Einführung in Petri-Netze. Modellierung von Abläufen und Prozessen (1) Abhängigkeitsgraphen: Motivation. Petri-Netze

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1 Einführung in Petri-Netze Modellierung von Abläufen und Prozessen () Motivation Abhängigkeitsgraphen: A B 6 C 5 D Petri-Netze Markierungen Invarianten Credits: L. Priese, H. Wimmel: Petri-Netze, Theoretische Informatik, Springer 003 G. Goos: Vorlesungen über Informatik, Springer Nur eine beste Anordnung der Aktionen ist gesucht für eine einmalige Ausführung (Graph zyklenfrei). Verarbeitete Objekte, Signale werden nicht repräsentiert. Flussgraphen: s 38 a b c 6 f 8 7 d 7 Materialfluss ist kontinuierlich, einzelne Objekte darin werden nicht modelliert. Insgesamt gibt es keine Unterscheidung des fließenden Materials. Zyklische Abläufe innerhalb des Netzes sind nicht modellierbar. Endliche Automaten: q 0 q e 0 7 t q q 3 Keine Möglichkeit der Modellierung von Nebenläufigkeit. Abhängigkeit von externen Eingaben. c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII- c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-

2 Modellierung von Abläufen und Prozessen () Klassifikation von Petri-Netzen () Modellierung eines einfachen Verkaufsautomaten: Münzrückgabe Münztest Kanal-Instanzen-Netz Einsatz in der Entwurfsplanung; passive Knoten, sog. Kanäle (Stellen) als Informationsbestände und -wege, aktive Knoten, sog. Instanzen (Transitionen) als Funktionen und Aktivitäten. Münze akzeptiert Nachfüllen und Entnehmen als konkurrierende Prozesse: Ware nachfüllen Warenvorrat Nachfüllanforderung Münzzähler und beschränkter Vorrat: Warenvorrat k= Münzrückgabe Münze akzeptiert Münztest Münztest Münzzähler Bedingungs-Ereignis-Netz, B/E-Netz Modellierung dynamischer Systeme; Übergang der Zustände oder Bedingungen (Stellen) bei Eintritt eines Ereignisses (Schalten der Transition); gültige Bedingung als Knoten mit Marke; Ereignisse, deren Bedingungen erfüllt sind, lassen Marken weiterwandern und erfüllen so neue Bedingungen. Modellierung/Erkennung von Nebenläufigkeiten, Konflikten und Verklemmungen Ware nachfüllen Münzrückgabe Nachfüllanforderung Münze akzeptiert c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-3 c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-

3 Klassifikation von Petri-Netzen () Netze Stellen-Transitions-Netz, S/T-Netz Verallgemeinerung der B/E-Netze; Stellen können mehrere Marken aufnehmen bis zu einer jeweils maximalen Kapazität, Transitionen übertragen auch mehrere Marken von Stelle zu Stelle Modellierung/Erkennung von Nebenläufigkeiten, Konflikten, Verklemmungen, Engpässen und Staueffekten Ein Netz N =(S, T, F ) besteht aus einer endlichen Menge S von Stellen, einer endlichen Menge T von Transitionen und einer Flussrelation F (S T ) (T S). Zur Vereinfachung betrachten wir S und T als geordnete Mengen, d.h. S = {,s,..., s m } T = {,s,..., t n } k= k=3 Prädikat-Transitionen-Netz, P/T-Netz Verallgemeinerung der S/T-Netze; Objekte mit individuellen Eigenschaften (Prädikate) als Marken auf Stellen, Transitionen prüfen Eingangsbedingungen und garantieren Ausgangsbedingungen Schrauben Muttern 3 S = M s t s t Ein Netz beschreibt die statische Struktur eines Systems. c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-5 c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-6

