Fehlerrechnung für Einsteiger Eine beispielorientierte Einführung für Studierende der TUHH

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Fehlerrechnung für Einsteiger Eine beispielorientierte Einführung für Studierende der TUHH"

Transkript

1 Fehlerrechnung für Ensteger Ene bespelorenterte Enführung für Studerende der TUHH. Messungen und Ungenugket Vele phsklsche Größen (z.b. ene Länge, Tepertur oder ene Msse) können durch Messungen drekt bestt werden. Solche Messwerte hben de Egenschft, dß se u den whren Wert vertelt snd, n sgt, se streuen. Stellen Se sch zehnl hnterennder uf ene genue Personenwge und Se bekoen zehn verschedene Ergebnsse obwohl Se jedesl gnz scher de gleche Msse tbrngen. Ds legt drn, dß jeder Meßvorgng von tur us t ener Ungenugket behftet st, de geenhn ls Fehler bezechnet wrd. Dt Se und ndere den Meßwert von 78,34655 kg, den Se n Ihrer genuen Wge blesen, überhupt nterpreteren können, st es nötg, de besgte Ungenugket t nzugeben. In wssenschftlchen Eperenten st de Angbe solcher Ungenugketen besonders wchtg, u enzuschätzen, n welche Werteberech der whre Wert t welcher Whrschenlchket legt, desen Wert lso enzugrenzen. Ohne ene solche Engrenzung st de Angbe enes Wertes, we etw Ihre 78,34655 kg, ussge- und snnlos. Ws lso st zu tun? Wr üssen......ds Eperent so entwerfen, dß der Fehler öglchst klen wrd. I Prktku st n deser Hnscht ncht sehr vel Hndlungsspelru gegeben, wel de esten Versuche und deren Abluf vorgegeben snd....de Ungenugket des Ergebnsses besten....ruskregen, we groß de Whrschenlchket dfür st, dß be ener Wederholung des Eperents ds Ergebns n dese Fehlerberech legt. Ds tpsche Vorgehen st, we Bespel der Personenwge, dß n de Messung en und derselben Größe ehrls durchführt, ws zu ener Meßrehe führt. Mehrere Meßrehen knn n uch zu ener enzgen, großen zusenfssen, llerdngs uß n dnn unterscheden, ob lle Meßrehen unter den glechen Bedngungen stttgefunden hben, oder ob dese zwschendurch geändert wurden (z.b. en nderes Meßgerät benutzt), denn dnn ändert sch.. uch de Streuung der Meßwerte. Bs enschleßlch Kptel 5 gehen wr von Meßrehen unter glechen Bedngungen us. We gebe ch Fehler n? Der Fehler, besser: de Ungenugket ener phsklschen Größe wrd oft ls bezechnet, ws ncht t ener Dfferenz verwechselt werden drf. Ene bestte Sorte Fehler st de Stndrdbwechung, uf de wr später noch engehen werden. Der Inde gbt de phsklsche Größe n, uf de sch deser Fehler bezeht. Fehlerwerte können bsolut ( ), reltv ( /) oder prozentul ( / 00%) ngegeben werden. bsolut : =(78,35±0,6) kg reltv: =78,35 kg ±7,8 0-3 prozentul: =78,35 kg ±0,78 % De Fehler snd her nur Phntsewerte, u de otton deutlch zu chen.

2 I Bespelksten rechts sehen Se, dß ch ncht lle chkostellen tgenoen hbe, de Ihre Wge ngezegt ht, denn wenn der Fehler =0,6 kg beträgt, cht es ntürlch kenen Snn, noch ehr chkostellen für nzugeben dese snd j vel klener ls de Ungenugket. Wchtg st lso: Mehr Stellen hnter de Ko chen den Zhlenwert ncht genuer! Ds glt für Personenwgen ebenso we für Eleentrtelchen-Detektoren n Wohnblockgröße. De Fehlerrechnung lefert ds Hndwerkszeug, u us den Meßwerten ener phsklschen Größe den Fehler deser Größe zu besten. Auch her be Fehlerwert spuckt der Rechner weder vele chkostellen us, ber wevele dvon sollte n egentlch ngeben? We genu knn en Fehler sen? Herfür gbt es zwr kene hrte Vorschrft, ber de ehr oder wenger verbretete Konventon, dß zwe sgnfknte Stellen ngegeben werden. Dbe drf uch gerundet werden. Her lso nochl ds Bespel zusengefßt: Ds wurde Meßgerät (Wge) bgelesen: =78,34655 kg Deser Fehler wurde berechnet: =0,6549 kg So wrd der Wert t de (bsoluten) Fehler ngegeben: =(78,35±0,6) kg st ncht wrklch berechnet worden, der Wert st weder nur us der Luft gegrffen, u ds Prnzp deutlch zu chen.. Fehler st Fehler oder ncht? Klre Antwort: ö! Denn de Ungenugketen, de be ener Messung uftreten, können verschedene prnzpelle Urschen hben. Jeder Fehler enes Meßwerts oder uch ener drus berechneten Größe fällt n ene der folgenden beden Ktegoren:. Sttstsche Fehler Dese Fehler beenflussen ds Meßergebns uf ene Art und Wese, de ncht vorhersehbr und ncht kontrollerbr st. Mn sgt deshlb uch Zufllsfehler. Ws können Urschen sen? Unzulänglchketen der enschlchen Snnesorgne (etw ds begrenzte Auflösungsverögen des Auges, wenn es u de Frge geht, ob zwe hrfene Lnen überennder oder lecht nebenennder legen), Ungeschcklchket be Messen und Ablesen (etw Prllefehler), Sttstsch wrkende äußere Enflüsse (etw Erschütterungen). Sttstsche Fehler lssen sch thetsch t den Werkzeugen der Sttstk behndeln. Bechten Se, dß dese Fehler bederle Vorzechen hben (deshlb ds ± Ksten oben). Be ehrfchen Messungen se stellen sch 0-l uf de Wge streuen de enzelnen Meßergebnsse u enen Mttelwert. Deser Mttelwert st.. ncht der ttsächlche Wert, den Se gerne wssen wollen. Je länger ber ene Meßrehe st, uso weter nähert sch der Mttelwert de ttsächlchen Wert n. Für Forscher und Prktknten bedeutet ds: Meßrehen sollten öglchst lng sen. Se vertruen j uch kene Medkent, ds nur n fünf Leuten getestet wurde. Mn knn es gr ncht oft genug betonen: Ene Enzelessung sgt Prnzp überhupt nchts us. Erst wenn n de Genugket des Meßverfhrens durch vele Wederholungen erttelt ht, knn n wssen, we de Ergebnsse der Enzelessungen u ene äherung für den whren Wert schwnken. Dese äherung uß ntürlch snnvoll und geegnet sen und us den Enzelessungen berechnet werden.

