Lineare Algebra - alles was man wissen muß

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1 Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger sollte man nicht wissen. Zur Weiterführung und Vertiefung eignet sich besonders das Buch von Jänich [J], daran ist auch dieses kurze Skript orientiert. In der Vorlesung kommen Vektoren als Punkte z. B. im R vor und Matrizen als Zahlenschemata, in denen die Daten abgelegt sind. Hinter beiden Begriffen verbirgt sich aber weit mehr mathematische Struktur. Reelle Vektorräume Das Musterbeispiel ist der R n. Er besteht aus n-tupeln reeller Zahlen, auf denen eine Addition und eine skalare Multiplikation elementweise definiert ist: Sind (x,..., x n und (y,..., y n n-tupel reeller Zahlen und λ R, dann definieren wir (x,..., x n + (y,..., y n := (x + y,..., x n + y n R n λ (x,..., x n := (λx,..., λx n R n Das Ergebnis liegt also wieder im R n. Man sagt: Der R n ist abgeschlossen gegenüber Addition und skalarer Multiplikation. Frage: Warum betont man, daß es eine skalare Multiplikation ist? Warum heißt es nicht einfach Multiplikation (ohne Zusatz? Ohne Probleme lassen sich die Rechenregeln, die wir für reelle Zahlen kennen auf die n-tupel im R n erweitern. Für die Addition gilt:. Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R n gilt (x + y + z = x + (y + z.. Kommutativgesetz. Für alle x, y R n gilt x + y = y + x. 3. Existenz des Nullelements. Schreiben wir kurz statt (,..., R n, so gilt x + = x für alle x R. 4. Existenz des Inversen. Schreiben wir (x,..., x n für ( x,..., x n, so gilt x + ( x = für alle x R n. Und für die (skalare Multiplikation: 5. Assoziativgesetz. Für alle λ, µ R und x R n gilt λ(µx = (λµx. 6. Existenz des Einselements. Für alle x R n gilt x = x. 7. Distributivgesetz I. Für alle λ R und x, y R n gilt λ(x + y = λx + λy. 8. Distributivgesetz II. Für alle λ, µ R und x R n gilt (λ + µx = λx + µx.

2 Wie gesagt: Der R n ist nur ein Beispiel für den allgemeinen Begriff des Vektorraums. Mit dieser Sammlung von Eigenschaften haben wir aber schon alles zusammen, was einen Vektorraum definiert. Definition [Vektorraum] Ein Tripel (V, +, bestehend aus einer Menge V, einer Abbildung (genannt Addition + : V V V, (x, y x + y und einer Abbildung (gennannt skalare Multiplikation : R V V, (λ, x λx heißt ein reeller Vektorraum, wenn für die Abbildungen + und die obigen acht Axiome erfüllt sind (natürlich mit V anstelle von R n. Weitere Beispiele für Vektorräume sind Polynome vom Grad n 3 oder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten (kurz m n Matrizen. Um zu zeigen, daß die m n Matrizen einen Vektorraum R m n bilden, müssen wir auf ihnen eine Addition und Multiplikation definieren und die acht Axiome nachrechnen. Eine m n Matrix über R ist eine Anordnung von m n Elementen aus R nach folgendem Schema a a n.. a m a mn Addition und skalare Multiplikation werden jetzt wie auf Vektoren elementweise definiert, also: a a n b b n a + b a n + b n :=.. a m a mn b m b mn a m + b m a mn + b mn λ a a n.. a m a mn := λa λa n.. λa m λa mn Die acht Axiome rechnen sich jetzt fast wie von selbst. ( selber mal machen! Der Vollständigkeit wegen: Was ist eigentlich die transponierte Matrix? Ist A = (a ij R m n, so heißt die durch a t ij := a ji definierte Matrix A t = (a t ij R n m die transponierte Matrix von A. Man kann sich die Transposition auch als Spiegelung an der Hauptdiagonalen vorstellen, da jedes Matrixelement a ij von seinem Platz (i, j auf den Spiegelplatz (j, i versetzt wird. Die Dimension eines Vektorraums Was ist die Dimension eines Vektorraums? Im R, R und R 3 mag das anschaulich noch klar sein, aber wie sieht es bei Matrizen oder Polynomen aus? Wir entwickeln den Dimensionsbegriff am Beispiel des R n, der Transfer zu Matrizen und Polynomen ist dann leicht. Wir brauchen

