1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl

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1 0. STRÖMUNG INKOMPRESSIBLER FLUIDE IN ROHRLEITUNGEN Enführung Vorlesung Strömungslehre Prof. Dr.-Ing. Chrstan Olver Pascheret C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl 007 De mechansche Energe enes durch ene Rohrletung strömenden nompressblen Fluds nmmt durch Umwandlung n nnere Energe nfolge Rebung ständg ab. Solche Umwandlungsverluste an mechanscher Energe önnen sch be Rohrströmungen nompressbler Meden nur n Form von Drucverlusten äußern, da de netsche Energe von der Kontnutätsbedngung bestmmt wrd und auch de Energe der Lage unabhängg von den Verlusten m Rohr st. Man ann deshalb de Bernoullsche Glechung durch en Drucverlustgled ergänzen. Für statonäre Strömung folgt dann von Gl. (3.): c p gh c p gh pv Gl.(.) C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl 007 Enführung Enführung Das Drucverlustgled p V / hat we alle anderen Gleder de Dmenson des Quadrats ener Geschwndget. Man defnert deshalb für de n Enbautelen ener Rohrletung entstehenden Drucverluste ene Drucverlustzahl ζ durch den Ansatz c st gewöhnlch de über den Rohrquerschntt gemttelte Geschwndget c V& A pv c ζ Gl.(.) hnter der Enbaustelle. Durch den Bezug auf ene mttlere Geschwndget wrd de Rohrströmung zu enem Stromfaden verenfacht. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Enführung Für den Drucverlust nfolge Wandrebung wählt man den Ansatz mt der Rohrrebungszahl λ p V L c λ Gl.(.3) D und berücschtgt dabe, dass de der Strömung ausgesetzte nnere Rohroberfläche ~L/D st. c st weder de mttlere Geschwndget m Rohrquerschntt A. Für de gesamten Verluste ener Rohrletung ann man also schreben p V L c c λ ζ Gl.(.4) D C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Rohrrebungszahl be lamnarer Strömung Im Kaptel 7.. wurde berets der Drucverlust p v für de Hagen-Poseullesche Rohrströmung hergeletet. Mt der über den Rohrquerschntt gemttelten Geschwndget c m folgt von Gl. (7.7): p 64 L Re D V c m C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl 007 6

2 Der Verglech mt Gl. (.3) zegt, dass für de lamnare Rohrströmung de Rohrrebungszahl λ ν Re c m D st. Für de lamnare Rohrströmung glt ferner (s. vorherge Fole): p V ~ Lc m /D. Gl.(.5) Rohrrebungszahl be turbulenter Strömung Versuche zegen, dass Rohrströmungen nur be cmd Re 300 v grundsätzlch lamnar snd. Nach Überschreten deser rtschen Reynoldszahl wrd de Strömung durch Störungen turbulent. Be guter Rundung des Rohrenlaufs und großem Aufwand zur Vermedung von Störungen onnte expermentell lamnare Strömung bs zu Reynoldszahlen Re errecht werden. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Für hydraulsch glatte Rohre (hydraulsch glatt bedeutet, dass ene Verrngerung der vorhandenen Rauhgeten enen Enfluss auf den Rohrwderstand hat) hatten wr berets n Gl. (.9) en emprsches Gesetz von Blasus für de Rohrrebungszahl der turbulenten Rohrströmung ennen gelernt, das für 300 Re 0 5 gültg st. En halb-emprsches Gesetz nach Gl. (.33) erhält man mt Hlfe des unversellen logarthmschen Geschwndgetsprofls ( Re ) 0, 8,0 log λ λ Gl.(.6) Für sene Herletung wurde Re >> angenommen. Expermente zegen schon ene gute Überenstmmung ab Re Be turbulenter Strömung n rauhen Rohren ann der Rohrrebungsoeffzent ncht mehr analytsch bestmmt werden. De Ergebnsse expermenteller Untersuchungen von Moody für technsch rauhe Rohre und von Nuradse am sandrauhen Rohr snd den folgenden Abbldungen zu entnehmen. Während der λ Wert be lamnarer Strömung nur ene Funton von der Reynoldszahl Re st, st er be turbulenter Strömung und sehr großen Reynoldszahlen (Re etwa > 0 5 ) nur ene Funton der Rohrrauhget ε und m technsch wchtgen Übergangsberech ene Funton sowohl der Rauhget als auch der Reynoldszahl. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl De Kurven m Moody-Dagramm entsprechend den folgenden Glechungen: Für den Berech λ λ(ε / D) (hydraulsch rauhe Rohre) glt: λ Gl.(.7) ε [,4,0 log( )] D Für den gesamten turbulenten Berech Re > 0 4 st de Formel von Colebroo-Whte gültg:,5 ε log 0,7 λ Re λ D Da n desem Fall λ von c m unabhängg st, glt her p V ~ Lc m. Se geht für ε D 0 n Gl. (.7) über. n Gl. (.6) und für Re C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl 007 C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl 007

