Kurs 9.3: Forschungsmethoden II

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1 MSc Banking & Finance Kurs 9.3: Forschungsmehoden II Zeireihenanalyse Lernsequenz 03: Einführung in die sochasische Modellierung November 014 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie Inhal Ziele 6 Saische vs. dynamische Modelle 7 Sochasische Prozesse 9 Zeireihe als sochasisches Modell 16 Saionariä 0 Auokorrelaion und parielle Auokorrelaion 7 AR(p)-Prozess 4 MA(q)-Prozess 48 ARMA(p,q)-Prozess 54

2 Folie 3 Inhalsverzeichnis Ziele 6 Ziele der Lernsequenz Saische vs. dynamische Modelle 7 Beispiel: Nachfragefunkion (Hackl 013)... 7 Eigenschafen saischer Modelle Argumene für dynamische Modelle (Hackl 013)... 8 Wichige Eigenschaf von dynamischen Modellen... 8 Sochasische Prozesse 9 Definiion... 9 Fehlererm als sochasischer Prozesse Weisses Rauschen Simulaion weisses Rauschen (Excel-Tool "Whie noise.xls")... 1 Anmerkung Ein spezieller sochasischer Prozesse Random Walk mi Drif Zeireihe als sochasisches Modell 16 Definiion Sichprobe in der Zeireihenanalyse Beschreibung von Zeireihen mi Momenen Folie 4 Saionariä 0 Beispiel Scheinregression (Spurious Regression)... 0 Saionariä eines sochasischen Prozesses... 3 Schwach saionärer Prozess... 3 Beispiel: Trend... 4 Beispiel: Trend und nich konsane Varianz... 5 Typen von Insaionariäen... 6 Wie lassen sich saionäre Zeireihen erkennen?... 6 Auokorrelaion und parielle Auokorrelaion 7 Beispiel Luchsdaen Quelle: Andrews & Herzberg (1985)... 7 Lagged Scaerplo der logarihmieren Luchsdaen... 8 Lagged Scaerplo... 9 Auokorrelaions-Funkion (AC-Funkion) Eigenschafen und Daumenregeln der Auokorrelaions-Funkion Beispiel logarihmiere Luchsdaen... 3 Parielle Auokorrelaions-Funkion (PAC-Funkion) Korrelogramm und parielles Korrelogramm Korrellogramm einer Zufallsreihe "Q-Sa" und "Prob" Korrellogramm von periodischen Schwankungen Korrellogramm einer nichsaionären Zeireihe Rückschluss auf Zeireihen AR(p)-Prozess 4 Definiion... 4 Beispiele für AR(1)-Prozesse Grenzfall eines AR(1)-Prozesses MA( )-Darsellung und Momene eines AR(1)-Prozesse Auokorrelaionen eines AR(1)-Prozesses... 46

3 Lag-Operaor und charakerisisches Polynom Folie 5 MA(q)-Prozess 48 Definiion Beispiele für MA(1)-Prozesse MA(1)-Prozesse mi θ = ± AR( )-Darsellung (Inverierung) und Momene eines MA(1)-Prozesse Auokorrelaionen eines MA(1)-Prozesses... 5 Lag-Operaor und charakerisisches Polynom ARMA(p,q)-Prozess 54 Ziele Folie 6 Ziele der Lernsequenz 03 Einführung in die sochasische Modellierung (4 Lekionen mi EViews-Anwendung) Sie kennen den Unerschied zwischen saischen und dynamischen Modellen. Sie können eine Zeireihe als sochasisches Modell beschreiben. Sie kennen den Begriff der Saionariä einer Zeireihe. Sie kennen Auokorrelaion und parielle Auokorrelaion. Sie können lagged Scaerplos und Korrelogramme mi EViews erzeugen. Sie kennen die Zeireihenmodelle des ARMA(p,q)-Typs. Sie können ARMA(p,q)-Modelle beschreiben (Darsellung, Momene).

