Universität Karlsruhe (TH) Institut für Hochfrequenztechnik und Elektronik. Skriptum zur Vorlesung. Hochfrequenztechnik. von. Prof. Dr.-Ing. T.

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1 Universität Karlsruhe (TH) Institut für Hochfrequenztechnik und Elektronik Skriptum zur Vorlesung Hochfrequenztechnik von Prof. Dr.-Ing. T. Zwick 13. Auflage Gesamtüberarbeitung von: Elena Pancera Wintersemester 008/009 Jens Timmermann Postanschrift: Institut für Hochfrequenztechnik und Elektronik Tel.: +49 (0) Kaiserstraße 1 Sekr.: +49 (0) D Karlsruhe Fax.: +49 (0) ihe@ihe.uka.de Gebäude: Engesserstraße 5, Geb

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Feldgesetze Die Maxwell schen Gleichungen 1 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen 7.1 Die Wellengleichung TEM-Welle im freien Raum 9. Reflexion an leitenden Ebenen 1..1 Welle längs einer leitenden Ebene 13.. Senkrechte Reflexion Schräge Reflexion Ebene Welle mit E senkrecht zur Einfallsebene (H-Welle) Ebene Welle mit H senkrecht zur Einfallsebene (E-Welle) 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Wellen im Rechteckhohlleiter E-Wellen (TM-Wellen) im Rechteckhohlleiter H-Wellen (TE-Wellen) im Rechteckhohlleiter Allgemeine Gesetzmäßigkeiten zur Ausbreitung im luftgefüllten Hohlleiter Der magnetische Grundmode im Rechteckhohlleiter Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt E-Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt H-Wellen im Kreisquerschnitt Wellenleiter mit anderen Querschnitten Messung der Leitungsgrößen Reihenansatz zur Lösung der Wellengleichung (Orthogonalreihenentwicklung) Konforme Abbildung Zerlegung in berechenbare Teilstrukturen Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 55

4 ii Inhaltsverzeichnis Stromkreise der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter Stromkreise der E 01 -Welle im kreiszylindrischen Hohlleiter Verluste der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter Verluste im Rechteck- und Rundhohlleiter für beliebige Moden Hohlleiter mit aperiodischer Dämpfung Anwendungsbeispiele für die aperiodische Dämpfung Einfluss dielektrischer und magnetischer Materialien Ebene Welle im dielektrischen oder magnetischen Material Randbedingungen an dielektrischen Grenzflächen Reflexion an dielekrischer bzw. magnetischer Grenzschicht Anschauliche Herleitung der Fresnelschen Reflexionskoeffizienten 87 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Leitungssysteme in der Mikrowellentechnik Anwendung der Leitungstheorie auf Hohlleiter Einkopplung in Wellenleiter zur Erregung bestimmter Moden Anregung der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter Resonatoren Allgemeine Grundlagen zu Resonatoren Impedanzverhalten von Resonatoren Einfluss der Kopplung Resonanzen eines Quaders (Rechteckhohlleiter) Resonanzen eines Zylinders Dielektrische Resonatoren Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen Allgemeine Eigenschaften von Kopplern Parallelverzweigung Resistiver Teiler Wilkinson Leistungsteiler Serienverzweigung λ/4 Leitungskoppler (Rat race ring) Magisches T (magic tee) T EM-Leitungskoppler Hohlleiterrichtkoppler Reflexionsfreie Abschlusswiderstände und Dämpfungsglieder 146

5 Inhaltsverzeichnis iii Absorber Dämpfungsglieder Phasenschieber Diskrete Blindelemente in Leitungen MEMS-Schalter Nichtreziproke Bauelemente Grundlagen gyrotroper Medien Der Permeabilitätsttensor Zirkular polarisierte Felder Verluste Richtungsleitung mit Faraday-Drehung Resonanzrichtungsleitung Zirkulatoren Mikrowellensystemtechnik 189 A Anhang 193 A.1 Englische Übersetzungen 193 A. Schreibweise orts- und zeitabhängiger Größen 193 A.3 Mathematische Symbole 195 A.4 Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen 196

6 iv Inhaltsverzeichnis

7 1. Allgemeine Feldgesetze 1.1. Die Maxwell schen Gleichungen Der Abschnitt befasst sich, wie alle weiteren, falls nicht anders gekennzeichnet, mit zeit- und ortsabhängigen Feldern in Nichtleitern. In diesen Medien fließen keine Ströme, die Eigenschaften der Medien sind durch die Dielektrizitätszahlen ε und Permeabilitätszahlen µ gekennzeichnet. Die Felder werden durch die elektrische Feldstärke E und die magnetische Feldstärke H beschrieben. Zwischen E und H bestehen die von Maxwell im Jahre 1864 aufgestellten Feldgleichungen. Die Maxwell schen Gleichungen wurden 1888 erstmalig von Heinrich Hertz nachgeprüft. Sie wurden bis heute nicht theoretisch bewiesen, doch gilt es als gesichert, dass sie das elektromagnetische Verhalten richtig beschreiben, so lange man sie im makroskopischen Bereich anwendet. Die vollständigen Maxwell schen Gleichungen lauten: H = D t + J (1.1) E = B t (1.) B = 0 (1.3) D = ρ (1.4) Die Lösungen dieser Gleichungen sind so vielfältig, dass allgemein und auf die jeweilige Aufgabe bezogen Einschränkungen gemacht werden müssen und Randbedingungen anzusetzen sind.

8 1 Allgemeine Feldgesetze Einschränkungen: Feldraum ladungsfrei: Feldraum stromfrei: ρ = 0 (1.5) J = 0 (1.6) Feldraum homogen und isotrop: D = ε E = ε 0 ε r E (1.7) B = µ H = µ 0 µ rh (1.8) c = 1 = c 0 µε µr ε r (1.9) Diese Einschränkungen führen zu einer Vereinfachung der Maxwell schen Gleichungen (1.1) bis (1.4): H = ε E t (1.10) E = µ H t (1.11) µ H = 0 H = 0 (1.1) E = 0 (1.13) Aus den Gleichungen (1.10) und (1.11) erhält man die Komponenten: und H z y H y = ε E x z t H x z H z x = ε E y t H y x H x y = ε E z t E z y E y = µ H x z t E x z E z x = µ H y t E y x E x y = µ H z t (1.14) (1.15) (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) Die Maxwell schen Gleichungen beschreiben mit (1.14) bis (1.16) und (1.17) bis (1.19) das Durchflutungs- und das Induktionsgesetz. Im folgenden wird gezeigt,

9 1.1 Die Maxwell schen Gleichungen 3 dass die Feldvektoren des Gleichungssystems (1.14) bis (1.16) und (1.17) bis (1.19) auch aus elementaren Überlegungen gewonnen werden können. Dies ist immer dann von Bedeutung, wenn Feldkonfigurationen numerisch ausgewertet werden müssen. y y E y (x) -E x (y) E x (y+ y) -E y (x+ x) z H z t x x Bild 1.1.: Koordinatensystem zur Berechnung der Feldkomponenten In einem rechtshändigen Koordinatensystem nach Abbildung 1.1 folgt aus dem Induktionsgesetz für die Feldkomponenten nach Abbildung 1.1: S dh Ed s = µ dt d F (1.0) E y (x) y + E x (y + y) x E y (x + x) y E x (y) x = µ H z x y (1.1) t Hieraus folgt durch Sortieren und Division durch x y: [ ] [ ] Ey (x + x) E y (x) Ex (y + y) E x (y) + x y F = µ H z t Durch Bilden des Grenzübergangs ( x 0, y 0) ergibt sich (1.) E y x E x y = µ H z t (1.3) was identisch ist mit Gleichung (1.19). In gleicher Weise können aus dem Induktionsgesetz, das in Abbildung 1. anschaulich dargestellt ist, die weiteren beiden magnetischen Feldkomponenten H x und H y berechnet werden.

10 4 1 Allgemeine Feldgesetze H wächst wachsendes magnetisches Feld d Randkurve df E Richtung des Feldes Umlaufsinn Bild 1..: Induktionsgesetz Das Durchflutungsgesetz nach Abbildung 1.3 liefert die elektrischen Feldkomponenten gemäß Gleichung (1.14) bis (1.16) aus den magnetischen Feldkomponenten. E wächst wachsendes elektrisches Feld d Randkurve H Richtung des Feldes df Umlaufsinn Bild 1.3.: Durchflutungsgesetz Es ist das Verdienst Maxwells, dass er erkannt hat, dass das Durchflutungsund Induktionsgesetz in gleicher Weise wie bei Leitern die Vorgänge im nichtleitenden Raum beschreiben. Wir beschränken uns nun auf rein harmonische Vorgänge, die sich nur in einer Richtung des Raumes wellenförmig fortpflanzen. Als Fortpflanzungsrichtung wählen wir willkürlich die ( z)-richtung in Anlehnung an die elementare Leitungstheorie. Diese Einschränkungen kommen im folgenden Ansatz zum Ausdruck, der für solche Leitungen gilt, die in z-richtung homogen sind: { } E = e(x, y, z, t) = Re E(x, y)e (γz+jωt) (1.4) H = { } h(x, y, z, t) = Re H(x, y)e (γz+jωt) (1.5) mit γ = α + jβ (1.6)

11 1.1 Die Maxwell schen Gleichungen 5 z = γ jβ z (verlustarm) t = jω (1.7) β z = k z = π λ z (Wellenzahl) (1.8) Aus den Gleichungen (1.14) bis (1.16) und (1.17) bis (1.19) erhält man unter den gemachten Voraussetzungen: jωεe x + jβ z H y = H z y jβ z E x + jωµh y = E z x jωεe y + jβ z H x = H z x jβ z E y jωµh x = E z y (1.9) (1.30) (1.31) (1.3) und durch Auflösung dieser zwei Systeme von je zwei linearen Gleichungen und Einführung der Lichtgeschwindigkeit c im Medium: c = 1 µε = c 0 µr ε r c 0 = 1 µ0 ε 0 (Vakuum) (1.33) ( ) ω E x c β z ( ) ω E y c β z ( ) ω H x c β z ( ) ω H y c β z E = jβ z z x jωµ H z y E = jβ z z y + jωµ H z x H = jβ z z x + jωε E z y H = jβ z z y jωε E z x (1.34) (1.35) (1.36) (1.37) Aus den Gleichungen (1.34) bis (1.37) können aus den Längskomponenten E z und H z die weiteren Feldkomponenten berechnet werden, wenn (ω /c β z) 0 ist. Für E z = 0 und H z = 0 folgt umgekehrt, dass ω /c = βz, d.h. die Phasengeschwindigkeit v Ph einer TEM-Welle gleich der Lichtgeschwindigkeit c ist. Auf die Phasengeschwindigkeit wird in Kapitel näher eingegangen.

12 6 1 Allgemeine Feldgesetze

13 . Die Wellengleichungen und Ebene Wellen Bei einer ebenen Welle ist die Fortpflanzungsrichtung der Welle in allen Punkten des Raumes die gleiche. Senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung stehen die ebenen Wellenfronten mit konstanter Phase, die sich mit der Phasengeschwindigkeit v Ph in Fortpflanzungsrichtung verschieben. Im allgemeinsten Fall hat die Welle ein elektrisches Feld in allen drei Raumrichtungen, also die Komponenten E x, E y und E z. Ebenso hat dann auch das magnetische Feld die drei Komponenten H x, H y und H z. Alle sechs Feldkomponenten können ortsabhängig sein. In der Praxis sind die einfachsten Fälle am häufigsten. In vielen Fällen wird die Bearbeitung durch geeignete Wahl des Koordinatensystems erleichtert..1. Die Wellengleichung Aus den Maxwell-Gleichungen folgt, dass alle kartesischen Komponenten der Felder in einem homogenen, isotropen ( ε = 0, µ = 0), ladungsfreien, stromfreien Medium, nämlich E x, E y, E z, H x, H y, H z, und zwar die Augenblickswerte (nicht die komplexen Amplituden), der Wellengleichung genügen: (U stellvertretend für die Komponenten von E oder H) U = 1 c U t (.1) Wir beweisen dies z.b. für die Komponenten von E, indem wir von Gleichung (1.11) die Rotation bilden: E = µ H t (.)

14 8 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen Da wir stetig differenzierbare Felder voraussetzen, können wir rechts die Reihenfolge der örtlichen und zeitlichen Differentiation vertauschen und Gleichung (1.10) einsetzen. E = µ t Unter Benutzung der Operatorenidentität ( H ) = µε E t = 1 E (.3) c t U = U U (.4) und Gleichung (1.13) folgt die Vektordifferentialgleichung E = 1 c E t (.5) wie für Gleichung (.1) zu beweisen war. Für H gilt das gleiche, da Raumladungsfreiheit vorausgesetzt wurde (siehe Gleichung (1.1)). Geht man nun wieder zur komplexen Darstellung der Felder über mit verlustarm vorausgesetzter Ausbreitung in ( z)-richtung { } e(x, y, z, t) = Re E(x, y)e jβ zz e jωt { } h(x, y, z, t) = Re H(x, y)e jβ zz e jωt (.6) (.7) erhält man aus der Wellengleichung (.1) und aus Gleichung (.6) für die z-komponente des elektrischen Feldes: E z x + E z y + ( ω c β z ) E z = 0 (.8) Auf gleiche Weise ergibt sich für die z-komponente des magnetischen Feldes ( ) H z + H z ω + x y c β z H z = 0 (.9) Da alle weiteren Feldkomponenten aus den z-komponenten berechnet werden können, ist der erste Schritt zur Lösung der Feldgleichungen die Lösung der Wellengleichungen (.8) und (.9). Zur Lösung der Wellengleichung ist es günstig, zwei Fälle zu unterscheiden 1.. ω c β z = 0 v Ph = ω = c β z (.10) ω c β z 0 (.11)

15 .1 Die Wellengleichung 9 wobei für den 1. Fall aus Gleichung (.10) gilt: ( ) β0 = ω π c = = β z β x = β y = 0 (.1) λ 0 Gelegentlich werden die Phasenkonstanten β in der Literatur auch als Wellenzahlen k bezeichnet TEM-Welle im freien Raum Bei einer T EM-Welle (T ransversale Elektro-M agnetische Welle) existieren keine Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung, d.h.: E z 0 H z 0 (.13) und es gilt die zweidimensionale Laplace-Gleichung sowohl für das elektrische als auch für das magnetische Feld: E x + E = 0 (.14) y H x + H y = 0 (.15) Die T EM-Welle ist existent auf Koaxialleitungen und artverwandten Leitungen, z.b. verschiedenen Typen der Streifenleitung, sowie im freien Raum. Sie hat keine Lösung im einfach zusammenhängenden Raum mit ideal leitendem Rand, wie der Hohlleiter es darstellt. Aus den Gleichungen (1.9) bis (1.3) verbleiben für die ebene Welle im freien Raum die Gleichungen (β z = β 0 ): β 0 H y = ωεe x (.16) β 0 E x = ωµh y (.17) β 0 H x = ωεe y (.18) β 0 E y = ωµh x (.19) Aus den Gleichungen (.16) bis (.19) ergibt sich durch Multiplizieren von Gleichung (.18) mit Gleichung (.19) und dividieren durch H x E y für µ = µ 0 (µ r = 1)

16 10 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen und ε = ε 0 (ε r = 1): β 0 ist die Phasenkonstante im freien Raum. β = β 0 = ω ε 0 µ 0 = ω 0 c 0 (.0) Dividiert man die Gleichungen (.18,.19) durch H x, bzw. Gleichungen (.16,.17) durch H y, so erhält man E y = E x µ0 = = Z F0 = 10πΩ (.1) H x H y ε 0 Z F0 ist eine reelle und für alle Punkte des Raumes gleiche Zahl mit der Dimension eines Widerstandes und wird der Feldwellenwiderstand des freien Raumes genannt. E y und H x (bzw. E x und H y ) sind überall gleichphasig und stehen senkrecht aufeinander und sind in einem konstanten Verhältnis. Die Welle ist in positiver und negativer Richtung ausbreitungsfähig. Eine T EM- Welle, die sich in Richtung abnehmenden z bewegt, hat z.b. die komplexe Darstellung: E y = E 0 e +jβ 0z = H 0 Z F0 e +jβ 0z H x = H 0 e +jβ 0z = E 0 Z F0 e +jβ 0z (.) (.3) E 0 und H 0 sind komplexe Konstanten und stellen die Werte von E y und H x am Ort z = 0 dar. Nach Gleichung (.1) ist auch E 0 /H 0 = Z F0. E 0 und H 0 sind gleichphasig. Es kann entweder E 0 oder H 0 frei gewählt werden. E 0 = E 0 e jϕ 0 H 0 = H 0 e jϕ 0 E 0 H 0 = Z F0 (.4) Es ist weiter λ 0 = π β 0 = die Wellenlänge im freien Raum und 1 f ε = c 0 0 µ 0 f = v Ph f v Ph = ω β 0 = 1 ε0 µ 0 = c m s (.5) (.6) die Phasengeschwindigkeit, die gleich der Lichtgeschwindigkeit c 0 ist (Maxwell 1864). Die bei der Freiraumwelle auftretenden Größen β 0, λ 0, Z F0 und c 0 erhalten den Index 0, um sie von den entsprechenden Größen bei anderen Wellen zu unterscheiden.

17 .1 Die Wellengleichung 11 Für die Momentanwerte einer in Richtung abnehmender z wandernden Welle ergibt sich somit: ( e y = E 0 cos ωt + π ) z + ϕ 0 (.7) λ ( 0 h x = H 0 cos ωt + π ) z + ϕ 0 (.8) λ 0 e y µ0 = Z F0 = (.9) h x ε 0 Die Leistungsdichte S (komplexer Poyntingvektor) in einem ebenen Wellenfeld ergibt sich aus dem vektoriellen Produkt S = 1 ( E ) { } H mit Re S = s(t) (.30) da E y und H x senkrecht aufeinander stehen und gleichphasig sind, zu: S z = 1 E yh x = 1 E 0H 0 (.31) S z ist hier reell. Die Leistung wird in Wellen transportiert. Am negativen Vorzeichen in Gleichung (.31) erkennt man, dass sich die Welle in negativer z-richtung ausbreitet. H H S E E S Bild.1.: Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke E, magnetischer Feldstärke H und Leistungsdichte S Wenn S in Abbildung.1 die Fortpflanzungsrichtung der Welle (Richtung des Energietransports) darstellt, so folgt aus Gleichung (.30), dass der Vektor E der elektrischen Feldstärke, der Vektor H der magnetischen Feldstärke und die Richtung des Energietransports senkrecht aufeinander stehen und in der hier angegebenen Reihenfolge ein rechtshändiges System bilden (Daumen ist E, Zeigefinger

18 1 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen ist H und Mittelfinger ist S). Wenn man die Eigenschaften einer solchen ebenen Welle vollständig beschreiben will, so gibt man die Richtung der Fortpflanzung sowie die Amplitude und die Raumrichtung der elektrischen Feldstärke an. Die magnetische Feldstärke ist dann durch Gleichung (.1) und Abbildung.1 vollständig bestimmt. Die Richtung der elektrischen Feldstärke wird als die Polarisationsrichtung der Welle bezeichnet... Reflexion an leitenden Ebenen Im Abschnitt.1 wurden Einschränkungen allgemeiner Art zur Vereinfachung der Maxwellgleichungen angesetzt für Wellen im freien Raum. In diesem Abschnitt bringen wir in die Ausbreitungsrichtung der Welle eine leitende ebene Fläche ein. Eine solche, als ideal leitend angenommene Fläche erzwingt gewisse Feldzustände, welche als Randbedingungen bezeichnet werden: auf ideal leitenden Flächen kann keine tangentiale elektrische Feldstärke existieren: e tan = 0 E tan = 0 E tan = 0 (.3) für sehr hohe Frequenzen besteht extremer Skineffekt und somit verschwindende Eindringtiefe aller Felder. Damit können an der Wand nur tangentiale magnetische Feldkomponenten existieren: h nor = 0 H nor = 0 H nor = 0 (.33) Wegen der Stetigkeit des elektrischen Feldes folgt aus den Gleichungen (1.34) bis (1.37) auch: H tan n = 0 E n n = 0 (.34) n: Koordinate in Richtung der Wandnormalen

19 . Reflexion an leitenden Ebenen Welle längs einer leitenden Ebene Aus den Randbedingungen (.3) bis (.34) folgt, dass für die Ausbreitung einer ebenen Welle über einer ideal leitenden Ebene nur die in Abbildung. dargestellte Feldkonfiguration möglich ist. y E z x H leitende Ebene Ausbreitungsrichtung Bild..: Ebene Welle längs einer leitenden Ebene Die Welle läuft in Richtung kleiner werdender z-werte. e y und h x sind in Phase und stehen senkrecht aufeinander.... Senkrechte Reflexion Trifft eine ebene Welle wie in Abbildung.3 dargestellt so auf eine ideal leitende Wand, dass beide Feldkomponenten E y und H x parallel zur leitenden Wand liegen, so wird die Welle vollständig reflektiert. Die Existenz einer Feldstärke E y parallel zur Wand ist nach Gleichung (.3) nicht zulässig. Die Wand bildet daher eine Gegenfeldstärke gleicher Größe: E y + E yr = 0 (.35) H x und H xr sind in Phase, da die magnetische Feldstärke nicht beeinflusst wird. Die reflektierte Leistungsdichte S R ist: S R = S = 1 E yrh x (.36) In Abbildung.3 ist das Verhalten dargestellt.

20 14 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen E y E y S S R H x H x y H xr E yr z x Bild.3.: Senkrechte Reflexion einer ebenen Welle..3. Schräge Reflexion Die Berechnung der Wellenfelder einer Welle, welche schräg auf eine ideal leitende Ebene trifft, wird anhand der Randbedingungen (.3) bis (.34) und Abbildung.4 dargestellt. Richtung der ankommenden Welle Richtung der reflektierten Welle z x y C ankommende Wellenfront z A r D x B leitende Ebene Bild.4.: Reflexion bei schrägem Einfall und leitender Ebene in x = 0

21 . Reflexion an leitenden Ebenen 15 Wenn sich die Welle in Ausbreitungsrichtung von Punkt A nach B bewegt, ergeben sich für die Punkte gleicher Phase in der Wellenfront die Strecken: r z = r sin α x = r cosα von A nach B von C nach B (.37) von D nach B Daraus folgt für die Phasengeschwindigkeiten für v Ph = c 0 in Ausbreitungsrichtung mit r = t c 0 : v Ph,z = z t = r t sin α = c 0 sin α v Ph,x = c 0 cosα (.38) Die Phasengeschwindigkeit kann je nach Einfallsrichtung zwischen c 0 und liegen. Die Wellenlänge berechnet sich aus den Phasengeschwindigkeiten: λ = v Ph f c 0 λ z = f sin α = λ 0 sin α c 0 λ x = f cos α = λ 0 cos α (.39) (.40) (.41) Die reellen Momentanwerte der Wellenfeldstärken beschreibt man als Funktion von x und z für die ankommende Welle, analog zu den Gleichungen (.7) und (.8). ( a A = A 0 cos ωt + πx + πz ) + ϕ A λ x λ z (.4) Für die reflektierte Welle folgt sinngemäß ( a R = A 0 cos ωt πx + πz ) + ϕ R λ x λ z (.43) mit geänderten Vorzeichen für die x-komponente. Da die ideal leitende Wand verlustlos ist, transportiert die reflektierte Welle die gleiche Energie, die Feldkomponenten haben die gleichen Amplituden. Die Summe aus einfallender und reflektierter Welle muss auf der leitenden Ebene für x = 0 für alle Werte von y und z gleichzeitig die Randbedingungen (.3) bis (.34) erfüllen. Da die betrachteten ebenen Wellen von y unabhängig sind, ist

22 16 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen dies für alle y erfüllt. Für alle z ist dies nur erfüllbar, wenn ϕ A = ϕ R ist und λ z für a A und a R bei x = 0 gleich ist, d.h. die gleiche z-abhängigkeit gegeben ist. Wie aus den Gleichungen (.4) und (.43) zu sehen ist, folgt aus gleichem λ z : ϕ A = ϕ R (.44) Einfallswinkel = Ausfallswinkel x y ankommende Welle P z P P 1 reflektierte Welle z Bild.5.: Energietransport bei schrägem Einfall Betrachtet man die Wanderung der Energie anhand von Abbildung.5, so wandert die Energie in der Richtung der ankommenden Welle zur leitenden Wand und dann mit der reflektierten Welle weiter. In einem Punkt P des Raumes trifft man Energie einer ankommenden Welle, die im Zeitraum t um das Stück nach P 1 gewandert ist, und Energie einer reflektierten Welle, die im Zeitraum t um das Stück nach P gewandert ist. Die Energiebewegung hat also gleichzeitig eine x- und eine z-komponente. Während jedoch jeder Energiefluss in Richtung wachsender x (nach P ) stets einem gleich großen Energiefluss in Richtung abnehmender x (nach P 1 ) entspricht, also insgesamt in x-richtung keine resultierende Energiebewegung stattfindet, wandern beide Energieteile in Richtung abnehmender z, so dass resultierend eine Energiebewegung parallel zur leitenden Wand entsteht. Im Zeitraum t bewegt sich die Energie um das in Abbildung.5 gezeichnete Stück z = sin α. Mit = c 0 t ist die Geschwindigkeit der Energiebewegung v E = z t = c 0 sin α (.45) kleiner als die Lichtgeschwindigkeit und von v Ph,z aus Gleichung (.38) verschieden. v E nennt man die Energiegeschwindigkeit. Es ist v Ph,z v E = c 0 (.46)

23 . Reflexion an leitenden Ebenen 17 Das schräge Auftreffen einer Welle auf eine leitende Ebene kann mit sehr verschiedenen Feldkonfigurationen erfolgen, je nachdem ob die elektrische oder die magnetische Feldstärke parallel zur Wand liegt. Zusätzlich treten Feldstärken in z-richtung auf. Im folgenden werden zwei prinzipielle Fälle unterschieden, auf die alle ebenen Wellen zurückgeführt werden können durch Zerlegung in Teilwellen. Da die Gleichungen (.9) und (.33), (.34) für H z einerseits, und die Gleichungen (.8) und (.3) für E z andererseits nicht miteinander verkoppelt sind, können sie unabhängig voneinander gelöst werden. Insbesondere können E z und H z unabhängig voneinander zu Null angesetzt werden: H z 0 E z 0 TE bzw. H Welle (.47) (senkrechte Polarisation) H z 0 E z 0 TM bzw. E Welle (.48) (parallele Polarisation)..4. Ebene Welle mit E senkrecht zur Einfallsebene (H-Welle) Eine ebene Welle mit der elektrischen Feldstärke senkrecht zur Einfallsebene (definiert durch den Normalenvektor der Reflexionsfläche und den Richtungsvektor der einfallenden Welle), besitzt bei schrägem Einfall eine magnetische Feldkomponente in z-richtung, wie Abbildung.6 zeigt. Für H-Wellen, für die wie im folgenden Fall H z existiert, gilt E z 0 und so folgt aus den Gleichungen (1.9) bis (1.3): E x = ωµ H β y 0 z (.49) E y = + ωµ H β x z (.50) Die elektrische und die magnetische Querfeldstärke stehen senkrecht aufeinander und sind in Phase. Das Verhältnis ihrer Beträge ist ortsunbahängig und wird als Z FH, das heißt Feldwellenwiderstand der H-Welle, bezeichnet. E y = Z FH = ωµ ωµ = H x β z β 0 sin α = Z F0 sin α (.51)