3 . Sstetsche Fehler De sstetschen Fehler zechnen sch ddurch us, dß se sch uf lle Enzelessungen n der glechen Wese uswrken. Se snd reproduzerbr, d.h. be wederholten Messungen unter glechen Bedngungen treten se n glecher Größe und t gleche Vorzechen uf. Des st gnz ngeneh, wel dnn ds Meßergebns entsprechend korrgert werden knn (und uß). Bechten Se, dß ds be den sttstschen Fehlern ncht geht! Ws führt zu ene sstetschen Fehler n der Messung? Her spelen bespelswese Echfehler von Meßgeräten ene Rolle (z.b. wenn de Personenwge ncht ull nzegt, wenn nend druf steht), oder Enflüsse, de Prktku wetestgehend vernchlässgbr snd, etw Teperturen und Drücke, de sch Verluf ener Meßrehe ändern, oder uch elektrsche und gnetsche Streufelder, we se durch Stroletungen entstehen. In ener Fehlerrechnung werden grundsätzlch nur de sttstschen, ber ncht de sstetsche Fehler behndelt. 3. Häufgketsvertelung von Meßergebnssen D hbe ch nun geschwtzt und geflucht, u en Ergebns uszurechnen: (3±) c kot rus. So wet, so gut. ur leder st der Referenzwert us der Ltertur t 35 c ngegeben. D hbe ch lso doch rgendwe ncht gut genug gerbetet, es st doch zu du! Des st de Rekton veler Prktknten, wenn se hr Ergebns t ene Lterturwert verglechen. Klären wr lso nun, ws es egentlch bedeutet, wenn ± c d steht. Heßt ds, ken geessener Wert st größer gewesen ls 34 c und kener klener ls 30 c? Schon l vorweg: Ds heßt es ncht. Jetzt kot en Eperent: Geessen wrd ene phsklsche Größe, de ch der Enfchhet hlber nenne. Ds knn lso ene Tepertur, Zet, Länge, oder ws er sonst sen. We er wrd de Messung ehrls unter er den glechen Bedngungen durchgeführt, und zwr genu -l. Ds Meßergebns der -ten Messung heßt. un knn es psseren, dß n be ener oder ehreren nderen Messungen nochl dsselbe Meßergebns bekot. De Zhl gbt dnn n, be wevelen der Messungen ch ds Meßergebns bekoen hbe. Jetzt kot noch en klener Schrtt: Telt n durch de Gestzhl der Messungen,, bekot n de reltve Häufgket n( ) des Meßwerts. ochl ls Forel: n( ) Anzhl der Messungen t Ergebns Gestzhl ller Messungen = = () Ernnern wr uns, dß de geessenen Werte kene Zufllszhlen snd, sondern rgendwe u enen Mttelwert streuen. Trgen wr de reltve Häufgket für enen Meßwert gegen de öglchen Meßwerte uf, dnn koen wr dese rgendwe en gutes Stück näher. Es zegt sch nälch, dß de entstehende Kurve sch t größere er besser der sog. Gußvertelung (oder orlvertelung) nnähert. Mn sgt, de Meßwerte snd gußvertelt bzw. norlvertelt. Her de Forel für de Gußkurve: n( ) = e π 3 ( ) Wchtg: De Gußvertelung ergbt sch nur für. De Vertelung Ihrer Meßwerte wrd ntürlch gnz nders ussehen, wenn Se nur sehr wenge Messungen chen. ()

4 Und her st de grfsche Drstellung der Gußvertelung: Welche Egenschften ht nun dese Vertelung? n() st de Vertelung ener Whrschenlchketsdchte. n()d st de Whrschenlchket dfür, dß be ener Messung der Meßwert Intervll [, +d] legt. st der häufgsten vorkoende Meßwert. Für st er dentsch t de whren Wert von. In der Grfk sehen Se, dß de Kurve zwe Wendepunkte ht, de sch be und + befnden. gbt lso den Abstnd der Wendepunkte von n. D n() ene Whrschenlchketsdchte st, gbt de Fläche unter der Kurve ene Whrschenlchket n. Dezufolge st n( ) d =, (3) denn de Whrschenlchket, rgendenen Wert zwschen - und + zu essen uß ntürlch sen (orerungsbedngung). De beden Zusenhng t der Gußvertelung defnerten Größen und hben Se hnen es prktsche Bedeutung für de Auswertung Ihrer Messungen: heßt Mttelwert der Vertelung. Er st ds häufgsten vorkoende Meßergebns und für uns deshlb nteressnt, wel er für lnge Meßrehen ( ) ene gute äherung n den whren Wert ener phsklschen Größe drstellt. heßt Stndrdbwechung der Vertelung. Se st en Mß für de Streuung der enzelnen Meßergebnsse u den Mttelwert. En großer Wert von bedeutet, dß de Gußvertelung sehr bret usseht und be ene klenen Wert von eher ene schle del st. I ersten Fll streuen de Meßergebnsse sehr strk u, zweten Fll legen se estens n der ähe des Mttelwertes. Sot st de Stndrdbwechung geegnet, u de Genugket enes Meßverfhrens nzugeben. Wenn, we Prktku, verschedene phsklsche Größen benutzt werden schrebt n für de Stndrdbwechung, de sch uf de Größe bezeht. Aber ws genu gbt denn nun quntttv n? Gnz enfch: [, + ] st dsjenge Intervll u, n de 68,3% ller Meßwerte legen, denn de Whrschenlchket, dß ds Meßergebns n dese Intervll legt, beträgt 4

5 Entsprechend glt: + n( ) d = 0,683. (4) 95,4% der Meßergebnsse legen n [, + ] und 99,7% der Meßergebnsse legen n [ 3, + 3 ]. Des cht deutlch, dß n ncht sgen drf, dß lle Meßergebnsse nnerhlb der 3-, 4- oder 5-fchen Stndrdbwechung legen. Es gbt zu jede noch so großen Intervll u ene Whrschenlchket größer ls ull, dß der nächste Meßwert ußerhlb deses Intervlls legt. U zu Anfng deses Kptels zurückzukoen: Der Lterturwert st nels der whre Wert, sondern en Mttelwert, der genu we Prktku us eperentellen Dten gewonnen wurde (ußer wenn es en theoretsch hergeleteter Wert st, der dnn usdrücklch ls Theorewert gekennzechnet sen sollte). ebenbe beerkt snd Lterturngben uch nur dnn wrklch bruchbr, wenn deren Fehler ngegeben werden. un, wenn Se (3±) c bekoen und der Lterturwert t 35 c ngegeben st (häufg fehlen n den Büchern de Fehlerngben dzu), dürfen Se behupten, dß de Werte nnerhlb der zwefchen Stndrdbwechung überensten Der nächste Schrtt besteht nun drn zu klären, we n Mttelwerte und Stndrdbwechungen usrechnet, wenn n ene Meßrehe ht. Vorher wll ch ber noch ene Sche klrstellen, n der n sch lecht verheddert, wenn n sene ersten Fehlerrechnungen cht: Es geht n der Fehlerrechnung dru Ungenugketen zu besten von Werten, de be der Messung drekt bgelesen werden, oder von Werten, de ncht geessen, sondern durch Ensetzen der Meßwerte n rgendene Forel berechnet werden. Der Input, den wr dzu zur Verfügung hben, snd de Meßwerte selbst, sowe schon vorhndene Fehlerngben über de Genugket von Meßgeräten. Solche Fehler, lso de Ungenugket von Meßgeräten, heruszubekoen, st ncht Zel der Fehlerrechnung. Häufg wrd vo Hersteller de Genugket ngegeben, wenn ncht uß de Genugket von Ihnen geschätzt werden. Her ene Skzze der Skl enes Queckslbertheroeters: C 33 3 Ws zegt ds Theroeter n? Zunächst enl 3,8 C und dnn noch en bßchen... Egl, ws wr blesen, es wrd uf jeden Fll ungenu, wel n n deser Skl gr ncht ekt blesen knn. In dese Bespel könnte n sch höchstens truen zu sgen, ob ds Queckslber eher uf ene Strch oder eher n der Mtte dzwschen st (ds zwete!). Wr lesen lso b: Tepertur T=3,9 C. De Ablese-Ungenugket beträgt T =0, C, ds st der Abstnd zwschen Strch und genu zwschen zwe Strchen. Genuer geht es ncht. Bechten Se, dß deser Fehler geschätzt und ncht berechnet wurde! 5

