Vorbereitung zur 1. Mathematikschulaufgabe

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1 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester A ) Grundlagen der Mengenlehre. Geben Sie folgende Mengen, die hier in beschreibender Form gegeben sind, in aufzählender Form an: a) Die Menge der Primzahlen, die kleiner sind als 45. b) Die Menge der Teiler von 7 c) Die Menge der durch 4 teilbaren ganzen Zahlen.. Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an: a) M {5, 0, 5,..., 5} b) M {,, 4, 7, 8, 4, 8, 56}. Gegeben sind die Mengen A {,, 5, 7, 9} und B {,, 6, 8, 9}. Bestimme A B (Schnittmenge). 4. Gegeben sind die Mengen A {,, 5, 7, 9} und B {, 6, 9}. Bestimme A \ B. (A \ B heißt A ohne B) 5. Gegeben sind die Mengen A {,, 5, 7, 9} und B {, 6, 7, 9}. Bestimme A B (Vereinigungsmenge). Zahlenmengen: {0; ; ; ; 4;...} Menge der natürlichen Zahlen (die Null ist enthalten) {... ; ; 0; ; ;...} Menge der ganzen Zahlen {Brüche} Menge der rationalen Zahlen irrationale Zahlen Menge der reellen Zahlen + positive reelle Zahlen TS_A00_0 **** Lösungen Seite ()

2 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester B ) Addition / Subtraktion, Multiplikation / Division, Ausmultiplizieren / Ausklammern (Faktorisieren). Addition / Subtraktion - Klammern auflösen und zusammenfassen: a) a 4b ( 5a + 7b) + ( 9a 0b) b) 4a ( a 8b c) ( 9a b c) x 5 { y 5 z 0,75x,5y,75z + x x + 0 } 7 { } b 4 b+ 5,5 6 a 5,75b,5a b c) ( ) ( ) d) ( ) ( ). Multiplikation / Division - Klammern auflösen und zusammenfassen: a) ( 4) ( )² + ( 54):( ) ( + 9) ( ) 4 b) [ ( 6) ( ) ( 4) ( ) ( 5) ] 4 + ( ) 4 { 4 4 } :{( 4) ( ) ( ) ( ) } c) ( ) ( ) ( ) d) [ 4 (6 9) 5 (8 4) ] 7 ( 4) ( ) e) ( ) ( ) ( ) :( 4) :( ) f ) {[ 5 ( 4 8) ] ( 8) } {( 9 5) [ 6 (4 7) ]} g) 4( a 4c) 8( 5a c) h) 40x ( 5x 8) 0( x) + +. Faktorisiere soweit wie möglich: 4 a) 8a + 9a b) ay + 5az + 0z + y c) y 0 x + 5a x a y d) 6ac 4ad 45bc + 0bd e) 6ac 4bc 40ad + 60bd f) ap + bq aq bp g) 96a c 6a cd 495abc + 45abcd h) a 4a b 48a + 6a b ( 8a + a )( a a ) b TS_A00_0 **** Lösungen Seiten ()

3 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester C ) Bruchrechnung. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Kürzen und Erweitern; Hauptnenner bestimmen - ohne Variable (nur Zahlen): a) ( 4 + 4) :( 9 4) b) ( ):7 7 4 c) ( ) d) ( ) ( 7 ) : : : e) f ) : : : ( :54) 40 0 :5. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Kürzen und Erweitern; Hauptnenner bestimmen - mit Variablen: a) x 5 z + b) 5a a + c c) 5a b y x y + + 0y 5 x 5y 6xy d) 6a+ c b 5c 5a 4b bc 5ab 4ac 4c 6b 5a TS_A00_0 **** Lösungen Seiten ()

4 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester D ) Binomische Formeln. Forme mit Hilfe der binomischen Formeln um und vereinfache bzw. fasse zusammen: a) ( a ) ( a ) + + b) ( x y) ( x y) c) ( ) d) + 4p+ r 0,a b b + 0,a 5 5 4r s s r r+ s 4r+ s a b b a a + 5b a 5b a 4b + a 6b e) ( ) ( )( ) ( ) f ) g) ( )( ) ( ) ( ) h) ( a 7b) ( a 7b) ( 4a 5b)( 4a 5b) Faktorisiere bzw. fasse soweit wie möglich zusammen: a) b) c) d) e) f ) g) h) i ) j ) k) l ) m) n) o) p) q) r) s) 45a 690ab + 645b x + x + x x x 98a + 8b + 56ab a + 6a ,6a 4b 99a + 66a 0,49r s 8r t x+ x 4 z 4 8a b 5a 5ab + 0,5b 7rs 0,8rt 4 x 6 4a 578b ac + 8c a a+ 40 x x 6 a b 4a + 4ab n m n + nm+ m TS_A00_04 **** Lösungen Seiten ()

5 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester t ) u) 4 4 a b a + b 9x + xy + 4y 9x 4y v) a 5 6a + 9 4a 9 w) a 9 49a 8 7a + 9 TS_A00_04 **** Lösungen Seiten ()

6 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester E ) Potenzrechnung. Berechne: a) ( 0,) 8 b) ( ) 5 c) d) e) ( b) 00 f) ( a) ( a) g ) ( ) 5 7 c d h) ( z) i) ( b ) 4 4 j) ( b ) 5 k) ( a ) 5 l) ( x) 4 m) ( a ) n) ( ) o) ( ) 6 0 p) ( 6 ) :( 6) 5 4 q) ( 9 ) ( 9 ) 5 r) ( ) :( 9) 6 s) ( 8) ( 4 ) t) ( x y) ( 0,y ) ( x ) (,5yx ) u) v) 6ab 5a b n n x :x n n n n a + b :a b w) ( ) x) ( a b ) ( a b ) TS_A00_05 **** Lösungen 4 Seiten ()

7 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. Berechne: a) b) x y 8 x z : 4x y z c) ( ) ( ) d) e) p :p 8 n n 8 ( 5a 6a) ( 5a ) f) ( x 6 ) g) h) i) 8 8 n 79 x x x 6 n n n + 4 n+ y y n n ( x ) 4 x TS_A00_05 **** Lösungen 4 Seiten ()

8 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. Vereinfache bzw. fasse zusammen: a) b) c) d) e) 5 0 xy z z : 4 6 z x y x y z a b a c cd bd by 5y 6x bx 0xy 5y : 6x 56x 49 6x 56x 49 x x a 4ab 7a 7ab a 6ab + b : : ab 4b 4a 6a b 6ab 4a 48b 4 5 n m m n 4 r s 5 s r 7 f) 4 ab : ab g) ( 84 a b 96 a b ): ( a b ) h) ( a 5b) n ( 5b a) n + i) a b c a b c a b c a b c j) 4 a b b : 4a b a TS_A00_05 **** Lösungen 4 Seiten ()

9 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester F ) Wurzelrechnung. Berechne: a) b) c) d) 8 7 e) 98 ab f) 4 4 : g) 75 h) 5 i) j) x y y k) l) m) x 5 5x : 5 5 9: 7 n) z o) ( 7 ) ( ) p) ( 0,5 )² q) x²a² x²b² : a + b r) s) u + 6uv + v t) ( a b a b ) u) ab b ab+ b + a a b ab a ab TS_A00_06 **** Lösungen 8 Seiten (4)

10 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester +. Vereinfache soweit wie möglich (alle Variablen und derart, daß alle Wurzeln definiert sind): a) b) c) x d) e) x 0 65a b y x f) g) h) i) j) a ba : c b c b + b 7a 4 a b ( ) 0,0 a b a 4 6x 8y² a b 6ab³ ( a)³ k) x + x 00a 6 l) m) y y + y yz + 4y 5 a b x a x : 6 6y b y 7y n) z z z o) ( 5 + 5) ( 5 5) p) q) a + ab + b : b 4a 4 ab a ab TS_A00_06 **** Lösungen 8 Seiten (4)

