Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

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1 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie Sylowsätze

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5 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester 2013/14 an der Goethe Universität Frankfurt wird während des Semesters laufend erstellt. Die Vorlesung baut auf der Vorlesung Grundlagen der Algebra (GdA) vom Sommersemester 2013 auf. Die dort eingeführten Begriffe aus der Gruppen- und Ringtheorie werden vorausgesetzt und können im Skript zu dieser Vorlesung nachgelesen werden. Es ist davon auszugehen, dass dieses Skript einige Fehler enthält. Ich bin Ihnen dankbar, wenn Sie mir Korrekturvorschläge per oder nach der Vorlesung persönlich mitteilen. Der Stoff dieses Skripts wurde zumeist aus folgenden Büchern entnommen: 1. Siegfried Bosch, Algebra, Springer-Verlag, Christian Karpfinger, Kurt Meyberg, Algebra, Springer-Verlag, Jürgen Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg,

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7 1 Fortführung der Gruppentheorie 1.1 Sylowsätze In diesem Abschnitt bezeichnet G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl, die die Gruppenordnung G teilt. In der Vorlesung Grundlagen der Algebra haben wir gesehen, dass die Ordnung jeder Untergruppe von G die Gruppenordnung G teilt (Satz von Lagrange). Umgekehrt muss nicht unbedingt für jeden Teiler d von G eine Untergruppe der Ordnung d existieren. Zum Beispiel hat die alternierende Gruppe A 4 der Ordnung 12 keine Untergruppe der Ordnung 6 (vgl. Aufgabe 3.3, Übungsblatt 5, GdA SoSe 2013). Ist der Teiler d jedoch eine Primzahlpotenz p l, so ist die Situation einfacher. In der Tat werden wir in diesem Abschnitt sehen, dass eine Untergruppe von G der Ordnung p l existiert, sofern G durch p l teilbar ist. Definition 1.1. Sei G eine endliche Gruppe und p ein Primteiler von G. (i) Eine Untergruppe H von G heißt p-untergruppe, falls H eine p-gruppe ist (d.h. die Ordnung von H eine Primzahlpotenz ist). (ii) Eine Untergruppe H von G heißt p-sylowgruppe, falls H = p k mit k 1 und p k die höchste p-potenz ist, die G teilt. Beispiel 1.2. Die alternierende Gruppe G = A 4 der Ordnung 12 = hat 2-Sylowgruppen und 3-Sylowgruppen. Erstere haben Ordnung 4 und letztere Ordnung 3. Es gibt genau eine 2-Sylowgruppe, nämlich U = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} und insgesamt vier 3-Sylowgruppen, nämlich V 1 = {id, (123), (132)}, V 2 = {id, (124), (142)}, V 3 = {id, (134), (143)}, V 4 = {id, (234), (243)}, vgl. die Aufzählung der Untergruppen von A 4 in Aufgabe 3.3, Übungsblatt 5, GdA SoSe Definition 1.3. Das kleinste n 1 mit der Eigenschaft, dass x n = 1 für alle x G gilt, heißt Exponent exp(g) von G. 7