24 18 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen einfallende Welle H E y H x H reflektierte Welle x y S Einfallsebene E y H z z leitende Ebene x = 0 E yr H zr H xr H R Bild.6.: Schräger Welleneinfall, E senkrecht zur Einfallsebene (bzw. E zur leitenden Ebene (Reflexionsfläche)) Z FH ist reell, solange γ jβ z, d.h. keine Dämpfung vorliegt. Abbildung.6 zeigt die Feldkomponenten der einfallenden H-Welle. E y liegt in der leitenden Ebene. H hat eine Tangentialkomponente H z = H 0 cosα parallel zur Ebene und eine Normalkomponente H x = H 0 sin α senkrecht zur Ebene. Um in der Ebene x = 0 die Randbedingungen zu erfüllen, muss die reflektierte Welle für x = 0 eine elektrische Feldstärke E yr besitzen, die gleich groß wie E y ist, aber entgegengesetzte Richtung hat, und eine senkrechte Komponente H xr des magnetischen Feldes, die gleich groß wie H x ist, aber mit entgegengesetzter Richtung. Da die reflektierte Welle nach Abbildung.4 unter dem gleichen Winkel α fortläuft, muss die tangentiale Komponente H zr der reflektierten Welle gleiche Größe und gleiche Richtung haben wie H z. Es entsteht dann ein magnetischer Feldstärkevektor H R der reflektierten Welle, der bezüglich der Ebene x = 0 das Spiegelbild des Vektors H ist. In der reflektierenden Ebene, d.h. für x = 0 und für alle Werte von y und z, erfüllen die Momentanwerte der Feldstärkekomponenten folgende Bedingungen: e yr = e y h xr = h x = h sin α (.5) h zr = h z = h cosα Man verwendet für die beiden Wellen die Momentanwertdarstellungen der Gleichungen (.4), (.43) und (.44) mit ϕ A = ϕ R = 0. Die Momentanwerte des

25 . Reflexion an leitenden Ebenen 19 Gesamtfeldes sind die Summen der Momentanwerte beider Wellen und erhalten den Index s. Jede Teilwelle hat die Scheitelwerte E 0 und H 0, wobei E 0 /H 0 = Z F0. Das in den folgenden Formeln als frei wählbare Konstante verbleibende H 0 ist also der Scheitelwert der magnetischen Feldstärke der ankommenden Welle. Die Summenkomponente der elektrischen Feldstärke ergibt sich mit den Gleichungen (.4), (.43) und (.5) zu ( e ys = e y + e yr = H 0 Z F0 [cos ωt + πx + πz ) λ x λ ( ) z πx = H 0 Z F0 sin sin Hierbei verwendet man die bekannte Formel λ x cosα cos β = sin α + β ( ωt + πz λ z ( cos ) sin α β ωt πx λ x + πz )] λ z (.53) (.54) Die senkrechte Summenkomponente der magnetischen Feldstärke hat nach den Gleichungen (.5) und (.54) den Momentanwert [ ( h xs = h x + h xr = H 0 sin α cos ωt + πx + πz ) ( cos ωt πx + πz )] λ x λ z λ x λ ( ) ( z πx = H 0 sin α sin sin ωt + πz ) (.55) λ x λ z Die tangentiale magnetische Komponente ergibt sich zu [ ( h zs = h z + h zr = H 0 cosα cos ωt + πx + πz ) ( + cos ωt πx + πz )] λ x λ z λ x λ ( ) ( z πx = H 0 cosαcos cos ωt + πz ) (.56) λ x λ z Hierbei verwendet man die Formel cosα + cosβ = cos α + β cos α β (.57) Die Feldstärkeformeln zeigen, dass die Zeitabhängigkeit nur noch in der Form (ωt + πz/λ z ) vorkommt. Die Summenwelle hat daher die Form einer nur in ( z)-richtung fortschreitenden Welle mit der Phasengeschwindigkeit v Ph,z nach Gleichung (.38) und der Wellenlänge λ z nach Gleichung (.40). Die x-abhängigkeit hat nur noch die Form sin(πx/λ x ) oder cos(πx/λ x ) und ist frei von t. In x-richtung hat daher die Summenwelle die Eigenschaften einer stehenden Welle mit der Wellenlänge λ x nach Gleichung (.41); es besteht eine Analogie zu

26 0 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen einer stehenden Welle auf einer am Ende kurzgeschlossenen Leitung. Die x- Komponente der Wellenbewegung wird an der leitenden Ebene vollständig reflektiert. Wenn nach Abbildung.1 der Energietransport senkrecht zu E und H erfolgt, so ergibt sich senkrecht zu den Komponenten E ys und H xs ein Energietransport in z-richtung. Da E ys und H xs die gleiche Zeitabhängigkeit besitzen, also phasengleich sind, kann man das Integral aufstellen und erhält ein Integral über die Funktion cos, das stets positive Werte hat. Die Leistung P ist gegeben durch dp = S df als die Leistung, die durch eine Fläche df senkrecht zur z-richtung durchtritt. S als Produkt von E y und H x ist nach den Gleichungen (.53) und (.55) abhängig von x, weil diese Feldstärken nach Abbildung.7 längs der x- Richtung wie sin(πx/λ x ) schwanken. S ist dort am größten, wo sin(πx/λ x ) seine Maxima besitzt, also bei x = λ x /4 + n λ x / S ist Null, wo sin(πx/λ x ) seine Nullstellen hat, also bei x = n λ x / Es gibt auch einen Energietransport in x-richtung senkrecht zu E y und H z. Da diese beiden Komponenten nach den Gleichungen (.53) und (.56) eine Phasendifferenz π/ besitzen, ergibt dieser Energietransport Blindleistung, und die Leistung P hat in x-richtung den zeitlichen Mittelwert Null. Die phasengleichen Komponenten e ys und h xs haben für alle Punkte des Raumes und für alle Zeiten t den reellen Quotienten e ys h xs = Z F0 sin α = Z FH (.58) was identisch ist mit Gleichung (.51), da β z = β 0 sin α. Es ist Z FH > Z F0 und Z FH um so größer, je steiler die Welle einfällt. Abbildung.7 zeigt das Momentanbild einer solchen Welle in schematischer Darstellung mit den Komponenten e ys aus Gleichung (.53), h xs aus Gleichung (.55) und h zs aus Gleichung (.56). Wie bei jeder Welle gibt es im Momentanbild Maxima des e ys längs Ebenen z = const., die Abstände λ z / haben. In diesen Ebenen ist nach Gleichung (.56) h zs = 0. Diese Ebenen sind als senkrechte Geraden in Abbildung.7 angedeutet, und rechts ist der Verlauf des e ys längs einer solchen Linie gezeichnet. Es gibt Nullstellen von e ys und h xs in Ebenen x = const.,

27 . Reflexion an leitenden Ebenen 1 die parallel zur leitenden Ebene liegen und von ihr den Abstand λ x / bzw. n λ x / haben. Diese sind in Abbildung.7 durch waagrechte Geraden angedeutet. Dazwischen gibt es Ebenen x = const. mit Maxima von e ys und h xs. Eine solche Ebene ist in Abbildung.7 oben als gestrichelte Gerade angedeutet und längs ihr die Momentanverteilung des e ys schematisch gezeichnet. Bei der Konstruktion der magnetischen Feldlinien ist zu beachten, dass h xs nach Gleichung (.55) von sin-funktionen und h zs nach Gleichung (.56) von cos-funktionen abhängt. Die Größe und Richtung der magnetischen Summenfeldstärke h s ist für jeden Punkt aus den Komponenten h xs und h zs zu konstruieren (Abbildung.7, linkes oberes Rechteck). Dies ergibt dann die in Abbildung.7 in einer senkrechten Ebene y = const. gezeichneten ringförmigen magnetischen Feldlinien, die in Rechtecken liegen, welche durch Geraden begrenzt werden, für die gilt: h xs = 0 oder h zs = 0. In benachbarten Rechtecken ist der Umlaufsinn der H-Feldlinienringe entgegengesetzt, da sin und cos ihr Vorzeichen jeweils nach einer halben Wellenlänge ändern. Dadurch ergibt sich überall dort, wo die Rechtecke aneinanderstoßen, gleiche Richtung benachbarter H-Feldlinien. e ys und h xs maximal h zs = 0 e ys für x = const. e ys = 0 h xs = 0 e ys = 0 h xs = 0 x / x / x /4 h ---- xs h s h zs e ys für z = const. z/ z/ x y leitende Ebene x = 0 z Bild.7.: Summenwelle bei schrägem Einfall; H-Welle (Momentanbild bei ωt = π/)

28 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen..5. Ebene Welle mit H senkrecht zur Einfallsebene (E-Welle) Eine ebene Welle mit der magnetischen Feldstärke senkrecht zur Einfallsebene (definiert durch den Normalenvektor der Reflexionsfläche und den Richtungsvektor der einfallenden Welle), besitzt bei schrägem Einfall eine elektrische Feldkomponente in z-richtung, wie Abbildung.8 zeigt. Sinngemäß gilt auch hier, was am Schluss des Abschnittes..3 dargestellt wurde. E z 0 H z 0 TM bzw. E Welle (.59) Aus den Gleichungen (1.9) bis (1.3) folgt: E x = β z ωε H y 0 (.60) E y = + β z ωε H x (.61) Da die elektrische und magnetische Querfeldstärke senkrecht aufeinander stehen und phasengleich sind, folgt aus den Gleichungen (.60) und (.61) der Feldwellenwiderstand Z FE zu: E y = Z FE = β z H x ωε = β 0 sin α ωε = Z F0 sin α Z F0 (.6) Z FE ist orts- und zeitunabhängig und reell, solange die Dämpfung klein ist und γ jβ z gilt. Die einfallende E-Welle ist in Abbildung.8 mit allen Feldkomponenten dargestellt. einfallende Welle y E E R E yr E y E Einfallsebene S R z x H x S E zr H xr A H x E z leitende Ebene y = 0 Bild.8.: Schräger Welleneinfall; H senkrecht zur Einfallsebene (bzw. H zur leitenden Ebene (Reflexionsfläche))

29 . Reflexion an leitenden Ebenen 3 Im Auftreffpunkt A auf der leitenden Ebene gibt es eine elektrische Komponente E y = E sin α senkrecht zur Ebene, eine Komponente E z = E cosα tangential zur Ebene und eine magnetische Feldstärke H x tangential zur Ebene. E y und H x werden durch die Randbedingungen nicht verändert, so dass bei der Reflexion nur E z durch eine gleich große Gegenfeldstärke E zr zu beseitigen ist. Da die reflektierte Welle die Ebene wieder unter dem gleichen Winkel α verlässt, setzt sich ihre elektrische Feldstärke E R aus diesem E zr und einem E yr parallel zu E y zusammen. Ebenso hat die reflektierte Welle ein H xr parallel zu H x ; vergl. Abbildung.8. E R und H xr bestimmen das S R der reflektierten Welle. Da die Ebene bei der Reflexion keine Leistung verbraucht, ist das reflektierte S R gleich groß wie das ankommende S. Für die Momentanwerte gelten in der reflektierenden Ebene für y = 0 und für alle Werte von x und z die Bedingungen e yr = e y e zr = e z h xr = h x (.63) Die beiden Wellen haben die Scheitelwerte E 0 und H 0 ; E 0 /H 0 = Z F0. Die in den folgenden Gleichungen auftretende, frei wählbare Konstante E 0 ist der Scheitelwert des elektrischen Feldes der ankommenden Welle. In Abbildung.8 ist gegenüber Abbildung.6 das Koordinatensystem um 90 gedreht, so dass jetzt die Koordinate y senkrecht zur leitenden Ebene steht. In Abwandlung der Gleichungen (.39) und (.41) ist daher hier λ y = λ 0 cosα λ z = λ 0 sin α (.64) (.65) wegen sin α + cos α = 1 ist auch 1 λ y + 1 λ z = 1 λ 0 (.66) Analog zu den Gleichungen (.53) bis (.57) können die Summenfeldstärken berechnet werden: [ ( e ys = e y + e yr = E 0 sin α cos ωt + πy + πz ) λ y λ z ( ) ( πy = E 0 sin α cos cos ωt + πz λ y λ z ( + cos ) ωt πy λ y + πz )] λ z (.67)

30 4 Die Wellengleichungen und Ebene Wellen [ e zs = e z + e zr = E 0 cos α cos ( πy = E 0 cosαsin ( ωt + πy λ y λ y ) sin + πz ) λ z ( ωt + πz λ z ( cos ) ωt πy λ y + πz )] λ z (.68) h xs = h x + h xr = E [ 0 cos Z F0 = E 0 Z F0 cos ( ωt + πy + πz ) λ y λ z ( ) πy cos λ y ( ωt + πz λ z ( + cos ) ωt πy λ y + πz )] λ z (.69) Diese Gleichungen stellen wieder eine Welle mit Ausbreitung in Richtung abnehmender z-werte dar. Das Wellenfeld als Momentaufnahme kann aus den Gleichungen (.67) bis (.69) konstruiert werden; siehe Abbildung.9. Im Gegensatz zu Abbildung.7 sind hier die elektrischen Feldlinien geschlossen. ezs = 0 e s e ---- ys e zs h xs für z = const. x / x / ezs = 0 z/ z/ y leitende Ebene y = 0 z x Bild.9.: Summenwelle bei schrägem Einfall; E-Welle (Momentanbild bei ωt = π) Die phasengleichen Komponenten e ys und h xs haben für alle Punkte des Raumes den reellen Quotienten Z FE = e ys h xs = Z F0 sin α Z F0 (.70) wie er sich identisch aus den Maxwell schen Gleichungen nach (.6) ergibt.

31 3. Wellenleiter (Hohlleiter) 3.1. Wellen im Rechteckhohlleiter In Abschnitt..3 wurden die momentanen Feldbilder bei schräger Reflexion berechnet. In diesen Feldern der Abbildungen.7 und.9 gibt es Ebenen im kartesischen Koordinatensystem, welche ohne das Feldbild zu stören, durch leitende Ebenen ersetzt werden können. In Abbildung 3.1 sind solche Schnitte gezogen. Es entstehen rechteckige Hohlleitungen, welche entsprechend ihrer Größe Energie in bestimmten Feldkonfigurationen (sogenannten Moden) weiterleiten. e ys und h xs maximal h zs = 0 e ys für x = const. e ys = 0 x /4 h xs = 0 e ys = 0 h xs = 0 x / h ---- xs h s h zs e ys für z = const. x / z/ z/ x y leitende Ebene x = 0 z Bild 3.1.: Schnittebenen für H-Wellen Prinzipiell kann jeder Mode durch Ansatz der Randbedingungen aus dem Induktionsgesetz und dem Durchflutungsgesetz berechnet werden. Im folgenden

32 6 3 Wellenleiter (Hohlleiter) wird allgemein, ausgehend von der Wellengleichung über einen Separationsansatz die Wellenausbreitung im Rechteckhohlleiter berechnet. Aus der Mathematik ist bekannt, dass eine bestimmte Klasse partieller Differentialgleichungen, zu der auch die Wellengleichung gehört, in bestimmten Koordinatensystemen durch das Verfahren der Koordinatenseparation auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurückgeführt werden kann. Separierbar sind außer den kartesischen Koordinaten insbesondere Kreiszylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten, außerdem elliptische, parabolische und hyperbolische Koordinaten in verschiedenen Kombinationen. Die Aufgabe, elektromagnetische Wellen in metallischen oder dielektrischen Strukturen zu berechnen, ist dann relativ leicht lösbar, wenn die Grenzflächen der Strukturen mit Koordinatenflächen in einem separierbaren Koordinatensystem zusammenfallen. Die Technik hat sich daher weitgehend auf solche Hohlleiterprofile beschränkt, in denen die elektromagnetischen Felder mit tragbarem Aufwand berechenbar sind, insbesondere auf Rechteck- und Kreiszylinderrohre, die auch fertigungstechnische Vorteile bieten, und elliptische Rohre. Das einfachste separierbare Koordinatensystem ist das kartesische und der diesen Koordinaten angepasste Hohlleiterquerschnitt ist das Rechteck nach Abbildung 3.. Das Berechnungsverfahren geht den Weg über die z-komponenten gemäß den Gleichungen (.8) und (.9). Aus den z-komponenten können anschließend alle übrigen Feldstärken berechnet werden mittels der Gleichungen (1.34) bis (1.37) E-Wellen (T M-Wellen) im Rechteckhohlleiter Zunächst soll die Komponente E z und hiervon ausgehend die E-Wellen berechnet werden. Das Rechenverfahren für die H-Wellen verläuft bis zur Einführung der Randbedingungen ebenso. Zur Separation macht man den Produktansatz: E z = P(x) Q(y) (3.1) Dieser Ansatz enthält eine Willkür, die nur durch den Erfolg gerechtfertigt wird.

33 3.1 Wellen im Rechteckhohlleiter 7 y b x a z Bild 3..: Rechteckhohlleiter Setzt man Gleichung (3.1) in Gleichung (.8) ein, so folgt: ( ) d P dx Q + d Q ω dy P + c β z P Q = 0 ( ) d P 1 ω dx P + c β z = d Q dy 1 Q 1 P Q (3.) (3.3) Die linke Seite dieser Gleichung hängt nicht von y ab, die rechte nicht von x, die z- und die t-abhängigkeit wurde bereits separiert, so dass man schließen kann: beide Seiten der Gleichung (3.3) sind konstant. Man bezeichnet diese Konstante mit ky und schreibt: d Führt man eine neue Konstante k x = ω c β z k y Q dy + k yq = 0 (3.4) mit ω c = k 0 (3.5) ein, so kann man eine entsprechende Gleichung für P(x) formulieren: Hierbei gilt: d P dx + k xp = 0 (3.6) k x + k y = ω c β z = β c (3.7) Die Größe ω /c β z wird im folgenden so häufig vorkommen, dass es sich lohnt, hierfür die besondere Bezeichnung β c einzuführen.

34 8 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Die partiellen Differentialgleichungen (.8) und (.9) wurden in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen für P(x) und Q(y) überführt, die einzeln gelöst werden können, wenn die Randbedingungen zu ihnen passen. Das ist hier der Fall, wenn man ein ideal leitendes Rechteckrohr mit den (Innen-)Maßen a und b ansetzt, dessen eine Ecke im Koordinatennullpunkt liegen soll. Dann gilt: für x = 0, x = a E z = 0 und (3.8) für y = 0, y = b Da die Gleichungen (3.4) und (3.6) die Form einer Schwingungsgleichung haben, lassen sich die den Randbedingungen (Gleichung (3.8)) entsprechenden Lösungen sofort angeben: P(x) = E 0 sin(k x x) (3.9) Q(y) = sin(k y y) (3.10) wobei E 0 eine frei wählbare komplexe Konstante ist und die Größen k x und k y, um die Randbedingungen von Gleichung (3.8) auch für x = a und y = b zu erfüllen, den Zusatzbedingungen k x = m π a m, n = 1,, 3,... (3.11) k y = n π b genügen müssen. Für m = 0 oder n = 0 verschwindet E z identisch. Die ganzen Zahlen m und n werden als Indizes an den Buchstaben E geschrieben, um einen bestimmten E-Wellentyp zu bezeichnen. Für die in ( z)-richtung laufende E mn -Welle (TM mn -Welle) gilt daher und allgemein ( mπ ) ( nπ ) E z (x, y) = P(x) Q(y) = E 0 sin a x sin b y (3.1) β z = β c = ω c β c (3.13) (mπ ) ( nπ ) + (3.14) a b

35 3.1 Wellen im Rechteckhohlleiter 9 Mit H z 0 kann für jedes Paar von ganzen Zahlen m, n 1 aus den Gleichungen (3.1), (3.13) und (1.34) bis (1.37) das vollständige Feldlinienbild der E mn - Welle (TM mn -Welle) berechnet werden. Die Komponenten ergeben sich im einzelnen zu ( mπ E z (x, y, z) = E 0 sin E x (x, y, z) = j β z mπ βc nπ a x ) a E 0 cos ( nπ ) sin b y e jβzz (3.15) ( mπ ) ( nπ ) a x sin b y e jβzz (3.16) ( mπ ) ( nπ ) a x cos b y e jβzz (3.17) ( mπ ) ( nπ ) a x cos b y e jβzz (3.18) ( mπ ) ( nπ ) a x sin b y e jβzz (3.19) E y (x, y, z) = j β z βc b E 0 sin H x (x, y, z) = j ωε nπ βc b E 0 sin H y (x, y, z) = j ωε mπ βc a E 0 cos H z (x, y, z) 0 (3.0) In den Gleichungen (3.15) bis (3.19) wurde βc = ω /c βz gesetzt. Die Feldkomponenten werden für m > 1 und n > 1 periodisch, so dass es für das Verständnis ausreichend ist, die E 11 -Welle im Rechteckhohlleiter zu betrachten, wie in Abbildung 3.3 gezeigt. Zu beachten ist, dass m und n 0 sein müssen, da ansonsten E z identisch verschwindet. Die in Abbildung 3.3 angesetzten Felder zeigen den Feldverlauf, wie er sich aus den Gleichungen (3.15) bis (3.19) ergibt. Die Feldbilder für höhere Moden von E-Wellen setzen sich aus E 11 -Moden zusammen wie Abbildung 3.4 zeigt. Die elektrischen Feldlinien der E mn -Wellen stehen auf den in Abbildung 3.4 skizzierten Trennlinien senkrecht. Allgemein entsteht die E mn -Welle dadurch, dass man die größere Kante a in m und die kleinere Kante b in n Teile teilt. Dadurch entstehen m n Teilrechtecke, in denen je eine E 11 -Welle läuft. Die magnetischen Feldlinien sind in jedem Teilrechteck entgegengesetzt in ihrem Drehsinn. Im Hohlleiter bewegen sich die Feldlinien mit Phasengeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung. Der Feldwellenwiderstand für E-Wellen ergibt sich aus den Gleichungen (3.15) bis (3.19) für die gleichphasigen Komponenten E y und H x bzw. die gegenphasigen Komponenten E x und H y für ε = ε 0 (ε r = 1): Z FE = E y = E x = β ( ) ( ) z βc λ0 = Z F0 1 = Z F0 1 (3.1) H x H y ωε 0 (Vergleiche Gleichung (.70) mit (.64), (.65) und (.66).) β 0 λ c

36 z/ 30 3 Wellenleiter (Hohlleiter) b z/ a b a Bild 3.3.: E 11 -Welle im Rechteckhohlleiter (TM 11 ). elektrische Feldlinien, magnetische Feldlinien m Teile E 11 E E 11 b E 11 E E 11 n Teile E 11 E 11 E 11 a Bild 3.4.: E mn -Welle im Rechteckhohlleiter

37 3.1 Wellen im Rechteckhohlleiter H-Wellen (TE-Wellen) im Rechteckhohlleiter Entsprechend dem Ansatz für E-Wellen (Gleichung (3.1)) erfolgt der Ansatz für H-Wellen H z = P(x) Q(y) (3.) Die Gleichungen (3.) bis (3.7) gelten unverändert auch für H-Wellen, aber die Randbedingungen lauten nach Gleichung (.34) H z x H z y = 0 für x = 0 und x = a (3.3) = 0 für y = 0 und y = b (3.4) und die diesen Randbedingungen entsprechenden Lösungen der Differentialgleichungen (3.4) und (3.6) nach erfolgter Separation P(x) = H 0 cos(k x x) (3.5) Q(y) = cos(k y y) (3.6) k x = mπ m, n = 0, 1,,... (3.7) a k y = nπ aber: (m, n) (0, 0) (3.8) b Für die H mn -Welle erhalten wir daher ( mπ ) ( nπ ) H z (x, y) = H 0 cos a x cos b y e jβzz (3.9) Im Gegensatz zu E-Wellen darf bei H-Wellen einer der Indizes Null werden, jedoch nicht beide gleichzeitig. Da mit Gleichung (3.9) die magnetische Längskomponente H z bekannt ist und E z 0, lassen sich aus den Gleichungen (1.34) bis (1.37) die weiteren Feldgrößen berechnen: E x (x, y, z) = +j ωµ nπ ( mπ ) βc b H 0 cos a x E y (x, y, z) = j ωµ mπ ( mπ a H 0 sin ( nπ ) sin b y e jβzz (3.30) ) ( nπ ) βc a x cos b y e jβzz (3.31) E z (x, y, z) 0 (3.3) H x (x, y, z) = j β z mπ ( mπ ) ( nπ ) βc a H 0 sin a x cos b y e jβzz (3.33) H y (x, y, z) = j β z β c nπ b H 0 cos ( mπ a x ) sin ( nπ b y ) e jβzz (3.34)

38 3 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Der Feldwellenwiderstand für H-Wellen ergibt sich für µ = µ 0 (µ r = 1) zu: Z FH = E y H x = E x H y = ωµ 0 β z = 1 Z F0 ( λ0 λ c ) (3.35) Die Feldlinienbilder für einige einfache Wellentypen zeigt Abbildung 3.5. E-Feld H-Feld y H 10 z x H 0 H 01 H 11 Bild 3.5.: H-Wellen im Rechteckhohlleiter Es ist ausreichend, sich die Feldbilder der H 10 - und H 11 -Moden einzuprägen, da alle anderen Wellenfeldbilder daraus erzeugt werden können, wie anhand von Abbildung 3.5 zu erkennen ist: H 0 = H 10 H 01 = H 10 nach Drehung um 90 H 1 = H 11 H = 4 H 11 Insbesondere können alle H mn -Moden ähnlich wie bei E-Wellen aus H 11 -Moden abgeleitet werden.