11 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. Beseitige die Wurzel im Nenner (rational machen des Nenners) und vereinfache soweit wie möglich: 5 a) 6 b) c) d) e) f) g) h) i) + ( ) ( ) a b a ab b a b 4. Beseitige die Wurzel im Nenner (rational machen des Nenners), vereinfache soweit wie möglich und gib einschränkende Bedingungen an: a) x b) c) x y x+ y 5 a b d) e) a a + b 5 x TS_A00_06 **** Lösungen 8 Seiten (4)

12 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester 5. Bestimme die Definitionsmenge (G ): Zu beachten ist, dass der Radikand (Term unter der Wurzel) 0 ist und der Nenner eines Bruches nicht Null werden darf. a) 4x 8 b) ( x) c) + x x d) 5 x e) + x x f) x + 4 g) x+ h) x + 4 x TS_A00_06 **** Lösungen 8 Seiten 4 (4)

13 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester G ) Lineare Gleichungen. Ermittle die Lösungsmenge: a) 6( 4x ) 7 5( 5x) b) ( ) 4x x 4 + x 9 5x + 8 c) 4( 5x + 4) ( x ) 5( x ) + 8( x 5) 8 d) e) x + 4 x + x 4 x x x x 6x f ) ( x 8) g) h) i ) x + 8 x + 4 x x : x x : x 7 x ,5 4 4,5x : + 5, x 4 k) ( ) x ( ) l ) ( x 6) + ( x 4) + ( 9 + x) ( 6x 7)( x 6) m) 5x + x x x Ermittle die Lösungsmenge (Gleichungen mit Formvariablen): a b x + a + b x + a + b a,b R; G R a ) ( )( ) ( ) TS_A00_07 **** Lösungen Seiten ()

14 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester H ) Bruchgleichungen. Ermittle die Lösungsmenge unter Beachtung der Definitionsmenge: Für alle Aufgaben gilt: G 4 0 a) x+ x+ 4 b) c) d) 5 5 x+ x+ 5 x x x + x x + 7 8x 5 6 9x 5 x 4 6x 0x 0 e) x+ 99 7x 0 5 x 0 x + x + x + x + f) 4x 5 x + 4 x 69x x + 5 5x 5x 5 g) 6x x 8 x 4 ( ) h) + 9 x x+ x i ) 0 7x 5 7 x x+ + 4x 9 8 j ) + 4x 5x 0x+ 5 5x + 7 5x 8 k) 4x 4x + 6x 9 x x l ) 0 x 8x + 6x x + 4x x 6x x + 0x x + 9x x x x 7x m) n) o) a x x + a + a+ x a x a x x a x + a b 4ab 8ax x+ b x b x b x+ a a x 4ab x b b+ x 4b x p) + ; Für welche a, b erhält man L { - }? TS_A00_08 **** Lösungen 7 Seiten ()

15 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester K ) Quadratische Gleichungen Jede quadratische Gleichung kann auf folgende Form gebracht werden: ax + bx + c 0 mit a, b, c und a 0 Dazu die Lösungsformel: b± b 4ac x/ a Der Term b 4ac unter der Wurzel heißt Diskriminante D und es gilt: D > 0 verschiedene reelle Lösungen x und x D 0 reelle (zweifache) Lösung x x x D < 0 keine reellen Lösungen Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung kann (können) auch noch ermittelt werden mit Hilfe der Faktorisierung oder der quadratischen Ergänzung.. Ermittle die Lösungsmenge durch Faktorisieren: Für alle Aufgaben gilt: G a) b) x x 0 9x 8x 0 c) ( x + 5)( 4x) 0 d) e) f) g) h) x + x 0 x 6 7 x x x x + 6x+ 5 0 x 7x 8 0 TS_A00_0 **** Lösungen 5 Seiten ()

16 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. Ermittle die Lösungsmenge mit der Lösungsformel: Für alle Aufgaben gilt: G a) b) c) d) e) x + x x 8x 77 0 x + 8x 7 x + x ,5x 0,75x f) 4 x 7x x x g) ( ) h) 6x+ x i ) ( ) ( ) 5x + x k) ( ) x 5x Ermittle die Lösungsmenge mit Hilfe der quadratischen Ergänzung: Für alle Aufgaben gilt: G a) b) c) d) e) x + 6x+ 0 x 7x 0, 5 x 4 x x x 0 6x x 0 TS_A00_0 **** Lösungen 5 Seiten ()

17 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester 4. Ermittle nach Umformung die Lösungsmenge mit der Lösungsformel: Für alle Aufgaben gilt: G a) ( )( ) ( ) x+ x+ + x x+ 5 9 b) c) d) 5 5+ x x x ( + ) 7x + 6 4x 4x 7x 6 x ax+ a b 0 e) ( ) x a + 4x 9a f) g) x + 7x + x x+ 5 x² + x 5 x 49 + x Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen: a) f(x) x² + x b) f(x) x² x c) f(x) 6x² + 4x Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung 4x 6 + x x Für welche Werte a besitzt die Gleichung x + 4x a 0 Lösungen, genau Lösung oder keine Lösung? G 8. Bestimme b in der Gleichung x + bx+ 9 0so, dass die Lösung L zwei, ein oder kein Element enthält. G Wie ist der Wert für b, damit L entsteht? 9. Für welche Werte k besitzt die Gleichung Lösungen? G (k x) 4x Untersuche, für welche Werte des Parameters c \{0} die Gleichung cx² + 8x + c 0 a) genau eine b) zwei c) keine Lösung besitzt! G. Für welche a R hat die Gleichung 4x² ax 6x a genau eine Lösung? Bestimme jeweils die Lösung. TS_A00_0 **** Lösungen 5 Seiten ()

18 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester L ) Satz von Vieta Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet: ax + bx + c 0 (a 0) Sie lässt sich stets in die Normalform überführen (indem die Gleichung durch a dividiert wird): x + px+ q 0 b c p ; q a a mit der Lösungsformel x / p p ± q Sind x und x die Lösungen der quadratischen Gleichung x + px+ q 0, so gilt: x + x p x x q sowie + + ( )( ) x px q x x x x Zerlegung in Linearfaktoren. Bestimme eine quadratische Gleichung in Normalform mit vorgegebener Lösungsmenge: a) L { 6; 7 } b) L { 4; 0 } c) L { ; 5+ }. Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe der Vietaschen Wurzelsätze (durch Probieren) und forme die Gleichung in ein Produkt um (Linearfaktoren): a) x 4x+ 0 b) x x 6 0 c) d) x + 7x+ 0 0 x 6x+ 9 0 (nur Lösung) e) ( x,5) 0 (nur Lösung) TS_A00_ **** Lösungen 4 Seiten ()

19 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. In nachfolgenden Aufgaben sind p und q die Koeffizienten quadratischer Gleichungen in der Normalform und x sowie x deren Lösungselemente. Bestimme jeweils den fehlenden Koeffizienten und Lösungselemente: a) q - 5 ; x - 5 b) p 8 ; x - 7 c) q 48 ; x d) x + x+ q 0 mit L { 7; x } e) x + px+ q 0 mit L { 9} 4. Eine quadratische Gleichung (Normalform) hat als eine Lösung x 4 und q ist fünfmal so groß wie p. Berechne x sowie die Koeffizienten p und q. Wie lautet die quadratische Gleichung in Normalform? TS_A00_ **** Lösungen 4 Seiten ()

20 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester M ) Lineare Funktionen. a) Zeichne mit Hilfe des y-abschnittes und eines Steigungsdreiecks die Geraden mit folgenden Gleichungen in ein Koordinatensystem! (Kennzeichne die Geraden mit I, II, III) I) y 4 -,4 x II) x y 6 0 III) y 5 x + b) Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Gerade durch folgende Punkte: C(4/) und D(0/-4) Berechne außerdem die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen!. a) 7 4 Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt P 4 6 Graphen g liegt. b) Wie muss man x R wählen, damit R(x R 8) auf g liegt? auf dem TS_A00_ **** Lösungen Seiten ()