4 Saische vs. dynamische Modelle Folie 7 Beispiel: Nachfragefunkion (Hackl 013) Nachgefrage Menge Q eines Produkes als Funkion von Preis P und Einkommen Y. Saisches Modell: Akueller Preis und akuelles Einkommen besimmen die Nachfrage Q = β +β P +β Y + u 1 3 Dynamisches Modell: Akueller Preis und Einkommen der Vorperiode besimmen die Nachfrage Q + u = β1+βp +β3y 1 Dynamisches, auoregressives Modell: Akueller Preis und Nachfrage der Vorperiode besimmen die Nachfrage Q + u = β1+βp +β3q 1 Eigenschafen saischer Modelle Argumene für dynamische Modelle (Hackl 013) Unabhängige Variablen in saischen Modellen wirken unmielbar. Anpassung der abhängigen Variablen an die Were der unabhängigen Variablen is innerhalb der akuellen Periode abgeschlossen => Prozess schein ses im Gleichgewich zu sein. Folie 8 Saische Modelle sind deshalb of ungeeigne, weil... Akiviäen sind durch Vergangenhei besimm Beispiel: Energiekonsum häng von früheren Invesiionen in energieverbrauchende Anlagen ab. Akeure in ökonomischen Prozessen reagieren verzöger Beispiel: Enscheidungs- und Beschaffungsprozesse nehmen Zei in Anspruch. Wichige Eigenschaf von dynamischen Modellen Lagsrukur: Unabhängige Variablen sind zeilich verzöger ("lagged"). Beschreiben die verzögere Wirkung der Regressoren auf die abhängige Variable. Sochasische Zeireihenmodelle sind in der Regel dynamische Modelle.

5 Sochasische Prozesse Folie 9 Definiion Ein sochasischer Prozess is eine (unendliche), zeilich angeordnee Folge von Zufallsvariablen {Y } =-,Q, alernaive Schreibweise {Y, = -,..., } Of wird der Prozess vereinfachend zur Zei = 0 angefangen: {Y } 0 Der Prozess {Y } =0,1,,... heiss auch daenerzeugender Prozess der Zeireihe y 0, y 1, y,... Noaion mi der Indexmenge T: {Y } T Prozess in diskreer Zei: Daen werden zu (meisens gleichabsändigen) Zeipunken erhoben T = {0,1,,Q} auch T = {Q,, 1,0,1,,Q} Prozess in seiger Zei: Daen werden koninuierlich (seig) erhoben T = [0, + ) auch T = (-, + ) Fehlererm als sochasischer Prozesse Folie 10 Typisch für die Beschreibung von Zeireihen is die Unsicherhei. Die Unsicherhei wird durch einen Fehlererm dargesell. Der Fehlererm wird auch als Sörerm, Innovaion oder Schock bezeichne. Symbole: u, E, e, ε Gründe für das Einfügen eines Fehlererms sind Modellierung der Auswirkungen von unbeobacheen / unbeobachbaren Variablen Messfehler (zufällige und sysemaische) Zufallsprozess Häufig wird als Fehlererm weisses Rauschen verwende.

6 Folie 11 Weisses Rauschen Weisses Rauschen is der einfachse sochasische Prozess. Sochasisch modelliere Zeireihen enhalen meisens weisses Rauschen. Der sochasische Prozess {ε, = -,..., } is sarkes weisses Rauschen, wenn gil ε sind unabhängig und idenisch vereil (i.i.d.) E ε = 0 Var ε = σ ε Schreibweise ε ~ WN(0, σ ε) ("Whie Noise") WN(0, σ ε): Vereilung mi Erwarungswer 0 und Varianz σ ε Spezialfälle ε ~ G(a, b) Weisses Rauschen mi gleichvereilen Zufallsvariablen (Excel) ε ~ N(0, σ ε) Gausssches, weisses Rauschen mi normalvereilen Zufallsvariablen Folie 1 Simulaion weisses Rauschen (Excel-Tool "Whie noise.xls") Weisses Rauschen Gausssches, weisses Rauschen Gleichvereilung: ε ~ G(- 3, 3) Normalvereilung: ε ~ N(0,1) Grafiken:

