Bericht zur Prüfung im Mai 2009 über Bausparmathematik (Grundwissen)

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1 Blätter DGVFM DOI /s z ACTUARIAL EXAMS Bericht zur Prüfung im Mai 2009 über Bausparmathematik (Grundwissen) Eberhard Bertsch Eingegangen: 18 November 2009 / Angenommen: 18 November 2009 DAV / DGVFM 2010 Am 9. Mai 2009 führte die DAV die Prüfung über das Grundwissen in Bausparmathematik durch. Sie bestand aus einer 90-minütigen Klausur, in der vier Aufgaben zu lösen waren. Hilfsmittel waren außer einem Taschenrechner nicht zugelassen. Die Höchstpunktzahl aus den Aufgaben betrug insgesamt 90 Punkte. Die Klausur galt als bestanden, wenn mindestens 40 Punkte erreicht waren. An der Klausur haben 27 Kandidaten teilgenommen, von denen 24 die Prüfung bestanden haben. 1 Aufgabe 1 (34 Punkte) Ein Bauspartarif weise folgende Merkmale auf: Guthabenzinssatz 2% jährlich, Darlehensanspruch in Höhe der Differenz zwischen Bausparsumme (BS) und Bausparguthaben (BG) bei Zuteilungsannahme, keine Darlehensgebühr, Darlehenszinssatz 4% jährlich, Annuität für das Bauspardarlehen 6% der BS jährlich, zu erbringen in vier gleichgroßen Quartalsraten am Quartalsende. Ferner sei angenommen, dass alle Bausparer zu Beginn des ersten Quartals ihrer Sparzeit eine Einmaleinlage von 30% der BS erbringen und außerdem jeweils zum Quartalsende einen Ratensparbeitrag von 1% der Bausparsumme leisten. (a) Verifizieren Sie rechnerisch nach den üblichen quartalsbezogenen Formeln der Bausparmathematik die Aussage, dass die mittlere Wartezeit eines Bausparkollektivs mit den angegebenen Modalitäten unter Toleranz von Rundungsdifferenzen näherungsweise 20,82 Quartale beträgt. Eberhard Bertsch, Ludwigsburg, Deutschland, dr.e.bertsch@t-online.de

2 E. Bertsch (b) Berechnen Sie die Kassenleistung und das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverhältnis unter der Bedingung, dass die Sparweise und die Sparzeit von 20,82 Quartalen unverändert bleiben, die Annuität für das Bauspardarlehen aber statt 6% nur noch 4% jährlich beträgt. 1.1 Lösung (a) Bezeichnet bei einer normierten Bausparsumme BS = 100 im Folgenden E = 30 die Einmaleinlage zu Beginn der Sparzeit und A = 1,0 den quartalsweisen Sparbeitrag, B = 1,5 den quartalsweisen Tilgungsbeitrag und gemäß dem üblichen bausparmathematischen Formelwerk r = 1,005 bzw. q = 1,01 die Quartalszinsfaktoren für Bausparguthaben und Bauspardarlehen, so beläuft sich bei einer Sparzeit von s = 20,82 Quartalen das Endguthaben bei Zuteilungsannahme, d.h. bei Auszahlung nach Zuteilung, auf G(s) = E r s + A rs 1 r 1, (1) die Guthabensumme GS, errechnet als Quotient aus Zinsensumme und Guthabenzinsfaktor auf GS = G(s) E s A (2) r 1 mit dem Endguthaben G(s) gemäß (1), ferner das Anfangsdarlehen D(0) = 100 G(s) und die Darlehenssaldensumme DS DS = B t D(0). (3) q 1 In (3)istmit B Q = (4) B (q 1) D(0) folgende Tilgungszeit t anzusetzen: t = ln Q ln q. (5) Dasjenige s, das die Kassengleichung GS = DS erfüllt (6) ist die mittlere Wartezeit. Verwendet man die vorgegebenen Daten, so erhält man r s = 1,10942, E r s = 33,2827, A rs 1 r 1 = 21,8847, G(s) = 55,1674, D(0) = 44,8326, Q = 1,4263, t = 35,6854 Quartale.

3 Bericht zur Prüfung im Mai 2009 über Bausparmathematik Das Einsetzen dieser Zahlenwerte in (2) und (3)ergibt Guthabensaldensumme GS = 869,49 und Darlehensaldensumme DS = 869,55, also annähernd GS = DS. (b) Die Sparphase bleibt unverändert. Damit ist auch weiterhin D(0) = 44,8326 wie in Teil (a). Mit dem verringerten Tilgungsbeitrag von quartalsweise B = 1,0 ergibt sich nun mit dem Formelwerk aus Teil (a) Q = 1,8127 und t = 59,7766. Damit errechnet sich als neue Darlehenssaldensumme DS = 1.494,41 und mit der Guthabensaldensumme von GS = 869,49 aus Teil (a) das individuelle Sparer- Kassenleistungsverhältnis: isklv = 869,49 = 0,5818, also 58,2% ,41 2 Aufgabe 2 (10 Punkte) Nennen Sie fünf grundsätzliche Handlungsmöglichkeiten, die es für eine Bausparkasse bei Liquiditätsengpässen im kollektiven Bausparen gibt, je nachdem, wie gravierend diese Engpässe sind. 2.1 Lösung (Die Angabe von fünf der sechs folgenden Möglichkeiten ist für die volle Punktzahl ausreichend) Bei Liquiditätsengpässen im Bausparkollektiv gibt es für eine Bausparkasse grundsätzlich folgende Möglichkeiten: Verringerung bestehender Überschüsse von Bauspareinlagen, evtl. freiwilliger Einschuss von Marktmitteln, wenn die Bausparkasse den Minderertrag aus wegfallenden Kapitalanlagen bzw. aus dem Einsatz von Marktmitteln tragen kann. Wenn der Abbau von Überschüssen der Zuteilungsmasse vollzogen ist: Anstieg der Wartezeiten, d.h. der Zielbewertungszahlen ( Bausparkassen können sich vor Zuteilung eines Bausparvertrages nicht verpflichten, die Bausparsumme zu einem bestimmten Zeitpunkt auszuzahlen, 4 Abs.5 BSpkG), Fremdgeldeinschuss ab einem bestimmten Wartezeitniveau mit Ertragsausgleich aus dem Fonds zur bauspartechnischen Absicherung Kollektivübertragung auf ein gesünderes Institut, das bereit ist, die Verpflichtungen aus den übernommenen Verträgen zu erfüllen, Ultima ratio: Vereinfachte Abwicklung, angeordnet durch die Aufsichtsbehörde, evtl. kombiniert mit Stützung aus dem Einlagensicherungssystem

