Kreditrisikomodelle und Diversifikation erschienen in: Zeitschrift für Bankrecht und Bankwirtschaft (ZBB), 14. Jahrgang, 2002, S.9-17.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kreditrisikomodelle und Diversifikation erschienen in: Zeitschrift für Bankrecht und Bankwirtschaft (ZBB), 14. Jahrgang, 2002, S.9-17."

Transkript

1 1 Kredtrskomodelle und Dversfkaton erschenen n: Zetschrft für Bankrecht und Bankwrtschaft (ZBB), 14. Jahrgang, 2002, S Dr. oec. publ. Hans Rau-Bredow, Prvatdozent an der Unverstät Würzburg Kontakt: Inhaltsüberscht I. Enletung II. Kredtrskomanagement III. Kredtrskomodelle 1. Tschebyscheff-Unglechung als Ausgangspunkt 2. CredtRsk+ 2.1 Grundstruktur von CredtRsk+ 2.2 Volatle Ausfallraten 3. CredtMetrcs 3.1 Grundstruktur von CredtMetrcs 3.2 Asset-Value-Correlaton-Modell IV. Modellverglech V. Dversfkaton 1. Besetgung unsystematscher Rsken durch Dversfkaton 2. Verenfachter Ansatz 3. Anwendung bem nternen Ratng VI. Zusammenfassung und Ausblck

2 2 I. Enletung Obwohl es sch vermutlch um das älteste fnanzwrtschaftlche Rsko handelt, werden auf das Ausfallrsko be Kredten erst n jüngster Zet de n anderen Telgebeten der Fnanzerungstheore berets set längerem gebräuchlchen formal-mathematschen Methoden angewendet. De Anwendung formaler Methoden auf Kredtrsken bezeht sch dabe enersets auf de Kalkulaton ener faren Präme für das Ausfallrsko und anderersets auf das her m Mttelpunkt stehende Portfolomanagement von Kredten, also de Mnmerung der aggregerten Rsken durch Dversfkaton. Für das Kredtportfolomanagement wurden n den letzten Jahren von der Praxs verschedene Modelle entwckelt, de das Zel verfolgen, ene Wahrschenlchketsvertelung der möglchen Ausfallverluste zu berechnen 1. Dabe wrd üblcherwese zwschen zwe Modellkategoren unterscheden: So genannte Default-Mode-Modelle unterscheden nur zwschen zwe möglchen Umweltzuständen, nämlch ob en mt enem Verlust n bestmmter Höhe verbundenes Kredteregns entrtt oder ncht. Be den Mark-to- Market-Modellen werden dagegen außer enem tatsächlchen Ausfall des Kredtes auch de Auswrkungen möglcher zukünftger Veränderungen der Bontät des Schuldners auf den Marktwert der Forderungen berückschtgt. Stellvertretend für bede Modellkategoren werden m Folgenden CredtRsk+ von Credt Susse Frst Boston 2 und CredtMetrcs von RskMetrcs/JP Morgan 3 betrachtet. Dazu soll als erstes de Frage beantwortet werden, ob es sch um jewels vollkommen unterschedlche Ansätze handelt oder ob möglcherwese ene gemensame Grundstruktur deser Modelle herausgearbetet werden kann. CredtMetrcs erschent her zunächst als das allgemenere Modell, da we erwähnt neben tatsächlchen Ausfällen zusätzlch auch Bontätsveränderungen berückschtgt werden. En unmttelbarer Modellverglech st aber für en verenfachtes CredtMetrcs Modell möglch, be dem nur zwschen Ausfall und Ncht-Ausfall unterscheden wrd. Dazu wrd gezegt, dass sch en derart verenfachtes CredtMetrcs Modell so umformuleren lässt, dass man ebenso we be Cre- 1 Enen Überblck zu den verschedenen Kredtrskomodellen gbt der Aufsatz von Crouhy/Gala/Mark (2000). 2 Vgl. CredtRsk+ (1997).

3 3 dtrsk+ volatle, von bestmmten Hntergrundvarablen gesteuerte Ausfallwahrschenlchketen erhält. En weteres Untersuchungszel deses Betrages betrfft das approxmatve Verhalten enes Kredtrskomodells für en Portfolo aus sehr velen, jewels hnrechend klenen Kredten. Kredtnehmerspezfsche Rsken spelen dann aufgrund von Dversfkatonseffekten ene mmer gerngere Rolle. Be perfekter Dversfkaton m Grenzfall enes Kredtportfolos aus unendlch velen Kredten verblebt dann ledglch der Enfluss der allen Kredten gemensamen systematschen Rskofaktoren. Spezell für CredtMetrcs kann aus ener solchen Grenzbetrachtung für den Fall, dass nur en enzger systematscher Rskofaktor exstert, ene explzte Formel für de maxmalen Ausfallverluste abgeletet werden. Dese Formel soll zukünftg auch m Rahmen der neuen Basler Egenkaptalverenbarung (Basel II) bem auf nternen Ratngs baserenden Verfahren zur Anwendung kommen, wobe aber de Herletung ncht offengelegt wurde. Durch de folgenden Ausführungen gelngt es also, de desem Verfahren zugrunde legenden modelltheoretschen Überlegungen des Basler Ausschusses für Bankenaufscht zumndest telwese nachzuvollzehen. II. Kredtrskomanagement Be der Betrachtung der Wahrschenlchketsvertelung möglcher Kredtausfallverluste wrd üblcherwese zwschen dem Expected Loss EL und dem Unexpected Loss UL unterscheden (vgl. Abbldung 1). Der Erwartungswert EL entsprcht dem statstschen Mttelwert der Ausfallverluste und soll durch ene geegnet kalkulerte Znsmarge gedeckt werden 4. Für den Fall, dass n enem bestmmten Jahr de tatsächlchen Verluste enen solchen Durchschnttswert überstegen, muss zur Abdeckung derartger unerwarteter Verluste außerdem en ausrechend hoher Egenkaptalpuffer vorgehalten werden. Herfür wrd häufg zur Unterschedung von bestmmten aufschtsrechtlchen Egenkaptalanforderungen der Begrff Ökonomsches Kaptal verwendet. 3 Vgl. CredtMetrcs (1997). RskMetrcs st ene Ausgründung der mttlerwele mt Chase Manhattan fusonerten Investmentbank JP Morgan. Treber der Fuson war nsbesondere, de Expertse von JP Morgan m Kredtrskocontrollng mt dem Bankportfolo von Chase Manhattan zu verbnden. 4 Be Rskoaverson st be der Presbldung zusätzlch zum erwarteten Verlust auch noch ene entsprechende Rskopräme zu berückschtgen.

4 4 Abbldung 1: Erwartete und unerwartete Verluste Wahrschenlchketsdchte Insolvenz < 0,03% EL Verluste L Erwarteter Verlust gedeckt durch Znsüberschuss Unerwarteter Verlust gedeckt durch Egenkaptal

5 5 De Höhe deses Egenkaptalpuffers bemsst sch danach, dass de Wahrschenlchket für ene Insolvenz des Kredtnsttutes unter en bestmmtes, gerade noch akzeptables Nveau gedrückt wrd. Ene möglche Vorgabe besteht darn, dass das Kredtnsttut mndestens das Ratng AA erhält, was n ene Insolvenzwahrschenlchket von wenger als 0,03% übersetzt werden kann 5. Außerdem st auf das vorgehaltene Egenkaptal ene angemessene Rendte zu erwrtschaften. Für de sch unter Berückschtgung von Kredtausfallkosten ergebende Rendte hat sch n der Praxs der Begrff Rsk Adjusted Return on Captal RAROC engebürgert, für den häufg ene Hurdle Rate von 15% genannt wrd. De Verlustvertelung für Kredtrsken west regelmäßg de n Abbldung 1 angedeutete Rechtsschefe (Lnksstelhet) auf. Des hängt damt zusammen, dass Kredtausfälle relatv seltene, gegebenenfalls aber zu hohen Verlusten führende Eregnsse snd. Be postv korrelerten Ausfalleregnssen mttelt sch deser Effekt auch n enem größeren Kredtportfolo ncht völlg heraus und kommt n der angedeuteten Schefe der aggregerten Verlustvertelung zum Ausdruck 6. Ene Folge hervon st, dass der Medan klener st als der Erwartungswert, so dass n den mesten Geschäftsjahren de tatsächlchen Ausfallverluste den erwarteten Verlust unterschreten werden. In den übrgen Jahren werden dafür de Ausfallverluste jewels besonders hoch ausfallen. 5 Dese Parameter snd zumndest für große US-amerkansche Banken gängg, vgl. Federal Reserve Board (1998) S.33. Von den Ratngagenturen wrd ncht endeutg herausgestellt, ob das jewelge Bontätsurtel nur de Insolvenzwahrschenlchket wderspegelt oder auch ene Prognose über de eventuelle Schadenshöhe enthält. 6 Be stochastsch unabhänggen Ausfalleregnssen würde man dagegen aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes approxmatv ene symmetrsche Normalvertelung erhalten.