21 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. Die Gerade g hat die Steigung m -,5 und läuft durch den Punkt P(/-). Gib ihre Gleichung an!. Prüfe durch Rechnung, ob die Punkte A(-6/,5) und B(9/-9) auf der Geraden mit der Gleichung y -,5x +.5 liegen.. Wie heißt die Gleichung der zu g: y -,5x +,5 parallelen Geraden g durch den Punkt P(5/)?.4 Wie heißt die Gleichung der zu g: y -,5x +,5 senkrechten Geraden g durch den Punkt P(5/)? 4.0 Lege ein kart. Koordinatensystem ( LE cm) an und ergänze es fortlaufend. Platzbedarf: - 4 x 0; - 4 y 5 4. Zeichne g : y x + 4 und g : y x - 4. Zeichne P(9/-) ein, und überprüfe durch Rechnung, ob P g 4. Zeichne g, wenn gilt: g g und Q ( 0/) g und gib für g die Gleichung an. 4.4 Die Punkte A(0/) und B(7/0) bestimmen die Gerade g 4. Zeichne sie und gib ihre Gleichung an! 5. Die Gerade g hat die Steigung m - 0,5 und verläuft durch den Punkt P ( - /-,5). Bestimme die Gleichung der Geraden g. 5. Die Gerade g steht auf der Geraden g senkrecht und verläuft durch den Punkt P ( /-). Bestimme die Gleichung von g. 5. Die Gerade g ist parallel zu g und verläuft durch den Punkt P (/,5). Bestimme die Gleichung von g. 5.4 Die Geraden g und g schneiden sich im Punkt S. Berechne die Koordinaten von S. 5.5 Zeichne die drei Geraden in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung: - 5 x 7; - 5 y 5; LE cm 5.6 Gib die Gleichung der Parallelenschar an, zu der die Gerade g gehört. 5.7 Wie lautet die Gleichung des Geradenbüschels mit dem Büschelpunkt P? TS_A00_ **** Lösungen Seiten ()

22 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester 6. Berechne die Gleichung der Geraden g die durch die Punkte A(/) und B(/-4) verläuft. 6. Berechne die Nullstelle der Geraden g: y -,5x + 4,5 6. Welchen Büschelpunkt B hat das Geradenbüschel mit der Gleichung g (m): y mx 5m 6.4 Ein Geradenbüschel hat den Büschelpunkt ( /5). Wie heißt die Gleichung des Geradenbüschels? + 7. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y,5x -,5 und D 0. Bestimme ihre Wertemenge sowie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion. Berechne die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion und zeichne die Graphen beider Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. 8. Gegeben sind : g: x x ; h: x + - y 0 a) Bestimme Schnittpunkt und Schnittwinkel der Graphen von g und h! b) Im Punkt A (0,75 /?) h wird das Lot zu h errichtet. Welche Gleichung hat es? 9. Der Neigungswinkel einer Geraden g beträgt 45. Auf ihr liegt der Punkt P( - 4/0,5). a) Stelle die Funktionsgleichung auf! b) Stelle die Gleichung der Parallelen durch den Ursprung zur Geraden g auf. 0. Gegeben sind die Punkte P ( - / 0) und Q ( - 5 / ). Ermittle die Funktionsgleichung einer linearen Funktion, deren Graph diese beiden Punkte enthält, den Neigungswinkel der Geraden gegen die x - Achse sowie die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Koordinatenachsen. TS_A00_ **** Lösungen Seiten ()

23 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester N ) Polynomdivision. Ausführliches Rechenmuster für eine Polynomdivision:: An diesem einfachen Beispiel ist die prinzipielle Vorgehensweise bei der Polynomdivision erkennbar. x + 6x + 9x + 4 : x + x Re chenschritt x : x x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x + 6x + 9x + 4 : x + x Re chenschritt x x + x + x x + x ( x 6x 9x 4 ): ( x ) x Rechenschritt x 6x ( x x ) ( x x ) Erg.: 5x + ( x + 6x + 9x + 4 ): ( x + ) x + 5x Rechenschritt 5x + 9x ( 5x + 5x) ( x x ) Erg.: 4x x ( ) ( ) ( x x ) x 6x 9x 4 : x x Rechenschritt 9x zu 5x hinzufügen + 5x + 9x ( ) ( ) ( x x ) x + 6x + 9x + 4 : x + x + 5x Rechenschritt 5x : x 5x + 5x + 9x ( ) ( ) ( ) ( x x ) x + 6x + 9x + 4 : x + x + 5x Rechenschritt 5x x + 5x + 5x + 5x 5x + 9x + 5x 5x + 9x + ( 5x 5x) 4x TS_A00_ **** Lösungen 6 Seiten ()

24 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester ( ) ( ) ( x x ) x 6x 9x 4 : x x 5x Rechenschritt 4 zu 4x hinzufügen + 5x + 9x + ( 5x 5x) 4x + 4 ( ) ( ) ( x x ) x 6x 9x 4 : x x 5x 4 Rechenschritt 4x : x x + 9x + ( 5x 5x) 4x ( ) ( ) ( ) ( x x ) x + 6x + 9x+ 4 : x+ x + 5x+ 4 Rechenschritt 4 x+ 4x x + 9x + ( 5x 5x) 4x + 4 4x + 4 ( x + 6x + 9x + 4 ): ( x + ) x + 5x + 4 Rechenschritt 4x + 4 ( 4x + 4) ( x x ) Erg.: 0 + 5x + 9x + ( 5x 5x) 4x ( 4x 4) TS_A00_ **** Lösungen 6 Seiten ()

25 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. Polynomdivision - Aufgaben ohne Rest: a) ( ): ( 0 + 6) 4 b) ( x x x x+ 6 ):( x ) 4 c) ( x 6x 0x 8x 60 ): ( x ) 4 d) ( 6x x x x ): ( x x ) x + x + : x x x + x + : x x x : x e) ( ) f) ( ) g) ( ) ( ) h) 5 5 ( x y ):( x y) i ) 8 4 ( 8x + 4 ): ( 9x + 6x + ) 5 4 k) x + ax + x x ( + a) x+ :( x ) l ) ( 8x 0xy xz y 0yz z ):( x y z) m) ad 4dx c 8bc a x + + : + b y x ay b y. Polynomdivision - Aufgaben mit Rest: a) ( 4x x 4x 4 ): ( x ) 5 b) ( x ):( x + x+ ) c) x :( x ) + + d) ( a + a x ax x ): ( a x) 5 4 e) ( 8x x x 4x ): ( 4x 4x x ) TS_A00_ **** Lösungen 6 Seiten ()

26 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester O ) Nullstellen rationaler Polynome höheren Grades als x durch Probieren ermitteln. a) Ganzzahlige Polynome mit Koeffizient vor der höchsten Potenz In Übungsaufgaben oder Schulaufgaben besitzen Funktionen höheren Grades oft ganzzahlige Lösungen (Nullstellen). Natürlich funnktioniert diese Methode nicht bei jedem Polynom sondern nur bei denen die auch ganzzahlige Lösungen besitzen. z.b. x x + 5x 4 0 hat die Nullstelle x 0. Diese Lösung kann durch Raten und Probieren gefunden werden, indem man nacheinander ±, ±, ± usw. in die Gleichung einsetzt. Hat die Funktion einen konstanten Teil (einen reinen Zahlenwert ohne x), so ist die Nullstelle - sofern sie ganzzahlig ist - Teiler dieser Zahl. z.b. x x 4x+ 4 0 Teiler und somit potenzielle Nullstellen sind ±, ±, ± 4 Diese Eigenschaft gilt jedoch nur, wenn der x-term mit der höchsten Potenz den Koeffizienten hat (also x und nicht z.b. 4x ) Koeffizient Mit Hilfe der Polynomdivision (eigenes Kapitel) kann bei bekannter Nullstelle das Polynom um einen Grad reduziert werden, d.h. der größte Exponent wird z.b. von x auf x reduziert. Beispiel zur Nullstellenbestimmung: 4 x + x 9x 8x Teiler von 60: jeweils ±,,, 4, 5, 6, 0,, 5, 0, 60 Einsetzen Ergebnis Nullstelle für x - 0. Nullstelle für x Nullstelle für x usw. TS_A00_4 ()