3 Rohrrebungszahl be ncht-resförmgen Rohrquerschntten Be der Berechnung der Rohrrebungszahl λ für turbulente Strömungen n Rohren mt ncht-resförmgen Querschntten benötgt man ene gesonderten Angaben für den Rebungsoeffzenten, wenn man mt dem hydraulschen Durchmesser rechnet: D hydr Rohrquerschntt 4 Gl.(.9) benetzter Rohrumfang C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Für den Kresquerschntt stmmt der hydraulsche mt dem tatsächlchen Durchmesser überen. Glechung (.9) geht davon aus, dass de Wandschubspannung über dem gesamten Umfang onstant st. Dese Bedngung st auch be ecgen Rohrquerschntten wetgehend erfüllt, wel sch der Hauptströmung n Achsrchtung ene Seundärströmung ( Seundärströmung zweter Art ) überlagert.be lamnaren Strömungen ändert sch der Zahlenwert n Glechung (.5), wenn Re mt dem hydraulschen Durchmesser gebldet wrd. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Rohrrebungszahl für technsch rauhe Rohre als Funton der Reynoldszahl und der relatven Rauhget nach Moody C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Absolute Rauhget ε für Moody-Dagramm - Glasrohre, gezogene Messng-, technsch glatt Kupfer- und Blerohre ε 0 bs, 5µm - handelsüblche Stahlrohre ε 45µm schmedeeserne Rohre - Rohre aus Gussesen mt ε 5µm Asphaltüberzug - Esenrohre mt ε 50µm galvansertem Überzug - gusseserne Rohre ε 50µm - Holzrohre ε 80 bs 900µm - Betonrohre ε 0, 3 bs 3mm - genetete Stahlrohre ε 0, 9 bs 9mm C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Drucverluste pv L cm Rohrrebungsbewerte nach Nuradse λ ; D cm D Re ν Zusatzverluste be turbulenter Rohrströmung Be turbulenter Rohrströmung treten außer durch Rebung an den Rohrwandungen wetere Drucverluste an Stellen auf, an denen Rotatons- und Schwanungsbewegungen erzeugt werden. Dese Verluste lassen sch be en mt dem Ansatz (.) berücschtgen, wenn de ζ- Werte beannt snd, de gewöhnlch auf de mttlere Geschwndget hnter der Verlustquelle bezogen snd. De Verlustzahlen ζ für enge Enbauten snd auf den Folen angegeben. Zwe wchtge Verlustquellen snd Strömungsablösungen und Seundärströmungen. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl

4 Drucverluste Drucverluste Drucverluste durch Ablösung der Strömung Ablösung ener Strömung von ener Wand ann entreten, wenn das Medum gegen stegenden Druc strömt. Dabe muss (vgl. Kaptel 0.6) de Strömung verzögert werden dc dp c. dx dx In Wandnähe st wegen der Wandhaftbedngung de Geschwndget aber schon sehr len, so dass en Drucansteg dazu führen ann, dass n desem Berech de Geschwndget negatv wrd, also Rücströmung entrtt. In den Ablösungszonen treten Verluste auf durch Verwrbelung der Flüssget. De Wrbelenerge wrd durch Rebung n nnere Energe verwandelt. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Drucverluste Drucverluste Ablösungen treten n Rohrletungen n Dffusoren auf. Auch m Krümmer löst de Strömung gewöhnlch ab. Aufgabe des Dffusors st de Umwandlung von netscher Energe n Drucenerge. Der Drucansteg m Dffusor führt lecht zu Ablösung. Daher wrd der Erweterungswnel β mest lener als 8 gewählt. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl 007 C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl 007 Drucverluste Drucverluste Aus der Eulerschen Bewegungsglechung normal zur Strömungsrchtung (radale Drucglechung) Gl. (3.9) ergbt sch, dass zur Umlenung ener Strömung der Druc zum Krümmungsmttelpunt hn fallen muss. Im Krümmer führt das zu enem Drucabfall am Innenrand und enem Drucansteg am Außenrand. Dort wrd de Strömung verzögert und es ann zur Ablösung ommen. Am Ende des Krümmers glecht sch der Druc quer zur Strömungsrchtung weder aus. Der dazu erforderlche Drucansteg an der Innensete ann zur Ablösung führen, an der Außensete legt sch de Strömung nfolge enes Drucabfalls weder an. Ablösung wrd erzwungen an Kanten. En Bespel dafür st de plötzlche Erweterung enes Rohres. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl

