Formelsammlung Mathematische Grundlagen für die Informatik

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1 Formelsammlung Mathematische Grundlagen für die Informatik Wolfgang Führer August 2007

2 Inhaltsverzeichnis Lineare Algebra. Vektorräume Abelsche Gruppe ( Operation - + oder *) Körper ( 2 Operationen - + und *) Vektorraum V über K Linearkombination Linear unabhängig Dimension von V Homomorphismus (lineare Abbildung) Bilinearform Skalarprodukt Orthogonal Orthogonalraum Lineare Gleichungssysteme (LGS) Matrizenprodukt Lösungsmenge eines LGS Transformationen Gauss-Jordan-Verfahren Matrizen Typen Matrizen Transposition Matrizen Addition Matrizenmultiplikation Rang einer Matrix Matrizentransformationen Determinanten und invertierbare Matrizen Matrix A ij ii

3 Inhaltsverzeichnis.4.2 Determinante Reguläre Matrix Matrixgleichung Inverse Matrix Graphentheorie Graphen Grundlagen Graph Schlinge Schlichter Graph Grad eines Knoten Handschlaglemma Vollständiger Graph Komplementgraph Untergraph Kantenzug Zusammenhängender Graph Isomorphe Graphen Wald Baum Gerichtete Graphen Gerichteter Graph Grad Gerichteter Kantenzug Starker Zusammenhang Azyklischer Graph Darstellung von Graphen im Computer Adjazenzmatrix Adjazenzliste Durchsuchen von Graphen Tiefensuche Artikulationspunkt Breitensuche Topologisches Sortieren Kreis und Wegeprobleme Eulersche Kreise iii

4 Inhaltsverzeichnis Algorithmus von Hierholzer Hamiltonsche Kreise Kürzeste Wege Kantengewicht Abstand Algorithmus von Dijkstra Aufspannende Bäume Aufspannender Baum Minimal aufspannender Baum Abzählung von aufspannenden Bäumen Prüfercode Algorithmus von Prim Algorithmus von Kruskal Traveling Salesman Problem (TSP) Wahrscheinlichkeit Der Wahrscheinlichkeitsraum Ereignisfeld I Vollständiges Ereignissystem Eigenschaften der relativen Häufigkeit Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit De Morgansche Regeln Kombinatorische Formeln Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff Laplace Versuch Bedingte Wahrscheinlichkeit Produktformel Stochastisch unabhängig Produktformel für bedingte Wahrscheinlichkeit Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes sche Formel Totale Wahrscheinlichkeit Formel von Bayes Diskrete Zufallsgrößen Gleichverteilung Binomialverteilung Poissonverteilung iv

5 Inhaltsverzeichnis 3.5 Stetige Zufallsgrößen Dichtefunktion Verteilungsfunktion Bedingte Wahrscheinlichkeiten Gleichverteilung auf [a,b] Dreiecksverteilung Exponentialverteilung mit Parameter λ Normalverteilung Satz von Moivre und Laplace Erwartungswert und Varianz Ungleichung von Tschebyscheff Übersichtstabelle Verteilungsfunktionen Formeln Differentialrechnung - Regeln zur Ableitung Integralrechnung - Stammfunktionen und Regeln Programme Geogebra Maxima yed Graph Editor math4u GraphAnalyser Lyx Sonstiges Literaturverzeichnis 90 v

6 Lineare Algebra. Vektorräume.. Abelsche Gruppe ( Operation - + oder *) Eine Abelsche Gruppe (G, ) besteht aus einer Menge G und einer Operation : G G G, (a, b) a b, so dass folgende Axiome erfüllt sind:. (a b) c = a (b c), a, b, c G (Assoziativgesetz) 2. Es gibt ein neutrales Element e G mit a G : e a = a = a e 3. Es gibt ein inverses Element e G mit a G, a G : a a = e = a a 4. a, b G : a b = b a (Kommutativgesetz)..2 Körper ( 2 Operationen - + und *) Ein Körper ist eine algebraische Struktur, bestehend aus einer Menge K von Elementen, zusammen mit den Verknüpfungen + und *. Die Verknüpfungen ordnen je zwei Elementen α, β K wieder ein Element α + β und α β aus der Menge K zu. Damit eine solche Menge K als Körper bezeichnet werden kann, müssen verschiedene Gesetze erfüllt sein:. (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element (K \ {0}, ) ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element. 3. α, β, γ K : α (β + γ) = (α β) + (α γ) (Distributivgesetz)

7 Lineare Algebra..3 Vektorraum V über K Es gibt eine Verknüpfung : K V V mit den Eigenschaften: x = x x V α (x + v y) = α x + v α y α K, x, y V (α + k β) x = α x + v β x α, β K, x V (α β) x = α x + v β x α, β K, x V (.) Das additive Einselement von V ist 0 v und heißt Nullvektor von V. Jeder Vektorraum V besitzt zwei triviale Unterräume, nämlich U = {0} und U = V. Satz: Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. U V ist genau dann ein Unterraum von V, wenn für alle α, β K und alle a, b U gilt: α a + β b U (.2) 2

8 Lineare Algebra..3. Beispiel Ist U = {(x, y) 3x 4y = 0} ein Unterraum von R 2? Feststellung: Unterraum ist gegeben wenn α a + β b U Gegeben: α, β R und (k, l), (m, n) U Das heißt: 3k 4l = 0 3m 4n = 0 (a) (b) Zu zeigen: α(k, l) + β(m, n) U (c) Rechnung: α(k,l)+β(m,n) = (αk,αl)+(βm,βn) = (αk+βm,αl+βn) Eingesetzt: 3(αk+βm) 4(αl+βn) = 0 (d) = 3αk+3βm 4αl 4βn = α(3k 4l)+β(3m 4n) = α 0 +β 0 wegen (a) und (b) = 0 (e) Man sieht, dass (e) = (d) und somit ist (c) bewiesen. U ist ein Unterraum von R 2. 3

9 Lineare Algebra..3.2 Beispiel Ist U 2 = {(x, y) x 2y = } ein Unterraum von R 2? Feststellung: Unterraum ist gegeben wenn α a + β b U Gegeben: α, β R und (k, l), (m, n) U 2 Das heißt: k 2l = m 2n = (a) (b) Zu zeigen: α(k, l) + β(m, n) U 2 (c) Rechnung: α(k,l)+β(m,n) = (αk,αl)+(βm,βn) = (αk+βm,αl+βn) Eingesetzt: (αk+βm) 2(αl+βn) = (d) = αk+βm 2αl 2βn = α(k 2l)+β(m 2n) = α +β wegen (a) und (b) = (α+β) (e) Man sieht, dass (e) (d). U 2 wäre nur dann ein Unterraum von R 2 wenn (α + β) =. Deshalb ist U 2 kein Unterraum von R 2. Satz: Die skalaren Vielfachen eines Vektors bilden einen Unterraum. Satz: Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und x V dann gilt:. Span K (x) = {y y = α x, a K} ist ein Unterraum von V 2. Sei y Span K (x) mit y 0. Dann Span K (x) = Span K (y) (jedes Element von Span K (x) - außer dem Nullvektor - kann also als Vertreter dieses Unterraums gewählt werden). 4