7 Folie 13 Anmerkung Of wird nur verlang, dass der Fehlererm seriell unkorrelier is. Der sochasische Prozess {ε, = -,..., } is schwaches weisses Rauschen, wenn gil ε sind seriell unkorrelier: Cov ε, ε s E ε = 0 Var ε = σ ε σ = 0 ε für= s für s Schwaches weisses Rauschen kann Abhängigkeien in drien oder höheren Momenen aufweisen und dami nich vollsändig unabhängig sein. Namensgebung aus der Physik: Wenn im Spekrum elekromagneischer Srahlung alle Wellenlängen mi der gleichen Helligkei vorhanden sind, enseh weisses Lich. Wenn im Spekrum akusischer Signale alle Frequenzen mi der gleichen Leisung vorhanden sind, enseh Rauschen. Beispiele: Rauschen von Bläern im Wind, Sereoanlage. Ein spezieller sochasischer Prozesse Folie 14 Random Walk mi Drif Der sochasische Prozess Y, folg einem Random Walk (Irrfahr) mi Drif, wenn gil Y = δ + Y -1 + u δ Konsane u weisses Rauschen Besimmung von Erwarungswer und Varianz (Vereinfachung: δ = 0, Y 0 = 0) Subsiuion durch wiederholes Einsezen => Y = u + u u 1 E Y = E u + u u 1 = E u + E u E u 1 = Q + 0 = 0 => kein Drif Var Y = Var u + u u 1 = Var u + Var u Var u 1 = Var u 1 = σ u Is δ 0, haben die Zuwächse einen Erwarungswer > 0 E Y = δ => Drif

8 Beispiel (Excel-Tool "Random Walk & AR(1).xls") Y = 0.5+ Y 1+ u,mi Y0 = u : Gleichvereile Pseudozufallsvariable mean(u ) = 0.5, var(u ) = Y δ Σu y Folie 15 u Y δ Σu y Y = Y0 +δ+ ui i mean var 0.87 Σ 7.38 Zeireihe als sochasisches Modell Folie 16 Definiion Eine Zeireihe is eine Folge von n Beobachungen y. Die n Beobachungen sind Realisaion der Zufallsvariablen Y 1, Y,...Y n {y } =1,Q,n alernaive Schreibweise {y, = 1,..., n} Die Folge der Zufallsvariablen Y 1, Y,...Y n is ein Ausschni des zu Grunde liegenden sochasischer Prozesses {Y, = -,..., } Die Messzeipunke der Zeireihe können diskre oder seig sein (in diesem Kurs: diskre). Die Messwere der Zeireihe können diskre oder seig sein (in diesem Kurs: seig). Beispiele seiger Zeireihen in diskreer Zei (siehe auch Lernsequenz 01) Beispiel Tagesmaximum von Akienkursen

9 Folie 17 Sichprobe in der Zeireihenanalyse Grundgesamhei (GG) wird mi dem sochasischen Prozess {Y } =-,Q, beschrieben Vereilung der Zufallssvariablen Y Unendlich viele Zeipunke Unendlich viele mögliche Were pro Zeipunk Gemäss Vereilung p(y 1,...Y n ) Unendlich viele Zeipunke Zei T Zeireihe {y } =1,Q,n is doppel endliche Sichprobe (SP) der Länge n Realisaionen der Zufallssvariablen Y Endlich viele Zeipunke Zei T Endlich viele Zeipunke Nur ein Messwer pro Zeipunk Auch mi unendlich vielen Zeipunken is die Zeireihe nur eine Realisaion des sochasischen Prozesses. Folie 18 Vergleich von Zufallssichproben Querschnisdaen Unabhängigkei der Beobachungen (i.i.d.) wird verlang. Dann exisieren Parameerschäzer mi BLUE-Eigenschaf (bes linear unbiased esimaor). Zeireihen Zufallsvariablen Y i eines sochasischen Prozesses sind im Allgemeinen abhängig. => Beobachungen y sind abhängig. Zu jedem Zeipunk lieg nur eine Beobachung der beracheen Zufallsvariablen vor. => Parameerschäzung kann verzerr sein Dami die n Zeireihenwere zur Parameerschäzung verwende werden können analog zu n Querschnisweren, muss die Zeireihe saionär sein.