3 zuerst den Begriff der Basis eines Vektorraumes. Jedes x = (x,..., x n t R n läßt sich in der folgenden Form schreiben: x x x =. = x. + x. + + x n.. x n Die Vektoren auf der rechten Seite sind die sogenannten Einheitsvektoren. Wir nennen sie kurz (e,..., e n. Die Gleichung besagt, daß sich jeder Vektor x R n als Linearkombination aus den Einheitsvektoren schreiben läßt. Man sagt: Die Einheitsvektoren spannen den R n auf. Die Menge aller möglichen Linearkombinationen von Vektoren (v,..., v n nennt man span(v,..., v n. Hier also: span(e,..., e n = R n. Außerdem sind die Vektoren (e,..., e n linear unabhängig, d. h. eine Linearkombination von (e,..., e n kann nur dann Null sein, wenn alle Koeffizienten verschwinden, und das heißt: aus λ e + + λ n e n = folgt stets λ = = λ n =. (Analog definiert man lineare Unabhängigkeit für beliebige Vektoren (v,..., v r. Diese beiden Eigenschaften machen eine Basis aus: Definition [Basis] Sei V ein Vektorraum über R. Ein n-tupel (v,..., v n von Vektoren in V heißt Basis von V, wenn es linear unabhängig ist und span(v,..., v n = V erfüllt. Je zwei Basen ein und desselben Vektorraums sind gleich lang. Das ermöglicht die folgende Definition: Definition [Dimension] Besitzt der Vektorraum V eine Basis (v,..., v n, so heißt die Anzahl der Basisvektoren n die Dimension von V, abgekürzt dimv. Aufgaben: Ist (e,..., e n die einzige Basis des R n? Natürlich nicht! Geben Sie weitere Beispiele an. Wie sieht eine Basis (. des Vektorraums der Matrizen und (. des Vektorraums der Polynome vom Grad n 3 aus? Welche Dimensionen haben diese Räume? Welche der folgenden Mengen von Vektoren sind linear unabhängig? ( 3 ( 7, (, 5,,, 3 Multiplikation von Vektoren und Matrizen Bis jetzt haben wir Vektoren und Matrizen nur mit reellen Zahlen multipliziert. Für die Definition des Begriffes Vektorraum brauchten wir nicht mehr. Jetzt aber: Wie multipliziert man Vektoren miteinander? Wie Matrizen? Und wie Vektoren mit Matrizen?

4 3. Vektor mal Vektor Für zwei Vektoren x, y R n nennt man die Zahl x, y := x y + + x n y n = n x i y i das Standard-Skalarprodukt von x und y. Ist in einem Vektorraum ein Skalarprodukt erklärt, dann nennt man diesen Vektorraum euklidisch. In einem euklidischen Vektorraum heißt x := x, x der Betrag, die Länge oder die Norm von x und α(x, y := arccos i= x, y x y, für x und y, der Winkel zwischen x und y. Ist x, y =, dann nennt man x und y orthogonal: x, y = x y. Aufgaben: Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren x und y: ( ( 5 (. x = y = (. x = y = 3 3. Matrix mal Vektor Für x = (x,..., x n R n und A R m n wird A x R m durch ( n n n A x = a i x i, a i x i,..., a mi x i, i= definiert. Das läßt sich übersichtlicher auch so schreiben: x a a n a x + + a n x n... a m a. =. mn a m x + + a mn x n x n i= Eine m n Matrix definiert also eine Abbildung vom R n in den R m. Sogar eine besondere Art von Abbildung, sie ist nämlich linear. Das bedeutet: Für alle x, y R n und λ R gilt A(x + y = Ax + Ay, A (λx = λ Ax. i= Aufgabe: Berechnen Sie: =???