8 1 Fortführung der Gruppentheorie Bemerkung. Der Exponent exp(g) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller Elemente von G, denn für ein x G gilt x n = 1 genau dann, wenn n ein Vielfaches von ord(x) ist. Weil die Ordnungen der Elemente von G alle ein Teiler von der Gruppenordnung G sind, ist daher exp(g) ebenfalls ein Teiler von G. Beispiel 1.4. Die symmetrische Gruppe S 4 hat Elemente der Ordnung 1, 2, 3 und 4. Deshalb ist der Exponent von S 4 gleich kgv(2, 3, 4) = 12. Wir beweisen nun zunächst die Existenz von Untergruppen der Ordnung p für endliche abelsche Gruppen G und werden danach dieses Resultat verwenden, um die Existenz von Untergruppen der Ordnung p l von einer beliebigen Gruppe G zu beweisen, sofern p l die Gruppenordnung teilt. Lemma 1.5. Für eine endliche abelsche Gruppe G existiert ein m 1, so dass die Gruppenordnung G die m-te Potenz exp(g) m des Exponenten von G teilt. Beweis. Wir führen den Beweis mit Induktion über die Gruppenordnung G. Für G = 1 stimmt die Aussage mit m = 1. Wir können also G > 1 annehmen und voraussetzen, dass die Aussage für alle abelschen Gruppen kleinerer Ordnung stimmt. Wir wählen ein Element g G \ {1} und betrachten die davon erzeugte zyklische Untergruppe H := g. Weil G abelsch ist, ist H ein Normalteiler von G und G/H eine Gruppe der Ordnung [G : H] < G. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es daher ein m 1, so dass [G : H] exp(g/h) m gilt. Nun beachten wir, dass (xh) exp(g) = x exp(g) H = 1 G/H für alle xh G/H gilt. Daher ist exp(g) ein Vielfaches von exp(g/h). Weiter ist exp(g) auch ein Vielfaches von ord(g) = H. Somit teilt G = [G : H] H das Produkt exp(g) exp(g) m = exp(g) m +1. Die Aussage stimmt also für m = m + 1. Lemma 1.6. Sei G eine endliche abelsche Gruppe und p ein Primteiler der Ordnung von G. Dann hat G eine Untergruppe der Ordnung p. Beweis. Aus Lemma 1.5 folgt, dass p auch ein Primteiler von exp(g) ist. Da der Exponent das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen der Elemente von G ist, gibt es daher ein Element x G mit p ord(x). Für y := x ord(x)/p gilt somit ord(y) = p. Daher ist H = y eine Untergruppe der Ordnung p von G. Nun kehren wir zu beliebigen endlichen Gruppen zurück und beweisen den ersten Sylow- Satz. Satz 1.7 (Sylow). Sei G eine endliche Gruppe und p l eine Primzahlpotenz, die die Ordnung von G teilt. Dann gibt es eine Untergruppe der Ordnung p l von G. Insbesondere hat G eine p-sylowgruppe. Beweis. Wir führen den Beweis mit Induktion über die Ordnung von G und nehmen an, dass die Aussage für Gruppen mit kleinerer Ordnung stimmt. Wir unterscheiden zwei Fälle: 8

9 1.1 Sylowsätze 1. Fall: Es existiert eine echte Untergruppe H von G, deren Index nicht durch p teilbar ist. Wegen G = [G : H] H teilt jede Primzahlpotenz p l, die G teilt, auch H. Daher hat H nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe U der Ordnung p l für jede solche Primzahlpotenz. Eine solche Untergruppe U ist auch eine Untergruppe von G. 2. Fall: Der Index jeder echten Untergruppe von G ist durch p teilbar. In diesem Fall gilt nach der Klassenformel Z(G) = G n [G : Z(x i )], wobei {x 1,..., x n } ein Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in G \ Z(G) ist. Da die Zentralisatoren von Elementen in G \ Z(G) echte Untergruppen von G sind, sind alle Terme auf der rechten Seite dieser Gleichung durch p teilbar. Daher ist die Ordnung des Zentrums Z(G) durch p teilbar. Nach Lemma 1.6 gibt es somit eine Untergruppe H von Z(G) der Ordnung p. Da alle Elemente von G mit den Elementen in H kommutieren, ist H ein Normalteiler von G. Ist nun p l ein Teiler von G, so ist p l 1 ein Teiler von der Ordnung der Faktorgruppe G/H. Nach Induktionsvoraussetzung hat daher G/H eine Untergruppe U der Ordnung p l 1. Das Urbild V := π 1 (U) von U unter der kanonischen Projektion π : G G/H ist eine Untergruppe von G, für die nach dem Homomorphiesatz angewendet auf die Einschränkung von π auf V die Isomorphie V/H = U gilt. Daher ist V eine Untergruppe von G der Ordnung H U = p l. Die restlichen Sylowsätze fassen wir in dem folgenden Satz zusammen. Im Beweis und auch später verwenden wir die folgenden Notationen und Begriffe. Definition 1.8. (i) Syl p (G) bezeichnet die Menge der p-sylowgruppen von G. (ii) Für eine Untergruppe H von G heißt N G (H) := {g G : ghg 1 = H} der Normalisator von H. Bemerkung. Es lässt sich sofort überprüfen, dass der Normalisator N G (H) einer Untergruppe H von G eine Untergruppe von G ist. Unmittelbar aus der Definition folgt, dass H ein Normalteiler von N G (H) ist und dass N G (H) die größte Untergruppe von G ist, in der H normal ist. Satz 1.9 (Sylow). Sei G eine endliche Gruppe und p ein Primteiler der Ordnung von G. Dann gilt: (i) Jede p-untergruppe von G ist in einer p-sylowgruppe von G enthalten. i=1 (ii) Alle p-sylowgruppen von G sind konjugiert. (iii) Die Anzahl p-sylowgruppen von G ist kongruent 1 modulo p und ein Teiler von G. 9