10 Folie 19 Beschreibung von Zeireihen mi Momenen Is eine Zeireihe saionär, genüg die Beschreibung der gemeinsamen Vereilung mi Momenen (saisische Kenngrössen) der ein- und zweidimensionalen Vereilungen. Erwarungswer Erses Momen (salopp: "Mielwer der Zeireihe") µ =E Y Varianz Zweies Momen (salopp: "Sreuung der Zeireihe") σ =Var Y = Cov Y, Y Auokovarianz und abgeleie Auokorrelaion,s "Korrelaion zeiverzögerer Were" γ,s = Cov Y,Y s = E (Y µ )(Ys µ s ) ρ,s =Corr Y,Y = s Var Cov Y Y,Y s Var Y s Anmerkung: Dries Momen = Schiefe (skewness) / Vieres Momen = Kurosis, Wölbung, Exzess (kurosis) Saionariä Folie 0 Beispiel Scheinregression (Spurious Regression) Indusrieprodukion vs. simuliere "erklärende" Variable Abhängige Variable: Indusrieprodukion BRD 1950 bis 1991 (Hackl 013) Erklärende Variable: Zufallszahlen 1950 bis 1991 (Random Walk mi Drif) Produkionsindex BRD Zufallsreihe (Random Walk mi Drif)

11 Folie 1 OLS-Regression mi EViews Das Modell is signifikan (Prob(F-saisic) = ). Die Resulae sind aber nich sinnvoll inerpreierbar. Das Ergebnis is eine zufällige Korrelaion zwischen den beiden Zeireihen. Die iefen Signifikanzwere ("Prob.") und das hohe "R-squared" sagen nichs aus! Durbin-Wason mi deue auf ein Problem hin (Wer solle sein) Folie Was is passier? Das Regressionsmodell ha den Trend der Indusrieprodukion mi dem zufälligen Trend des Random Walk in Verbindung gebrach. Wegen des Trends sind die beiden Zeireihen nich saionär. Salopp ausgedrück bedeue Saionariä, dass Mielwere und Varianzen über die Zei konsan bleiben. Saionariä is eine wichige Voraussezung für die Analyse von Zeireihen. Wenn Zeireihen nich saionär sind, erzeugen die üblichen Tesverfahren wie F-Tes, -Tes usw. verzerre Schäzer. Es beseh die Gefahr von Scheinregression (Spurious Regression).

12 Saionariä eines sochasischen Prozesses Folie 3 Schwach saionärer Prozess Wenn die Abhängigkeissrukur der Variablen Y für jede Folge von Zeipunken {, + 1 Q, + k} für alle und alle k die gleiche is, is der Prozess schwach saionär. Der Prozess {Y } =-,Q, heiss schwach saionär (auch kovarianz-saionär), wenn gil E Y = µ für alle Der Erwarungswer is konsan. Cov Y, Y -k = γ k, k = 0, ±1, Q für alle und alle k Die Auokovarianz häng nur von k ab. Daraus folg γ 0 = Cov Y, Y -0 = Var Y = σ Die Varianz is konsan. Eine Zeireihe heiss schwach saionär, wenn ihr erses und zweies Momen nich von der Zei abhängen (<=> Auokovarianz häng nur von der Argumendifferenz k ab) Beispiel für schwach saionären Prozesse: Schwaches weisses Rauschen Folie 4 Beispiel: Trend Privaer Konsum von Öserreich (in Mrd. EUR, in Preisen von 1995). Quelle: Hackl (013) Jahre 1976 bis 001 E Y nich konsan => Zeireihe nich saionär. Zeireihe weis Trend auf.