6 4. Mttelwert und Stndrdbwechung Weter oben hben wr schon en gnz zentrles Ergebns der Fehlerrechnung gesehen: Der whre Wert ener geessenen Größe, nennen wr se, ergbt sch ls rthetscher Mttelwert Grenzfll ener unendlch großen Zhl von Messungen, d.h. ener unendlch lngen Meßrehe. Mthetsch läßt sch ds so usdrücken: whr = l (5) = st her ds Meßergebns der -ten Messung der Größe. Mn knn verständlcherwese kene unendlch lngen Meßrehen ufnehen, sondern t snnvolle Zetufwnd nur ene endlche Zhl von Messungen durchführen. In der Sttstk sgt n dzu, dß n ene Stchprobe cht. Ws nteressert uns denn überhupt? Wr wollen ene öglchst gute Schätzung für den whren Wert bekoen,....de Stndrdbwechung, de ngbt, we de enzelnen Meßwerte u desen Mttelwert streuen (sehe vorherger Abschntt) und 3....de Ungenugket des Mttelwertes, de uns sgt, we lle Mttelwerte, de öglch snd u den whren Wert streuen. Fngen wr lso t Punkt n: Als beste Schätzung für den whren Wert erhält n den rthetschen Mttelwert us llen Meßergebnssen: + + K + = = = (6) T ( C) 38,6 38,8 3 38,9 4 38,9 5 39, 6 38,8 7 38,7 8 38,4 Lnks st ene Meßrehe, de be der Messung der Körpertepertur T t ene Febertheroeter entstnden st (ch wr krnk und r wr lngwelg). Der whre Wert von T knn wegen der endlchen Länge der Stchprobe ncht berechnet werden. Als Mttelwert ergbt sch ber: T = ( 38,6 C + K + 38,4 C) = 38,775 C. 8 un zu Punkt : Ene Größe, de ngbt, we de Ergebnsse der enzelnen Messungen u den Mttelwert streuen st de Stndrdbwechung. Se gbt den Mttelwert des Qudrtes der Entfernung enes Meßergebnsses vo Mttelwert n. Ds t den Qudrten cht 6

7 n deshlb so, wel de Sue der enzelnen Abstände von Meßergebnssen zu Mttelwert ull ergeben würde (wel de Meßwerte j über und unter de Mttelwert vertelt legen). De thetsche Forel st etws sperrg und seht so us: = = ( ) = ( ) ( ) ( ) + + K +. (7) Des st de Stndrdbwechung der Enzelessung vo Mttelwert. Se wrd uch ls Stchprobenfehler bezechnet. Als Bespel bleben wr be der Tepertur-Meßrehe us de Ksten oben: Als Mttelwert htten wr Messungen. T ( C) ( T T ) ( C ) 38,6 0, ,8 0, ,9 0, ,9 0, , 0, ,8 0, ,7 0, ,4 0,4065 T = 38,775 C bestt, berechnet us =8 De Sue us der rechten Splte ergbt 0,35 C (Lssen Se sch von der Enhet Grd Celsus zu Qudrt ncht rrteren!). Des wrd jetzt durch -=7 getelt, ws 0,045 C ergbt. Drus de Wurzel, und wr hben de ttlere qudrtsche Abwechung der Enzelessung vo Mttelwert T (d.h. de Stndrdbwechung der Enzelessung): T = 0, C (uf zwe sgnfknte Stellen genu ngegeben) Der t (6) berechnete Mttelwert st ene Schätzung für den whren Wert der Größe. ehe ch nun verschedene Meßrehen uf, so werden dese.. etws verschedene Mttelwerte lefern. Ds bedeutet, dß der Mttelwert selbst t ene Fehler behftet st. Alle Mttelwerte, de theoretsch öglch snd, snd u den whren Wert whr vertelt. Wr berechnen lso jetzt de Stndrdbwechung des Mttelwertes vo whren Wert, wot wr be Punkt 3 wären. Der whre Wert selbst blebt we er Verborgenen, doch erstunlcherwese können wr dese Stndrdbwechung trotzde we folgt usrechnen: = = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) (8) 7

8 Bechten Se den klenen Untersched zur Stndrdbwechung der Enzelessung! Er benhltet de Ttsche, dß de ttlere qudrtsche Abwechung des Mttelwertes vo whren Wert sch t zunehender Stchprobenlänge u den Fktor verklenert. Her seht n sozusgen thetsch, wru ene Meßrehe öglchst lng sen sollte. Telen wr = 0, C us de vorhergen Ksten durch T 8, so kennen wr de Stndrdbwechung des Mttelwertes: = 0,074 C T Wenn n enen Mttelwert, der j ene Abschätzung des whren Wertes st, bestt, st n.. n sener ttleren qudrtschen Abwechung vo whren Wert nteressert, und wenger n der Stndrdbwechung der Enzelessung. Als Ergebns der gnzen Akton st es her lso snnvoll zu schreben (bechten Se, dß Zhlenwert und Fehlerngbe t glech velen chkostellen notert werden): T =(38,775±0,074) C. Sovel zu ener Körpertepertur. Herus ene edznsche Dgnose zu erstellen überlsse ch nun Ihnen. In der Sttstk fndet n Zusenhng t Fehlerngben häufg noch enen weteren Begrff, de Vrnz Vr() ener Meßgrösse. Se st defnert ls, lso ls ds Qudrt der Stndrdbwechung. 5. Fehlerfortpflnzung I Prktku werden Se oft feststellen, dß Se ehrere verschedene phsklsche Größen essen üssen, u drus dejenge Größe, de Se nteressert, zu berechnen. Se tun des, wel de gesuchte Größe, nennen wr se z, ncht für ene drekte Messung zugänglch st. De geessenen Größen nenne ch folgenden,,...,. Bechten Se den Untersched zu den vorhergen Kpteln: Dort stnd der Inde für de uer der Messung, und es wurde er deselbe Größe geessen. Her steht der Inde für ene gnz neue Größe, z.b. könnte ene Tepertur sen, ene elektrsche Spnnung, usw. Dß n z us den nderen Größen berechnen knn bedeutet, dß n z ls Funkton von,..., schreben knn: z = f(,..., ). Her geht es nun dru, we n den Fehler von z berechnet, wenn de Fehler von,..., beknnt snd. Dese Fehler snd häufg Angben von Herstellerfren von Meßgeräten über deren Ungenugket. 8

9 5. Fehlerfortpflnzungsgesetz U de Fehlerrechnung engeren Snn nwenden zu können üssen zwe Bedngungen erfüllt sen: ) De Meßergebnsse der Messgrößen,..., üssen norlvertelt sen. ) De enzelnen Meßgrößen,..., üssen sttstsch vonennder unbhängg sen. De zwete Bedngung bedeutet, dß es zu kener Meßgröße enen nltschen Zusenhng t ener nderen Meßgröße j geben drf. Gäbe es hn, könnte n nälch ttels j n der For = f( j ) usdrücken, so dß n ene Meßgröße zuvel n der Rechnung hätte. De Forderung st lso, dß de klenstöglche Anzhl von Meßgrößen verwendet wrd. Folgendes Bespel soll des verdeutlchen: En Prktkustelneher wll de Fläche A ener Kresschebe berechnen und ßt herzu den Rdus r und scherhetshlber uch den Durchesser d. Aus den Meßrehen berechnet er de Mttelwerte r und d. D er bede Meßgrößen weter uswerten wll telt er de Fläche A n zwe Hälften: d A = A + A = π r + π Dese Forel st zwefellos rchtg. Es sprcht nchts dgegen, de Fläche A so zu berechnen. De beden Meßgrößen r und d snd llerdngs ncht unbhängg vonennder, denn zwschen hnen besteht der Zusenhng d= r. Dt st de Bedngung ) ncht erfüllt, und n knn ds Fehlerfortpflnzungsgesetz her ncht nwenden, u den Fehler von A zu berechnen. Benutzt n ber de Glechung A = π r snd bede Bedngungen erfüllt, und n rbetet t der klenstöglchen Anzhl von Meßgrößen. Wr setzen noch vorus, dß us den Meßrehen de Mttelwerte der verschedenen Meßgrössen beknnt snd:,, K,, ebenso de Stndrdbwechungen der Mttelwerte, K,. De beste Schätzung für den Mttelwert von z st dnn ( ) z = f,, K, (9) ws unttelbr plusbel st. De optle Schätzung für den Fehler von z st de Stndrdbwechung z. Se berechnet sch nch de Fehlerfortpflnzungsgesetz, ds Prktku ene sehr große Rolle spelt: 9

