Erweitern. a b. bd + bc. bd = ad+bc. bei ganzzahligem Nenner: Hauptnenner (= kgv der Nenner), z.b = a d = ac

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Transkript

1 F FORMELSAMMLUNG Bruchrechnung Erweitern = Kürzen c c Addition Nenner gleichnmig mchen! + c d = d d + c d = d+c d, speziell + c = +c ei gnzzhligem Nenner: Huptnenner (= kgv der Nenner), zb = = 7 Multipliktion Zähler mit Zähler Nenner mit Nenner multiplizieren! c d = c d, speziell c c= Division mit Kehrwert multiplizieren! : c d = d c = d c, speziell : c = c und : c = c Größenvergleich Sind, d > 0, so gilt c, d c d d > 0 lässt sich durch evtl Erweitern mit erreichen Prozentrechnung % ist eine ndere Schreiweise für den Bruch 00 p% = p 00 G Grundwert p% Prozentstz W Prozentwert W = G p% p = G 00 75% = = = = 9 00 = 9 00 = 9% = = 486% Dreistz 5 Liter Benzin kosten 8C () Wieviel C zhlt mn für 5 Liter? () Wieviel Liter erhält mn für 40 C? () Für Liter zhlt mn 8 5 () Für C erhält mn C und für 5 Liter zhlt mn C 5 5 Liter und für 40 C erhält mn Liter mit gnzen Eponenten R, n N Potenzen mit rtionlen Eponenten R, > 0, n N, m Z n := } {{ } n Fktoren 0 := n := n m n = ( n ) m = ( m ) n Potenzrechengesetze n m = n+m n : m = n m ( n ) m = nm n n = () n

2 FORMELSAMMLUNG F + = = = Potenzen und Logrithmen ( Bsis, mit 0 < ) = = log log = log + log log = log log log = log = log 0 = log = 0 ( ) r = r = ( r ) log r = r log Wurzeln (m, n, q N und, > 0) log =, > 0 log ( ) =, R Logrithmen zu verschiedenen Bsen log = log log log = ln ln n m = mn n+m n m m n := = mn n m n n = mn = n m nq mq {, für 0, für < 0 n n = n Betrg = n = n m = = = und =, für 0 = ± + Dreiecksungleichung Auf der Zhlengerden ist der Astnd der Zhl vom Nullpunkt, der Astnd der Zhl von der Zhl = + + ( + ) = = Merke = Qudrtische Gleichung p, q Formel,, c Formel + p + q = c = 0, 0, = p ± p 4 q, = ± 4c + p + q = ( )( ) = ( + ) + Vietscher Wurzelstz: + = p = Summe der Nullstellen = q = Produkt der Nullstellen

3 F3 FORMELSAMMLUNG n! = 3 n 0! =,! =,! =, 3! = 6 4! = 3 4 = 4 n Fkultät, Binomilkoeffizienten ( nk ) n! = k!(n k)! = ( n ( n k), n0 ) = ( n + ) ( k = nk ) ( + n ) k Binomische Formeln ( + ) = + + ( ) = + ( + )( ) = Allgemeine inomische Formel n ( ( + ) n = nk ) n k k k=0 = ( n 0 ) n + + ( n k ) n k k + + ( n n ) n Umrechnung: Grdmß Bogenmß Es esteht folgender Zusmmenhng zwischen dem Winkel α in Grd und der Länge des zugehörigen Kreisogens m Einheitskreis, zw Verhältnis der Bogenlänge eines Winkels zu seinem Rdius α 80 = π α = 80 π lies: α = rd = π 80 rd 007 rd rd = π α = π 80 α Benutzt mn einen Tschenrechner, vergewissere mn sich, o er uf Winkel im Grdmß (DEG) oder im Bogenmß (RAD) eingestellt ist krtesische Koord, = r cosϕ = r sin ϕ Umformung (, ) r ϕ (,) = (r cos ϕ, r sin ϕ) Umformung Polrkoordinten r, ϕ r = + tn ϕ = Qudrnten echten! krtesische Koord,, z z z + (,, z) Kugelkoordinten ρ, θ, ϕ = ρ sin θ cosϕ = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cosθ θ ρ ρ sin θ ϕ ρ cos θ ρ = + + z + tn θ = tn ϕ = Qudrnten echten! z

4 FORMELSAMMLUNG F4 Sklrprodukt = = cos <)(, ) 3 3 ϕ cos ϕ Länge von : = = = es ist = und λ = λ Winkel zwischen, : cos <)(, ) = = Senkrechtstehen : = 0 nur sinnvoll für, 0 Vektorprodukt = = steht senkrecht uf und sin ϕ ϕ = sin <)(, ) = Flächeninhlt des von und ufgespnnten Prllelogrmms,, ilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssstem Sptprodukt, c, c = c 3 3 c 3,, c,, c = det(,, c) = ( c) = c ( ) = ( c ) c =,, c = c,, =, c, zklische Vertuschungen ändern ds Sptprodukt nicht! Berechnung mit Regel von Srrus siehe Seite 5 > 0 = 0 < 0,, c,, c,, c ilden ein Rechtssstem sind lin hängig (liegen in einer Eene) ilden ein Linkssstem = Volumen des von,, c ufgespnnten Spts 6,, c = Volumen des von,, c ufgespnnten Tetreders,, c liner hängig,, c = 0,, c liegen in einer Eene

