Algebra. Professor Walter Gubler

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1 Algebra Professor Walter Gubler 29. April 2010

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3 Inhaltsverzeichnis I Algebra I 11 I Gruppentheorie 13 I.1 Gruppen I.1.1 Denition einer Gruppe I.1.2 Eigenschaften von Gruppen I.1.3 Homomorphismus und Untergruppe I.1.4 Eigenschaften von Homomorphismen I.1.5 Gruppenhomomorphismus I.1.6 Monoid I.1.7 Vom Monoid zur Gruppe I.1.8 Die symmetrische Gruppe I.1.9 Vektorraumautomorphismen I.1.10 Gruppenisomorphismus I.1.11 Äquivalente Umformulierung von Gruppenisomorphismus I.1.12 Produkt von Gruppen I.2 Nebenklassen I.2.1 Verknüpfung auf der Potenzmenge I.2.2 Eine Äquivalenzrelation I.2.3 Nachweis dieser Relation I.2.4 Linksnebenklasse = Äquivalenzklasse I.2.5 Repräsentantensysteme I.2.6 Linkstranslation I.2.7 Index einer Gruppe I.2.8 Ordnung einer Gruppe I.2.9 Satz von Lagrange I.2.10 Folgerung I.2.11 Verallgemeinerung I.3 Faktorgruppen I.3.1 Motivation I.3.2 Normalteiler I.3.3 Spezialfall abelsche Gruppen I.3.4 Rechenregeln in G/N I.3.5 Faktorgruppe I.3.6 Kern der Quotientenabbildung I.3.7 Kern als Normalteiler I.3.8 Homomorphiesatz I Isomorphisatz I Isomorphisatz

4 4 INHALTSVERZEICHNIS I.4 Zyklische Gruppen I.4.1 Die kleinste Untergruppe von G, die Y enthält I.4.2 Zyklische Gruppe I.4.3 Ordnung von einem Element I.4.4 Untergruppen von Z I.4.5 Zusammenhang: Ordung einer Gruppe, Ordnung eines Elementes. 26 I.4.6 Zyklische Gruppen und Z I.4.7 Folgerung I.4.8 Zahlentheoretische Ergänzung I.4.9 Lemma von Bezout I.4.10 Folgerung I.4.11 Eulersche Phi-Funktion I.4.12 Satz von Euler I.4.13 Kleiner Satz von Fermat I.5 Permutationsgruppen I.5.1 Satz von Cayley I.5.2 Permutationen und Zyklus I.5.3 Teilweise Kommutativ I.5.4 Weitere Rechenregel für Zykel I.5.5 Zerlegung-Satz über Elemente aus der symmetrischen Gruppe I.5.6 Folgerung I.6 Gruppenoperationen I.6.1 Gruppenaktion I.6.2 Linkstranslation als Gruppenoperation I.6.3 Konjugation als Gruppenoperation I.6.4 Potenzmenge mit Gruppenoperation I.6.5 Potenzmenge mit Gruppenoperation I.6.6 Die Bahn von x I.6.7 Bahnen als Äquivalenzklasse I.6.8 Der Stabilisator I.6.9 Bijektion mit Bahnen I.6.10 Bahnengleichung I.6.11 Zentrum I.6.12 Zentralisator I.6.13 Eigenschaften I.6.14 Eigenschaften I.6.15 Klassengleichung I.6.16 Folgerung I.7 Die Sylow Sätze I.7.1 Beispiel mit der alternierende Gruppe I.7.2 Lemma von Cauchy I Sylow-Satz I.7.4 p-sylow-untergruppe I Sylow-Satz I.8 Klassikation I.8.1 Klassizierung der Z/pZ I.8.2 Klassizierung endlicher abelschen Gruppen I.8.3 Chinesischer Restsatz

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 I.8.4 Isomorphietypen von endlichen abelschen Gruppen I.8.5 Ergänzung I.8.6 Übungsaufgabe I.8.7 Übungsaufgabe I.8.8 Klassikation bis ord = I.8.9 Bemerkung II Ringtheorie 43 II.1 Ringe II.1.1 Denition II.1.2 Kommutative Ringe II.1.3 Rechenregeln II.1.4 Körper als Ring II.1.5 Weitere Ringe II.1.6 Teilbarkeit in Ringen II.1.7 Integritätsbereich II.1.8 Quotientenkörper II.1.9 Ringhomomorphismus II.1.10 Ringisomorphismus II.1.11 Ringtheoretisches Produkt II.2 Ideale und Restklassenringe II.2.1 Motivation II.2.2 Ideal II.2.3 Ring/Ideal II.2.4 Faktorring II.2.5 Eigenschaft II.2.6 Kern als Ideal II.2.7 Homomorphiesatz II.2.8 Vorbereitung II.2.9 Ideale in einem Körper II.2.10 Injektive Körperhomomorphismen II.2.11 Maximalideal und Primideal II.2.12 Eigenschaften II.2.13 Maximalideal ist Primideal II.2.14 Kern als Primideal II.2.15 Chinesischer Restsatz für Ringe II.3 Beispiele für Ringe II.3.1 Matrizen und Determinante II.3.2 Eigenschaften II.3.3 Quaternionen II.3.4 Einsetzhomomorphismus II.4 Teilbarkeit in Monoiden II.4.1 Assoziiertheit II.4.2 Irreduzibel II.4.3 Prim II.4.4 Prim ist irreduzibel II.4.5 Primbedingung II.4.6 Faktorisierung, faktoriell

6 6 INHALTSVERZEICHNIS II.4.7 Teilerkettenbedingung II.4.8 Faktorielle Monoide erfüllen Teilerkettenbedingung II.4.9 Teilerkettenbedingung impliziert Faktorisierung II.4.10 Irreduzibel und prim II.4.11 Faktoriell, Primbedingung und Teilerkettenbedingung II.4.12 ggt und kgv II.5 Hauptideale II.5.1 Erzeugte Ideale II.5.2 Erzeugende des Ideals II.5.3 Hauptideal und Hauptidealbereich II.5.4 Beispiel II.5.5 Grundlegende Äquivalenzen II.5.6 ggt und kgv für Integritätsbereiche II.5.7 Primideal und prim Element II.5.8 ggt und kgv Idealtheoretisch II.5.9 Äquivalenz von prim und irreduzibel II.5.10 Primideale sind maximal II.5.11 Beispiel II.5.12 Chinesischer Restsatz für Hauptidealbereich R II.5.13 Chinesischer Restsatz für Gruppen II.5.14 ggt und Einheiten II.5.15 Spezialfall R=Z II.6 Faktorielle Ringe II.6.1 Faktoriell in Integritätsbereichen II.6.2 Division mit Rest II.6.3 Euklidische Ringe II.6.4 Wiederholung II.6.5 Euklidische Ringe sind Hauptidealbereich II.6.6 Hauptidealbereich sind faktoriell II.6.7 Faktorielle euklidische Ringe II.6.8 Euklidischer Algorithmus II.6.9 Rechenbeispiel II.6.10 Lösen von diophantischen Gleichungen II.6.11 Rechenbeispiel II.7 Polynome über faktorielle Ringe II.7.1 Zerlegung in endlich viele prim Elemente II.7.2 p-adische Bewertung II.7.3 p-adische Bewertung auf Polynome II.7.4 Eigenschaften II.7.5 Gauÿ-Lemma II.7.6 Folgerung II.7.7 Inhalt von f II.7.8 Polynomring über faktorielle Ringe II.7.9 Faktorielle Polynomringe mehreren Variablen über einen Körper.. 66 II.7.10 Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium II.7.11 Beispiel für Eisenstein II.7.12 Beispiel