27 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester b) Polynome mit gebrochenen Koeffizienten und / oder der Koeffizient vor der höchsten Potenz ist nicht : Ist ein Polynom mit gebrochenen Koeffizienten vorgegeben, dann ist mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. Gegeben ist z.b. das Polynom 4 5 x x + x + x Hier multipliziert man mit dem Hauptnenner 8 und erhält die Gleichung 4 x 5x + x + x 0. Der Koeffizient vor der höchsten Potenz ist, das absolute Glied ist -. Als mögliche Nullstellen kommen nun die rationalen Zahlen a b in Frage, deren Zähler a ein Teiler des Absolutgliedes ist und deren Nenner b ein Teiler des Koeffizienten mit der höchsten Potenz ist. Im obigen Beispiel ist der Koeffizient der höchsten Potenz. Teiler von sind die und die. Das Absolutglied ist -. Teiler von - sind und -. Somit sind folgende Zahlen auszuprobieren:, -, ½, -½. Die rationalen Nullstellen von 4 x 5x + x + x 0 sind und -½. TS_A00_4 ()

28 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester P ) Quadratische Funktionen. Gegeben sind die Koordinaten des Scheitelpunktes S(/4) und eines weiteren Punktes P(/) einer Parabel. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung der Parabel. (Ergebnis: y - (x - ) + 4). Bestimme die Nullstellen der Parabel. (Ergebnis: S ( 0 / 0 ); S ( 4 / 0 ) ).0 S(/) ist der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel p.. Zeichne die Parabel p und stelle ihre Gleichung auf. (Ergebnis: y x - 4x + 5). Bestätige algebraisch: p x - Achse. Zeige durch Rechnung: R(0/5) sowie Q ( /) sind Punkte der Parabel p..0 Die Punkte P(0/-7) und Q ( 5/-) liegen auf einer nach unten geöffneten Normalparabel p. G x. Berechne die Gleichung der Parabel p. (Ergebnis: y - x + 6x - 7 ). Bestimme die Koordinaten des Parabel-Scheitels. Gib die Definitions- und Wertemenge der zugehörigen quadratischen Funktion an.. Berechne die Nullstellen der Funktion. 4. Zeichne die Graphen folgender Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Die Bereiche der Koordinatenachsen sind selbst zu bestimmen; notwendige Daten sind ggf. vorher auf dem Arbeitsblatt durch Rechnung zu ermitteln. Die Graphen sind eindeutig jeweils mit ihrer Funktionsgleichung zu beschriften. a) y (x - 4) ; b) y,5 + x ; c) y x + x - 4 ; d) y - x + 5. Bestimme den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel! a) y x² 4x+ 5 b) y x² x 5 6. Bestimme die Lösungsmenge! a) x² + x 0 0 b) x² x 0 c) x(x )² 4x 0 TS_A00_5 **** Lösungen 5 Seiten ()

29 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester 7. Ergänze die Tabelle! f(x) D f a) f(x) x² + x b) f(x) (x )² x < Umkehrfunktion W f(x) f D f' W f' c) f(x) x + + x d) f(x) x y < 8. Gegeben ist die Funktion g durch die Gleichung g(x) 0,5x x + für x. Bestimme zeichnerisch den Graphen der Umkehrfunktion g von g! Maßstab: x-achse: LE cm; y-achse: LE cm 9. Gegeben ist die Parabel p: y 0,5x - 4x + G x 9. Bestimme durch Rechnung die Koordinaten des Scheitels S. (Ergebnis: S ( 4 / 5 ) ) 9. Tabellarisiere die Funktion p für x [ 0; 8] mit x. Zeichne die Parabel p in ein Koordinatensystem ein. Platzbedarf: - 4 x 0; - y 9.4 Die Gerade g: y 0,5x + 6 schneidet die Parabel p in den Punkten C und D. Zeichne die Gerade g in das Koordinatensystem ein und berechne die Koordinaten der Punkte C und D. (Teilergebnis: C ( / 7 ) ) 0. Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) mit D f (x) [-4; [ a) Bestimme die Funktionsgleichung, wenn die Funktion durch die Punkte A(-,5/0), B(-0,5/8) und C(,5/0) verläuft! b) Bestimme für den Bereich, in dem f(x) monoton fällt die Umkehrfunktion f - (x) und gib deren Definitionsmenge an!.0 Gegeben ist die Funktion f mit y x + bx + c (b, c ). Der Graph zu f ist die Parabel p, die durch die Punkte A(-/-4) und B(4/0) verläuft.. Ermitteln Sie die Gleichung zu f. Tabellarisieren Sie f für x [-5; 5] in Schritten von x. Zeichnen Sie die Parabel p in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 6 x 6; - 6 y 5; LE cm TS_A00_5 **** Lösungen 5 Seiten ()

30 Vorbereitung zur. Mathematikschulaufgabe. Semester. Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem zu. und bestimmen Sie die Geradengleichung zu g. Berechnen Sie das Maß δ des spitzen Winkels, den die Gerade g mit der y - Achse einschließt.. Der Graph zu f mit y - x + 4x ist die Parabel p. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S und zeichnen Sie p in das Koordinatensystem zu. ein.. Gegeben sei die Funktion f durch die Gleichung f(x) + x + 8 für x. Gib die Wertemenge von f an. Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f von f und gib die Definitions- und Wertemenge von f an.. Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: 4x + x 4. Die folgenden Aufgaben beziehen sich teilweise aufeinander. Zeichne für alle folgenden Aufgaben ein gemeinsames Koordinatensystem (x - Werte zwischen - und 6; y - Werte zwischen - und 4). Wir betrachten zunächst die Funktion f mit der Gleichung y x+ +. a) Zeichne den Graphen von f in das Koordinatensystem, gib D f und W f an, berechne die Gleichung der Funktion g, von der f die Umkehrfunktion ist und gib für g die Definitions- und die Wertemenge an! (Ergebnis: g : y (x )² ) b) Wir erweitern den Definitionsbereich von g auf ganz. Zeichne den Graphen von g für den neuen Definitionsbereich gestrichelt in das Koordinatensystem ein. c) Berechne für die Funktion g : y 0,5x² x,5 den Scheitel und zeichne den Graphen von g in das Koordinatensystem ein. d) Gib die x - Koordinaten der Schnittpunkte von g mit der x - Achse exakt an! e) Gib die Gleichung einer neuen Funktion h an, deren Graph zu dem von g kongruent ist und die gleiche Wertemenge wie g hat! f ) Gib dann die Gleichung einer Funktion h an, die von g verschieden ist, deren Graph aber den gleichen Scheitel und die gleiche Wertemenge hat wie g! TS_A00_5 **** Lösungen 5 Seiten ()

31 (A) Terme vereinfachen, umformen; Bruchgleichungen Grundlagenwissen: Bruchrechnung, binomische Formeln, Potenzen, Wurzeln, Lösen quadratischer Gleichungen.. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. 9a 9a a) b) 5 5a c) a 8a 40 d) b5 b7 a 8 : 7a 6 8c 8b c b 4 s s s s s e) 6 a b 4a f) a 4x a x ax : a g) a b a 6 h) 9x xy 4y 9x 4y i) 6 x y y k) y y 8y x x5 x x 5 l) n) p) 4 ab ab 4 x y xy x x ab r) t) ab a b xyz yx xy yz x v) a a 8a x x 5 x x 5 x) z) 7r s s r s s r s rs rs 4 5 m) a a o) x y xy x y q) a 5 a a 4 s) x x x x u) b b 6b a 5 a a a 5 w) y) 5 y a 4 a y 6ax ya 4 x x x x bx TS_A00_0 **** Lösungen 9 Seiten (TS_L00_0) ()