5 35 Vollständige Induktion Vollständige Induktion Ds Prinzip der vollständigen Induktion ist die wichtigste Eigenschft der Menge N der ntürlichen Zhlen Es dient dzu, Aussgen üer ntürliche Zhlen zu eweisen, ist er uch Grundlge wichtiger Anwendungen Soll per Computer ein Ausdruck f(n) für ntürliche Zhlen n erechnet werden, genügt f() und ein Progrmm, ds zu gegeenem f(k) den Ausdruck f(k + ) erechnet Mn sgt dnn uch, dss der Ausdruck f(n) rekursiv oder durch Rekursion oder uch durch vollständige Induktion gegeen ist Der Computer erechnet mittels des gegeenen Progrmms f() us der gegeenen Größe f(), dnn nlog f(3) us f() usw und zum Schluss f(n) us f(n ) und git f(n) us Vollständige Induktion Ist A(n) für jedes n N eine Aussge üer die ntürliche Zhl n und sind die eiden folgenden Aussgen richtig: forml ) Die Aussge gilt für ) A() (Induktionsnfng) ) Gilt die Aussge für k, so uch für k + ) A(k) = A(k + ) (Induktionsschluss) Dnn gilt die Aussge A(n) für jede ntürliche Zhl n N Induktionsnfng nicht, sondern n 0 > siehe [336, 350, 35] 38 Summe der ersten n ntürlichen Zhlen: Für jede ntürliche Zhl n gilt: n = n(n+) ) Die Aussge gilt für (Induktionsnfng): = (+) ist offensichtlich richtig ) Induktionsschluss: Gilt die Aussge für k (Induktionsvorussetzung), so uch für k + (Induktionsehuptung): k = k(k+) (Induktionsvorussetzung) Zu zeigen ist: (k + ) = (k+)(k+) (Induktionsehuptung) Addition von (k + ) uf eiden Seiten der Gleichung der Induktionsvoruss: k + (k + ) = k(k+) + (k + ) = k(k+)+(k+) = (k+)(k+) Dher gilt die Aussge für und, flls sie für k gilt, uch für k + Die Aussge gilt lso für lle ntürlichen Zhlen 39 Summe der ersten n gerden ntürlichen Zhlen: Für jede ntürliche Zhl n gilt: n = n(n + ) () A(): = ( + ) richtig A(k) = A(k + ) (Schluss von k uf k + ): k = k(k + ), Addition von (k + ): k + (k + ) = k(k + ) + (k + ) = (k + )(k + ) Die Aussge gilt für und, flls sie für k gilt, uch für k + und ist dmit für lle ntürlichen Zhlen ewiesen

6 54 3 NATÜRLICHE ZAHLEN () Beweis ohne vollständige Induktion durch Rückgng uf [6 ()]: k = ( k) = k(k+) = k(k + ) 330 Summe der ersten n ungerden Zhlen: Für jede ntürliche Zhl n gilt: (n ) = n A(): = ist richtig A(k) = A(k + ): (k ) = k, Addition von (k + ): = = = 3 = (k ) + (k + ) = k + (k + ) = (k + ) Die Aussge gilt für, und ist sie für k richtig, so uch für k + Dmit gilt die Aussge für lle n N 33 Endliche geometrische Reihe: Für jede ntürliche Zhl n gilt: +q +q + +q n = qn+ q, für q A(): Zu zeigen ist + q = q q Dies folgt us q = (q )(q + ) A(k) = A(k + ): + q + q + + q k = qk+ q, Addition von qk+ : + q + q + + q k + q k+ = qk+ q + q k+ = qk+ +q k+ (q ) q = qk+ +q k+ q k+ = qk+, fertig! q q 33 Bernoullische Ungleichung: Ist, so gilt ( + ) n + n für lle n N ) A(): + + ist offensichtlich richtig ) A(k) = A(k + ) : Ist dh ( + ) 0 und ( + ) k + k, so folgt durch Multipliktion der Ungleichung ( + ) k + k mit ( + ): (+) k+ = (+) k ( + ) (+k)( + ) = +(k+)+k +(k+), d k 0 ist Also ( + ) k+ + (k + ) Dmit ist die Bernoullische Ungleichung ewiesen 333 Monotonie von n für 0: Ist 0, so ist n streng monoton wchsend für lle n N Zu zeigen ist: 0 < = n < n für lle n N Für n = ist die Aussge offensichtlich richtig Ist 0 und < und k < k, so multipliziert mn diese gleichsinnigen Ungleichungen [S 49] und erhält k < k, lso k+ < k+ Dmit ist die Behuptung ewiesen Skizzen sind hilfreich, ersetzen er keinen Beweis! n n < n

7 4 Prozentrechnung 67 4 Prozentrechnung % ist eine ndere Schreiweise für den Bruch 00 4 Mn schreie mit dem Prozentzeichen zw ls Bruch: 5%, 075, 8, 37%, 005%, 005, 3 5% = 5 00 = 5 00 = 9 75, 075 = 4 00 = 75%, 8 = = 5 00 = 5%, 37% = = , 005% = = = 5, 005 = = 5 00 = 5%, 6667 = = 6667% Grundformel der Prozentrechnung Bezeichnungen: G Grundwert, p % Prozentstz, W Prozentwert Zusmmenhng: W = G p % = G 43 Sind zwei der drei Größen G, p, W eknnt, knn die dritte erechnet werden So ergeen sich die drei Grundufgen der Prozentrechnung: () () (c) () () (c) p 00 Ein Kpitl von 5000 C wird jährlich mit 45% verzinst Wieviel Zinsen erhält mn nch einem Jhr? Bei einer 4 % igen Verzinsung möchte mn nch einem Jhr 00 C Zinsen erhlten Wieviel Geld muss mn nlegen? Ein Kpitl von C ringt in einem Jhr 336 C Zinsen Zu welchem Zinsstz ist es ngelegt? Gegeen sind G = und p = 45 Gesucht ist W Nch der Grundformel erhält mn: p 45 W = G = = 5 45 = 5 Mn erhält 5 C Zinsen Gegeen sind W = 00 und p = 4 Gesucht ist G Auflösen der Grundformel nch G ergit: W = G p% = G = 00W = = Mn muss C nlegen p 4 Gegeen sind G = und W = 336 Gesucht ist p Auflösen der Grundformel nch p ergit: W = G p% = p = 00W = = 4 Der Zinsstz eträgt 4 % G Ein lndwirtschftlicher Großetrie mit 600 h Fläche ut uf 30 % der Fläche Weizen n, uf 55 % der Fläche Rps, und der Rest ist Weidelnd Wie groß sind die jeweiligen Anuflächen? = 80, 600 = 330, Rest = = Auf 80 h wird Weizen ngeut, uf 330 h Rps Die restlichen 90 h sind Weidelnd und ds sind = 5 = 5% Proe: 30% + 55% + 5% = 00% 00