7 INHALTSVERZEICHNIS 7 III Körper 69 III.1 Grundlagen III.1.1 Eigenschaften III.1.2 Linearfaktorisieren III.1.3 Abspalten der Nullstellen III.1.4 Endlich viele Nullstellen III.1.5 Charakteristischer Ringhomomorphismus III.1.6 Charakteristik III.1.7 Teilkörper III.1.8 Primkörper III.1.9 Charakteristik von Teilkörper III.2 Körpererweiterung III.2.1 Körpererweiterung III.2.2 Grad einer Körpererweiterung III.2.3 Erinnerung III.2.4 Erinnerung III.2.5 Gradformel III.2.6 Körpererweiterung mit Polynomen III.2.7 Polynomiale Konstruktion von C III.2.8 Notation III.2.9 Teilringe von Körpererweiterungen III.2.10 Proposition über Teilringe III.2.11 Körpererweiterung III.2.12 Quotientenkörper von Polynomringe III.3 Algebraische Zahlen III.3.1 Algebraisch und transzendent III.3.2 Beispiele in C und R III.3.3 Äquivalenz von algebraisch III.3.4 Minimalpolynom III.3.5 Äquivalenzen vom Minimalpolynom III.3.6 Vorbereitung III.3.7 Äquivalenz Unterkörper und algebraisch III.3.8 Folgerung III.3.9 Minimalpolynom und Gradformel III.3.10 Beispiel III.3.11 Äquivalenz: algebraisch III.3.12 Algebraischen Elemente als Unterkörper III.4 Zerfällungskörper III.4.1 Nullstellen von K auf seine Körpererweiterung III.4.2 Motivation III.4.3 Vorbereitung III.4.4 Oberkörper der ein p(x) faktorisiert mit Gradabschätzung III.4.5 Teilkörper und Teilring III.4.6 Zerfällungskörper III.5 Algebraisch abgeschlossene Körper III.5.1 Algebraisch abgeschlossen III.5.2 Folgerung aus Denition III.5.3 Fundamentalsatz der Algebra

8 8 INHALTSVERZEICHNIS III.5.4 Erinnerung III.5.5 Zorn'sches Lemma III.5.6 Existenz maximaler Ideale III.5.7 Vereinbarung III.5.8 Algebraisch abgeschlossener Oberkörper III.5.9 Algebraische Körpererweiterung III.5.10 Bemerkung III.5.11 Vorbereitung III.5.12 Algebraischer Abschluss III.5.13 Beispiel IV Galoistheorie 89 IV.1 Normale Körpererweiterung IV.1.1 Normale Körpererweiterung IV.1.2 Homomorphismen von primitiven Körpererweiterungen IV.1.3 Nullstellen Isomorphismus IV.1.4 Äquivalenz von normale Körpererweiterung/Zerfällungskörper IV.1.5 Von Körpererweiterung zur normale Körpererweiterung IV.1.6 Zwischenkörper als normale Körpererweiterung IV.2 Separable Körpererweiterung IV.2.1 Denitionskette von separabel IV.2.2 Lemma zum ggt IV.2.3 Kriterium für separable Polynome IV.2.4 Alle irreduzible Polynome sind separabel in Charakteristik IV.2.5 Algebraische Körpererweiterung mit char(k)=0 sind separabel IV.2.6 Kriterium für separabel IV.2.7 Satz vom primitiven Element IV.2.8 Existenz von Körperhomomorphismen IV.2.9 Äquivalenz für separabel IV.3 Galois-Erweiterung IV.3.1 Erinnerung IV.3.2 Vorbereitung IV.3.3 Äquivalenzen: Automorphismengruppen IV.3.4 Galoiserweiterung IV.3.5 Kriterium für Galoiserweiterung IV.3.6 Hauptsatz der Galoistheorie IV.3.7 Viele Folgerungen IV.3.8 Vorbereitung IV.3.9 Beispiel IV.4 Zyklotomische Körpererweiterungen IV.4.1 Einheitswurzel IV.4.2 Einheitswurzeln in Z/pZ IV.4.3 Die Menge der Einheitswurzeln als Gruppe IV.4.4 Anzahl Einheitswurzeln IV.4.5 Primitive n-te Einheitswurzeln IV.4.6 Folgerungen für primitive Einheitswurzeln IV.4.7 n-te Kreisteilungskörper IV.4.8 Grad des Kreisteilungskörpers

9 INHALTSVERZEICHNIS 9 IV.5 Auösbare Gruppen IV.5.1 Auösbare Gruppe und Normalreihe IV.5.2 Untergruppen sind auösbar IV.5.3 Äquivalenz von auösbar mit Normalteiler IV.5.4 Bilder von auösbaren Gruppen IV.5.5 Verfeinerte Normalreihe IV.5.6 Endliche p-gruppen sind auösbar IV.5.7 Beispiel mit der symmetrischen Gruppe IV.6 Konstruktion mit Zirkel und Lineal IV.6.1 Elementare Zeichentechniken IV.6.2 Konstruierbarer Teilkörper IV.6.3 Invarianz normaler Körpererweiterungen IV.6.4 Transitivität auf den Nullstellen IV.6.5 Hauptsatz IV.6.6 Verallgemeinerung des Hauptsatzes IV.6.7 Delisches Problem IV.6.8 Quadratur des Kreises IV.6.9 Dreiteilung des Winkels IV.6.10 Lemma aus der elementaren Zahlentheorie IV.6.11 Reguläre n-ecke IV.7 Auösbarkeit algebraischer Gleichungen IV.7.1 Quadratische Gleichung IV.7.2 Auösbarkeit durch Radikale IV.7.3 Galoisgruppe eines Polynoms IV.7.4 Zyklische Körpererweiterungen I IV.7.5 Zyklische Körpererweiterungen II IV.7.6 Hauptsatz zur Auösbarkeit IV.7.7 Gleichungen vom Grad kleiner als IV.7.8 Allgemeines Polynom n-ten Grades IV.7.9 Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms IV.7.10 Zum Grad des Zerfällungskörpers IV.7.11 Auösbarkeit der allgemeinen Gleichung IV.7.12 Grad 3 und A Übungen 123 Literaturverzeichnis 133 Symbolverzeichnis 135

10 10 INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Dieses Skript wurde während meiner Vorlesung Algebra I im WS 09/10 an der Eberhard- Karls-Universtität Tübingen von Christian Power erstellt, dem ich dafür vielmals danke. Das Skript kann nur für die Hörer meiner Vorlesung von Nutzen sein. Wer sich sonst für Algebra interessiert, der sei auf die Literaturliste am Ende verwiesen, aus der ich alle hier aufgeschriebenen Informationen genommen habe. Vielen Dank auch denjenigen, die mir Fehler in der Mitschrift gemeldet haben. Es wird noch einige weitere Fehler geben, da die Mitschrift von mir nicht richtig überprüft wurde. Wer weitere Fehler ndet, soll sie bitte an walter.gubler@uni-tuebingen.de melden. Walter Gubler Klassische Algebra = Rechnen und Lösen von polynomialen Gleichungen. Klassische lineare Algebra = Rechnen und Lösen von linearen Gleichungen. Moderne (oder abstrakte) Algebra = Studium von Verknüpfungen In dieser Vorlesung: I Gruppen II Ringe III Körper Im 3.Teil werden wir Körpererweiterungen behandeln. Dies ist die Abstraktion von polynomialen Gleichungen x n + a n 1 x n a 0 = 0. Dies führt auf die Galoistheorie. Als Anwendung können wir entscheiden, welche dieser Gleichungen lösbar sind. Als weitere Anwendung können wir entscheiden, welche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführbar sind. Die Lösung dieser beiden klassischen Probleme geht zurück auf den französischen Mathematiker Galois (anfang 19.Jahrhundert).

