Seminar Netzwerkanalyse. Kapitel 12 Vergleiche von Netzw erken. Sommersemester 2005 Universität Trier

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1 Kaptel 2 Vergleche von Netzw erken Sommersemester 2005, Kaptel 2.0 Allgemenes

2 Allgemenes Graph-Isomorphsmus Problem (GI) besteht darn festzustellen, ob zwe gegebene Graphen somorph snd In der Praxs extrem selten, dass zwe Graphen somorph snd Enfacher: Nachwes enes Ncht-Isomorphsmus, prüfe dazu ob Anzahl der Kanten und Knoten beder Graphen, gleche Anzahl von Zusammenhangskomponenten, En- bzw. Ausgangsgrade der Knoten, etc. Bs jetzt jedoch kene Bedngung, de n polynomaler Zet berechenbar st Legt en Ncht-Isomorphsmus vor hrer Ähnlchket später Untersuchung zweer Graphen hnschtlch Anwendung: z.b. Cheme, etc Sete 3 Allgemenes (cont( cont.) Defnton 2.0.: Zwe ungerchtete enfache Graphen G (V,E ) und G 2 (V 2,E 2 ) snd somorph, wenn ene bjektve Knoten Abbldung : V V2 exstert, d.h ene Bjekton mt u,v V : u,v E (u), (v) E2 Bespel 2.: Zwe somorphe Graphen Sete 4 2

3 Kaptel 2. Graph - Isomorphsmen 2. Komplextät von GI? Problem set den Sebzger: Welchen Komplextät hat GI? Scher: GI NP, aber: st GI polynomell lösbar oder st GI NP - vollständg? Obwohl P = NP glt, gbt es Probleme, deren Komplextät zwschen P und NPC legen. Vermutung: GI st en solches Problem, da trotz ntensver Suche ken polynomeller Algorthmus gefunden Ansatz der Komplextätstheore: Enführung ener neuen Klasse Isomorphsmus vollständg (somorphsm complete) Sete 6 3

4 2. Algorthmen zum Lösen von GI In der Praxs haupsächlch zwe Methoden:. drekte Varante: man nmmt de zu verglechenden Graphen und versucht enen Isomorphsmus zu berechnen Vortel: be mehreren Isomorphsmen, nur ener muss gefunden werden Backtrackng Algorthmus 2. Dese Varante defnert en kanonsches Label C, so dass glt: G und G 2 snd somorph gdw. C(G )=C(G 2 ) Vortel: berets berechnete Informatonen können recycled werden McKay s Nauty Algorthmus Sete Backtrackng Algorthmus Se nv : V ene I nvaranten - Funkton, z.b. nv(v) = d(v) Se (V,nv) = (V,...,V ) de geordnete Knotenpartton n von V bzgl. nv, d.h. v,w V : nv(v) = nv(w) und für alle v V mt < j: nv(v) < nv(w). Engabe: Zwe Graphen G = (V= { v,...,v }, E ) und G = (W= { w,...,w }, E ), n n 2 de auf Isomorphe geprüft werden. Ausgabe: Ene Permutaton von {,...,n}, so dass v w n en Isomorphsmus zwschen G und G oder "NON - I SOMORPHI C" (), Sete 8 4

5 2.. Backtrackng Algorthmus Funktonswese: Der Algorthmus entwckelt den Isomorphsmus schrttwese aus Untergraphen von G und G 2 und stoppt, wenn kener gefunden werden kann. Isomorphsmen n Untergraphen werden herbe mt ' bezechnet. Zunächst wrd de Knotenmenge V mt der klensten Kardnaltät bestmmt, W hat deselbe Kardnaltät. Es wrd de klenste Menge gewählt, wrd 'NON-ISOMORPHIC' festgestellt, st man fertg. In der for-schlefe wrd de Abbldung bestmmt. Sete Backtrackng Algorthmus Vorausetzung: Intal werden (V,nv) = (V,...,V ) und (W,nv) = (W,...,W ) bestmmt. k k' Wenn k k' oder V W für rgendwelche k glt, so können bede Graphen ncht durch enen Isomorphsmus aufenander abgebldet werden. Daher wrd davon ausgegangen, dass k = k' und V W gelten. Der Algorthmus wrd mt I SOMORPH (G, G 2, (V,nv), (W, nv), ) aufgerufen. Sete 0 5