39 3.1 Wellen im Rechteckhohlleiter Allgemeine Gesetzmäßigkeiten zur Ausbreitung im luftgefüllten Hohlleiter Für E-Wellen und H-Wellen existieren neben den spezifischen Wellenwiderständen Kenngrößen, die allgemein gelten. Aus der Gleichung (3.13), die auch für H-Wellen gilt, sind folgende Fallunterscheidungen möglich: 1. Normale Wellenausbreitung ω c 0 β c > 0 d.h. β z > 0 (3.36) Die Welle ist im Hohlleiter ausbreitungsfähig. Es gelten die Gleichungen: β z = ω c 0 λ z = π β z = β c = ω 1 λ 0 ( λ0 λ c c 0 v Ph = v Ph,z = v ϕ = f λ z = ω β z = v E,z = ω = c 0 1 β z ( mπ ) ( nπ a b ) (3.37) ) λ z = λ H (3.38) ( λ0 λ c 1 c 0 ( λ0 λ c ) (3.39) ) (3.40) v Ph,z v E,z = c 0 (3.41) Den Verlauf von λ z, v ϕ und v Gr zeigt Abbildung Kritische Frequenz β z = 0 (β 0 = β c ) (3.4) Durch f c wird die kritische Frequenz, bis zu der eine Welle im Hohlleiter ausbreitungsfähig ist, definiert. Bei dieser Frequenz, der sogenannten Cut- Off-Frequenz, ist β 0 = β c (β c : Ausbreitungskonstante der Cut-Off-Frequenz). Davon ausgehend lassen sich in der Schreibweise erhebliche Vereinfachun-

40 34 3 Wellenleiter (Hohlleiter) z / V Ph, z c 0 keine Welle möglich keine Welle möglich 0 / c V E c / c Bild 3.6.: Wellenlänge, Phasengeschwindigkeit und Gruppen-(Energie-)geschwindigkeit im Hohlleiter gen einführen. β c = ω (mπ ) ( nπ ) = β 0 = + (3.43) c 0 a b f c = β c π c 0 = c 0 = c (m ) ( 0 n ) + (3.44) λ c a b λ c = c 0 = π = f c β c (m ) (3.45) a ) + ( n b λ c ist die Wellenlänge, die eine Welle bei f c im freien Raum haben würde. 3. Aperiodische Dämpfung βz = ω βc < 0 (3.46) c 0 In diesem Fall ist β z imaginär. Der Hohlleiter transportiert keine Welle mehr, das Feld wird aperiodisch gedämpft (siehe Abschnitt 3.5, Hohlleiter mit aperiodischer Dämpfung). Die Gleichung (3.37) bietet die Möglichkeit, die Ausbreitungsfähigkeit der verschiedenen Moden als Funktion der Frequenz bzw. der Freiraumwellenlänge und

41 3.1 Wellen im Rechteckhohlleiter 35 der Hohlleiterabmessungen darzustellen, wie es Abbildung 3.7 zeigt. Ausbreitungsfähig sind jeweils die Moden, die oberhalb oder links der vorgegebenen Grenzlinie liegen. b / a Grenzwelle H 0 Grenzwelle H 30 Grenzwelle E 11, H 11 Grenzwelle H 0 Grenzwelle H 01 Bereich stabiler H 10 - Welle Grenzwelle H 10 keine Wellenausbreitung möglich / / a Bild 3.7.: Grenzwellenlängen im Rechteckhohlleiter (Mode Chart), technischer Hauptbereich < λ 0 /a < 1.6, d.h. 1.5 f c < f < 1.9 f c Der magnetische Grundmode im Rechteckhohlleiter Zu jedem Rohrquerschnitt gibt es eine H-Welle, die unter allen möglichen H- Wellen die größte kritische Wellenlänge hat. Diese Welle wird als magnetische Grundwelle bezeichnet. Die kritische Wellenlänge der magnetischen Grundwelle ist größer als diejenige der elektrischen Grundwelle des gleichen Rohres, so dass nur die magnetische Grundwelle eine völlig stabile Wellenform ist. In Abbildung 3.8 sind für den magnetischen Grundmode die elektrischen Feldlinien im Querschnitt verschiedener Hohlleiter skizziert. Die magnetischen Feldlinien liegen jeweils orthogonal dazu. Sie weisen in allen Fällen definitionsgemäß eine z-komponente auf. Der einfachste Mode im Rechteckhohlleiter, der H 10 -Mode, findet in der Praxis die häufigste Anwendung, da für ihn ein eindeutiger stabiler Bereich im Modendiagramm existiert (siehe Abbildung 3.7). Setzt man in den allgemein geltenden

42 36 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Bild 3.8.: Grundmode in verschiedenen Hohlleitern (elektrische Feldlinien) Gleichungen für die Ausbreitungskonstante m = 1 und n = 0 ein, so folgt: β c,h10 = π (3.47) a ω β z,h10 = ( π ) (3.48) a c 0 Die Feldgleichungen (3.9) bis (3.34) reduzieren sich für die H 10 -Welle (m = 1, n = 0) damit zu: ( π ) H z (x, y, z) = H 0 cos a x E y (x, y, z) = j ωµ 0 β c H x (x, y, z) = j β z β c π a H 0 sin = j β z Z FH H β 0 sin c π a H 0 sin = j β z β c H 0 sin e jβzz (3.49) ( π ) a x e jβzz ( π a x ) e jβzz (3.50) ( π a x ) e jβzz ( π a x ) e jβzz (3.51) Das dazugehörige Feldlinienbild ist in Abbildung 3.9 dargestellt. Damit vereinfachen sich auch die Gleichungen für die weiteren Hohlleitergrößen λ c = a (3.5) f c = c 0 a Der technische Hauptbereich ist definiert zu (3.53) 1.5 f c < f < 1.9 f c (3.54)

43 z / 3.1 Wellen im Rechteckhohlleiter 37 y y Seitenansicht z z x y Vorderansicht z x x z/ Aufsicht y x z Bild 3.9.: Felder der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter, magnetische Feldlinien elektrische Feldlinien, Die Leistung wird beim H 10 -Mode nur durch E y und H x transportiert. Die Leistungsdichte ist S = 1/ E y H x, wobei E y und H x reelle Scheitelwerte darstellen. Durch ein Flächenelement des Hohlleiterquerschnitts tritt damit die Leistung dp = S dx dy = 1 E yh x dx dy (3.55) woraus sich durch Integration über den Hohlleiterquerschnitt die Gesamtleistung

44 38 3 Wellenleiter (Hohlleiter) ergibt: P = 1 a b E y H x dx dy = 1 H 0 = 1 4 H 0 x=0 y=0 ωµ 0 β z β 4 c ωµ 0 β z ab βc ( π a) } {{ } = β c a b x=0 y=0 sin ( π a x ) dx dy } {{ } = a b (3.56) Formt man Gleichung (3.56) derart um, dass anstelle der magnetischen Feldstärke die elektrische auftritt, indem man E 0 = ωµ 0 /β c H 0 benutzt, so ergibt sich die maximal durch den Hohlleiter transportierbare Leistung anhand der maximal zulässigen elektrischen Feldstärke E max mit E 0 = E max zu P max = 1 Emax ab = 1 E ( max ωc ) ab 1 (3.57) 4 Z FH 4 Z F0 ω 3.. Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt Im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt gibt es wie im Rechteckhohlleiter unendlich viele Wellentypen, die aus physikalischer Sicht mit denen im Rechteckhohlleiter identisch sind und sich lediglich der geänderten Querschnittsform anpassen. Daneben gibt es im kreiszylindrischen Hohlleiter die E 0n -Wellen, die nur in diesem Querschnitt ausbreitungsfähig sind. Im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt verwendet man Zylinderkoordinaten nach Abbildung Ein Aufpunkt P wird festgelegt durch den radialen Abstand r zur z-achse, den Winkel ψ zu einer frei wählbaren Bezugsebene und den Ort z in Ausbreitungsrichtung. Im allgemeinen Fall existieren sechs Feldkomponenten: E r, H r in Richtung des Radiusvektors E ψ, H ψ in der Querschnittsebene senkrecht zum Radiusvektor

45 3. Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt 39 E H E z H z r E r H r P z D Bild 3.10.: Hohlleiter mit Kreisquerschnitt E z, H z in Ausbreitungsrichtung E-Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt Die Randbedingungen an der Rohrwand für r = D/ = R gelten für alle Moden: E ψ = 0 H r = 0 H ψ r = 0 (3.58) E z = 0 H z r = 0 Die Feldgleichungen könnten auch hier allein mit Hilfe des Induktions- und des Durchflutungsgesetzes hergeleitet werden. Es bietet sich jedoch der Weg über die Wellengleichung an, da diese auch für Zylinderkoordinaten separierbar ist. Die Wellengleichung lautet in Zylinderkoordinaten 1 r r U = 1 c U t (3.59) ( r U ) + 1 U r r ψ + U z = 1 U (3.60) c t

46 40 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Der Separationsansatz hat zum Ziel, die r- und ψ-abhängigkeit zu trennen und lautet deshalb mit dem Übergang auf komplexe Größen E z = P(r) Q(ψ) (3.61) Der erste Summand in Gleichung (3.60) kann differenziert werden, so dass sich nach Einsetzen von Gleichung (3.61) ergibt: ( d P dr + 1 ) ( dp 1 d ) ( ) Q ω Q + P + r dr r dψ c β z P Q = 0 (3.6) Der Term ( ) ω c β z = βc (3.63) wird wieder eingeführt. Nach Multiplikation mit r /P Q erhält man: r P ( d P dr + 1 ) dp r dr + β cp = 1 d Q (3.64) Q dψ Die linke Seite der Gleichung (3.64) ist nicht von ψ, die rechte Seite nicht von r abhängig; beide Seiten sind gleich, folglich sind sie konstant. Die Konstante wird zu m gesetzt, woraus für die rechte Seite folgt: d Q dψ + m Q = 0 (3.65) Die Lösungsansätze hierfür sind cos(mψ) Q = bzw. sin(mψ) (3.66) Weil E z und damit Q eindeutige Funktionen des Ortes sind, müssen die trigonometrischen Funktionen in Gleichung (3.66) die Periode π besitzen; daher sind für m nur ganze Zahlen zugelassen. Für Q ergibt sich das scheinbar zweideutige Ergebnis durch eine Drehung des Bezugswinkels um π/. Deshalb kann man sich auf cos(mψ) beschränken. Die linke Seite der Gleichung (3.64) ergibt sich zu d P dr + 1 ) dp (β r dr + c m P = 0 (3.67) r

47 3. Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt 41 1 J 0 (x) J 1 (x) J (x) x -0.6 j 01 =.40 j 1 =5.14 j 1 =7.0 j 03 =8.65 j 11 =3.83 j 0 =5.5 j =8.4 Bild 3.11.: Besselfunktionen J 0 (x) bis J (x) Die allgemeinste Lösung dieser Gleichung enthält die Zylinderfunktionen. P = A J m (β c r) + B N m (β c r) (3.68) Hierin sind: A, B willkürliche Konstanten J m (β c r) N m (β c r) Besselfunktion m-ter Ordnung Neumannfunktion m-ter Ordnung Die Besselfunktion m-ter Ordnung kann für m = 0, +1, +,... durch das bestimmte Integral J m (x) = ( j)m π +π π cos(mψ)e jxcos ψ dψ (3.69) definiert werden. Das Integral konvergiert für alle Argumente x <. In Abbildung 3.11 sind die ersten Besselfunktionen dargestellt. Die Nulldurchgänge markieren jeweils die Stellen, an denen die Randbedingungen erfüllt werden können. Da die Berechnung aller Feldkomponenten auch die Ableitungen von E z und damit die Ableitungen der Besselfunktion erfordert, sind diese in Abbildung 3.1 wiedergegeben. Die Neumannfunktionen divergieren für r 0. Sie sind daher im vorliegenden Fall, da die z-achse zum Definitionsbereich der Felder gehört und diese nicht unendlich werden können, außer acht gelassen worden. Dies gilt nicht in Koaxi-

48 4 3 Wellenleiter (Hohlleiter) 0.6 J 1 '(x) J '(x) x -0.6 J 0'(x) j 11 '=1.84 j 01 '=3.83 j '=6.71 j 13 '=8.54 j 1 '=3.05 j 1 '=5.33 j 0 '=7.0 Bild 3.1.: Besselfunktionen J 0 (x) bis J (x) alleitungen, da dort die Randbedingungen nicht bei r = 0, sondern wegen des vorhandenen Mittelleiters bei r > 0 erfüllt werden müssen. Zur Berechnung der Felder setzen wir in Gleichung (3.68) A = E 0 und B = 0 und erhalten dann für den Lösungsansatz (3.61) E z = E 0 J m (β c r) cos(mψ)e jβzz (3.70) Die Berechnung der weiteren Felder erfolgt wie beim Rechteckhohlleiter. Auch in Zylinderkoordinaten lassen sich alle Querkomponenten aus den Längsfeldstärken berechnen. Die Gleichungen (1.34) bis (1.37) lauten in Zylinderkoordinaten: ( ) ω E r c E β z = jβ z z r jωµ1 r ( ) ω E ψ c 1 β z = jβ z r ( ) ω H r c H β z = jβ z z r + jωε1 r ( ) ω H ψ c 1 β z = jβ z r H z ψ E z ψ + jωµ H z r E z ψ H z ψ jωε E z r (3.71) (3.7) (3.73) (3.74) Setzt man E z aus Gleichung (3.70) in die Gleichungen (3.71) bis (3.74) ein, so

49 3. Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt 43 erhält man mit H z 0: E r = j β z β c E 0 J m (β cr) cos(mψ)e jβzz (3.75) E ψ = j mβ z βcr E 0 J m(β c r) sin(mψ)e jβzz (3.76) H r = j ωεm βc r E 0J m (β c r) sin(mψ)e jβzz (3.77) H ψ = j ωε E β 0 J m (β cr) cos(mψ)e jβzz c (3.78) H z 0 (3.79) Der Feldwellenwiderstand berechnet sich aus den orthogonal aufeinander stehenden E- und H-Feldern für ε = ε 0 (ε r = 1): Z FE = E ψ H r = E r H ψ = β z ωε 0 = Z F0 1 ( λ0 λ c ) (3.80) Um die Phasenkonstante β z aus der Frequenz nach Gleichung (3.63) zu berechnen, benötigen wir die Größe β c, die aus den Randbedingungen Gleichung (3.58), E z = 0 am Rand eines Rohres vom Radius R, bestimmt werden kann. J m (x) = 0 x = β c R (3.81) Diese Bestimmungsgleichung für β c hat auch bei festgehaltenem Index m unendlich viele Lösungen. Die Lösungen von J m (x) können mit dem ersten Index m und einem zweiten, bei 1 beginnenden Index n, bezeichnet und tabelliert werden (x m1 0). x mn = R β c,mn n m Tabelle 3.1.: Nullstellen x mn = R β c,mn für E-Wellen Dann wird die E mn -Welle definiert durch E z, wobei H z 0 sowie ω β z = βc (3.8) c 0

50 44 3 Wellenleiter (Hohlleiter) mit β c = x mn R (3.83) Mit der Kenntnis von β c können alle weiteren Größen auch für zylindrische Hohlleiter nach Abschnitt berechnet werden. Die Konstruktion der Feldbilder für E-Wellen geschieht aus den Komponenten der Gleichungen (3.70) und (3.75) bis (3.78) E 01 -Welle im Kreisquerschnitt Für die E 01 -Welle im kreiszylindrischen Rohr folgt nach Gleichung (3.83): β c =.40 R λ c = π β z = (3.84) = πr =.6 R = 1.31 D ; D = R (3.85) β c x 01 ( ω 4.80 c 0 β c = β 0 β c = (π λ 0 ) D ) (3.86) Bei gegebener Betriebsfrequenz (damit gegebenem λ 0 ) muss λ 0 < λ c sein, damit eine E 01 -Welle im Rohr existieren kann. Hierzu benötigt man nach Gleichung (3.85) einen Rohrdurchmesser D > λ c (3.87) Aus den Gleichungen (3.70) und (3.75) bis (3.78) folgt für die E 01 -Welle: E z = E 0 J 0 (.40 r R )ejβzz (3.88) E r = j β z E β 0 J 0 (.40 r c R )ejβzz (3.89) E ψ = 0 (3.90) H r = 0 (3.91) H ψ = j ωε E β 0 J 0 (.40 r c R )ejβzz (3.9) H z 0 (3.93) Abbildung 3.13 zeigt verschiedene Ansichten der Feldlinien.

51 3. Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt 45 Er Iv Er Iv Er I v E H Ez Ez z/ D E r und H E r E Achse E z E z r 0 r z/ Bild 3.13.: Felder der E 01 -Welle Die E 01 -Welle ist in ihren Feldern unabhängig von ψ und deshalb zylindersymmetrisch. E z hat das Maximum in der Rohrmitte bei r = 0, E r und H ψ haben das Maximum bei x = 1.84 = β c r (3.94) Dort hat E z einen Wendepunkt E mn -Wellen im Kreisquerschnitt Die Gleichungen der Feldkomponenten sind für E z in Gleichung (3.70), die weiteren in den Gleichungen (3.75) bis (3.78) gegeben. Technische Bedeutung haben primär die E 0n -Wellen. Die Verteilung der E z -Feldstärken hierfür im Querschnitt zeigt Abbildung Bezeichnung der E mn -Wellen: 1. Index: Ordnung der Besselfunktion J m, die das Feld in r-richtung beschreibt, bzw. Faktor in cos(mψ), der das Feld in ψ-richtung beschreibt. Index: Anzahl der Nullstellen von E z in r-richtung

52 46 3 Wellenleiter (Hohlleiter) E z r r = 0 E 01 r E 0 E 03 Bild 3.14.: Verteilung von E z längs des Durchmessers bei E 0n -Wellen 3... H-Wellen im Kreisquerschnitt Die Berechnung von H-Wellen erfolgt prinzipiell gleich wie bei E-Wellen. Daraus ergibt sich der gleiche Lösungsansatz (siehe Gleichung (3.70)): H z = H 0 J m (β c r) cos(mψ)e jβzz (3.95) Die Randbedingungen lauten hier nach Gleichung (3.58): H z r = 0 für r = D = R (3.96) d.h. die Ableitung der Besselfunktion muss an der Rohrwand eine Nullstelle aufweisen J m (x) = 0 mit x = β c R (3.97) Aus Abbildung 3.1 lässt sich damit die folgende Tabelle der Nullstellen für H- Wellen erstellen. Die Querkomponenten folgen aus Gleichung (3.95) eingesetzt in die Gleich-

53 3. Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt 47 m n x mn = R β c,mn Tabelle 3..: Nullstellen x mn = R β c,mn von J m (x) für H-Wellen ungen (3.71) bis (3.74) (E z 0) E r = j ωµm βc r H 0J m (β c r) sin(mψ)e jβzz (3.98) E ψ = j ωµ H β 0 J m (β cr) cos(mψ)e jβzz c (3.99) E z 0 (3.100) H r = j β z β c H 0 J m(β c r) cos(mψ)e jβzz (3.101) H ψ = j mβ z β cr H 0J m (β c r) sin(mψ)e jβzz (3.10) Der Feldwellenwiderstand folgt aus den orthogonalen Komponenten der Gleichungen (3.98) bis (3.10) für µ = µ 0 (µ r = 1) zu: Z FH = E ψ H r = E r H ψ = ωµ 0 β z = 1 Z F0 ( λ0 λ c ) (3.103) Im Folgenden werden von den magnetischen Moden nur die gebräuchlichsten näher untersucht.

54 48 3 Wellenleiter (Hohlleiter) H 0n -Wellen im Kreisquerschnitt H 0n -Wellen sind in ihrem Feldbild unabhängig von ψ, d.h. sie sind zylindersymmetrisch, da m = 0 gesetzt wird. Es verbleiben für H 0n -Wellen die Feldstärken: H z = H 0 J 0 (β c r)e jβzz (3.104) H r = j β z β c H 0 J 0 (β cr)e jβzz (3.105) E ψ = j ωµ 0 β c H 0 J 0(β c r)e jβzz (3.106) Die Feldbilder sind für die H 01 -Welle in Abbildung 3.15 gezeigt. a) b) D H r und E H Z E H r 0 Achse r Außenleiter c) H r H H z Achse D z / Bild 3.15.: Felder der H 01 -Welle Abbildung 3.15a zeigt die kreisförmigen elektrischen Feldlinien im Querschnitt, daneben in Abbildung 3.15b die Verteilung der Feldstärken E ψ und H r längs des Radius proportional zur Funktion J 0, wobei auf der Achse (x = 0) und auf der Rohrwand (x = 3.83) J 0 = 0 ist. Nennenswerte elektrische Felder gibt es also nur um die Mitte der Radien, dort wo die Feldlinien in Abbildung 3.15a in gehäufter Anzahl gezeichnet sind. Abbildung 3.15c zeigt das Momentanbild der magnetischen Feldlinien in einem Längsschnitt. Alle Schnittebenen durch die Hohlleiterachse zeigen wegen der Zylindersymmetrie das gleiche Bild. Vom Querschnitt aus gesehen sind die magnetischen Feldlinien radiale Striche, wie sie in Abbil-

55 3. Wellen im Hohlleiter mit Kreisquerschnitt 49 dung 3.15a angedeutet sind, weil man dort nur die H r -Komponente sieht. Der Leistungstransport erfolgt durch E ψ und H r. H z Rohr für H 0. Knotenkreis 1. Knotenkreis 3. Knotenkreis Rohr für H 01 Rohr für H 03 Bild 3.16.: H z -Verteilung für H 0n -Wellen Die Verteilung der H z -Komponenten für H 01 -, H 0 - und H 03 -Wellen ist in Abbildung 3.16 dargestellt. Der Hohlleiterdurchmesser ist so zu wählen, dass H z / r = 0 ist H 11 -Welle im Kreisquerschnitt Von praktischem Interesse ist noch die H 11 -Welle. Sie stellt den magnetischen Grundmode dar und zeigt ähnliche Feldbilder wie die H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter. Die Feldgleichungen ergeben sich wiederum aus den Gleichungen (3.95) und (3.98) bis (3.10). Abbildung 3.17 zeigt die H 11 -Welle. Abbildung 3.17a zeigt die elektrischen Feldlinien mit den Komponenten E ψ und E r im Querschnitt, wobei der Winkel ψ = ψ 0 waagrecht gelegt ist. Das frei wählbare ψ 0 beschreibt die Schräglage der Welle im Querschnitt. Da das Rohr Kreisquerschnitt hat, kann man die Welle im Rohr um die Rohrachse beliebig drehen, also ψ 0 verändern, ohne dass sich die Wellenform ändert. Abbildung 3.17a zeigt im Querschnitt auch die Seitenansicht der magnetischen Feldlinien, von denen im Querschnitt nur die Komponenten H ψ und H r sichtbar werden. Die magnetischen Feldlinien liegen in einer in Querrichtung gewölbten Fläche. Abbildung 3.17b zeigt

56 z / 50 3 Wellenleiter (Hohlleiter) eine solche Fläche mit dem Momentanbild von magnetischen Feldlinien. Das Momentanbild verschiebt sich mit der Phasengeschwindigkeit v Ph,z in ( z)-richtung. a) b) E E r = 0 Symmetriegerade H r, E H Z, E r, H r 0 Achse r Außenleiter Bild 3.17.: Felder der H 11 -Welle Die Bezeichnung von H-Wellen geschieht wie folgt: 1. Index: Ordnung der Besselfunktion J m, die das Feld in r-richtung beschreibt, bzw. Faktor in cos(mψ), der das Feld in ψ-richtung beschreibt. Index: Anzahl der Radiuspunkte, auf denen H z r = 0 ist 3.3. Wellenleiter mit anderen Querschnitten In der Praxis verwendet man neben dem rechteckigen und dem kreisförmigen Querschnitt weitere kompliziertere Querschnitte, die auf keine exakt berechenbaren Wellentypen (Moden) führen. Je nach Anwendung ist die Kenntnis verschiedener Leitungsgrößen wie λ z, β c, Z F, v Ph, v Gr

57 3.3 Wellenleiter mit anderen Querschnitten 51 sowie die Kenntnis der Felder erforderlich. Im folgenden sind verschiedene Methoden beschrieben und teils mit Beispielen besprochen Messung der Leitungsgrößen Die Messung der Leitungsgrößen erfolgt teils mit Labormessgeräten, teils mit Sonden. Grundvoraussetzung ist, dass durch die Sonde das Wellenbild nicht gestört wird. Die Sondenmesstechnik kann folgende Werte liefern: Wellenlänge Zur Messung der Wellenlänge wird ein Schlitz in Ausbreitungsrichtung an einer Stelle in den Wellenleiter gefräst, an dem keine Oberflächenströme geschnitten werden. Mit einer kleinen Tauchsonde tastet man eine Welle im Hohlleiter ab und sucht Punkte gleicher Phase bezogen auf eine Referenz. Abbildung 3.18 zeigt das Verfahren. Generator Phasenvergleich Schlitz z=0 Referenzsonde z Meßsonde reflektierender Abschluß Bild 3.18.: Wellenlängenmessung mit Sonden am Hohlleiter Die Phase kann auch punktweise über kleine Bohrungen abgetastet werden. Der kleinste Abstand z der Sonden für gleiche Phase entspricht der Wellenlänge λ H bzw. λ z. Aus λ H können die weiteren Größen berechnet werden. Etwas einfacher als mit Phasenvergleich ist die Abtastung einer stehenden Welle. Der Abstand zweier Minima ergibt λ H /. Durch einen Kurz-

58 5 3 Wellenleiter (Hohlleiter) schlussschieber kann eine stehende Welle an einer festen Sonde vorbeibewegt werden. Messung der Wellenfelder Die Messung der Wellenfelder ist wesentlich schwieriger. Es sind hierzu getrennte Sonden zur Aufnahme der elektrischen bzw. magnetischen Felder erforderlich. Die Sonden müssen in der Regel zur Vermeidung der Einstreuung unerwünschter Komponenten kompensiert werden. Schirm elektrische Sonde magnetische Sonde Bild 3.19.: Einfache Tauchsonden Zur Messung des Verlaufs der Feldamplituden werden ebenfalls wieder Schlitze oder Bohrungen an geeigneter Stelle am Wellenleiter angebracht. Der Sondenausgang wird zur Anzeige auf einen Detektor geschaltet Reihenansatz zur Lösung der Wellengleichung (Orthogonalreihenentwicklung) Die Lösung der Wellengleichung für E- und H-Wellen über den Separationsansatz (z.b. Gleichung (3.1) bis (3.1)) wurde bisher über eine einfache trigonometrische Funktion (sin(k x x) o.ä.) herbeigeführt. Die Randbedingungen konnten über die Konstanten eindeutig erfüllt werden. Neben diesen, nur bei einfacher Geometrie der Wellenleiter zur Lösung führenden Ansätze können für komplexere Wellenleiter Reihenansätze z.b. in folgender Form erstellt werden (z.b. für

59 3.3 Wellenleiter mit anderen Querschnitten 53 Gleichung (3.5)). ( P(x) = H 0 m 1 cos( πx a ) + m 3 cos( 3πx a ) + m 5 cos( 5πx a ) + m 7 cos( 7πx ) a ) +... (3.107) Die weitere Aufgabe besteht darin, die Konstanten durch Ansatz der Randbedingungen festzulegen. Oft ist dies nur über ein Optimierungsprogramm mittels Rechner möglich. Die Lösung ist eine Näherungslösung. Der weitere Rechengang ist wie bisher. Die Qualität der Näherung ist zu prüfen Konforme Abbildung Die folgenden Betrachtungen sind gültig für alle Hohlleiter, welche sich durch konforme Abbildung auf einen bekannten Hohlleiter (Rechteck-, Zylinderhohlleiter) oder Teile daraus zurückführen lassen. Das ganze liefert jedoch nur dann richtige Ergebnisse, wenn die Feldlinien des Modells mit denen des Originals übereinstimmen. Bei T EM-Wellen ist dies in der Regel gewährleistet, bei E- bzw. H-Wellen nur dann, wenn die elektrischen Feldlinien durch den elektrolytischen Trog, d.h. statisch nachbildbar sind. Die konforme Abbildung beschränkt sich daher fast ausschließlich auf den magnetischen Grundmode H 10. Am Beispiel des Hohlleiters mit halbrundem Steg ist die konforme Abbildung nachfolgend kurz gezeigt. Der Hohlleiter in Abbildung 3.0a ist durch den Steg kapazitiv belastet, seine Grenzfrequenz ist niedriger als ohne Steg. Die Linien gleicher Feldstärke (x = const.) und die Linien gleichen Potentials (y = const.) gehen nach der Transformation über in ein orthogonales Gitternetz (Abbildung 3.0c). Im konformen Rechteck können die Felder und Kenngrößen berechnet werden Zerlegung in berechenbare Teilstrukturen Eine weitere gängige Methode zur Berechnung von Wellenleitern ist die Zerlegung in einfachere, berechenbare Geometrien. An den Schnittstellen werden die Feldgrößen von beiden Seiten jeweils einander angeglichen. Abbildung 3.1 zeigt ein Beispiel hierzu.