11 Teil I Algebra I 11

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13 Kapitel I Gruppentheorie I.1 Gruppen I.1.1 Definition einer Gruppe Definition: Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer inneren Verknüpfung G G G, (a, b) a b mit folgenden Axiomen: i) (a b) c = a (b c) (assoziativ) ii) e G mit a e = e a = a (Neutralelement) iii) a G a 1 G mit a a 1 = a 1 a = e (Inverses Element zu a) I.1.2 Eigenschaften von Gruppen i) Das Neutralelement ist eindeutig. ii) Die Inverse a 1 ist eindeutig zu jedem a G. iii) (a b) 1 = b 1 a 1. iv) Die Gleichung a x = b hat genau eine Lösung in x. Es gilt x = a 1 b. Die Gleichung y a = b hat genau eine Lösung in y. Es gilt y = b a 1. Wir beweisen exemplarisch (ii), die anderen Eigenschaften gehen analog. Wir nehmen an, dass es noch ein a G gibt mit a a = a a = e (wir wissen nach Axiom 1.1 iii), dass a 1 a = a 1 a = e gilt). Zu zeigen: a = a 1. a = e a = (a 1 a) a = a 1 (a a ) = a 1 e = a 1 Axiom ii) Axiom iii) Axiom i) Axiom ii) I.1.3 Homomorphismus und Untergruppe Wir wollen einen Homomorphismus denieren. Dies geht in der Algebra immer nach demselben Prinzip. Man hat gewisse Spielregeln. Die Objekte sind hier Gruppen. 13

14 14 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE Definition: Ein Homomorphismus ist eine Abbildung ϕ : G 1 G 2 zwischen den Objekten, die die Struktur erhält, d.h. hier eine Abbildung ϕ : G 1 G 2 zwischen Gruppen mit ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b). (analog in der linearen Algebra. Objekte = Vektorräume über einem gegebenen Körper K, Homomorphismus ϕ : V 1 V 2 zwischen K-Vektorräume = K-linearen Abbildungen, d.h. ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) x, y V und ϕ(λ x) = λ ϕ(x) λ K) 'Unterobjekte', das sind Teilmengen eines gegebenen Objekts mit derselben 'vererbten' Struktur. Z.B. in der linearen Algebra ist ein Unterobjekt eines Vektorraums V ein Untervektorraum U, dass ist selber ein Vektorraum mit +, vererbt von V. Definition: Eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe G als H G mit den Eigenschaften, dass i) e H (neutrales Element) ii) a, b H a b H (abgeschloßen) iii) a H a 1 H (inverses Element in H) Durch diese 3 Axiome erreicht man, dass H selber eine Gruppe ist bezüglich der von G vererbten Verknüpfung. I.1.4 Eigenschaften von Homomorphismen Sei ϕ : G 1 G 2 ein Homomorphismus von Gruppen. i) ϕ(e 1 ) = e 2 für das Neutralelement e, von G; ii) ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1 für alle a G 1 ; iii) Sei ψ : G 2 G 3 auch ein Gruppenhomomorphismus, dann ist ψ ϕ ein Gruppenhomomorphismus. Beweis. i) Es gilt ϕ(e 1 ) = ϕ(e 1 e 1 ) = ϕ(e 1) ϕ(e 1 ) ϕ(e 1) = e 2 e 1 Neutralelement Homom. Kürzungsregel 1.2 iv) (hier a = ϕ(e 1 ) = b, a x = b hat Lösung x = ϕ(e 1 ) und x = e 2 ) ii) ϕ(a) ϕ(a 1 ) = ϕ(a a 1 ) = ϕ(e 1 ) = e 2 nach i) Analog ϕ(a 1 )ϕ(a) = e 2. Nach Definition des Inversen gilt ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1. iii) ψ ϕ(a b) = ψ ( ϕ(a b) ) = ψ ( ϕ(a) ϕ(b) ) = ψ ( ϕ(a) ) ψ ( ϕ(b) ) ψ ϕ Homomorphismus.

15 I.1. GRUPPEN 15 I.1.5 Gruppenhomomorphismus Definition: Sei ϕ : G 1 G 2 Gruppenhomomorphismus. Der Kern von ϕ ist gleich ker(ϕ) := ϕ 1 (e 2 ) = {a G 1 ϕ(a) = e 2 }. Proposition: ker(ϕ) ist eine Untergruppe von G 1, ϕ(g 1 ) ist eine Untergruppe von G 2. Weiter ist ϕ genau dann injektiv, wenn ker(ϕ) = {e 1 }. Beweis. Übung Beispiel: N 0 ist keine Gruppe bezüglich +. Es gibt zwar ein Neutralelement (=0), aber keine Inversen. Z, + ist die kleinste Gruppe, die N 0, + enthält. (Q, +), (R, +), (C, +) sind Gruppen. Definition: Eine Gruppe G mit Verknüpfung heißt abelsche Gruppe : a b = b a a, b G (kommutativ). Obige Beispiele sind abelsche Gruppen. Beachte, dass man die Verknüpfung auch + nennen darf. Das macht man oft bei abelschen Gruppen. I.1.6 Monoid Z, Q, R, C bezüglich der Verknüpfung sind keine Gruppen. Es gibt zwar das Neutralelement 1, aber 0 hat kein Inverse! Definition: Eine Menge M mit einer assoziativen Verknüpfung heißt Monoid, wenn es ein Neutralelement e gibt, d.h. a e = e a = a für alle a G. Z.B. sind (N 0, +), (Z, ), (Q, ), (R, ), (C, ) Monoide. I.1.7 Vom Monoid zur Gruppe Definition: Sei (M, ) ein Monoid, dann definieren wir M := {a M a 1 M mit a 1 a = a a 1 = e}. Es folgt fast direkt aus den Definitionen, dass M bezüglich eine Gruppe ist. In den Beispielen gilt (Z, ) = { 1, 1}, (Q, ) = Q \ {0}, (R, ) = R \ {0}, (C, ) = C \ {0}.