6 m 2.. Backtrackng Algorthmus I SOMORPH (G, G 2, (V,..., V m ), (W,..., W m ), f (V,...,V ) then return ' compute V V V V < l< m j j l let V v, v..., W w, w for j =,..., V f ' extended by do subgraphs nduced by V \ V v and W \ W w j s an somorphsm between the k k j branch = ISOMORPHIC ( G, G,(V,...,V\v,...,V ), j m then ') m (W,...,W\w,...,W ), ' j f branch 'NON-somorphc' then return branch return 'NON-somorphc' ) Sete 2..2 McKay s Nauty Algorthmus NAUTY = No AUThomorphsm Yet? McKay s Idee: Berechnung enes kanonschen Labels Für enen ungerchteten Graphen G=(V,E) mt V= v, v,..., v () (2) (n) n se Adj(G, ) de Adjazenzmatrx von G bezgl. der Knotenordnung v, v,..., v. st dabe ene Permutaton von,..., n. C adj (G) = mn Adj(G, ) nterpretert. Sn 2 wrd dabe als Bnärzahl der Größe n Labels C (G ) und C (G ) snd glech G und G snd somorph adj adj 2 Sete 2 6

7 2..2 McKay s Nauty Algorthmus Berechnung (kanonsches Label): Nav: betrachte alle n! Knoten-Permutatonen, für jede Anordnung vergleche zwe Adjazenzmatrzen der Größe n x n ncht durchführbar n akzeptabler Zet (sogar für klene n) McKay: berechnet en Label C(G), Nauty-Algorthmus berechnet de klenste Matrx, betrachtet jedoch ncht alle n! Anordnungen, sondern nur spezelle. Dese spezelle Anordnungen werden durch de Refnement Procedure bestmmt. Sete McKay s Nauty Algorthmus Berechnung (kanonsches Label): McKay (cont.): Um alle Knotenanordungen zu bestmmen, benutzt der Algorthmus enen Suchbaum T, dessen Blätter den Anordnungen entsprechen. Der Algorthmus traversert T und untersucht alle Adjazenzmatrzen, de durch Knotenanordnungen besuchter Blätter erzeugt werden. Herbe können Unterbäume (Subtrees) von T von der Traverserung ausgeschlossen werden. Dese Unterbäume enthalten Knotenanordnungen, deren Adjazenzmatrzen größer snd als de berets gefundenen. Dese Methode führt zu enem kanonschen Label. Sete 4 7

8 2..2 Grundlagen der Gruppentheore Permutaton ener n-elementgen Menge wrd mt S n bezechnet Für ene abgeschlossene Gruppe G und ene Untermenge F G, st das Gruppenprodukt von F n G de Untergruppe F mt F = f G m f,..., f F : f = f *... * f m m De Elemente von F snd de Generatoren von G. Ene Gruppe G operert auf ener Menge M bzgl. ener Funkton : G M M Sete Grundlagen der Gruppentheore Ene Gruppe G operert auf ener Menge M bzgl. ener Funkton : G M M. Für bel. f,g G, x M und das neutrale Element e glt: (e, x) = x und (f * g, x) = (f, (g, x)) Dabe nduzeren G und ene Äquvalenzrelaton auf M: x y f G : (f, x) = y (f, x) f G (Äquvalenzklasse von x) wrd als Orbt bezechnet. Menge aller Äquvalenzklassen von M bezüglch G und wrd als Orbt - Partton bezechet. Sete 6 8