4 Vorbereiche und Nachbereiche Beispiele zu Vor- und Nachbereichen Anzahl der Transitionen, die mit einer Stelle in Beziehung stehen, und Anzahl der Stellen, die mit einer Transition in Beziehung stehen, sind unbeschränkt. s s t t = = { } s = { } s = {t } = { } = {,t } s = { } s = {,t } = {t } = = { } = = {t } = = { } = {s,,s } t = {s } t = { } = {,s } = { } t = {,s } t = { } Sei N =(S, T, F ) ein Netz. Für s S und t T heißt s = {t (t, s) F } Vorbereich von s s = {t (s, t) F } Nachbereich von s t = {s (s, t) F } Vorbereich von t t = {s (t, s) F } Nachbereich von t t s = { } = {t } s = {t } s = {t } = {t } = = = { } t = {,s } t = {s, } = { } = c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-7 c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-8

5 S/T-Netze Ein Stellen/Transitionsnetz (S/T-Netz) N =(S, T, F, k, w, M 0 ) besteht aus. einem unterliegenden Netz (S, T, F ),. einer (Kapazitäts-) Funktion k : S N { }, k total, die jeder Stelle eine (möglicherweise unbeschränkte) Kapazität zuordnet (Default ), 3. einer (Gewichts-) Funktion w : F N +, w total, die jeder Kante ein positives Gewicht zuordnet (Defaul), und. einer Markierungsfunktion (Anfangsmarkierung) M 0 : S N, M 0 total, die jeder Stelle eine Anzahl von Marken zuordnet, mit der Eigenschaft M 0 (s) Ö ÐÐ k(s) s S k= k= k=8 s k= s t Jede totale Funktion M : S N für ein S/T-Netz N =(S, T, F, k, w, M 0 ) heißt Markierung von N, wenn gilt M(s) Ö ÐÐ k(s) s S t Darstellung von S/T-Netzen Graphische Darstellung eines Petri-Netzes N =(S, T, F ) in Form eines bipartiten gerichteten Graphen S/T-Netz N gerichteter Graph Nebenbedingungen Stellen S Knotenmenge V S Stelle s i Knoten v s,i Knotenmarkierung m n (v s,i )=s i,m k (v s,i )=k(s i ) Transitionen T Knotenmenge V T V T V S = Transitionen t i Knoten v t,j Knotenmarkierung m n (v t,j )=t j Flussrelation F Kantenmenge E (s i,t j ) F (S T ) (v s,i,v t,j ) E Vorwärtskante (t i,s j ) F (T S) (v t,i,v s,j ) E Rückwärtskante (V S V T,E) bipartit Kantenmarkierung m w (e) =w(e) k=8 k=3 9 Mögliche Semantik Löschen Erzeugen Verarbeitung Aufspalten Verschmelzen s Kapazität k = 9 tote Stelle, Archiv Quelle, Reservoir Zwischenspeicher, Puffer Verzweigung, Nebenläufigkeit (Anf.) gem. Speicher, Synchronisationsstelle Gewicht w = c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-9 c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-0

6 Aktivierung von Transitionen Beispiele zu aktivierten Transitionen In einem S/T-Netz sollen Abläufe modelliert werden. Wann kann eine einzelne Aktion (Transition) innerhalb eines Ablaufs ausgeführt werden? Notwendige Bedingungen müssen erfüllt sein. Stellen im Vorbereich müssen mindestens so viele Marken tragen, wie es das Gewicht der Kante zur Transition verlangt. Ausführung der Aktion darf nicht zu Problemen führen. Stellen im Nachbereich dürfen höchstens so viele Marken tragen, dass noch entsprechend der Kante von der Transition viele Marken hinzugefügt werden können, ohne die Kapazität zu überschreiten. k= k=8 k= k= k=8 s k= s t Markierung M =(, 0,,, 3, 0, 0) Aktivierte Transitionen:,,t t k= s t k= k=8 k= k= s t k= s t k= Es sei ein Stellen/Transitionsnetz N =(S, T, F, k, w, M 0 ) gegeben und M : S N sei eine weitere Markierung von N. Eine Transition t T heißt unter M aktiviert (aktiv), kurz M-aktiviert, in Zeichen M[t, falls. für alle s t gilt M(s) w(s, t) und. für alle s t \ t gilt M(s)+w(t, s) k(s) bzw. für alle s t t gilt M(s) w(s, t)+w(t, s) k(s). Markierung M =(, 0,,, 3,, 0) Aktivierte Transitionen: t s t s k= t Wir nehmen an, dass n gilt für alle n N. Markierung M =(0,, ) Aktivierte Transitionen: c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII- c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-