10 Lineare Algebra..4 Linearkombination Es sei V ein Vektorraum über K sowie α,..., α m K und a,..., a m V, m. Dann heißt m a = α i a i = α a α m a m i= eine Linearkombination von a,..., a m. Satz: Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und A = {x,..., x m } V eine nicht leere Menge von Vektoren aus V. Dann ist Span K (A) = {α x + α 2 x α m x m α i K, i m} ein Unterraum von V. Die Menge der Linearkombinationen von Vektoren eines Vektorraums bilden einen von diesen Vektoren aufgespannten Unterraum. Man schreibt auch Span K (A) = Kx Kx m Span K (A) = K A. = m i= Kx i oder noch kürzer..5 Linear unabhängig Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Die Vektoren a,..., a m V heißen linear abhängig, falls es eine nicht triviale Linearkombination gibt, mit α a α m a m = 0 (.3) Die triviale Linearkombination wäre wenn α = α 2 =... = α m = 0. 5

11 Lineare Algebra Satz: Sei V ein Vektorraum über dem Körper K, dann sind die Vektoren a,..., a m V linear abhängig genau dann, wenn mindestens ein Vektor a i eine Linearkombination der anderen ist. m a i = α j a j j=,j i Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig genau dann, wenn sich keines ihrer Elemente als Linearkombination der anderen Elemente darstellen läßt...5. Beispiel Beweisen sie das die Vektoren B = 0, 0, 0 linear unabhängig sind! Feststellung: Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn es für die Linearkombination nur die triviale gibt. α D.h. wenn α = β = γ = 0 sind (nach.3). Rechnung: 0 +β 0 +γ 0 = α + β = 0 α + γ = 0 α = γ β + γ = γ + β = 0 β = γ α + γ = 0 β + γ = γ + β = 0 α + γ = 0 γ + γ = 0 γ = α, β, γ = 0 triviale F orm Somit sind die Vektoren linear unabhängig und stellen einen Unterraum in R 3 dar. Span K (B) = R 3. 6

12 Lineare Algebra Alternative Rechnung mittels Gauss-Jordan: Z2 Z Z2+Z3 Z2/2 Z Z3 Z+Z2 Z3 Z2 α = 0, β = 0, γ = 0 Alternative Rechnung mittels Determinante: 0 Wenn die Determinante det 0 0 dann sind die Vektoren linear unabhängig. 0 det nach Sarrus: = = = 2 Die Determinante ergibt -2, somit 0 und somit sind die Vektoren linear unabhängig. 7

13 Lineare Algebra..5.2 Beispiel Im Vektorraum R 3 betrachten wir die Vektoren u = 2, v = 2 sich w aus einer Linearkombination von u und v darstellen lässt. Zu zeigen: α u + β b = w Wenn man u, v und w als Matrix sieht und u, v A, w B dann ist 2, w = 2 5. Zeigen sie, dass A x = B ( ) = B α β Die Matrixmultiplikation entspricht α + β = 2α + 2β = 2 2α + ( )β = 5 Die zweite Zeile kann wegfallen, da sie Zeile entspricht. Wir lösen mit erweiterter Koeffizientenmatrix: ( 2 5 ) ( ) ( 0 ) ( ) α = 2, β = Also ist 2 u + ( ) v = w. 8

14 Lineare Algebra..5.3 Beispiel Stellt B = 0, 0, 0 = Span K (B) eine Basis für R 3 dar? Feststellung: Die Vektoren stellen eine Basis für R 3 dar, wenn die Skalare α, β und γ in der Linearkombination α 0 +β 0 +γ durch x, y und/oder z darstellbar sind und linear unabhängig sind. 0 = Lineare Unabhängigkeit wurde in der vorangegangenen Aufgabe festgestellt. x y z Rechnung: α + β = x α + γ = y α = y γ (a) β + γ = z (y γ) + β = x β = x y + γ (b) α + γ = y β + γ = z (y γ) + β = x α + γ = y (x y + γ) + γ = z γ = z x+y γ = z x+y 2 (c) 9

15 Lineare Algebra (c) in (b) eingesetzt β = x y+γ = x y+ z x+y 2 = 2x 2 2y 2 + z x+y 2 = x+z y 2 (d) (c) in (a) eingesetzt α = y γ = y z x+y 2 = 2y 2 z x+y 2 = y+x z 2 (e) Da α, β und γ wie in (e), (d) und (c) gezeigt durch x, y, z darstellbar sind (und die Vektoren linear unabhängig sind - Aufgabe davor) stellt B eine Basis für R 3 dar. Alternative Rechnung mittels Gauss-Jordan: 0 x 0 y 0 z 0 x 0 y x 0 z 0 x y x + z 0 z 0 x y x+z z 0 x z y x+z z y x+z = z+x y 2 2 2x 2z y x+z = x+y z y x+z z+x y x+y z y x+z z+x y Z2 Z Z2+Z3 Z Z3 Z2/2 Z3 Z2 Z+Z2 α = x+y z 2 γ = y x+z 2 β = z+x y 2 Kommt zum gleichen Ergebnis. Achtung beim Auslesen von β und γ! 2. Spalte ist β, 3. Spalte ist γ! 0

16 Lineare Algebra..6 Dimension von V Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K und B V eine Basis von V. Dann heißt din(v ) = B die Dimension von V. Für den Vektorraum V = {0} setzen wir dim(v ) = 0. Für jeden Körper K gilt: dim(k n ) = n (.4)..6. Beispiel Berechnen sie die Koordinaten des Vektors (,, ) R 3 bezüglich der Basis B = Rechnung: Die Lösung aus der Aufgabe zuvor zeigt, das α = x+y z 2, β = z+x y 2 und γ = y x+z 2 sind. Für (x, y, z) = (,, ) gilt: (,, ) = + 2 = , 0, 0. Die Koordinaten von (,, ) bezüglich B sind also ( 2, 2, 2 ). Man kann die Aufgabe aber auch ohne vorherige Berechnung von α, β und γ lösen. Man nutzt dazu die Matrizenmultiplikation. 0 Die Basisvektoren B =, 0, stellen dabei die Matrix B dar. Multipliziert man die Basis B 0 mit dem Vektor X der Basis, erhält man die Koordinaten C = (,, ) bezüglich B. Formal wird das deutlicher: B X = C X = B C X = X = B 0 0 0

17 Lineare Algebra Wir müssen also die inverse Matrix B bestimmen. Das geht mit Gauss-Jordan indem wir B zu einer Einheitsmatrix umwandeln und seine Einheitsmatrix E alle Operationen mitmachen lassen. B E Z2 Z Z2 + Z Z2/ Z Z3 0 0 Z + Z Z3 Z2 0 0 Z2 Z E B Setzen wir nun in obige Formel ein: B X = C X = B C X = X = = Die Koordinaten von (,, ) bezüglich B sind also ( 2, 2, 2 ). Diese Methode scheint keinen (Schreib-)Vorteil gegenüber der anderen zu haben, allerdings sollte man bedenken das das erzeugen einer inversen Matrix bei einem Taschenrechner oder einem CAS-Programm nur ein Tastendruck ist und Invert(B)*C sofort das Ergebnis liefert. Für die praktische Arbeit ist das Wissen um diese Vorgehensweise unerlässlich. 2