9 2..2 Der Suchbaum T Ausgangsbedngung: G = (V,E) se der Graph, dessen Label C(G) berechnet werden soll Kardnaltät von V se n Intale Indexerung der Knoten von V: V= { v,...,v n} Defnton 2.. (Knotenpartton): Ene Knotenpartton von G st ene geordnete Lste =(V,...,V) von Knotenuntermengen V V, den sog. Zellen mt. V V, j r 2. V=V,...,r j 3. V, r r Sete Der Suchbaum T Jeder Knoten entsprcht ener Knotenpartton REFINEMENT PROCEDURE (spezfzert Knotenparttonen): f( ) st ene Verfenerung von, d.h. für jede Zelle V' aus f( ) ex. ene Zelle V aus mt V' V. Für en Knoten v V und ene Knotenmenge W V se d(v, W) de Anzahl der Knoten n W, de adjazent zu v snd..schrtt : Gestartet wrd mt der Unt-Partton ( = (V) ). Berechnung von d(v,v) (Grad jedes Knoten) Ergebns : Partton = (W,...,W ) j Sete 8 9

10 2..2 Der Suchbaum T 2.Schrtt : Jede Zelle von wrd verfenert. Für jeden Knoten v aus W wrd der Vektor (v) = (d(v, W ),..., d(v, W )) bestmmt und de Knoten von W desbezüglch geordnet (lexkographsche Ordnung). Ergebns : Partton 2 j 3. bs +. Schrtt: Partton ensteht aus,... usw bs letztlch ene Verfenerung von st + Sete 9 REFINEMENT PROCEDURE f( ) : new = repeat untl old return = new let = (V,...,V ) old r' for = to r' do for each v compute V do 2..2 Der Suchbaum T (v)= (d(v,w ),...,d(v,w )) r' partton V nto W,..., W such that for v W, w W : replace V n new = new old j k l by W,...,W new j (v) < (w) k < l Sete 20 0

11 2..2 Der Suchbaum T Wurzel = (V,...,V r ) entsprcht der Verfenerung der Unt-Partton Ist dskrete Partton, hat T nur enen Knoten, anderenfalls werden de de Nachfolger von we folgt abgeletet: Se V= v,...,v de erste ncht trvale Zelle von, dann hat ' ' m m Nachfolger ( f( \v ),...,f( \v ) ) ' ' m ' ' ' f( \ v ) = f( (V,..., V -, v j, V \ v j, V +,..., V r ) ) Somt Testen aller Möglchketen der Verfenerung Sete Der Suchbaum T Bestmmung aller Nachfolger von Knoten ' T mt selber Vorgehenswese, sofern ' kene dskrete Partton st alle Blätter von T snd dskrete Parttonen De Ordnung ener solchen dskreten Partton ( v,..., v ), S () (n) n bestmmt de Adjazenzmatrx des entsprechenden Blattes Mc Kay: Label C(G) st de klenste Adjazenzmatrx unter allen Blättern Sete 22

12 2..2 Suchbaum T (Bespel) Verfenerungsstufen : Graph G V V 7 V 2 V 5 V 3 V 4. v, v, v, v, v, v, v v, v, v, v, v, v, v v, v, v, v, v, v, v v, v, v,v, v, v, v V 6 v, v 2, v 3,v 4, v 5, v 6, v7 Suchbaum T v, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v7 v, v 2, v 4, v 3, v 5, v 6, v7 Sete Suchbaum T Theorem 2..2: G und G senen zwe ungerchtete Graphen. C(G ) und C(G ) seen de Labels, abgeletet von den korresponderenden Suchbäumen. Dann glt: C(G ) und C(G 2 ) G G2 Herbe st klar, dass zwe ncht-somorphe Graphen ncht dasselbe Label haben können. Sete 24 2

13 2..2 Beschneden des Suchbaums T Nauty: kene explzte Berechnung des Suchbaums T Stratege: möglchst vele Unterbäume von der Suche auszuschleßen Algorthmus merkt sch de aktuell klenste Adjazezmatrx A mn: Bem Besuch enes Blattes l wrd geschaut, ob A l <A mn glt und ggf. A l =A mn gesetzt am Ende: A mn hat Label C(G) Sete Beschneden des Suchbaums T Algorthmus merkt sch ebenfalls de Untergruppe Automorphsmus-Gruppe von G. t (G) =,..., (t) (t) snd, de bs zur Zet t berechnet wurden t (G) der,wobe,..., alle Automorphsmen Seen w,...,w und w,...,w de Knotenordnungen zweer ' ' n n Blätter. Dann st : w w ', =,...,n en Automorphsmus 2 3 (a) G (b) G Sete 26 3