5 Drucverluste Drucverluste De Verluste lassen sch herbe zemlch genau mt dem Impulssatz berechnen. Es ergbt sch: ζ A Verluste durch Seundärströmung Neben den Verlusten durch Strömungsablösung treten n enem Krümmer wetere Verluste durch Seundärströmung auf. Wr betrachten dazu enen Krümmer mt Rechtecquerschntt. Deser Borda-Carnotsche Stossverlust st der enzge ener Berechnung zugänglche Enzel-Drucverlust be turbulenter Rohrströmung. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Drucverluste Drucverluste In der Schnttebene A - B exstert nach der radalen Drucglechung (3.9), de her snngemäß lautet: dp dr cm r ( r) ene nach außen anstegende Drucvertelung p(r), de von z unabhängg st. c m (r) st de über z gemttelte Geschwndgetsvertelung. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Infolge der Wandhaftung an der Ober und Untersete des Krümmers (z ±h/) bldet sch jedoch en Geschwndgetsprofl c c (r, z) aus. Da der Druc und damt auch der Drucgradent von z unabhängg st, glt dp c dr () r c ( r, z) c( r z) r r r r c () r m, wobe r der örtlche Krümmungsradus der Stromlnen st. In der Kanalmtte (z 0) st c(r, 0) > c m (r), n der Nähe der Krümmerober- und -untersete (z ±h/) st dagegen c(r, z) < c m (r). C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl m Gl.(.0) Drucverluste Drucverluste De Stromlnen werden daher n beden Fällen enen vom Radus r unterschedlchen Krümmungsradus r haben. De Geschwndgetsvetoren n der Schnttebene haben n desem Fall ene radale Komponente, de an der Ober- und Untersete des Krümmers zum Krümmungsmttelpunt hn, dagegen n der Mtte (z 0)nach außen hn gerchtet st. Aus Kontnutätsgründen ergbt sch ene der Grundströmung überlagerte resende Bewegung, de zwe gegensnng drehenden Wrbeln entsprcht (Seundärströmung). Seundärströmungen entstehen mmer dann, wenn ene Strömung mt unterschedlcher Größe der Geschwndget nfolge enes setlchen Drucgefälles abgelent wrd. Langsame Flüssgetstelchen erfahren dann wegen Gl. (.0) ene stärere Ablenung als schnellere. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl Ene Seundärströmung entsteht zum Bespel auch n der roterenden Strömung n ener Teetasse. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl

6 Mt Glechung (.) lassen sch grundsätzlch alle Rohrletungen berechnen, wenn de Verluste n den geraden Rohrstrecen nach Glechung (.3) und de Verluste n Enbautelen nach Glechung (.) beannt snd. De Rechnung st besonders enfach, wenn de Reynoldszahl n allen Rohrabschntten beannt st. Im anderen Fall muss wegen λ (Re, Rauhget) und ζ (Re, Geometre) de Reynoldszahl zunächst geschätzt und dann teratv verbessert werden. Da de Änderungen von λ und ζ mt der Reynoldszahl gewöhnlch len snd, genügt mest en enzger Iteratonsschrtt. Der gesamte Drucabfall n ener Rohrletung als Funton des Volumenstroms lefert de Kennlne der Rohrletung. Von Gl. (.) und (.4) folgt wegen c V& A ; c V& A usw.: C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl p p g ( h h ) L λ D A V& A A ζ A En postves p muss von Pumpen erzeugt werden. Es gbt zwe prnzpell verschedene Pumpenarten. De Kolbenpumpe lefert für onstante Drehzahl enen onstanten Volumenstrom. Der Pumpendruc st m wesentlchen durch das Drehmoment des Motors oder de Festget der Pumpenonstruton begrenzt. oder, wenn λ und ζ unabhängg von V & snd, ( h h ) const & p g. V C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl De Kreselpumpe (oder der Ventlator) hat für onstante Drehzahlen etwa folgende Kennlnen. De der Strömung durch de Pumpe zugeführte Gesamtenerge pro Volumenenhet: c p t pt p 0 c 0 Im Berech lener Volumenströme gbt es zwschen den verschedenen Bauarten (Axal oder Radalmaschne) Unterschede n den Kennlnen. Der Volumenstrom st lecht durch Drosselung zu regeln. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl

7 MIT Da Pumpe und Rohrletung vom glechen Volumenstrom durchströmt werden und de Pumpe gerade den Druc erzeugen muss, der n der Rohrletung verarbetet wrd, ergeben sch bem Zusammenarbeten von Pumpe und Rohrletung Arbetspunte als Schnttpunte der Kennlne von Pumpe und Rohrletung. De erforderlche Pumplestung st P p V &. Enführung Zur Berechnung der be turbulenten Strömungen n Rohrletungen auftretenden Verluste unterschedet man Rebungsverluste n geraden Rohren und Zusatzverluste als Folge von Enbautelen. Gesamtverluste Zusatzverluste pv L c λ D c ζ De m folgenden aufgeführten Verlustzahlen ζ bezehen sch gewöhnlch auf de mttlere Geschwndget c hnter der betrachteten Verlustquelle. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl MIT MIT Entrttsverluste - gut gerundete Düse Der Düsenverlust setzt sch zusammen aus dem Drucverlust zur Bldung enes turbulenten Geschwndgetsprofls mt ζ p 0, ,06 und dem Verlust durch erhöhte Wandschubspannung m ersten Rohrabschntt hnter der Düse. Der Rebungsverlust n der Düse selbst st nur sehr len. Der Verlustbewert der Düse am Entrtt ener Rohrstrece ergbt sch daraus zu - scharfantger Enlauf Kante mt 90 ζ 0,4... 0,5 Umlenung von ζ 0, Verlustbewerte abhängg von Kantenschärfe und Kantenwnel ζ 0, ,09 C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl MIT Querschnttsänderungen - Plötzlche Änderung Erweterung, Borda-Carnotscher Stoßverlust ζ A Verengung ζ α A 0,6 α,0,5 0 A für 0,3 A > 0,6 C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl

8 MIT MIT - Blende ζ Aψ ψ 0,63 0,37 A 3 - Allmählche Änderung, Kegeldffusor Dffusorverluste hängen star ab von der Grenzschchtdce und der Turbulenz am Dffusorentrtt. Se snd gernger, wenn de Energe des star unglechförmgen Geschwndgetsprofls am Dffusorende n enem anschleßenden Rohr durch Verglechmässgung des Profls telwese zurüc gewonnen werden ann und ncht bem Austrtt ns Free verloren geht. Oft schlägt man bem Austrtt ns Free de gesamte netsche Energe am Austrtt den Verlusten zu. ( ) A ζ η A C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl MIT Der Wrungsgrad η der Umwandlung von netscher n potentelle (Druc-) Energe m Dffusor snt mt stegender Rohrrauhget und stegender Grenzschchtdce und stegt mt der Reynolds-Zahl. Der maxmal zulässge Erweterungswnel β ohne größere Ablösungen n der Strömung snt mt stegender Reynoldszahl und Grenzschchtdce und stegt mt dem Turbulenzgrad. Be hohen Reynoldszahlen Re > 0 6 am Entrtt (dünne Grenzschcht) st be enem Flächenverhältns A /A 4 en Wrungsgrad η 95% errechbar. C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl MIT MIT Rchtungsänderungen um den Wnel Krümmer Der Krümmerverlust hängt ab von der Krümmung r m /D und der Reynoldszahl, bzw. dem Rohrrebungsbewert λ. Formel von Padmarajaah a für δ 90 π r m D ζ λ 9, D rm a Padmarajaah: Strömungswderstand n gerümmten Rohrletungen, Dss. D83, Inst. f. Wasserbau und Wasserwrtschaft, TU - Berln,5 C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl

9 MIT - Kne nach Krchbach, Schubart gelten folgende Werte Strömungslehre Prof. Dr.-Ing. Chrstan Olver Pascheret C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs Aprl

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