32 (A) Terme vereinfachen, umformen; Bruchgleichungen. Berechnen Sie x aus folgender Gleichung für G. Bestimmen Sie auch die Definitionsmenge. a) c) e) x 8 x x4 4x 4 x x 8 d) 5x7 x 0 4x 4 x g) x 4 x 4 x 6 b) f) h) x x74 x x8 4x x 4 x x 9 x 5x 5x 8 8x x x 4x 8x x 7x x 4x 9 6x9 4x6. Stellen Sie die Formeln nach der / den Variablen um. Fassen Sie die umgestellte Formel soweit wie möglich zusammen. V V0 7 Formel Variable Umgestellte Formel T a ab a x b v e tan m v m m v m m m V 0 ; x T v;m m;m m m R R R R qx Mx a x a;x Frz F RZ ab z a a b c m v m v v u m m r;r v TS_A00_0 **** Lösungen 9 Seiten (TS_L00_0) ()

33 (B) Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme Grundlagenwissen: Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Definitionsmenge bestimmen.. Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösungsmenge an (Grundmenge ist IR). a) c) 5x 6x 8 0 b) 7 x x e) d) x x y y 8 5 x 4 x x 9 f) g),5,5x x 5 h) i) l) n) x x 0 x7 x7 x x x x 5 5 k) x x x x 8 x x 0 m) 7 5 x x x x 6 4 x 6 x6 0 o) x x x x. Bestimmen Sie bei den folgenden Gleichungen zunächst jeweils die Definitionsmenge (Grundmenge ist IR). Lösen Sie anschließend die Gleichungen und geben Sie die Lösungsmenge an. x x 8 7x 4 a) b) x x x4 4x c) x x x x x e) 0 x x 5 5x x 88 0x g) x 5 x 5 x 5 i) l) n) x 7x 7 4x 9 x 5 x 0 x 0 x 5,5 7 x 6 x 7 d) 5x x 5 5 x x f) 0 x 7 x 5 h) k) m) o) xx x 5 x 6 x x 0 6x8 x4 x x x 5 x 4x 0 x x x 0x 6 TS_A00_0 **** Lösungen Seiten (TS_L00_0) ()

34 (B) Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme. Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösungsmenge an. a) I. x y 0 b) II. x y 6 4. Textaufgaben, die auf quadratische Gleichungen führen. a) Von zwei Zahlen ist die eine um 6 größer als die andere. Die Summe der Quadrate beider Zahlen ergibt 46. Berechne die beiden Zahlen. b) Ein rechteckiges Grundstück ist um m länger als es breit ist. Verdoppelt man seine Breite und verkürzt zugleich die Länge um 4 m, so ist das neu entstandene rechteckige Grundstück um 96m größer als die ursprüngliche Fläche. Berechne die ursprüngliche Grundstücksfläche. c) Addiert man zu einem Bruch, dessen Zähler um 5 kleiner ist als der Nenner, seinen Kehrwert, so hat die Summe den Wert,5. Wie lautet der ursprüngliche Bruch? d) von Leonhard Euler (707 78): I. y x 7 Ich habe zwei Zahlen, die eine ist um 6 größer als die andere, und ihr Produkt beträgt 9. Wie lauten diese Zahlen? Suche zwei Zahlen, von denen eine doppelt so groß ist als die andere, die so beschaffen sind, dass, wenn ich ihre Summe zu ihrem Produkt addiere, 90 herauskommt. e) Vergrößert man die kürzere Seite eines Rechtecks um 9 cm und verringert gleichzeitig die längere Seite um 8 cm, so verhalten sich die neuen Seiten des Rechtecks wie 7:4. Der Flächeninhalt des neuen Rechtecks ist um 8 cm kleiner als der des ursprünglichen. Berechnen Sie die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks. II. x y 0 TS_A00_0 **** Lösungen Seiten (TS_L00_0) ()

35 (C) Lineare Gleichungssysteme mit und Variablen Grundlagenwissen: Additions-, Einsetzungs-, Gleichsetzungs-. Determinantenverfahren. Bei allen Aufgaben ist eine Probe empfehlenswert. Führen Sie also die Probe durch!. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit der Additionsmethode. a) I. y x,44 II. y 0,6x 0 b) I. x8y 4 II. 6y 4 x c) I. x 4y 9 II. 6x 4y 5 d) I. y x 8,08 II.,5y x 4,58 e) I. x y x II. x y 7 f) I. 8x y 88 0 II. 4y x 76 0 g) I. 6x y II. 6x y 4 h) I. 4x,5 y x x 9,5 II.,5x 6,5 0,5y 4 0,5y 0,5x. a) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem zeichnerisch und rechnerisch mit dem Einsetzungsverfahren. I. 5x y 6 II. 7x 5y 0 b) Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: I. x y II. 4x 5y 7 0 Bestimmen Sie die Lösung grafisch und berechnen Sie die Lösung. c) Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: I. 4xy II. 9x y 8 0 Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe des Additionsverfahrens. Lösen Sie das Gleichungssystem graphisch. TS_A00_0 **** Lösungen 5 Seiten (TS_L00_0) ()

36 (C) Lineare Gleichungssysteme mit und Variablen. Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems. I. 4x y z 8 I. x4y5z 8 a) II. x 5z 4 b) II. 5x y 4z III. x 4y z 4 III. x y z 8 c) I. z,5y 0,5x,5 II. 4y 4z 7 x III. x,5y,5 5z d) I. x y z 7 II. x y z III. x y z 4. Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe der Determinantenmethode. a) I. 6,54x,65y 6 0 II.,95y 5,04x 8,4 b) I.,x 0,55y 7 II.,54x 0,9y 5 c) I. 8,x 5y,8 II. y,4x 0,04 d) I.,x 4,5y 5,76 II. 0,x,5y,5 e) I. x y 0 4 II. x y 0 9 f) I. x 4 y 58 5 II. 4 x5 y 4 5 TS_A00_0 **** Lösungen 5 Seiten (TS_L00_0) ()

37 (D) Gleichungen von Geraden und Parabeln bestimmen Graphen zeichnen, Schnittpunkte von Graphen, Scheitelpunkt von Parabeln Grundlagenwissen: Lineare und quadratische Funktionen..0 Von zwei Geraden g und h sind folgende Punkte gegeben: x 0 x 8 4 g(x),5 5 h(x) 0 6. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der beiden Geraden in der Form y mx t. (Hinweis: y mx t ist dasselbe wie y mx b oder f(x) mx t). Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden g und h..0 Gegeben ist die Parabel p(x) x 4x und die Gerade g(x) x.. Formen Sie die Gleichung der Parabel in die Scheitelform um und bestimmen Sie den Scheitelpunkt.. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel.. Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. y x 4x 6 und y x x Gegeben ist die Gerade g (vgl. Koordinatensystem rechts) 4. Ermitteln Sie aus der Zeichnung die Funktionsgleichung für g(x) in der Form g(x) mx t. 4. Zeichnen Sie die Gerade h(x) 0,5x in das Koordinatensystem. 4. Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden. TS_A00_04 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_04) (4)

38 (D) Gleichungen von Geraden und Parabeln bestimmen Graphen zeichnen, Schnittpunkte von Graphen, Scheitelpunkt von Parabeln 5.0 Gegeben sind die Funktionen p(x) x x q(x) 5x 4x 4 5. Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln p(x) und q(x). 5. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion f(x) x x 6.0 Die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) x 4x 5 g(x) x 6x sind P und Q. 6. Bestimmen Sie die Koordinaten von P und Q. 6. Eine Gerade h verläuft durch P und Q. Bestimmen Sie die Gleichung von h in der Form h(x) mx b. 7.0 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B5 4 verläuft durch die Punkte C 6 und D4 5., die Gerade h 7. Bestimmen Sie die beiden Geradengleichungen g(x) und h(x) in der Form f(x) mx b. 7. Berechnen Sie den Schnittpunkt P der beiden Geraden. 8.0 Die Abbildung skizziert die Müngstener Brücke über die Wupper. Der untere Brückenbogen hat die Form einer Parabel mit der Spannweite w 80 m und der Höhe h 7 m. TS_A00_04 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_04) (4)