14 2..2 Beschneden des Suchbaums T Defnton 2..3 (Lneare Ordnung der Knoten von T): Seen, zwe unterschedlche Knoten von T und se der letzte Vorfahre beder Knoten. Es glt: ' < ' wenn = oder wenn für zwe Knoten v und v n der ersten ncht-trvalen Zelle von j, T( \v )und T( \v ) glt < j 2 j mt f( \v ) <j f( \v j ) 2 Sete Beschneden des Suchbaums T Defnton 2..4 (Äquvalenzrelaton): Seen = (V,...,V ) T und (W,...,W ) T. m 2 m Es glt: gdw. Automorphsmus Aut(G) und ene Permutaton S, so dass (V) W für =,...,m. m () Theorem 2..5: Se T und seen T und T zwe Unterbäume von T, welche an den Knoten und "hängen". Dann glt: Für jeden Knoten T T mt ' ' ' ' 2 Sete 28 4

15 2..2 Beschneden des Suchbaums T Konsequenz aus Theorem 2..5: Der Unterbaum T an Knoten 2 2 kann ausgeschlossen werden, wenn en Knoten exstert, mt '< ' und We wrd t ( G) angew andt, um äquvalente nnere Knoten zu fnden? Für Knoten v V, st (v) (G) der Orbt von v bzgl. (G). ( G) se de Orbt - Partton von V zur Zet t. Wrd t t en Automorphsmus gefunden, wrd (G) aktualsert. (G) wrd gröber, der neue Automorphsmus vergrößert wobe Knoten Aquvalenzen aufwesen können. t t t t (G), Sete Beschneden des Suchbaums T r m Theorem 2..6: Se = (V,...,V ) ' ' T und V= v,...,v de erste nchttrvale Zelle von. Legen v, v ' t ' j ' ' j V m selben Orbt von, dann ex. en Automorphsmus (G), der f( \v ) f( \v ) zegt. t Sete 30 5

16 2..2 Beschneden des Suchbaums T Mt Theorem 2..6 kann der Baum beschntten werden: Algorthmus errecht enen Knoten T, dessen erste ncht-trvale Zelle V st. zerlegt ene Partton von V n Zellen, so daß jewels t zwe Knoten deser Zellen m selben Orbt legen. Dese Partton wrd mt t V bezechnet. ' Theorem 2..6 nur en Nachfolger T( \ v ) jeder Zelle t V betrachten ' v hat dabe den klensten ntalen Index n deser Zelle Sete Beschneden des Suchbaums T NAUTYALGORI THM (G = (V,E), V = v,..., v n ) process ( = (V,...,V )) f r=n then l r dentfy V = v,..., V = v wth vertex order v,...,v ' ' ' ' n n n compute adj.matrx A nduced by v,...,v f A = nl then else A = A, vertex_order(a )= v,...,v ' ' l l n A = A, vertex_order(a )= v,...,v ' ' n ' ' mn mn n f A > A then A = A,vertex_order(A )= v,...,v else... ' ' mn mn mn n Sete 32 6

17 2..2 Beschneden des Suchbaums T... = nl else f A = A then l compute automorphsm by vertex_order(a )= v,...,v mn l mn ' ' l n f A A and A = A then f let V= v,...,v ' ' m compute automorphsm by vertex_order(a nl then (G) = update (G) )= v,...,v ' ' mn n nduced nduced '' '' m' ' for j= to m do check jump back be the frst non-trval cell of let v,...,v be the mnmul cell representatves of V '' process (f( \v j ) Sete Problematk von GI Problem: Komplextätsklasse von GI? Zel: GI n polynomaler Zet zu lösen! Frage: Exstert überhaupt en polynomaler Algorthmus? Vorgehenswese: we NAUTY, jedoch Benutzung ener anderen REFINEMENT- Prozedur und Berechnung nur enes Blattes des Suchbaums. Sete 34 7