60 54 3 Wellenleiter (Hohlleiter) leitend b* x = 0 y = b y = 0 x = a b) x = const y = const isolierend leitend isolierend a) a* x z b y c) x x = const y = const a x y y transformiertes Rechteck b b* d) a* a Bild 3.0.: Konforme Abbildung a) Steghohlleiter b) Feldlinien, Potentiallinien c) konformes Gitternetz d) Vergleich Abbildung / Gitternetz a II VI I VII b y III IV V x Bild 3.1.: Zerlegung eines Steghohlleiters in Teile zur Berechnung

61 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 55 Häufig ist zur Vereinfachung der Berechnung die Symmetrie verwendbar. Die Berechnung geht vom Bereich I aus. Fast immer wird der Ansatz ein Reihenansatz sein (Absatz 3.3.). Für die drei metallisch leitenden Seiten sind die Randbedingungen vom Ansatz zu erfüllen. Zu den Bereichen II und III ist die Identität der Feldgrößen (vektoriell) herzustellen. In gleicher Weise wird mit den weiteren Bereichen verfahren Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern Im Hohlleiter gibt es Verschiebungsströme in denjenigen Richtungen, in denen elektrische Feldkomponenten existieren. Die Verschiebungsstromdichte beträgt in komplexer Schreibweise J V ξ = D t = jωε 0ε r E ξ (3.108) Diese Komponente J V ξ des Verschiebungsstroms hat die gleiche Richtung wie die ihn erzeugende Komponente E ξ des elektrischen Feldes. Zwischen beiden besteht wegen des Faktors j eine Phasenverschiebung von π/. Diese Verschiebungsströme erzeugen Verluste, wenn der Hohlleiter mit einem Dielektrikum ausgefüllt ist. Es gibt Ströme auf den Wänden überall dort, wo magnetische Feldkomponenten parallel zu den Wänden existieren. Bei Frequenzen im Mikrowellenbereich sind die Eindringtiefen sehr gering. Die Wandströme sind direkt der magnetischen Feldstärke proportional. Sie stehen senkrecht zu diesen. Die Flächenstromdichte J Fη ist gegeben durch J Fη = ±H ξ (ξ, η orthogonal) (3.109) Blickt man auf die stromdurchflossene Seite des Leiters, so ergibt sich das Vorzeichen von J Fη bei gegebener Richtung von H ξ und gegebenem Koordinatensystem aus Abbildung 3.. Es gilt mathematisch exakt: J F = n H (3.110)

62 56 3 Wellenleiter (Hohlleiter) J F leitende Wand H n n Bild 3..: Wandströme und verursachendes Magnetfeld (H liegt vor der Wand) Dabei ist n der Normalenvektor aus der Wand herauszeigend. Diese Wandströme erzeugen Verluste, da die Wände endliche Leitfähigkeit besitzen. Wandströme und Verschiebungsströme setzen sich phasengleich zu geschlossenen Stromkreisen zusammen Stromkreise der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter Es gibt eine elektrische Komponente E y nach Gleichung (3.50) und daher Verschiebungsströme in y-richtung, deren Stromdichte nach Gleichung (3.108) in komplexer Schreibweise für ε r = 1 J V y = jωε 0 E y = + β 0 β c H 0 sin ( πx ) e jβzz (3.111) a beträgt. Der Faktor j bedeutet, dass im Momentanbild der H 10 -Welle die Stromlinien des Verschiebungsstromes um λ z /4 gegenüber den elektrischen Feldlinien verschoben sind. Abbildung 3.3 zeigt, wie im Momentanbild die Verschiebungsströme I V von den magnetischen Feldlinien ebenso umschlossen werden wie ein Strom durch einen Draht. Dieses Momentanbild verschiebt sich in Richtung abnehmender z-koordinaten mit Phasengeschwindigkeit. Nach Abbildung 3.4 und Gleichung (3.49) bis (3.51) sowie (3.109) und (3.110) gibt es auf den Schmalseiten des Hohlleiters (x = 0 und x = a) nur eine tangentiale magnetische Komponente H z und deshalb nach Abbildung 3. nur vertikale

63 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 57 I v E y E y I v H x H x H z I v Bild 3.3.: Verschiebungsströme der H 10 -Welle Bild 3.4.: Wandstromkomponenten der H 10 -Welle Ströme in y-richtung, also eine Flächenstromdichte J Fy. Nach Gleichung (3.110) ist mit H z aus Gleichung (3.49) für die Seite x = a J Fy = +H z (x = a) = H 0 e jβzz (3.11) Das Pluszeichen tritt hier auf, weil auf der Seite x = a in Abbildung 3.4 die Kombination von H z und +J Fy der in Abbildung 3. entspricht. Auf der Schmalseite x = 0 ist mit H z aus Gleichung (3.49) J Fy = H z (x = 0) = H 0 e jβzz (3.113) Auf den Breitseiten des Hohlleiters (y = 0 und y = b) gibt es in Abbildung 3.4 eine tangentiale Komponente H x und daher eine Flächenstromdichte J Fz. Mit H x

64 58 3 Wellenleiter (Hohlleiter) aus Gleichung (3.51) wird J Fz = ±H x = jh 0 β z β c sin ( πx ) e jβzz (3.114) a Ferner gibt es auf den Breitseiten des Hohlleiters eine Flächenstromdichte ( πx ) J Fx = ±H z = ±H 0 cos e jβzz (3.115) a Abbildung 3.5 zeigt die Verteilung des Längsstromes J Fz aus Gleichung (3.114) auf den Breitseiten. Abbildung 3.6 zeigt schematisch die Querströme J Fy aus Gleichung (3.11) und (3.113) auf den Schmalseiten und J Fx aus Gleichung (3.115) auf den Breitseiten. In der Mitte der Breitseiten gibt es Linien ohne Querstrom (J Fx = 0 für x = a/). Längs dieser Linien kann man den Hohlleiter aufschneiden, ohne das Feld der H 10 -Welle nennenswert zu stören. Von diesen querstromfreien Linien ausgehend nimmt der Querstrom J Fx zu den Kanten hin zu, wie dies in Abbildung 3.6 durch zunehmende Breite des Stromfadens schematisch angedeutet ist. Bild 3.5.: Verteilung der Längsströme der H 10 -Welle Auf den senkrechten Wänden fließt ein von y unabhängiger Strom J Fy, was in Abbildung 3.6 durch konstante Breite des Stromfadens angedeutet ist. J Fz aus Gleichung (3.114) und J Fx aus Gleichung (3.115) differieren unter anderem um den Faktor j, er führt dazu, dass die Maxima des J Fx und die Maxima des J Fz im Momentanbild um λ z /4 verschoben sind. Abbildung 3.7 zeigt das Momentanbild der Ströme auf den Hohlleiterwänden bei einer H 10 -Welle. Die Ströme stehen überall senkrecht auf den magnetischen Feldlinien. Die in Abbildung 3.3 gezeichneten Verschiebungsströme bilden mit den Wandströmen geschlossene Stromkreise. Man erkennt in Abbildung 3.7 auf der Breitseite, wie

65 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 59 J Fx Linien ohne Querströme J Fy Bild 3.6.: Verteilung der Querströme der H 10 -Welle die Wandströme aus Quellenzonen herausfließen. In diese Zone fließt von unten her der Verschiebungsstrom hinein. Bild 3.7.: Wandströme der H 10 -Welle im Momentanbild Abbildung 3.8a zeigt schematisch die Stromkreise der H 10 -Welle im Momentanbild, zusammengesetzt aus Verschiebungsströmen I V und Wandströmen I F. Man kann diese Stromkreise recht gut durch das Ersatzschaltbild der Abbildung 3.8b beschreiben. Die magnetische Feldenergie der Längsströme lässt eine Längsinduktivität L S entstehen, die magnetische Feldenergie der Querströme eine Querinduktivität L P, die elektrische Feldenergie der Verschiebungsströme eine Querkapazität C P. Der Hohlleiter mit H 10 -Welle hat also ein Ersatzschaltbild, das eine Erweiterung des Ersatzschaltbildes der TEM-Leitung durch die L P darstellt. Die Zusammenfassung der Elemente in Abbildung 3.8b ergibt das vereinfachte Ersatzschaltbild nach Abbildung 3.9. Hierauf können sinngemäß die Verfahren der Leitungstheorie angewendet werden.

66 60 3 Wellenleiter (Hohlleiter) a) z Querstromkreis Querstromkreis Längsstrom b) L p 1 L s 1 L s C p L p 1 L s C p 1 L s 1 L s L p L p 1 L s Bild 3.8.: Ersatzbild der H 10 -Welle

67 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 61 I(z+dz) L' s dz I(z) U(z+dz) C' dz U(z) L' p dz dz z Bild 3.9.: Vereinfachtes Ersatzschaltbild für H-Wellen Stromkreise der E 01 -Welle im kreiszylindrischen Hohlleiter Entsprechend dem Vorgehen in Abschnitt werden die Stromkreise und das Ersatzschaltbild für die E 01 -Welle erstellt. Das Verfahren wird schematisch aufgezeigt, so dass es allgemein angewendet werden kann für alle Moden in allen Hohlleitern. Folgende Zusammenhänge sind dabei herzustellen: E ξ -Feld Verschiebungsstromdichte J V ξ Verschiebungsstrom I V ξ Kapazitätsbelag C (Stromverlauf wie Feldverlauf mit π/ Phasendifferenz) H ξ -Feld Wand Flächenstromdichte J Fη Flächenstrom I Fη Induktivitätsbelag L (Stromverlauf senkrecht zu Feldverlauf) Die Anwendung auf den E 01 -Mode im runden Hohlleiter ergibt damit die in Abbildung 3.30 dargestellten Schnitte. Die Ermittlung der Ströme und des Ersatzschaltbildes kann nach diesem Schema für alle Moden ausgeführt werden. Die Kenntnis der Ströme ist von Bedeutung bei der Entwicklung von Komponenten wie Filter, Mischer, Koppler usw. sowie bei der Sondenführung und Modenstabilisierung.

68 Wellenleiter (Hohlleiter) a) a) E-Feld E-Feld H-Feld H-Feld I F b) I V Flächenströme und Verschiebungsströme c) d) L s C s C p Stromkreis Bild 3.30.: a) Felder, b) Ströme, und c), d) Ersatzschaltbilder für die E 01 -Welle (Rundhohlleiter im Längsschnitt)

69 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern Verluste der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter Die Berechnung der Wellengleichungen im Hohlleiter ging bisher von vernachlässigbaren Verlusten aus (Gleichung (1.14) bis (1.16)). Die Berechnung der Verluste, wie sie im folgenden durchgeführt wird, setzt die Gültigkeit der ermittelten Feldgleichungen weiter voraus, d.h. man geht von geringen Verlusten aus. Die Verluste in nicht mit Dielektrikum gefüllten Hohlleitern werden durch die Wandströme im endlich leitfähigen Hohlleitermaterial verursacht. In den vorigen Abschnitten wurde gezeigt, dass die Flächenstromdichte J F proportional dem parallel zur Wand liegenden magnetischen Feld ist. Bei den hohen Frequenzen, bei denen man Hohlleiter verwendet, besteht extremer Skineffekt. Es fließen Oberflächenströme, und der Wirkwiderstand der Leiteroberfläche wird durch den spezifischen Oberflächenwiderstand R beschrieben. Der Oberflächenwiderstand stellt den äquivalenten Widerstand dar, der dadurch entsteht, dass die Stromdichte im Material wegen des Skineffekts exponentiell abfällt. Für unmagnetische Leiter (µ r = 1) gilt R = ωµ0 κ R ωε0 = Z F0 κ (3.116) R ist der Widerstand eines Oberflächenstückes von 1 cm Breite und 1 cm Länge. Betrachtet man in Abbildung 3.31 ein Teil df der Oberfläche mit den Kanten dx und dz, so hat dieses für eine Flächenstromdichte J F in z-richtung den Widerstand dr = R dz dx (3.117) und es fließt durch df in dieser Richtung ein Strom di = J F dx. In df wird dann die Leistung dp = 1 (di) dr = 1 J F R dx dz = 1 J F R df (3.118) in Wärme umgesetzt. Der Leistungsverbrauch ist der betrachteten Fläche df = dx dz proportional. In diese Formel für dp (Gleichung (3.118)) sind die Scheitelwerte der Flächenstromdichten einzusetzen. Die Ströme in den Hohlleiterwänden verursachen also Leistungsverluste der Welle, wobei ein exponentielles Absinken der Wellenamplitude in der Ausbreitungsrichtung eintritt.

70 64 3 Wellenleiter (Hohlleiter) dx I y -J Fx J Fz df dz dz J Fy II z x b IV III III J Fz a Bild 3.31.: Stromdurchflossenes Oberflächenstück Die Dämpfungskonstante α einer in ( z)-richtung laufenden Welle bezieht sich auf die Feldamplituden E(z) = E(0) e αz (3.119) Weil die Leistung dem Amplitudenquadrat proportional ist, wird die Leistungsdämpfung doppelt so groß: Durch Differenzieren erhalten wir einen Ausdruck für α: P(z) = P(0)e αz (3.10) dp dz = αp(0)eαz = αp(z) (3.11) α = 1 dp P dz (3.1) Im allgemeinen Fall fließen wie in Abbildung 3.31 in allen drei Koordinatenrichtungen Ströme, die jeweils einen Beitrag zu den Verlusten bringen. Da die Beträge der Ströme in den jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich sind, gilt für die Leistungsverluste in Teilbereichen der Länge dz: dp I = dp III dp II = dp IV (3.13) Bei der H 10 -Welle fließen in den Breitseiten I und III jeweils Oberflächenströme in x- und in z-richtung, während auf den Schmalseiten nur Ströme in y-richtung fließen. Die Beiträge sind mit den Gleichungen (3.49) bis (3.51), (3.109) und

71 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 65 (3.110) dp I,III = 1 R dz a H z y=0,b dx + 1 R dz a H x y=0,b dx dp II,IV x=0 a = 1 R H 0dz = 1 R dz x=0 b [ cos ( πx a ) + ( βz β c x=0 ) sin ( πx a ) ] dx (3.14) H z x=0,a dy = 1 b R H0 dz dy (3.15) y=0 y=0 Für die Summe der Leistungsverluste folgt: und mit den Gleichungen (3.14) und (3.15) dp = (dp I + dp II ) (3.16) dp = R H 0 ( a + a ( βz β c ) + b) dz (3.17) Setzt man Gleichung (3.17) in (3.1) ein, dann erhält man die Dämpfungskonstante zu ( α = 1 P R H0 a + a ( βz β c ) + b) (3.18) mit P aus Gleichung (3.56) P = 1 ωµβ z 4 H 0 ab (3.19) βc für die durch die Welle transportierte Leistung in Gleichung (3.18). Damit wird für die H 10 -Welle α = R Z F0 = R c 0 Z F0 ( ( ) ) 1 b + λ0 a a ( ) und mit b = a λ0, λ c = a 1 a ( ( ) ) fc f 0 ( fc f 0 ) 1 f c a (3.130) Abbildung 3.3 zeigt den Verlauf der Dämpfung. Für f f c ergibt sich eine Polstelle, für f wird α R f

72 66 3 Wellenleiter (Hohlleiter) technische Hauptanwendung 1.5 < f/f c < f/f c Bild 3.3.: Dämpfung der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter für b/a = 1/ Verluste im Rechteck- und Rundhohlleiter für beliebige Moden Für den Betrag der Verlustdämpfung in einem differentiellen Leitungsstück der Länge dz ist dp = R dz H tan dl (3.131) wobei dl das Längselement am Hohlleiterumfang darstellt (vgl. Gleichung (3.118) und Abbildung 3.33). L dl L dl F dz F dz Bild 3.33.: Längselement dl am Rechteck- und Rundhohlleiter Weil die Normalkomponente von H unmittelbar an der leitenden Oberfläche verschwindet, kann man für Rechteckhohlleiter schreiben: dp dz = R { Hx (l) + H y (l) + H z (l) } dl (3.13)

73 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 67 Die übertragene Wirkleistung einer laufenden Welle berechnet sich aus P = Z F H/E { Hx (x, y) + H y (x, y) } dx dy (3.133) F womit sich mit Gleichung (3.1) die Dämpfungskonstante α ergibt zu: α = R Z F H/E { Hx + H y + H z } dl { Hx + H y } dx dy (3.134) F Nun kann daher die Dämpfung berechnet werden, wenn man die Felder kennt. Wie schon erwähnt, werden in Gleichung (3.134) die Feldstärken eingesetzt, die unter der Annahme abgeleitet wurden, die Wände seien ideal leitend. Das ist zulässig, solange α β gilt und die Betriebsfrequenz nicht in der Nähe der Grenzfrequenz liegt. Man kann die magnetischen Wandfelder in Quer- (H x, H y ) und Längs- (H z ) - Komponenten unterteilen, die hierdurch angeregten Wandströme in Längs- und in Querströme und die dadurch verursachten Dämpfungen in { Hx Längsdämpfung α l + H y } dl (3.135) { Hz Querdämpfung α q } dl (3.136) Demnach gibt es für E-Wellen keine Querdämpfung. Betrachtet werden zunächst die E-Wellen. Dazu werden die Gleichungen (1.34) bis (1.37) auf Gleichung (3.134) angewendet { E z α = R x + E z } dl y Z { FE E z x + E z } dx dy y und entsprechend in Zylinderkoordinaten F (3.137) α = R Z FE { E z r + E z } dl r ψ { E z r + E z } r dr dψ r ψ F (3.138)

74 68 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Die beiden Integrale sind für eine festgewählte Wellenform frequenzunabhängig; die Frequenzabhängigkeit von R und Z FE ist durch Gleichung (3.116) und (3.1) bzw. (3.80) gegeben. Es gilt daher für E-Wellen: α R f Z FE ( ) (3.139) fc 1 f Abbildung 3.34 zeigt den Frequenzverlauf der Dämpfungskonstanten α für E- Wellen. Der Ausdruck wird unendlich für f f c und für f und hat ein Minimum für f = 3 f c, also abhängig von der betrachteten Wellenform und den Abmessungen der Leitung. Die Dämpfung ist durch Längsströme verursacht. min 3 f/f c Bild 3.34.: Dämpfungsverlauf für E-Wellen Für H-Wellen wird Gleichung (3.134) mit den Gleichungen (1.34) bis (1.37) zu { H z α = R x + H z } y dl + β4 { Hz c } dl βz Z { FH H z x + H z } (3.140) dx dy y F und in Zylinderkoordinaten { H z α = R r + H z } r ψ dl + β4 { Hz c } dl βz Z { FH H z r + H z } r dr dψ r ψ F (3.141)

75 3.4 Ströme, Ersatzschaltbilder und Verluste in Hohlleitern 69 wobei der erste Summand die Längsdämpfung α l und der zweite Summand die Querdämpfung α q darstellt. Für die Längsdämpfung gilt: α l R Z FH f 1 ( ) fc (3.14) f Bei der Querdämpfung kommt mit dem Faktor β 4 c/β z eine zusätzliche Frequenzabhängigkeit hinein, daher gilt: R α q Z FH βz ( ) fc f 1 f 1 ( ) f 1 f 3/ 1 f c ( ) (3.143) fc f In Abbildung 3.35 ist zu sehen, dass die Längsdämpfung für f f c verschwindet und für f gegen unendlich geht, während die Querdämpfung für f f c unendlich wird und für f mit der Potenz f 3/ verschwindet. l q f/f c Bild 3.35.: Dämpfungsverlauf für H-Wellen Die letzte Tatsache ist interessant, weil es Wellenformen ohne Längsdämpfung gibt, nämlich die H 0n -Wellen im Kreiszylinder. Nach Gleichung (3.10) wird ja H ψ 0 für m = 0. Für genügend hohe Frequenzen haben daher die H 0n - Wellen, insbesondere die H 01 -Welle, äußerst niedrige Dämpfungswerte. Dies gilt

76 70 3 Wellenleiter (Hohlleiter) allerdings erst für Frequenzen, die weit oberhalb des Stabilitätsbereichs liegen. Daher kommen solche Leitungen nur für Frequenzen oberhalb ca. 30 GHz in Betracht, hier sind große Bandbreiten und daher große Übertragungskapazitäten möglich. Die Notwendigkeit, störende Wellenformen zu unterdrücken, verursacht einen großen Teil der Schwierigkeiten einer Nachrichtenübertragung mit dieser Welle. Technisch ist das Problem jedoch gelöst. Der Einsatz hängt von wirtschaftlichen Überlegungen und der Konkurrenz anderer Verfahren zur Übertragung großer Nachrichtenmengen ab Hohlleiter mit aperiodischer Dämpfung In Abschnitt wurde bei der Darstellung der allgemeinen Gesetzmäßigkeiten der Hohlleiterausbreitung bei der Phasenkonstanten β z der Fall β 0 < β c (3.144) ausgelassen. Für β 0 = ω/c 0 < β c wird βz = β 0 β c < 0 (3.145) d.h. β z ist imaginär. Man setzt deshalb β z = jα z (α z = jβ z ) (3.146) Daraus folgt ( jα z ) = β 0 β c α z = β c β 0 > 0 (3.147) d.h. α z = ± βc β 0 (3.148) Ein negatives Vorzeichen der Wurzel ist für unsere Ausbreitungsdefinition physikalisch nicht sinnvoll. Das erhaltene α z ist reell bei Vernachlässigung der dielektrischen und der ohmschen Verluste. Mit β z = π/λ z erhält man α z = π ( ) λc 1 (3.149) λ c λ 0

77 3.5 Hohlleiter mit aperiodischer Dämpfung 71 Im Hohlleiter ist dann der Faktor e jβzz durch e αzz (3.150) zu ersetzen. Für die komplexen Amplituden erhält man E = E(0) e αzz H = H(0) e αzz (3.151) Der komplexe Momentanwert folgt daraus zu e(t) = E(0) e αzz e jωt h(t) = H(0) e αzz e jωt (3.15) Anstelle des charakteristischen Wellenverhaltens, d.h. konstante Amplitude und Phasendrehung in Ausbreitungsrichtung, tritt hier ein völlig anderes Verhalten mit exponentiell abnehmender Amplitude und konstanter Phase für alle Orte z auf. Bei niedrigen Frequenzen (λ 0 sehr groß) ist α z nach Gleichung (3.149) annähernd frequenzunabhängig gleich β c. α z = β c = π λ c (3.153) Je kleiner λ c ist, desto schneller sinken im Hohlleiter alle Feldstärken exponentiell ab. Mit wachsender Frequenz wird α z nach Gleichung (3.149) kleiner und bei der kritischen Frequenz gleich Null. Abbildung 3.36 zeigt in Kurve I den theoretischen Verlauf des α z nach Gleichung (3.149) in Abhängigkeit von der Frequenz. Oberhalb der kritischen Frequenz ist das α z die in Abschnitt 3.4 berechnete Dämpfungskonstante der Wellenvorgänge. Kurve II in Abbildung 3.36 zeigt den prinzipiellen Verlauf des α z oberhalb der kritischen Frequenz entsprechend Gleichung (3.130). Man sieht, dass Gleichung (3.149) und Gleichung (3.130) in der Nähe der kritischen Frequenz nicht zueinander passen. Die Fehler der Gleichung (3.149) entstehen bei kleinen Werten des α z dadurch, dass diese Gleichung nur für verlustfreie Hohlleiter gilt. Aber auch in diesem aperiodischen Fall fließen schon Wandströme, die zusätzliche Verluste ergeben. Die Gleichung (3.130) gilt nur für kleine Verluste, weil bei ihrer Ableitung die Feldkomponenten des verlustfreien Hohlleiters verwendet wurden. Sie bedarf daher für große α z einer Korrektur. Der wirkliche Verlauf von α z entspricht der in Abbildung 3.36 gestrichelten Verbindungslinie zwischen den Kurven I und II.

78 7 3 Wellenleiter (Hohlleiter) ~1dB/m c II I 0 ~100dB/m 1 3 f/f c Bild 3.36.: Prinzipieller Verlauf von α z Im verlustfreien Hohlleiter tritt bei der kritischen Frequenz der Zustand ein, dass in Gleichung (3.149) α z = 0 und in Gleichung (3.146) β z = 0 wird. Die bei allen Feldkomponenten auftretenden Faktoren e ±jβzz bzw. e ±jαzz sind dann gleich 1. Das Feld im verlustfreien Hohlleiter bei der kritischen Frequenz hat überall konstante Amplitude und konstante Phase. Aus β z = 0 folgt, dass für H-Wellen bei der kritischen Frequenz H x = 0 und H y = 0 ist. Das magnetische Feld hat nur die Komponente H z, und die magnetischen Feldlinien sind Geraden parallel zur Hohlleiterachse. Im Fall β z = 0 ist nach den Gleichungen (3.16) und (3.17) für E-Wellen E x = 0 und E y = 0. Bei der kritischen Frequenz haben die E-Wellen nur eine Komponente E z, und die elektrischen Feldlinien sind Geraden parallel zur Hohlleiterachse. Das hier beschriebene Feldverhalten wird jedoch durch die Hohlleiterverluste etwas verändert, weil bei der Frequenz f c nach Abbildung 3.36 das α z wirklicher Hohlleiter nicht sehr klein ist. Anwendungsbeispiele für einen Hohlleiter bei der kritischen Frequenz sind Resonatoren. Sonst ist die Anwendung der Hohlleiter in der Nähe der kritischen Frequenz nicht zweckmäßig, da sie dort nach Abbildung 3.36 recht hohe Dämpfung durch Wandströme haben Anwendungsbeispiele für die aperiodische Dämpfung Die aperiodische Dämpfung wird in der Praxis sehr häufig genutzt, wie die folgenden Beispiele zeigen.