18 Lineare Algebra Die sinnvollste Vorgehensweise auf Papier wäre aber: B X = C E X = C dann ist X = C Z2 Z Z2+Z3 Z2 2 Z3 Z2 Z Z3 Z2 Z3 Die Koordinaten von (,, ) bezüglich B sind also ( 2, 2, 2 ). 3

19 Lineare Algebra..7 Homomorphismus (lineare Abbildung) Seien V und W Vektorräume über dem Körper K und die Abbildung f : V W sei definiert durch: f(a + b) = f(a) + f(b) (.5) f(α a) = α f(a) für alle a, b V und α K, dann heißt f lineare Abbildung oder Homomorphismus. Wenn f zusätzlich bijektiv ist, d.h. es existiert ein Umkehrhomomorphismus, dann spricht man von einem Isomorphismus. Satz: Sei f : V W ein lineare Abbildung des Vektorraums V auf den Vektorraum W. Dann gilt:. f( 0) = 0 2. f(α a + β b) = α f(a) + β f(b) für alle a, b V und alle α, β K 3. f( a) = f(a) für alle a V 4. Die Menge Bild(f) = {f(x) x V } ist ein Unterraum von W, der so genannte Bildraum von f. 5. Die Menge Kern(f) = {x V f(x) = 0} ist ein Unterraum von W, der so genannte Kern von f. Satz: Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper K sowie f : V W eine lineare Abbildung von V nach W. Dann gilt: dim(v) = dim(kern(f)) + dim(bild(f) (.6) 4

20 Lineare Algebra Folgerung: Sei f : V W eine lineare Abbildung des Vektorraums V auf den Vektor W. Dann gilt:. 0 Kern(f) Der Kern ist also niemals leer. 2. f ist injektiv genau dann, wenn Kern(f) = { 0} gilt. 3. f ist surjektiv genau dann, wenn Bild(f) = W gilt. 4. Ist f bijektiv (injektiv und surjektiv), dann ist f eine lineare Abbildung von W nach V. 5

21 Lineare Algebra..7. Beispiel Sei f : R 3 R eine Abbildung definiert durch: f(x, y, z) = x + y + z. a) Ist f eine lineare Abbildung? Wenn f eine lineare Abbildung ist gilt:. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(α a) = α f(a) Für (k, l, m), (r, s, t) R 3 und α R muß gelten:. f k l m + s r t = f k l m +f r s t linke Seite: f k l m + s r t = f k + r l + s m + t = k + r + l + s + m + t = k + l + m + r + s + t (a) rechte Seite: f k l m +f r s t = k + l + m + r + s + t (b) 2. f α k l m = α f k l m linke Seite: f α k l m = f αk αl αm = αk + αl + αm (c) rechte Seite: α f k l m = α (k + l + m) = αk + αl + αm (d) Da. (a) = (b) und 2. (c) = (d) sind die Bedingungen erfüllt und f ist eine lineare Abbildung. 6

22 Lineare Algebra b) Bestimmen sie Bild(f)! Zu jeder Zahl z R existiert z.b. das Tripel (z, 0, 0) R 3 mit f(z, 0, 0) = z = z. Somit ist Bild(f) = R da jedes z R dargestellt werden kann. c) Bestimmen sie Kern(f)! Kern(f) = { (x, y, z) R 3 f(x, y, z) = 0 } = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0 } = { (x, y, z) R 3 x + y = z } = { (x, y, (x + y)) R 3 x, y R } Der Kern(f) besteht somit aus Tripel, die aus einer beliebigen Kombination von x, y R gebildet werden. Folgerung für f : aus a) f ist eine lineare Abbildung (Homomorphismus) aus b) Bild(f) = R. { Somit } ist f surjektiv aus c) Kern(f) 0. Somit ist f nicht injektiv. Somit ist f ein Homomorphismus von V W aber kein Isomorphismus weil c) nicht gegeben ist...8 Bilinearform Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Gelten für die Abbildung φ : V V K die Bedingungen φ(α x + β y, z) = α φ(x, z) + β φ(y, z) φ(x, α y + β z) = α φ(x, y) + β φ(x, z) (.7) für alle x, y, z V und α, β K, dann heißt φ eine Bilinearform. Gilt zusätzlich φ(x, y) = φ(y, x), dann heißt φ symmetrische Bilinearform. 7

23 Lineare Algebra..8. Beispiel Die Abbildung φ : R 3 R 3 R sei definiert durch φ k l m, r s t k l m φ r s t =kr+ls mt a) Ist φ eine Bilinearform? Für (k, l, m), (r, s, t), (u, v, w) R 3 und α, β R muß gelten: φ(α x+β y,z) = α φ(x,z)+β φ(y,z). linke Seite: φ α k l m +β r s t, u v w = φ αk αl αm + βr βs βt, u v w = φ αk + βr αl + βs αm + βt, u v w = (αk+βr)u+(αl+βs)v (αm+βt)w = αku+βru+αlv+βsv αmw βtw = αku+αlv αmw+βru+βsv βtw (a) rechte Seite: α φ αk αl αm, u v w +β φ βr βs βt, u v w = α (ku+lv mw)+β (ru+sv tw) = αku+αlv αmw+βru+βsv βtw (b) 2. φ k l m,α r s t +β u v w = α φ k l m, r s t +β φ k l m, u v w linke Seite: φ k l m,α r s t +β u v w = φ k l m, αr + βu αs + βv αt + βw = k(αr+βu)+l(αs+βv) m(αt+βw) = αkr+βku+αls+βlv αmt βmw = αkr+αkr αmt+βku+βlv βmw (c) rechte Seite: α φ k l m, r s t +β φ k l m, u v w = α (kr+ls mt)+β (ku+lv mw) αkr+αkr αmt+βku+βlv βmw (d) Da. (a)=(b) und 2. (c)=(d) zutreffen ist φ eine Bilinearform. 8

24 Lineare Algebra b) Ist φ eine symmetrische Bilinearform? Ist φ k l m, u v w =φ u v w, k l m? ku+lv mw = uk+lv wm ku+lv mw = ku+lv mw φ ist also eine symmetrische Bilinearform...9 Skalarprodukt Für die Elemente eines Vektorraums ist bisher nur eine Operation bekannt, nämlich die Addition von Vektoren. Die Multiplikation von Vektoren, das Skalarprodukt, ist wie folgt definiert: Sei K ein Körper. Die Abbildung : K n K n K definiert durch n x y = x i y i mit x = i= x x 2. und y = y y 2 x n y n. (.8) heißt Skalarprodukt oder auch inneres Produkt von x und y...0 Orthogonal Sei K ein Körper. Zwei Vektoren x, y K n, n N heißen orthogonal, falls x y = 0. Schreibweise x y. Gilt x y für den Vektor x, y K n, dann heißt x selbstorthogonal... Orthogonalraum Sei K ein Körper und V ein Unterraum von K n. Dann heißt die Menge V = {x K n x y fuer alle y V } der Orthogonalraum oder Dualraum zu V. 9