18 2..3 Problematk von GI Verenbarungen: Se das berechnete Blatt m Suchbaum G, welches C(G ) 2 k defnert. Se C(G ) defnert. ' ' k k' das berechnete Blatt m Suchbaum G, welches ' k 2,..., und,..., seen de Knotenparttonen, de berechnet wurden, um und zu erhalten. k ' k Dann glt : k = k' und für =,...,k: und stmmen bzgl. Zellenanzahl und Kardnaltät der enzelnen Zellen überen ' Sete Problematk von GI Verenbarungen (cont.): Ferner soll für = (V,...,V ) und = (V,...,V ) und für jedes ' ' ' r r Paar V v,..., v, V v,..., v folgendes gelten: ' ' ' j m j m Für alle (v, v') V V exstert en I somorphsmus zwschen G und G mt (v) = v' ' j O.g. Verenbarung Berechnung nur enes Blattes ' Egal, welche Knoten v,v' aus und gewählt werden Sete 36 8

19 2..3 Problematk von GI Bespel: demonstrert de Schwergket GI n polynomeller Zet zu lösen Bespelgraph G=(V,E) st regulär d(v,v) = d(w,v) für alle Knoten v,w Unt-Partton wrd durch f ncht verfenert Kopen G und G 2 von G : Nmmt man v aus V, um C(G ) herzuleten und nmmt man v aus G um C(G ) zu berechnen, so 2 2 kommt man zum Schluss, dass G und G ncht somorph snd FALSCH v 3 v v 2 Bespelgraph G regulärer Graph (jeder Knoten hat 3 Nachbarn) Sete 37 Kaptel 2.2 Ähnlchketen be Graphen 9

20 2.2 Allgemenes Graph - Isomorphsmus Haben zwe Graphen ene dentsche Struktur? Graph - Ähnlchket Spezfzert we ähnlch Graphen snd, gbt Methoden Ähnlchketen und Dstanzen zu berechnen Defnton 2.2.: Seen G, G und G Graphen. Ene Funkton d:g 3 heßt metrsche Graph-Dstanz, wenn glt: Reflexvtät: d(g, G )= 0 G G (mplzert Lösung für GI) Symetre: d(g, G )= d(g, G ) 2 -Ungle chung: d(g, G 2)+ d(g2, G 3) d(g, G 3) G 0 Sete Allgemenes (cont( cont.) Alle Graph-Dstanz Metrken snd schwer zu berechnen (sehe Reflexvtät) Im folgenden sollen dre Typen zur Ähnlchketsberechnung zwschen Graphen vorgestellt werden: zwe metrsche Typen: o Grösse von maxmalen Untergraphen o Dfferenz n der Länge korresponderender Pfade anderer Ansatz: o Ähnlchket zweer Graphen, durch de Anzahl der Operatonen, um enen Graph n den anderen zu transformeren Sete 40 20

21 2.2. Edt Dstance Gegeben st ene Anzahl von Operatonen; de Dstanz zweer Graphen st herbe de mnmale Anzahl von Operatonen, um enen Graphen n den anderen zu transformeren Typsche Operatonen: Enfügen, Löschen und Ersetzen von Knoten und Kanten Operatonen werden ncht-negatve Kosten zugewesen, um spezellen Voraussetzungen zu genügen Dstanz: mnmale Kosten über alle Operatonen, um enen Graphen n den anderen zu überführen Für manche Kombnatonen von Operatonen und Kosten genügt de Dstanz-Metrk (mplzert: Ähnlchketsproblem st genauso schwer lösbar we GI) Aber: Dstanz st effzent berechenbar für ene enfache Menge von Operatonen Sete Bespel Vortel: enfache Handhabung Nachtel: lefert bedeutungslose Resultate Erlaubte Operatonen: Enfügen von Knoten Kosten (en (solerter) Knoten wrd n den Graph engefügt) Löschen von Knoten Kosten (en (solerter) Knoten wrd gelöscht) Enfügen von Kanten Kosten 0 (neue Kante zwschen zwe wllkürlch gewählten Knoten) Löschen von Kanten Kosten 0 (Kante wrd aus Graph gelöscht) d Bespel= V(G ) V(G2 ) Dstanz herbe de Dfferenz der Knotenanzahl beder Graphen Sete 42 2