4 E. Bertsch 3 Aufgabe 3 (24 Punkte) (a) Geben Sie die vier herkömmlichen Methoden für die Bewertungszahlrechnung und die jeweils zugehörigen Berechnungsformeln an. (b) Gegeben sei ein Bausparvertrag mit Bausparsumme BS = , Bausparguthaben BG = und Summe der Habensalden SHS = Berechnen Sie für den Fall, dass die Bewertungszahl nach der Habensaldensummen- Methode mit Bewertungszahlfaktor 4 berechnet wird (gegebenenfalls mit Rundung auf 2 Nachkommastellen), die aktuelle Bewertungszahl, die Erhöhung, die (ohne Berücksichtigung von Gebühren) möglich ist, um eine Bewertungszahl von 12 zu erzielen, und die Bewertungszahlen, welche zwei Verträge erhalten, die aus einer unproportionalen Teilung des Ausgangsvertrags entstehen (auch hier ohne irgendwelche Gebühren), und zwar in BS1 = mit Guthabenanteil BG1 = und BS2 = mit Guthabenanteil BG2 = Lösung (a) Habensaldenmethode (Berechnung an jedem Bewertungsstichtag): BZ = Habensaldensumme BZfaktor. Bausparsumme Zuwachsmethode (Berechnung des Zuwachses an jedem Bewertungsstichtag): BZ neu = BZ alt + Guthabensaldo Bausparsumme BZfaktor. Zinsensummenmethode (Berechnung an jedem Bewertungsstichtag): ZS BZ = Bausparsumme BZfaktor, wobei ZS die Summe der gutgeschriebenen und der erdienten Zinsen ist. Mischmethode (Berechnung an jedem Bewertungsstichtag): Guthabensaldo + ZS BZfaktor BZ =, Ratensparbeitrag wobei ZS wie bei der Zinsensummenmethode. (b) Vorgaben: Ergebnisse: BS = , BG = , SHS = , BZfaktor = 4. Aktuelle Bewertungszahl BZ = = 16.

5 Bericht zur Prüfung im Mai 2009 über Bausparmathematik BZ-Umrechnung bei Erhöhung: BZ neu = BZ alt BS alt. BS neu Die gewünschte Bewertungszahl von 12 ergibt sich für BS neu = BS alt BZ alt = BZ neu 12 = Es ist also eine Erhöhung um möglich. Bei einer unproportionalen Teilung werden die Saldensummen im Verhältnis der Bausparguthaben aufgeteilt. Das bedeutet in diesem Fall: Aufteilung der Saldensumme im Verhältnis 50:40. Dies ergibt folgende Teilverträge: Teilvertrag 1: BS1 = , BG1 = , SHS1 = /9 = ,33, BZ = 13,33. Teilvertrag 2: BS2 = , BG2 = , SHS2 = /9 = ,67, BZ = 21,33. 4 Aufgabe 4 (22 Punkte) Gegeben sei ein Bauspartarif, der einen festen Darlehensanspruch in Höhe von 50% der Bausparsumme (keine Darlehensgebühr), einen Darlehenszinssatz von 3,6% pro Jahr und folgende Tilgungsmodalität vorsieht: Zu zahlen ist in den ersten vier Quartalen der Tilgungszeit ein Quartalstilgungsbeitrag von 1,5% der Bausparsumme. Danach erhöht sich der Quartalstilgungsbeitrag auf 2,1% der Bausparsumme. Berechnen Sie den Darlehensstand nach vier Quartalen, die gesamte Tilgungszeit und die gesamte Darlehenssaldensumme für die normierte Bausparsumme von Lösung Vorgaben für eine normierte Bausparsumme von 100: D(0) = 50, q = 1,009, B1 = 1,5, B2 = 2,1.

6 E. Bertsch Darlehensstand nach vier Quartalen: also D(4) = D(0) q 4 B1 q4 1 q 1, D(4) = 50 1, ,5 1, ,009 Restliche Tilgungszeit: = 45, B2 Mit Q = B2 D(4) (q 1) ergibt sich als restliche Tilgungszeit: t = ln Q ln q und numerisch 2,1 Q = 2,1 D(4) 0,009 = 1, Damit beträgt die restliche Tilgungszeit t = ln Q ln q = 24,3542 und die gesamte Tilgungszeit 28,3542 Quartale. Die Darlehenssaldensumme errechnet sich als Quotient aus den anfallenden Darlehenszinsen und dem Darlehenszinssatz, also DS = 4 B1 + t B2 D(0) q 1 = 4 1,5 + 24,3542 2,1 50 0,009 = 793,8.