10 = z f j= j j f f = + K +. (0) Herbe bedeutet / j de prtelle Abletung nch j (Se wrd genuso gebldet, we de norle Abletung), und der Querstrch zegt n, dß n den n Klern stehenden Ausdrücken de Mttelwerte der Meßgrößen engesetzt werden sollen. Bespel gefällg? De Dchte ρ soll für enen Würfel berechnet werden. Herzu wrd de Kntenlänge und de Msse geessen. De Forel für de Dchte st ρ =. 3 U de Dchte uszurechnen werden de Mttelwerte von und benutzt: ρ = 3 De Fehler und der Mttelwerte werden nch Gl. (8) berechnet. Gehen wr dvon us, dß se schon beknnt snd. Der Fehler der Dchte berechnet sch nch de Fehlerfortpflnzungsgesetz Gl. (0): ρ ρ ρ = = + 9 = U den Fehler des Dchte-Mttelwertes zu bekoen werden de Mttelwerte der Meßgrößen, sowe deren Stndrdbwechungen engesetzt: 9 = ρ. 0

11 5. Mler Fehler Es knn unter Uständen vorkoen, dß ene der Vorussetzungen (oder bede) für ds Fehlerfortpflnzungsgesetz ncht erfüllt snd. Wenn ds der Fll st knn Gl. (0) ncht benutzt werden, u den Fehler der phsklschen Größe z nzugeben. Ds heßt ber ncht, dß Se überhupt kenen Fehler ngeben können (Se koen ncht dru heru), sondern her st de Angbe des Mlfehlers z snnvoll. Er schrebt sch thetsch so: z = j= f j j f f f = + + K + () De Betrgstrche stehen d, wel de prtelle Abletung von f negtv sen knn, de Beträge us den enzelnen Größen sch ber postv dderen üssen. Für dejengen Meßgrößen j, deren Mttelwerte und Stndrdbwechungen us ener Meßrehe beknnt snd, wrd ls Fehler j = j, lso de Stndrdbwechung des Mttelwertes engesetzt. Für lle nderen Meßgrößen uß en relstscher Schätzwert für den Fehler verwendet werden (En Bespel zu desen Schätzwerten fnden Se uf Sete 5.). Als klenes Eepel bleben wr be der Dchte-Berechnung von der vorgen Sete: Der enzge Untersched zur Rechnung vorhergen Bespel-Ksten soll sen, dß de Fehler der Msse und der Kntenlänge ncht us Meßrehen bestt wurden (Stndrdbwechungen), sondern Schätzwerte und snd. Auch dt könnte n ds Fehlerfortpflnzungsgesetz benutzen, bekäe dnn ber ncht de Stndrdbwechung von z, sondern nur ene Abschätzung des Fehlers z. Her nteressert uns jedoch usdrücklch der le Fehler der Dchte ρ, der t Gl. () berechnet wrd: ρ ρ ρ = + 3 = = ( ) De Betrgsstrche konnten letzten Schrtt ebenso we ds Mnuszechen weggelssen werden, wel, und hre Fehler und größer ls ull snd. Der Mlfehler des Dchte-Mttelwertes ergbt sch durch Ensetzen der Mttelwerte für und : ρ = 4 ( + 3 )

12 6. Lnere Regresson Häufg hängen zwe phsklsche Größen und lner vonennder b, so dß se über ene Gerdenglechung = +b () tennder verknüpft snd. st de Stegung, b der -Achsenbschntt, und bede snd konstnt. En Eperent läuft häufg so b, dß n de Größe nchennder uf verschedene Werte enstellt und de Werte n ene Meßgerät blest, wobe jeder Wert t ene Zufllsfehler behftet st. Ws den Eperenttor nteressert snd de Preter und b (häufg Mterl- oder turkonstnten), und we n n dese kot, dru geht es n dese Abschntt. ch Messungen t verschedenen hben wr ene Meßrehe. Häufg fndet n Prktknten n lebhfte Dskussonen verstrckt, ob de Meßwerte, de n deser Meßrehe stehen, denn nun enen lneren Zusenhng zegen oder ncht. Vel Zet und erven knn n sch her spren, wenn n sch n en bewährtes Husttel ernnert: Hnzechnen! Stehen de Dtenpunkte (, ) n ene Dgr, so st wesentlch besser zu erkennen, uf ws für ener Kurve dese Punkte legen, und her snd wr entschedenden Punkt: Selbst wenn sch theoretsch en lnerer Zusenhng der Größen und herleten läßt, fnden wr doch, dß de Meßpunkte (, ) ncht so gnz uf ener Gerden legen. Ds legt ntürlch Fehler der Werte. Auch de Meßwerte hben n der Reltät ntürlch Fehler, wr nehen her ber usdrücklch n, dß dese Fehler vernchlässgbr snd. Mn knn be der lneren Regresson den Fehler von grundsätzlch uch t berückschtgen, dnn erhöht sch ber der Rechenufwnd drtsch und st de Prktku ncht ehr ngeessen. Tpsche Lge von Dtenpunkten, wenn de Theore enen lneren Zusenhng zwschen und lefert. ur de Fehler der -Koordnten snd berückschtgt (Fehlerblken). De Aufgbe st jetzt, ene Gerde zu fnden, de, slopp gesgt, gut zu den Meßpunkten pßt, und deren Preter und b snd. In der enfchsten Vrnte knn n dese Gerde näherungswese uf zechnerschen Wege fnden, nde n t ene Lnel ene Gerde so n ds Dgr enzechnet, dß nch de Augenschen ene usglechende Gerde entsteht. Dbe wrd wenger de Anzhl der Punkte über und unter der Gerden, sondern velehr deren Abstnd zur Gerden berückschtgt. Dese Art, ene Ausglechsgerde zu fnden, st scher velen von Ihnen us der Schule beknnt. Aber Achtung: De verbretete Verson, dß n nur den ersten und den letzten Dtenpunkt zu ener Gerden verbnden üsse, st flsch! Se uß uch flsch sen, denn u ene Ausglechsgerde zu fnden üssen ntürlch lle Wertepre berückschtgt werden (Leder gbt es nschenend Lehrer, de von der flschen Methode so überzeugt snd, dß se

13 se sogr unterrchten). I nächsten Schrtt st es dnn lecht, b n der -Achse bzulesen und ttels enes engezechneten Stegungsdreecks de Stegung zu besten. So wet, so gut. Es gbt ntürlch uch ene thetsche, quntttve Methode, u de gesuchte Gerdenglechung zu fnden. Ds Verfhren heßt lnere Regresson und bsert uf der Forderung, dß de Sue us den Abstnds-Qudrten der Meßpunkte zu der Gerden nl wrd (dt snd de Abstände der -Koordnten geent):! ( + b) = nl (3) = Drn sehen Se, dß es sch Prnzp u ene Etrewertufgbe hndelt. Se frgen sch bestt, wru de Sue der Qudrte und ncht de Sue der enfchen Abstände genoen wrd. De Antwort legt n den Tefen der thetschen Sttstk: Der Stz von Guß-Mrkov besgt, dß n ds bestngepßte Modell, d.h. Gerdenglechung, erhält, wenn de Methode der klensten Qudrte benutzt wrd. Methode der klensten Qudrte: De Abstndsqudrte snd her ls grue Flächen gezechnet. De Regressonsgerde st dejenge Gerde, für de de Sue der gruen Flächen klensten st. De Fehlerblken der Dtenpunkte snd für de bessere Überschtlchket weggelssen worden. ch ener längeren Rechnung, de ch her ncht detllert ufführen wll, ergeben sch ls Lösung der Etrewertufgbe Gl. (3) folgende beste Schätzwerte und b der Preter und b: S = ; b = (4) S t folgenden Defntonen: = = ; S = 3 = = ( ) ( ) ; S ( ) = = (5) =