22 2.2. Bespel 2 Engeführt von Papadopoulos und Manolopoulos Erlaubte Operatonen (alle haben Kosten ): Enfügen von Knoten (en (solerter) Knoten wrd n den Graph engefügt) Löschen von Knoten (en (solerter) Knoten wrd gelöscht) Update ener Kante (en Endknoten ener Kante wrd geändert) Enfügen und Löschen von Kanten benötgen zwe Kanten- Updates Sete Bespel 2 (cont( cont.) Angewandt auf untenstehende Graphen glt: G n G 2 transformeren benötgt zwe Operatonen (zwe Kanten-Updates) G n G 3 transformeren benötgt dre Operatonen (zwe Kanten-Updates und Enfügung enes Knoten) Ergebns: G st ähnlcher zu G 2 als zu G 3 (a) G (b) G 2 (c) G 3 Sete 44 22

23 2.2.2 Dfferenz n der Pfadlänge Dese Methode der Ähnlchketsbestmmung st en Bespel ener Graph-Dstanz-Metrk. Enfache Defnton, aber: schwer zu berechnen Im folgenden werden für alle Knotenpaare de Summe der Dfferenzen der Längen korresponderender Pfade betrachtet. Daher: Betrachtung nur solcher Graphen mt glecher Anzahl von Knoten Sete Defntonen Seen G und G zwe somorph verbundene Graphen mt Isomorphsmus : V(G ) V(G ). Zwe Knoten n G snd adjazent, wenn hre somorphen Knoten n G adjazent snd. D.h.: u,v V(G ) : u,v 2 E(G ) (u), (v) E(G ) Ene äquvalente Formulerung, ausgedehnt auf wllkürlch gewählte Knotenpaare, st: u,v V(G ) : d (u, v) = d ( (u), (v)) G G2 Sete 46 23

24 Defnton 2.2.2: Defntonen Für zw e verbundene Graphen G und G m t glecher Anzahl von Knoten und ener Bjekton : V( G ) V( G ) defneren w r de -Dstanz d m t: d ( G, G ) d (u, v ) d ( (u), ( v ) ) G G2 u,v V( G ) V( G ) w obe de Sum m e über alle ungeordneten Knotenpaare von G erm ttelt w rd. Defnton 2.2.3: Für zw e verbundene Graphen G und G m t glecher Anzahl von Knoten defneren w r de Pfad-Dstanz m t: d (G, G ) m n d (G, G ) PATH w obe de Menge aller Bjektonen zw schen V(G ) u 2 nd V(G ) st. Sete Bespel Se G untenstehender Graph und G 2 en Kres aus ver Knoten. symmetrschen Struktur nur zwe näquvalente Abbldungen bzgl. der Pfaddstanzen (sehe und 2 ) Abbldungen, 2 : V(G ) V(G 2 ) mt j = j; j= 4 beschreben dese Es glt: d (G, G ) 4 und d (G, G ) 8 2 d PATH (G, G 2) (a) G 3 4 (b) 4 2 (c) 2 Sete 48 24

25 2.2 Berechnung der Pfad- Dstanz Zusammenfassung:. Berechnung der Dstanzen für alle Paare von Knoten n beden Graphen (all-pars shortest path problem) 2. Berechnung der -Dstanz für ene gegebene Bjekton (n Zet O(n 2 ) ) 3. Ermtteln derjengen Bjekton mt dem klensten Wert. Sete Größe maxmaler Untergraphen Wederholung: En Graph G' = (V',E') st en Untergraph enes Graphen G = (V,E), wenn V' V und E' E glt. G' st en nduzerter Untergraph von G, wenn E' alle Kanten e E benhaltet, de Knoten aus V' verbnden. Defnton 2.2.4: Seen G und G ungerchtete Graphen. Ene njektve Funkton : V(G ) V(G ) st en Untergraph- 2 2 Isomorphsmus von G zu G, wenn en nduzerter Untergraph G ' G exstert, so dass en Graph - Isomorphsmus zwschen G und G st. Sete 50 25