10 1 Fortführung der Gruppentheorie Beweis. Für den Beweis aller drei Aussagen betrachten wir die Operation von G auf Syl p (G) durch Konjugation, die durch G Syl p (G) Syl p (G) (g, S) gsg 1 gegeben ist. Der Stabilisator einer p-sylowgruppe S unter dieser Operation ist genau der Normalisator N G (S) von S. Für den Beweis von (i) betrachten wir eine p-untergruppe H von G. Nach Satz 1.7 existiert eine p-sylowgruppe S von G. Sei B die Bahn von S unter der Operation von G auf Syl p (G) durch Konjugation. Nach der Bahnformel (Proposition 1.19, GdA SoSe 2013) gilt B = [G : N G (S)], weil der Stabilisator von S gleich dem Normalisator N G (S) ist. Da S eine Untergruppe von N G (S) ist, ist N G (S) durch die höchste p-potenz, die in G aufgeht, teilbar. Nach dem Satz von Lagrange folgt daher, dass B = [G : N G (S)] = G / N G (S) nicht durch p teilbar ist. Nun betrachten wir die Einschränkung auf H der Operation von G auf Syl p (G). Die G-Bahn B ist disjunkte Vereinigung von H-Bahnen. Da H eine p-gruppe ist, ist die Kardinalität jeder H-Bahn nach der Bahnformel eine p-potenz. Da B nicht durch p teilbar ist, muss es daher eine H-Bahn der Länge 1 geben, die in B enthalten ist. Es existiert demnach ein S B, das von H stabilisiert wird, für das also H N G (S ) gilt. Wir können jetzt den 1. Isomorphiesatz (Satz 3, GdA SoSe 2013) auf die Untergruppe H von N G (S ) und den Normalteiler S von N G (S ) anwenden. Er besagt, dass HS eine Untergruppe von N G (S ) mit Normalteiler S ist, die Untergruppe H S normal in H ist, und die Isomorphie HS /S = H/H S gilt. Da H, S und H S alles p-gruppen sind, muss daher HS auch eine p-gruppe sein. Die Sylowgruppe S ist aber eine maximale p-untergruppe von G, es folgt also HS = S und somit H S. Wir haben damit gezeigt, dass jede beliebige p-untergruppe H in einer p-sylowgruppe enthalten ist, die zu einer vorgegebenen p-sylowgruppe S konjugiert ist. Für (ii) wiederholen wir das gleiche Argument, wobei jetzt sowohl H als auch S beliebige p-sylowgruppen sind. Das Argument zeigt, dass H in einer p-sylowgruppe enthalten ist, die konjugiert zu S ist. Da alle p-sylowgruppen die gleiche Kardinalität haben, ist daher H konjugiert zu S. Für den Beweis von (iii) betrachten wir schließlich die Operation einer festen p-sylowgruppe S auf Syl p (G) durch Konjugation (die Einschränkung auf S der obigen Operation von G auf Syl p (G)). Im Beweis von i) (mit H = S) haben wir gesehen, dass für jedes S Syl p (G), das von S stabilisiert wird, die Inklusion S S gilt. Da p-sylowgruppen alle die gleiche Ordnung haben, ist das nur für S = S möglich. Es gibt also nur eine S-Bahn der Länge 1 in Syl p (G). Nach der Bahnformel ist die Kardinalität jeder anderen S-Bahn eine p-potenz > 1 und insbesondere durch p teilbar. Da Syl p (G) disjunkte 10