14 Wr snd her n der verrückten Stuton, dß wr Mttelwerte für und usrechnen üssen, obwohl de -Werte bschtlch während der Versuchsrehe verändert werden, sch lso de Grössen und lufend ändern. Ich gebe Ihnen n deser Stelle de herzlche Btte t uf den Weg, n Ihren Versuchsuswertungen uch er lle Zwschenwerte (5) ufzuschreben, wenn Ihnen ene lnere Regresson begegnet es erlechtert de chvollzehbrket und de Fehlersuche erheblch. Hben wr jetzt lles? cht gnz! De Schätzwerte (4) für de Preter und b rechen zwr schon us, u de Gerdenglechung der Regressonsgerden hnzuschreben, llerdngs snd dese we sollte es nders sen fehlerbehftet. Und wenn wr uf de Wege der lneren Regresson z.b. ene phsklsche Konstnte besten wollen, st deren Fehlerwert von llergrößte Interesse. Aus Gl. () und Anwendung der Fehlerfortpflnzung (de Enzelheten übersprngen wr her weder, wel n wrklch nchts eues drus lernt) fndet n ls beste Schätzung für den Fehler von = ( + b ). (6) = Des st de Stndrdbwechung der Enzelessung. En Blck zurück zu Gl. (7) n Kptel 4 sgt Ihnen, dß dort de Stndrdbwechung der Enzelessung etws nders defnert worden st, nde dort nälch durch - getelt wurde. Mchen Se sch ber klr, dß dort de Abwechung der Enzelessung vo Mttelwert behndelt wurde, während es her u de Abwechung der Enzelessung von der Regressonsgerden geht. I ersten Fll hben wr nur enen Preter vrert, zweten Fll jongleren wr t zwe Pretern und b. Des erklärt den klenen Untersched. Bechten Se uch, dß Gl. (6) ncht etw den -Fehler ngbt, der ls Fehlerblken ns Dgr engezechnet wrd! Als beste Abschätzungen der Fehler und b der Schätzwerte und b ergeben sch nun = = = ( ) ( ) (7) für den Fehler der Gerdenstegung und = b ( ) ( ) = = (8) 4

15 für den Fehler des -Achsenbschntts. Alle Suen lufen von = bs. Legt ene Ursprungsgerde der For Berechung der Stegung = vor, gelten folgenden Foreln für de n = = n = (9) und den Fehler der Stegung. n d = =, wobe d n = st. (0) n = Vor desen gnzen Foreln sollten Se kenen großen Respekt hben, es st vel enfcher, ls es usseht. D Se Prktku recht oft t der lneren Regresson konfrontert werden st n deser Stelle weder en Bespel ngebrcht: Hben Se sch schon enl gefrgt, we dck en Bltt Pper n Ihre Lehrbuch st? Verutlch ncht (Wru sollten Se uch?), dennoch hben wr her en gutes Bespel für etws, ds n ncht besonders gut drekt essen, wohl ber ttels lnerer Regresson besten knn Bespel En Buch st en bsschen we Quntenphsk: De Dcke des Buches st quntsert, und en Buchqunt st de Dcke enes Blttes. Mt ene Messscheber wrd de Dcke geessen, ncht enes enzelnen Blttes, uch ncht des gnzen Buches, sondern von 0, 0, 30, usw. Blättern enschleßlch des hnteren Buchdeckels (wru ch den tnehe wrd noch deutlch werden). Her de Messrehe, be der de Anzhl der Blätter st: Anzhl Dcke d () 0 3, 0 4, 30 5, 40 5,8 50 6,8 60 7,7 70 8,8 80 9,7 90 0,8 00,7 Zuerst werden de Zwschenergebnsse usgerechnet: Mt Forel (6) bekoen wr de Mttelwerte von und d: =55 und d =7,38. Als nächstes bekoen wr nch Gl. (5) S d =86,4444 und S =96,6666. De optlen Abschätzungen der Preter und b ergeben sch schleßlch nch Gl.(4) zu =0,0943 und b =,935. 5

16 Des recht schon us, u ene Grfk t der Regressonsgerden zu zechnen: De Grfk wurde t de Progr Orgn erstellt. Progre we Ecel oder Orgn können de geste lnere Regresson selbst durchführen und lefern ncht nur ds Dgr, sondern uch, b und deren Fehler. De Gerdenglechung, de wr bekoen, lutet nun d=0,0943 +,935. Jetzt fehlen noch de Fehlerngben. Herzu ene Tbelle t Zwschenwerten: ( - ) (d -( +b )) ( ) , , , , , , , , , ,00588 ur de Werte n der rechten Splte hben Enheten, denn st j nur ene Anzhl. 6

17 Zuerst erhlten wr t Forel (6) 0 = + d ( b ) = 0,73. d 8 = De Glechungen (7) und (8), ch benutze jewels de unterste Vrnte, lefern ls Fehler =0,009 und b =0, Zusengefsst bekoen wr lso: =(0,0943±0,009) b =(,9±0,) De Stegung gbt n, we dck en Bltt des Buches (durchschnttlch) st. Wr hben lso ds Buchqunt bestt, und ds noch t Fehlerngbe! Der -Achsenbschntt b gbt de Dcke des unteren Buchdeckels n, lso de Dcke, wenn ull Bltt Pper geessen werden. Bedes zusen ergbt de Buchglechung Buchdcke D = +b. I rechten Sunden steht en Fktor, wel n j uch noch den oberen Buchdeckel zur gesten Dcke rechnen uss. De Buchglechung n dese Bespel entsprcht ene turgesetz, und und b entsprechen Mterlpretern. Se gelten er nur für en besttes Buch, n dese Fll wr es Kohlrusch, Prktsche Phsk,. Auflge, B. G. Teubner, Stuttgrt, Bespelende Bs herhn hben wr de llgeene For der lneren Regresson besprochen. Es gbt enen wchtgen Spezlfll, be de n etws ndere Foreln benutzen drf und sch enge Arbet spren knn: Wenn der -Achsenbschntt ull st und sch dher de Regressonsgerde ls = schreben läßt. Aber Achtung! Überlegen Se sch vorher gründlch, ob ds wrklch der Fll st! Dese enfche Vrnte dürfen Se ncht benutzen, wenn der -Achsenbschntt nur klen, ber vorhnden st. Er uß ekt ull sen, we etw be Zusenhng zwschen der Länge ener Strecke und der Zet, de en Lchtstrhl brucht, u se zurückzulegen. Für ene solche lnere Regresson durch ull gelten folgende Foreln, t denen n de beste Schätzung der Stegung und deren Fehler bekot: De Stndrdbwechung der Enzelessung von der Regressonsgerden st nlog zu Gl. (6) = [ ]. () = 7

18 Her wrd n der Wurzel jedoch durch - getelt, wel wr es nur t ene Preter zu tun hben. De beste Schätzung für de Stegung st =, () und ls beste Schätzung des Fehlers ergbt sch =, (3) wobe de Suen er von = bs lufen. Mnchl geben Rechenprogre ußer Stegung und -Achsenbschntt uch noch enen Koeffzenten us, der est R heßt. Es hndelt sch dbe u den Person schen eprschen Korreltonskoeffzenten. Er st defnert ls R = S S S (4) t den Defntonen Gl. (5) und S ( ) =. R knn Werte zwschen - und = nnehen und dent zur Überprüfung, ob de geessenen Dten ttsächlch enen lneren Zusenhng hben. Für R=+ oder - legen lle Meßpunkte ekt uf ener Gerden. Ds Vorzechen gbt nur n, ob deren Stegung postv oder negtv st. Für R=0 besteht überhupt ken lnerer Zusenhng. De Betonung legt her uf lner, denn de Größen und können dnn sehr wohl noch nchtlner und Dgr uch deutlch erkennbr korrelert sen. Lterturhnwese: Kke, Der Ugng t eperentellen Dten, nsbesondere Fehlernlse, phsklschen Anfänger-Prktku: Ene eleentre Enführung. Verlg und Herusgeber: Wolfgng Kke ISB: Ene hervorrgende Enführung. Ausführlch ohne en dckes Lehrbuch zu sen und für Ensteger sehr gut verständlch. Auch zu späteren chschlgen geegnet. Bronsten, Seendjjew, Musol, Mühlg, Tschenbuch der Mthetk. Verlg Hrr Deutsch ISB: De Mutter ller Mthe-Forelslungen! Ws her ncht drnsteht st unlösbr oder trvl. Rlf Dnter, Insttut für Angewndte Phsk, Unverstät Hburg, Februr 0 8

