Computeralgebra in der Thermo- und Fluiddynamik: Zustandsgleichung, Zustandsänderungen und Kreisprozesse

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1 5. TAG DER LEHRE 20. NOVEMBER 2003 FACHHOCHSCHULE NÜRTINGEN HOCHSCHULE FÜR WIRTSCHAFT, LANDWIRTSCHAFT UND LANDESPFLEGE Computeralgebra in der Thermo- und Fluiddynamik: Zustandsgleichung, Zustandsänderungen und Kreisprozesse Karl Bühler Übersicht Die Computeralgebra ermöglicht einen neuen Zugang zum Studium von Aufgabenstellungen in der Thermo- und Fluiddynamik in der Lehre und Forschung. Bisherige Grenzen durch den Umfang analytischer Methoden können mit der Computeralgebra überschritten werden. Die zusätzlichen Möglichkeiten der grafischen Darstellung und der Animation der Ergebnisse erlauben einen vertieften Einblick in die physikalischen Eigenschaften der Lösungen. Wir bearbeiten die folgenden Aufgabenstellungen mit dem Computeralgebra-System Maple: Thermische und kalorische Zustandsgleichungen und Zustandsänderungen idealer Gase sowie Kreisprozesse in idealisierter Form. 1. Einleitung Die Thermodynamik und die Fluiddynamik sind wichtige Grundlagenfächer des Ingenieurwesens, besonders im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik. Erfahrungsgemäß bereiten diese mathematisch-physikalischen Grundlagen vielen Studierenden Schwierigkeiten beim Erlernen und Anwenden der Stoffgebiete [1]. Mit der Computeralgebra haben sich in jüngster Zeit neue Methoden zur mathematischen Bearbeitung, Simulation und Visualisierung ergeben. Für zeitabhängige Vorgänge sind mit Animationen neue Möglichkeiten zur zeitlichen Darstellung der physikalischen Prozesse eröffnet. Zur Anwendung kommt hier das Computeralgebra- System Maple 8 [2]. Zahlreiche Bücher sind für die Bearbeitung mathematischer Problemstellungen mit Maple bekannt [3,4]. Anwendungen in der Thermo- und Fluiddynamik sind in den Tagungsbeiträgen [5,6] beschrieben. In dieser Arbeit wird der Zugang zur Thermodynamik mit Maple an Beispielen zur Simulation und Visualisierung von Zustandsänderungen und Kreisprozessen aufgezeigt. 2. Problembeschreibung Die Eigenschaften idealer Gase mit konstanten spezifischen Wärmen werden durch Zustandsgleichungen beschrieben. Die quantitative Darstellung wird in dem Arbeitsblattauszug in Kap. 3.1 aufgezeigt. Die Zustandsänderungen erfolgen meistens unter der Vorgabe spezieller Bedingungen, wie zum Beispiel konstantes Volumen oder konstante Temperatur. 119

2 Bild 1: Ideales Gas im Zylinder mit beweglichem Kolben Bei den Kreisprozessen erfolgen die Zustandsänderungen des im Zylinder eingeschlossenen Gases auf einem geschlossenen Kurvenzug im p,v- Diagramm. In dem Arbeitsblattauszug in Kap. 3.2 sind unterschiedliche Kreisprozesse in quantitativer Form darstellbar. Mit Animationen lassen sich die dynamischen Eigenschaften visualisieren. 3. Darstellungen mit Maple 3.1 Zustandsdiagramme und Zustandsänderungen Das p,v-diagramm in Bild 2 entspricht der grafischen Darstellung der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gase. Die Isothermen entsprechen den hyperbelförmigen Kurven mit der absoluten Temperatur als Parameter. Die Realisierung erfolgt mit wenigen Maple-Befehlen: > restart; with(plots): > p(v):=10^(-5)*287*t/v; > plot({seq(10^(-5)*287*(n* )/v,n=1..20)},v=0..1,p=0..10, labels=[`volumen v`,`druck p`],title=luft,axes=boxed,color=black); 120