5 3.3 Matrix mal Matrix Sei B = (b ik R r m und A = (a kj R m n. Dann ist das Produkt BA R r n definiert durch m (B A ij = b ik a kj Merkregel für die Dimensionen der Matrizen: r m mal m n gibt r n. Die Transponierte eines Matrizenprodukts ist das Produkt der Transponierten in umgekehrter Reihenfolge: Es gilt (BA t = A t B t, denn für C := BA ist c ij = k b ika kj, also c t ij = c ji = bjk a ki = a t ik bt kj. Das Matrixprodukt entspricht dem Hintereinanderausführen (Zusammensetzen der zugehörigen linearen Abbildungen: (BAx = B(Ax. k= R n A R m B BA R n Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: (ABC = A(BC und bezüglich der Addition distributiv: A(B + C = AB + AC und (A + BC = AC + BC. ABER sie ist nicht kommutativ und nicht nullteilerfrei, d. h. (. es gibt (quadratische Matrizen A, B mit AB BA; und (. es gibt Matrizen A und B mit AB =. Beispiel (und Beweis für (. und (.: Wählen wir etwa A = haben wir gleich ein Beispiel für beide Phänomene: ( ( AB = = ( ( =, und B = ( und BA = ( ( = ( AB. Frage: Warum ist hier ein Beispiel auch schon gleich ein Beweis? Aufgaben:. Für welche der folgenden 3 3 Matrizen A gilt: AB = BA = B für alle B R 3 3? A = A = A =. Welches der folgenden Produkte von Matrizen ist Null? ( ( ( ( ( ( 3 3

6 4 Die Inverse einer Matrix Sei E die Einheitsmatrix: E =... Eine Matrix A R n n heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B R n n gibt, so daß AB = E gilt. Wie rechnet man die Inverse praktisch aus? Dazu braucht man sogenannte elementare Zeilenumformungen. Davon gibt es drei Typen:. Vertauschung zweier Zeilen.. Multiplikation einer Zeile mit λ. 3. Addition eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen (nicht derselben! Zeile. Rezept zur Invertierung einer Matrix A.. Schreibe A und E nebeneinander: ( A E.. Überführe A durch wiederholtes Anwenden elementarer Umformungen in die Einheitsmatrix. 3. Wende dieselben Umformungen gleichzeitig auf E an. 4. Wenn links aus A die Einheitsmatrix geworden ist, dann steht rechts die Matrix A. Die Behauptung in Punkt 4. läßt sich natürlich einfach dadurch überprüfen, daß man die rechte Matrix mit A multipliziert. Lassen sich alle Matrizen mit diesem Rezept invertieren? Nein! Zum einen müssen die Matrizen quadratisch sein, zum anderen brauchen sie vollen Rang. Ein einfaches Kriterium für Invertierbarkeit bietet die Determinante einer Matrix: A ist invertierbar, wenn det(a nicht Null ist. Wie man diese Determinante ausrechnet, steht im nächsten Abschnitt. Aufgaben: Invertieren Sie die folgenden Matrizen: A = (5 A = ( 3 5 A 3 = 3 A 4 = 5 Die Determinante Wir wollen nur die Determinanten von und 3 3 Matrizen behandeln. Hier kommen wir noch mit Kopfrechnen weiter, bei größeren Matrizen wird das i. A. mühsam. (In den Aufgaben findet sich allerdings auch ein einfaches Beispiel einer 4 4 Matrix.

7 ( a b det c d = ad bc Für eine 3 3 Matrix A kann man z. B. nach der ersten Spalte entwickeln: a a a 3 ( ( ( det a a a 3 a a = a det 3 a a a a a 3 a 3 a 3 a det 3 a a +a 33 a 3 a 3 det 3 33 a a 3 33 Wenn wir nach dem Element a ij entwickeln, müssen wir noch die Determinante der Untermatrix berechnen, die sich nach Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte in A ergibt. Die Vorzeichen + und verteilen sich abwechselnd. Diese Technik läßt sich auch auf größere Matrizen verallgemeinern. Im Fall der 3 3 Matrizen entspricht das Ergebnis der Jägerzaunregel : a a a 3 det a a a 3 = a a a 33 +a a 3 a 3 +a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 a 3 a a 3 a 3 a 3 a 33 Aufgaben:. Stimmt die Aussage: det(a + B = det A + det B für beliebige quadratische Matrizen A und B?. Berechnen Sie die Determinante der Matrizen 3 A = B = Für welche λ R ist die folgende reelle Matrix invertierbar? A λ = λ λ λ λ Literatur [J] [A] [F] Klaus Jänich, Lineare Algebra, Springer Wunderbares Buch zum Einstieg. Der Autor spart nicht mit Erklärungen, Aufmunterungen und Tipps. Howard Anton, Lineare Algebra: Einführung, Grundlagen, Übungen, Spektrum Verlag 995. Ein Rechen- und Übungsbuch. Dicker Wälzer mit vielen Beispielen. Gerd Fischer, Lineare Algebra, Vieweg 995. Der Klassiker! Im Gegensatz zu den ersten beiden kann man hiermit auch ein Mathestudium bestreiten.

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