16 16 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE I.1.8 Die symmetrische Gruppe Sei X eine Menge. M(X) := Menge aller Abbildungen f : X X und wir benutzen die Verknüpfung von Selbstabbildungen. Dann ist M(X) ein Monoid mit dem Neutralelement = 1. M(X) = Menge der bijektiven Abbildungen. Definition: S(X) := M(X) heißt die symmetrische Gruppe auf X. Speziell, wenn X = {1,..., n}, dann ist S(X) die Permutationsgruppe S n aus der linearen Algebra. Jedes σ S n hat ein Signum sig(σ) { 1, 1}. Die Abbildung sig : S n {±1}; ist ein Gruppenhomomorphismus und der ker(σ) ist nach 1.5 eine Untergruppe von S n, die wir mit A n bezeichnen und die alternierende Gruppe heiÿt. Für n 3 sind S n und A n keine abelschen Gruppen. I.1.9 Vektorraumautomorphismen Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Wir Bezeichnen mit GL(V ) die Menge der Vektorraumautomorphismen. Dann ist GL(V ) eine Untergruppe von S(V ) aus 1.8. Für V = K n kann man GL(V ) mit der Gruppe der invertierbaren n n Matrizen (mit ) 'identizieren'. Diese Gruppe der invertierbaren n n Matrizen wird mit GL(n, K) bezeichnet. In der linearen Algebra lernt man den Homomorphismus GL(n, K) det K kennen. SL(n, K) := Kern von det = {A GL(n, K) det(a) = 1} ist eine Untergruppe von GL(n, K) und heiÿt spezielle lineare Gruppe. Bemerkung: Für n 2 ist SL(n, K) und damit auch GL(n, K) nicht abelsch! I.1.10 Gruppenisomorphismus Sei ϕ : G 1 G 2 ein Gruppenhomomorphismus, d.h. ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) a, b G. Definition: ϕ heißt Gruppenisomorphismus, wenn es einen Gruppenhomomorphismus ψ : G 2 G 1 so,dass ϕ ψ = 1 G2 und ψ ϕ = 1 G1. Falls G 1 = G 2, dann spricht man von einen Automorphismus von Gruppen. I.1.11 Äquivalente Umformulierung von Gruppenisomorphismus Proposition: Sei ϕ : G 1 G 2 Gruppenhomomorphismus. Dann ist ϕ genau dann ein Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv ist. (Übung) I.1.12 Produkt von Gruppen Sei (G i ) i I eine Familie von Gruppen. Dann betrachten wir G i = {(x i ) i I x i G i }. i I Dann denieren wir das Produkt der Gruppen (G i ) i I als G i versehen mit der Verknüpfung i G (x i ) i I (y i ) i I := (x i y i ) i I.

17 I.1. GRUPPEN 17 Häugstes Beispiel ist I = {1, 2, 3; d.h.g 1, G 2. G 1 G 2 = {(g 1, g 2 ) g i G i }, (g 1, g 2 ) (g 1, g 2) = (g 1 g 1, g 2 g 2). Es folgt sofort, dass das Produkt von Gruppen von Gruppen wieder eine Gruppe ist.

18 18 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE I.2 Nebenklassen In diesem Abschnitt ist G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Unser Ziel ist es, in 'G modulo H' zu rechnen. Motivierendes Beispiel: G = Z, H = 7Z: m n mod 7 : n + m H (oder (m n H)). Allgemein muss G nicht kommutativ sein. I.2.1 Verknüpfung auf der Potenzmenge Wir wollen zuerst die Verknüpfung erweitern auf Teilmengen von G. Per Denitionen ist das Produkt a priori nur auf den Elementen deniert (oder äquivalent auf einelementigen Teilmengen). Definition: Seien jetzt Y G, Z G. Y Z := {y z y Y, z Z} G. Damit erhalten wir eine Verknüpfung auf P(G). Konvention: Z :=. Assoziativgesetz folgt sofort aus der Assoziativität von G. Neutralelement: {e}. P(G), ist ein Monoid. Keine Gruppe, da die meisten Teilmengen (z.b. ) keine Inverse haben. Bemerkung: Wenn H eine Untergruppe von G ist, dann gilt H H = H (da H H = {h 1 h 2 h i H} H, andererseits H H = {h 1 h 2 h i H} {h 1 e h 1 H} = H. Definition: Für g G, g H := {g} H = {g h h H} heißt eine Linksklasse von H. I.2.2 Eine Äquivalenzrelation Definition: g 1 g 2 : g 1 2 g 1 H ( g 1 kongruent zu g 2 modulo H ). I.2.3 Nachweis dieser Relation Proposition: ist eine Äquivalenzrelation Beweis. g 1 g = e H, d.h. g g (reflexiv) Sei g 1 g 2, d.h. g2 1 g 1 H (symmetrisch) UG.axiom g 1 1 (g2 1 ) 1 = (g2 1 g 1 ) 1 H g 2 g 1 Sei g 1 g 2, g 2 g 3, d.h. g 1 2 g 1 H, g 1 3, g 2 H (g 1 3 g 2 )(g 1 2 g 1 ) assoz. g 1 g 3 (transitiv) I.2.4 Linksnebenklasse = Äquivalenzklasse

19 I.2. NEBENKLASSEN 19 Lemma: Sei g G. Dann ist die Äquivalenzklasse von g bezüglich. gleich der Linksnebenklasse gh. Beweis. Äquivalenzklasse von g = {g G g g} = {g G g 1 g H} = {g G g gh} = gh. I.2.5 Repräsentantensysteme Die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation zerlegen die Grundmenge (hier G) in disjunkte Teil. Wir wählen aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element. Damit erhalten wir ein Repräsentantensystem R. Im Bsp G = Z, H = 7Z können wir R = {0, 1, 2,..., 6} wählen, aber andere Wahlen sind auch möglich, z.b. R = { 49, 8, 2, 3, 4, 5, 6}. G = g R gh (I.1) I.2.6 Linkstranslation Sei g G.. Dann denieren die Linkstranslation mit g durch T g : G G, x g x. Die Linkstranslation ist eine bijektive Abbildung, denn sie hat als Umkehrabbildung T g 1. I.2.7 Index einer Gruppe Wir nehmen nun an, dass G eine endliche Gruppe ist. Die Anzahl der Linksnebenklassen von H heiÿt der Index von H in G. Der Index wird mit (G : H) bezeichnet. I.2.8 Ordnung einer Gruppe Die Anzahl der Element von G heiÿt die Ordnung von G. Sie wird ord(g) bezeichnet. I.2.9 Satz von Lagrange Satz: ord(g) = ord(h)(g : H) Beweis. Nach (I.1) gilt ord(g) = g R gh. Nach I.2.6 gilt gh = T g(h) T g bijektiv = H = ord(h). ord(g) = R ord(h). Weil R ein Repräsentantensystem ist und die Äquivalenzklassen gleich den Linksnebenklassen, muss R = (G H) sein und es folgt die Satz. I.2.10 Folgerung

20 20 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE Korollar: ord(h) ist ein Teiler von ord(g). I.2.11 Verallgemeinerung Bemerkung: Man kann I.2.7 bis I.2.10 verallgemeinern für unendliche Gruppen G, wenn man ord(g) = setzt und die Rechenregeln n = n N { } im Satz von Lagrange benutzt.