8 68 4 RATIONALE ZAHLEN 45 Eine Wre verteuert sich von 00 C uf 50 C () Um wieviel % ist sie teurer geworden? () Wieviel % wr sie illiger? () Gefrgt ist: Wieviel % von 00 C sind 50 C? Also G = 00 und W = 50; gesucht p % p% = p 00 = W G = = 5 = 5% ist die Wre teurer geworden 00 () Gefrgt ist jetzt: Wieviel % von 50 C sind 50 C? Also G = 50, W = 50; gesucht p % = p 00 = W G = = 0 00 = 0% 0% wr die Wre vorher illiger 5% von 00 (Preis vorher), Zusmmenfssend: 50 sind 0% von 50 (Preis nchher) Mn echte: Wird eine Wre um p % teurer, so wr sie vorher um 00p 00+p % illiger Im oigen Beispiel gilt: Verteuerung um 5 % edeutet, dss vorher die Wre um 500 % = 0 % illiger wr 00+5 Zu echten ist lso, uf welchen Grundwert sich der Prozentwert W ezieht: Ist zb A 00 cm groß und B nur 60 cm, so ist A 5% größer ls B (40 sind 5% vom Grundwert 60), er B 0% kleiner ls A (40 sind 0% vom Grundwert 00) 46 Wieviel Prozent sprt ein Autofhrer ei fester Wegstrecke n Zeit, wenn er sein Durchschnittstempo von 00 km/h uf 5 km/h, lso um 5%, erhöht? Es gilt: Weg = Geschwindigkeit ml Zeit, llgemein geschrieen ls s = vt Wird lso v ei gleichem Weg um 5 % gesteigert, dh durch 5v ersetzt, so muss die Zeit t durch 5 t = 08t ersetzt werden (s = vt = 5v 5 t) Die Zeitersprnis eträgt 08 = 0 = 0 % Mit oiger Formel erhält mn: Zeitersprnis = % = % = 0% 47 Ein Kpitl von C wird für 4 Jhre zu einem jährlichen Zinsstz von 45% ngelegt, woei die Zinsen jeweils m Ende eines Jhres dem Kpitl zugeschlgen werden Welchen Betrg erhält mn nch Aluf der 4 Jhre? Wir lösen die Aufge llgemein für: Kpitl K 0, Zinsstz p%, n Jhre K 0 wächst ei p% in einem Jhr uf: K 0 wächst ei p% in zwei Jhren uf: und weiter: K 0 wächst ei p% in n Jhren uf: K = K 0 + K 0 p% = K 0 ( + p 00 ) K = K ( + p 00 ) = K 0( + p 00 ) Zinseszinsformel K n = K 0 ( + p 00 )n Hier: K 4 = ( ) (siehe Potenzrechnung [5]) Nch 4 Jhren ist ds Kpitl uf C ngewchsen (s [Kp 5])

9 43 Dreistz Dreistz Eine tpische Frgestellung us dem täglichen Leen ist zb 30 Liter Benzin kosten 4 Euro Wie teuer sind 50 Liter Benzin? Als Lösungsmethode knn mn den sogennnten Dreistz enutzen: Beknnt ist: 30 Liter Benzin kosten 4 Euro Es folgt: Liter Benzin kostet 4 30 Euro Also: 50 Liter Benzin kosten Euro = 5 4 = 70, lso kosten 50 Liter Benzin 70 Euro Prinzip des Dreistzes Aus eknnten gegeenen Dten ( Stz) wird zunächst uf eine Einheit geschlossen ( Stz) und dmit dnn uf die gesuchte Größe (3 Stz) 48 Ein Fhrzeug fährt mit 30 Liter Benzin 350 km weit Wieviel Liter rucht es für 600 km? Beknnt: 30 Liter für 350 km 30 Folgerung: Liter für km 3 Schluss: Liter für 600 km = 54, der Verruch für 600 km eträgt c 54 Liter Benzin Ein mit konstnter Geschwindigkeit fhrendes Fhrzeug legt 300 km in 3 Stunden 0 Minuten zurück Wie weit kommt es in 5 Stunden? Beknnt: 300 km in 3 Std 0 Min = 0 3 Stunden Folgerung: 300 : 0 = 90 km in Stunde 3 3 Schluss: 5 90 = 450 km in 5 Stunden 40 Ein mit konstnter Geschwindigkeit von 90 km/h fhrendes Kfz legt eine gewisse Strecke in 3 Stunden 0 Minuten zurück Wie schnell muss es fhren, um in 3 Stunden m Ziel zu sein? Hier geht es ohne Dreistz einfcher: Bei Tempo 90km/h fährt ds Kfz in 3 Stunden 0 Minuten genu 300 km Um diese Strecke in 3 Stunden zurückzulegen, muss es Tempo 00km/h fhren 4 3 Mler streichen eine gewisse Fläche in 5 Stunden Wie lnge enötigen 5 Mler für diese Fläche? Beknnt: 3 Mler enötigen 5 Stunden Folgerung: Mler enötigt 5 3 Stunden 3 Schluss: 5 Mler enötigen 5 3 = 9 Stunden 5

10 88 5 REELLE ZAHLEN 54 Logrithmen Für Potenzen gilt: Für 0 < und c > 0 ht die Gleichung = c genu eine Lösung Definition des Logrithmus Für 0 < und c > 0 ist die Zhl log c (lies: Logrithmus von c zur Bsis ) definiert durch log c = c Der Logrithmus von c zur Bsis ist lso derjenige Eponent, mit dem mn potenzieren muß, um c zu erhlten log c = = c zb log 0 00 =, d 0 = 00 5 Berechne die folgenden Logrithmen durch Rückgng uf Potenzrechnung () log 8, () log 5 5, (c) log 3 3, (d) log 5 5, (e) log 04, (f) log 7 () log 8 = 3, d 3 = 8 () log 5 5 =, d 5 = 5 (c) log 3 3 =, d 3 = 3 (d) log 5 5 =, d 5 = 5 (e) log 04 = 0, d ( ) 0 = 04 (f) log 7 = 0, d 7 0 = 5 Mn erechne jeweils : log 8 =, log 3 = 3, log 9 = log 8 = ( 3 3 ) = 8 = 4 Logrithmieren log = 3 3 = = Potenzieren 8 log 9 = = 9 = 9 = 3 Rdizieren 53 Mn erechne die folgenden Logrithmen: () log 8, () log 3 6, (c) log 4 7 0, (d) log 0 0 5, (e) log 7 04, (f) log () log 8 = ( ) = 8 = 3 = 3 () log 3 6 = = 3 6 = 4 3 = 4 3 (c) log = = = ( ) 7 0 = 7 5 (d) log 0 0 = 0 = 5 0 = 5 5 (e) log 7 04 = ( ) = 7 04 = 0 7 = 0 (f) log = ( 3 ) = = ( 3 ) = ( ) ( 3 ) = ( 3 )3