1.1 Grundbegriffe und Grundgesetze 29

1.1 Grundbegriffe und Grundgesetze 29 1.1 Grundbegrffe und Grundgesetze 9 mt dem udrtschen Temperturkoeffzenten 0 (Enhet: K - ) T 1 d 0. (1.60) 0 dt T 93 K Betrchtet mn nun den elektrschen Wderstnd enes von enem homogenen elektrschen Feld

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber SS Torsten Schreber e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie (LPSI/LS-M2) SoSe C. Curilla/ B. Janssens

Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie (LPSI/LS-M2) SoSe C. Curilla/ B. Janssens Fchberech Mthemtk Algebr und Zhlentheore Chrstn Curll Grundbldung Lnere Algebr und Anltsche Geometre (LPSI/LS-M) Bltt 1 SoSe 011 - C. Curll/ B. Jnssens Präsenzufgben (P1) Mch Se sch be den folgenden Glechungssstemen

Mehr

Nernstscher Verteilungssatz

Nernstscher Verteilungssatz Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.

Mehr

Kennlinienaufnahme des Transistors BC170

Kennlinienaufnahme des Transistors BC170 Kennlnenufnhme des Trnsstors 170 Enletung polre Trnsstoren werden us zwe eng benchbrten pn-übergängen gebldet. Vorrusetzung für ds Funktonsprnzp st de gegensetge eenflussung beder pn-übergänge, de nur

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

Regressionsverfahren haben viele praktische Anwendungen. Die meisten Anwendungen fallen in eine der folgenden beiden Kategorien:

Regressionsverfahren haben viele praktische Anwendungen. Die meisten Anwendungen fallen in eine der folgenden beiden Kategorien: Regressoslse De Regressoslse st ee Slug vo sttstshe Alseverfhre. Zel e de häufgste egesetzte Alseverfhre st es Bezehuge zwshe eer hägge ud eer oder ehrere uhägge rle festzustelle. Se wrd sesodere verwedet

Mehr

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I) Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen

Mehr

Messen kleiner Größen

Messen kleiner Größen Messen klener Größen Negungssensoren Elektronsche Negungssensoren Flüssgketsssteme Pendelssteme Sesmsche Ssteme btstung ener Gsblse btstung ener Flüssgkets -oberfläche Vertklpendel Horzontl -pendel Beschleungungsmesser;

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte ** Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,

Mehr

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe Portfolothore (Markowtz) Separatonstheore (Tobn) Kaptaarkttheore (Sharpe Ene Enführung n das Werk von dre Nobelpresträgern zu ene Thea U3L-Vorlesung R.H. Schdt, 3.12.2015 Wozu braucht an Theoren oder Modelle?

Mehr

Institut für Technische Chemie Technische Universität Clausthal

Institut für Technische Chemie Technische Universität Clausthal Insttut für Technsche Cheme Technsche Unverstät Clusthl Technsch-chemsches Prktkum TCB Versuch: Wärmeübertrgung: Doppelrohrwärmeustuscher m Glechstrom- und Gegenstrombetreb Enletung ür de Auslegung von

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com. Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener

Mehr

Stephan Brumme, SST, 2.FS, Matrikelnr konvergiert und der Grenzwert 1 ist, d.h. es gilt: 1. k 1

Stephan Brumme, SST, 2.FS, Matrikelnr konvergiert und der Grenzwert 1 ist, d.h. es gilt: 1. k 1 Stehn Brumme, SST,.FS, Mtrelnr. 7 5 44 Aufge... Zegen Se, dss de Folge onvergert und der Grenwert st, d.h. es glt lm Es st u egen, dss ene Nullfolge st D ene Nullfolge st, stellt ene onvergente Folge mt

Mehr

9 Integration von Funktionen in mehreren Variablen

9 Integration von Funktionen in mehreren Variablen 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 9 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen Der Integrlegrff für Funktonen n mehreren Vrlen st wesentlch velfältger ls der e Funktonen n ener Vrlen. Dem unestmmten

Mehr

W08. Wärmedämmung. Q = [λ] = W m -1 K -1 (1) d Bild 1: Wärmeleitung. Physikalisches Praktikum

W08. Wärmedämmung. Q = [λ] = W m -1 K -1 (1) d Bild 1: Wärmeleitung. Physikalisches Praktikum W08 Physklsches Prktkum Wärmedämmung En Modellhus mt usechselbren Setenänden dent zur Bestmmung von Wärmedurchgngszhlen (k-werten) verschedener Wände und Fenster soe zur Ermttlung der Wärmeletfähgket verschedener

Mehr

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie) III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,

Mehr

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6 Praktkum Physkalsche Cheme I (C-2) Versuch Nr. 6 Konduktometrsche Ttratonen von Säuren und Basen sowe Fällungsttratonen Praktkumsaufgaben 1. Ttreren Se konduktometrsch Schwefelsäure mt Natronlauge und

Mehr

Terme und Formeln Komplexe Zahlen

Terme und Formeln Komplexe Zahlen Terme und Formeln Komplexe Zhlen e ϕ + = 0 Rchrd Feynmn nnnte dese Glechung n senem Notzbuch de bemerkenswerteste Formel der Welt ; ndere nennen se de schönste Formel der Mthemtk. De Eulersche Identtät

Mehr

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm): Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik II (GET II)

Grundlagen der Elektrotechnik II (GET II) Grundlgen der Elektrotechnk (GET ) Vorlesung m 8.07.005 Do. :5-3.45 Uhr;. 603 (Hörsl) Dr.-ng. ené Mrklen E-Ml: mrklen@un-kssel.de Tel.: 056 804 646; Fx: 056 804 6489 UL: http://www.tet.e-technk.un-kssel.de

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

Wärmeübertragung. Grundsätzlich sind drei verschiedene Möglichkeiten der Wärmeübertragung möglich: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung:

Wärmeübertragung. Grundsätzlich sind drei verschiedene Möglichkeiten der Wärmeübertragung möglich: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung: ämeübetgung Unte ämeübetgung vesteht mn sämtlche Eschenungen, e enen äumlchen nspot von äme umfssen. De ämeübegng efolgt mme ufgun enes empetugefälles, un zw mme von e höheen zu neeen empetu (.Huptstz).

Mehr

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar. . Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen

Mehr

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung: Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab

Mehr

Classical Gas. . œ# 3 2. &4 3 œ &4 4. œ œ. œ œ 1. œ 2. œ œ œ œ œ. œ œ œ. w œ œ œ œ# œ œ œ œ. œ œ. & œ œ œ œ œ œ œ w. œ œ œ œ œ# œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ w

Classical Gas. . œ# 3 2. &4 3 œ &4 4. œ œ. œ œ 1. œ 2. œ œ œ œ œ. œ œ œ. w œ œ œ œ# œ œ œ œ. œ œ. & œ œ œ œ œ œ œ w. œ œ œ œ œ# œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ w Clsscl Gs Mson Wlls rr: Cleens Huber / "Clsscl Gs" von Mson Wlls urde 9 zu Weltht I Ornl rd de Gtrre von ene Orchester t breten läsersound unterstützt uch ls Soloverson st ds Stück beknnt eorden und ehört

Mehr

IT- und Fachwissen: Was zusammengehört, muss wieder zusammenwachsen.