6 6 III. Kredtrskomodelle 1. Tschebyscheff-Unglechung als Ausgangspunkt Kredtrskomodelle berechnen de aus allen Enzelrsken aggregerte Vertelung der Ausfallverluste, so dass überprüft werden kann, ob am Ende des üblcherwese en Jahr umfassenden Rskohorzontes de Summe aus erwarteten und unerwarteten Verlusten mt hnrechender Scherhet durch Znsüberschuss und Egenkaptal gedeckt st. Ene enfache, aber für praktsche Zwecke regelmäßg zu grobe Abschätzung st zunächst durch ene Varante der elementaren Tschebyscheff-Unglechung möglch 7 : P(L EL + UL) EL EL + UL (1) Zum Bespel gbt de Deutsche Bank n hrem Geschäftsbercht für das Jahr 2000, S.145 für de gesamten Kredtrsken des Konzerns enen erwarteten Verlust von EL = 895 Mo. Euro (= 0,32% des Kredtvolumens von 281 Mrd. Euro) und en ökonomsches Kaptal zur Deckung unerwarteter Verluste von UL = 8,2 Mrd. Euro (= 2,92% des Kredtvolumens) an. Der Insolvenzfall würde also entreten, wenn nnerhalb enes Jahres Ausfallverluste L von mehr als UL + EL = 9,095 Mrd. Euro entstehen würden. Gemäß der Tschebyscheff-Unglechung st de Wahrschenlchket herfür jedenfalls ncht größer als 9,84%. De Tschebyscheff-Unglechung st en sehr allgemener Ansatz, der völlg ohne Voraussetzungen über de zugrunde legende Wahrschenlchketsvertelung auskommt. Insbesondere werden überhaupt kene Annahmen über möglche Dversfkatonseffekte getroffen. Man erhält ene n jedem Fall gültge obere Grenze für de Insolvenzwahrschenlchket, welche de tatsächlchen Rsken aber regelmäßg erheblch überschätzt. Ene fenere Abschätzung ergbt sch dagegen aus den m Folgenden darzustellenden, auf genauer spezfzerten Kredtrskomodellen. 7 Vgl. zu deser Formulerung der Tschebyscheff-Unglechung etwa Fsz (1980) S.98.

7 7 2. CredtRsk+ 2.1 Grundstruktur von CredtRsk+ Zunächst soll de enfache Grundverson von CredtRsk+ dargestellt werden, be der von stochastsch unabhänggen Ausfalleregnssen ausgegangen wrd. Dese egentlch problematsche Voraussetzung wrd dann anschleßend n ener Modellerweterung aufgehoben. Für klene Ausfallwahrschenlchketen 8 kann de Häufgket von Kredtausfällen näherungswese durch ene Posson-Vertelung beschreben werden 9. De Wahrschenlchket dafür, dass es zu genau n Ausfällen kommt, berechnet sch dann we folgt: µ Prob(n Ausfälle) = e µ n (2) n! Der Parameter µ der Possonvertelung bezechnet den Erwartungswert der Anzahl der Ausfälle, der als Summe µ = N p der Ausfallwahrschenlchketen der enzelnen = 1 Kredtnehmer gegeben st. In enem Portfolo aus N = 1000 Kredten mt ener enhetlchen Ausfallwahrschenlchket von 1% glt zum Bespel µ = 10. Aus Glechung (2) erhält man dann de Wahrschenlchket dafür, dass es etwa zu genau n = 11 Ausfällen kommt. Letztlch kommt es allerdngs ncht auf de Ausfälle, sondern auf de Höhe der damt verbundenen Verluste an. Da sch de Kredtnehmer bezüglch des be enem eventuellen Ausfall entstehenden Schadens unterscheden, wrd ene Entelung n verschedene Bänder mt jewels (ungefähr) glechem Loss Gven Default LGD() vorgenommen. Ene solche Zuordnung setzt also voraus, dass der bem Ausfall enes bestmmten Kredtnehmers entstehende, nsbesondere auch von den verenbarten Kredtscherheten abhängge Verlust ene ex ante bekannte, nchtstochastsche Größe st. Dabe snd de Ausfälle nnerhalb enes enzelnen Bandes ebenfalls weder possonvertelt. Des st ene 8 Zum Bespel erhält man für das Frmenkundengeschäft, wenn man de Unternehmensnsolvenzen n 2000 auf ca. 2,8 Mllonen umsatzsteuerpflchtge Unternehmen n Deutschland bezeht, ene grob geschätzte Ausfallwahrschenlchket von etwa 1%. 9 De Posson-Näherung vernachlässgt letztlch, dass en enzelner Kredtnehmer ncht mehrmals ausfallen kann, vgl. Gordy (2000) S.122.

8 8 mathematsch zwngende Folge des Satzes von Rakow, wonach de Summe unabhängg vertelter Zufallsvarablen (also de Gesamtzahl der Ausfälle m Kredtportfolo, de als Summe der Ausfälle n den verschedenen Bändern gegeben st) dann und nur dann possonvertelt st, wenn auch de enzelnen Summanden possonvertelt snd 10. En enzelnes Band verursacht jewels enen Verlust, der drekt proportonal zur Anzahl der Ausfälle n desem Band st. Durch de Anwendung bestmmter wahrschenlchketstheoretscher Standardmethoden kann dann de Wahrschenlchket dafür bestmmt werden, dass sch de Verluste n den enzelnen Bändern zu enem bestmmten aggregerten Verlust summeren. Dese Wahrschenlchketen lassen sch mt Hlfe ener enfachen rekursven Bezehung berechnen Volatle Ausfallwahrschenlchketen We berets erwähnt st de bsherge Annahme stochastsch unabhängger Ausfalleregnsse problematsch. De Wahrschenlchket dafür, dass durch den glechzetgen Ausfall mehrerer Kredtnehmer en hoher unerwarteter Verlust entsteht, wrd dadurch möglcherwese erheblch unterschätzt. De Summe der Ausfallverluste würde unter deser Annahme nämlch aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes 12 mt zunehmender Anzahl der Kredtnehmer gegen ene um den erwarteten Verlust symmetrsche Normalvertelung konvergeren. In der Realtät west de Verlustvertelung für Kredtrsken dagegen regelmäßg statt ener solchen Symmetre de n Abbldung 1 angedeutete Schefe auf. CredtRsk+ berückschtgt de offenschtlch gegebene stochastsche Abhänggket von Ausfalleregnssen n ener Modellerweterung, de enen n der Verscherungsmathematk verbreteten und berets auf Greenwood/Yule (1920) zurückgehenden Ansatz aufgreft. Dort wrd ene zusammengesetzte Vertelung betrachtet, be welcher der Parameter µ der Possonvertelung selber wederum als Zufallsvarable modellert wrd 13. De 10 Vgl. zum Satz von Rakow Fsz (1980) S Vgl. CredtRsk+ (1997) S.38 Glechung (25). En konkretes Zahlenbespel fndet man be Rolfes (1999) S.410f. 12 Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass de Vertelung ener Summe stochastsch unabhängger Zufallsvarablen näherungswese der Gaußschen Glockenkurve der Normalvertelung entsprcht. 13 Konkret erhält man, wenn für das Vertelungsgesetz von µ ene so genannte Gammavertelung gewählt wrd, als resulterende zusammengesetzte Vertelung de negatve Bnomalvertelung. Vgl. zu den mathematschen Enzelheten auch de Darstellung be Fsz (1980) S.199ff.

9 9 erwartete Häufgket von Kredtausfällen nmmt dabe je nach Konjunkturverlauf enen höheren oder nedrgeren Wert an, wobe sch aus deser gemensamen Konjunkturabhänggket zuglech auch ene stochastsche Abhänggket der Ausfalleregnsse ergbt 14. Im allgemenen wrd dabe ken global enhetlcher Konjunkturverlauf unterstellt, sondern verschedene, möglcherwese unterschedlch verlaufende Branchen- bzw. Länderkonjunkturen betrachtet. Dazu wrd jeder Kredtnehmer mt Hlfe bestmmter Gewchtungsfaktoren w enem oder mehreren Sektoren k (Branchen/Länder) zugeordnet und der sektorspezfsche Konjunkturverlauf jewels durch so genannte Hnter- k grundvarablen X abgebldet 15. De zufällge Ausfallwahrschenlchket des Kredtnehmers kann dann durch das folgende lneare Modell beschreben k werden: p = w X... w X K K (3) Wrd zum Bespel nur en enzger Sektor betrachtet (K = 1), dann gbt de entsprechende Hntergrundvarable de Schwankungen der Ausfallwahrschenlchket n desem Sektor weder. Im allgemenen Fall mt mehreren Sektoren snd de volatlen Ausfallwahrschenlchketen dagegen als gewchtete Mttelwerte der verschedenen Hntergrundvarablen gegeben. Insgesamt erhält man en zwestufges Modell: Im ersten Schrtt erfolgen zunächst de zufällgen Realsatonen der Hntergrundvarablen, womt konkrete Werte für de bedngten Ausfallwahrschenlchketen p gemäß Formel (3) gegeben snd. Der zwete Schrtt st mt der Grundverson dentsch, her kommt es für gegebene Ausfallwahrschenlchketen gemäß der Possonvertelung zu ener konkreten Anzahl von Ausfällen. Durch volatle Ausfallwahrschenlchketen wrd also m Verglech zur Grundverson zusätzlches Rsko erzeugt. CredtRsk+ berechnet de unbedngte Verlustvertelung, 14 Angemerkt werden könnte, dass außer durch solche gemensamen Konjunkturenflüsse sch ene Abhänggket von Insolvenzeregnssen auch auf mkroökonomscher Ebene durch Geschäftsbezehungen ergeben kann. En möglches Bespel für solche Ansteckungsgefahren snd de berühmten Peanuts der Deutschen Bank bem Zusammenbruch des Baumperums von Jürgen Schneder, durch deren Aufwendung zahlreche Handwerkerkonkurse vermeden wurden. 15 Genauer werden paarwese unabhängge, jewels gammavertelte Hntergrundvarablen unterstellt. Ene stochastsche Abhänggket der Ausfallraten kann sch also nur zwschen solchen Kredtnehmern ergeben, de gemensamen Sektoren zugeordnet werden. Zu den genauen Detals vgl. CredtRsk+ (1997) S.41ff.