11 54 Logrithmen 89 Für spezielle Bsen sind spezielle Schreiweisen für Logrithmen ülich: Spezielle Logrithmen lg c := log 0 c heißt dekdischer Logrithmus ln c := log e c heißt ntürlicher Logrithmus woei e = 788 die Eulersche Zhl ist (siehe [Seite 77]) Für ds Rechnen mit Logrithmen (Eponenten) gelten die folgenden Gesetze: Logrithmengesetze ( Bsis, mit 0 < ) log = log + log log = log log speziell log = log log r = r log Logrithmen zu verschiedenen Bsen: log = log speziell log log = ln ln Wichtige Regeln: log =, > 0 speziell e ln = für > 0 log ( ) =, R speziell ln e =, R 54 Mn erechne lg 000, lg 00, lg , lg 0 lg 000 = lg 0 3 = 3, lg 00 = lg 0 =, lg = lg = 4 3, lg = lg 0 = 0 55 Gegeen sind ln 069, ln 3 0, ln 5 6 Mn erechne hiermit jeweils die folgenden Logrithmen: () ln 6 = ln( 3) = ln + ln 3 79 ln = ln + ln () ln 75 = ln(3 5) = ln 3 + ln5 43 (3) ln 8 = ln 3 4 = 4 ln ln = ln (4) ln 000 = ln 0 3 = 3 ln0 = 3(ln + ln 5) 690 (5) ln 3 = ln ln 3 04 ln = ln ln (6) ln 000 = ln (7) ln 4 9 = ln( 3 ) = ln 3 08 (8) ln 5 = ln 5 08 (9) ln 3 5 = (ln 3 + ln 5) (0) ln = ln 069

12 90 5 REELLE ZAHLEN 56 Mn erechne mit den Logrithmengesetzen und dem Tschenrechner: () log 5 7, () log 30, (c) log 7 00, 3 (d) log 8 7, (e) log 05 3, (f) log 0 e Auf Tschenrechnern findet mn ülicherweise die Tsten ln für den ntürlichen Logrithmus und die Tste log für den Logrithmus zur Bsis 0 Mn echte dei die Beschreiung des Tschenrechners Wir enutzen hier nur den ln und ds spezielle Gesetz log = ln ln () log 5 7 = ln 7 ln 5, () log ln = ln 49, (c) ln 00 3 ln 3 ln7 log 7 00 = ln 7 37, (d) log 8 7 = ln 8 04, (e) log 05 3 = log 05 3 = ln 3 ln05 58, (f) log 0 e = lg e = ln e ln 0 = ln Mn vereinfche jeweils mit den Logrithmengesetzen: () 8 4 log 8 + log 4 log 6 = log 6 = log = 4 6 () log 7 4 log log 7 6 = log 7 = log 4 7 (3 7) = log (3) ln(3e) ln 9 = ln 3 e = ln e 9 = (4) ln ln ln 0 = 3 ln 5 + ln ln( 5) = 3 ln 5 + ln ln ln 5 = ln (5) lg 5 4 lg c c = lg 3 5 lg( c c )4 = = lg 3 c 4 5 lg 4 3 c 4 5 = lg( 3 c c 5 ) = lg 3 = lg 3 lg 58 Wieviele Stellen ht die Zhl 64? Schreit mn eine ntürliche Zhl, zb 5 763, ls Produkt einer Zhl zwischen 0 und und einer Zehnerpotenz, lso = , so git der Eponent der Zehnerpotenz die Anzhl der Stellen der Zhl n Dher mchen wir für die gesuchte Stellennzhl den Anstz 64 = 0 Auf eiden Seiten gehen wir zum ntürlichen Logrithmus üer 64 = 0 ln 64 = ln 0 64 ln = ln 0 (Logrithmengesetz) 64 ln = ln0 93 Dmit ist = (0 < 0 07 < ) Die Zhl 64 ht lso 0 Stellen Die genue Zhl ist 64 =

13 7 Koordintenssteme im Rum 5 Zlinderkoordinten r, ϕ, z Jeder Punkt P = (,, z) des Rumes lässt sich eindeutig durch die Ange seiner Zlinderkoordinten r, ϕ, z eschreien Zlinderkoordinten r, ϕ, z sind im Wesentlichen eene Polrkoordinten r und ϕ, die um eine dritte Koordinte z ergänzt werden z git die Höhe eines Punktes P = (,, z) senkrecht üer (oder unter) der Eene des Polrkoordintensstems n Die Koordinte r git den Astnd eines Punktes P von der z-achse (und nicht den Astnd vom Koordintenursprung) n z z ϕ r r (,, z) z Umformung Zlinderkoord in krtesische Koord,, z = r cosϕ = r sin ϕ z = z z z r r ϕ (,,z) z Krt Koordinten in Zlinderkoordinten r, ϕ, z r = + tn ϕ = Qudrnten echten! = 0 siehe [7 (c)] z = z 74 Die Zlinderkoordinten von P sind r =, ϕ = π und z = 3 6 Mn erechne die krtesischen Koordinten von P = r cosϕ = cos π 6 = 3 = 3, = r sin ϕ = sin π 6 = =, z = z = 3, lso P = ( 3,, 3) 75 Berechne die Zlinderkoordinten von P = (,, ) und Q = (0,, ) Zu P: r = + = + ( ) = 5 tn ϕ = = = (, ) liegt im 4 Qudr, lso ist ϕ 6343, zw ϕ 9657 z = Zu Q: r = und ϕ = π ((0,, 0) liegt uf der pos -Achse), z =