21 I.3. FAKTORGRUPPEN 21 I.3 Faktorgruppen Unser Ziel: Sei H wieder eine Untergruppe von G. Wir wollen eine Gruppenstruktur G/H denieren analog zu Z/7Z. I.3.1 Motivation Wir denieren G/H als Menge der Äquivalenzklassen bezüglich. aus I.2.2. Also ist G/H = {gh g G} die Menge der Linksnebenklassen nach I.2.4: naiv: (g 1 H) (g 2 H) := g 1 g 2 H Achtung! Leider funktioniert das nicht bei beliebigen Untergruppen H von G, weil die Denition von der Wahl des Repräsentanten g 1 bzw. g 2 abhängt. Wir werden eine zusätzliche Eigenschaft an H verlangen und die entsprechende Untergruppen Normalteiler nennen. Für Normalteiler werden wir zeigen, dass obige Denition klappt. Umgekehrt kann man zeigen, dass die Eigenschaft Normalteiler auch hinreichend ist. I.3.2 Normalteiler Definition: Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler : gng 1 = N g G. Zur Erinnerung: gng 1 := {g g 1 x N} und wir lassen oft weg. Wenn N ein Normalteiler von G ist, dann bezeichnen wir das mit N G. I.3.3 Spezialfall abelsche Gruppen In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler: gng 1 = Ng g 1 = Ne = N abelsch Zur Erinnerung. Sei jetzt N G. Wir denieren g 1 g 2 : g 2 1 g 1 N G/N der Raum der Äquivalenzklassen. Für g G sei g die Äquivalenzklasse von g. Wir haben in 2.4 gesehen, dass g = gn gilt. Ziel: Gruppenstruktur auf G/N, repräsentantenweise deniert (analog zu Z/nZ). I.3.4 Rechenregeln in G/N Proposition: Sei N G. Dann ist G/N eine Gruppe bezüglich g 1 g 2 := g 1 g 2. Beweis. Wir müssen zuerst zeigen, dass die oben definierte Verknüpfung wohldefiniert ist auf G/N, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten. Seien also g 1 g 1, dann ist zu zeigen, dass g 1 g 2 g 1g 2. (g 1g 2 ) 1 g 1 g 2 = g 1 1 g 1 g 2 g2 1 Ng 2 = } {{ } N g 1g 2 g 1g 2. Normalteiler N, da g 1 g 1 2 g 1

22 22 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE Sei g 2 g 2. Zu zeigen: g 1 g 2 g 1 g 2. (g 1 g 2) 1 (g 1 g 2 ) = (g 2) 1 g1 1 g 1 g 2 = (g 2) 1 g 2 N. g 2 g 2 Fazit: Die Verknüpfung ist wohldefiniert auf G/N. Die Gruppenaxiome für G/N folgt aus den entsprechenden Axiom für G, weil wir repräsentantenweise rechnen dürfen. I.3.5 Faktorgruppe Definition: G/N heißt Faktorgruppe. I.3.6 Kern der Quotientenabbildung Die Quotientenabbildung π : G G/N, g g, ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, weil wir in G/N repräsentantenweise rechnen dürfen. Proposition: ker(π) = N. Beweis. I.3.7 Umgekehrt gilt g ker(π) π(g) = e g = e g e 2.4 g en = N. Kern als Normalteiler Proposition: Sei ϕ : G 1 G 2 ein Gruppenhomomorphismus, dann ist ker(ϕ) ein Normalteiler in G 1. Beweis. 1.Schritt: Sei g 1 G 1, dann gilt g 1 ker(ϕ)g 1 1 ker(ϕ). Für x ker(ϕ) gilt ϕ(g 1 x g 1 ) = ϕhom. ϕ(g 1 )ϕ(x)ϕ(g 1 ) 1 = x ker(ϕ) ϕ(g 1)e 2 ϕ(g 1 ) 1 = ϕ(g 1 )ϕ(g 1 ) 1 = e 2, d.h. g 1 xg1 1 ker(ϕ) und somit g 1 ker(ϕ)g1 1 ker(ϕ). 2.Schritt: g 1 ker(ϕ)g1 1 ker(ϕ). Wir benutzen den ersten Schritt für g1 1 statt für g 1. Dies ist erlaubt, weil g1 1 G 1. 1.Schritt g 1 1 ker(ϕ)(g 1 1 ) 1 g 1 1 ker(ϕ)g 1 ker(ϕ). Mit Multiplikation von links mit g 1 von rechts und von rechts mit g 1 1 folgt ker(ϕ) = g 1 ( g 1 1 ker(ϕ)g 1 ) g 1 1 g 1 ker(ϕ)g 1 1.

23 I.3. FAKTORGRUPPEN 23 I.3.8 Homomorphiesatz Sei ϕ : G 1 G 2 ein Gruppenhomomorphismus. Satz: Es gibt genau einen Homomorphismus ϕ : G 1 / ker(ϕ) G 2 so, dass ϕ(x) = ϕ(x). Weiter induziert ϕ einen Isomorphismus G 1 / ker(ϕ) ϕ(g 1 ). Beweis in den Übungen. I Isomorphisatz Satz: Sei G Gruppe, H Untergruppe und N G. a) HN ist eine Untergruppe von G mit Normalteiler N HN. b) H N H c) ϕ : H/H N (H N)/N, x(h N) xn ist ein Isomorphismus. Beweis. a) Wir nehmen zwei Elemente h 1 n 1 H N und h 2 n 2 H N (mit n i H, n i N) und müssen zeigen, dass (h 1 n 1 ) (h 2 n 2 ) H N ist. Wir wollen benutzen, dass N ein Normalteiler in G ist und somit gng 1 = N g G. Wenn man dies für g 1 statt g benutzt, folgt auch g 1 Ng = N g G (I.2) (h 1 n 1 ) (h 2 n 2 ) = h 1 h 2 h 1 2 n 1 h 2 n 2 h 1 h 2 Nn 2 h 1 h 2 N N } {{ } N nach (I.2) H,N Unt.grp. H N. Also ist eine innere Verknüpfung auf H N. Da e = e e e H N. Sei h n H N, (h n) 1 = n 1 h 1 = h 1 hn } 1 {{ h 1 } h 1 N N, da N G HN H Unt.grp. Somit sind alle Untergruppen Axiome erfüllt. Weiterhin gilt H N G, also gilt insbesondere N HN. Damit folgt a). b) Der Durchschnitt zweier Untergruppen ist offensichtlich wieder eine Untergruppe. Zu zeigen bleibt, dass H N die Normalteilereigenschaft erfüllt: Sei h H. Zu zeigen ist h(h N)h 1 = H N. Sei also n H N. Weil H eine Untergruppe ist, muss hnh 1 H. Weil N G hnh 1 N. Zusammengefasst gilt hnh 1 H N und damit haben wir h(h N)h 1 H N gezeigt. Wie im Beweis von I.3.7 folgt schon "Gleichheit". Damit folgt b). c) Sei ϕ die Abbildung aus der Behauptung. Weil H N N, ist ϕ wohldefiniert. Weil die Abbildung repräsentantenweise definiert ist, muss ϕ ein Gruppenhomomorphismus sein. Wir behaupten zuerst, dass ϕ surjektiv ist. Sei hnn ein beliebiges Element aus

24 24 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE (H N)/N. Dann gilt ϕ ( h(h N) ) = h N = hn N, weil N eine Untergruppe ist. ϕ surjektiv. Als nächstes bestimmen wir den Kern der Abbildung H (H N)/N, h hn. h im Kern hn = en = N h N. N Untergrup. Fazit: Kern der obigen Abbildung ist gleich H N. Nach I.3.8 folgt, dass ϕ : H/H N H N ein Isomorphismus ist. I Isomorphisatz Satz: Sei N G,H G, N H G. a) N H b) H/N G/N c) (G/N)/(H/N) G/H, gn gh ist ein Gruppenisomorphismus ("Kürzungszegel") Beweis. Wir wollen zunächst überlegen, dass man H/N als Untergruppe von G/N auffassen kann. Man betrachtet hierzu den Gruppenhomomorphismus H i G π G/N, wobei i die Inklusion und π die kanonische Projektion bezeichne. Da ker(π i) = N (hier wurde benutzt dass N H), liefert er mit I.3.8 einen Monomorphismus H/N G/N, so dass wir H/N mit seinem Bild in G/N identifizieren können. π i H G/N π 1 π i H/N Damit können wir H/N als Untergruppe von G/N betrachten. Mit I.3.7 wissen wir außerdem: N H. Als Nächstes beachte man, dass der Kern H der kanonischen Projektion G G/H den Normalteiler N enthält. Also induziert dieser Epimorphismus gemäß I.3.8 einen Epimorphismus G/N G/H, dessen Kern ein Normalteiler ist und mit dem Bild von H unter der Projektion G G/H übereinstimmt. Dieses Bild von H unter der Projektion G G/N übereinstimmt. Dieses Bild hatten wir gerade mit H/N identifiziert. Wenden wir dann I.3.8 nochmals an, so folgt, dass G/N G/H einen Isomorphismus (G/N)/(H/N) G/H induziert.