10 10 be der de Wahrschenlchket für ene bestmmte Verlusthöhe auch von den ex ante unbekannten Realsatonen der Hntergrundvarablen abhängg st. Es wrd kene bestmmte, etwa aus aktuellen Konjunkturbeobachtungen abgeletete Realsaton der Hntergrundvarablen vorausgesetzt CredtMetrcs 3.1 Grundstruktur von CredtMetrcs Ausgangspunkt von CredtMetrcs snd de möglchen Schwankungen des Marktwertes ener Forderung aufgrund von Änderungen der Bontätsenstufung. Dazu wrd ene aus hstorschen Beobachtungen abgeletete Mgratonsmatrx herangezogen, de für jede durch en bestmmtes Ratng gegebene aktuelle Bontätsenstufung jewels de Wahrschenlchketen dafür angbt, dass nach Ablauf enes Jahres der Schuldner das gleche oder en bestmmtes anderes Ratng enschleßlch Default D erhält. Zum Bespel st aus Abbldung 2 erschtlch, dass en Kredtnehmer mt dem aktuellen Ratng A n enem Jahr mt ener Wahrschenlchket von 7,4% nur noch über das Ratng BBB verfügen wrd. Realstscherwese kann aber auch her ncht davon ausgegangen werden, dass de Mgratonsbewegungen stochastsch unabhängg snd. De Wahrschenlchket für bestmmte smultane Bontätsänderungen zweer Kredtnehmer st also ncht enfach glech dem Produkt der entsprechenden Wahrschenlchketen n der Mgratonsmatrx. Um de stochastsche Abhänggket der Mgratonsbewegungen berückschtgen zu können, wrd deshalb angenommen, dass das Bontätsurtel das Ergebns enes zugrunde legenden, mehr oder wenger abstrakten Asset-Value-Prozesses wedergbt. De Bontätsmgratonen werden also als Wertänderungen des Vermögens des Kredtnehmers nterpretert. En bestmmtes zukünftges Bontätsurtel ergbt sch dabe genau dann, wenn de annahmegemäß normalvertelte Asset-Rendte n en zugeordnetes, durch geegnet festgelegte Schranken defnertes Intervall fällt. 16 En Bespel für en bedngtes, auf der Beobachtung makroökonomscher Daten beruhendes Modell st CredtPortfoloVew von McKnsey, vgl. Wlson (1997).

11 11 Abbldung 2: Mgratonsmatrx (Quelle: CredtMetrcs (1997) S.76) Aktuelles Ratng n enem Jahr: Ratng: AAA AA A BBB BB B C D AAA 87,74 10,93 0,45 0,63 0,12 0,10 0,02 0,02 AA 0,84 88,23 7,47 2,16 1,11 0,13 0,05 0,02 A 0,27 1,59 89,05 7,40 1,48 0,13 0,06 0,03 BBB 1,84 1,89 5,00 84,21 6,51 0,32 0,16 0,07 BB 0,08 2,91 3,29 5,53 74,68 8,05 4,14 1,32 B 0,21 0,36 9,25 8,29 2,31 63,89 10,13 5,58 C 0,06 0,25 1,85 2,06 12,34 24,86 39,97 18,60

12 12 En zukünftges Ratng BBB würde sch zum Bespel genau dann ergeben, wenn de zufällge Realsaton der Asset-Rendte unterhalb der Schranke Z A legt und glechzetg ncht klener ausfällt als Z BBB. De enzelnen Intervallschranken werden dabe jewels genau so festgesetzt, dass de Wahrschenlchket für en bestmmtes zukünftges Ratngurtel mt den Wahrschenlchketen n der Mgratonsmatrx überenstmmt. Der darüber hnausgehende Vortel deser Konstrukton besteht darn, dass damt de stochastsche Abhänggket der Mgratonsbewegungen abgebldet werden kann. Dazu wrd unterstellt, dass de Asset-Rendten der verschedenen Kredtnehmer postv korrelert snd. Be börsennoterten Schuldnern können Annahmen über de Höhe deser Korrelatonen aus den Korrelatonen der jewelgen Aktenkurse abgeletet werden 17. CredtMetrcs berechnet de Verlustvertelung mt dem Hlfsmttel der Monte-Carlo- Smulaton. De Arbetsschrtte werden durch Abbldung 3 verdeutlcht. Zunächst werden mt Hlfe enes geegnet konstruerten Generators von Zufallszahlen aus ener multvaraten Normalvertelung unter Maßgabe der vorausgesetzten Rendtekorrelatonen be enem aus N Kredtnehmern bestehenden Portfolo N zufällge Asset-Rendten r erzeugt. Dese Rendten werden anschleßend entsprechend den vorab festgelegten Intervallschranken n Ratngurtele übersetzt, und aus dem jewelgen zukünftgen Ratng ergbt sch de neue Bewertung der Kredtforderung. Deser Vorgang wrd mehrere tausend Mal wederholt, so dass man schleßlch ene Häufgketsvertelung für den zukünftgen Marktwert des Kredtportfolos erhält. 17 Damt geht de Korrelaton der Marktwerte des Egenkaptals und ncht de Korrelaton der gesamten Unternehmensaktva n das Modell en. Deser möglche Nachtel wrd aus Gründen der Datenverfügbarket n Kauf genommen.

13 13 Abbldung 3: Arbetsschrtte be CredtMetrcs Erzeuge zufällge Rendten r aus ener multvaraten Normalvertelung mt gegebenen Korrelatonen Übersetze de zufällgen Rendteergebnssen r n Ratng-Szenaren Neubewertung der Anlehen/Kredte Häufgketsvertelung für den zukünftgen Wert des Kredtportfolos

14 14 Das Verfahren benötgt ene Theore für de Bewertung rskobehafteter Kredtforderungen. CredtMetrcs benutzt de Barwertmethode, wobe für jede Bontätskategore jewels ene besondere Znsstrukturkurve vorgegeben wrd, um de Rskozuschläge abzublden 18. De Höhe deser Rskoaufschläge sollte dabe grundsätzlch mt den sch aus der Mgratonsmatrx ergebenden Wahrschenlchketen für Bontätsverschlechterungen und Insolvenz verenbar sen 19. En weteres Problem be der Bewertung von Forderungen st, nwefern be den Rskoaufschlägen auch nach der Laufzet zu dfferenzeren st 20. Theoretsch anspruchsvollere Methoden der Forderungsbewertung bedenen sch optonstheoretscher Modelle n der Tradton von Merton (1974), be denen de Poston der Gläubger als Stllhalter ener Verkaufsopton auf de Assets des Kredtnehmers modellert wrd Asset-Value-Correlaton-Modell We berets erwähnt, werden be CredtMetrcs als Rendtekorrelatonen de entsprechenden Aktenkurskorrelatonen verwendet. Dabe wrd allerdngs n enem umfangrecherem Kredtportfolo de Anzahl der zu schätzenden Korrelatonen schnell sehr groß, da für jeden zusätzlchen Kredtnehmer de Korrelaton mt allen übrgen Kredtnehmern bestmmt werden muss. Werden de enzelnen Asset-Rendten dagegen m Rahmen enes Mehrfaktorenmodells durch de Entwcklung bestmmter Aktenndzes für verschedene Sektoren (Branchen bzw. Länder) erklärt, dann muss für jeden Kredtnehmer jewels nur durch de Wahl ener festen Anzahl von Gewchtungsfaktoren bestmmt werden, n welchem Umfang de Rendteentwcklung durch de verschedenen Sektorndzes erklärt wrd. Für de Asset-Rendte enes Kredtnehmers wrd deshalb folgender Zusammenhang unterstellt: 18 Znsänderungsrsken werden an deser Stelle, obwohl prnzpell möglch, also ncht berückschtgt. 19 Vgl. Rolfes (1999) S Häufg werden n Überenstmmung mt den theoretschen Ergebnssen von Merton (1974) für gute (schlechte) Bontäten mt der Laufzet zunehmende (abnehmende) Rskoaufschläge unterstellt. Intutv kann des damt begründet werden, dass be Langläufern guter Bontät das Rsko ener späteren Bontätsherabstufung hnzukommt, de be vorfällgen Verkauf auch dann zu Verlusten führt, wenn der Emttent ncht zahlungsunfähg wrd und früher fällge Kurzläufer vollständg zurückbezahlt werden. Für deses be jewels glecher Haltedauer zusätzlche Rsko enes Langläufers st dann ene entsprechend höhere Präme enzukalkuleren. Be schlechter Bontät st dagegen umgekehrt de Chance ener späteren Heraufstufung be langen Laufzeten größer als be kurzen Laufzeten. Vgl. herzu auch aus emprscher Scht Düllmann/Uhrg-Homburg/Wndfuhr (2000), Henke (2001) und aus theoretscher Scht Zhou (2001). 21 Der optonstheoretsche Ansatz wrd vor allem von der 1989 von Stephen Kealhofer, John McQuown und Oldrch Vascek gegründeten KMV Corporaton umgesetzt.