14 8 8 GEOMETRIE 8 Geometrie 8 Winkel Winkel werden in Grd (zb α = 30 ) oder im Bogenmß gemessen Ds Bogenmß eines Winkels ist ds Verhältnis des Kreisogens dieses Winkels zum Rdius des Kreises oder die Länge des zugehörigen Bogens m Einheitskreis Ds Bogenmß wird häufig mit Rdint (rd) ezeichnet; ist eine reelle Zhl Umrechnung: Grdmß Bogenmß Es esteht folgender Zusmmenhng zwischen dem Winkel α in Grd und dem α Bogenmß α 80 = π α = π 80, = = α = 80 π 5796 = α 80 π, α = = = 80 π 007 Benutzt mn einen Tschenrechner, vergewissere mn sich, o er uf Winkel im Grdmß (DEG) oder im Bogenmß (RAD) eingestellt ist 8 () Für den Winkel α mit Bogenmß = 5 estimme mn ds Grdmß () Für die Winkel α = 30 zw α = 360 estimme mn ds Bogenmß () = 5 = α = 80 π 434 () α = 30 = = α 80 π = π 6 05 α = 360 = = π 683 Der Umfng des Einheitskreises eträgt π Wichtige Zuordnungen zwischen Grdmß und Bogenmß: Winkel in Grd Winkel im Bogenmß π 3 π π π π 3 π 4 π 6 007

15 8 GEOMETRIE 83 Strhlenstz Strhlenstz B D B C S A C A S D SA : SC = SB : SD = AB : CD 89 Mn erechne die fehlenden Seiten und Mit dem Strhlenstz erhält mn: 5 5 = 84 = = 4, = 3 = = Ein senkrecht stehender St von m Länge wirft einen 5m lngen Schtten Der Schtten eines Mstes ist 45m länger Wie hoch ist Mst? Für die Höhe H des Mstes in Metern gilt: H = 5+45 = Der Mst ist 8 m hoch = H = H 8 Bestimme die Breite B des Flusses nch den Angen der Skizze Die Längen sind in Metern ngegeen Für die Breite B gilt: B+ 45 = B B + 6 = 45B B = 5 B = 0 Der Fluss ist 0m reit B

16 4 8 GEOMETRIE Goldener Schnitt Eine Strecke AB ist im goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die gnze Strecke zum größeren Aschnitt wie dieser zum kleineren Aschnitt verhält: gnze Strecke größerer Aschnitt = größerer Aschnitt kleinerer Aschnitt Teilungsverhältnis 6,8% = 068 A B goldener Schnitt: = = Konstruktionsmöglichkeit für den goldenen Schnitt Trge n AB in B senkrecht die hle Strecke AB n Der Endpunkt sei C Schlge um C einen Kreis mit r =, der die Strecke AC in D trifft Schlge dnn um A einen Kreis durch D Der Schnittpunkt dieses Kreises mit AB teilt AB im Verhältnis des goldenen Schnitts 84 Mn zeige, dss die ngegeene Konstruktion die Strecke AB im Verhältnis des goldenen Schnitts teilt Es ist AC = + ( ) (Pthgors) 5 = AC = 4 = 5 Also gilt = AD = 5 = 5 85 Ein Rechteck he die Breite und die Höhe Mn estimme so, dss () ds Rechteck nch dem goldenen Schnitt ufgeut ist () ds Verhältnis Breite zu Höhe dem einer DIN A4 Seite entspricht Fltet mn eine DIN A4 Seite in der Mitte des größeren Rndes, so leit ds Verhältnis von kleinerer zu größerer Seite erhlten () Nch dem goldenen Schnitt gilt = 06 () Fltet mn eine DIN A4 Seite, erhält mn eine DIN A5 Seite Ds Verhältnis leit erhlten, lso = = goldener Schnitt = = 07 DIN A4 Formt A D C B DIN 4=0 mm 97 mm (Deutsches Briefformt) 06 07

17 8 Regelmäßiges Sechseck 37 8 Regelmäßiges Sechseck C F s α = 60 s = r A α α r r r α F = 4 3 r F = 6F = 3 3 r α 835 Gegeen sei ein regelmäßiges Sechseck der Seitenlänge s = B () Mn zeige: Ds Sechseck esteht us sechs gleichseitigen Teildreiecken () Mn erechne den Flächeninhlt F eines Teildreiecks (c) Mn erechne den Flächeninhlt F des Sechsecks (d) Mn konstruiere ein regelmäßiges Sechseck der Seitenlänge s = (e) Verindet mn drei nichtenchrte Ecken A, B, C des Sechsecks miteinnder, entsteht ein gleichseitiges Dreieck (regelmäßiges Dreieck) Mn erechne seinen Flächeninhlt F und seine Seitenlänge () () Alle sechs Teildreiecke sind gleichschenklig und es ist α = = 60 Folglich sind lle Winkel im Teildreieck 60 und ds Teildreieck ist gleichseitig [89] Der Flächeninhlt F eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge s = ist F = 4 3 s = F = 3 (c) (d) Ds Sechseck esteht us sechs Teildreiecken, der Flächeninhlt F des Sechsecks ist lso F = 6F F = 6F = F = 6 3 Trägt mn von einem Punkt eines Kreises vom Rdius r = sechs Sehnen der Länge s = r =, so erhält mn die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks der Seitenlänge s = 60 C (e) Aus Smmetriegründen gilt für den Flächeninhlt F des Dreiecks A, B, C F = F = 6 3 = F = 3 3, F = 4 3 = = 3 A F B

18 50 9 KREIS, ELLIPSE, HYPERBEL, PARABEL 94 Prel Definitionen zur Prel Eine Prel ist die Menge ller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Brennpunkt F) und einer festen Gerden (der Leitlinie L) den gleichen Astnd hen Üliche Bezeichnungen: Brennpunkt: F = ( p, 0) Leitlinie: L : = p Scheitelpunkt: S = (0, 0) p p heißt Hlprmeter (p > 0) L p ist der Astnd Brennpunkt Leitlinie r p r F = p zw = p 94 Mn skizziere () die Prel = p für p = 4 () die Prel = p für p = 4 und p = und p = () = p für p = 4 : = p = : = 4 Brennpunkt: F = (, 0) Brennpunkt: F = (, 0) 8 Leitlinie L: = Leitlinie L: = 8 F F L L Mn echte die unterschiedlichen Mßstäe ei eiden Skizzen, um den Unterschied zwischen eiden Preln zu erkennen Je größer p ist, desto weiter, je kleiner p wird (p > 0), desto enger ist die Prel geöffnet