25 I.4. ZYKLISCHE GRUPPEN 25 I.4 Zyklische Gruppen I.4.1 Die kleinste Untergruppe von G, die Y enthält Sei Y G. Dann bezeichnen wir mit Y die kleinste Untergruppe von G, die Y enthält. Y heiÿt die von Y erzeugte Untergruppe von G. Proposition: Y = { g δ 1 1 g δr r r N, g j Y, δ j {1, 1} } (Produkte von Elementen aus Y oder ihrer Inversen). Beweis. Klar ist, dass die rechte Seite in jeder Untergruppe H enthalten ist mit H Y. Weiter ist die rechte Seite eine Untergruppe, denn sie ist abgeschlossen unter und (g δ 1 1 gr δr ) 1 = (gr δr ) 1 (g δ 1 1 ) 1 = gr δr g δ 1 1 ist auch von dieser Bauart. I.4.2 Zyklische Gruppe Eine Gruppe, die von einem Element erzeugt wird, heiÿt zyklisch, das heiÿt es gibt einen Erzeuger g G mit G = g. Nach I.4.1 gilt dann G = {g n n Z}, wobei wir (g 1 ) m =: g m für m N denieren. Beachte, dass eine zyklische Gruppe abelsch ist: g n g m = g n+m = g m+n = g m g n Im Abschnitt I.4 wollen wir die einfachsten Gruppen studieren. Das sind diejenigen Gruppen, die von einem Element erzeugt werden. Sie heiÿen zyklische Gruppen und haben nach I.4.1 die Form G = {g n n Z}. Hier ist g m := g g g für m N und g m := (g 1 ) m. } {{ } m fach Weiter sei g 0 := e. Beachte, dass die Elemente g n in der zyklischen Gruppe G nicht notwendigerweise verschieden sind. Zur Klärung dieses Sachverhalts führen wir eine beliebige Gruppe G und g G folgendes ein. I.4.3 Ordnung von einem Element Definition: Die Ordnung von g ist ord(g) := min{n N g n = e}. Wenn es kein n N gibt mit g n = e, dann sei ord(g) :=. Das einfachste Beispiel einer zyklische Gruppe ist Z. Dabei ist 1 erzeugend. Beachte, dass der Erzeuger eine zyklische Gruppe nicht eindeutig ist, in Z ist auch 1 erzeugend. I.4.4 Untergruppen von Z Lemma:a) Jede Untergruppe von Z hat die Form mz für geeignetes m Z. b) Umgekehrt ist mz eine Untergruppe von Z für alle m Z. c) m 1 Z = m 2 Z m 2 = ±m 1.

26 26 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE a). Sei H Untergruppe von Z. OBdA H {0} k H \ {0} H Untergr. k H. Also gibt es ein l H mit l > 0. Sei m das kleinste positive Element in H. Wir behaupten, dass mz = H ist. Weil H Untergruppe von Z ist und m N mz H. Sei h H. Mit der Division mit Rest gibt es q, r Z, 0 r < m 1 so, dass h = qm + r. Da h H und m N, folgt q m H und somit r = h qm H. Da m das kleinste positive Element in H ist, folgt r = 0. h = qm Z m, d.h. H mz. Insgesamt gilt H = mz und es folgt a). b) und c) sind trivial. I.4.5 Zusammenhang: Ordung einer Gruppe, Ordnung eines Elementes Lemma: Sei G eine Gruppe und g G. Die Ordnung der von g erzeugten Untergruppe g ist gleich ord(g). Kurz: ord(g) = ord( g ). Beweis. Wir betrachten die Abbildung ϕ : Z G, n g n. Aufgrund der Potenzgesetze ist ϕ ein Gruppenhomomorphismus und das Bild von ϕ ist gerade gleich g nach I.4.1. Damit ist ker(ϕ) eine Untergruppe von Z. Nach Lemma I.4.4 gibt es ein m N 0 mit ker(ϕ) = mz. Nun gilt g n = g k g n k = e n k ker(ϕ) = mz m n k. 1.Fall: ord(g) < : Nach Definition ist ord(g) = kleinste positive Element in ker(ϕ) = m. Andererseits besteht g = {g l l Z} aus den verschiedenen Elementen e = g 0, g = g 1, g 2,..., g m 1 (nach ( )). ord( g ) = m = ord(g). Dies zeigt den 1.Fall. 2.Fall: ord(g) = : Dann gibt es kein n Z mit g n = e. ker(ϕ) = {0}. Nach ( ) sind somit alle g n, n Z, verschieden. ord( g ) = = ord(g). ( ) I.4.6 Zyklische Gruppen und Z Proposition: Sei G eine Gruppe. Dann gilt: a) G ist genau dann zyklisch, wenn es ein m N 0 gibt mit G = Z/mZ. b) Falls G eine endliche zyklische Gruppe ist, dann gilt G = Z/ ord(g)z. c) Eine unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu Z. a). = ist trivial, 1 ist erzeugend in Z/mZ. Wir betrachten wieder den Gruppenhomomorphismus ϕ : Z G, n g n aus dem Beweis von Lemma I.4.5. Wir haben gesehen, dass ker(ϕ) = Zm gilt Z/mZ = Z/ ker(ϕ) = ϕ(z) = Beweis von I.4.5 g = G. nach Konstr.

27 I.4. ZYKLISCHE GRUPPEN 27 Dies zeigt a). Weiter folgen b) und c) sofort aus a). I.4.7 Folgerung Bemerkung: Sei g G, ord(g) <, k Z. g k = e ord(g) k. Beweis. Mit dem ϕ aus dem Beweis von Lemma I.4.5 folgt: g k = e k ker ϕ k mz k ord(g)z ord(g) k m = ord(g) nach 1.Fall in Beweis von I.4.5. I.4.8 Zahlentheoretische Ergänzung Sei g G, dann ist ord(g) := min{k N g k = e}. (Falls, dann ord(g) =.) Satz: Sei G eine endliche Gruppe und g G. Dann gilt ord(g) ord(g). Beweis. I.4.9 Lemma von Bezout ord(g) = I.4.5 ord( g ) ord(g) Lemma: Sei a, b Z. Dann x, y Z mit xa + yb = ggt(a, b). Beweis. Später in II Ringtheorie. Beweisidee: Wende II.5.8 geschickt an. I.4.10 Folgerung Korollar: Für m N gilt (Z/mZ) = {k ggt(k, m) = 1}. Beweis. k (Z/mZ) x Z/mZ mit k x = 1 x Z mit k x 1 (mod m) x, y Z mit 1 k x = m y x, y Z mit kx + my = 1 ggt(k, m) = 1 ( = folgt aus dem Lemma von Bezout. = Durch Negation. Wenn l := ggt(k, m) 1, dann gilt l k und l m und damit l kx + my für alle x, y Z.) I.4.11 Eulersche Phi-Funktion