3 Zustandsänderungen ergeben sich auf der Basis der Energieerhaltung (1. Hauptsatz), der thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen für ideale Gase mit konstanten spezifischen Wärmen (perfekte Gase) unter Berücksichtigung bestimmter Nebenbedingungen. In Bild 3 ist eine isochore (v=konstant) Zustandsänderung mit Maple-Befehlen dargestellt: > p(v):=10^(-5)*287*t/v; > p1:=1;t1:=293;v1:=287*t1/(p1*10^5);evalf(%); > T2:=493;p2:=p1*T2/T1;evalf(%); > PM:={}: > for i in > [T1,T2] do > PM:=PM union {subs(t=i,p(v))} od: > pp1:=plot(pm,v=0..1.5,p=0..4,title= Luft,color=black,axes=boxed): > pp2:=plot([[v1,p1],[v1,p2]],thickness=4): > t1:=textplot([0.84,0.9,`( 1 )`],align=below,color=navy): > t2:=textplot([0.84,2,`( 2 )`],align=below,color=navy): > t3:=textplot([1.2,2.2,`isochor: v=konst.`],align=below,color=navy): > display([pp1,pp2,t1,t2,t3]); Die entsprechenden Zustandseigenschaften lassen sich analog mit Maple auch im T,s-Diagramm aufzeigen. Für reversible Zustandsänderungen entspricht die Definition der Entropie s dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik. 121

4 3.2 Kreisprozesse Kreisprozesse entsprechen einer Kombination von Zustandsänderungen zu einem geschlossenen Kurvenzug. Sie stellen die Basis periodisch arbeitender Kraft- und Arbeitsmaschinen dar. Als Vergleichsprozess für Kraftfahrzeugmotoren wird der Otto-Prozess betrachtet. Die Darstellung in Bild 4 ergibt sich mit den Maple-Anweisungen: > with(plots): > d1:=plot(287*300/(v^1.4*100000),v= , style=line, thickness=2, color=red): > d2:=pointplot([[0.1,21.67],[0.1,40]], style=line, thickness=2, color=red): > d3:=plot(287*555/(v^1.4*100000),v= , style=line, thickness=2, color=red): > d4:=pointplot([[0.9,1.85],[0.9,1.0]], style=line, thickness=2, color=red): > t1:=textplot([0.95,1.5,`( 1 )`], align=below, color=navy): t2:=textplot([0.05,23,`( 2 )`], align=below, color=navy): > t3:=textplot([0.05,41,`( 3 )`], align=below, color=navy): > t4:=textplot([0.94,4,`( 4)`], align=below, color=navy): > display([d1,d2,d3,d4,t1,t2,t3,t4], view=[0..1,0..42], labels=[`volumen v`,`druck p`], axes=boxed, title=`otto-prozess`, titlefont=[times,roman,16]); Die eingeschlossene Fläche im p,v-diagramm entspricht der Arbeitsleistung je Arbeitstakt. Da bei diesem Prozess die Wärmezufuhr von (1) (2) bei konstantem Volumen erfolgt, wird auch die Bezeichnung Gleichraumprozess verwendet. Auf ähnliche Weise lassen sich weitere Kreisprozesse mit Maple quantitativ darstellen und analysieren. 122

5 4. Zusammenfassung Mit der Computeralgebra ist es leicht möglich, die einzelnen Zustandsänderungen und die Kreisprozesse in Diagrammen quantitativ darzustellen und deren Eigenschaften zu studieren. Mit der Animationsmöglichkeit ist der Ablauf der unterschiedlichen Zustandsänderungen in quasistationärer Form visuell nachvollziehbar. Literatur 1. PESCHGES K.: Sharing Experience to Increase Internationalization and Globalization in Engineering Education: Proceedings International Conference, Fachhochschule Mannheim, Maple 8. Waterloo Maple Inc. Waterloo, Canada WALZ, A.: Maple 7 Rechnen und Programmieren. 2.Aufl. R.Oldenbourg- Verlag, München WESTERMANN, T.: Mathematische Probleme lösen mit MAPLE. Springer- Verlag, Berlin BÜHLER, K.: Use of Computer Algebra in Thermo- and Fluidmechanics. Sharing Experience to Increase Internationalization and Globalization in Engineering Education: Int.Conf., FH-Mannheim, (1998). 6. BÜHLER K.: Anwendung der Computeralgebra in der Thermo- und Fluiddynamik II: Das Zerfließen des Potentialwirbels, Flüssigkeitsstrahlen im Schwerefeld. Proc. CASK 2000, FH-Konstanz, (2000). Prof. Dr.-Ing. habil. Karl Bühler Fachhochschule Offenburg University of Applied Sciences Badstraße 24, D Offenburg, Germany Autor 123

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