19 03 Qudrtische Gleichungen 8 03 Qudrtische Gleichungen Qudrtische Gleichungen ++c = 0, 0, heißt qudrtische Gleichung Für = schreit mn: + p + q = 0 (Normlform) Grundlegend für ds Lösen qudrtischer Gleichungen ist folgender Stz: Ist d > 0, so ht die Gleichung = d genu zwei Lösungen, nämlich = d und = d, kurz:, = ± d Achtung: = 4 ht die Lösungen ± 4, lso ± Aer: 4 = (Wurzeln sind nch Definition 0) Zum Lösen der qudrtischen Gleichung + p + q = 0 wird mittels sog qudrtischer Ergänzung unter Anwendung der inomischen Formeln umgeformt: + p + q = 0 ( + p + p 4 ) p 4 + q = 0 ( + p ) p 4 + q = 0 ( + p ) = p 4 q Qudrtische Ergänzung nennt mn dei die Ersetzung + p durch ( + p ) p 4 p, q Formel Die qudrtische Gleichung + p + q = 0 ht die Lösungen, = p ± p 4 q Mn unterscheidet drei Fälle eim Lösen einer qudrtischen Gleichung: p 4 q < 0 : keine Lösung p 4 q = 0 : genu eine Lösung, nämlich = p p 4 q > 0 : zwei verschiedene Lösungen, 03 Mn löse die qudrtischen Gleichungen: () + 8 = 0, () = 0, (c) 5 = 0, (d) = 0, (e) = 0, (f) = 0, (g) 5 + = 0, (h) + 5 = 0, (i) 6 = 0 () + 8 = 0, = ± + 8, = ± 3 =, = 4 () = 0, = 5 ± 5 4 6, = 5 ± =, = 3

20 6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME LGSe in Mtrizenschreiweise + 3 = 8 Bezeichnungen erläutert m Eingngseispiel 7 4 = : ( ) 3 A = heißt Koeffizientenmtri, 7 4 ( ( ) = Vrilenvektor, 8 = Vektor der rechten Seite ) + 3 = = ( ) + 3 = 7 4 ( ) 8 ( ) ( ) = ( ) 8 A = Die folgenden Beispiele zeigen, dss mn LGSe schemtisiert lösen knn, indem mn nur die Koeffizientenmtri und den Vektor der rechten Seite etrchtet Beispiel + 3 = = Regie schemtisiert gelöst: Erläuterung: Mn wählt zb die erste Splte (lso die von ) und mrkiert eine möglichst einfche Zhl, hier, lso Aus dieser mrkierten Gleichung wird später erechnet Mittels der erzeugt mn eine Null in der ersten Splte, dh mn entfernt (eliminiert) us der zweiten Gleichung Mit welcher Rechenopertion ds ei Addition der eiden entstehenden Gleichungen geschieht, schreit mn in die Splte Regie, um später zu wissen, wie mn gerechnet ht Hier ddiert mn lso ds 7-fche der ersten Gleichung zum ( )-fchen der zweiten Gleichung Ds lte LGS ist nun ersetzt durch die Gleichung mit der Mrkierung und die neue Gleichung (die eiden Gleichungen mit Mrkierungen) Die neue Gleichung 9 = 58 liefert =, und Einsetzen in die durch mrkierte Gleichung liefert = Mn schreie die eiden LGSe us [] in Mtrizenschreiweise A = und löse sie schemtisiert () Die LGSe us [] luten in Mtrizenschreiweise: ( ) ( ) ( ( ) ( ) 3 () =, () = 5) 5 ( ) ( ) ( Schemtische Lösung von = : 5) ( ) 0 8 Regie = 6 liefert = und Einsetzen in die durch mrkierte Gleichung dnn =, lso = ( ( Lösung in = vektorieller Schreiweise: ) )

21 Gußsches Elimintionsverfhren 7 () Schemtische Lösung von Regie ( ) ( ) 3 = 5 ( ) 0 : 8 7 = 34 liefert =, und Einsetzen in die durch mrkierte Gleichung liefert dnn = ( ) ( ) Lösung in = vektorieller Schreiweise: Gußsches Elimintionsverfhren Ehe wir ein Verfhren zur Lösung eines llgemeinen LGS formulieren, zeigen wir, wie ds vorgestellte schemtisierte Lösungsverfhren leicht zur Lösung eines LGS mit 3 Gleichungen und 3 Vrilen usgeut werden knn 3 Mn löse ds LGS + z = 3 + 4z = z = schemtisch Mn wählt die erste Splte und mrkiert z Regie Aus dieser mrkierten Gleichung wird 3 später erechnet! Mittels der erzeugt mn Nullen in der ersten Splte, dh mn eliminiert us den zwei restlichen Gleichungen Ds lte LGS ist nun ersetzt durch die mrkierte Gleichung und die zwei neuen Gleichungen Wieder mrkiert mn ein Element, zb in der z-splte, mit dem mn in der etreffenden Splte Nullen erzeugt Nun wird noch ds von Null verschiedene Element in der letzten (neuen) Zeile mrkiert Ds gegeene Gleichungssstem ist nun ersetzt durch die drei mrkierten Gleichungen, lso durch ds äquivlente LGS + z = z = 4 3 = 3 Dieses LGS ht eine einfche Struktur Aus der letzten Gleichung 3 = 3 folgt nämlich sofort = Setzt mn dies in die vorletzte Gleichung ein, erhält mn z = 4 und knn nch z uflösen Mn erhält z = Einsetzen in die erste Gleichung liefert dnn noch + = und mn knn nch uflösen Es ist = (Ds Auflösen heißt Rückwärtseinsetzen ) Ds LGS ht die eindeutig estimmte Lösung = (,, )