28 28 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE Definition: Die Eulersche ϕ-funktion ist gegeben durch ϕ(m) := (Z/mZ) für alle m N, d.h. ϕ(m) ist die Anzahl der Elemente in 1, 2,..., m 1, die teilerfremd zu m sind (nach Korollar I.4.10). Z.B. ϕ(10) = 4, ϕ(7) = 6. Man zählt die Anzahl der x mit ggt(10, x) = 1. Das ist erfüllt für x = 1, 3, 7, 9. I.4.12 Satz von Euler Satz: Sei a Z, m N und ggt(a, m) = 1. Dann gilt a ϕ(m) 1 (mod m). Beweis. G = (Z/mZ) ist eine endliche Gruppe bezüglich der Ordnung ϕ(m). Nach Korollar I.4.10 gilt a G. Aus Satz I.4.8 folgt ord(a) ord(g) und ord(g) = ϕ(m), also gilt ϕ(m) = l ord(a) für ein l N. 1 = a ord(a) = 1 = 1 l = ( a ord(a)) l = a l ord(a) = a ϕ(m) (Z/mZ). nach Definition I.4.13 Kleiner Satz von Fermat Satz: Sei p prim und a Z, dann gilt a p a (mod p). Beweis. 1.Fall: p a. Es gilt ϕ(p) = p 1 (mod p) 2.Fall: p a = a p 0 a (mod p). Satz vom Euler = a p 1 1 (mod p) = a p a Z.B (mod 7).

29 I.5. PERMUTATIONSGRUPPEN 29 I.5 Permutationsgruppen In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die symmetrische Gruppe S(x) aus Beispiel I.1.8 entscheidend ist für die Gruppentheorie. Wir werden insbesondere S n hier studieren. I.5.1 Satz von Cayley Satz: Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe von S(X) für ein geeignete Menge X. Falls n := ord(g) <, dann kann man X = {1,..., n} also S(X) = S n wählen. Beweis. Wir wählen X = G und definieren eine Abbildung ϕ: G S(X), g T g wobei T g die Linkstranslation mit g ist. Wir haben in I.2.6 gesehen, dass T g eine bijektive Abbildung und damit ist ϕ wohldefiniert. Wir zeigen, dass ϕ ein Gruppenhomomorphismus ist. Seien g 1, g 2 G: ( ) ϕ(g 1 g 2 ) (x) = T g1 g 2 (x) = (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x) = T g1 (g 2 x) = T g1 (T g2 (x)) = (T g1 T g2 )(x) = ( ) ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ) (x). Es folgt, dass ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ) und somit ist eine Gruppenhomomorphismus. Um zu zeigen, dass G isomorph ist zu der Untergruppe ϕ(g) von S(X), genügt es zu zeigen, dass ϕ injektiv ist. Dazu müssen wir nach I.1.5 zeigen, dass ker(ϕ) = {e} gilt. g ker(ϕ) T g = 1 G g x = x x G Kürzungsregel g = e Wenn ord(g) = n endlich ist, dann ist X = G bijektiv zu {1,..., n} und somit können wir S(X) ersetzen durch S n. I.5.2 Permutationen und Zyklus Die Elemente von S n heiÿen Permutationen und sie werden mit ( ) n Π = π(1) π(2) π(3) π(n) bezeichnet. Ein π S n hieÿt Zyklus, wenn es verschiedene Elemente i 1,..., i r mit r 2 aus {1,..., n} gibt, so dass π i 1 i 2 π... π i r und π(j) = j für alle j / {i 1,..., i r }. Notation für diesen Zyklus π ist π = (i 1,..., i r ), r heiÿt die Ordnung von π. Zyklen der Ordnung 2 sind die Transpositionen, z.b. (14) heiÿt und alles andere bleibt fest. 1 4 I.5.3 Teilweise Kommutativ

30 30 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE Proposition: Paarweise disjunkte Zyklen (i 1 i r ) und (j 1 j s ) kommutieren. Disjunkt heißt {i 1,..., i r } {j 1,..., j s } =. Beweis. Durch Einsetzen der Zahlen k {1,..., n} sieht man durch eine Fallunterscheidung, dass ( (i1 i r ) (j 1 j s ) ) (k) = ( (j 1 j s )(i 1 i r ) ) (k). I.5.4 Weitere Rechenregel für Zykel Proposition: Sei π S n, (i 1 i r ) Zyklus. Dann gilt π(i 1 i r )π 1 = (π(i 1 ) π(i r )). Beweis. Wir unterscheiden zwei Fälle: 1.Fall: Sei π 1 (j) / {i 1,..., i r }. Dann gilt ) ( ) (π (i 1 i r ) π 1 (j) = π (i 1 i r ) (π 1 (j)) = (π)(π 1 (j)) = j. Angenommen (π(i 1 ) π(i r ))(j) = π(i l ) für ein geeignetes l N. Dann würde π 1 (j) = i l 1 gelten was ein Widerspruch ist. 2.Fall: Sei π 1 (j) {i 1,..., i r }. Dann gibt es ein ein l N mit π 1 (j) = i l j = π(i l ). ) ( ) (π (i 1 i r ) π 1 (j) = π (i 1 i r ) (i l ) = (π)(i l+1 ) = π(i l+1 ). I.5.5 Zerlegung-Satz über Elemente aus der symmetrischen Gruppe Satz: Jedes π S n ist eine Produkt von disjunkten Zyklen, eindeutig bis auf Reihenfolge. Beweis mit Induktion nach n. Beginne mit i 1 π i 1 i 2 π... π i r Der Zyklus (i 1 i r ) stimmt mit π auf {i 1,..., i r } überein. Weil π eine Permutation ist, muss π das Komplement von {1,..., i r } bijektiv auf sich selbst abbilden ( {1,..., i r } =: K). Nach Induktion kann man π K also Produkt von disjunkten Zyklen schreiben, eindeutig bis auf Reihenfolge, d.h. π k = γ 2 γ t mit γ i Zyklus. Setze γ 1 := (i 1 i r ), dann gilt nach Konstruktion π = γ 1 γ 2 γ t. Die Eindeutigkeit bis auf Reihenfolge ist klar nach Konstruktion.

31 I.5. PERMUTATIONSGRUPPEN 31 I.5.6 Folgerung Satz: Jedes π S n ist Produkt von Transpositionen. Beweis. Nach Satz I.5.5 können wir OBdA annehmen, dass Π = (i 1 i r ). Es gilt aber (i 1 i r ) = (i 1 i 2 )(i 2 i 3 ) (i r 1 i r ).