13 Folie 5 Beispiel: Trend und nich konsane Varianz Monaliche Anzahl inernaionaler Flugpassagiere (in 1000). Quelle: Chafield (001) Jahre 1949 bis 1960 E Y nich konsan => Zeireihe nich saionär. Zeireihe weis Trend auf. Var Y nich konsan => Zeireihe nich saionär. Schwankungen wachsen mi der Zei. Folie 6 Typen von Insaionariäen Linearer, polynomialer, exponenieller,..., Trend (nich mielwer-saionär) Heeroskedasiziä (nich varianz-saionär) Trend und Heeroskedasiziä (nich mielwer- und nich varianz-saionär) (Lange) Periodiziäen Wie lassen sich saionäre Zeireihen erkennen? Durch Berachung der Zeireihenplos Achung: Es beseh Täuschungsgefahr! Auokorrelaionsfunkion und parielle Auokorrelaionsfunkion der Zeireihe Tess auf Saionariä Viele... (siehe LS 05) Speziell: "Fenserechnik" Aufeilung des Daensazes in gleichlange Sücke (Fenser) Besimmung saisischer Merkmale in jedem Fenser Berechnung der Variabiliä des Merkmals von Fenser zu Fenser Hypohesenes: Unerscheiden sich die Variabiliäen signifikan?

14 Auokorrelaion und parielle Auokorrelaion Folie 7 Beispiel Luchsdaen Quelle: Elon & Nicholson (194) ziier in Andrews & Herzberg (1985) Vereilung der Rohdaen is schief => Logarihmieren der Daen LOG(Luchse) Jahre 181 bis 1934 Folie 8 Lagged Scaerplo der logarihmieren Luchsdaen Lineare Abhängigkei von Y von der direken Vergangenhei Y -1 erkennbar. Naheliegend: Messung der Abhängigkei mi der (empirischen) Korrelaion: r = 0.79 Wird aber in der Zeireihenanalyse nich verwende LOGLYNX

15 Lagged Scaerplo Abhängigkei einer Zufallsvariablen Y von der unmielbaren Vergangenhei Y -1? Achung: Im Prinzip gib es nur eine Realisierung [y, y -1 ], die sich aus der Beobachung zur Zei und derjenigen zur Zei -1 zusammensez. Ein Sreudiagramm mi nur einem Punk is nich sehr informaiv. Folie 9 Anwenden der Eigenschaf der schwachen Saionariä: Alle weieren Punkepaare verwenden [y s, y s-1 ], für die gil s Grafische Berachung mi einem Sreudiagramm: Alle Punkepaare [y, y -1 ], mi = 1,..., n 1 => Lagged Scaerplo Auokorrelaions-Funkion (AC-Funkion) Messung der Abhängigkei zwischen Y und Y -k mi der Auokorrelaions-Funkion Cov Y,Y k ρk =, k= 0, ± 1, ±,... Var Y Var Y k Folie 30 mi Cov Y, Y -k = E (Y µ )(Y -k µ -k ) =: γ,k und Eigenschafen uner Saionariä γ,k = γ k γ k = γ -k γ 0 = Cov Y, Y = Var Y wird die Auokorrelaions-Funkion definier als γk ρk =, k= 0, ± 1, ±,... γ 0 Beispiel Luchsdaen (Lag 1) Korrelaion: r = 0.79 Auokorrelaion: ρ 1 = 0.785

16 Folie 31 Eigenschafen und Daumenregeln der Auokorrelaions-Funkion Für die AC-Funkion eines saionären Prozesses gil ρ 1 k ρ 0 =1 ρ k = ρ k Daumenregeln (verschiedene Quellen) Mindesens n = 30 Daenpunke Nur Lags k < n/4 (Purisen) bzw. k < n/ (Pragmaiker) verrauen Nur Lags k < 10 log 10 (n) Daen müssen im Prinzip äquidisan vorliegen. Lücken sind ein grosses Problem! Folie 3 Beispiel logarihmiere Luchsdaen Die Auokorrelaionen nehmen zu Beginn ab, erreichen ein negaives Minimum für k = 5, dann nehmen sie bis k = 10 zu, dann wieder ab, usw. Lag ˆρ k In den lagged Scaerplos wird Oszillaion sichbar. Die Periodiziä der Zeireihe überräg sich direk auf die Auokorrelaionen respekive auf die lagged Scaerplos Lag 1 Lag Lag 5 Lag 10