IT- und Fachwissen: Was zusammengehört, muss wieder zusammenwachsen. IT- und achwssen: Was zusammengehört, muss weder zusammenwachsen. Dr. Günther Menhold, regercht 2011 Inhalt 1. Manuelle Informatonsverarbetung en ntegraler Bestandtel der fachlchen Arbet 2. Abspaltung

Mehr

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist . Ohm = LED leuchtet wenn chlter gedrückt ist 2. Ohm = NICH ( = NO ) LED leuchtet wenn chlter nicht gedrückt ist = ist die Negtion von? Gibt es so einen kleinen chlter (Mikrotster)? 2. Ohm = UND LED leuchtet

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Statistik und Wahrscheinlichkeit Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse

Mehr

Lösungen zu Übungsaufgaben Angewandte Mathematik MST Blatt 6 Matlab

Lösungen zu Übungsaufgaben Angewandte Mathematik MST Blatt 6 Matlab Lösungen zu Übungsufgben Angewndte Mthemtk MST Bltt Mtlb Prf.Dr.B.rbwsk Zu Aufgbe ) Errbeten Se sch begefügtes Mterl zur Trpezmethde und zur Smpsnschen Fssregel! (us Ppul, Mthemtk für Ingeneure, Bnd Kp.V.)

Mehr

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer: Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. chel Wolf Dnel Stlck Frnç Stefn Huber Zentrlübung Z2.1. Whrschenlchketsdchten TECHNISCHE UNIVERSITÄT ÜNCHEN Zentrum themtk themtk 4 für Physker (Anlyss 3) A924 Se f : (, 1) 2 R ene stetge Funkton

Mehr

Übungsblatt 4 - Lösung

Übungsblatt 4 - Lösung Formle Sprchen und Automten Üungsltt 4 - Lösung 26. M 2013 1 Whr oder flsch? Begründe kurz dene Antwort! 1. In enem determnstschen endlchen Automten gt es für jedes Wort w Σ mxml enen kzepterenden Pfd.

Mehr

Merkblatt Fenster. Kanton Bern Erziehungsdirektion Denkmalpflege. Stadt Bern Präsidialdirektion Denkmalpflege

Merkblatt Fenster. Kanton Bern Erziehungsdirektion Denkmalpflege. Stadt Bern Präsidialdirektion Denkmalpflege Knton Bern Erzehungsdrekton Denkmlpflege Stdt Bern Präsdldrekton Denkmlpflege Merkbltt Fenster A Grundsätzlches Fenster prägen de äussere Erschenung enes Gebäudes mss gebend und snd oft en ntegrler Bestndtel

Mehr

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale 3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche

Mehr

"Zukunft der Arbeit" Arbeiten bis 70 - Utopie - oder bald Realität? Die Arbeitnehmer der Zukunft

Zukunft der Arbeit Arbeiten bis 70 - Utopie - oder bald Realität? Die Arbeitnehmer der Zukunft "Zukunft der Arbet" Arbeten bs 70 - Utope - oder bald Realtät? De Arbetnehmer der Zukunft Saldo - das Wrtschaftsmagazn Gestaltung: Astrd Petermann Moderaton: Volker Obermayr Sendedatum: 7. Dezember 2012

Mehr

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de ERP Cloud SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Prese erfassen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 Zel des s 3 2 Enführung: Welche Arten von Presen gbt es? 3 3 Beschaffungsprese erfassen 3 3.1 Vordefnerte

Mehr

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb S N De amte Erschenng der magnetschen Feldlnen bezechnet man als magnetschen Flss. = V s = Wb Kraftflssdchte oder magnetsche ndkton B. B d da B = Wb/m = T Für homogene Magnetfelder, we se m nneren von

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s

Mehr

Martens: Übungen in der Betriebswirtschaftslehre, #6 (Investitionsplanung)

Martens: Übungen in der Betriebswirtschaftslehre, #6 (Investitionsplanung) Projekt: VW hem: WS 26/7 Empfänger: bsender: Dttmr Ngel nlge-dtum: 16.12.26 Sttus-Dtum: 27.12.26 Mrtens: Übungen n der etrebswrtschftslehre, #6 (Investtonsplnung 15.12.26 Forts. 3.5 Der nterne Znsfuß ls

Mehr

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis . wp Wssenschatsorum, Wen,8. Aprl 04 Free Rdng n Jont Audts A Game-Theoretc Analyss Erch Pummerer (erch.pummerer@ubk.ac.at) Marcel Steller (marcel.steller@ubk.ac.at) Insttut ür Rechnungswesen, Steuerlehre

Mehr

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder - Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole

Mehr

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt - Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2 Lösungen der Aufgaben zu Kaptel Abschntt 1 Aufgabe 1 Wr benutzen de Potenzrechenregeln, um ene Potenz von mt geradem Eponenten n oder mt ungeradem Eponenten n + 1 we folgt darzustellen: n n und n+1 n n

Mehr

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen 6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch

Mehr

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare Skalerung von Organsatonen und Innovatonen gestalten phl omondo Se stehen vor dem nächsten Wachstumsschrtt hrer Organsaton oder haben berets begonnen desen aktv zu gestalten? In desem Workshop-Semnar erarbeten

Mehr

G Bereitstellungsmenge des internationalen öffentlichen Umweltgutes

G Bereitstellungsmenge des internationalen öffentlichen Umweltgutes Insttut für Volkswrtschftslehre und Ökonometre Fkultät Wrtschftswssenschften II cht-koopertve Lösungen und hre Egenschften. Modellrhmen Zur Verenfchung betrchten wr en Zwe-Länder-Szenro. Ene Verllgemenerung

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2

Mehr

5.6 Zwei- und mehrdimensionale Zufallsvariablen

5.6 Zwei- und mehrdimensionale Zufallsvariablen 5.6 Zwe- und mehrdmensonle Zufllsvrblen Wr betrchten jetzt den Fll, dss mehrere Zufllsvrblen glechzetg nlsert werden. Allgemen st ene n-dmensonle Zufllsvrble durch ds n-tupel (,,, n ) gegeben. Wr beschränken

Mehr

Einführung: Sequence Alignment

Einführung: Sequence Alignment lgorthmsche nendungen - Prktkum WS 7/8 ynmsche Progrmmerung / reedy-lgorthmen ufgen 8 - Hener Klocke Fchhochschule Köln Informtk Prktkum: ynmsche Progrmmerung / reedy-lgorthmen ufgen 8 9 ufge Kptel ynmsche

Mehr

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik

Mehr

Aufgabenteil. - wird nicht mit abgegeben - 21.03.2011, 18.00-20.00 Uhr. Fakultät für Wirtschaftswissenschaft

Aufgabenteil. - wird nicht mit abgegeben - 21.03.2011, 18.00-20.00 Uhr. Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Fakultät für Wrtschaftswssenschaft Lehrstuhl für Volkswrtschaftslehre, nsb. Makroökonomk Unv.-Prof. Dr. Helmut Wagner Klausur: Termn: Prüfer: Makroökonome 2.03.20, 8.00-20.00 Uhr Unv.-Prof. Dr. Helmut

Mehr

Einbau-/Betriebsanleitung Stahl-PE-Übergang Typ PESS / Typ PESVS Originalbetriebsanleitung Für künftige Verwendung aufbewahren!

Einbau-/Betriebsanleitung Stahl-PE-Übergang Typ PESS / Typ PESVS Originalbetriebsanleitung Für künftige Verwendung aufbewahren! Franz Schuck GmbH Enbau-/Betrebsanletung Stahl-PE-Übergang Typ PESS / Typ PESVS Orgnalbetrebsanletung Für künftge Verwendung aufbewahren! Enletung Dese Anletung st für das Beden-, Instandhaltungs- und

Mehr

Die Ausgangssituation... 14 Das Beispiel-Szenario... 14

Die Ausgangssituation... 14 Das Beispiel-Szenario... 14 E/A Cockpt Für Se als Executve Starten Se E/A Cockpt........................................................... 2 Ihre E/A Cockpt Statusüberscht................................................... 2 Ändern

Mehr

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik)

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik) Kredtpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (nkl. Netzplantechnk) Themensteller: Unv.-Prof. Dr. St. Zelewsk m Haupttermn des Wntersemesters 010/11 Btte kreuzen Se das gewählte Thema an:

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvrter Dtenmengen - desrptv Mttlere bsolute Abwechung (Desvton) Vrnz Stndrdbwechung Vrtonsoeffzent Stndrdserung Prof. Küc / Dr. Rcbl Lge- und Streuungsprmeter III Bblogrfe Bleymüller / Gehlert

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert

Mehr

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.

