlagerungssatzes erlaubt die Untersuchungen mehrere Einflussgrößen auf die Regelgröße x. Blatt 6

7 1.4 Weitere Regelsysteme Die Zustandsregelung kann um einen Bypass-Integrierer erweitert werden, um eine bleibende Regelabweichung auf Grund von Störungen oder Parameterunsicherheiten auszugleichen. Bild 1.5 zeigt das Blockschaltbild einer Zustandsregelung mit überlagertem Bypass- Integrierer. Bild 1.5: Zustandsregelung mit überlagertem Bypass-Integrierer In der Praxis trifft man sehr häufig auf die sogenannten "herkömmlichen Regler", deren Hauptvertreter der PI-Regler ist. Bei herkömmlichen Reglern wird nur die Regelgröße an das RRG zurückgeführt, was den Erfassungsaufwand erheblich reduziert. Allerdings ist auf Grund fehlender Freiheitsgrade das Einschwingverhalten des Regelsystems nicht mehr frei einstellbar. Bild 1.6: PI-Regelsystem Auch bei diesen Regelsystemen kann eine Führungsübertragungsfunktion aufgestellt werden mit Hilfe derer die Einstellparameter dimensioniert werden können. Des weiteren gelten das obengenannte Stabilitätskriterium und der Endwertsatz der Laplace-Transformation. Blatt 7