25 Lineare Algebra... Beispiel Es seien x = (, 2, 3) und y = (8, 5, 6) Vektoren aus R 3. Sind x und y orthogonal? x y=(,2,3) = ( 6)=0 Damit ist gezeigt das x und y orthogonal zueinander sind. Satz: Sei K ein Körper und V ein Vektorraum von K n. Dann gilt:. V ist ebenfalls ein Unterraum von K n 2. dim(v ) + dim(v ) = dim(k n ) = n 3. (V ) = V 4. (K n ) = {0}.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Es sei m, n N. Ein System g mn (x) von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x,..., x n über einem Körper K ist gegeben durch: a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 2 x a 2n X n = b =. a m x + a m2 x a mn x n = b n Dabei heißen die a ij, b j K, i m, j n, Koeffizienten des Gleichungssystems, b = (b,..., b m ) K m heißt auch Ereignisvektor von g mn (x). Ist b i = 0, i m, dann heißt g mn (x) homogen, sonst inhomogen. Für x = (x,..., x n ) sei GL K mn[x] die Menge aller (m n)-gleichungssysteme über dem Körper K. 20

26 Lineare Algebra.2. Matrizenprodukt Wenn man b = b b 2.. b m Km und x = x x 2. x n Kn als (m ) bzw. als (n ) Matrizen auffasst, läßt sich ein (m n) Gleichungssystem g mn (x) auch als Matrizenprodukt A x = b darstellen..2.2 Lösungsmenge eines LGS Ein lineares Gleichungssystem (A,b) über dem Körper K heißt lösbar, falls es einen Vektor l = (l,..., l n ) K n gibt, so dass A l = b gibt. l heißt Lösung von (A,b) in K. Die Menge L(A, b) = {l K n A l = b} aller Lösungen von (A,b) in K heißt Lösungsmenge von (A,b) in K. Gibt es keine Lösung, d.h. ist L(A, b) = Ø, dann heißt (A,b) nicht lösbar in K. Zwei Gleichungssysteme (A, b ) und (A 2, b 2 ) heißen äquivalent genau dann, wenn sie dieselben Lösungen besitzen, d.h. wenn L(A, b ) = L(A 2, b 2 ) gilt. Schreibweise: (A, b ) (A 2, b 2 ). Satz: Jedes homogene Gleichungssystem (A,0) ist lösbar. Satz: Sind l, l, l 2 L(A, 0), dann gilt l + l 2 L(A, 0) sowie α l L(A, 0) für alle α K..2.3 Transformationen Die Anwendung dieser Transformationen auf ein Gleichungssystem läßt dessen Lösungsraum unverändert.. Vertauschen von Zeilen 2. Vertauschen von Spalten 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile 4. Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor 2

27 Lineare Algebra.2.4 Gauss-Jordan-Verfahren Jedes Gleichungssystem (A, b) GL K mn[x] läßt sich durch endliche Anwendung der Transformationen in ein äquivalentes Gleichungssystem der Art 0 0 a,r+ a a,n b 0 0 a 2,r+ a 2,n b a r,r+ a r,n b r b r b m umformen (Gauss-Jordan-Verfahren).. Ist eines der b i 0 für i r +, dann besitzt (A,b) keine Lösung. 2. Ist r=n, dann hat das Gleichungssystem die Form x = b x 2 = b x n = b n Hieraus ergibt sich die eindeutige Lösung l = (b,..., b n ). 3. Ist r < n, dann ergibt sich eine mehrdeutige Lösung, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen: Man wählt die n r Unbekannten x r+k = λ k, k n r. Die Lösungen für x k, k r ergeben sich dann durch: x k = b k a k,r+ λ a k,r+2 λ 2... a k,n λ n r Wählt man konkrete λ k K, spricht man von einer speziellen Lösung. Das Gleichungssystem (A, b) GL K mn[x] ist genau dann lösbar, wenn rang(a)=rang(a,b) ist. Gilt rang(a)=n, dann besitzt das Gleichungssystem (A, b) GL K mn[x] eine eindeutig bestimmte Lösung. Die Dimension des Lösungsraums des Gleichungssystems (A, 0) GL K mn[x] ist gegeben durch dim(l(a, 0)) = n rang(a) (.9) 22

28 Lineare Algebra.2.4. Beispiel. Entsteht durch die Anwendung des Gauss-Jordan-Verfahrens eine Zeile, in der links vom Gleichheitszeichen eine Null steht und rechts eine Zahl ungleich Null, d.h. eine falsche Aussage, dann besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösung. A = keine Loesung. F all rang(a) =2, rang(a,b)=3. 2. Hat man nach Anwenden des Gauss-Jordan-Verfahrens eine Dreiecksform erhalten, so gibt es genauso viele Gleichungen wie Unbekannte und das lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. A = x 3 = 4 weiter : x 2 = 4, x = 2. F all rang(a)=3, rang(a,b)=3. 3. Entsteht während des Anwendens des Gauss-Jordan-Verfahrens Null-Zeilen, d.h. es gibt weniger Gleichungen als Unbekannte, dann besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. A = x 4 = 0 x 4 kann beliebig gewaehlt werden 3. F all (A, b) GL K 44 n = 4 rang(a, b) = rang(a) = r = 3 Da r<n gibt es eine mehrdeutige Lösung. x r+k = λ k, k n r x 3+ = λ x 4 = λ x 4 = λ Die Lösungen: x = b a,r+ λ = 2 λ x 2 = b 2 a 2,r+ λ = 4 λ x 3 = b 3 a 3,r+ λ = λ (3. Zeile 3!) Der Lösungsvektor: x = 2 λ 4 λ λ l = , l = 3 L(A, b) = {x x = l + λ l, λ R} l ist eine spezielle Lösung (für λ = 0 ) des inhomogenen Gleichungssystems (A,b). 23

29 Lineare Algebra λ l ist die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems (A,0). Es ist dim(l(a, 0)) = n rang(a) = 4 3 =. l ist der Basisvektor von L(A, 0). Satz: Die Lösungsmenge L(A, b) läßt sich wie folgt darstellen: L(A, b) = l + L(A, 0).3 Matrizen.3. Typen Die Matrix A = (a i,j ) = a, a,2 a,n a 2, a 2,2 a 2,n.... a m, a m,2 a m,n heißt Koeffizientenmatrix. Die Elemente a,, a,2,..., a,n stellen den. Zeilenvektor dar. Die Elemente a,, a 2,,..., a m, den. Spaltenvektor und a,, a 2,2,..., a m,n die Diagonalelemente. Die Matrix (A, b) = a, a,2 a,n b a 2, a 2,2 a 2,n b a m, a m,2 a m,n b m heißt erweiterte Koeffizientenmatrix. Die Koeffizienten des Gleichungssystems, b = (b,..., b m ) K m heißt auch Ereignisvektor. Die Matrix a, a 2,2 0 A = a m,n 24

30 Lineare Algebra ist eine Diagonalmatrix. Nur die Diagonalelemente haben einen Wert. Die Matrix a, a,2 a,m a 2, a 2,2 a 2,m A =.... a m, a m,2 a m,m ist eine quadratische Matrix. Die Matrix A = ist eine Einheitsmatrix. Dabei sind die Diagonalelemente und die Restlichen 0. Schreibweise: A = E m oder A = E. Die Matrix 0 a 0 0 A = ist eine Elementarmatrix E ij (a). Hier E j (a). Die Matrix A = ist eine symmetrische Matrix. Spiegelt man die Matrixelemente an der Diagonalen so verändert sich die Matrix nicht. Die Matrix A T A = ( a, a,2 a,3 a 2, a 2,2 a 2,3 ist die transponierte Matrix von A. ) A T = a, a 2, a,2 a 2,2 a,3 a 2,3 25