Mehr

Qualitative Evaluation einer interkulturellen Trainingseinheit

Qualitative Evaluation einer interkulturellen Trainingseinheit Qualtatve Evaluaton ener nterkulturellen Tranngsenhet Xun Luo Bettna Müller Yelz Yldrm Kranng Zur Kulturgebundenhet schrftlcher und mündlcher Befragungsmethoden und hrer Egnung zur Evaluaton m nterkulturellen

Mehr

18. Dynamisches Programmieren

18. Dynamisches Programmieren 8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus

Mehr

Wechselstrom. Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets wie folgt dargestellt werden : U t. cos (! t + " I ) = 0 $ " I

Wechselstrom. Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets wie folgt dargestellt werden : U t. cos (! t +  I ) = 0 $  I Wechselstrom Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets we folgt dargestellt werden : U t = U 0 cos (! t + " U ) ; I ( t) = I 0 cos (! t + " I ) Wderstand m Wechselstromkres Phasenverschebung:!"

Mehr

Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ).

Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Taylorentwcklung (Approxmaton durch Polynome). Problemstellung Se T( x ) de Tangente an den Graphen der Funkton f(x) m Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Dann kann man de

Mehr

5. Mehrkomponentensysteme - Gleichgewichte

5. Mehrkomponentensysteme - Gleichgewichte 5. Mehrkomonentensysteme - lechgewchte 5.1 Phsenglechgewchte Enfluss gelöster Stoffe osmotscher ruck Trennung zweer Lösungen durch sem-ermeble Membrn, de nur für ds Lösungsmttel durchlässg st (z.. Schwensblse,

Mehr

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik

Einführung in die Finanzmathematik 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg

Mehr

1. Die Spielpartie wird vorzeitig abgebrochen.

1. Die Spielpartie wird vorzeitig abgebrochen. Ds Telunsroblem Jüren Zumdck Ene Glücksselrte mt zwe Selern erfordert n Gewnnsele. De Whrschenlchket, en enzelnes Sel zu ewnnen, se für jeden Seler. De Selrte wrd vorzet bebrochen. We st der Gewnn ( e,

Mehr

Datenträger löschen und einrichten

Datenträger löschen und einrichten Datenträger löschen und enrchten De Zentrale zum Enrchten, Löschen und Parttoneren von Festplatten st das Festplatten-Denstprogramm. Es beherrscht nun auch das Verklenern von Parttonen, ohne dass dabe

Mehr

Der Satz von COOK (1971)

Der Satz von COOK (1971) Der Satz von COOK (1971) Voraussetzung: Das Konzept der -Band-Turng-Maschne (TM) 1.) Notatonen: Ene momentane Beschrebung (mb) ener Konfguraton ener TM st en -Tupel ( α1, α2,..., α ) mt α = xqy, falls

Mehr

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i Itemanalyse und Itemkennwerte De Methoden der Analyse der Itemegenschaften st ncht m engeren Snne Bestandtel der Klassschen Testtheore Im Rahmen ener auf der KTT baserenden Testkonstrukton und -revson

Mehr

Beschreibende Statistik Mittelwert

Beschreibende Statistik Mittelwert Beschrebende Statstk Mttelwert Unter dem arthmetschen Mttel (Mttelwert) x von n Zahlen verstehen wr: x = n = x = n (x +x +...+x n ) Desen Mttelwert untersuchen wr etwas genauer.. Zege für n = 3: (x x )

Mehr

Nomenklatur - Übersicht

Nomenklatur - Übersicht Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen

Mehr

Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2

Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2 ETH Arbetsgruppe Radocheme Radochemsches Praktkum P 06 Enführung n de Statstk INHALTSVERZEICHNIS Sete 1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 2. Mttelwert und Varanz 2 3. Momente ener Vertelung

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen

Mehr

BSc GG01: Einführung in die Geodäsie WS 2015/16. Prinzipien der Positionsbestimmung Satellitengestützte Positionsbestimmung

BSc GG01: Einführung in die Geodäsie WS 2015/16. Prinzipien der Positionsbestimmung Satellitengestützte Positionsbestimmung BSc GG0: Enführung n e Geoäse WS 05/6 Prnzpen er Postonsbestmmung Stelltengestützte Postonsbestmmung Folen un Frgen zur Lernkontrolle Lmbert Wnnnger, Geoätsches Insttut, TU Dresen Geoäse, Vermessung, Geomtk,

Mehr

Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion)

Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion) Gymnsum Strhlenstz, Zentrsche Streckung, Verstreckenstz 1. Berechne us den jewels gegebenen Größen de gesuchten Streckenlängen: Gegeben: ) AB = cm ; ZA = 3cm ; ZA ' = 5cm A 'B' Gesucht: b) ZA = 3,5cm ;

Mehr

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Bildspeicherung

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Bildspeicherung Bldverarbetung Herbstsemester 2012 Bldspecherung 1 Inhalt Bldformate n der Überscht Coderung m Überblck Huffman-Coderung Datenredukton m Überblck Unterabtastung Skalare Quantserung 2 Lernzele De wchtgsten

Mehr

3 Wiederholung des Bruchrechnens

3 Wiederholung des Bruchrechnens 3 Wiederholung des Bruchrechnens Ein Bruch entsteht, wenn ein Gnzes in mehrere gleiche Teile zerlegt wird. Jeder Bruch besteht us dem Zähler, der Zhl über dem Bruchstrich, und dem Nenner, der Zhl unter

Mehr

2 Rohrleitungsnetzberechnung

2 Rohrleitungsnetzberechnung Vorlesungsskrpt Hydrulk II - Rohrletungsnetzberechnung. Krchhoffsche Regeln En Netz besteht us mehreren Rohsträngen, de n mehreren Punkten mtennder hydrulsch verbunden snd. (Sehe Abb. -) Abb. -: Rohrletungsnetz

Mehr

Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt

Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten

Mehr

Grundlagen der Wärme- und Stoffübertragung

Grundlagen der Wärme- und Stoffübertragung OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG Fkultät für Verfhrens- und Systemtechnk Insttut für Strömungstechnk und Thermodynmk Prof Dr-Ing E Specht Vorlesungsmnuskrpt Grundlgen der Wärme- und Stoffübertrgung

Mehr

Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung

Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung am Bespel enes Modells der chadenverscherung Für das Modell ener chadenverscherung se gegeben: s w s. n 4 chaden enes Verscherungsnehmers, wenn der chadenfall entrtt Wahrschenlchket dafür, dass der chadenfall

Mehr

Spiele und Codes. Rafael Mechtel

Spiele und Codes. Rafael Mechtel Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblock

Lösungen zum 3. Aufgabenblock Lösungen zum 3. Aufgabenblock 3. Aufgabenblock ewerber haben n enem Test zur sozalen Kompetenz folgende ntervallskalerte Werte erhalten: 96 131 11 1 85 113 91 73 7 a) Zegen Se für desen Datensatz, dass

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungen

2 Zufallsvariable und Verteilungen Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Kommentierte Linkliste

Kommentierte Linkliste Mobbng Kommenterte Lnklste Mobbng fndet sch n allen sozalen Schchten und Altersgruppen: auch be Kndern und Jugendlchen. Aktuelle Studen kommen zu dem Ergebns, dass jede/r verte österrechsche SchülerIn

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9 D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2

Mehr

Informatik II. Minimalpolynome und Implikanten. Minimalpolynome. Minimalpolynome. Rainer Schrader. 27. Oktober Was bisher geschah: Definition

Informatik II. Minimalpolynome und Implikanten. Minimalpolynome. Minimalpolynome. Rainer Schrader. 27. Oktober Was bisher geschah: Definition Informatk II Raner Schrader und Implkanten Zentrum für Angewandte Informatk Köln 27. Oktober 2005 1 / 28 2 / 28 Was bsher geschah: jede Boolesche Funkton kann durch enfache Grundfunktonen dargestellt werden

Mehr