15 15 r = w X w X 1 1 K K + wˆ ε (4) Dabe blden de systematschen Faktoren X de Entwcklung der verschedenen Branchen- bzw. Länderndzes und k ε das mt den systematschen Varablen unkorrelerte unsystematsche bzw. kredtnehmerspezfsche Rsko ab. Das relatve Verhältns der wrd entsprechend der Branchen- und Länderzuordnung des Kredtneh- Gewchte w k mers festgelegt, während ŵ den Antel der Rendteentwcklung wedergbt, der ncht durch systematsche Faktoren erklärt werden kann 22. De Gewchte werden außerdem so gewählt, dass ncht nur de systematschen und unsystematschen Faktoren, sondern auch de resulterenden Rendten r jewels ener standardserten Normalvertelung mt Erwartungswert 0 und Varanz 1 unterlegen. Ene solche Wahl der Gewchte st mmer möglch, da de für ene solche Standardserung gegebenenfalls erforderlche Lneartransformaton de Korrelatonen der Rendten ncht beenflusst. IV. Modellverglech Der Untersched zwschen CredtRsk+ und CredtMetrcs wrd üblcherwese daran festgemacht, dass CredtRsk+ nur auf de Möglchket enes tatsächlchen Ausfalls abstellt, während CredtMetrcs zusätzlch auch eventuelle Bontätsänderungen berückschtgt. Be der mathematschen Modellerung wrkt sch des dahngehend aus, dass be CredtRsk+ en bestmmter Kredt enen Verlust n ex ante bekannter Höhe LGD() verursacht oder ncht, während be CredtMetrcs mehr als zwe verschedene zukünftge Bewertungen der enzelnen Kredtforderung möglch snd 23. Insofern st Credt- Metrcs zunächst als das allgemenere Modell anzusehen. Um enen unmttelbaren Modellverglech durchführen zu können, soll deshalb en reduzertes Zwe-Zustands CredtMetrcs-Modell betrachtet werden, be dem we be Cre- 22 Vgl. m enzelnen dazu CredtMetrcs (1997) S.97ff., Rolfes (1999) S.426f. 23 CredtMetrcs geht darüber hnaus für den Fall enes Ausfalls von stochastschen Recovery Rates aus, für deren Vertelungsgesetz ene Betavertelung unterstellt wrd. Zu den Enzelheten vgl. CredtMetrcs (1997) S.80.

16 16 dtrsk+ nur zwschen Ausfall und Ncht-Ausfall unterscheden wrd 24. In enem solchen reduzerten CredtMetrcs-Modell kommt es dann zu enem Ausfall, wenn de Asset-Rendte ene bestmmte kredtnehmerspezfsche Insolvenzschwelle D unterschre- tet: r = w X w X + wˆ ε < 1 1 K K D (5) De Insolvenzschwelle D = N 1 (p ) st be standardnormalvertelten Asset-Rendten r als Inverse der Standardnormalvertelung N( ), angewendet auf de Ausfallwahrschenlchket p gegeben. Geht man darüber hnaus davon aus, dass m Rahmen des Asset-Value-Correlaton- Modells de Realsaton der systematschen Faktoren X jewels zetlch vor der Realsaton des unsystematschen Rskos k ε erfolgt, dann lassen sch auch für CredtMetrcs volatle, von der Realsaton der systematschen Faktoren abhängge Ausfallwahrschenlchketen formuleren. Für de bedngte, sch für ene bestmmte Realsaton der systematschen Faktoren X enstellende Ausfallwahrschenlchket folgt dann aus Glechung (5) be standardnormalverteltem unsystematschem Rsko k ε : p -1 N (p ) (w X w X ) = N( 1 1 K K ) (6) wˆ Es wrd also unterscheden zwschen deser bedngten Ausfallwahrschenlchket p und dem sch über mehrere Konjunkturzyklen hnweg ergebenden Mttelwert der Ausfallwahrschenlchket p. 24 Vgl. auch Gordy (2000) S.125ff. Vorausgesetzt wrd dann en auch be CredtMetrcs ex ante bekannter nchtstochastscher Loss Gven Default LGD().

17 17 In Glechung (6) übernehmen de systematschen Faktoren hnschtlch der Steuerung der bedngten Ausfallwahrschenlchketen be CredtMetrcs de gleche Aufgabe we de Hntergrundvarablen be CredtRsk+ gemäß Glechung (3). In beden Modellen snd für gegebene Realsatonen der X de Ausfalleregnsse stochastsch unabhängg. k Unterschede ergeben sch nsofern also nur aufgrund abwechender Vertelungsannahmen (normalvertelte Asset-Rendten be CredtMetrcs und gammavertelte Hntergrundfaktoren be CredtRsk+) und dem jewels anderen formelmäßgen Zusammenhang. V. Dversfkaton 1. Besetgung unsystematscher Rsken durch Dversfkaton Unterstellt man de stochastsche Unabhänggket von Ausfalleregnssen, dann st n enem vollkommen homogenen Portfolo aus N Kredten mt jewels enhetlcher Ausfallwahrschenlchket p de exakte Vertelung der Ausfälle durch ene Bnomalvertelung gegeben, de für großes N durch ene Normalvertelung angenähert werden kann. Betrachtet man dagegen den Quotenten aus Anzahl der ausgefallenen Kredte und Gesamtzahl N der Kredte, dann geht de Standardabwechung σ = p(1 p)/n deser Ausfallquote für großes N gegen Null. De emprsche Ausfallquote konvergert deshalb stochastsch gegen de theoretsche Ausfallwahrschenlchket p. Deser Zusammenhang st als Gesetz der großen Zahlen bekannt, wonach be sehr velen Versuchen de zu beobachtende durchschnttlche Trefferhäufgket (her von Kredteregnssen) mmer wenger von der theoretschen Trefferwahrschenlchket abwechen wrd. Be ener ausrechend hohen Anzahl von Kredten wrd der Quotent aus ausgefallenen Kredten und Gesamtzahl der Kredte also mt fast 100%-ger Scherhet mt der jewelgen theoretschen Ausfallwahrschenlchket überenstmmen 25. Unsystematsche bzw. kredtnehmerspezfsche Rsken werden, wenn be gegebener Realsaton der bedngten Ausfallwahrschenlchket de Voraussetzung der stochastschen Unabhänggket der Ausfalleregnsse erfüllt st, n enem solchen unendlch großen Kre- 25 Berets Schmdt (1986) S.249ff. hat durch ene Anwendung der Theore der Portfolo-Selecton gezegt, dass be Unkorrelerthet aus velen enzelnen Ausfallrsken ene schere Gesamtposton entsteht.

18 18 dtportfolo vollständg durch Dversfkaton besetgt. Es verblebt also ledglch das systematsche Rsko. Für dese Egenschaft der perfekten Dversfkaton enes Kredtportfolos st m Rahmen der neuen Basler Egenkaptalverenbarung (Basel II) auch der Begrff unendlche Granulartät üblch geworden. Bestehen blebt also nur das Rsko, dass sch je nach Realsaton der systematschen Faktoren bzw. Hntergrundvarablen X ene höhere oder nedrgere bedngte Ausfallwahrschenlchket enstellt 26. Wesen zum Bespel alle Kredte dasselbe Volumen und k enen Loss Gven Default von jewels LGD = 100% auf, dann stmmen Ausfallquote und n Prozent des gesamten Kredtvolumens gemessene Ausfallverluste genau überen. In enem unendlch granularen Kredtportfolo snd dann durch de bedngte, sch für ene bestmmte Realsaton des systematschen Rskos enstellende Ausfallwahrschenlchket auch de prozentualen Ausfallverluste gegeben Verenfachter Ansatz Aus CredtMetrcs erhält man ene explzte Lösung für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust, wenn nur en enzger systematscher Faktor X betrachtet wrd. Das durch Glechung (4) gegebene Asset-Value-Correlaton-Modell verenfacht sch dann we folgt: r = ρ X + 1- ρ ε (7) Dabe snd X, ε weder jewels standardnormalvertelte Zufallsvarable, wobe de das kredtnehmerspezfsche Rsko abbldenden Varablen ε sowohl paarwese als auch vom systematschen Faktor X unabhängg vertelt snd. Das Modell st so formulert, 26 Vgl. dazu auch Fnger (1999). 27 Auch dann, wenn sch de Kredte hnschtlch Ausfallwahrschenlchket und Loss Gven Default unterscheden, kann en analoges Ergebns bewesen werden: Unter hnrechenden Granulartätsannahmen folgt dann aus dem Gesetz der großen Zahlen, dass der Quotent aus tatsächlchen Ausfallverlusten und gesamten Kredtvolumen fast scher mt dem entsprechenden erwarteten Verlust überenstmmt. Vgl. m enzelnen dazu Gordy (2001) S.6f.

19 19 dass auch de Asset-Rendten r standardnormalvertelt snd und sch für dese Rendten en enhetlcher Korrelatonskoeffzent ρ ergbt. Für deses verenfachte Asset-Value-Correlaton-Modell folgt für de bedngte, als Funkton des systematschen Faktors gegebene Ausfallwahrschenlchket unmttelbar als Spezalfall aus Glechung (6) 28 : -1 N (p) ρ X p = N( ) (8) 1- ρ Dabe st p wederum de m Durchschntt für verschedene Realsatonen des systematschen Faktors, also über mehrere Konjunkturzyklen hnweg, zu beobachtende Ausfallwahrschenlchket. We gezegt stmmt aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen n enem homogenen, unendlch granularen Kredtportfolo mt enem Loss Gven Default von jewels LGD = 100% der Quotent aus tatsächlchen Ausfallverlusten und gesamten Kredtvolumen mt der jewelgen bedngten Ausfallwahrschenlchket genau überen. Es muss daher mt hnrechender Scherhet gewährlestet sen, dass de bedngte Ausfallwahrschenlchket n Abhänggket vom systematschen Faktor ncht größer ausfällt als de durch Znsüberschuss und Egenkaptal gedeckte Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust, her ebenfalls ausgedrückt n Prozent des gesamten Kredtvolumens. De mathematsche Bedngung herfür lautet, wenn q de noch akzepterte Insolvenzwahrschenlchket der Bank st: Prob( p > EL + UL) = q (9) 28 Der Index entfällt, da her der Enfachhet halber für alle Kredtnehmer deselbe unbedngte Ausfallwahrschenlchket p unterstellt wrd. De folgenden Überlegungen lassen sch aber unmttelbar verallgemenern, wenn sch de Kredtnehmer hnschtlch der Ausfallwahrschenlchket unterscheden. Aus dem Gesetz der großen Zahlen folgt dann de Konvergenz der Ausfallrate m Kredtportfolo gegen de durchschnttlche Ausfallwahrschenlchket der Kredtnehmer, so dass man auch für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust enen entsprechenden Durchschnttswert erhalten würde.