17 Folie 33 Parielle Auokorrelaions-Funkion (PAC-Funkion) Die parielle Auokorrelaion zwischen Y und Y -k miss den linearen Zusammenhang zwischen Y und Y -k nach Eliminieren der Effeke der dazwischen liegenden Variablen Y -1 bis Y -k+1 Sie is definier als bedinge Auokorrelaion gegeben die Were der Zeireihe zwischen und k Corr Y, Y -k Y -1,...,Y -k+1 Die parielle Auokorrelaion is der Regressionskoeffizien φ kk von Y -k in Y = φ k1 Y φ kk Y -k + u Der Koeffizien φ kk miss den pariellen Effek von Y -k auf Y nach eliminieren der Informaion, die in den anderen, verzögeren Variablen enhalen is. Es gil φ 11 = ρ 1 Korrelogramm und parielles Korrelogramm Balkendiagramm zur den geschäzen Auokorrelaionen und pariellen Auokorrelaionen Folie 34 Beispiel logarihmiere Luchsdaen Die Auokorrelaionen nehmen zu Beginn ab, erreichen ein negaives Minimum für k = 5, dann nehmen sie bis k = 10 wieder zu, dann wieder ab, usw. Die parielle Auokorrelaion is für k = 1 idenisch mi der Auokorrelaion. Es gil φ 11 = ρ 1.

18 Folie 35 Korrellogramm einer Zufallsreihe Für eine Zeireihe mi unabhängig und idenisch vereilen Y sind für k 0 die heoreischen, Auokorrelaionen und pariellen Auokorrelaionen gleich 0. Die Schäzungen sind aber ungleich 0 Im Gegensaz zu den heoreischen Weren Zeireihe Y = ε, mi ε i.i.d. Wie kann enschieden werden, dass die wahre Auokorrelaion verschieden von Null is? Für eine lange Zufallsreihe (n gross) gil, dass die geschäzen Auokorrelaionen für k 0 approximaiv normalvereil sind um Null mi Sandardfehler 1/ n. Folie 36 Die geschäzen Auokorrelaion einer Zufallsreihe lieg deshalb mi einer Wahrscheinlichkei von 95% innerhalb des Bandes ± 1/ n (approximaives Konfidenzinervall). Fausregel Empirische Auokorrelaionen, die innerhalb des Bandes ±/ n liegen, werden als zufällig verschieden von Null, solche ausserhalb als asächlich verschieden von Null berache. Die gesrichelen verikalen Linien um Null im Korrelogramm ensprechen diesem Band. Problem der Inerpreaion Wird eine grosse Anzahl Auokorrelaionen berache, so is selbs bei einer Zufallsreihe dami zu rechnen, dass einzelne Auokorrelaionen ausserhalb des Bandes liegen und somi fälschlicherweise als verschieden von Null berache werden, denn diese Fehlenscheidungen ensprechen dem Fehler 1. Ar, dessen Wahrscheinlichkei hier als 5% gewähl wurde.

19 "Q-Sa" und "Prob" Ansa die Signifikanz der Auokorrelaionskoeffizienen einzeln zu unersuchen, werden alle Koeffizienen bis zum Lag k gleichzeiig geese. Ljung-Box Q-Saisk mi der Nullhypohese H 0 : ρ 1 = ρ =... = ρ k = 0 (weisses Rauschen) Q LB = T(T+ ) k j j= 1 T ρ j Folie 37 T Länge der Zeireihe ρ j Koeffizien der j-en Auokorrelaion Beispiel Die Zeireihe bis zum Lag 9 is nich signifikan verschieden zu weissem Rauschen. Prob 0.07 > => H 0 annehmen Korrellogramm von periodischen Schwankungen Das Korrelogramm einer Zeireihe mi periodischen Schwankungen weis eine Oszillaion mi derselben Frequenz auf. Das Korrelogramm liefer bei periodischen Schwankungen Hinweise zur Länge der Periode. 6 Folie Beispiel mi simulieren Daen: Sinusodiale Zeireihe mi kleinen Sörungen überlager Periodenlänge: k = 13