11 1.1 Sylowsätze Vereinigung von S-Bahnen ist, folgt Syl p (G) 1(mod p). Weiter ist Syl p (G) nach ii) eine G-Bahn (unter der Operation von G durch Konjugation). Daher ist Syl p (G) nach der Bahnformel gleich dem Index des Normalisators einer p- Sylowgruppe in G, also insbesondere ein Teiler von G. Korollar Sei G eine endliche Gruppe mit p-sylowgruppe S. Dann gilt: (i) Syl p (G) = [G : N G (S)], (ii) S ist genau dann normal in G, wenn G nur eine p-sylowgruppe hat. Beweis. Die Aussage (i) wurde am Ende des letzten Beweises gezeigt. Aus (i) folgt, dass G genau dann nur eine p-sylowgruppe hat, wenn N G (S) = G gilt. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn S normal in G ist. Beispiel Sei G eine Gruppe der Ordnung 15. Nach den Sylowsätzen ist die Anzahl 3-Sylowgruppen von G durch 15 teilbar und kongruent 1 modulo 3. Da 3, 5 und 15 nicht kongruent 1 modulo 3 sind, folgt, dass G nur eine 3-Sylowgruppe N 1 hat. Diese ist nach Korollar 1.10 normal. Genauso zeigt man, dass G genau eine normale 5-Sylowgruppe N 2 hat. Die Sylowgruppen N 1 und N 2 sind zyklisch, weil sie beide von Primzahlordnung sind (Proposition 1.11, GdA SoSe 2013). Aus der folgenden Proposition folgt, dass G isomorph zum direkten Produkt von N 1 und N 2 ist. Mit dem Chinesischen Restsatz erhalten wir daher G = Z/3Z Z/5Z = Z/15Z, jede Gruppe der Ordnung 15 ist also zyklisch. Proposition Sei G eine Gruppe mit Normalteilern N 1 und N 2 und es gelte N 1 N 2 = {1}. Dann ist N 1 N 2 zur Untergruppe N 1 N 2 von G isomorph. Beweis. Wir betrachten die Abbildung ϕ : N 1 N 2 G (x 1, x 2 ) x 1 x 2. Für (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) N 1 N 2 gilt ϕ((x 1, x 2 )(y 1, y 2 )) = ϕ(x 1 y 1, x 2 y 2 ) = x 1 y 1 x 2 y 2, ϕ(x 1, x 2 )ϕ(y 1, y 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2. Die Abbildung ϕ ist also genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn für alle y 1 N 1 und x 2 N 2 y 1 x 2 = x 2 y 1 gilt. Das ist äquivalent zu y 1 x 2 y 1 1 x 1 2 = 1. 11

12 1 Fortführung der Gruppentheorie Letzere Gleichung ist erfüllt, weil die linke Seite wegen y 1 x 2 y1 1 y 1 N 2 y1 1 = N 2 und x 2 y1 1 x 1 2 x 2 N 1 x 1 2 = N 1 sowohl in N 1 als auch in N 2 liegt und N 1 N 2 = {1} gilt. Somit ist ϕ ein Gruppenhomorphismus. Der Kern von ϕ besteht aus allen (x 1, x 2 ) N 1 N 2 mit x 1 x 2 = 1. Diese erfüllen x 1 = x 1 2 N 1 N 2 = {1}. Daher ist ker ϕ trivial und ϕ injektiv. Es folgt, dass N 1 N 2 zur Untergruppe N 1 N 2 von G isomorph ist. Proposition Sind p < q Primzahlen mit der Eigenschaft, dass p kein Teiler von q 1 ist, so ist jede Gruppe der Ordnung pq zyklisch. Beweis. Nach Voraussetzung ist q nicht kongruent zu 1 modulo p. Wegen p < q ist auch p nicht kongruent zu 1 modulo q. Daher können wir genau wie im vorangegangenen Beispiel folgern, dass eine Gruppe G der Ordnung pq genau eine normale p-sylowgruppe und eine normale q-sylowgruppe hat. Diese sind beide zyklisch, da ihre Ordnungen prim sind. Nach Proposition 1.12 ist daher Z/pZ Z/qZ zu einer Untergruppe U von G isomorph. Aus Kardinalitätsgründen ist U = G und aus dem Chinesischen Restsatzes folgt die Gruppe G ist also zyklisch. G = Z/pqZ, 12

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