20 20 Substtuert man de Formel (8) für de bedngte Ausfallwahrschenlchket p, dann erhält man nach engen Umformungen: -1-1 N (p) ρ N (q) EL + UL = N( ) (10) 1 ρ Für den Grenzfall enes unendlch granularen Portfolos gelngt es also, ene explzte Formel für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust anzugeben. De modellmäßg errechnete Kaptalanforderung st dabe nsbesondere von der unterstellten Korrelaton ρ der Asset-Rendten abhängg. Für ene Korrelaton von Null würde zum Bespel der Enfluss des systematschen Faktors vollkommen entfallen, während zuglech de unsystematschen Rsken durch Dversfkaton vollständg besetgt werden. In desem Fall würde mt Scherhet en Verlust n Höhe von p entstehen. Dagegen führen postve Korrelatonen zu entsprechend höheren Kaptalanforderungen. 3. Anwendung bem nternen Ratng Der Basler Ausschuss für Bankenaufscht hat m Januar 2001 sen zwetes Konsultatonspaper zur Neuregelung der Egenkaptalverenbarung von 1988 veröffentlcht und darn enen auf nternen Ratngs baserenden Ansatz (IRB-Ansatz) vorgestellt. Der IRB- Ansatz berechnet das aufschtsrechtlche Egenkaptal als Funkton der von der Bank ntern geschätzten Ausfallwahrschenlchket. Allerdngs wurden de desem Ansatz zugrunde legenden modelltheoretschen Überlegungen vom Basler Ausschuss ncht m enzelnen dokumentert. Setzt man nun allerdngs n de oben abgeletete Glechung (10) de vom Basler Ausschuss 29 für en Ncht-Banken Kredtportfolo unterstellten Parameter ρ = 0,2 und 1-q = 99,5% en, dann erhält man: EL + UL = N(1,118 N -1 (p) + 1,288) (11) 29 Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufscht (2001) S.36. De Spezfzerung der Parameter kann sch bs zur für Ende 2002 zu erwartenden endgültgen Fassung der neuen Egenkaptalverenbarung noch ändern.

21 21 Man erhält also genau de be der Berechnung der Rskogewchte m IRB-Ansatz zur Anwendung kommende Formel. Der Ausdruck wrd noch mt verschedenen Faktoren multplzert, de so kalbrert snd, dass sch be enem pauschal vorgegebenen 30 Loss Gven Default von LGD = 50% und ener Kredtlaufzet von 3 Jahren dann en Rskogewcht von 100% und somt en Egenkaptalerforderns von 8% ergbt, wenn de Ausfallwahrschenlchket auf 0,7% geschätzt wrd. Im Ergebns führt des zu ener höheren aufschtsrechtlchen Egenkaptalanforderung, als es ener Insolvenzwahrschenlchket von q = 0,5% entsprechen würde. Wegen der Anwendung solcher Multplkatonsfaktoren wrd letztlch ncht de absolute Höhe, sondern nur das relatve Verhältns der Egenkaptalunterlegung der enzelnen Kredte aus enem theoretschen Modell abgeletet 31. Des kann n Analoge zum Vorgehen bem Modellverfahren m Berech der Marktrsken gesehen werden, be dem der mt enem banknternen Modell berechnete Value at Rsk ebenfalls noch mt bestmmten von der Bankenaufscht vorgegebenen Zusatzfaktoren zu multplzeren st 32. Offenschtlch wurde der IRB-Ansatz n der Erwartung entwckelt, dass zu enem späteren Zetpunkt das Egenkaptalerforderns auch für Kredtrsken mt Hlfe enes bankegenen Modells bestmmt werden kann, so we es heute berets für de Marktrsken möglch st. Ene entsprechende Genehmgung der Aufschtsbehörde vorausgesetzt, könnte de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust dann statt durch Formel (11) mt Hlfe enes bankndvduellen Kredtrskomodells ermttelt werden. Implzt wrd durch de erwähnten Multplkatonsfaktoren auch abgedeckt, dass en reales Kredtportfolo ne unendlch granular sen kann und daher en zusätzlcher Kaptalpuffer zur Abdeckung der verblebenden, ncht vollständg wegdversfzerten unsystematschen Rsken erforderlch st. In der Realtät trfft das Gesetz der großen Zahlen mmer nur näherungswese zu, so dass de tatsächlche Ausfallquote regelmäßg ncht exakt mt der jewelgen bedngten Ausfallwahrschenlchket überenstmmen wrd Bem so genannten Advanced Approach werden dagegen auch für den Loss Gven Default, das Exposure at Default und de Laufzet bankegene Werte verwendet. 31 So auch Deutsche Bundesbank (2001) S.38 FN Das Modellverfahren für Marktrsken st m Grundsatz I über de Egenmttel der Insttute, 32ff. geregelt. Vgl. auch Rau-Bredow (2001). 33 Dabe unterlegen de Schwankungen der tatsächlchen Ausfallquote um de jewelge bedngte Ausfallwahrschenlchket n erster Näherung ener Normalvertelung, da dese sch aus sehr velen sto-

22 22 De pauschale Abdeckung deses zusätzlchen Rskos durch de Multplkatonsfaktoren soll nach Basel II noch durch ene ndvduelle Granulartätsanpassung ergänzt werden, de je nachdem, ob das Portfolo ene über- oder unterduchschnttlche Granulartät aufwest, postv oder negatv ausfallen kann. Be deser Granulartätsanpassung snd verschedene, her ncht m Enzelnen darzustellende Berechnungen durchzuführen. Angewendet wrd dabe en mathematsches Resultat von Gordy (2001), wonach das ncht wegdversfzerte unsystematsche Rsko umgekehrt proportonal zur effektven Anzahl der Kredte st. Mt effektv st dabe de Berückschtgung der möglcherwese unterschedlch hohen Kredtvolumna gement. De Höhe der aufschtsrechtlch geforderten Egenkaptalunterlegung st damt ncht nur von den ndvduellen Egenschaften enes enzelnen Kredtes, sondern auch von der Gesamtstruktur des Kredtportfolos der Bank und von den darn möglcherwese enthaltenen Klumpenrsken abhängg 34. VI. Zusammenfassung und Ausblck In desem Betrag wurden de von Seten der Praxs n den letzten Jahren für das Kredtportfolomanagement entwckelten Modelle betrachtet. Dazu wurde zunächst gezegt, dass sch en reduzertes Zwe-Zustands CredtMetrcs Modell so umformuleren lässt, dass man ebenso we be CredtRsk+ volatle, von bestmmten Hntergrundfaktoren abhängge Ausfallwahrschenlchketen erhält. Darüber hnaus stmmen n enem unendlch granularen Portfolo aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen tatsächlche Ausfallquote und bedngte Ausfallwahrschenlchket genau überen. Unsystematsche Rsken werden damt vollständg wegdversfzert, so dass nur noch der Enfluss des systematschen Rskos verblebt. Für CredtMetrcs kann dann ene explzte Formel für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust angegeben werden, de zukünftg auch bem auf nternen Ratngs baserenden Ansatz be der Berechnung des aufschtsrechtlchen Mndestkaptals zur Anwendung kommen soll. chastsch unabhänggen kredtnehmerspezfschen Rsken zusammensetzen und daher der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann. Vgl. auch Abschntt V Zur Problematk von Großkredten vgl. berets Stützel (1964) Textzffer Nur angedeutet se darüber hnaus an deser Stelle, dass de Vorschläge des Basler Ausschusses sch ausschleßlch auf das

23 23 Abschleßend seen enge Fragen angedeutet, de sch für de Forschung ergeben. Kredtportfolomodelle fördern zunächst das Bewusstsen, dass es be der Abwägung von Ertrag und Rsko ncht auf das Rsko n enem absoluten Snne ankommt, sondern auf de Korrelaton enes zusätzlch übernommenen Rskos mt den berets bestehenden Rsken. Ene her ncht näher betrachtete Fragestellung betrfft dann zum Bespel de Höhe des margnalen Egenkaptals, das aufgrund ener enzelnen Kredtvergabeentschedung zusätzlch vorgehalten werden muss. Damt unmttelbar verbunden stellen sch Fragen nach der optmalen Allokaton des knappen Bankegenkaptals auf de verschedenen Unternehmensbereche, nach der Verrechnung der entsprechenden Kaptalkosten und schleßlch nach der Ausgestaltung enes heran gekoppelten Entlohnungssystems. Lteraturverzechns Basler Ausschuss für Bankenaufscht (2001): The Internal-Ratngs Based Approach. Supportng Document to the New Basel Captal Accord. Download: CredtMetrcs (1997): Techncal Document. J.P. Morgan. Download: CredtRsk+ (1997): Techncal Document. Credt Susse Fnancal Products. Download: Crouhy, M.; Gala, D.; Mark, R. (2000): A Comparatve Analyss of Current Credt Rsk Models, n: Journal of Bankng and Fnance, Vol. 24, S Deutsche Bundesbank (2001): Monatsbercht Aprl. Düllmann, K.; Uhrg-Homburg, M.; Wndfuhr, M. (2000): Rsk Structure of Interest Rates: An Emprcal Analyss for Deutschemark-Denomnated Bonds, n: European Fnancal Management, Vol. 6, S Federal Reserve Board (1998): Credt Rsk Models at Major U.S. Bankng Insttutons: Current State of the Art and Implcatons for Assesments of Captal Adequacy. Workng Paper. Download: Fnger, C.C. (1999): Condtonal Approaches for CredtMetrcs Portfolo Dstrbutons, n: CredtMetrcs Montor, S Download: Fsz, M. (1980): Wahrschenlchketsrechnung und mathematsche Statstk, Berln. Anlagebuch der Bank bezehen und ncht auf de sch unter Enbezehung des Handelsbuches ergebende Gesamtrskoposton, vgl. dazu Kürsten (2001).