31 Lineare Algebra.3.2 Matrizen Transposition. Für alle Matrizen A Mmn k gilt: ( A T ) T = A 2. A Mmn k ist genau dann symmetrisch, falls A = A T 3. Es seien A, B Mmn K und α K. Für die Transposition gelten folgende Regeln: - (A + B) T = A T + B T - (α A) T = α A T - (A B) T = B T A T.3.3 Matrizen Addition Seien A, B M K mn und α K. Dann ist. C = A + B definiert durch (c ij ) = (a ij + b ij ) die Summe von A und B 2. α A definiert durch (α a ij ).3.4 Matrizenmultiplikation Es seien A Mml K sowie B M ln K. Dann ist das Produkt C = A B M mn K definiert durch l c ij = a ik b kj, i m, j n (.0) k= Durch geeignete Partitionierung lässt sich die Matrizenmultiplikation in speziellen Fällen vereinfachen: A = (A A 2 ) und B = dabei habe A p Spalten und B p Zeilen. Dann gilt ( B B 2 ) A B = A B + A 2 B 2 26

32 Lineare Algebra.3.5 Rang einer Matrix Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) einer Matrix A Mmn K heißt Rang von A, dieser wird mit rang(a)bezeichnet. Satz: Für jede Matrix A Mmn K gilt, dass ihr Zeilen- und Spaltenrang gleich sind..3.6 Matrizentransformationen Die Anwendung folgender Operationen läßt den Rang einer Matrix unverändert.. Vertauschen von Zeilen 2. Vertauschen von Spalten 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile 4. Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor 5. Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte 6. Multiplikation einer Spalte mit einem Faktor 27

33 Lineare Algebra.4 Determinanten und invertierbare Matrizen.4. Matrix A ij Sei A M K m, m 2, dann ist die Matrix A ij M K m, i, j m die Matrix A ij die entsteht, wenn man aus Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte herausstreicht..4.2 Determinante Sei A M K, dann ist det(a) = a. Ist A Mm K mit m 2, dann ist det(a) = a det(a ) a 2 det(a 2 ) ( ) +m a m det(a m ) m = ( ) +j a ij det(a ij ) (.) j= Für alle A M K 2 gilt: a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a Beispiel det(a) = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = +a a 22 a 23 a 32 a 33 a a 2 a 23 2 a 3 a 33 + a a 2 a 22 3 a 3 a 32 = +a (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 2 (a 2 a 33 a 23 a 3 ) + a 3 (a 2 a 32 a 22 a 3 ) Die Berechnung von Determinanten erfolgt immer nach Entwicklung von Zeilen und Spalten. In diesem Beispiel nach der Entwicklung der. Zeile. det(a) = = = ( 3) 2 ( 6) + 3 ( 3) =

34 Lineare Algebra Satz: Sei A M K m sowie p, q, s, t m und α K n gilt:. Ist eine Zeile oder Spalte von A gleich Null, dann ist die Determinante gleich Null. 2. Die Determinante einer Matrix ist gleich der Determinante ihrer Transponierten: det(a) = det(a T ). 3. Wird eine Zeile oder Spalte mit einem Skalar multipliziert, verändert sich auch die Determinante um diesen Faktor. det(row s= α (A)) = α det(a) det(column t= α (A)) = α det(a) 4. Hat A zwei identische, benachbarte Zeilen, dann ist ihre Determinante gleich Null. Für Spalten gilt das gleiche. 5. Wird zu einer Zeile (Spalte) das α-fache einer Nachbarzeile (-spalte) addiert, dann ändert sich der Wert der Determinante nicht. det(row s=+α(s+) (A)) = α det(a) det(column t=+α(t+) (A)) = α det(a) 6. Werden zwei benachbarte Zeilen (Spalten) von A vertauscht, dann wird die Determinante negativ. det(row s,s+ (A)) = det(a) det(column t,t+ (A)) = det(a) Satz: Sei A M K m. Folgende Aussagen sind äquivalent:. Die Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von A sind linear unabhängig 2. rang(a) = m 3. det(a) 0 29

35 Lineare Algebra Folgerung: Sei (A, b) GL K m. Folgende Aussagen sind äquivalent:. det(a) = 0 2. rang(a) = rang(a, b) < m 3. (A, 0) besitzt nicht nur die triviale Lösung 4. Falls (A, b) lösbar ist, dann ist die Lösung mehrdeutig Satz: Es seien A, B GL m (K). Dann gilt: det(a B) = det(a) det(b) det(a ) = (det(a)) det(a n ) = (det(a)) n.4.3 Reguläre Matrix Wir nennen eine Matrix A Mm K regulär genau dann, wenn det(a) 0 ist. Wir bezeichnen mit GL m (K)die Menge der regulären Matrizen über dem Körper K. Folgerung: Ist A GL m (K) und ist b K m, dann ist das Gleichungssystem (A, b) GL K m eindeutig lösbar..4.4 Matrixgleichung Ein lineares Gleichungssystem A x = b kann man verallgemeinern zu einem linearen Matrizen-Gleichungssystem A X = B, indem man die beiden Vektoren x,b als Matrizen auffasst, mit B Mm K und X = (x ij ), i, j m. Dann gilt ebenfalls: Die Matrixgleichung A X = B besitzt für A GL m (K) eine eindeutige Lösung X GL m (K). 30

36 Lineare Algebra.4.4. Beispiel Wir wollen folgendes Matrizen-Gleichungssystem lösen: ( ) ( x x 2 x 2 x 22 ) = ( ) Dies erfolgt normalerweise durch Lösen der beiden linearen Gleichungssysteme. ( ( ) ) ( ( x x 2 x 2 x 22 ) ) = = ( ) 4 2 ( ) 5 x + 2x 2 = 4 3x + 2x 2 = 2 x 2 + 2x 22 = 5 3x 2 + 2x 22 = ( ( ) ) Beide Gleichungssysteme lassen sich aber auch gleichzeitig mit dem Gauss-Jordan-Verfahren lösen. Dabei wird A zur Einheitsmatrix E umgeformt. Aus A X = B wird E X = X und ergibt damit die Lösung. A B E X ( ) ( ) = ( ) Satz: A X = B X = A B Y A = B Y = B A 3

37 Lineare Algebra.4.5 Inverse Matrix Es sei A GL K m eine reguläre Matrix. Die eindeutige Lösung der Gleichung A X = E heißt die zu A inverse Matrix. Diese wird mit A bezeichnet. Sie wird nach dem Gauss- Jordan-Verfahren gebildet Beispiel A = GL 3 (R) A. E Z2 2 Z Z3+3 Z Z2 ( ) Z3+2 Z Z2 2 Z E. A Es ist also: A = GL 3 (R) 32

38 Lineare Algebra Folgerung: Für alle reguläre Matrizen A GL m (K)gilt:. A E m = E m A = A 2. (A ) T = (A T ) 3. A A = A A = E m Für Elementarmatrizen gilt: (E ij (a)) = E ij ( a) 33