79 3.5 Hohlleiter mit aperiodischer Dämpfung Mode - Filter In einem Hohlleiter sind entsprechend seinen Abmessungen verschiedene Wellentypen ausbreitungsfähig. Im Rechteckquerschnitt ist β c für H- und E-Wellen gegeben durch Gleichung (3.14) (mπ ) ( nπ β c = + a b ) Der niedrigste Mode ist der H 10 -Mode. Im Kreisquerschnitt ist nach Gleichung (3.97) β c = x R bestimmt durch die Nulldurchgänge der Besselfunktionen. Hier ist der niedrigste Mode die H 11 -Welle mit β c = 1.84/R. Durch Unterschreiten der Hohlleiterabmessungen werden die Moden, für die aufgrund des größeren β c eine aperiodische Dämpfung gegeben ist, gedämpft. So kann durch Reduzierung der Rohrabmessungen der niedrigste Mode selektiert werden Elektromagnetische Schirmung gegen hochfrequente Wellen am Beispiel der H 10 -Welle In Entwicklungslabors, Kliniken und postalischen Empfangsstationen ist es häufig erforderlich, sich gegen HF-Felder von außen zu schirmen. Man macht sich hierfür die aperiodische Dämfpung zunutze. An allen durchlässigen Stellen, wie z.b. Fenster, werden hohlleiterartige Vorsätze montiert. Der niedrigste Wellentyp, die H 10 - Welle, soll zur mathematischen Abschätzung der Wirkung herangezogen werden, da alle anderen Moden ohnehin stärker gedämpft werden. Für die H 10 -Welle gilt mit λ c = a und β c = π/a α z = π ( ) a 1 (3.154) a λ 0

80 74 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Die Feldkomponenten nach den Gleichungen (3.9) bis (3.34) ergeben sich zu ( πx ) H z = H 0 cos e αzz (3.155) a ( ) a ( πx ) H x = H 0 1 sin e αzz (3.156) a E y = jh 0 ωµ β c sin λ 0 ( πx a ) e αzz (3.157) Abbildung 3.37 zeigt ein solches Feld mit Komponenten H x und H z. Die Felder sind unbhängig von y und daher die Feldlinien in allen Ebenen y = const. gleich. Die elektrischen Feldlinien sind Geraden in y-richtung. Es gibt Wandströme entsprechend den Gleichungen (3.11) bis (3.115). H z H x H y z x Bild 3.37.: Aperiodisches H 10 -Feld Die Stromlinien sind in Abbildung 3.38 gezeichnet. Nach Gleichung (3.11) und (3.113) gibt es auf den senkrechten Wänden x = 0 und x = a einen Strom in y- Richtung mit der Flächenstromdichte J Fy = ±H 0 e αzz (3.158) Auf den Breitseiten y = 0 und y = b gibt es Stöme in x-richtung und z-richtung nach den Gleichungen (3.114) und (3.115) ( ) a ( πx ) J Fz = ±H 0 1 sin e αzz (3.159) λ a ( πx ) J Fx = ±H 0 cos e αzz (3.160) a Alle Ströme sind gleichphasig. Die Oberflächenströme bilden mit den Verschiebungsströmen geschlossene Stromkreise.

81 3.5 Hohlleiter mit aperiodischer Dämpfung 75 anregende, leitende Fläche y=b x=0 y J Fz J Fx z J Fy y=0 x x=a Bild 3.38.: Wandströme des aperiodischen H 10 -Feldes Solange man mit niedrigeren Frequenzen arbeitet, ist α z nach Gleichung (3.149) unabhängig von der Frequenz. Das magnetische Feld bildet sich als stationäres Feld in einer von der Frequenz unabhängigen Form. E y ist proportional zu ω und bei niedrigeren Frequenzen vernachlässigbar klein. Als Beispiel sei die Möglichkeit genannt, den Strahlungseinfluss aller Rundfunkund Fernsehsender bis 1000 MHz innerhalb eines Gebäudes um mindestens 30 db zu dämpfen. Es ergeben sich hieraus z.b. Rechteckrohre mit einem Querschnitt von cm und einer Länge von 14.1 cm Kreiszylindrische Durchführungen und H 11 -Wellen Ein weiteres Beispiel für die aperiodische Dämpfung sind die Bedienungselementedurchführungen an HF-Geräten mit sogenannten Isolierachsen wie Abbildung 3.39 zeigt. An die Wand eines Abschirmgehäuses ist ähnlich wie in Abbildung 3.39 ein Rohr mit leitender Wand angesetzt. Durch dieses Rohr läuft eine Achse, mit deren Hilfe man von außen her irgendeinen Mechanismus im Inneren des Abschirmgehäuses bedienen will. Ist diese Achse aus Metall, so bilden die Achse und das Ansatzrohr eine koaxiale Leitung, über die sehr leicht Felder aus dem Innern des Gehäuses in den Außenraum treten können. Ist dagegen die Achse aus isolierendem Material (Dielektrikum) und ist der innere Durchmesser D des Ansatzrohres so klein, dass die Frequenzen der abzuschirmenden Störfelder unterhalb der kriti-

82 76 3 Wellenleiter (Hohlleiter) schen Frequenz liegen, so entstehen im Ansatzrohr nur exponentiell abklingende Felder, von denen das kritischste wieder das H 11 -Feld mit einem Abklingen nach Gleichung (3.149) ist. Gehäusewand Isolierachse D L Bild 3.39.: Isolierachse mit Ansatzrohr Ist L die Länge des Ansatzrohres in Abbildung 3.39, so vermindert das Ansatzrohr wegen λ c,ε = λ c εr alle an seinem Eingang möglicherweise existierenden Feldkomponenten eines H 11 -Feldes um Macht man α L = L D ε r 3.68 D < ε r ( 1.71D λ 0 ) (3.161) λ 0 εr (3.16) so bleibt man ausreichend weit unter der kritischen Frequenz des H 11 -Feldes, wenn λ 0 die Freiraumwellenlänge der zu sperrenden Störfrequenzen ist. Stellt man hohe Anforderungen an die Sperrwirkung des Ansatzrohres, so wählt man L = 3 D und erhält dann nach Gleichung (3.161) eine Mindestsperrwirkung von etwa 87 db, was wohl fast immer ausreicht. Manchmal findet auch die Einheit Neper (Np) noch Verwendung (1 Np = db, 1 db = Np). Die gleichen Überlegungen zur aperiodischen Dämpfung gelten auch für Lüftungsrohre an Geräten Kapazitiver Rohrspannungsteiler Abbildung 3.40a zeigt schematisch ein Rohr mit Kreisquerschnitt, in dem durch einen im Rohr befindlichen Leiter I ein E 01 -Feld angeregt wird. In dem Rohr be-

83 3.5 Hohlleiter mit aperiodischer Dämpfung 77 findet sich ein Leiter II, dessen Oberfläche zweckmäßig so geformt ist, dass die elektrischen Feldlinien des E 01 -Feldes senkrecht auf der Leiteroberfläche landen. z a) I II D ~ Z b) C k ~ U 1 C 1 C U Z Bild 3.40.: Rohrspannungsteiler mit E 01 -Feld Dieses Gebilde wirkt wie ein kapazitiver Spannungsteiler nach Abbildung 3.40b. Die Kapazität C 1 wird gebildet von denjenigen elektrischen Feldlinien, die vom Leiter I direkt zum äußeren Rohr laufen. Die Kapazität C K wird gebildet von denjenigen Feldlinien, die direkt zwischen den Leitern I und II verlaufen. Die Kapazität C ist die Kapazität des Leiters II gegen das äußere Rohr. Schaltet man ein solches Gebilde zwischen einen Generator und einen Verbraucher Z, so tritt eine erhebliche Verminderung der Ausgangsspannung U gegenüber der Eingangsspannung U 1 auf. Ein solcher Teiler hat folgende wertvolle Eigenschaften: 1. Man kann mit ihm sehr kleine Ausgangsspannungen in definierter Weise erzielen.. Der Teiler ist nach außen vollständig abgeschirmt, so dass der Verbraucher Z bei richtig abgeschirmtem Anschluss an den Teilerausgang keine Fremdspannungen auf undefinierten äußeren Wegen direkt aus dem Generator erhält. Dies ist besonders wichtig, wenn man mit extrem kleinen Ausgangsspannungen U arbeiten will, weil dann schon kleinste Fremdspannungen erhebliche Fehler verursachen können.

84 78 3 Wellenleiter (Hohlleiter) 3. Wenn man ein Präzisionsrohr verwendet, stimmt die Theorie des α z aus Gleichung (3.161) sehr genau, so dass man auf diesem Wege berechenbare Standardteiler bauen kann. 4. Durch Verschieben des Leiters II innerhalb des Rohres in z-richtung kann man die Spannungsteilung in sehr einfacher Weise und um viele Zehnerpotenzen variieren. 5. Wenn der Rohrdurchmesser D sehr genau hergestellt wird und sein Wert exakt bekannt ist, wenn ferner die Verschiebung z des Leiters II in z- Richtung sehr genau gemessen wird, so kann man die zugehörige Änderung der Ausgangsspannung aus Gleichung (3.15) sehr genau berechnen. Mit λ c aus Gleichung (3.85) und α z aus Gleichung (3.149) ist die zu dem z gehörende Dämpfungsänderung ( ) 1.31D z α z z = D λ 0 (3.163) Bei hinreichend niedrigen Frequenzen, wenn λ 0 wesentlich größer als D ist, wird die Wurzel gleich 1 und α z 4.80 z D (3.164) Induktiver Rohrspannungsteiler Man kann einen Spannungsteiler auch mit Hilfe eines H 11 -Feldes und induktiver Kopplung zwischen Eingang und Ausgang erzeugen, solange man unterhalb der kritischen Frequenz des H 11 -Feldes in dem betreffenden Rohr bleibt. Eine sehr einfache Ausführung zeigt Abbildung Ein Generator schickt einen Strom I 1 in einen Draht. Dieser verursacht ein magnetisches Feld, das sich in das Rohr erstreckt und dieses annähernd mit einem H 11 -Feld erfüllt. Einige der Feldlinien durchdringen die Fläche F der Ausgangsschleife und induzieren dort die Ausgangsspannung. Es gilt hier sinngemäß alles, was vorher für das E 01 -Feld im kapazitiven Teiler gesagt wurde, jedoch mit λ c für

85 3.6 Einfluss dielektrischer und magnetischer Materialien 79 Rohr I 1 Z H F Bild 3.41.: Induktiver Rohrspannungsteiler mit H 11 -Feld die H 11 -Welle, so dass hier ( ) 1.71D z α z z = D λ 0 (3.165) gilt. Wegen des kleineren Faktors 3.68 ist bei gleichem D und gleicher Verschiebung z die Spannungsänderung hier kleiner als beim E 01 -Feld. Bei gegebener Einstellgenauigkeit für z kann man also im induktiven Teiler eine bestimmte Spannungsänderung etwas genauer einstellen als beim kapazitiven Teiler Einfluss dielektrischer und magnetischer Materialien auf die Wellenausbreitung Eine ebene elektromagnetische Welle, welche sich von einem Medium 1 zu einem Medium ausbreitet, erfährt an der Grenzschicht zwischen beiden Medien eine Beeinflussung der Richtung der Ausbreitung und der Feldstärkeamplituden. In diesem Kapitel wird zunächst die Wellenausbreitung in dielektrischen und magnetischen Materialien und danach an Grenzschichten dargestellt.

86 80 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Ebene Welle im dielektrischen oder magnetischen Material In den betrachteten Medien werden die relative Dielektrizitätszahl ε r und die Permeabilitätszahl µ r eingeführt, d.h. ε = ε 0 ε r (3.166) µ = µ 0 µ r (3.167) Beide Größen sind im allgemeinen verlustbehaftet, d.h. komplex: ε r = ε r jε r (3.168) µ r = µ r jµ r (3.169) Werden ε r und µ r in die charakteristischen Wellengrößen eingesetzt, so ergeben sich folgende Änderungen ( für kleine Verluste): v Ph v Ph,M = ω 1 β = ε0 ε rµ 0 µ r λ λ M = v Ph,M = 1 f f ε 0 ε r µ 0µ r µr = c 0 ε rµ r (3.170) (3.171) µ0 µ Z F0 Z FM = r = Z F0 (3.17) ε 0 ε r ε r γ γ M = j ω ε 0 ε r µ 0 µ r = α + jβ (3.173) Aus diesen Größen lassen sich alle weiteren Zusammenhänge ableiten. Die Berücksichtigung kleiner Verluste erfolgt am günstigsten durch eine Näherung bei den Ausbreitungskonstanten: γ = α + jβ = j ω ε 0 ε r µ 0 µ r (3.174) = j ω (ε r c jε r )(µ r jµ r ) (3.175) 0 j ω c 0 ε rµ r 1 j ( ε r ε r + µ r µ r β M (j + 1 ) (tanδ ε + tan δ µ ) ) (3.176) (3.177) Kleine Verluste des Mediums führen also zu einer Dämpfungskonstanten α = 1 β M (tan δ ε + tanδ µ ) (3.178)

87 3.6 Einfluss dielektrischer und magnetischer Materialien 81 Folgende Näherungen und Annahmen wurden in obiger Ableitung verwendet: ε r µ r ε r µ r tanδ x = Im{x} Re{x} = ε r ε r ε r ε r und µ r 1 (3.179) µ r µ r bzw. (3.180) µ r Randbedingungen an dielektrischen Grenzflächen Bei Übergängen einer Welle von einem zum anderen Medium werden die Feldstärken beeinflusst. In Abbildung 3.4 sind die grundlegenden Zusammenhänge dargestellt. Medium r r z Grenzschicht E tan Etan1 tan1 H tan H tan1 tan1 D D 1 B B 1 n 1 y x Medium 1 r1 r1 Bild 3.4.: Randbedingungen an Grenzflächen Betrachtet man die Grenzschicht zwischen zwei unterschiedlichen Dielektrika, so müssen folgende Randbedingungen für alle Orte auf der Grenzschicht zu jeder Zeit erfüllt sein: E tan1 = E tan JF = n 1 ( H tan1 H tan ) (3.181) D norm1 = D norm ε r1 Enorm1 = ε r Enorm (3.18) B norm1 = B norm µ r1 Hnorm1 = µ r Hnorm (3.183) Bei Gleichung (3.18) wurde vorausgesetzt, dass keine Raum- bzw. Flächenladungen in der Grenzschicht auftreten können.

88 8 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Reflexion an dielekrischer bzw. magnetischer Grenzschicht Für Wellen, welche vom Medium 1 aus auf die Grenzschicht treffen, sind die folgenden Fälle zu unterscheiden: 1. Parallele Polarisation, d.h. E ist parallel zur Einfallsebene. E-Welle. Senkrechte Polarisation, d.h. E ist senkrecht zur Einfallsebene. H-Welle a) β d b) H d β d H d α E d α E d z α 1 α 1 Medium Medium 1 α 1 α 1 Medium Medium 1 y x H e β e E e H r E r β r H e β e Ee E r H r βr Bild 3.43.: Felder der Wellen an einer Grenzfläche links: parallele Polarisation rechts: senkrechte Polarisation Indizes: e einfallend, r reflektierend, d durchtretend Dabei ist die Einfallsebene diejenige Ebene, die von der Normalen zur Grenzebene (Lot) und dem Ausbreitungsvektor der einfallenden Welle aufgespannt wird (vergleiche auch Abbildung.6). Im folgenden werden zur Vereinfachung der Berechnung verlustfreie Medien vorausgesetzt (tan δ ε = tanδ µ = 0), und die Grenzschicht sei nichtleitend ( J F = 0).

89 3.6 Einfluss dielektrischer und magnetischer Materialien Polarisation der einfallenden Welle parallel zur Einfallsebene In komplexer Schreibweise lassen sich die Wellen in Übereinstimmung mit der Darstellung in Abbildung 3.43a formulieren: E e,x = E 0 cos α 1 e j(ωt k e r) E e,z = E 0 sin α 1 e j(ωt k e r) H e,y = E 0 Z F1 e j(ωt k e r) (3.184) (3.185) (3.186) E r,x = r p E 0 cosα 1 e j(ωt k r r) E r,z = r p E 0 sin α 1 e j(ωt k r r) H r,y = r p E 0 Z F1 e j(ωt k r r) (3.187) (3.188) (3.189) mit E d,x = d p E 0 cosα e j(ωt k d r) E d,z = d p E 0 sin α e j(ωt k d r) H d,y = d p E 0 Z F e j(ωt k d r) (3.190) (3.191) (3.19) ke = k 1 (sin α 1 e x + cosα 1 e z ) (3.193) kr = k 1 (sin α 1 e x cos α 1 e z ) (3.194) kd = k (sin α e x + cosα e z ) (3.195) und r = x e x + y e y + z e z (3.196) k 1 = k 0 εr1 µ r1 k = k 0 εr µ r (3.197) k 1 ist die Phasenkonstante in Medium 1, k diejenige in Medium, r p ist der Amplitudenreflexionskoeffizient und d p ist der Amplitudendurchgangskoeffizient. Es gilt: r p + d p = 1. r p und d p heißen Fresnelkoeffizienten. Die Randbedingungen in Gleichung (3.181) lauten hier nun: E e,x + E r,x = E d,x und H e,y + H r,y = H d,y

90 84 3 Wellenleiter (Hohlleiter) und müssen, wie bereits erwähnt, zu jedem Zeitpunkt und in jedem Grenzflächenpunkt (z = 0) gelten. Das bedeutet, dass die Phasenterme identisch sein müssen (daraus folgt das Brechungsgesetz), und nunmehr gilt für die reellen Amplituden: E e,x + E r,x = E d,x cos α 1 + r p cosα 1 = d p cos α (3.198) H e,y + H r,y = H d,y r p = d p (3.199) Z F1 Z F1 Z F Löst man dieses Gleichungspaar nach r p und d p auf, erhält man die Fresnelschen Gleichungen für Wellen mit E parallel zur Einfallsebene: r p = Z F1 cosα 1 + Z F cosα Z F1 cosα 1 + Z F cosα = µ1 cos α 1 + ε 1 µ1 cosα 1 + ε 1 µ cosα ε µ cosα ε = µr1 ε r ε r1 µ r + cosα cosα 1 µr1 ε r ε r1 µ r + cosα cosα 1 (3.00) d p = Z F cosα 1 Z F1 cosα 1 + Z F cos α (3.01)

91 3.6 Einfluss dielektrischer und magnetischer Materialien Polarisation der einfallenden Welle senkrecht zur Einfallsebene In komplexer Darstellung lassen sich die Wellen in Übereinstimmung mit der Bezeichnungsweise in Bild Abbildung 3.43b folgendermaßen darstellen: E e,y = E 0 e j(ωt k e r) H e,x = E 0 Z F1 cosα 1 e j(ωt k e r) H e,z = E 0 Z F1 sin α 1 e j(ωt k e r) (3.0) (3.03) (3.04) E r,y = r s E 0 e j(ωt k r r) H r,x = r s E 0 Z F1 cosα 1 e j(ωt k r r) H r,z = r s E 0 Z F1 sin α 1 e j(ωt k r r) (3.05) (3.06) (3.07) E d,y = d s E 0 e j(ωt k d r) H d,x = d s E 0 Z F cosα e j(ωt k d r) H d,z = d s E 0 Z F sin α e j(ωt k d r) (3.08) (3.09) (3.10) Mit den gleichen Überlegungen wie in den Gleichungen (3.198) und (3.199) erhält man die Fresnelschen Gleichungen für Wellen mit E senkrecht zur Einfallsebene polarisiert: r s = Z F cos α 1 Z F1 cosα Z F cosα 1 + Z F1 cos α = µr ε r1 cosα ε r µ r1 cosα 1 µr ε r1 + cosα (3.11) ε r µ r1 cosα 1 d s = Z F cosα 1 Z F cos α 1 + Z F1 cos α (3.1) Besonderheiten an dielektrischen Grenzschichten: 1. Sind die betrachteten Medien nicht verlustfrei, so sind ihre Feldwellenwiderstände Z F1 und Z F sowie µ r1, µ r, ε r1 und ε r komplexe Größen. Dies trifft dann auch auf die Amplitudenreflexionskoeffizienten r p und r s zu.. Sind die Medien reine (also unmagnetische) Dielektrika (µ r = 1), so lauten

92 86 3 Wellenleiter (Hohlleiter) die Fresnelschen Gleichungen: r p = εr ε r1 + cos α cos α 1 εr ε r1 + cosα cosα 1 (3.13) r s = εr1 ε r cosα cosα 1 εr1 ε r + cosα cosα 1 (3.14) Gilt darüber hinaus ε r1 = 1 (in Luft), so folgt für senkrechten Einfall der Welle (α 1 = α = 0): r p = r s = 1 ε r 1 + ε r (3.15) d.h. die Reflexionskoeffizienten sind gleich. Dies ist zu erwarten, da bei senkrechtem Einfall keine Einfallsebene existiert und folglich auch keine Polarisationsrichtung angegeben werden kann. Beispiele ε r 5 10 r p,s Teflon Glas Keramik 3. Bezüglich der Vorzeichen in den Fresnelschen Gleichungen ist wichtig zu beachten, dass diese von den in Abbildung 3.43 angesetzten Richtungen der Feldstärken abhängen; dieser Ansatz ist willkürlich gewählt. 4. Eine Permeabilität µ r 1 vermindert die Reflexion. Der reflexionsfreie Fall µ r = ε r ist bisher nicht realisiert worden. 5. Brewster-Winkel: Für cosα = cosα 1 µr1 ε r ε r1 µ r ist r p = 0. Die Welle mit E parallel zur Einfallsebene polarisiert wird für α 1 = α Brewster nicht reflektiert. Für reine (also unmagnetische) Dielektrika (µ r = 1) ergibt sich α Brewster aus Gleichung (3.13) und dem Brechungsgesetz sinα 1 sinα = c 1 c = εr ε r1 zu: ε α Brewster = arcsin (3.16) ε 1 + ε

93 3.6 Einfluss dielektrischer und magnetischer Materialien Totalreflexion: Überschreitet der Einfallswinkel einer in ein weniger dichtes Medium (ε < ε 1 ) einfallenden Welle den Wert α Totalr., so wird die Welle vollständig reflektiert. α Totalr. lässt sich aus dem Brechungsgesetz oder aus den Gleichungen (3.13) und (3.14) ableiten Anschauliche Herleitung der Fresnelschen Reflexionskoeffizienten Ein zweiter, eher anschaulicher Weg zur Herleitung der Reflexionsfaktoren kann die Betrachtung der Leitungstheorie sein. Er erlaubt jedoch keine Herleitung des Brechungs- oder Reflexionsgesetzes, sondern lediglich die der Fresnelschen Reflexionskoeffizienten. Die schräg einfallende Welle wird in zwei Teilwellen zerlegt: eine Teilwelle läuft parallel zur Grenzschicht, die andere fällt senkrecht zu ihr ein. Nur letztere erfährt eine Reflexion Polarisation der einfallenden Welle parallel zur Einfallsebene Nach Bild Abbildung 3.43a ergeben sich die Komponenten der senkrecht einfallenden Teilwelle zu E tan1 = E e cosα 1, E tan = E d cosα, H tan1 = H e, H tan = H d. Damit erhält man die Feldwellenwiderstände für die E-Welle: Z FE,1 = E e cosα 1 H e = Z F0 µr1 ε r1 cos α 1 = Z F1 cosα 1 (3.17) Z FE, = E d cos α H d = Z F0 µr ε r cosα = Z F cosα (3.18) Nach der Leitungstheorie ist der Reflexionsfaktor bei der Reflexion einer Welle an einer Stelle mit abrupter Änderung des Wellenwiderstandes: r = Z Z 1 Z + Z 1 (3.19) So ergibt sich für parallele Polarisation und aus Medium 1 nach Medium einfallende Welle der Reflexionsfaktor zu r p = Z F cosα Z F1 cosα 1 Z F cos α + Z F1 cosα 1 (3.0)

94 88 3 Wellenleiter (Hohlleiter) Er stimmt mit Gleichung (3.00) überein und es lässt sich leicht verifizieren, dass physikalisch der gleiche Sachverhalt gemeint ist: trifft eine solche Welle auf eine ideal leitende Fläche (Z F = 0), so erhält man nach der Leitungstheorie r = 1. Das bedeutet, hin- und rücklaufende Spannungswelle haben unterschiedliches Vorzeichen und addieren sich auf der Grenzfläche zu Null Polarisation der einfallenden Welle senkrecht zur Einfallsebene Nach Abbildung 3.43b ergeben sich die Komponenten der senkrecht einfallenden Teilwelle. Die weitere Vorgehensweise ist analog zu der vorausgehenden und man erhält die Gleichung (3.11).

95 4. Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Die Mikrowellentechnik ist dadurch gekennzeichnet, dass die passiven Bauelemente in die Größenordnung der Wellenlänge kommen. Daraus ergibt sich, dass Funktionen wie Filter, Resonatoren, Koppler usw. als Leitungsbauelemente realisiert werden. In den folgenden Abschnitten werden die wichtigsten Bauelemente dargestellt Leitungssysteme in der Mikrowellentechnik In der Mikrowellentechnik werden primär die folgenden Leitungssysteme verwendet: Hohlleiter Koaxialleiter planare Wellenleiter (Mikrostreifenleitung) Hohlleiter sind in der Herstellung aufwändig und daher mit hohen Kosten verbunden. Aufgrund ihrer Robustheit und relativ geringen Verluste werden sie zum Beispiel für Hochleistungsanwendungen eingesetzt. Bei Koaxialleitern ist die Herstellung weniger aufwändig und daher mit moderaten Kosten verbunden. Sie sind im Verhältnis zur Wellenlänge kleiner als Hohlleiter, haben aber höhere Verluste auf der Leitung. Koaxialleiter sind bis zu einem gewissen Grad biegsam. Diese Eigenschaft kann in diversen Anwendungen ausgenutzt werden.