20 Folie 39 Reine sinusodiale Zeireihe Sinusodiale Zeireihe mi kleinen Sörungen Periodenlänge: k = 13 Periodenlänge: k = 13 Korrellogramm einer nichsaionären Zeireihe Folie Zufallsreihe mi Trend Zeireihe mi Trend: Zeilich benachbare Punke liegen endenziell auf derselben Seie des arihmeischen Miels. Das führ zu posiiven Auokorrelaionen. Die Auokorrelaionen verschwinden ers für sehr grosse Lags. Auokorrelaionen können nur bei saionären Zeireihen inerpreier werden. Deshalb müssen evenuelle Nichsaionariäen vorher enfern werden.

21 Rückschluss auf Zeireihen Gleiche Korrelogramme können von unerschiedlichen Zeireihen sammen. (Quelle: NDK ETH) Folie 41 AR(p)-Prozess Folie 4 Definiion Auoregressiver Prozess (AR-Prozess) => Variable wird auf sich selbs regressier Modell für die Abhängigkei von Y von der Vergangenhei Y -1, Y -, Y -3,... AR(1)-Prozess Y + u = α+ϕy 1 AR(p)-Prozess Y + u = α+ϕ1y 1+ϕY ϕpy p Der Fehlererm is weisses Rauschen u i.i.d. mie u = 0undVar u = σ

22 Folie 43 Beispiele für AR(1)-Prozesse α = 0.7, ϕ = 0.5 α = 0.7, ϕ = 0.5 Die Zeireihen sind im Miel nach oben verschoben. Ein negaives Vorzeichen bei ϕ führ zu einer särkeren Oszillaion. (Excel-Tool "Random Walk & AR(1).xls") Folie 44 Grenzfall eines AR(1)-Prozesses α = 0., ϕ = 1.0 α = 0., ϕ = -1.0 Für ϕ = 1 sind die Zeireihen nich mehr saionär. (Excel-Tool "Random Walk & AR(1).xls")

23 Folie 45 MA( )-Darsellung und Momene eines AR(1)-Prozesse Durch rekursives Einsezen folg aus der AR(1)-Darsellung die MA( )-Darsellung Y =α+ϕy Y... = α 1 ϕ + 1 i= 0 + u i ϕu i Die MA( )-Darsellung zeig den abklingenden Einfluss der vergangenen Sörerme u -i limϕ i i = 0 für ϕ < 1 Momene E Var Y Y α = 1 ϕ σ = 1 ϕ u = γ 0 Folie 46 Auokorrelaionen eines AR(1)-Prozesses Die Auokovarianzen und Auokorrelaionen lassen sich durch die Modellparameer ausdrücken Cov Y,Y γk = k ρ k γ = γ k 0 = ϕ k =ϕ k σ 1 ϕ Für posiives ϕ sind alle heoreischen Auokorrelaionen > 0. Für die n 1 möglichen empirischen Auokorrelaionen gil folgende Summe (ohne Beweis) n 1 k= 1 ρˆ k = 0.5 Obwohl alle heoreischen Auokorrelaionen posiiv sind, werden einige Schäzungen der empirischen Auokorrelaionen negaiv sein. Vorsich bei der Inerpreaion von Korrelogrammen!