39 2 Graphentheorie 2. Graphen Grundlagen 2.. Graph Ein Graph G = (V, E, γ) ist ein Tripel bestehend aus: V, einer nicht leeren Menge von Knoten (Vertex) E, einer Menge von Kanten (Edges) γ, einer Inzidenzabbildung mit γ : E {X X V, X 2} Zwei Knoten a, b V heißen adjazent, wenn eine Kante e E existiert mit γ(e) = {a, b}. Ein Knoten a V heißt inzident zu der Kante e E, wenn a γ(e) gilt. Ein Graph G = (V, E, γ) heißt endlich, wenn die Knotenmenge V und die Kantenmenge E endlich ist Schlinge Wir nennen eine Kante e E Schlinge, wenn sie nur zu einem Knoten inzident ist. Zwei Kanten e, e 2 E heißen parallel, wenn sie zu den selben Knoten inzident sind Schlichter Graph Ein Graph G, der keine Schlingen und keine parallelen Kanten enthält, heißt schlicht. Da schlichte Graphen weder Schlingen noch parallele Kanten haben, können wir sie einfacher beschreiben. Wir beschreiben einen schlichten Graphen G = (V, E, γ) durch eine Knotenmenge V und eine Kantenmenge E {{v, w} v, w V, v w}, die aus zweielementigen Teilmengen von V besteht. 34

40 2 Graphentheorie 2..4 Grad eines Knoten Der Grad deg(v) eines Knoten v V ist die Anzahl der zu v inzidenten Kanten. Hierbei zählen Schlingen doppelt. Der Maximalgrad (G) eines Graphen G ist definiert durch: (G) := max {deg(v) v V } der Minimalgrad δ(g) durch: δ(g) := min {deg(v) v V } Ein Knoten v mit deg(v) = 0 heißt isoliert. Ein Knoten v mit deg(v) = heißt Blatt Handschlaglemma Jede Kante {v, w} geht genau zweimal in einen Knotengrad ein, was auch für Schlingen gilt, da diese doppelt zählen. Damit erhalten wir das so genannte Handschlaglemma. Für jeden endlichen Graphen G = (V, E, γ) gilt: deg(v) = 2 E (2.) v V Korollar: In endlichen Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeraden Grad gerade Vollständiger Graph Es sei G = (V, E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V, v w, dann heißt G vollständig. Den vollständigen Graphen mit n Knoten bezeichnen wir mit K n. Ein vollständige Graph G = (V, E) hat alle möglichen Kanten für die Knotenmenge V. Seine Kantenanzahl beträgt ( ) V V ( V ) = 2 2 (2.2) 35

41 2 Graphentheorie 2..7 Komplementgraph Für einen Graphen G = (V, E) heißt der Graph G = (V, E)mit E = {{v, w} v, w V, v w} \ E Komplementgraph von G. Der Komplementgraph G hat genau die Kanten, die G nicht hat. Für einen vollständigen Graphen besteht der Komplementgraph aus lauter isolierten Knoten Untergraph Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Graph H = (W, F ) mit W V und F E heißt Untergraph von G. Für W = V ist H ein aufspannender Untergraph von G. Gilt F = {{v, w} {v, w} E, v, w W } dann heißt H induzierter Untergraph von G. Den durch die Knotenmenge W induzierten Untergraphen von G bezeichnen wir auch mit G(W). Graph: G Untergraph: Teil der Knoten und Teil der Kanten. Aufspannender Untergraph: Besitzt alle Knoten, aber Kanten dürfen fehlen. Induzierter Untergraph: Knoten und die zum Knoten "dazugehörigen" Kanten entfallen. 36

42 2 Graphentheorie 2..9 Kantenzug Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Folge (v 0, v,..., v n ) von Knoten mit e i := {v i, v i } E für i =, 2,..., n heißt Kantenzug. Die Länge des Kantenzuges ist n. Ein Kantenzug, bei dem die e i alle verschieden sind, nennen wir Weg. Ein geschlossener Weg heißt Kreis. Ein einfacher Weg bzw. einfacher Kreis ist ein Weg (bzw. Kreis), bei dem die Knoten v i paarweise verschieden sind (bzw. mit Ausnahme von v 0 = v n ) Zusammenhängender Graph Ein Graph G = (V, E) heißt zusammenhängend, wenn zwischen je zwei Knoten von G ein Weg existiert. Eine Zusammenhangskomponente von G ist ein durch eine Knotenmenge U V induzierter Untergraph G(U), der zusammenhängend und bezüglich der Knotenzahl maximal ist. Satz: Jeder zusammenhängende Graph G = (V, E) mit n Knoten hat mindestens n- Kanten. Graph mit 4 Zusammenhangskomponenten: 2.. Isomorphe Graphen Zwei Graphen G = (V, E ) und G 2 = (V 2, E 2 ) heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung ϕ : V V 2 gibt, so dass für alle v, w V gilt: {v, w} E {ϕ(v), ϕ(w)} E 2 Wir nennen ϕ einen Isomorphismus von G auf G 2 und schreiben G = G2. Zwei Graphen sind genau dann isomorph, wenn der eine Graph aus dem anderen durch Umbenennung der Knoten hervorgeht. 37

43 2 Graphentheorie 2..2 Wald Ein Graph G = (V, E), der keinen Kreis enthält, heißt Wald Baum Ein Graph G = (V, E), der keinen Kreis enthält und zusammenhängend ist heißt Baum. Satz: Für einen Graphen G = (V, E) mit V = n sind die folgenden Aussagen äquivalent:. G ist ein Baum. 2. Je zwei Knoten G sind durch genau einen Weg verbunden. 3. G ist zusammenhängend, aber für jede Kante e E ist G = (V, E \ {e}) nicht zusammenhängend. 4. G ist kreisfrei, aber für je zwei nicht adjazente Knoten v,w von G enthält G = (V, E {{v, w}} genau einen Kreis Für Bäume gilt: E = V 2.2 Gerichtete Graphen 2.2. Gerichteter Graph Ein gerichteter Graph G = (V, A) besteht aus. V, einer nicht leeren Menge von Knoten 2. A, einer Menge von gerichteten Kanten, die aus geordneten Paaren (v,w) mit v, w V, v w besteht Für eine gerichtete Kante a = (v, w) heißt v der Anfangsknoten und w der Endknoten. 38

44 2 Graphentheorie Grad Es sei G = (V, A) ein gerichteter Graph. Die Zahl indeg(v) := {(x, v) (x, v) A} heißt Eingangsgrad und outdeg(v) := {(v, y) (v, y) A} heißt Ausgangsgrad von v V. Für einen gerichteten Graphen gilt indeg(v) = outdeg(v) (2.3) v V v V Gerichteter Kantenzug Es sei G = (V, A) ein gerichteter Graph. Ein gerichteter Kantenzug ist ein Folge (v 0,..., v n ) von Knoten mit e i := (v i, v i ) A für i =,..., n Starker Zusammenhang G heißt stark zusammenhängend, wenn es für je zwei Knoten v, w V einen gerichteten Weg von v nach w gibt. Dafür muß indeg(v) für alle Knoten >0 sein. Jeder Knoten muß jeden anderen Knoten über einen gerichteten Weg erreichen können. Zusammenhang starker Zusammenhang 39