96 90 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Planare Wellenleiter, zum Beispiel Mikrostreifenleitungen, sind sehr einfach zu fertigen, vor allem in der Serienherstellung. Daher sind sie kostengünstiger. Die Verluste sind relativ gering und sie haben ein geringeres Gewicht als die anderen Leitungstypen. 4.. Anwendung der Leitungstheorie auf Hohlleiter Es hat sich als nützlich erwiesen und ist daher in großem Umfang auch gebräuchlich, die Methoden der Leitungstheorie auch auf Hohlleiter anzuwenden, sobald ein eindeutiger Wellentyp im Hohlleiter besteht. Hier gibt es gewisse Einschränkungen, die anhand von Abbildung 4.1 erläutert werden sollen. Am Anschluss des Generators und am Anschluss des Verbrauchers entsteht kein eindeutiger Wellentyp. Es gibt neben dem gewünschten Wellentyp viele Felder anderer Wellentypen, die jedoch exponentiell abklingen,wenn Eindeutigkeit besteht, wenn also die Betriebsfrequenz unterhalb aller kritischen Frequenzen der unerwünschten Wellentypen bleibt. In Abbildung 4.1 unten ist daher am Eingang und am Ausgang des Hohlleiters schematisch ein exponentiell abklingendes Störfeld angedeutet. Wenn man die Leitungstheorie auf Hohlleiter anwenden will, ist man gezwungen, das durch aperiodische Felder gestörte Ende des Hohlleiters zwischen dem Verbraucher und dem Ort z = 0 (Abbildung 4.1) als Bestandteil des Verbrauchers anzusehen, so dass der so definierte Verbraucher in der Querschnittsebene z = 0 liegend gedacht werden muss. z = 0 ist dann das Leitungsende vom Standpunkt der Leitungstheorie. Ebenso muss man den durch aperiodische Felder gestörten Anfang des Hohlleiters zwischen dem Generator und dem Ort z = l als Bestandteil des Generators ansehen, so dass der so definierte Generator als am Ort z = l liegend gedacht werden muss. z = l ist dann der Leitungsanfang vom Standpunkt der Leitungstheorie. Da die aperiodischen Felder exponentiell absinken, sind sie natürlich theoretisch im ganzen Hohlleiter zu finden. Sie sinken aber so schnell ab, dass sie in gewisser Entfernung unter der Grenze der praktischen Messbarkeit liegen. Es gilt als brauchbare Regel, dass man den Abstand zwischen den wirklichen Hohlleiterenden und den nach Abbildung 4.1 definierten (rechnerischen) Hohlleiterenden etwa gleich dem mittleren Durchmes-

97 4. Anwendung der Leitungstheorie auf Hohlleiter 91 ser des Hohlleiters machen sollte, um sicher zu sein, dass die aperiodischen Felder bei z = 0 bzw. z = l hinreichend abgeklungen sind. wirkliches Hohlleiterende wirklicher Hohlleiteranfang Verbraucher rechnerisches Hohlleiterende rechnerischer Hohlleiteranfang Generator vom Generator kommende Welle reflektierte Welle ~ Störfelder des Verbrauchers z = 0 Bereich eindeutiger Wellenform z = l Störfelder des Generators Koordinate z Bild 4.1.: Prinzipschaltbild von Hohlleiterschaltungen Die Notwendigkeit, zwischen dem wirklichen Leitungsende und dem rechnerischen Leitungsende zu unterscheiden, besteht auch bei Leitungen mit T EM- Wellen, wenn man die Leitungstheorie exakt anwenden will. Auch diese Leitungen haben außer der normalerweise verwendeten T EM-Welle unendlich viele H- und E-Feldtypen mit z-komponenten der Felder. Betreibt man die Leitung unterhalb der kritischen Frequenz aller dieser Feldtypen, so findet man am Anschluss des Generators und am Anschluss des Verbrauchers exponentiell abklingende Störfelder verschiedenen Typs. Man muss also auch bei TEM-Wellen wie in Abbildung 4.1 ein gewisses Stück des Leitungsendes als Bestandteil des Verbrauchers ansehen. Die Leitungstheorie lässt sich nur auf den ungestörten Wellenteil der Leitung anwenden. Bei koaxialen Leitungen gilt die Regel, dass die Länge der feldgestörten Leitungsenden etwa gleich dem halben Innendurchmesser D des Außenleiters der Leitung ist. Für das Beispiel der H 10 -Welle im Rechteckquerschnitt ist die Analogie zur Spannung U auf einer gewöhnlichen Leitung die elektrische Querfeldstärke E y, die Analogie zum Strom I die magnetische Querfeldstärke H x. Die Analogie zum Widerstand Z = U/I ist der Feldwiderstand Z = E/H, die Analogie zum Wellenwiderstand Z L der Feldwellenwiderstand Z FH. Existiert im Hohlleiter eine vom Generator kommende Welle (Index G) und eine am Verbraucher reflektierte Welle (Index R) mit einer z-koordinate nach Abbildung 4.1, so gilt für die Summe beider

98 9 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Wellen Dabei ist H x (z) = H xg (0)e jβzz + H xr (0)e jβzz (4.1) E y (z) = E yg (0)e jβzz + E yr (0)e jβzz (4.) E yg H xg = E yr H xr = Z FH = 1 Z F0 ( λ0 Für E-Wellen gelten die entsprechenden Gleichungen. λ c ) (4.3) Es gibt Maxima und Minima von E y und H x längs der Leitung, einen Welligkeitsfaktor (V oltage Standing W ave Ratio) V SWR = s = E y,max E y,min = H x,max H x,min = 1 + r 1 r (4.4) einen Anpassungsfaktor m = 1 s = E y,min = H x,min = 1 r E y,max H x,max 1 + r (4.5) einen Reflexionsfaktor r = E y,r E y,g = H x,r H x,g (4.6) Bei Anpassung des Verbrauchers an den Hohlleiter gibt es keine reflektierte Welle: s = 1, m = 1, r = 0. Bei Anwesenheit einer reflektierten Welle drehen sich im Hohlleiter die Phasen des E y und des H x nach den Gleichungen (4.1) und (4.). Am Leitungsende z = 0 (Abbildung 4.1) besteht der Feldwiderstand Z(0) = E y (0)/H x (0), am beliebigen Ort z der Feldwiderstand Z(z) = E y (z)/h x (z). Am Eingang des Hohlleiters für z = l besteht der Feldwiderstand Z(l) = E y(l) H x (l) = Z(0) 1 + j Z FH Z(0) tanβ zl 1 + j Z(0) Z FH tanβ z l (4.7) Die Widerstandstransformation durch Hohlleiter erfolgt also nach den gleichen Regeln wie bei Leitungen. Man kann auch einen Feldleitwert Y = H x /E y definieren und die Transformation dieser Leitwerte längs des Hohlleiters betrachten.

99 4.3 Einkopplung in Wellenleiter zur Erregung bestimmter Moden 93 Der Eingangsleitwert am Ort z = l ist dann 1 Y (l) = H 1 + j tanβ z l x(l) E y (l) = Y (0) Y (0) Z FH 1 + jy (0) Z FH tanβ z l (4.8) Bei Verwendung von Z oder Y kann man das Kreisdiagramm (Smith-Diagramm) der verlustfreien Leitung und die bekannten Konstruktionen verwenden. Hierbei ist es üblich, mit relativen Widerständen Z/Z FH oder mit relativen Leitwerten Y Z FH zu arbeiten. Diese Bezugnahme auf die Leitungstheorie ist auch insofern sehr vorteilhaft, als man nun auch die bei Leitungen bereits erworbenen Schaltungskenntnisse weitgehend auf Hohlleiterschaltungen übertragen kann, wie z.b. die Anpassungsverfahren. Bei Breitbandschaltungen kommt in Hohlleitern als neuartiger Effekt lediglich hinzu, dass der in den Formeln vorkommende Feldwellenwiderstand Z FH nach Gleichung (4.3) bzw. Z FE stets frequenzabhängig ist, wohingegen der Wellenwiderstand Z L einer gewöhnlichen Leitung nahezu frequenzunabhängig ist Einkopplung in Wellenleiter zur Erregung bestimmter Moden Die Qualität der Kopplung von einem Wellenleiter in den anderen ist bedingt durch unterschiedlich optimale Bauelemente, speziell wenn aktive Bauelemente und Antennen mit in die Systeme eingebracht werden. Die Kopplung wird für den Grundmode dargestellt. Das Grundprinzip ist allen Schaltungen gleich. Es besteht darin, eine Feldkomponente des gewünschten Modes zu erzeugen, aus der sich dann die Welle ableitet. Alle Übergänge sind umkehrbar Anregung der H 10 -Welle im Rechteckhohlleiter Das Feldbild und die Feldverteilung der H 10 - Welle im Rechteckhohlleiter ist in Abbildung 4. dargestellt. Die Anregung ist möglich über das elektrische oder das magnetische Feld.

100 94 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik b a E y, H x a x z / H z y x z Bild 4..: Feldverteilung der H 10 -Welle Ausgehend von Koaxialleitungen sind Anordnungen üblich, wie sie in Abbildung 4.3 dargestellt sind. Die Abbildungen 4.3a-c führen primär zu einem Verschiebungsstrom bzw. Leitungsstrom in Hohlleitermitte zur Nachbildung von E y. Die Kopplung kann variiert werden durch die Eintauchtiefe und den Abstand zum Kurzschluss, sowie durch Taperung wie in Abbildung 4.3b und c gezeigt. Eine typische induktive Kopplung zeigt Abbildung 4.3d. Die Variation der Schleifenfläche beeinflusst die Kopplung und somit die Anpassung. Der Übergang Streifenleitung - Hohlleiter ist technisch schwieriger, aber nach dem gleichen Prinzip zu konzipieren. Definierte Felder der Quasi-T EM-Welle der Microstrip-Leitung werden durch die geeignete mechanische Anordnung so in den Hohlleiter eingekoppelt, dass von ihnen eine Hohlleiterwelle ausgeht. Beispiele für die H 10 -Welle zeigt Abbildung 4.4. In Beispiel 4.4a wird das E-Feld, in Beispiel 4.4c das H-Feld durch die Schlitzkopplung und in Beispiel 4.4b das E- und H-Feld genutzt. Durch die Koppelanordnungen werden neben dem Grundmode H 10 weitere Moden, z.b. H 30, angeregt. Wird der Hohlleiter so dimensioniert, dass nur die H 10 -Welle ausbreitungsfähig ist, dann werden die höheren Moden aperiodisch

101 4.3 Einkopplung in Wellenleiter zur Erregung bestimmter Moden 95 a) b) H 4 c) d) Bild 4.3.: Leitungsübergänge Koaxial - Hohlleiter

102 96 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik gedämpft. a) r b) c) Bild 4.4.: Leitungsübergänge Microstrip - Hohlleiter Für die verschiedenen Kopplungen lassen sich Ersatzschaltbilder mit kapazitiven oder induktiven Koppelelementen erstellen wie Abbildung 4.5 zeigt. Ziel aller Koppelanordnungen sind eine bestimmte Bandbreite (in der Regel das Hohlleiterband), Anpassung und Verlustfreiheit. Die Erregung von höheren Moden im Hohlleiter wird über mehrere Koppelstellen, die nach Phase und Lage ein Feldbild des gewünschten Modes ergeben, erzeugt.

103 4.4 Resonatoren 97 a) M b) 1 1 Bild 4.5.: Ersatzschaltbilder für Leitungskopplungen 4.4. Resonatoren Allgemeine Grundlagen zu Resonatoren Unter einem Resonator versteht man ein durch reflektierende Wände abgeschlossenes Gebilde, innerhalb dessen in der Umgebung der Resonanzfrequenz bei Zufuhr einer sehr kleinen Wirkleistung sehr große elektrische und magnetische Feldstärken entstehen. Der Resonator muss mit einer Ankopplungsvorrichtung versehen sein, die von einem Generator gespeist wird (Abschnitt 4.3). Unter der Resonanzkurve des Gebildes versteht man allgemein die Kurve der elektrischen oder magnetischen Feldstärke an irgendeinem Punkt des Resonators in Abhängigkeit von der Frequenz. Diese Kurve hängt normalerweise auch von der Ankopplung, den Kenngrößen des speisenden Generators und angekoppelten Verbrauchern ab. Blindkomponenten dieser äußeren Zusatzschaltung verschieben die Resonanzfrequenz, Wirkkomponenten vergrößern die Bandbreite. Mit wachsender Kopplung wächst der Einfluss der äußeren Beschaltung. Nur bei sehr loser Kopplung und frequenzunabhängigen Kenngrößen des Generators ist die Resonanzkurve ausschließlich von den Eigenschaften des Resonators abhängig. Der Resonator enthält in jedem Moment eine magnetische Feldenergie, die sich bei gegebenem magnetischen Feld aus der Feldenergiedichte w m berechnen lässt. Jedes Volumenelement dv enthält die Energie dw m = w m dv = 1 µh dv (4.9) Die Summe aller dieser Teilenergien des Resonatorraumes ergibt die gesamte magnetische Feldenergie W m des Resonators. Der Raum enthält außerdem elektrische Feldenergie, die sich bei gegebenem elektrischen Feld aus der Feldenergiedichte w e berechnen lässt. Jedes Volumenelement dv enthält die Energie dw e = w e dv = 1 εe dv (4.10)

104 98 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Die Summe aller dieser Teilenergien des Resonatorraumes gibt die elektrische Feldenergie W e des Resonators. Da Wechselfelder vorliegen, sind W m und W e zeitlich nicht konstant. Es findet eine periodische Umwandlung zwischen elektrischer und magnetischer Feldenergie statt. Der Resonator ist ein einkreisiges Gebilde, wenn es Zeiten gibt, in denen W m = 0 ist und alle Feldenergie in W e steckt bzw. umgekehrt. Den Gütefaktor, auch nur Güte genannt, berechnet man dann durch Q = P B P V = W B W V = 1 ω R µ 1 U ωc 1 = ω RW max V = U G V P V H dv P V = ω R 1 ε V E dv P V (4.11) wobei P V die im Resonator verbrauchte Wirkleistung in G V, dem Verlustleitwert, ist. Die Bestimmung der Güte geschieht in der Praxis anhand von messbaren Größen. Resonatoren werden in der Mikrowellentechnik vorwiegend als Durchlass- oder Sperrfilter in Frequenzweichen, als frequenzbestimmende Elemente von Generatoren, Verstärkern und Umsetzern oder als Frequenzmesser verwendet. Infolge der bei Mikrowellen üblichen Bauweise als Topfkreis oder Hohlraumresonator lassen sich sehr hohe Kreisgüten erzielen, welche die bei niederfrequenten Schwingkreisen gewohnten Gütezahlen oft um mehr als eine Größenordnung übertreffen. Da diese Kreise durchweg als Leitungsresonatoren aufgebaut sind, besitzen sie verteilte Kapazitäten und Induktivitäten, die sich oft schwer berechnen lassen, so dass man zur Ermittlung der Resonatoreigenschaften auf Messungen angewiesen ist. Charakteristische Größen sind die Resonanzfrequenz ω R = πf R, der Gütefaktor Q u = 1/d u des unbelasteten Kreises, der Kopplungsgrad k bzw. Transformationsfaktor n, der die Transformation der inneren Kreisgrößen auf die Anschlussleitung und gegebenenfalls die Wirkung eines äußeren Belastungswiderstandes auf die Kreiseigenschaften beschreibt, und schließlich den Verlustwiderstand R V = 1/G V, der die inneren Kreisverluste bezeichnet. Er ist häufig schwer zu definieren, sein Wert jedoch nur in seltenen Fällen von Interesse. Q u wird in der Literatur auch als innere Güte und d u als Eigendämpfung bezeichnet. Zur Ankopplung von Resonatoren gibt es drei Grundschaltungen nach Abbildung 4.6. Im Fall a) bildet der Resonator das Abschlusselement einer Leitung, Fall b) zeigt ihn als Durchgangselement und in Fall c) ist er seitlich an eine Leitung

105 4.4 Resonatoren 99 angekoppelt. Als Messverfahren für die Güte kommt für alle drei Anordnungen in erster Linie die Messung der Eingangsimpedanz in Betracht, wobei im Fall b) die Ausgangsleitung meist angepasst abgeschlossen und im Fall c) mit einem Blindabschluss versehen wird. Die Ermittlung der Güte aus der auf die Ausgangsleitung übertragenen Leistung ist vor allem für Fall b) geeignet, wobei aber die Dämpfung durch den Generatorinnenwiderstand nicht zu vernachlässigen ist. a) Reflexionstyp n = D r f R f b) Transmissionstyp t n / f R f c) Saugkreis n / t f R f Bild 4.6.: Resonatorgrundschaltungen Ferner sind noch Messverfahren durch Vergleich in Brückenschaltungen und durch Phasenmessung eines Seitenbandes bei modulierten Schwingungen bekannt. Schließlich kann man aus der Dauer des Ausschwingvorgangs bei impulsförmiger Erregung eines Resonators seine Güte ermitteln Impedanzverhalten von Resonatoren Die Eigenschaften von Mikrowellenresonatoren sind in der Literatur (z.b. [], [5], [1]) ausführlich behandelt, so dass nur kurz auf das wesentlichste eingegangen werden soll: Alle Leitungsresonatoren haben Mehrfachresonanzen, die z.b. beim

106 100 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Leitungstyp (T EM) dadurch entstehen können, dass sich auf einer Leitung gegebener Länge eine stehende Welle mit einem oder mit mehreren Spannungsknoten ausbilden kann. Es kann also eine λ/4-, λ/- oder n λ/4-resonanz entstehen. Bei Hohlraumresonatoren kommen noch Variationen durch die Möglichkeit verschiedenster Wellentypen hinzu. In der Umgebung einer solchen Resonanz kann man jedoch bei nicht zu geringer Güte das Verhalten des Resonators auf die gleiche Weise beschreiben, die auch für Schwingkreise aus konzentrierten Schaltelementen üblich ist. Induktive Kopplung a) M serieller L K L Resonanzkreis Kapazitive Kopplung C paralleler b) K Resonanzkreis Z e R S C P L C R P C, c) jx idealer paralleler K Transf. Resonanzkreis d) jx K, paralleler Resonanzkreis L C R P Z e L C R P 1:n l e Bild 4.7.: Ersatzbilder von Resonatoren und Ankopplungselementen Es lassen sich dann Ersatzschaltbilder mit konzentrierten Elementen (Abbildung 4.7) angeben, bei denen zunächst Parallel- und Serienresonanzkreise gleichberechtigt sind. Bezeichnet man als Resonanzfrequenz und f R = ω R π = 1 π LC X R = ω R L = 1 L ω R C = C (4.1) (4.13) als Resonanzblindwiderstand, so ist der Widerstand eines Serienresonanzkreises ( f Z RS = R S + jx R f ) R = R S (1 + jv ) (4.14) f R f

107 4.4 Resonatoren 101 Hierbei bedeutet V die relative Verstimmung ( f V = Q u f ) R f Q u (4.15) f R f f R und Q u die Güte des unbelasteten Kreises Q u = 1 d u = X R R S = X R G S (4.16) Die Dämpfung des extern unbelasteten Kreises ist d u. Dabei ist f die Bandbreite der Resonanz gemäß Abbildung 4.8. U, I jx U max V=-1 Parallelkreis U max f f R + f R S 45 f R - f f f R P R f V=+1 f f R f bei R S =X f Serienkreis Bild 4.8.: Spannungs- und Impedanzverlauf bei Resonatoren Der Leitwert eines Parallelresonanzkreises lässt sich in ähnlicher Form wie Gleichung (4.14) anschreiben: Sein Widerstand ist dann: Y RP = 1 R P (1 + jv ) (4.17) Z RP = 1 Y RP = R P 1 + jv (4.18) mit Q u = R P X R = 1 G P X R (4.19) In der Widerstandsebene mit kartesischen Koordinaten erscheint die Ortskurve des Parallelschwingkreises als Kreis durch den Ursprung, der bei Resonanz den

108 10 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik reellen Widerstand R P besitzt, der Serienkreis als Gerade mit dem Resonanzwiderstand R S (Abbildung 4.8b). Im Reflexionsfaktor- (Smith-) Diagramm ergeben die Widerstandsortskurven beider Schwingkreisarten Kreise, die durch 0 bzw. gehen (Abbildung 4.9). f f Parallelkreis Serienkreis -j0.3z 0 Kurzschluß f=0 f oo f R,S f f Z=0 R,P Z oo R s 1 f oo f=0 R P =0.3Z 0 Leerlauf +j0.3z 0 Bild 4.9.: Impedanzverläufe von Resonanzen im Smith-Diagramm Die auf eine irgendwie angekoppelte Anschlussleitung transformierten Kreisimpedanzen ergeben Ortskurven, deren Durchmesser vom Grad der Ankopplung abhängt (Abbildung 4.10). Der bei Resonanz an der Anschlussleitung liegende Widerstand ist dann R 0 = k Z L, wobei k der Kopplungsfaktor ist Einfluss der Kopplung Die Güte des unbelasteten Kreises kann nur dann gemessen werden, wenn durch die Kopplung die innere Dämpfung des Resonanzkreises durch Verluste und die Lastimpedanzen nicht merklich beeinflusst werden. Da im üblichen abgeschirmten Aufbau eines Mikrowellenresonators der Kreis von L und C immer geschlossen ist, kann man im Innern des Resonators Serienund Parallelresonanz nicht unterscheiden. Wie der Resonator nach außen wirkt, hängt von der Art der Ankopplung an die Anschlussleitung ab. Koppelt man sich induktiv über eine Koppelschleife an den Strom im Resonator an (Abbildung 4.7a), so tritt unter Vernachlässigung der Induktivität der Koppelschleife L K nach außen

109 4.4 Resonatoren 103 eine Parallelresonanz in Erscheinung. k>1 k=1 k<1 0 oo R 0 Z L R 0 Bild 4.10.: Einfluss des Kopplungsgrades k Aus der Anpassung errechnet sich direkt der Kopplungsgrad k. k = m für R 0 < Z L (4.0) k = 1 m Z R = jωl K + ω M für R 0 > Z L (4.1) Z RS ω M = jωl K + R S + jωl + 1 jωc ω M = jωl K + R S (1 + jv ) (4.) Der Einfluss der Induktivität L K einer Koppelschleife ist in Abbildung 4.11 für einen Parallelresonanzkreis skizziert, die Transformation durch die Serienkapazität C K und die Streukapazität C P einer kapazitiven Ankopplung ist in Abbildung 4.1 gezeichnet. Neben der Veränderung des Kreisdurchmessers (Veränderung des Transformationsfaktors) tritt durch die Koppelelemente auch eine Blindkomponente des Widerstandes im Resonanzpunkt auf (Verstimmung). Der zweite Einfluss kann im allgemeinen durch Wahl einer geeigneten Bezugsebene bei der Impedanzmessung ausgeglichen werden. Die über die Transformation der Ankopplung wirksame Kreisgüte bleibt die gleiche - Verlustfreiheit der Koppelelemente vorausgesetzt - wie die des Schwingkrei-

110 104 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Kreis mit L K l e / Resonanzpunkt X=const L K 0 oo R 0 1 Kreis ohne L K R 0 =const Bild 4.11.: Transformation der Resonanzimpedanz durch induktive Kopplung Kreis alleine R p =const Kreis mit C K und C 1 p C K 0 oo R 0 1 R p C p l e / X CK =const Resonanzpunkt Kreis mit C K Bild 4.1.: Transformation der Resonanzimpedanz durch kapazitive Kopplung

111 4.4 Resonatoren 105 ses allein, da durch die Transformation die Blindanteile des Kreiswiderstandes in gleicher Weise wie seine Wirkanteile umgesetzt werden. Die Kopplung von Resonatoren an die speisende Quelle lässt sich wie in Abbildung 4.7c geschehen, durch einen idealen Transformator mit dem Transformationsfaktor n und dem Blindwiderstand X K darstellen. In den Fällen, in denen der Resonator als Transmissionstyp verwendet wird, kann auch die Kopplung am Ausgang durch einen idealen Transformator ersetzt werden. Man erhält dann ein Ersatzschaltbild nach Abbildung R i 1 jx K1 idealer Transf. idealer Transf. jx K L C R P R L 1, 1:n 1 n :1 R 0,L,C k 1 k Bild 4.13.: Ersatzschaltbild eines Resonators mit idealen Transformatoren zur Ankopplung von Last und Quelle Die berechenbare Güte bleibt erhalten, da an den Klemmen 1 1 Blindelemente gleich umgesetzt werden. Ohne Belastung durch R L gilt: Wirk- und R 0 = kz L = R P n 1 (4.3) L = L n 1 (4.4) C = n 1 C (4.5) Ist der Resonator von außen über eine zusätzliche Ankopplung belastet (R L in Abbildung 4.13), so wird sein Eingangswiderstand bei Resonanz zu ((R P n R L)/n 1 ): R0L = R P n R L n 1 (R P + n R L) (4.6) Sind beide Ankopplungen gleich (n 1 = n = n bzw. k 1 = k = k) und der Lastwiderstand gleich dem Wellenwiderstand der Ankoppelleitung (R L = Z L ), so

112 106 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik wird mit Gleichung (4.3): R 0L = R 0 (4.7) 1 + k Analog dazu wird häufig auch die Güte des belasteten Resonators mit Q L bezeichnet: Q L = Q u 1 + k (4.8) Betrachtet man nicht die Änderung der Eingangsimpedanz, sondern die Änderung des Leistungsflusses vom Generator zum Lastwiderstand R L, so wird der Innenwiderstand R i des Generators wirksam, der den Resonator zusätzlich bedämpft. In diesem Fall erhält man für R i = R L = Z L die Kreisgüte Q L = Q u 1 + k 1 + k (4.9) Im Schwingkreis selbst stellt der Parallelverlustwiderstand R P meist nur eine Rechengröße dar, die im Resonatorinneren längs der Feldlinien maximaler Feldstärke zu denken ist. Die tatsächlichen Verluste entstehen vorwiegend durch die Ströme in der Leiteroberfläche des Resonators. Der Serienverlustwiderstand R S ist bei nicht zu komplizierten Anordnungen aus der Oberflächenstromdichte und dem Flächenwiderstand der Leiter berechenbar. R P ist dann aus der Umrechnung zu gewinnen. R P X R R S (4.30) Die Dämpfung, die nach Gleichung (4.16) gegeben ist durch Q = 1/d, kann aufgeteilt werden in den durch R i verursachten Anteil d i, den durch R L verursachten Anteil d L und die Dämpfung des unbelasteten Resonators d u. Die Gesamtdämpfung ergibt sich dann zu d ges = d u + d i + d L = d u (1 + k 1 + k ) (4.31) Resonanzen eines Quaders (Rechteckhohlleiter) Ein Rechteckhohlleiter, der an beiden Enden kurzgeschlossen ist, reflektiert eine eingespeiste Welle an beiden Enden, so dass eine stehende Welle entsteht, wenn die Länge des Resonators genau ein Vielfaches der halben Hohlleiterwellenlänge

113 4.4 Resonatoren 107 ist. Für die Resonanz kommen alle im Hohlleiter ausbreitungsfähigen Moden in Betracht, d.h. H mn - und E mn -Moden, deren Resonanzen mit H mnp und E mnp bezeichnet werden. Der Index p ist die Anzahl der halben stehenden Wellenlängen im Resonator. Daneben gibt es auch noch E mn0 -Resonatoren, für welche die Resonanzfrequenz unabhängig von der Länge ist. Für die Feldkomponenten im Resonator und insbesondere an den beiden Kurzschlüssen gelten die nachstehenden Randbedingungen (siehe Gleichungen (.3) bis (.34)). e tan = 0 h = 0 (4.3) h n n = 0 Bei der Berechnung der Resonanz geht man von vernachlässigbaren Verlusten aus. Die eingekoppelte hinlaufende Welle A wird vollständig reflektiert. Je nach Mode entsteht ein Phasensprung oder nicht. Damit lassen sich die Feldverteilungen zusammenfassen zu (Gleichung (4.33) ohne, (4.34) mit Phasensprung): A = A h + A r = A(0)e jβzz + A(0)e jβzz = A(0) cosβ z z (4.33) A = A h A r = A(0)e jβzz A(0)e jβzz = ja(0) sin β z z (4.34) Beispiele für Resonanzen im Rechteckhohlleiter werden in den folgenden Abschnitten gezeigt H mnp -Resonanzen des Rechteckhohlleiters In Abbildung 4.14 sind für verschiedene Moden Beispiele gezeigt. Für die H Resonanz liegt die leitende Wand (Kurzschluss) im ersten Knoten der elektrischen Feldstärke, für die H 10p -Resonanz im p-ten Knoten. Die Resonanzwellenlänge berechnet sich allgemein aus β = π/λ zu: λ 0 = λ R = (m ) ( n ) ( p ) (4.35) + + a b c