26 2.2.x Defntonen Wederholung: En Graph G' = (V',E') st en Untergraph enes Graphen G = (V,E), wenn V' V und E' E glt. G' st en nduzerter Untergraph von G, wenn E' alle Kanten e E benhaltet, de Knoten aus V' verbnden. Defnton 2.2.4: Seen G und G ungerchtete Graphen. 2 2 Ene njektve Funkton : V(G ) V(G ) st en Untergraph- Isomorphsmus von G zu G, wenn en nduzerter Untergraph G ' G exstert, so dass en Graph - Isomorphsmus zwschen G und G st. Sete x Defntonen Defnton 2.2.5: Seen G und G ungerchtete Graphen. En nduzerter Untergraph S von G und G, wenn en Untergraph-Isomorphsmus von S zu G zu G exstert Defnton 2.2.6: Seen G und G ungerchtete Graphen. En nduzerter Untergraph S von G und G st maxmal, wenn ken anderer nduzerter Untergraph mt mehr Knoten exstert. Wr bezechnen desen als "maxmal nduzerter Untergraph" (MCIS) und schreben mcs(g, G ) Sete 52 26

27 2.2.x Defntonen En Graph G'=(V',E') st en kanten-nduzerter Untergraph des Graphen G = (V,E), wenn E' E glt, und V' nur de nzdenten Knoten der Kanten n E' benhaltet. Verglech kanten und knoten-nduzerter Graphen: (a) kanten- nduzert (b) knoten- nduzert (c) knoten- und kanten- nduzert (d) ncht nduzert Sete x Defntonen Defnton 2.2.7: Seen G und G ungerchtete Graphen. Ene njektve Funkton : V(G ) V(G ) st en kanten Untergraph-Isomorphsmus von G zu G, wenn en kantennduzerter Untergraph S G exstert, so dass en Graph - Isomorphsmus zwschen G und S st 2 Defnton 2.2.8: Seen G und G ungerchtete Graphen. En Graph S st en Kanten-Untergraph von G und G, wenn en Kanten Untergraph-Isomorphsmus von S nach G und G exstert Sete 54 27

28 2.2.x Defntonen Defnton 2.2.9: Seen G und G ungerchtete Graphen. En Kanten - Untergraph S von G und G st maxmal, wenn ken anderer kanten-nduzerter Untergraph mt mehr Knoten exstert. Wr bezechnen desen als "maxmalen Kanten - Untergraph" (MCES) und schreben mces(g, G ) Sete x Defntonen Defnton 2.2.0: Seen G und G ungerchtete Graphen, bede ncht leer. Wr defneren de MCIS-Dstanz d mcs d mcs (G, G 2) - max( V(G ), V(G 2 ) ) und de MCES-Dstanz d mces durch V( mcs(g, G ) ) durch V( mces(g, G ) ) d mces (G, G 2) - max( V(G ), V(G 2 ) ) MCIS und MCES- Dstanzen snd Metrken: Reflexvtät und Symetre klar Dreecksunglechung glt, aber ken Bewes an deser Stelle Sete 56 28

29 2.2.3 Berechnung von MCIS und MCES Ansatz (Mc Gregor): Ähnlch dem Backtrackng-Algorthmus Startet be enzelnen Knoten und fügt teratv Knoten (und nzdente Kanten) hnzu, de de Untergraph Bedngung ncht verletzen Kann ken Knoten mehr hnzugefügt werden, wrd de Größe des gefundenen Subgraphen mt derer vorherger Subgraphen verglchen Größter Untergraph wrd zurückgelefert Sete Berechnung von MCIS und MCES Ansatz 2: MCIS zweer Graphen entsprcht ener maxmalen Clque (MC) m modularen Produktgraph. Der modulare Produktgraph G G der Graphen G und G wrd defnert auf der Knotenmenge V(G G ) = V(G ) V(G ) (u, u ) E( G ) und (v, v ) E(G ) j Zwe Knoten snd dabe adjazent, wenn entweder oder j 2 (u, u ) E(G ) und (v, v ) E(G ) glt. j j 2 Sete 58 29

30 ENDE 30

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