45 2 Graphentheorie Azyklischer Graph Ein gerichteter Graph G = (V, A) heißt azyklisch oder kreisfrei, wenn G keinen einfachen, gerichteten Kreis der Länge 2 enthält. Gerichteter, kreisfreier Graph heißt im englischen directed acyclic graph oder dag. 2.3 Darstellung von Graphen im Computer 2.3. Adjazenzmatrix Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit V = {v,..., v n }. Die n n-matrix A = (a ij ) mit { falls {v i, v j } E a ij = 0 sonst heißt Adjazenzmatrix von G. Für nicht gerichtete Graphen ist die Adjazenzmatrix symmetrisch mit Nullen auf der Diagonalen. A = a b c d e a b 0 0 c d 0 0 e Satz: Für einen allgemeinen Graphen G = (V, E) gibt das Element a ij der Matrix A K die Anzahl der Kantenzüge der Länge K von i nach j an. Liegt ein dag vor, gibt a ij von A K sogar die Anzahl der Wege der Länge K von i nach j an. 40

46 2 Graphentheorie Als Beispiel hier ein dag und einige Potenzen seiner Adjazenzmatrix. A = a b c d e f g a b c d e f g A 2 = a b c d e f g a b c d e f g A 3 = a b c d e f g a b c d e f g In A 3 kann man sehen, das es z.b 2 verschiedene Wege von Knoten a (waagerecht) nach Knoten e mit der Kantenlänge 3 gibt Adjazenzliste Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit V = {v,..., v n }, n. Für i n seien v i, v i2,..., v in die mit den Knoten v i adjazenten Knoten. Die Liste A i = (v i, v i2,..., v in ) heißt Adjazenzliste von v i und die Liste L = (A,..., A n ) der Adjazenzlisten ist die Adjazenzlistendarstellung von G. A a = (b, e) A b = (a, c, d) A c = (b, d) A d = (b, c, e) A e = (a, d) 4

47 2.4 Durchsuchen von Graphen 2 Graphentheorie 2.4. Tiefensuche Tiefensuche für Bäume: Wenn ein Knoten v betreten wurde, dann arbeite rekursiv alle Nachbarn von v ab und kehre anschließend zu dem Knoten zurück, von dem aus v betreten wurde. Das bedeutet, dass wir zuerst in die Tiefe gehen, bevor wir einen weiteren Nachbarn eines Knotens besuchen. a b c d e Satz: Der Zeitaufwand für die Tiefensuche beträgt O( V + E ). Die Tiefensuche kann dazu verwendet werden, die Anzahl der Zusammenhangskomponenten zu ermitteln. Dazu zählt man wie oft man mit einem noch nicht besuchten Knoten die Tiefensuche neu anfangen muss Artikulationspunkt Für einen Graphen G = (V, E) heißt ein Knoten a V Artikulationspunkt, wenn die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von G(V \ {a}) größer ist als die von G. Anschaulich: Durch die Wegnahme eines Artikulationspunktes und den dazu inzidenten Kanten zerfällt der Graph in weitere Teile Breitensuche Bei der Breitensuche werden alle Nachbarn von v in eine Warteschlange W eingetragen, die diejenigen Knoten enthält, von denen aus der Graph weiter durchsucht werden muss. In jeder Interation der Breitensuche nehmen wir den ersten Knoten w aus der Warteschlange W heraus, ermitteln alle Nachbarn von w, die noch nicht erreicht worden sind und fügen diese Nachbarn in die Warteschlange ein. 42

48 2 Graphentheorie W a (b, e) b (e, c, d) e (c, d) c (d) d () Satz: Der Zeitaufwand für die Breitensuche beträgt O( V + E ). Auch mit der Breitensuche kann man die Anzahl der Zusammenhangskomponenten ermitteln. Eine andere Anwendung für die Breitensuche ist die Bestimmung der Abstände zwischen einem Knoten a V und allen anderen Knoten v V. Es wird implizit ein kürzester Weg ermittelt. 43

49 2 Graphentheorie Topologisches Sortieren Es sei G = (V, A) ein gerichteter, kreisfreier Graph (dag) mit V = {v,..., v n }. Eine Knotenreihenfolge L = (v i,..., v in ) aller Knoten aus V heißt topologische Sortierung von G, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: fuer alle (v ij, v ik ) A gilt i j < i k Das heißt, für jede Kante (v, w) A ist v vor w in L. Bei der topologischen Sortierung beginnt man zunächst mit einem Knoten v mit indeg(v) = 0. Dieser Knoten ist von keinem anderen Knoten abhängig. Anschließend entfernt man alle Kanten, die von diesen Knoten ausgehen. Nun schreibt man wieder alle Knoten mit indeg = 0 auf und entfernt wieder alle abgehenden Kanten. Diese Vorgehensweise wiederholt man solange, bis alle Knoten in der Liste aufgenommen worden sind. c a e d b f 44

50 2.5 Kreis und Wegeprobleme 2 Graphentheorie 2.5. Eulersche Kreise Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal enthält, heißt eulerscher Weg oder Eulerweg. Ein Kreis, der jede Kante von G genau einmal enthält, heißt eulerscher Kreis oder Eulerkreis. Wenn G einen eulerschen Kreis enthält, dann heißt G eulersch. Satz: Ein Graph G = (V, E) ist genau dann eulersch, wenn die beiden Bedingungen () G ist bis auf isolierte Knoten zusammenhängend (2) G hat keinen Knoten mit ungeradem Grad erfüllt sind. Gilt () und (2 ) G hat höchstens zwei Knoten mit ungeradem Grad dann existiert ein eulerscher Weg für G. Als Beispiel hier das Haus vom Nikolaus und Varianten. Die Zahlen an den Knoten geben deren Grad deg(v) an. Eulerweg kein Eulerweg Eulerkreis Eulerweg max 2 deg(v) = ungerade alle deg(v) = ungerade alle deg(v) = gerade max 2 deg(v) = ungerade Für einen nicht eulerschen Graphen (enthält keinen Eulerkreis), der einen Eulerweg besitzt, folgt, dass der Eulerweg in einem der beiden Knoten mit ungeradem Grad beginnt und in dem anderen Knoten mit ungeradem Grad endet. 45

51 2 Graphentheorie Algorithmus von Hierholzer Mit dem Algorithmus von Hierholzer kann man zuverlässig einen Eulerkreis (wenn vorhanden) ermitteln. Es sei G = (V, E) ein bis auf isolierte Knoten zusammenhängender Graph. Alle Knoten von G haben geraden Grad.. Wähle einen beliebigen Knoten v 0 V. Wähle anschließend, solange dies möglich ist, Knoten v, v 2,..., v i,..., so dass (v 0,..., v i ) jeweils ein Weg in G ist. Unter den gegebenen Voraussetzungen entsteht so automatisch ein Kreis K. Setze w := v 0 und gehe zu Prüfe, ob K alle Kanten von G enthält. Wenn ja, dann STOP, ansonsten gehe zu Laufe ab W entlang K bis zu einem Knoten w, der mit einer nicht in K enthaltenen Kante inzident ist. Gehe zu Konstruiere wie unter. ausgehend von w einen Kreis K, der keine Kanten von K enthält. Füge K in den Kreis K an der Stelle w ein. Setze w := w. Gehe zu 2. Der Algorithmus kann auch zur Konstruktion von Eulerwegen benutzt werden. Dabei startet man mit einem der beiden Knoten mit ungeradem Grad und konstruiert im. Schritt einen Weg zum andern Knoten mit ungeradem Grad. Anschließend werden die restlichen Knoten eingebunden Hamiltonsche Kreise Es ein G = (V, E) ein Graph. Ein Weg, der jeden Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Kreis. G heißt hamiltonsch, wenn G einen hamiltonschen Kreis enthält. Im Gegensatz zu eulerschen Graphen ist für hamiltonsche Graphen keine einfache äquivalente Charakterisierung bekannt. Wir betrachten deshalb nur ein hinreichendes Kriterium. 46