24 Folie 47 Lag-Operaor und charakerisisches Polynom Zur Vereinfachung der Noaion eines AR(p)-Prozesses wird of ein Lag-Operaor verwende. Der Lag-Operaor L verschieb den Index einer Variablen um 1 in die Vergangenhei LY = Y -1 Mehrfache Anwendung von L ensprich mehrfacher Verschiebung L s Y = Y -s (Spezialfall Ideniä I: L 0 = I => L 0 Y = Y ) AR(p)-Modell in der Schreibweise mi Lag-Operaor Y =α+ϕ Y +ϕ Y ϕ Y + u 1 1 p p Y =α+ϕ LY +ϕ L Y ϕ L Y + u p 1 p Y =α+ ( ϕ L+ϕ L ϕ L )Y + u p 1 p (1 ϕl ϕ L... ϕ L )Y =α+ u p 1 p Charakerisisches Polynom Φ (L) = (1 ϕ1l ϕl... ϕ Φ ( L)Y =α+ u p L ) p MA(q)-Prozess Folie 48 Definiion Moving Average Prozess (MA-Prozess) => Y is die gewichee Summe der Fehlererme. MA(1)-Prozess Y = α+ u +θu 1 MA(q)-Prozess Y = α+ u +θu 1 1 +θ u θ u q q Der Fehlererm is weisses Rauschen u i.i.d. mie u = 0undVar u = σ

25 Folie 49 Beispiele für MA(1)-Prozesse α = 0.7, θ = 0.5 α = 0.7, θ = 0.5 Die Zeireihen sind im Miel nach oben verschoben. Ein negaives Vorzeichen bei θ führ zu einer särkeren Oszillaion. (Excel-Tool "MA(1).xls") Folie 50 MA(1)-Prozesse mi θ = ±1 α = 0., θ = 1.0 α = 0., θ = 1.0 Auch für θ = ±1 sind die Zeireihen saionär. (Excel-Tool "MA(1).xls")

26 Folie 51 AR( )-Darsellung (Inverierung) und Momene eines MA(1)-Prozesse Durch rekursives Einsezen folg aus der MA(1)-Darsellung die AR( )-Darsellung Y =α+ u +θu... 1 α (i 1) i Y = + ( 1) θy i 1+θ i= 1 Die AR( )-Darsellung zeig den abklingenden Einfluss der vergangenen Y limθ i i = 0 für θ < 1 Momene E Y Var Y =α =σ (1+θ ) Folie 5 Auokorrelaionen eines MA(1)-Prozesses Die Auokovarianzen und Auokorrelaionen lassen sich durch die Modellparameer ausdrücken γ = =σ +θ 0 Var Y (1 ) γ = Cov Y,Y 1 1 k k =σ θ γ = Cov Y,Y = 0 für k> 1 Für k > 1 sind alle heoreischen Auokovarianzen 0. Daraus folg für die Auokorrelaionen ρ ρ 1 k γ = γ 1 0 θ = 1+θ = 0 für k> 1 Für k > 1 sind alle Auokorrelaionen 0.

27 Folie 53 Lag-Operaor und charakerisisches Polynom Zur Vereinfachung der Noaion eines MA(q)-Prozesses wird of ein Lag-Operaor verwende MA(q)-Modell in der Schreibweise mi Lag-Operaor Y =α+ u +θ u +θ u θ u 1 1 q q Y =α+ u +θ Lu +θ Lu θ Lu q 1 q Y =α+ (1+θ L+θ L θ L )u q 1 q Charakerisisches Polynom Θ (L) = (1+θ1L +θl θ Y = α+ Θ(L) u q L ) q ARMA(p,q)-Prozess Folie 54 AR(p)- und MA(q)-Prozesse können zum ARMA(p,q)-Prozess vereinig werden AR(p)-Prozess MA(q)-Prozess für den Fehlererm ε Y = α+ϕ1y 1+ϕY ϕpy p + ε ε = u +θ1u 1+θu θqu q ARMA(p,q)-Prozess Y = α+ϕy 1 1 +ϕ Y ϕ p Y p + u +θu 1 1 +θ u θ u q q Der Fehlererm is weisses Rauschen u i.i.d. mie u = 0undVar u = σ Schreibweise mi charakerisischem Polynom Φ( L)Y =α+ Θ(L) u

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