39 (D) Gleichungen von Geraden und Parabeln bestimmen Graphen zeichnen, Schnittpunkte von Graphen, Scheitelpunkt von Parabeln 8. Beschreibe die Parabel durch eine Gleichung der Form y ax h mit a Wegen Reparaturarbeiten muss die Brücke an zwei Stellen durch Stützen abgesichert werden (vgl. Skizze). Welche Höhe x müssen die Stützen haben? 9. Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel p(x) x,5x 0 9. Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Scheitelpunkt S0,75 0,565 zur Parabel p(x) gehört. 0. Ein Brückenelement aus Beton hat einen parabelförmigen Durchgang (vgl. Skizze rechts). Berechnen Sie die Masse des Brückenelements, wenn die Brücke 9 m breit ist., 0 kg/m Beton. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion Koordinaten S4 9. Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b der Funktion. f(x) ax bx hat die. Der Graph einer Parabel verläuft durch die Punkte A 0,B0 6,C6. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel.. Eine nach unten geöffnete Normalparabel Eine nach oben geöffnete Normalparabel und B 4. p hat den Scheitel S 0 4. p verläuft durch die Punkte A 5. Berechnen Sie die Schnittpunkte P und Q der beiden Parabeln.. Durch P und Q verläuft eine Gerade g. Bestimmen Sie die Gleichung von g.. Parallel zu g verläuft eine Gerade Geben Sie die Gleichung von g an. g. Der Punkt R 4 liegt auf g. TS_A00_04 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_04) (4)

40 (D) Gleichungen von Geraden und Parabeln bestimmen Graphen zeichnen, Schnittpunkte von Graphen, Scheitelpunkt von Parabeln 4.0 Eine nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte P4 5 und Q Bestimmen Sie die Gerade g, die durch den Punkt R0 4 verläuft und die eine Tangente an die Parabel ist ( Lösungen!). 4. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an ( Lösungen!). TS_A00_04 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_04) 4 (4)

41 (E) Potenzgleichungen, Wurzelgleichungen Grundlagenwissen: Rechenregeln zur Potenz- und Wurzelrechnung.. Berechnen sie x aus folgender Potenzgleichung. Bestimmen Sie die Definitionsmenge; machen Sie die Probe. a) 4 6x 8 49 c) x 4 4x e) g) b) d) 4 4 x 9 x 4 x i) x 5x k) l) x x4 0 f) 5 8 x 8 4 5x x x h) 9 7x 6 6 x 8 x 4 m) x0x x5 n) x4 4x 88 o) x x 85 x. Berechnen sie x aus folgender Wurzelgleichung. Bestimmen Sie die Definitionsmenge; machen Sie die Probe. a) 4x b) x 8 5 x c) 54x,5x x d) x 5 x 6 0 e) 4x 0 x 0 f) 7x x x 4 g) 6 x x x 6 h) 5 x 5x5 0 i) 5 x 7 x 5 k) 5x 9 5x l) x x5 x m) 9 x 9 5 n) p) 8 x 5 o) 5x 9 x x x 40 6 TS_A00_05 **** Lösungen 0 Seiten (TS_L00_05) ()

42 (F) Exponentielles Wachstum, Exponentieller Zerfall Grundlagenwissen: Rechenregeln zur Exponential- und Logarithmusrechnung. Funktionsgleichungen für exponentielles Wachstum und Zerfall. t. a) Berechnen Sie y(t) nach 8 s für y(t) 5e s. b) Berechnen Sie die Zeit t nach einer Veränderung y(t) von 0 auf 80.. Ein Kapital von 8000 wird jährlich mit % verzinst. Die Zinsen werden immer dem Kapital zugeschlagen (Zinseszinsen). Nach wie viel Jahren hat sich das Kapital verdoppelt, wenn man unterstellt, dass sich der Zinssatz über die Laufzeit nicht ändert. Berechnungsformel: n Kn Kapital nach n Jahren (in ) p Kn K0 00 mit K0 Anfangskapital (in ) p Zinssatz in % n Anzahl der Jahre.0 Gegeben sind: y(t) y e 0 y0 400 k 0s kt. Berechnen Sie y(t) für t 0,s.. Berechnen Sie die Zeit t nach der y(t) 85% von y 0 erreicht hat. 4.0 Ein Abklingvorgang wird mit folgender Funktion beschrieben: 0,5 t y(t) y0 e (vgl. Diagramm rechts). 4. Bestimmen Sie die Zeit, bis der Messwert Y auf die Hälfte seines Ausgangswertes gefallen ist. TS_A00_06 **** Lösungen 0 Seiten (TS_L00_06) ()

43 (F) Exponentielles Wachstum, Exponentieller Zerfall 5.0 Der Ladevorgang eines bestimmten Kondensators verläuft nach folgender Gesetzmäßigkeit: t y(t) y0 e entspricht der Zeit, die benötigt wird um 6% von y 0 zu erreichen. 5. Ermitteln Sie anhand der Grafik y 0 und. Stellen Sie mit diesen Werten die Funktion y(t) auf. 5. Berechnen Sie den Wert für y(t), wenn 8 s verstrichen sind. 5. Berechnen Sie die Zeit t, wenn y(t) Plutonium (Halbwertszeit T 8Tage) zerfällt nach folgender Funktion: N(t) N0 0,5 t T Nach wie viel Tagen sind noch 0 mg übrig, wenn die Anfangsmasse 5g war? 7.0 Eine Bakterienkultur ist nach h auf 700 Bakterien angewachsen. Der Wachstumsvorgang kann nach folgender Gleichung angenommen werden: k t nn e mit k 0,4h 0 7. Berechnen Sie n Berechnen Sie die Zeit, in der die Bakterienzahl von 4000 auf 8000 angewachsen ist. 7. Berechnen Sie die Anzahl der Bakterien, die nach einem Tag (4 h) und 0 n 000 entstanden sind. TS_A00_06 **** Lösungen 0 Seiten (TS_L00_06) ()

44 (F) Exponentielles Wachstum, Exponentieller Zerfall 8.0 Der Luftdruck auf der Erde nimmt mit steigender Höhe nach der Formel h 5,5 km p p0 0,5 ab. p Luftdruck in Meereshöhe 0 hpa Berechnen Sie den Luftdruck in 8 km Höhe. 8. In welcher Höhe beträgt der Luftdruck 500 hpa? 9. Beim Einschenken eines Glases Pils entsteht eine 50 mm hohe Bierschaumkrone. Nach 60 s ist die Höhe des Schaums auf 40 mm gesunken. In welcher Zeit ist die Schaumkrone von 40 mm auf 0 mm gesunken? Man kann davon ausgehen, dass von einer vorhandenen Menge Bierschaum in der gleichen Zeit immer die Hälfte des Schaums zerfällt? 0. Der Körper einer bestimmten Person baut Nikotin mit einer Halbwertszeit von 90 min ab. a) Wie viel Prozent des vorhandenen Nikotins werden pro Minute abgebaut? b) Wie lange dauert es, bis noch 5% der ursprünglichen Menge vorhanden ist.. Das Inselreich Atlantis hatte im Jahre v. Chr. (angenommen) Mio. Bewohner. Seine Bevölkerung wuchs pro Jahr um,5%. a) Wie viele Menschen lebten in Atlantis im Jahre 9988 v. Chr., wenn für den betrachteten Zeitraum exponentielles Wachstum angenommen werden darf? b) Nach wie vielen Jahren hatte Atlantis,6 Mio. Einwohner? c) Welchen Prozentsatz hätte die Wachstumsrate gehabt, wenn innerhalb von Jahren die Bevölkerung um Personen angewachsen wäre?. Die Halbwertszeit für das Radiumisotop Ra-6 beträgt etwa 60 Jahre. a) Wie viel ist von einem Gramm des Radiumisotops, das Marie Curie 898 zum experimentieren nutzte, im Jahre 0 noch übrig? b) Wann wird nur noch 0, g vorhanden sein?. Von einem See sind 0,5% der Wasserfläche mit Algen bedeckt. Diese Algenfläche verdoppelt sich alle 4 Tage. Wie lange würde es dauern, bis der ganze See mit Algen bedeckt ist? TS_A00_06 **** Lösungen 0 Seiten (TS_L00_06) ()