24 24 Gordy, M. B. (2001): A Rsk-Factor Model for Ratng-Based Captal Rules. Workng Paper. Download: mgordy.trpod.com Gordy, M. B. (2000): A Comparatve Anatomy of Credt Rsk Models, n: Journal of Bankng and Fnance, Vol. 24, S Greenwood, M., Yule, G.U. (1920): An Inqury nto the Nature of Frequency Dstrbutons representatve of Multple Happenngs wth Partcular Reference to the Occurence of Multple Attacks of Dsease or of Repeated Accdents, n: Journal of the Royal Statstcal Socety, Vol. 83, S Henke, V. (2001): Determnanten der Bontätsrskopräme be der Emsson nternatonaler DM-Anlehen, n: Zetchrft für Bankrecht und Bankwrtschaft, 13. Jg., S Kürsten, W. (2001): Marktrsko des Handelsbuches ener Modell-Unversalbank und adverse Regulerungseffekte des neuen Grundsatzes I, n: Stützel, W. (Hrsg.), Moderne Konzepte für Fnanzmärkte, Beschäftgung und Wrtschaftsverfassung, Tübngen, S Merton, R. (1974): On the Prcng of Corporate Debt: The Rsk Structure of Interest Rates, n: The Journal of Fnance, Vol. 29, S Rau-Bredow, H. (2001): Überwachung von Marktpresrsken durch Value at Rsk, n Wrtschaftswssenschaftlches Studum, 30. Jg., S Rolfes, B. (1999): Gesamtbanksteuerung, Stuttgart. Schmdt, H. (1986): Enzelkredt und Kredtportfeulle, n: B. Rudolph, J. Wlhelm (Hrsg.): Bankpoltk, fnanzelle Unternehmensführung und de Theore der Fnanzmärkte, Festschrft für H.-J. Krümmel, Berln, S Wlson, T. (1997): Portfolo Credt Rsk (I), (II), n: Rsk, Vol. 10, No. 9, S , No. 10, S Zhou, C. (2001): The Term Structure of Credt Spreads wth Jump Rsk, n: Journal of Bankng and Fnance, Vol. 25, S

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord 1 Kredtrskomodellerung und Rskogewchte m Neuen Baseler Accord erschenen n: Zetschrft für das gesamte Kredtwesen (ZfgK), 54. Jahrgang, 2001, S. 1004-1005. Prvatdozent Dr. Hans Rau-Bredow, Lehrstuhl für

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Statistik und Wahrscheinlichkeit Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse

Mehr

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02 1 BWL 4 Tutorum V vom 15.05.02 1.1 Der Tlgungsfaktor Der Tlgungsfaktor st der Kehrwert des Endwertfaktors (EWF). EW F (n; ) = (1 + )n 1 T F (n; ) = 1 BWL 4 TUTORIUM V VOM 15.05.02 (1 ) n 1 Mt dem Tlgungsfaktor(TF)

Mehr

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen 6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch

Mehr

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über

Mehr

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis . wp Wssenschatsorum, Wen,8. Aprl 04 Free Rdng n Jont Audts A Game-Theoretc Analyss Erch Pummerer (erch.pummerer@ubk.ac.at) Marcel Steller (marcel.steller@ubk.ac.at) Insttut ür Rechnungswesen, Steuerlehre

Mehr

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1 Fnanzwrtschaft Kaptel 3: Smultane Investtons- und Fnanzplanung Prof. Dr. Thorsten Poddg Lehrstuhl für Allgemene Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Fnanzwrtschaft Unverstät Bremen Hochschulrng 4 / WW-Gebäude

Mehr

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer: Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.

Mehr

Basel III Kontrahentenrisiken

Basel III Kontrahentenrisiken Basel III Kontrahentenrsken Chrstoph Hofmann De Fnanzkrse hat gezegt, dass das aus ncht börsengehandelten (OTC) Dervaten hervorgehende Kontrahentenrsko von entschedender Bedeutung für de Stabltät des Bankensystems

Mehr

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I) Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen

Mehr

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt - Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche

Mehr

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie) III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,

Mehr

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung: Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

Nomenklatur - Übersicht

Nomenklatur - Übersicht Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen

Mehr

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe Portfolothore (Markowtz) Separatonstheore (Tobn) Kaptaarkttheore (Sharpe Ene Enführung n das Werk von dre Nobelpresträgern zu ene Thea U3L-Vorlesung R.H. Schdt, 3.12.2015 Wozu braucht an Theoren oder Modelle?

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com. Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener

Mehr

VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE

VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE Karl Rudolf KOCH Knut RIESMEIER In: WELSCH, Walter (Hrsg.) [1983]: Deformatonsanalysen 83 Geometrsche Analyse und Interpretaton von Deformatonen

Mehr

Diplomprüfung für Kaufleute 2001/I

Diplomprüfung für Kaufleute 2001/I Dplomprüfung für Kaufleute 00/I Prüfungsfach: Unternehmensfnanzerung und Betrebswrtschaftslehre der Banken Thema : a) Warum st es trotz Rskoaverson der Markttelnehmer möglch, be der Bewertung von Optonen

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte ** Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,

Mehr

Hat die Wahl des Performancemaßes einen Einfluss auf die Beurteilung von Hedgefonds-Indizes?

Hat die Wahl des Performancemaßes einen Einfluss auf die Beurteilung von Hedgefonds-Indizes? Hat de Wahl des Performancemaßes enen Enfluss auf de Beurtelung von Hedgefonds-Indzes? Von Martn Elng, St. Gallen, und Frank Schuhmacher, Lepzg Ene zentrale Fragestellung n der wssenschaftlchen Ausenandersetzung

Mehr

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend

Mehr

Spiele und Codes. Rafael Mechtel

Spiele und Codes. Rafael Mechtel Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,

Mehr

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik)

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik) Kredtpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (nkl. Netzplantechnk) Themensteller: Unv.-Prof. Dr. St. Zelewsk m Haupttermn des Wntersemesters 010/11 Btte kreuzen Se das gewählte Thema an:

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Ein Vorschlag zur Modellierung von Summenexzedenten- Rückversicherungsverträgen in Internen Modellen

Ein Vorschlag zur Modellierung von Summenexzedenten- Rückversicherungsverträgen in Internen Modellen En Vorschlag zur Modellerung von Summenexzedenten- Rückverscherungsverträgen n Internen Modellen Dorothea Ders Preprnt Seres: 27-22 Fakultät für Mathematk und Wrtschaftswssenschaften UNIVERSITÄT ULM En

Mehr

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm): Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.

Mehr

Die IRB Formel. Zur Berechnung der Mindesteigenmittel für Kreditrisiko. Working Paper Series by the University of Applied Sciences of bfi Vienna

Die IRB Formel. Zur Berechnung der Mindesteigenmittel für Kreditrisiko. Working Paper Series by the University of Applied Sciences of bfi Vienna Number 1 / 004 Workng Paper Seres by the Unversty of Appled Scences of bf Venna De IRB Formel Zur Berechnung der Mndestegenmttel für Kredtrsko Laut Drttem Konsultatonspaper und laut Jänner-Formel des Baseler

Mehr

5. Transmissionsmechanismen der Geldpolitik

5. Transmissionsmechanismen der Geldpolitik Geldtheore und Geldpoltk Grundzüge der Geldtheore und Geldpoltk Sommersemester 2013 5. Transmssonsmechansmen der Geldpoltk Prof. Dr. Jochen Mchaels Geldtheore und Geldpoltk SS 2013 5. Transmssonsmechansmen

Mehr

HAT DIE WAHL DES PERFORMANCEMAßES EINEN EINFLUSS

HAT DIE WAHL DES PERFORMANCEMAßES EINEN EINFLUSS HAT DIE WAHL DES PERFORMANCEMAßES EINEN EINFLUSS AUF DIE BEURTEILUNG VON HEDGEFONDS-INDIZES? MARTIN ELING FRANK SCHUHMACHER WORKING PAPERS ON RISK MANAGEMENT AND INSURANCE NO. 10 EDITED BY HATO SCHMEISER

Mehr

5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE

5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE 5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE wenn an ener Beobachtungsenhet zwe (oder mehr) metrsche Varablen erhoben wurden wesentlche Problemstellungen: Frage nach Zusammenhang: Bsp.: Duxbury Press (sehe

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz): LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete

Mehr

Working Paper Modellierung des Kreditrisikos im Portfoliofall. Working paper series // Frankfurt School of Finance & Management, No.

Working Paper Modellierung des Kreditrisikos im Portfoliofall. Working paper series // Frankfurt School of Finance & Management, No. econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publkatonsserver der ZBW Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft The Open Access Publcaton Server of the ZBW Lebnz Informaton Centre for Economcs Cremers, Henz; Walzner,

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

Nernstscher Verteilungssatz

Nernstscher Verteilungssatz Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.