32 32 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE I.6 Gruppenoperationen Oft treten Gruppen geometrisch auf. Standardbeispiel aus dem 1.Übungsblatt: G = Menge der linearen Abbildungen, die ein reguläres 6-Eck X mit Zentrum 0 invariant lassen. Gruppe G = D 6 mit 12 Elementen. Dieses Studium wollen wir jetzt vollkommen abstrakt für beliebige Gruppen G und beliebige Mengen X verallgemeinern. Dieses liefert im nächsten Abschnitt die tief liegenden Sylow-Sätze. I.6.1 Gruppenaktion Definition: Es sei G eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe und X eine Menge. G operiert auf X : wir haben eine Abbildung G X X, (g, x) g x X, mit: (a) e x = x für das neutrale Element e in G und für alle x X. (b) g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 ) x für g 1, g 2 G, x X. Bemerkung: I.6.2 X selber wird damit nicht zu einer Gruppe, nur g x X ist für g G und x X erklärt! Für g G definieren wir eine Abbildung T g : X X, x g x. Beachte, dass T g bijektiv ist mit inversen Abbildung T g 1. T g 1(T g (x)) = T g 1(g x) = g 1 (gx) = (b) (g 1 g)x = ex = (a) x Analog T g T g 1 = 1. Insbesondere ist T g S(X) und (a),(b) zeigen, dass die Abbildung G S(X), g T g, ein Gruppenhomomorphismus ist. Die Gruppenoperation (oder Gruppenaktion) von G auf X heißt effektiv : T g = 1 nur für g = e, d.h. der Kern des obigen Gruppenhomomorphismus G S(X) muss gleich {e} sein. Linkstranslation als Gruppenoperation Beispiel: Sei G eine Gruppe. Wir wählen X := G und dann haben wir folgende natürliche Gruppenoperation von G auf X: Wir wählen G X X, (g, x) g x als dieselbe Operation, die durch die Gruppenverknüpfung gegeben ist. Dann ist T g (x) = g x gerade die alte Linkstranslation. Diese Gruppenoperation ist effektiv: I.6.3 T g = 1 g x = x x X = G x 1 g = e. Konjugation als Gruppenoperation Beispiel: Sei G wieder eine Gruppe und X = G. Dann definieren wir eine zweite natürliche Gruppenoperation von G auf X. Wir wählen G X X, (g, x) g x := g x g 1.

33 I.6. GRUPPENOPERATIONEN 33 Wir sagen, dass x mit g konjugiert wird. Also haben wir T g (x) := g x = g x g 1. T g : G = X X = G heißt innere Automorphismus von G. Wir zeigen, dass T g wirklich ein Gruppen-Automorphismus ist. Bijektiv haben wir ganz allgemein in 6.1 gesehen. T g (x y) = g (x y) g 1 = gxg 1 gyg 1 = T g (x) T g (y). Wir müssen noch zeigen, dass eine Gruppenoperation ist von G auf X. (Übung) Wir sagen, dass G durch Konjugation auf X = G operiert. Diese Gruppenoperation muss nicht effektiv sein, z.b. wenn G abelsch ist, dann gilt T g = 1 g G. I.6.4 Potenzmenge mit Gruppenoperation 1 Beispiel: G operiert effektiv auf P(G) durch Linkstranslation: X := P(G), G X X, (g, Y ) g Y ; wobei Y G.Man kann dieses Beispiel noch variieren und X als die Menge der Linksnebenklassen einer gegebenen Untergruppe H nehmen. Dieselbe Vorschrift liefert dann eine effektive Gruppenoperation auf der Menge der Linksnebenklassen oder äquivalent auf G/H. I.6.5 Potenzmenge mit Gruppenoperation 2 Beispiel: G sei wieder eine Gruppe und X := P(G). Dann operiert G auf X = P(G) durch Konjugation: G P(G) P(G), (g, Y ) g Y := g Y g 1. Wieder muss man zeigen, dass dies eine Gruppenoperation ist. I.6.6 Die Bahn von x Sei eine Gruppenoperation von G auf der Menge X gegeben. Definition: Für x X heißt G x = {g x g G} die Bahn von x. Beispiel: X= reg. 6-Eck, G = D 6, x =Punkt1 = bahn von x = G x = X. I.6.7 Bahnen als Äquivalenzklasse Wir denieren eine Relation auf X durch x y : g G mit x = g y. Wie in Abschnitt I.2 zeigt man, dass eine Äquivalenzrelation ist und die Äquivalenzklassen sind die Bahnen. I.6.8 Der Stabilisator Definition: Für x X heißt Stab(x) := {g G g x = x} der Stabilisator von x X. Offensichtlich ist Stab(x) eine Untergruppe von G.

34 34 KAPITEL I. GRUPPENTHEORIE I.6.9 Bijektion mit Bahnen Proposition: G operiere auf X und x X. G/ Stab(x) G x, g Stab(x) g x, ist eine Bijektion. Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist, d.h. unabhängig von der Wahl des Repräsentanten g in der Linksnebenklasse g Stab(x). Sei also g g Stab(x), d.h. h Stab(x) mit g = g h. = g x = b) g (h x) = h Stab(x) g x surjektiv ist klar aus der Definition der Bahn. injektiv: g 1 x = g 2 x g 1 2 (g 1 x) = g 1 2 (g 2 x) = a),b) x = b) g 1 2 g 1 Stab(x) g 1 g 2 Stab(x) g 1 Stab(x) = g 2 Stab(x) I.6.10 Bahnengleichung Satz: Sei G eine endliche Gruppe, X eine endliche Menge, G operiere auf X und R ein Repräsentantensystem aus X bezüglich der Äquivalenzrelation von oben, d.h. aus jeder Bahn wählen wir genau ein Element. Dann gilt X = x R (G : Stab(x)) } {{ } G / Stab(x) Beweis. X = disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen = disjunkte Vereinigung der bahnen. = X = x R Gx. Nach Proposition I.6.9 gilt Gx = G/ Stab(x) = G / Stab(x) = (G Stab(x)) nach Lagrange. I.6.11 Zentrum Definition: Z := {g G g x = x g x X} Das Zentrum ist oensichtlich eine abelsche Gruppe und ein Normalteiler von G I.6.12 Zentralisator

35 I.6. GRUPPENOPERATIONEN 35 Definition: Sei x G, dann heißt Z(x) := {g G g x = x g} der Zentralisator von G. I.6.13 Man zeigt leicht: Eigenschaften a) G abelsch G = Z G = Z(x) x G. b) Z(x) ist eine Untergruppe von G. c) Z(x) = G x Z. I.6.14 Eigenschaften Wir wenden nun die Klassengleichung I.6.10 auf die Operation von G auf G an, die durch Konjugation gegeben ist (siehe Beispiel I.6.3). Wir erinnern, dass X := G und die Operation war deniert durch G X X, (g, x) g x := g x g 1 (Konjugation von x mit g). Es gilt für x G: i) Stab(x) := {g G g x } {{ } g x g 1 = x} = Z(x) ii) x Z Z(x) = G i) {g G g x = x} = G c) z.z. [Bahn G x hat nur ein Element] = Es gelte {g G g x = x} = G = g x = x g G = G x = {x}. = Falls die Bahn G x einelementig ist, dann gilt G x = {x} = g x = x g G. I.6.15 Klassengleichung Theorem: Sei G eine endliche Gruppe. Wir wählen aus jeder Konjugationsklasse {gxg 1 g G} = G x genau ein Element und bilden damit das Repräsentantensystem R. Weiter sei R = {x R G x > 1}. Dann gilt die Klassengleichung ord(g) = ord(z) + x R (G : Z(x)) Beweis. ord(g) = 6.10 x R(G : Stab(x)) = x R(G : Z(x)). Es gilt R = Z R. = i) ii) ord(g) = x Z(G : Z(x)) + x R (G : Z(x)) = x Z G : G c) ord(z) + x R (G : Z(x)). } {{ } 1 + x R (G : Z(x)) =