45 (G) Volumen und Oberfläche von Körpern Grundlagenwissen: Prisma, Zylinder, Kegel, Kugel. Auf Seite 5 7 finden Sie eine Formelsammlung. Für eine Maschine werden Kugeln beidseitig 5mm abgefräst und mit zwei Bohrungen versehen (vgl. Skizze). Die Maße sind in mm angegeben. Berechnen Sie das Volumen des Körpers nach der Bearbeitung.. Eine Kugel erhält eine kegelförmige Vertiefung gemäß nebenstehender Skizze. Maße in mm. Der Kegelwinkel beträgt 90, die Kegelspitze liegt im Kugelmittelpunkt.. Berechnen Sie das Volumen des Körpers.. Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers..0 An eine Kugel wird beidseitig eine (gleich große) Fläche angefräst. Zusätzlich erhält die Kugel eine zylindrische Bohrung. Die Maße (in mm) können nebenstehender Zeichnung entnommen werden.. Berechnen Sie das Volumen des Körpers.. Berechnen Sie den Inhalt der farbigen (bzw. grauen) Querschnittsfläche. 4. Berechnen Sie das Volumen der zylindrisch durchbohrten Kugel. Nebenstehende Zeichnung zeigt einen Schnitt durch die Kugelmitte. (Beachten Sie bitte, dass keine Maße fehlen.) TS_A00_07 **** Lösungen Seiten (TS_L00_07) (7)

46 (G) Volumen und Oberfläche von Körpern 5.0 Ein 40 mm langer Zylinder wird über die gesamte Länge auf 80 mm abgefräst. Anschließend wird eine 5 mm breite Nut bis zur Zylindermitte gefräst. 5. Berechnen Sie die Größe der (farbig markierten) Stirnfläche. 5. Berechnen Sie das Volumen des bearbeiteten Körpers. 6.0 Von einem geraden Kegel ist die Spitze abgetrennt worden (vgl. Skizze). Dadurch entstand ein Kegelstumpf mit den Maßen: D6cm, h 4cm, Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Durchmessers d der oberen Deckfläche an und berechnen Sie diesen Durchmesser. 6. Berechnen Sie das Volumen des Körpers. 6. Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. 7.0 Zwei Kugeln sind mit einem Doppelkegel miteinander verbunden (vgl. Skizze). 7. Berechnen Sie das Volumen des gesamten Körpers. 7. Berechnen Sie die Oberfläche des gesamten Körpers. 8. Eine Halbkugel enthält eine keglige Bohrung. Berechnen Sie das Volumen des Körpers. Alle Maßangaben in mm. TS_A00_07 **** Lösungen Seiten (TS_L00_07) (7)

47 (G) Volumen und Oberfläche von Körpern 9.0 Aus Rundmaterial wird eine Düse hergestellt. Die Abmessungen (in mm) der Düse sind im nebenstehenden Querschnitt angegeben. In die Düse wird eine Kugel mit gelegt. 6mm 9. Berechnen Sie das Volumen des Düsenhohlraums (ohne Kugel). 9. Berechnen Sie das Maß x. 0.0 Eine Blechabdeckung (Schweißteil) besteht aus einem kurzen zylindrischen Abschnitt, auf dem eine Halbkugel aufgesetzt wurde. Die Halbkugel ist oben abgeschnitten und durch eine Blechscheibe verschlossen; der zylindrische Teil ist unten offen. (Die Zeichnung ist nicht maßstäblich) 0. Berechnen Sie die Oberfläche der Blechabdeckung. (nur die Außenfläche ist zu berücksichtigen) 0. Schätzen Sie ab, wie schwer die Abdeckung ist, wenn das Material Stahl ist und eine Dicke von mm aufweist..0 Von einer Kugel werden zwei gleich große Kappen so abgefräst, dass die beiden Flächen parallel zueinander stehen. Senkrecht zu diesen Flächen wird eine durchgehende Bohrung gefertigt. Alle Maßangaben in mm.. Berechnen Sie das Volumen des entstandenen Körpers.. Berechnen Sie seine gesamte Oberfläche. TS_A00_07 **** Lösungen Seiten (TS_L00_07) (7)

48 (G) Volumen und Oberfläche von Körpern. Ein Graben soll auf eine Länge von 00 m ausgebaggert werden. Der Graben hat durchgängig eine Breite von,8 m und eine Tiefe von, m. Das Aushubmaterial wird kegelförmig zwischengelagert. Welchen Durchmesser hat der Kegel auf dem Lagerplatz, wenn sein Böschungswinkel 0 beträgt?. Aus einem Zylinder wird ein Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe herausgebohrt (vgl. Axialschnitt rechts). Berechnen Sie a) das Volumen b) die Oberfläche des Restkörpers. 4. Eine Kugel mit Radius r cm schwimmt im Wasser. Dabei ist ein Fünftel ihrer Oberfläche von Wasser bedeckt. a) Wie tief ist die Kugel in das Wasser eingetaucht? b) Welches Volumen der Kugel befindet sich unter Wasser? TS_A00_07 **** Lösungen Seiten (TS_L00_07) 4 (7)

49 (G) Volumen und Oberfläche von Körpern. Definitionen Es werden folgende Symbole verwendet: r Kugel-, Kegel-, Zylinderradius M Mittelpunkt der Kugel d Kugel-, Kegel-, Zylinderdurchmesser M Mantelfläche r /r Radius eines Schnittkreises V Volumen (Rauminhalt) h Höhe eines Kugelabschnitts, einer(s) O Oberflächeninhalt Kugelzone, Kegels oder Zylinders s Länge der Kegelmantellinie. Formeln Kugel Volumen Oberfläche Kugelradius V 4 r V d 6 V O 6 O 4r O d O 6 V r O r V 4 Kugelabschnitt - Kugelsegment - Kugelkappe Volumen V h r h 6 V h rh 6 V h d h Mantelfläche M rh Mdh M r h Oberfläche Mantel + Kreis O rhr O h r O h 4rh Radius des Schnittkreises: r h r h TS_A00_07 **** Lösungen Seiten (TS_L00_07) 5 (7)

50 (G) Volumen und Oberfläche von Körpern Kugelausschnitt - Kugelsektor Volumen V V 6 r h d h Oberfläche O r hr O r h hrh Kugelschicht - Kugelzone Volumen V h r r h 6 Mantelfläche (ohne Grund- und Deckfläche) M rh Mdh Oberfläche O rhr r O dhr r Gerader Kegel Volumen V r h d h Mantelfläche (ohne Grundfläche) Mrs ds Oberfläche d d O r rs s Länge der Kegelmantellinie: s r h TS_A00_07 **** Lösungen Seiten (TS_L00_07) 6 (7)

51 (G) Volumen und Oberfläche von Körpern Gerader Kegelstumpf Volumen V hr rr r V hd d d d Mantelfläche (ohne Grund- und Deckfläche) Ms r r s d d Oberfläche O s r r r r O sddd d 4 Mantellinie s h r r 4h d d Gerader Zylinder Volumen V V 4 r h d h Mantelfläche (ohne Grund- und Deckfläche) M rh Mdh Oberfläche O r rh O d d h TS_A00_07 **** Lösungen Seiten (TS_L00_07) 7 (7)