Mehr

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale 3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche

Mehr

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07 Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage

Mehr

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden. Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve

Mehr

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl 0. STRÖMUNG INKOMPRESSIBLER FLUIDE IN ROHRLEITUNGEN Enführung Vorlesung Strömungslehre Prof. Dr.-Ing. Chrstan Olver Pascheret C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs olver.pascheret@tu-berln.de

Mehr

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte jean-claude.feltes@educaton.lu 1 Boost-Schaltwandler für Bltzgeräte In Bltzgeräten wrd en Schaltwandler benutzt um den Bltzkondensator auf ene Spannung von engen 100V zu laden. Oft werden dazu Sperrwandler

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik

Einführung in die Finanzmathematik 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg

Mehr

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny eseproben aus dem Buch "n mt en zur Elektrotechnk" Franzs Verlag, 85586 Pong ISBN 978--77-4046-8 Autor des Buches: eonhard Stny Autor deser eseprobe: eonhard Stny 005/08, alle echte vorbehalten. De Formaterung

Mehr

Standardnormalverteilung / z-transformation

Standardnormalverteilung / z-transformation Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ

Mehr

Article Auswirkungen von Basel II auf die Leasing-Branche

Article Auswirkungen von Basel II auf die Leasing-Branche econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publkatonsserver der ZBW Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft The Open Access Publcaton Server of the ZBW Lebnz Informaton Centre for Economcs Hartmann-Wendels, Thomas

Mehr

6 Wandtafeln. 6.3 Berechnung der Kräfte und des Schubflusses auf Wandtafeln. 6.3.1 Allgemeines

6 Wandtafeln. 6.3 Berechnung der Kräfte und des Schubflusses auf Wandtafeln. 6.3.1 Allgemeines 6 Wandtafeln 6.3 Berechnung der Kräfte und des Schubflusses auf Wandtafeln 6.3.1 Allgemenes Be der Berechnung der auf de enzelnen Wandtafeln entfallenden Horzontalkräfte wrd ene starre Deckenschebe angenommen.

Mehr

Quantitatives Prognosemodell für die Anwendung des Black-Litterman-Verfahrens

Quantitatives Prognosemodell für die Anwendung des Black-Litterman-Verfahrens Quanttatves Prognosemodell für de Anwendung des Black-Ltterman-Verfahrens Franzska Felke* und Marc Gürtler** Abstract: De chätzung erwarteter Wertpaperrendten stellt ene der zentralen Aufgaben n der praktschen

Mehr

Credit Analyzer RISK CONSULTING GROUP. Technische Dokumentation. Methode und Implementierung des Kreditrisiko-Modells. Release 5.0. www.rcg.

Credit Analyzer RISK CONSULTING GROUP. Technische Dokumentation. Methode und Implementierung des Kreditrisiko-Modells. Release 5.0. www.rcg. Credt Analyzer Release 5.0 Technsche Dokumentaton Methode und Implementerung des Kredtrsko-Modells RISK CONSTING GROU www.rcg.ch Release 1.0: 08/1999 Release.0: 10/001 Release 3.0: 01/005 Release 4.0:

Mehr

Serie: Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten - Teil 4

Serie: Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten - Teil 4 45 www.rsknews.de 11.2002 Kredtrsko Sere: Bestmmung von Ausfallwahrschenlchketen - Tel 4 Ausfallwahrschenlchketen m Konjunkturzyklus Credt Portfolo Vew En Betrag von Uwe Wehrspohn Wr haben n unserer Sere

Mehr

AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE

AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE Aufgabe Wr betrachten das folgende Zufallsexperment: Ene fare Münze wrd so lange geworfen, bs erstmals Kopf erschent. De Zufallsvarable X bezechne de Anzahl der dazu notwendgen

Mehr

Grundzüge der Geldtheorie und Geldpolitik

Grundzüge der Geldtheorie und Geldpolitik Grundzüge der Geldtheore und Geldpoltk Sommersemester 2012 8. Monetäre Transaktonskanäle Prof. Dr. Jochen Mchaels SoSe 2012 Geldtheore & -poltk 8. De Übertragung monetärer Impulse auf de Gesamtwrtschaft

Mehr

2. Spiele in Normalform (strategischer Form)

2. Spiele in Normalform (strategischer Form) 2. Spele n Normalform (strategscher Form) 2.1 Domnante Strategen 2.2 Domnerte Strategen 2.3 Sukzessve Elmnerung domnerter Strategen 2.4 Nash-Glechgewcht 2.5 Gemschte Strategen und Nash-Glechgewcht 2.6

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

Konditionenblatt. Erste Group Bank AG. Daueremission Erste Group Reale Werte Express II. (Serie 211) (die "Schuldverschreibungen") unter dem

Konditionenblatt. Erste Group Bank AG. Daueremission Erste Group Reale Werte Express II. (Serie 211) (die Schuldverschreibungen) unter dem Kondtonenblatt Erste Group Bank AG 24.04.2012 Daueremsson Erste Group Reale Werte Express II (Sere 211) (de "Schuldverschrebungen") unter dem Programm zur Begebung von Schuldverschrebungen an Prvatkunden

Mehr

H I HEIZUNG I 1 GRUNDLAGEN 1.1 ANFORDERUNGEN. 1 GRUNDLAGEN 1.1 Anforderungen H 5

H I HEIZUNG I 1 GRUNDLAGEN 1.1 ANFORDERUNGEN. 1 GRUNDLAGEN 1.1 Anforderungen H 5 1 GRUNDLAGEN 1.1 Anforderungen 1.1.1 Raumklma und Behaglchket Snn der Wärmeversorgung von Gebäuden st es, de Raumtemperatur n der kälteren Jahreszet, das snd n unseren Breten etwa 250 bs 0 Tage m Jahr,

Mehr

Operations Research II (Netzplantechnik und Projektmanagement)

Operations Research II (Netzplantechnik und Projektmanagement) Operatons Research II (Netzplantechnk und Projektmanagement). Aprl Frank Köller,, Hans-Jörg von Mettenhem & Mchael H. Bretner.. # // ::: Gute Vorlesung:-) Danke! Feedback.. # Netzplantechnk: Überblck Wchtges

Mehr

Modellierung des Kreditrisikos im Portfoliofall

Modellierung des Kreditrisikos im Portfoliofall Frankfurt School Workng Paper Seres No. 27 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall von Henz Cremers und Jens Walzner August 2009 Sonnemannstr. 9 6034 Frankfurt an Man, Germany Phone: +49 (0) 69 54 008

Mehr

Nutzergleichgewicht oder Systemoptimum - Die systemoptimale Verkehrsumlegung in makroskopischen Verkehrsnetzen

Nutzergleichgewicht oder Systemoptimum - Die systemoptimale Verkehrsumlegung in makroskopischen Verkehrsnetzen Nutzerglechgewcht oder Systemoptmum - De systemoptmale Verkehrsumlegung n makroskopschen Verkehrsnetzen Vortrag zu den. Verkehrswssenschaftlchen Tagen M. Boden a, M. Treber a a TU Dresden, Insttut für

Mehr

Risikomanagement. Vortrag in der Seminarreihe Statistische Mechanik der Finanzmärkte im WS 07/08. Simon Hertenberger

Risikomanagement. Vortrag in der Seminarreihe Statistische Mechanik der Finanzmärkte im WS 07/08. Simon Hertenberger Rskomanagement Vortrag n der Semnarrehe Statstsche Mechank der Fnanzmärkte m WS 07/08 Smon Hertenberger Inhaltsverzechns Grundlagen Was st Rsko? 3 Gründe des Rskomanagements 3 Rskomanagement als Prozess

Mehr

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder - Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole

Mehr

F A C H H O C H S C H U L E W E D E L. Seminararbeit Informatik

F A C H H O C H S C H U L E W E D E L. Seminararbeit Informatik F A C H H O C H S C H U L E W E D E L Semnararbet Informatk n der Fachrchtung Wrtschaftsnformatk Themenberech Künstlche Intellgenz Thema Nr. 3 Dskrmnanzanalyse Engerecht von: Erarbetet m: Patrck Wolf Wedeler

Mehr

Fähigkeitsuntersuchungen beim Lotpastendruck

Fähigkeitsuntersuchungen beim Lotpastendruck Fakultät Elektrotechnk und Informatonstechnk Insttut für Aufbau- und Verbndungstechnk der Elektronk Fähgketsuntersuchungen bem Lotpastendruck Dr.-Ing. H. Wohlrabe Ottobrunn, 2. Februar 2009 Qualtätsmerkmale

Mehr

Entscheidungsprobleme der Marktforschung (1)

Entscheidungsprobleme der Marktforschung (1) Prof. Dr. Danel Baer. Enführung 2. Informatonsbedarf 3. Datengewnnung 2. Informatonsbedarf Entschedungsprobleme der () Informatonsbedarf Art Qualtät Menge Informatonsbeschaffung Methodk Umfang Häufgket

Mehr

Steuerungsverfahren und ihre Datenstrukturen 09 - Netzplantechnik

Steuerungsverfahren und ihre Datenstrukturen 09 - Netzplantechnik und hre Datenstrukturen 9-9....2 9. Zetplanung...2 9.. CPM... 3 9..2 PERT... 9..3 MPM... 5 9..4 Verglech zwschen CPM und MPM... 22 9.2 Ausblck: Kosten- und Kapaztätsplanung...23 9.3 Entschedungsnetzpläne...24

Mehr

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i Itemanalyse und Itemkennwerte De Methoden der Analyse der Itemegenschaften st ncht m engeren Snne Bestandtel der Klassschen Testtheore Im Rahmen ener auf der KTT baserenden Testkonstrukton und -revson

Mehr

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage Fnanzmärkte H 2006 Tr V Dang Unverstät Mannhem. Das Prnzp von No Arbtrage..A..B..C..D..E..F..G..H Das Framework Bespele Das Fundamental Theorem of Fnance Interpretaton des Theorems und Zustandsprese No