22 8 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Dieses Verfhren wird nun verllgemeinert Ein gegeenes LGS wird mittels elementrer Umformungen in ein einfcher zu lösendes LGS umgeformt, ds genu die gleichen Lösungen ht Elementre Umformungen Multipliktion einer Gleichung (Zeile) mit einem Fktor λ 0 Addition einer Gleichung (Zeile) zu einer nderen Vertuschen zweier Gleichungen, lso zweier Zeilen Addition des µ fchen einer Gleichung (Zeile) zum λ fchen (λ 0) einer nderen Gleichung (Zeile) Elementre Umformungen sind äquivlente Umformungen, die folglich die Lösungsmenge eines LGS nicht verändern Ntürlich drf mn uch Splten von A vertuschen, wenn mn dei die Vrilen umenennt Um Schreireit zu spren und die Üersicht zu ehlten, empfiehlt sich zb folgendes Verfhren: Gußsches Elimintionsverfhren Mn etrchtet nur ds Koeffizientenschem, lso die Mtri A und den Vektor der rechten Seite In A sucht mn eine Splte mit möglichst vielen Nullen und einer möglichst einfchen Zhl 0 Diese wird mrkiert und mit ihrer Hilfe werden in der entsprechenden Splte mittels elementrer Umformungen Nullen erzeugt Mn enutzt lso eine Gleichung, um in den ürigen eine Vrile zu eliminieren Dieses Verfhren setzt mn fort, is mn ein hinreichend einfches LGS erhält Die folgenden drei Beispiele eschreien die einzigen drei Möglichkeiten, mit denen dieses Verfhren enden knn Wir eschränken uns wieder uf Ssteme mit zw 3 Vrilen 4 Mn löse die folgenden LGSe: () + 3 = 5 = 5 3 = () + 3 = = = (c) + 3 = = = 0 () Regie Ds gegeene LGS ist nun ersetzt durch die eiden mrkierten Gleichungen und die letzte Gleichung Diese ist für lle (, ) erfüllt und wird weggelssen Mn erhält lso ds äquivlente LGS = 5 = Rückwärtseinsetzen liefert =, ( ) = 5, lso = 3 Ds LGS ht die eindeutige Lösung (, 3)

23 3 Ungleichungen mit zwei Vrilen 57 3 Ungleichungen mit zwei Vrilen Lösungsmengen von Ungleichungen mit zwei Vrilen (in der Regel, ) sind hier Teilmengen von R Mn erkennt sie, indem mn die Grenzkurven zeichnet Diese erhält mn, indem mn ds Ungleichheitszeichen durch = ersetzt Wir ehndeln zunächst linere Ungleichungen in zwei Vrilen + c (,, c R, (, ) (0, 0)), woei sttt uch <, oder > stehen knn Die durch + = c gegeenen Grenzkurven sind Gerden (s [Aschnitt 46]) und die Lösungsmenge der zugehörigen Ungleichung ist eine Hleene Für 0 knn mn nch uflösen und mn schreit, wie in den folgenden Skizzen, die Grenzgerde in der Form = m + n = m+n > m+n = m+n = m+n < m+n Lösungsmenge von = m + n: Die Gerde Lösungsmenge von > m + n: Die Hleene oerhl der Gerden Lösungsmenge von < m + n: Die Hleene unterhl der Gerden 34 Mn skizziere die Lösungsmenge in der (, )-Eene von () <, () Die Grenzgerde ist = Lösungsmenge der Ungleichung ist die gefärte Hleene unterhl der Grenzgerden ohne die Grenzgerde selst = Bestimmung der Grenzgerden: Es wird die Grenzgerde = skizziert, und ds Ungleichungszeichen zeigt, welche Hleene die Lösungsmenge ist (siehe oen) Hier gehört die Grenzgerde zur Lösungsmenge = <

24 46 Gerden in der Eene Gerden in der Eene Ist 0 und durchläuft der Prmeter r die reellen Zhlen, so liegen die Endpunkte von r uf der durch estimmten Gerden { ist eine Gleichung der Gerden G : = r durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor O ist eine Gleichung der zur oigen Gerden prllelen Gerden, G : = + r 7 die durch den Endpunkt von verläuft () Gerden in der Eene Prmeterdrstellung einer Gerden durch den Endpunkt von mit dem Richtungsvektor 0: G : = + r, r R () durch zwei verschiedene Punkte P und P : G : = p + r( p p ), r R O p p P P p p G G durch den Endpunkt von Koordintendrstellung einer Gerden senkrecht zum Normlenvektor n = von G ( n steht senkrecht uf dem Richtungsvektor von G) ( ) 0 Mit n = c gilt: O G : + = c Koordintendrstellung der Gerden G n O = Die Skizze zeigt, dss für Gerdenpunkte (, ) gilt: n ( ) = 0 zw n ( ) = ( n ) Ds usgerechnete Sklrpodukt n = n = c + = c liefert die Koordintendrstellung der Gerden G ( ) ist ein Normlenvektor der Gerden + = c G ( )

25 94 4 VEKTORRECHNUNG 47 Gerden und Eenen im Rum Die im vorigen Aschnitt ngegeene Prmeterdrstellung einer Gerden in der Eene lässt sich wortwörtlich ls Gerdendrstellung im Rum üertrgen Drstellung einer Gerden im Rum Ist ein im Ursprung ngetrgener Vektor und 0 ein elieiger Vektor, so heißt G : = + r, r R, Prmeterdrstellung der Gerden G durch den Endpunkt von in Richtung Für eine Eene im Rum git es verschiedene Drstellungen O G = + r Prmeterdrstellung einer Eene Ist ein im Ursprung ngetrgener Vektor und sind 0, c 0 zwei nicht prllele Vektoren, so heißt E : = + r + s c, r, s R E Prmeterdrstellung der Eene E durch den Endpunkt von, die durch die Richtungsvektoren, c ufgespnnt wird Sind P, P, P 3 drei Punkte, die nicht uf einer Gerden liegen, so ist E : = p + r( p p ) + s( p 3 p ) eine Prmeterdrstellung P der Eene E durch P, P, P 3 p s c c O P 3 p 3 p p p O r P Koordintendrstellung einer Eene E : + + cz = d heißt Koordintendrstellung von E n = (,, c) 0 ist dei ein Normlenvektor von E Diese Drstellung ergit sich us der folgenden Eenendrstellung durch Ausrechnen des Sklrprodukts mit n = d Ist ein im Ursprung ngetrgener Vektor und n 0 ein uf E senkrecht stehender Vektor, so heißt E : n ( ) = 0 oder n = n Normlendrstellung der Eene E durch den Endpunkt von, die senkrecht zu n verläuft (Die Normlendrst ist eine vektorielle Schreiweise der Koordintendrst) n E c O