52 (H) Trigonometrie Grundlagenwissen: Sin, Cos, Tan, Sinussatz, Kosinussatz, Flächenberechnung Dreieck, Pythagoras..0 Gegeben ist ein Dreieck ABC mit a 8 cm, c 0 cm, 60. Berechnen Sie die Seite b sowie die Winkel und.. Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks..0 Gegeben ist nebenstehende Figur. Berechnen Sie die Länge der Strecke x und y..0 Gegeben ist ein Kurbeltrieb in schematischer Darstellung mit Kurbelradius r 0mm, Schubstangenlänge l 650 mm. Berechnen Sie und x für 0.. Berechnen Sie den größtmöglichen Winkel. 4.0 Nebenstehend abgebildete Stahlkonstruktion ist gegeben. 4. Berechnen Sie die Länge der Streben x und y. (BD ist eine Gerade) TS_A00_08 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_08) (5)

53 (H) Trigonometrie 5.0 Drei Teilkreise berühren sich wie in der Zeichnung angegeben. Alle Längen in mm. 5. Berechnen Sie den Winkel. 5. Berechnen Sie die Längen x und y. 6. Gegeben ist nebenstehende Figur mit a 5m b 4,5m c,5m d 7m Berechnen Sie die Winkel, und. 7.0 Zwei Kreise ( 60 und 00 ) werden tangential mit je einem Radius R0 verbunden (vgl. Skizze rechts). Zwischen den Mittelpunkten der Kreise ist ein Dreieck aufgespannt. 7. Berechnen Sie die Winkel, und. 7. Berechnen Sie die Strecken x und y. Alle Längen in mm 8. Berechnen Sie die Länge der Strecke CD für nebenstehende Figur. (Vorwärtseinschneiden) AB 8 cm TS_A00_08 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_08) (5)

54 (H) Trigonometrie 9. Gegeben ist nebenstehendes Viereck ABCD mit AB cm BC 5 cm AC 0,4 cm BD,5 cm 0 Berechnen Sie die Strecken x CD und y AD. y x 0.0 Auf den 4 Seiten eines Rechtecks mit den Längen a 8cm und b 4cm wird die Strecke x abgetragen (siehe nebenstehende Skizze). 0. Stelle einen Term auf für den Flächeninhalt des Parallelogramms RSTU in Abhängigkeit von x. 0. Für welches x ist der Flächeninhalt des Parallelogramms am kleinsten? Gib diesen Inhalt an.. In ein Rechteck ist ein Dreieck einbeschrieben. Stelle einen Term für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von x auf (vgl. nebenstehende Skizze). Für welches x ist der Flächeninhalt minimal? Gib diesen minimalen Flächeninhalt an. Alle Längen in cm. Zwei unterschiedlich lange Stangen sind mit einem Drehgelenk verbunden (). Das Gelenk wird nun m hochgehoben, damit hat die längere Stange einen Winkel von 5 und die kürzere Stange einen Winkel von 0 zur Waagerechten (). Berechne die Höhe h des Gelenks und den Winkel der kürzeren Stange, wenn die längere Stange einen Winkel von 0 zur Waagerechten aufweist (). TS_A00_08 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_08) (5)

55 (H) Trigonometrie. Fertige von der nachfolgenden Abbildung eine vereinfachte Zeichnung im Maßstab : an und berechne damit die Höhe h des Turms in Metern. 4.0 Eine rechteckige Kiste,,60 m breit und,0 m lang, blockiert eine Durchfahrt. 4. Wie breit ist die Durchfahrt, wenn 8 ist? 4. Welchen Wert hat, wenn die Durchfahrt,50 m breit ist? 5. In einem Dreieck ABC sind a 5cm, b 6cm, c 8cm.. Wie lang ist die Winkelhalbierende w? 6. Wie groß sind der Radius r und die Sehne s eines Kreises, wenn a,0cm und r s cm? (vgl. Bild rechts) TS_A00_08 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_08) 4 (5)

56 (H) Trigonometrie 7. Nebenstehend abgebildete Figur setzt sich aus einem Halbkreis und einem gleichschenkligen Dreieck zusammen. Gegeben sind: RS 8 cm 6 Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang der Figur. 8.0 In einem Koordinatensystem sind die Punkte eines Dreiecks ABC gegeben mit A0 0,B5,5,C 8. Berechnen Sie vom Dreieck ABC: 8. Die Länge der Seiten AB, BC, AC. 8. Die Winkel,,. 8. Den Flächeninhalt. TS_A00_08 **** Lösungen 6 Seiten (TS_L00_08) 5 (5)

57 (I) Einfache Differential- u. Integralrechnung, Analysis Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte.. Bestimmen Sie die Stammfunktion F(x) der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden. a) f(x) 5x b) d) f(x) 5x e) g) f(x) h) x f(x) x c) f(x) x 6 f) 6 4 f(x) x 7x x i) 5 7 k) f(x) x l) f(x) 4 x x m) f(x) 4x f(x) x 5x f(x) x 8x x x. Erstellen Sie jeweils die erste Ableitung. 5 a) f(x) 4x b) f(x) 0,0x c) f(x) 8 d) x x x f(x) x 7x e) f(x) 5x x f) f(x) g) 5 8 f(x) h) f(x) i) f(x) 9 x x 5x k) f(x) x l) 5 f(x) x m) f(x) 9 x 5,5n n) f(x) o) f(x) p) f(x) x 4 5 x x q) f(x) cos x r) f(x) x cos x s) f(x) sin x cos x t) f(x) x x e u) w) f(x) cosx z) f(x) f(x) x x x) f(x) cosx 5x 8 4x v) f(x) x 5 x x y) f(x) 6x 4x 4 TS_A00_09 **** Lösungen 4 Seiten (TS_L00_09) (5)

58 (I) Einfache Differential- u. Integralrechnung, Analysis.0 Gegeben ist die Funktion f(x) x x 4. Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x - Achse im Bereich von x 0,5 und x,5.. Bestimmen Sie die.,. und. Ableitung der folgenden Funktion. f(x) x 6x x 4.0 Gegeben ist die Funktion f(x) x 4x 8x. mit den Nullstellen x 0, x Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve von x 0 bis x Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktion f(x). bis eine Konstante übrig bleibt. 5.0 Gegeben ist die Funktion f(x) x x x mit den Nullstellen x, x, x Berechnen Sie die farbige Fläche unter dem Graphen zwischen den Nullstellen x und x. 5. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f(x). f(x) x x x TS_A00_09 **** Lösungen 4 Seiten (TS_L00_09) (5)

59 (I) Einfache Differential- u. Integralrechnung, Analysis 6.0 Gegeben ist die Funktion f(x) x x. 6 8 im Intervall ; 5 6. Bestimmen Sie die.,. und. Ableitung der Funktion f(x). 6. Berechnen Sie die Fläche A unter dem Graphen zur x - Achse im Intervall 0; 7.0 Gegeben ist die Funktion f(x) x x x, mit den Nullstellen x,5, x, x Bestimmen Sie die.,. und. Ableitung der Funktion f(x). 7. Berechnen Sie die Fläche A unter bzw. über dem Graphen zur x - Achse im Intervall,5; Gegeben ist die Funktion f(x) x x mit den Nullstellen x, x. 8. Berechnen Sie die Fläche A unter bzw. über dem Graphen zur x - Achse im Intervall ; 8. Bestimmen Sie die.,. und. Ableitung der Funktion g(x). 4 g(x) 8x 4x x. 9.0 Gegeben ist die Funktion 4 f(x) 0,x x 9. Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion f(x) mit der x - Achse im Intervall 0; einschließt. 9. Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f(x). TS_A00_09 **** Lösungen 4 Seiten (TS_L00_09) (5)