Mehr

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT Smulaton von Hybrdfahrzeugantreben mt optmerter Synchronmaschne 1 SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT OPTIMIERTER SYNCHRONMASCHINE H. Wöhl-Bruhn 1 EINLEITUNG Ene Velzahl von Untersuchungen hat sch

Mehr

Fallstudie 4 Qualitätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung

Fallstudie 4 Qualitätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung Fallstude 4 Qualtätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung Abgabe: Lösen Se de Aufgabe 1 aus Abschntt I und ene der beden Aufgaben aus Abschntt II! Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 31.10.2012

Mehr

Temporäre Stilllegungsentscheidungen mittels stufenweiser E W U F W O R K I N G P A P E R

Temporäre Stilllegungsentscheidungen mittels stufenweiser E W U F W O R K I N G P A P E R Temporäre Stlllegungsentschedungen mttels stufenweser Grenzkostenrechnung E W U F W O R K I N G P A P E R Mag. Dr. Thomas Wala, FH des bf Wen PD Dr. Leonhard Knoll, Unverstät Würzburg Mag. Dr. Stephane

Mehr

Gruppe. Lineare Block-Codes

Gruppe. Lineare Block-Codes Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung

Mehr

Leitfaden zum. Micro Bond IndeX_InvestmentGrade (MiBoX_IG)

Leitfaden zum. Micro Bond IndeX_InvestmentGrade (MiBoX_IG) Letfaden zum Mcro Bond IndeX_InvestmentGrade (MBoX_IG) Verson 1.0 vom 25. September 2012 1 Inhalt Enführung 1 Parameter des Index 1.1 Kürzel und ISIN 1.2 Startwert 1.3 Vertelung 1.4 Prese und Berechnungsfrequenz

Mehr

WORKING PAPERS. Der IRB-Ansatz im Rahmen von Basel II. bfw07v1/01. von Marc Gürtler. Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft

WORKING PAPERS. Der IRB-Ansatz im Rahmen von Basel II. bfw07v1/01. von Marc Gürtler. Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft WORKING PAPERS Arbetspapere der Betreblchen Fnanzwrtschaft Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Betreblche Fnanzwrtschaft bfw07v/0 Der IRB-Ansatz m Rahmen von Basel II von Marc Gürtler Frst Draft:

Mehr

Innovative Handelssysteme für Finanzmärkte und das Computational Grid

Innovative Handelssysteme für Finanzmärkte und das Computational Grid Innovatve Handelssysteme für Fnanzmärkte und das Computatonal Grd von Dpl.-Kfm. Mchael Grunenberg Dr. Danel Vet & Dpl.-Inform.Wrt. Börn Schnzler Prof. Dr. Chrstof Wenhardt Lehrstuhl für Informatonsbetrebswrtschaftslehre,

Mehr

Hypothekenversicherung oder Bankhypothek?

Hypothekenversicherung oder Bankhypothek? Unverstät Augsburg Prof Dr Hans Ulrch Buhl Kernkompetenzzentrum Fnanz- & Informatonsmanagement Lehrstuhl für BWL, Wrtschaftsnformatk, Informatons- & Fnanzmanagement Dskussonspaper WI-44 Hypothekenverscherung

Mehr

Ertragsmanagementmodelle in serviceorientierten IT- Landschaften

Ertragsmanagementmodelle in serviceorientierten IT- Landschaften Ertragsmanagementmodelle n servceorenterten IT- Landschaften Thomas Setzer, Martn Bchler Lehrstuhl für Internetbaserte Geschäftssysteme (IBIS) Fakultät für Informatk, TU München Boltzmannstr. 3 85748 Garchng

Mehr

Die risikoadäquate Kalkulation der Fremdkapitalkosten für nicht öffentlich gehandelte Unternehmen

Die risikoadäquate Kalkulation der Fremdkapitalkosten für nicht öffentlich gehandelte Unternehmen De rskoadäquate Kalkulaton der Fremdkaptalkosten für ncht öffentlch gehandelte Unternehmen Patrck Behr * Schwerpunkt Fnanzen, Unverstät Frankfurt André Güttler ** Schwerpunkt Fnanzen, Unverstät Frankfurt

Mehr

Quantitatives IT-Portfoliomanagement: Risiken von IT-Investitionen wertorientiert steuern

Quantitatives IT-Portfoliomanagement: Risiken von IT-Investitionen wertorientiert steuern Unverstät Augsburg Prof. Dr. Hans Ulrch Buhl Kernkompetenzzentrum Fnanz- & Informatonsmanagement Lehrstuhl für BWL, Wrtschaftsnformatk, Informatons- & Fnanzmanagement Dskussonspaper WI-167 Quanttatves

Mehr

Eva Hoppe Stand: 2000

Eva Hoppe Stand: 2000 CHECKLISTE ARBEITSSCHUTZ A. Rechtsgrundlagen der Arbetgeberpflchten Ist der Arbetgeber/de Behördenletung mt der Rechtssystematk und dem modernen Verständns des Arbetsschutzes vertraut? Duale Rechtssystematk

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert

Mehr

Planung und Budgetierung bedeutet ein

Planung und Budgetierung bedeutet ein nternehmersche Entschedungen snd stets zukunftsbezogen und mt Unscherheten verbunden, da nemand de Zukunft punktgenau vorhersagen kann. Es lassen sch ledglch Bandbreten der zu erwartenden Entwcklung angeben,

Mehr

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften Bassmodul Makroökonomk /W 2010 Grundlagen der makroökonomschen Analyse klener offener Volkswrtschaften Terms of Trade und Wechselkurs Es se en sogenannter Fall des klenen Landes zu betrachten; d.h., de

Mehr

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II Onlne Algorthmen k-server randomsert Tel II Ausarbetung für das Semnar Onlne Algorthmen Prof. Dr. Ro. Klen Anette Ebbers-Baumann Ansgar Grüne Insttut für Informatk Theorethsche Informatk und formale Methoden

Mehr

ZUSATZBEITRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN

ZUSATZBEITRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN ZUSAZBEIRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN DER GESEZLICHEN KRANKENVERSICHERUNG: ANREIZEFFEKE UND PROJEKION BIS 2030 Martn Gasche 205-2010 Zusatzbetrag und sozaler Ausglech n der Gesetzlchen Krankenverscherung:

Mehr

1 - Prüfungsvorbereitungsseminar

1 - Prüfungsvorbereitungsseminar 1 - Prüfungsvorberetungssemnar Kaptel 1 Grundlagen der Buchführung Inventur Inventar Blanz Inventur st de Tätgket des mengenmäßgen Erfassens und Bewertens aller Vermögenstele und Schulden zu enem bestmmten

Mehr

ISO 717 Neues Beurteilungssystem für die Schalldämmung in Gebäuden

ISO 717 Neues Beurteilungssystem für die Schalldämmung in Gebäuden 4. HolzBauSpezal Akustk & Brandschutz 2013 ISO 717 Neues Beurtelungssystem für de Schalldämmung n Gebäuden W. Scholl 1 ISO 717 Neues Beurtelungssystem für de Schalldämmung n Gebäuden Werner Scholl Wedtlenstedt

Mehr

Datenträger löschen und einrichten

Datenträger löschen und einrichten Datenträger löschen und enrchten De Zentrale zum Enrchten, Löschen und Parttoneren von Festplatten st das Festplatten-Denstprogramm. Es beherrscht nun auch das Verklenern von Parttonen, ohne dass dabe

Mehr

Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression

Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht 9 9 5 8 3 4 7.5 4 3 6 5 3 6 4 3.5 7 35 5

Mehr

Bewertung von Zinsswaps mittels Mehrkurvenbootstrapping

Bewertung von Zinsswaps mittels Mehrkurvenbootstrapping Bewertung von Znsswaps mttels Mehrkurvenbootstrappng OIS-Marktstandard gewnnt m Rahmen des EMIR-Portfoloabglechs an Bedeutung 1. Enletung De Bewertungsmethodk von Znsswaps hat sch gewandelt. Bs vor der

Mehr

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar. . Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen

Mehr

Netzsicherheit I, WS 2008/2009 Übung 3. Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008

Netzsicherheit I, WS 2008/2009 Übung 3. Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008 Netzscherhet I, WS 2008/2009 Übung Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008 1 Das GSM Protokoll ufgabe 1 In der Vorlesung haben Se gelernt, we sch de Moble Staton (MS) gegenüber dem Home Envroment (HE) mt Hlfe

Mehr

EAU SWH l$,0, wohngebäude

EAU SWH l$,0, wohngebäude EAU SWH l$,0, wohngebäude gemäß den $$ 6 ff, Energeensparverordnung (EnEV) :,:: Gültsbs: 09208 Gebäude Gebäudetyp Altbau Mehrfamlenhaus Adresse Hardstraße 3 33, 40629 Düsseldorf Gebäudetel Baujahr Gebäude

Mehr

Leitfaden zum. GBC Mittelstandsanleihen Index (GBC MAX)

Leitfaden zum. GBC Mittelstandsanleihen Index (GBC MAX) Letfaden zum GBC Mttelstandsanlehen Index (GBC MAX) Verson 2.0 vom 04. Februar 2014 1 Inhalt Enführung 1 Parameter des Index 1.1 Kürzel und ISIN 1.2 Startwert 1.3 Vertelung 1.4 Prese und Berechnungsfrequenz

Mehr

ZUSATZBEITRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN

ZUSATZBEITRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN ZUSAZBEIRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN DER GESEZLICHEN KRANKENVERSICHERUNG: ANREIZEFFEKE UND PROJEKION BIS 2030 Martn Gasche 205-2010 Zusatzbetrag und sozaler Ausglech n der Gesetzlchen Krankenverscherung:

Mehr