114 108 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Für die H 101 -Resonanz sind ( πx ) ( ) πz H z (x, z) = jh 0 cos sin a λ z β ( πx ) ( ) πz H x (x, z) = jh 0 sin cos β c a λ z β ( πx ) ( ) πz E y (x, z) = +Z FH H 0 sin sin β c a und mit p = 1, d.h. c = λ z / ( πx ) ( πz ) H z (x, z) = jh 0 cos sin a c β ( πx ) ( πz ) H x (x, z) = jh 0 sin cos β c a c β ( πx ) ( πz ) E y (x, z) = +Z FH H 0 sin sin β c a c λ z (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40) (4.41) Die Feldverteilung und der Feldverlauf ergeben sich aus den Gleichungen (3.9) bis (3.34) und (4.33) bzw. (4.34). Zwischen E y und H x ist die Phasenverschiebung π/, E y wird von den magnetischen Feldlinien umschlossen und diese sind gleichphasig. Die Verluste des Resonators ergeben sich aus den Wandstromverlusten nach Abschnitt 3.4.3, wobei alle sechs metallischen Flächen zu berücksichtigen sind. Es findet im Resonator eine ständige Umwandlung von elektrischer in magnetische Energie und umgekehrt statt. Die elektrische Energie berechnet sich aus: W e = dw e = 1 ε 0 a b λ z/ E ydx dy dz = ε 0 H 0 ( ωµ0 β c ) ab λ z 4 (4.4) x=0 y=0 z=0 Es ist üblich, für einen Resonator eine sogenannte Modenkarte (Mode-chart) zu zeichnen, welche für verschiedene Abmessungen die Resonanzwellenlänge oder die Resonanzfrequenz zeigt (siehe Abbildung 4.15) E mnp - Resonanzen des Rechteckhohlleiters Ebenso wie eine H mn -Welle kann jede E mn -Welle im Rechteckhohlleiter Resonanzen erzeugen. Da sich die Resonanzen auch nach Gleichung 4.35 berech-

115 4.4 Resonatoren 109 a a b b c Feldlinienbild z c H 10 -Resonanz y x Wandströme H101-Resonanz H 11 -Resonanz Bild 4.14.: H mnp -Resonanzen c/a 3 H 013, H 03 H 104 H H 01, H 0 H 011, H 01 H 10 H 101 E 110 b a c R /a Bild 4.15.: Resonanzen eines Quaders mit a/b = /1

116 110 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik nen, sind sie identisch mit denen der H mnp -Wellen. Eine Besonderheit stellen die E mn0 -Resonanzen dar. Wenn man einen Hohlleiter (gilt auch für zylindrische Hohlleiter) genau bei der Grenzfrequenz betreibt, verschwinden alle elektrischen Querkomponenten wegen β z = 0. Man kann daher eine E mn -Welle bei ihrer Grenzfrequenz an jeder Stelle mit einem Kurzschluss abschließen, ohne das Feldbild zu verändern, da nur E z existiert (Abbildung 4.16). Für die Resonanzfrequenz gilt: λ 0 = λ R = λ c = (m ) ( n ) f(c) (4.43) + a b a y z E z x b H y H x c Bild 4.16.: E 110 -Resonanz Resonanzen eines Zylinders Kreiszylindrische Hohlleiter können genauso wie Rechteckhohlleiter in den Knotenebenen des elektrischen Feldes durch eine leitende Wand abgeschlossen werden, ohne den Feldverlauf zu stören. Durch die Reflexion am leitenden Abschluss bildet sich eine stehende Welle aus. Die Resonanzbedingung lautet für Hohlleiter des Durchmessers D und der Länge h h = p λ z = pλ 0 1 ( λ0 λ c ) (4.44)

117 4.4 Resonatoren 111 Hierin ist λ c die Grenzwellenlänge des Hohlleiters nach Abschnitt Daraus folgt die Resonanzwellenlänge λ R zu λ 0 = λ R = 1 ( p ) ( ) (4.45) 1 + h λ c Besonderes Interesse besitzt die H 111 -Resonanz wegen ihrer niedrigen Resonanzfrequenz bzw. der geringen Größe des Resonators bei gegebener Frequenz. Ferner interessieren die H 01p -Resonanzen, weil diese wegen der sehr kleinen Dämpfung der H 01 -Welle besonders kleine Verluste haben. Es gibt auch hier die E mn0 -Resonanzen, bei denen die Resonanzfrequenz gleich der kritischen Frequenz ist und daher das elektrische Feld nur eine E z -Komponente hat. Abbildung 4.17a und c zeigt die Felder einer E 010 -Resonanz, die den Resonanzfeldern der Abbildung 4.16 sehr ähnlich sind. Abbildung 4.17b zeigt die Wandströme, die mit den Verschiebungsströmen geschlossene Stromkreise bilden. Bei E mn0 -Resonanzen gilt, dass längere Resonatoren eine höhere Güte besitzen, da in einem größeren Volumen mehr Energie gespeichert werden kann. a) h H E z E z, I v E z H h b) c) D I z I r D H Bild 4.17.: E 010 -Resonanz eines Zylinders Auch für den zylindrischen Resonator werden Modenkarten erstellt, wie sie als Beispiel Abbildung 4.18 zeigt.

118 11 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik h/d H 011, E 111 H 11 E 013 E 01 E 011 H 113 H 11 H D h E 110 E 010 R/D Bild 4.18.: Resonanzen eines Zylinders Dielektrische Resonatoren Bei allen bisher behandelten Resonatoren wurde Luft mit ε = ε 0 als Dielektrikum verwendet und leitende Flächen zur Begrenzung des Resonatorraumes. Für den Einsatz in Streifenleitungsschaltungen wurden in den letzten Jahren dielektrische Resonatoren entwickelt. Das Material hat Dielektrizitätszahlen ε r zwischen 0 < ε r < 00 bei µ r = 1. Durch diese hohen ε r -Werte ergeben sich sehr kleine, integrierbare Resonatoren, da näherungsweise für die niedrigste Resonanz gilt: λ R D ε r (D = Durchmesser) (4.46) Die hohe Dielektrizitätszahl führt zu starken Reflexionen beim Auftreffen einer Welle auf das Material und damit zu loser Kopplung. Eine Welle im Material wird durch den ε-sprung beim Austritt stark reflektiert. Dadurch entsteht die Resonatorwirkung. Abbildung 4.19 zeigt für den niedrigsten Mode H 01δ die Feldbilder. Der Index δ trägt der Tatsache Rechnung, dass das Feld auch in den Außenraum reicht, was zur Ankopplung genutzt wird. Grundsätzlich erfolgt die Ankopplung über das magnetische Feld, Beispiele hierzu zeigt Abbildung 4.0. Ein zylindrischer dielektrischer Resonator kann wie ein Hohlraumresonator in

119 4.4 Resonatoren 113 E H Z a) b) z c) E y x D Bild 4.19.: Feldverteilung und Feldlinienbild des Grundmodes H 01δ eines dielektrischen Zylinderresonators a) Amplituden des magnetischen (H z ) und elektrischen Feldes (E ψ ) b) Verlauf der magnetischen Feldlinien (H) c) Verlauf der elektrischen Feldlinien (E) unendlich vielen Moden schwingen. Die Randbedingungen werden durch den ε-sprung gesetzt: Z Fε = Z F0 εr (4.47) h tan,ε = h tan,l (4.48) e tan,ε = e tan,l (4.49) h nor,ε = h nor,l (4.50) ε r e nor,ε = e nor,l (4.51) Der Index ε kennzeichnet die Felder im Resonator, der Index L die Felder in Luft. Es wurde µ r = 1 und ε r = 1 für Luft angenommen. Da die orthogonalen elektrischen und magnetischen Felder im Resonator über Z Fε, im freien Raum über Z F0 verbunden sind, sinken die Feldstärken außerhalb des Resonators sehr schnell ab. Tabelle 4.1 zeigt typische Eigenschaften von dielektrischen Resonatoren.

120 114 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik a) b) H I I c) t f R f Bild 4.0.: Möglichkeiten der induktiven Kopplung an die Grundschwingung des dielektrischen Resonators a) Luftleitung b) Koppelschleifen c) Mikrostreifenleitung Typ I Typ II Dielektrizitätszahl ε r 38, 5 90 Verlustfaktor tan δ bei GHz GHz GHz 10 4 Temperaturkoeffizient TK f der Resonanzfrequenz 0 ± 1 +7 ± /K Linearer Wärmeausdehnungskoeffizient α f /K Tabelle 4.1.: Eigenschaften dielektrischer Keramik für Mikrowellenanwendungen Während die Güte der vorher besprochenen Resonatoren ausschließlich durch die Wandstromverluste der Kavitäten bestimmt wird, liegt die Güte der dielektrischen Resonatoren durch die Verluste des Dielektrikums, d.h. tan δ, fest. Aus Tabelle 4.1 ergibt sich, dass unbelastete Resonatoren Güten zwischen 1000 und haben können. Der Einsatz von dielektrischen Resonatoren umfasst heute nahezu alle Leitungsstrukturen zur Realisierung von Filtern aller Art sowie von Oszillatoren. Der nutzbare Frequenzbereich geht von 0.5 GHz bis ca. 70 GHz.

121 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen Richtkoppler sind Bauelemente der Hochfrequenztechnik, bei denen einen Teil der in einer Leitung laufenden Welle richtungsabhängig abgeweigt wird. Sie werden eingesetzt für die Schaltungsüberwachung Messtechnik Leistungsteilung In den beiden ersten Aufgaben wird jeweils ein meistens kleiner Leistungsanteil ausgekoppelt und der Peripherie bzw. den Messgeräten zugeführt. Die Leistungsteilung wird entweder beim Anschluss mehrerer Verbraucher oder umgekehrt zur Leistungszusammenfassung eingesetzt. Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal zwischen Kopplern besteht in der Art der Wellenleiter, aus denen sie aufgebaut sind. Es haben sich nämlich ganz spezielle Kopplungsarten als günstig für die einzelnen Wellenleiter herauskristallisiert, insbesondere von der praktischen Anwendung her, bei der der technologische Aufwand eine wichtige Rolle spielt. Bevor die einzelnen Arten besprochen werden, soll noch eine grundsätzliche Betrachtung vorausgeschickt werden Allgemeine Eigenschaften von Kopplern Die Beschreibung von Richtkopplern erfolgt mit der Streumatrix. Geht man von dem prinzipiellen Blockschaltbild in Abbildung 4.1 aus und definiert die Eigenschaften wie folgt: Reflexionsfreiheit der Tore Verlustfreiheit des Kopplers Reziprozität

122 116 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik so werden dadurch die Eigenschaften der Streumatrix weitgehend festgelegt. Alle Streuparameter s ij sind komplexe Größen. Z K 4 Z Z 1 T 3 Z Bild 4.1.: Blockschaltbild eines Richtkopplers Es folgt aus der Reflexionsfreiheit der Tore S ii = r i = 0 (4.5) aus der Umkehrbarkeit [S] = [S] T S ij = S ji (4.53) aus der Verlustfreiheit [S] + [S] = [1] (4.54) [ S ] + : adjungiert = [ [S] T ] : transponiert und konjugiert komplex Neben obigen allgemeinen Forderungen stellt man an Richtkoppler die speziellen Forderungen Die vier Tore können in zwei Paare aufgeteilt werden. Die Tore eines jeden Paares sind gegeneinander isoliert. Legt man fest, dass Tor 1 und sowie Tor 3 und 4 jeweils ein Paar bilden, so folgt aus der Isolation: S 1 = S 1 = 0 S 34 = S 43 = 0 (4.55) Die Kopplungsparameter S K = S ij mit i + j = 5 beschreiben den jeweils in das andere Paar über die Kopplung einfließenden Leistungsanteil. Die Transmissionsparameter S T = S ij mit i + j = 4 oder 6 und i j beschreiben die in das

123 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 117 andere Paar durchlaufende Leistung. Damit folgt für die Streumatrix: [S] = 0 0 S T S K 0 0 S K S T S T S K 0 0 S K S T 0 0 (4.56) Die Phasenbeziehung zwischen S T und S K muss für die jeweiligen Koppler speziell berechnet werden. In der Regel haben S K und S T eine feste Phasendifferenz. In der Praxis gebraucht man den Ausdruck der Kopplung a K und der Transmissions- oder Durchgangsdämpfung a D : a K = P K P E = S k (4.57) a K = 10 log P K P E [db] a T = a D = P T P E = S T (4.58) a T = a D = 10 log P T P E [db] P E = eingespeiste Leistung, P K = gekoppelte Leistung, P T = Durchgangsleistung Da perfekte Richtkoppler nicht herstellbar sind, wird eine realistische Streumatrix für die S ii die jeweiligen Eigenreflexionsfaktoren r i und die nichtideale Isolation oder Entkopplung a E enthalten, die als Dämpfungswert in db angegeben wird. Bei der Verzweigung von Leitungen (nicht Koppler) unterscheidet man prinzipiell zwischen Serien- und Parallelverzweigung. Beide werden im folgenden für verschiedene Leitungstypen beschrieben.

124 P 1 = P + P 3 (4.59) Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Parallelverzweigung Eine Parallelverzweigung führt dazu, daß ein Dreitor entsteht und Leistung auf die beiden Ausgangstore verteilt wird. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Leistung zu teilen. Im folgenden wird die einfachste Möglichkeit der Leistungsteilung, nämlich die normale Parallelverzweigung, betrachtet. Für die Parallelverzweigung gilt unter der Voraussetzung r = r 3 = 0: U 1 = U = U 3 I 1 I, I 3 E 1 = E = E 3 H 1 H, H 3 (a) symbolische Darstellung sowie Ausführung in Koaxial- und Hohlleitertechnik (b) Mikrostreifentechnik Bild 4..: Realisierung einer Parallelverzweigung Beispiele, wie eine Parallelverzweigung ausgeführt werden kann, zeigt Abbildung 4.. Hierbei wird z.b. eine Parallelverzweigung in Koaxial- und in Hohlleitertechnik gezeigt.

125 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen Microstrip-Verzweigung ohne Anpassung Realisiert man eine einfache Parallelverzweigung in Mikrostreifentechnologie, so ergibt sich Bild 4. b). Da die beiden Leitungen an den Ausgängen den gleichen Wellenwiderstand besitzen, ergibt sich für die Eingangsimpedanz der Schaltung: R in = Somit folgt für die Eingangsreflexion: 1 1 Z L + 1 ZL = Z L S 11 = R in Z L R in + Z L = 1 3 (4.60) (4.61) Das heißt: Durch die Parallelschaltung entsteht eine Fehlanpassung mit dem Reflexionsfaktor r = 0.33 für Z L1 = Z L = Z L3. Diese Fehlanpassung liegt aus Symmetriegründen an allen Toren vor, d.h. S ii = 1/3. Man zeigt: Die komplette Streumatrix des Dreitors lautet dann: [S] = (4.6) Betrachtet man diese Streumatrix, so fällt auf: Erstens gibt es wegen S ii 0 keine ideale Anpassung. Zweitens sind die Ausgangstore verkoppelt, da S 3 und S 3 nicht null sind Microstrip-Verzweigung mit Anpassung Möchte man die Fehlanpassung am Eingang beheben, können z.b. λ/4-transformatoren durchgeführt werden. Abbildung 4.3 zeigt eine Ausführung in Mikrostreifentechnologie.

126 10 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Z L =. 50 /4 Z L =50 1 Z 1 =Z =Z 3 =Z L1 =Z L =Z L3 Z L1 =50 /4 Z L =. 50 Z L =50 3 Bild 4.3.: Parallelverzweigung mit Anpassung Die λ/4 lange Leitung mit Wellenwiderstand Z L und Abschluß ZL führt auf eine Eingangsimpedanz von Z L. Da am Verzweigungspunkt zwei dieser Eingangsimpedanzen parallel liegen, ergibt sich eine Gesamteingangsimpedanz von Z L, d.h. es gibt keine Eingangsreflexion, d.h. S 11 = 0. Daraus und auf Grund der Verlustfreiheit ergibt sich direkt S 1 = S 31 = j. Der Eingangswiderstand an Tor bzw. an Tor 3 kann wie folgt angegeben werden: Z in = Z in3 = ( Z L) = 3Z L. Daraus ergeben sich die Anpassungen an Tor Z L Z L und 3 zu S = S 33 = 1. Ein Viertel der Leistung wird also an den Toren und 3 reflektiert. Aus der Verlustfreiheit folgt, dass der Rest der Leistung auf die Tore 1 und 3 bzw. 1 und verteilt werden muss. Die λ/4-leitung transformiert Z L zu Z L wodurch die Leistung 1 : verteilt wird. Es ergeben sich die fehlenden S- Parameter zu: S 1 = S 13 = j und S 3 = S 3 = 1. Die vollständige Streumatrix der Parallelverzweigung mit Anpassung aus Bild 4.3 lautet damit: [S] = j j 1 j j j (4.63) Wie an Gleichung 4.63 gut zu erkennen, ist der Teiler aus Bild 4.3 zwar eingangsseitig gut angepasst und teilt die Leistung auch verlustfrei auf beide Ausgänge auf, an den Ausgängen ist der Teiler allerdings weder angepasst (S 0 und S 33 0) noch entkoppelt (S 3 0 und S 3 0). Durch geeignete Wahl der Impedanzen der beiden λ/4-leitungen lassen sich beliebige Leistungsverteilungen auf die beiden Ausgänge sowie auch Teiler mit mehr als zwei Ausgängen realisieren. Die Anpassung nach Abbildung 4.3 ist schmalbandig. Sie kann verbessert werden durch mehrstufige λ/4-transformatoren für Bandbreiten von mehreren

127 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 11 Oktaven. Abbildung 4.4 zeigt den Eingangsreflexionsfaktor gemessen in Tor 1. r f/f 0 Bild 4.4.: Verlauf des Eingangsreflexionsfaktors Resistiver Teiler Um eine allseitige Anpassung zu erzielen, kann der resistive Teiler eingesetzt werden. Bild 4.5 zeigt das Prinzip des resistiven Teilers. Da hier keine resonanten Leitungen sondern Widerstände verwendet werden, besitzt dieser Teile keine untere, sondern nur eine obere Grenzfrequenz bedingt durch die parasitären Effekte der Widerstände. Aus diesem Grund kommt dieses Konzept hauptsächlich bei koaxialen Teilern zum Einsatz. Die Eingangsimpedanz an Tor 1 berechnet sich zu: Z in = Z ( ) ( ) Z0 3 + Z Z Z 0 = Z Z 0 = Z 0 (4.64) Hieraus und aus der Symmetrie der Anordnung folgt: S 11 = S = S 33 = 0. Um z.b. S 1 zu berechnen, kann man Spannungsteiler-Formeln in Bild 4.5 anwenden. Es gilt: sowie V V 1 = ( Z0 ) ( 3 + Z 0 Z0 ) 3 + Z 0 Z ( ) ( Z Z 0 Z0 ) = 3 + Z 0 V = V 3 = V Z 0 3 Z 0 Z Z 0 = 3 (4.65) Z 0 + Z 0 3 = 1 V 1 (4.66) Hieraus folgt: S 1 = 0.5. Analog kann man auch die restlichen S-Parameter berechnen. Die vollständige Streumatrix lautet:

128 1 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Bild 4.5.: Resistiver Teiler [S] = (4.67) Dies bedeutet: Da S 3 und S 3 = 0.5 ist, tritt also eine Kopplung zwischen den beiden Ausgangstoren auf. Außerdem wird nur die Hälfte der Leistung auf die beiden Ausgangstore verteilt, d.h. pro Ausgangstor liegt 1/4 der Leistung vor, während 50 Prozent der Leistung in den Widerständen verloren gehen. Der Vorteil des resistiven Teilers ist, dass er breitbandig realisiert werden kann Wilkinson Leistungsteiler Eine Erweiterung der Parallelverzweigung mit Anpassung aus Bild 4.3 ist der Wilkinson-Teiler [16]. Beim Wilkinson-Teiler wird zwischen die Ausgänge des Teilers von Bild 4.3 ein Widerstand von Z L eingefügt, wodurch ausgangsseitige Anpassung und Entkopplung erreicht wird. Das Prinzipschaltbild für einen Wilkinson-Teiler in Mikrostreifentechnik mit zwei Ausgängen ist in Bild 4.6 gezeigt, wobei auch mehr als zwei Ausgänge realisierbar sind (siehe [16],[17]). Bild 4.7 zeigt die Ausführung eines Wilkinson-Teilers in Microstrip-Technik.

129 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 13 Bild 4.6.: Wilkinson-Teiler Berechnung der S-Parameter Im Folgenden wird ein gewöhnlicher einstufiger Wilkinson-Teiler (Dreitor) mit Netzwerk gemäß Bild 4.6 analysiert. In diesem Bild befindet sich links das Tor 1, oben rechts das Tor und unten rechts das Tor 3. Die Analyse wird so durchgeführt: am Anfang wird das Netzwerk durch das Tor 1 und dann durch die Tore und 3 gespeist. Bild 4.7.: Wilkinson-Teiler auf einer Platine (Mikrostreifenleitungstechnik) Einspeisung Tor 1 Da das Netzwerk symmetrisch ist, fließt bei Einspeisung an Tor 1 und Anpassung an beiden Ausgängen durch den Widerstand kein Strom. Die linke Spalte der S- Matrix ist damit identisch mit der der Parallelverzweigung mit Anpassung aus Bild

130 14 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik 4.3: S 11 = 0 S 1 = S 31 = j Einspeisung Tore und 3 In diesen Fall wird das Netzwerk durch eine Even- und Odd-Mode Analyse ausgewertet (Gleich- und Gegentaktanregung). Dieses Prinzip wurde 1956 von Reed und Wheeler eingeführt. Es besagt das folgende: Man betrachte ein symmetrisches N-Tor, z.b. ein 4-Tor gemäß Bild 4.8 Bild 4.8.: Symmetrisches Viertor Wenn an Tor 1 und an Tor 4 je ein Signal mit der Amplitude 0.5 und mit gleicher Phase eingespeist werden (Gleichtaktanregung, even mode), so fließt an der Symmetrieebene kein Strom. Somit wird an der Symmetrielinie ein Leerlauf erzeugt. Wenn an Tor 1 und Tor 4 je ein Signal mit Amplitude 0.5 eingespeist wird, jedoch mit entgegengesetzter Phase (Gegentaktanregung, odd mode), so ist das Potential an der Symmetrieebene gleich Null, d.h. an der Symmetrielinie wird ein Kurzschluß erzeugt. Die 4x4-Matrix des 4-Tors lässt sich dann folgendermaßen vereinfachen: [S 4x4 ] = [ (1) S S () S () S (1) wobei sich die x-matrizen [S (1) ] und [S() ] wie folgt ergeben: ] (4.68) S (1) = 1 {[S] even + [S] odd } (4.69) S () = 1 {[S] even [S] odd } (4.70) Es müssen also nur die x-matrizen S even und S odd bestimmt werden. Nun wird das Prinzip der Gleich- und Gegentaktanregung auf das Netzwerk zum Wilkinson-Divider angewendet. Das Netzwerk wird in zwei Netzwerke geteilt, wie in Abbildung 4.9 gezeigt, die durch symmetrische und unsymmetrische

131 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 15 Bild 4.9.: Ersatzschaltbild Speisung an den Ausgangstoren gespeist werden. Hierbei wird der linke Wellenwiderstand Z L von Bild 4.6 in zwei parallel liegende Widerstände mit Wert Z L geteilt. Für die Annahme einer Symmetrie des Netzwerks gilt für den Even-Mode V g = V g3, und für den Odd-Mode V g = V g3. Even-Mode-Analyse Das Netzwerk wird für diese Analyse in Abbildung 4.9 gezeigt. Für die Even- Mode Analyse ist V g = V g3. Da das Netzwerk in Bild 4.9 symmetrisch ist, fließt durch die Symmetrieebene keine Strom wodurch sich das Netzwerk in Abbildung 4.30 ergibt. Es ergibt sich auch V e = V e 3, wobei e als Abkürzung für den Even- Mode steht. Da die Leitung ein λ/4 Transformator ist, sieht man durch Tor den Widerstand Z e in = ( Z L ) Z L = Z L (4.71) Folglich ist die Spannung V e = V g/. Für den durch Tor 1 berechneten Reflektionsfaktor gilt Γ = + (4.7)

132 16 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Bild 4.30.: Ersatzschaltbild Even Mode Die Spannung an der Leitung ergibt sich zu V (x) = V + (e jβx + Γe jβx ) (4.73) Wie in Abbildung 4.30 zu sehen ist, wird Tor 1 an der Position x = 0 und Tor an der Position x = λ/4 positioniert. Mit dieser Annahme erhält man V e = V ( λ/4) = jv + (1 Γ) (4.74) (4.75) und 1 = V (0) = V + (1 + Γ) = jv e Γ + 1 (4.76) Γ 1 1 = jv e + + = jv g (4.77) V e V e Odd-Mode Analyse Da in diesen Fall V g = V g3 gilt, folgt V o = V 3 o, wobei o als Abkürzung für den Odd-Mode steht. Folglich ist die Spannung in der Mitte des in Abbildung 4.31 gezeigten Netzwerks null. Deshalb ist es möglich, das Netzwerk zu trennen und an zwei Positionen zu erden, wie in Abbildung 4.31 gezeigt. Da die Leitung ein λ/4 Transformator ist und in Tor 1 geerdet ist, sieht man durch Tor den Widerstand Z o in = Z L. Deshalb gilt für die Spannung V o = V g/ und V o 1 = 0. Superposition von Even- und Odd-Mode Durch die Superposition von Even und Odd-Mode ist es möglich, die S Parameter

133 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 17 Bild 4.31.: Ersatzschaltbild Odd Mode des Netzwerks zu berechnen. Es gilt S 1 = S 13 und S 1 = S 31 wegen Annahme der Symmetrie des Netzwerks. Außerdem gilt S 1 = S 1 und S 13 = S 31, weil das Netzwerk reziprok (passiv) ist. Die Parameter ergeben sich zu S 1 = S 1 = V 1 e + V 1 o V e + V o S 3 und S 3 sind auch gleich und es gilt S 3 = S 3 = V 3 e + V3 o V e + V o = j/ = S 13 = S 31 (4.78) = 0 (4.79) (4.80) Überdies gilt S = S 33 = 0, da die Tore und 3 für beide Moden angepasst sind (Z e in = Z o in = Z L und Z e in3 = Z o in3 = Z L ). Die vollständige S-Matrix des Wilkinson-Teilers mit zwei Ausgängen ergibt sich damit zu [S] = j (4.81) Wie gewünscht sind hier die Ausgänge angepasst und entkoppelt, wobei zu beachten ist, dass der Wilkinson-Teiler nur ein an Tor 1 eingespeistes Signal verlustfrei auf die anderen Ausgänge aufteilt. An den Toren oder 3 eingespeiste Signale werden zum Teil in dem Widerstand absorbiert.