52 2 Graphentheorie Satz: Es sei G = (V, E) ein Graph mit n := V 3. Gilt v, w V : deg(v) + deg(w) n, dann ist G hamiltonsch. Hier ein paar Beispiele. Die Zahlen an den Knoten geben deren Grad deg(v) an. hamiltonsch und hamiltonsch, aber nicht hamiltonsch, weder hamiltonsch, eulersch nicht eulersch aber eulersch noch eulersch n=4 n=5 n=5 n=5 min [deg(v) + deg(w)] = 4 min [deg(v) + deg(w)] = 6 min [deg(v) + deg(w)] = 4 min [deg(v) + deg(w)] = Kürzeste Wege 2.6. Kantengewicht Es sei G = (V, E) ein Graph sowie w : E R eine Bewertung der Kanten mit reellen Zahlen. Für jede Kante e E heißt w(e) die Länge oder das Gewicht von e. Für einen Kantenzug K = (v 0,..., v k ) ist w(k) := k i= w ({v i, v i }) die Länge von K. Je nach Anwendung können auch negative Werte für Kantengewichte sinnvoll sein, beispielsweise wenn die Gewichte Gewinne oder Verluste repräsentieren sollen Abstand Es sei G = (V, E) ein Graph mit Kantengewichtsfunktion w : E R und es gelte w(e) 0 für alle Kanten e E. Der Abstand d(v, w) zweier Knoten v, w V ist das Minimum der Längen aller einfachen Wege von v nach w. Falls es keinen einfachen Weg von v nach w gibt, setzen wir d(v, w) =. 47

53 2 Graphentheorie Algorithmus von Dijkstra Es sei G = (V, E) ein Graph mit einer nicht negativen Längenfunktion w auf E und v 0 V. Der Dijkstra-Algorithmus berechnet die kürzesten Abstände d(v) von v 0 zu allen Knoten v V.. Setze d(v 0 ) := 0, d(v) := für alle v V \ {v 0 }, U := V. 2. Falls U =, dann STOP. Sonst weiter mit Finde ein u U, für das d(u) minimal ist. 4. Für alle v U mit {u, v} E setze d(v) := min {d(v), d(u) + w ({u, v})}. 5. Setze U := U \ {u}. Gehe zu 2. 48

54 2 Graphentheorie Als Beispiel wird hier die Ermittlung der kürzesten Wege von a zu allen anderen Knoten nach Dijkstra als Graphik und in verkürzter Tabellenform gezeigt. Bild 2 ist wie folgt zu lesen: Kante {a, d} steht als kürzester Weg zwischen a und d fest (Strichdicke 3). Von d aus untersucht man nun die Punkte b,e,h und g (Strichdicke 2). Dabei stellt man fest, dass die Kante w {a, b} = 9 von w {a, d, b} = 7 unterboten wird und bei den folgenden Betrachtungen ignoriert werden kann (gestrichelt). Als nächstes wird man mit der Kante fortfahren, die das geringste Gewicht hat. Das ist hier die Kante{d, b} = 2 und kommt nun zu Bild 3. 49

55 2 Graphentheorie Tabellarisch kann das für Bild 2 so aussehen: Von a d Knotensumme 0 5 a 0 b 9 7 c d 5 0 e 8 f g 3 h 23 i Dabei arbeitet man spaltenweise von links nach rechts und trägt in die Zeilen jeweils die Knotensumme (hier Entfernung von Knoten d) plus die Kantenlänge zum nächsten erreichbaren Knoten ein. Dann wählt man den niedrigsten Wert aus der Spalte aus und trägt ihn als nächsten Knoten im Kopf ein. Darunter seine Knotensumme. Als nächstes würde man hier den Konten b mit seiner Knotensumme 7 in den Kopf eintragen. Stehen mehrere Werte in einer Zeile, streicht man zur besseren Übersicht alle Werte bis auf den kleinsten durch (hier Werte verkleinert). Gesamt: Von a d b c f e h i g Summe a 0 b c 0 d 5 0 e f g 3 9 h i 7 9 Den kürzeste Weg von a nach i ermittelt man nun rückwärts. Der kürzeste Weg von a nach i beträgt 7 (letzte Zeile, kleinster Wert) und hat Knoten f (senkrecht) als Vorgänger. Knoten f (waagerecht) hat mit kleinstem Wert 3 Knoten b als Vorgänger. Knoten b hat mit Wert 7 Knoten d als Vorgänger. Knoten d hat mit kleinstem Wert 5 Knoten a als Vorgänger. Also i 4 f 6 b 2 d 5 a. 50

56 2.7 Aufspannende Bäume 2 Graphentheorie 2.7. Aufspannender Baum Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Ein aufspannender Untergraph B = (V, E ) von G heißt aufspannender Baum von G genau dann, wenn B ein Baum ist. Ein aufspannender Baum ist also ein zusammenhängender, kreisfreier, aufspannender Untergraph eines Graphen G. Hier ein paar aufspannende Bäume für das Haus des Nikolaus: Minimal aufspannender Baum Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit einer Kantenbewertung w : E R. Für F E heißt w(f ) := e F w(e) das Gewicht der Kantenmenge F. Es sei B = (V, F ) ein aufspannender Baum von G. Dann ist w(b) := w(f ) das Gewicht des aufspannenden Baums B. Ein aufspannender Baum B von G heißt minimal aufspannender Baum von G, wenn w(b) w(b ) für alle aufspannenden Bäume B von G gilt. Hier ein möglicher minimal aufspannender Baum für das Haus vom Nikolaus mit Kantenbewertung: 5

57 2 Graphentheorie Abzählung von aufspannenden Bäumen Satz von Cayley: Es gibt n n 2 verschiedene aufspannende Bäume für den vollständigen Graphen K n Prüfercode Der Prüfercode ist eine Bijektion zwischen aufspannendem Baum K n und Wörtern von natürlichen Zahlen der Länge n 2. Diese Bijektion wurde 98 von Heinz Prüfer entdeckt und wird daher auch als Prüfercode bezeichnet. Der Algorithmus zur Ermittlung des Prüfercodes:. Wähle das Blatt v i V mit der kleinsten Knotennummer. 2. Schreibe den adjazenten (benachbarten) Knoten als Prüfziffer auf. 3. Entferne das Blatt v i und die inzidente Kante aus dem Baum. 4. Wenn V > 2 gehe zu. 5. STOP

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