7 Schalten von Transitionen Beispiele zu Folgemarkierungen In einem S/T-Netz sind für eine Markierung meist mehrere Transitionen aktiviert. Unter diesen kann eine ausgewählt werden, die als nächste ausgeführt wird. Die in den Kantengewichten geforderte Anzahl Marken wird von den Stellen im Vorbereich der Transition entfernt, auf alle Stellen im Nachbereich der Transition wird die in den Kantengewichten geforderte Anzahl Marken hinzugefügt. k= k= k=8 s k= s t t k= k= k=8 s k= s t Es sei ein Stellen/Transitionsnetz N =(S, T, F, k, w, M 0 ) gegeben und M : S N sei eine weitere Markierung von N sowie t T eine M-aktivierte Transition. Durch das Schalten (Feuern) der Transition t wird die Folgemarkierung M ist definiert durch ÐÐ M(s)+w(t, s) s t \ t M M(s) ÐÐ w(s, t) s t \ t (s) = ÐÐ M(s)+w(t, s) w(s, t) s t t ÓÒ Ø M(s) Die Transition t schaltet (feuert) M nach M, in Zeichen M[t M. t k= k= k=8 s k= s t Markierung M =(, 0,,, 3, 0, 0), M[ M mit Markierung M =(,, 3,, 3, 0, 0) k= t k= k=8 s k= s t t Markierung M =(,, 3,, 3, 0, 0), M [ M mit Markierung M =(,,,, 3,, 0) k= k= k=8 s k= t k= k= k= k= k=8 s k= s t s k= s t t t k= k=8 k= k=8 s k= t s t s t Markierung M =(,, 3,, 3, 0, 0), M [t M mit Markierung M =(,,,, 3, 0, ) c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-3 c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-

8 Erreichbare Markierungen Bestimmung der erreichbaren Markierungen () Es sei ein Stellen/Transitionsnetz N =(S, T, F, k, w, M 0 ) gegeben und M : S N sei eine weitere Markierung von N. DieMenge der von M aus (durch das Schalten der Transitionen in N) erreichbaren Markierungen von N, in Zeichen [M, ist die reflexive und transitive Hülle von M bzgl. der Folgemarkierungsrelation:. M [M. Wenn für M [M die Tranistion t T aktiviert ist und M nach M schaltet, d.h. M [t und M [t M, dann gilt auch M [M. 3. Keine weiteren Markierungen gehören zu [M. Die Menge [M 0 nennen wir kurz die in N erreichbaren Markierungen. Beispiel: t s k= k= k= s s t 3 Markierung M 0 =(,, 0, 0) Stellen Mark. s 0 s Folgemarkierungen M M 0 [t M,M 0 [ M M 0 0 M 0 [ M 3 M 0 0 M 0 [ M M M 0 [t M 5,M 0 [ M 6 M 0 0 M 0 [t M 6,M 0 [ M 7 M M 0 [t M 8,M 0 [ M 9 M 6 0 M 0 [t M 9,M 0 [ M 0 M M 0 [t M 0,M 0 [ M M M M M t Markierung M 0 =(0,, ) [M 0 = {(n,, ), (n,, ), (n,, 0) n N} c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-5 c LETTMANN 003/0 Modellierung Petri-Netze VIII-6

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