26 47 Gerden und Eenen im Rum 97 D mn zwei Möglichkeiten ht, eine Eene drzustellen (Prmeterdrstellung und Koordintendrstellung), interessiert es, wie mn eide Drstellungen ineinnder üerführt Umformung von Eenendrstellungen Prmeterdrstellung in Koordintendrstellung Prmeterdrstellung = + r + s c Multipliktion mit n = c = (,, c) Koordintendrstellung n = n zw + + cz= d Mn multipliziert die Prmeterdrstellung mit einem Vektor n, der uf den Richtungsvektoren und c senkrecht steht (Normlenvektor), zb mit n = c Koordintendrstellung in Prmeterdrstellung Koordintendrstellung + + cz = d Lösen des LGS Gleichung, 3 Uneknnte Prmeterdrstellung = + r + s c Mn löst ds LGS + + cz = d ZB indem mn, flls 0 ist, = r und z = s setzt und nch uflöst Es ist = d r c s Ds Ergenis schreit mn vektoriell: d ( ) = r c s d/ / c/ = r = 0 + r + s 0 z s 0 0 und erhält die Eene in Prmeterdrstellung 444 Mn estimme eine Koordintendrstellung der Eene E : = (,, 3) + r(,, ) + s(,, ) Ein Normlenvektor n ist gegeen durch n = = 3 Sklrproduktildung der Prmeterdrstellung mit n = (3, 5, ) ergit: n = n (,, 3) + r n (,, ) +s n (,, ) } {{ } } {{ } =0 =0 (3, 5, ) (,, z) = (3, 5, ) (,, 3) = 4 E : z = 4 ist eine Koordintendrstellung 5

27 3 5 Finnzmthemtik Zinsstz jährlich p% = p 00 = q, q = + p heißt Zinsfktor 00 Ist p% = 45% = 45 p = 0045, dnn ist q = + = 045, q = Einmlige Zhlung: Anfngskpitl K Bezeichnungen: Anfngskpitl = K = K 0 = B (heißt uch Brwert) Kpitl K n nch n Jhren (Zinseszinsformel): Brwert B einer in n Jhren fälligen Zhlung K n : Zinsfktor q: Anzhl n der Jhre: q n = K n K Fustformel: Eine Verdoppelung tritt nch etw 70 p K n = Kq n B = K = K n q n q = n Kn K = n lnq = ln K n K = n = lnk n lnk lnq Jhren ein, s [5 ()] Erläuterung der enutzten Formeln siehe [Seite 36 ff] Zur esseren Lesrkeit enutzen wir in diesem Aschnitt für den Multipliktionspunkt ds Zeichen 5 Ein Kpitl K = 000 C ist zu einem Zinsstz von 45% ngelegt () Welches Endkpitl K 5 ergit sich nch 5 Jhren? () Nch wieviel Jhren n ht sich ds Kpitl verdoppelt? () K 5 = Kq 5 = = C, Endkpitl nch 5 Jhren () Kq n = K nch n uflösen (K kürzen und logrithmieren) Zum Logrithmus, insesondere zu ln siehe [Aschnitt 54] Kq n = K = q n = = n lnq = ln = n = ln ln q = ln ln Nch 6 Jhren ht sich lso ein zu 45% ngelegtes Kpitl verdoppelt Die Fustformel zur Verdoppelung liefert ds gleiche Ergenis: p 5 Welches Kpitl K (Brwert B) erringt zu 45% Zinsen ngelegt nch 5 Jhren ein Endkpitl von C? K n = Kq n = K = B = K n q n = C ist der Brwert 53 Zu welchem Zinsstz p% muss ein Kpitl von K = 000 C ngelegt werden, dmit nch 5 Jhren ein Endkpitl von C erzielt wird? K n = Kq n = q n = Kn K = q = n Kn K = = + p 00 = p = 00(045 ) = 45, Ds Kpitl muss lso zu 45% ngelegt werden

28 6 Hedezimlsstem Hedezimlsstem Dez He A B C D E F 0 Umwndeln einer ntürlichen Dezimlzhl in eine Hedezimlzhl: = = FD : 6 = 4 Rest 3 0 = D 6 4 : 6 = 5 Rest 0 = 6 5 : 6 = 0 Rest 5 0 = F 6 Division mit Rest und Reste (hedeziml) von unten nch oen notieren! = FD 6 Umwndeln einer gerochenen Dezimlzhl in Hedezimlzhl: 035 = (Mn sieht nicht so einfch, wie es weitergeht ) = = = Wiederholtes Multiplizieren mit 6 und Asplten des gnzzhligen Anteils Reste von oen nch unten notieren! = Zunächst = 0583 in einen gewöhnlichen Bruch umwndeln: 000 = = = 55 7/ 6 = 4/ + 9 4/ 6 = 4/ + 5 4/ 6 = 4/ + 5 = (0) = 7 (0) Wiederholtes Multiplizieren mit 6 und Asplten des gnzzhligen Anteils Reste von oen nch unten notieren! = Umwndeln einer gnzen Hedezimlzhl in eine Dezimlzhl: 3A4B 6 = = = Die Umwndlung knn uch mit dem Hornerschem durchgeführt werden! 3A4B 6 = Umwndeln einer gerochenen Hedezimlzhl in Dezimlzhl: = 0A8 6 = = = 3 = = 0A8 6 = 6 = A = A = (A8 A) 0 6 = (68 0) 0 = 58 0 = = = 79 0 = , lso 0A8 6 = Umwndeln einer Dulzhl in eine Hedezimlzhl: = }{{} 0 00 }{{} 00 }{{} = 6CA 6 = 6 C A Dulzhl zu Viererlöcken zusmmenfssen!

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