134 P 1 = P + P 3 (4.8) 18 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Serienverzweigung Für die Serienverzweigung gilt unter der Voraussetzung r = r 3 = 0: U 1 U, U 3 I 1 = I = I 3 E 1 E, E 3 H 1 = H = H 3 Bei Serienverzweigungen sind zur Herstellung der Anpassung Transformationen vorzunehmen, wobei hier die dualen Aussagen zur Parallelverzweigung gelten. Beispiele zeigt Abbildung Bild 4.3.: Serienverzweigungen λ/4 Leitungskoppler (Branchline coupler) Die einfachste Form der Leitungskoppler, wie sie vorteilhaft für die Koaxialtechnik und Streifenleitungen eingesetzt werden, ist in Abbildung 4.33 dargestellt. Die exakte Berechnung des 4 λ/4 Kopplers ist schwierig. Sie führt z.b. -

135 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 19 Z L1 P klein 3 Z L P /4 ab /4 /4 P klein Z L / P ein 1 P groß P ab 4 Bild 4.33.: 4 λ/4 Koppler (90 -Ringhybrid) mit Ersatzschaltbild wie beim Wilkinson-Divider - über den Ansatz von Gleich- und Gegentaktwellen bezogen auf eine Symmetrieebene (englisch: even odd method). Die Berechnung vereinfacht sich erheblich, wenn man von allseitiger Anpassung der Tore 1 4 ausgeht und fordert, dass auch an den Knoten Anpassung herrscht. Für gleiche Leistungen an den Toren 3 und 4 bei Einspeisung in Tor 1 gilt Z L1 = Z L Z L = Z L (4.83) Damit erhält man für die Mittenfrequenz die Streumatrix j [ S ] = j 1 1 j 0 0 j (4.84) Die Kopplung beträgt in diesem Fall 3 db. Die Phasendifferenz ϕ 3 4 der Ausgänge 3 und 4 ist 90. Wegen der Leitungstransformationen ist der Koppler schmalbandig, wie die theoretischen Verläufe in Abbildung 4.34 zeigen. Unter Isolation a E versteht man die ungewollte Leistungseinkopplung in einen Arm, z.b. von Tor 1 nach Tor. Bei beliebigem aber gleichem Abschluss der Tore 3 und 4 löscht sich die reflektierte Leistung am Tor 1 aus und summiert sich am Tor. Schließt man z.b. nach

136 130 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Isolation db Isolation = - 0 log S 1 10 Coupling Coupling = - 0 log S 41 VSWR Anpassung (Match) VSWR= 1 + r 1 - r Bild 4.34.: Kopplung, Entkopplung und Anpassung eines 4 λ/4-kopplers. (Theorie - - -) f/f 0 Abbildung 4.35 Verstärker zwischen zwei Koppler, so erhält man reflexionsfreie Schaltungen mit großem Aussteuerbereich Bild 4.35.: Reflexionsarme Verstärkerschaltung aus Hybridkopplern Durch Änderung der Ringleitungswellenwiderstände Z L1 und Z L sind beliebige

137 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 131 Leistungsaufteilungen möglich. Dabei gilt: 1 Z L1 = ZL ZL (4.85) Z L = Z L1 ak (4.86) a K = P K P E = P 3 P 1 (4.87) λ/4 Leitungskoppler (Rat race ring) Der Phasenunterschied ϕ der beiden leistungsführenden Ausgänge beim 6 λ/4 Koppler nach Abbildung 4.36 rechts beträgt 180, im Gegensatz zum 4 λ/4 Koppler, bei dem er 90 beträgt. 3 Z L 4 Z L Z L Z L 3 Z L 4 Z L entkoppelt entkoppelt Z 4 L Z 4 L Z L 1 Z L Bild 4.36.: 6 λ/4 Koppler (180 -Ringhybrid) Die Streumatrix für den 180 -Ringhybrid ist bei gleicher Leistungsteilung (3 db Koppler) für die Mittenfrequenz gegeben durch: [S] = j (4.88) Auch hier sind die Streuparameter frequenzabhängig, wie Abbildung 4.37 zeigt. Die Bandbreite ist jedoch erheblich größer als beim 4 λ/4 Koppler. Eine unsymmetrische Leistungsteilung ist ebenfalls möglich.

138 13 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Eine Einspeisung am Tor 1 wird auf die Tore 3 und 4 gegenphasig verteilt, während eine Einspeisung von Tor sich gleichphasig auf die Tore 3 und 4 verteilt. Die Überlegung, welche Tore Leistungen führen und welche entkoppelt sind, ergibt sich am einfachsten aus den Phasen an den Toren, bei gleich großen rechts und links umlaufenden Leistungen. Identische Reflexionen summieren sich wieder am zugehörigen Einspeisetor. Diese Anordnung wird oft für Gegentaktmischer benutzt (siehe Abbildung 4.38), wobei die Oszillatorleistung von Tor die beiden Mischerdioden gleichphasig durchschaltet und das Signal von Tor 1 die Dioden gegenphasig erreicht. Isolation db Coupling 4 3 VSWR FREQUENCY f/f 0 Bild 4.37.: Kopplung, Entkopplung und Anpassung eines 180 -Ringhybrids (Theorie - - -) Wenn man die S Parameter des Rat Race Kopplers analytisch mit Hilfe von Gleich- und Gegentaktanregung beschreiben möchte, geht man folgendermaßen vor: Finde Symmetrieebene des 4-Tors und betrachte nur noch ein -Tor-Problem. Führe eine Gleich- und Gegentaktanalyse durch, d.h. finde acht Parameter: S e 11, Se, Se 1, Se 1 sowie So 11, So, So 1, So 1.

139 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen Signal ZF 4 1 Signal 1 Bild 4.38.: Gegentaktmischer mit 180 -Ringhybrid Für die Gleichtaktanregung wird ein Leerlauf bei der Symmetrieebene erzeugt und durch Ersatzschaltbilder S11 e, Se, Se 1, Se 1 berechnet. Hierzu muß man im wesentlichen Eingangsimpedanzen berechnen und die Formel zur Leitungstransformation benutzen, welche im Spezialfall einer mit Leerlauf abgeschlossenen Leitung durch eine Tangensbeziehung gegeben ist. Für die Gegentaktanregung wird ein Kurzschluß bei der Symmetrieebene erzeugt und Ersatzschaltbilder erstellt. Da hier jedoch Leitungstransformationen mit Kurzschluß-Abschluß durchgeführt werden, führt die Formel zur Leitungstransformation auf eine Cotangens-Funktion. Da die Ersatzschaltbilder jedoch gleich aussehen wie im even-mode, erhält man die odd-parameter durch Vertauschen aller Indices: S11 o = S, e S o = S11, e S1 o = S1 e, So 1 = Se 1 ) Magisches T (magic tee) Durch Kombination je einer Parallel- und Serienverzweigung (Abbildung 4. und 4.3) entsteht das Doppel-T oder, bei entsprechender Beschaltung, das Magische T nach Abbildung Die wichtigste Eigenschaft dieses Bauelementes ist die Spiegelsymmetrie zur

140 134 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik y z x ( H-Ebene) ( E-Ebene) Bild 4.39.: Magisches T (magic tee) y-z-ebene. Wenn die äußere Beschaltung dieselbe Symmetrie besitzt, dann sind auch die Feldkomponenten und die Wellenamplituden symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch. Tor Tor 4 Tor 3 Bild 4.40.: Verlauf des E-Feldes im Verzweigungspunkt des Magischen T bei Einspeisung in Tor 1 Wenn am Tor 1 eine H 10 -Welle eingespeist wird und die Tore 3 und 4 gleich, z.b. reflexionsfrei, abgeschlossen sind, dann kann das E-Feld im Bereich der Kreuzung auch nur zur y-z-ebene schiefsymmetrische Komponenten in x-richtung haben (Abbildung 4.40), eine H 10 -Welle im Tor kann daher nicht angeregt werden. Wird dagegen im Tor eine H 10 -Welle eingespeist (Abbildung 4.41), so kann sich im Tor 1 keine Vorzugskomponente E y ausbilden. Die Tore 1 und sind da-

141 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 135 Tor Tor 4 Tor 3 Bild 4.41.: Verlauf des E-Feldes im Verzweigungspunkt des Magischen T bei Einspeisung in Tor her entkoppelt. Dies gilt nur bei Anregung mit der H 10 -Welle. Die Erstellung der Streumatrix geht von den Prämissen aus, dass das Magische T als 3-dB-Koppler symmetrisch, verlustfrei, reflexionsfrei und umkehrbar ist. In der Streumatrix [ S ] = S 11 S 1 S 13 S 14 S 1 S S 3 S 4 S 31 S 3 S 33 S 34 (4.89) S 41 S 4 S 43 S 44 können durch diese Prämissen die einzelnen Streuparameter bestimmt werden. Die Anpassung wird durch Anpasstransformatoren wie Stifte oder Blenden erreicht, so dass bei Einbeziehung dieser Elemente in das Magische T gilt: S 11 = S = S 33 = S 44 = 0 (4.90) Da die Leistungsteilung vorzugsfrei ist, wird bei Einspeisung in Tor 1 S 41 = S 31 (4.91) Die beiden Tore 3 und 4 sind phasengleich, so dass man bei der Bezugsphase

142 136 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik ϕ = 0 erhält S 41 = S 31 = 1 (4.9) Die Leistungsaufteilung bei Einspeisung in Tor nach Tor 3 und 4 ist ebenfalls betragsmäßig gleich, jedoch gegenphasig: S 3 = + 1 S 4 = 1 (4.93) Die Tore 1 und sind entkoppelt S 1 = S 1 = 0 (4.94) Die restlichen Streuparameter folgen aus der Umkehrbarkeit und der Symmetrie, so dass sich für Gleichung (4.89) ergibt: S 11 S 1 S 13 S [ S ] = S 1 S S 3 S 4 S 31 S 3 S 33 S 34 = S 41 S 4 S 43 S Die Parameter S 34 = S 43 ergeben sich wegen der Verlustfreiheit zu Null. Die Streumatrix ist prinzipiell frequenzunabhängig, deshalb wird die Bandbreite nur durch die Eigenwellen im Hohlleiter begrenzt. Die Form des Magischen T führt in der Praxis zu aufwendigen mechanischen Konstruktionen. Eingesetzt wird es in Empfangsstufen für Gegentaktmischer zur Entkopplung von Antennen, Signal und Oszillator (LO) T EM-Leitungskoppler Für T EM-Leitungen wurde zur Berechnung der Kopplung ein Verfahren entwickelt, welches eine Separation der geometrischen Anordnung und damit eine erhebliche Vereinfachung bringt. Ein Beispiel zeigt Abbildung 4.4. Unter Ausnutzung der Symmetrie erfolgt gleichzeitig eine Gleichtaktanregung der Tore 1 und und eine Gegentaktanregung nach Abbildung In der Summe resultiert daraus die gewünschte Anregung an Tor 1.

143 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 137 Entkoppelt Transmission 3 4 Kopplung 1 Eingang Bild 4.4.: T EM-Leitungskoppler Bei der Gleichtaktanregung (even Mode) sind die beiden einlaufenden Wellen in Phase. Die Symmetrieebene ist frei von elektrischen Feldern und damit von Verschiebungsströmen. Dies erlaubt eine Trennung der beiden Leitersysteme durch eine magnetisch leitende Wand, auf der H-Felder nur senkrecht stehen. Bei der Gegentaktanregung (odd Mode) bestehen starke elektrische Felder zwischen beiden Leitern (siehe Abbildung 4.43b), welche senkrecht auf der Trennebene stehen. Diese kann somit, ohne das Feld zu verändern, durch eine ideal leitende Ebene ersetzt werden. Für beide Anregungstypen ist somit eine Separation der beiden Leitersysteme möglich. Für die beiden Anregungsfälle lassen sich die zugehörigen Impedanzen, welche wegen der geänderten Feldbilder von Z L verschieden sind, über die Kapazitätsbeläge berechnen. L Z L = = 1 C v Ph C (4.95) Z L,odd = Z Lo = 1 v Ph C o (4.96) Z L,even = Z Le = 1 v Ph C e (4.97) v Ph = 1 L C (4.98)

144 138 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik H-Feld E-Feld Magnetische Wand Elektrische Wand a) b) +1/ -1/ r e +1/ r 0 +1/ r e r 0 Bild 4.43.: Anregung durch Gleichtakt- (a) und Gegentaktwelle (b)

145 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 139 Die Kapazitätsbeläge können über die konforme Abbildung oder über exakte Feldberechnungen ermittelt werden. Die Annahme gleicher Phasengeschwindigkeiten v Ph ist nur für sehr lose Kopplungen (siehe Gleichung (4.99)) zulässig. Die Wellenwiderstände beinhalten die Kopplung der Leitungen: Daraus folgt Z Le = 1 + k Z Lo 1 k = C o C e k = C o C e C e + C o Zur Erhaltung der Anpassung muss sein. (4.99) (4.100) Z L = Z Lo Z Le (4.101) Damit lässt sich die Streumatrix für einen Koppler nach Abbildung 4.4 erstellen und deren Koeffizienten berechnen. 0 0 T jk [ S ] = 0 0 jk T (4.10) T jk 0 0 jk T 0 0 T EM-Leitungskoppler sind Rückwärtswellenkoppler mit einer Phasenverschiebung von π/ zwischen den Ausgängen 3 und 4. Die Koppeldämpfung ist frequenzabhängig und verläuft in erster Näherung sinusförmig. Sie wird in db berechnet aus a k = 0 log k = 10 log P 4 P 1 [db] (4.103) Die Entkopplung, welche in der Streumatrix (Gleichung (4.10)) als ideal angenommen wurde, wird einmal durch Reflexionen an den Toren und zum anderen durch Unterschiede in den Phasengeschwindigkeiten v Ph,e und v Ph,o der beiden Wellen verschlechtert. Die Entkopplung wird als Richtdämpfung durch a R = 10 log P 4 P (4.104) angegeben (Einspeisung bei Tor 1). Die Anwendung von T EM-Richtkopplern reicht von der einfachen Leistungsteilung über Phasenschieber und Filter bis zu Mischern. Die Bandbreite ist mit einer Koppelstrecke nach Abbildung 4.44 immer kleiner als eine Oktave. Mehrere abgestufte Koppelstrecken hintereinander ergeben größere Bandbreiten.

146 140 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik db Richtdämpfung Reflexionsdämpfung Frequenz (GHz) db Koppeldämpfung Einfügungsdämpfung Frequenz (GHz) Bild 4.44.: Typische Eigenschaften eines Mikrostrip-Kopplers Hohlleiterrichtkoppler In der Hohlleitertechnik sind eine Reihe von Koppelanordnungen mit Richtwirkung bekannt, die Leistung von einem Leitersystem magnetisch, elektrisch oder gemischt in ein zweites Leitersystem übertragen. Hierzu werden die Hohlleiter so angeordnet, dass sich zwei Seitenflächen berühren, diese werden durch ein Loch verbunden. Beispiele für Koppellöcher zeigt Abbildung Durch die Form der Koppelöffnungen kann eine der Feldkomponenten bevorzugt werden, ebenso durch die Lage. Die Wirkungsweise eines Lochkopplers ist am einfachsten anhand des Einlochkopplers nach Bethe zu erläutern. Bethe entwickelte die Theorie des Lochkopplers bereits Durch das Loch in der Hohlleiterwand greift sowohl das elektrische wie auch das magnetische Feld (siehe Abbildung 4.46).

147 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 141 Lochkopplung Schlitzkopplung Kreuzschlitzkopplung Ellipsenkopplung Bild 4.45.: Koppelöffnungen in Hohlleitern H-Feld E-Feld y z x Einlaufende Welle Bild 4.46.: Auskopplung des elektrischen und des magnetischen Feldes Das ausgekoppelte elektrische Feld kann durch einen elektrischen Dipol mit Orientierung in y-richtung nachgebildet werden. Die davon ausgehende Welle breitet sich in einem darüberliegenden Hohlleiter in beiden Richtungen aus. Das magnetische Feld dagegen ist gemäß dem magnetischen Ersatzdipol in Richtung des Magnetfeldes der speisenden Welle orientiert. Je nach Lage des Loches können lineare, elliptische oder zirkulare Orientierungen des magnetischen Dipols existieren, wie Abbildung 4.47 zeigt. Von der transversalen Komponente des magnetischen Dipols läuft eine antisymmetrische Welle in die beiden Richtungen +z und z. Durch entsprechende Drehung des angekoppelten Hohlleiters kann man erreichen, dass sich die durch

148 14 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik axial zirkular transversal elliptisch y einlaufendes Magnetfeld z x Bild 4.47.: Orientierung des magnetischen Dipols abhängig von der Lage des Koppelloches den elektrischen und den magnetischen Dipol hervorgerufenen Wellen in einer Richtung addieren und in der anderen kompensieren. Der einfachste Richtkoppler dieser Art ist in Abbildung 4.48 dargestellt. Da die magnetische Kopplung vom Cosinus des Kreuzungswinkels abhängt, kann man die Kopplung, bei außerachtgelassener Entkopplung, durch den Winkel Θ einstellen. Bild 4.48.: Bethe-Einlochkoppler Da Einlochkoppler in der Praxis kein optimales Verhalten zeigen, werden sie wenig eingesetzt. Vielfache Verwendung dagegen finden Kreuzkoppler, deren Aufbau in Abbildung 4.49 gezeigt ist. Über zwei diagonal angeordnete Kreuz-

149 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 143 schlitze wird die Welle von dem einen in den anderen Hohlleiter gekoppelt. Die Funktionsweise des Kopplers kann am Besten an Hand der magnetischen Felder erklärt werden. In Abbildung 4.50 werden die magnetischen Feldlinien in beiden Hohlleitern über der Zeit gezeigt. Gleichzeitig werden die über die Schlitze gekoppelten magnetischen Felder angegeben. In der oberen Zeile ist das magnetische Feld über der Zeit für eine sich im Hohlleiter A nach oben ausbreitende H10-Welle dargestellt. Überträgt man nun die durch die Schlitze übertragenen magnetischen Felder in die zweite Zeile, kann man daraus die einzig mögliche H10-Welle in Hohlleiter B konstruieren. Es ergibt sich eindeutig eine nach links laufende Welle. An Hand dieser Grafik ist auch erkennbar warum um 45 Grad gedrehte, gekreuzte Schlitze für diesen Koppler optimal sind Hohlleiter A Hohlleiter B Bild 4.49.: Kreuzkoppler 3 A Hohlleiter B 4 B t = 0 T/4 T/ 3T/4 1 Pin Hohlleiter A Bild 4.50.: Funktionsweise des Kreuzkopplers an Hand der magnetischen Felder

150 { Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Häufig verwendet werden auch die sogenannten Viellochkoppler. Durch ein kleines rundes Loch kann jedoch erstens nur ein sehr begrenzter Bereich von Kopplungen realisiert werden und zweitens nur eine mangelhafte Richtwirkung. Abhilfe gegen diese Einschränkungen erreicht man durch eine Anzahl von Löchern, also durch eine Lochreihe. Die Abstände der Lochmittelpunkte sollen dabei einer viertel Wellenlänge bei der Mittenfrequenz entsprechen (Abbildung 4.51). Die einzelnen Löcher sollen sich nicht gegenseitig beeinflussen, so dass die Beiträge der Löcher sich einfach aufsummieren unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Weglängen. a) b) B { A 1 z/4 z/4 z/4 Bild 4.51.: Kopplung durch eine Lochreihe a) Draufsicht, b) Seitenansicht Mit dem Phasengang ϕ = β l ergibt sich für die vorwärtslaufende Welle A als Summe der Kopplungen A = a 1 + a + + a n = n a k (4.105) k=1 Alle Leistungsanteile haben gleiche Phase. Die rückwärtslaufende Welle B im gekoppelten Hohlleiter hat für die Anteile von Loch zu Loch ϕ = β l Phasenverzug. B = b 1 + b e jϕ + b 3 e j4ϕ + + b n e j(n 1)ϕ n = b k e j(k 1)ϕ (4.106) k=1

151 4.5 Richtkoppler und entkoppelte Verzweigungen 145 Für Frequenzen, bei denen der Lochabstand l genau λ/4 ist, verschwindet B. Bei allen anderen Frequenzen bleibt B endlich, woraus sich die Richtdämpfung a R = 0 log A B (4.107) ergibt. Da man in der Praxis immer eine bestimmte Bandbreite bezüglich a R fordert, f u < f < f o (4.108) wird für B ein Grenzwert B max vorgegeben. Die Koppellöcher werden üblicherweise nicht alle verschieden sein. Es ist üblich, sie symmetrisch von beiden Richtungen her im Hohlleiter zu machen. Gleichung (4.106) ergibt bei Ausnutzung der Symmetrie (b 1 = b n, b = b n 1,...): B = e j(n 1)ϕ [ n m = n 1 m k=1 b k cos {(n + 1 k)ϕ} + 0 b n gerade n ungerade ] n gerade n ungerade (4.109) Der Grenzwert B max kann eingehalten werden durch Festlegung der b K nach Polynomen wie z.b. nach Tschebycheff. Durch b K wird aber gleichzeitig der Lochdurchmesser und damit auch a K festgelegt. A kann dann nur noch durch Erhöhung der Lochzahl erhöht werden. Man geht im allgemeinen so vor, dass man eine kurze Sequenz von Löchern für die gewünschte Richtdämpfung berechnet und diese Sequenz so oft wiederholt, bis die geforderte Kopplung erreicht wird. Dabei lässt man die Sequenzen sich überlappen, d.h. sieht entsprechend größere Löcher vor, mit dem Ergebnis, dass die überwiegende Anzahl den gleichen Durchmesser hat. Die Tabellen 4. und 4.3 veranschaulichen dieses Vorgehen. Es werden drei Sequenzen auf zwei verschiedene Arten addiert. In beiden Fällen sind nur die vier Randelemente abweichend von den einheitlichen Koppelwerten der übrigen Löcher. Die beiden Verschachtelungen unterscheiden sich durch die Zahl und den Durchmesser der resultierenden Löcher. Für starke Kopplungen wird man mehr Löcher benötigen, um die Einzellöcher nicht zu groß werden zu lassen. Das muss dann mit einer größeren Baulänge des Kopplers wettgemacht werden. Eine weitere oft angewandte Methode, die Kopplung zu vergrößern, ist die Verwendung von zwei Lochreihen.

152 146 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik 1 3 a 1 a 1 a a 1 a 1 + a a a a 1 a 1 + a a 1 a a a 1 + a a 1 a a 1 + a a 1 a 1 Tabelle 4..: Addition von Lochreihen, 1. Art 1 3 a 1 a 1 a a a a 1 a 1 + a a 1 a a 1 + a a a 1 a 1 + a a 1 a a 1 + a a a a 1 a 1 Tabelle 4.3.: Addition von Lochreihen,. Art 4.6. Reflexionsfreie Abschlusswiderstände und Dämpfungsglieder Absorber Die Dimensionierung von Absorbern in Hohlleiter-, Koaxial- und Streifenleitungstechnik kennt drei prinzipiell verschiedene Regeln: Der Absorber ist klein gegen die Wellenlänge (< λ/10). Der ausgedehnte Absorber (λ/10 < l < λ) ist angepasst, so dass an jeder Stelle des Absorbers Wellenwiderstand und Restwiderstand gleich groß sind.

153 4.6 Reflexionsfreie Abschlusswiderstände und Dämpfungsglieder 147 Die Absorption erfolgt über eine stark verlustbehaftete Leitung. Der Absorber hat hier eine Länge > λ. Ziel ist in allen Fällen, über eine vorgegebene Bandbreite einen möglichst kleinen Reflexionsfaktor zu erreichen. Absorber in Koaxialtechnik In der Koaxialtechnik werden die beiden ersten Methoden zur Konstruktion von Absorbern eingesetzt. Abbildung 4.5 zeigt verschiedene Beispiele. Absorber in Streifenleitungstechnik (Mikrostrip) In Mikrostriptechnik besteht meistens das Problem, am Ende des Absorbers eine Masseverbindung herzustellen. Es werden deshalb die masselosen Absorber in Abbildung 4.53 bevorzugt. Absorber in Hohlleitertechnik Die besten Absorber in Hohlleitertechnik lassen sich nach der dritten Methode, der verlustbehafteten Leitung, herstellen. Als Nachteil muss man in Kauf nehmen, dass sie sehr lang sind. Abbildung 4.54 zeigt einige Beispiele hierzu Dämpfungsglieder Man unterscheidet hierbei fest eingestellte, schaltbare und variable Dämpfungsglieder. In der Streifenleitungs- und der Koaxialtechnik werden fast ausschließlich feste oder schaltbare Dämpfungsglieder verwendet, während die Hohlleitertechnik auch variable Dämpfungsglieder kennt. Die Konstruktionsideen sind ähnlich wie bei den Absorbern. Hinzu kommen noch elektronisch steuerbare Dämpfungsglieder. Feste Dämpfungsglieder in Koaxial- und Streifenleitungstechnik Die Dämpfung wird auf kurzen Strecken l λ und zur Herstellung der beidseitigen Anpassung in T- und -Schaltungen erreicht. Schaltbare Dämpfungsglieder ergeben

154 148 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Z L1 Z L a) D 1 d 1 D d R 0 b) l R 0 =Z L1 c) R x d D d) D 0 l x e) f) Widerstandsschicht Träger Bild 4.5.: Absorber in Koaxialtechnik. a) zylindrischer Außenleiter b) abgesetzter zylindrischer Außenleiter c) konischer Außenleiter d) Exponentialtrichter e) konischer Widerstandskörper f) Scheibenwiderstand

155 4.6 Reflexionsfreie Abschlusswiderstände und Dämpfungsglieder 149 a) Absorberkeil b) Spiralabsorber mit Absorberplatte c) Chipwiderstand mit Anpaßleitung d) Resonanzabsorber /4 e) Widerstandsbelag Bild 4.53.: Absorber in Mikrostrip-Technik

156 150 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik a) /4 b) c) d) e) Bild 4.54.: Absorber in Hohlleitertechnik a), b), d) mit Widerstandsfolie e) mit Stabwiderständen c) mit Widerstandskeil

157 4.6 Reflexionsfreie Abschlusswiderstände und Dämpfungsglieder 151 sich aus diesen durch mechanische oder elektronische Umschaltung von mehreren Dämpfungsgliedern. Stufen von 1 db und 10 db sind üblich. Werte bis zu 100 db werden erreicht. Abbildung 4.55 zeigt einige Beispiele. Dämpfungsglieder für große Leistungen werden, wie Abbildung 4.55c zeigt, über stark verlustbehaftete Leitungen ausgeführt. Scheibenwiderstand a) Stabwiderstände b) Keramikrohr c) Widerstandsbelag Bild 4.55.: Dämpfungsglieder in Koaxialtechnik Dämpfungsglieder in Streifenleitungstechnik sind nur für kleinere Leistungen geeignet, da die Wärme schwer abzuführen ist. Abbildung 4.56 zeigt Ausführungen von Streifenleitungsdämpfungsgliedern. Hohlleiterdämpfungsglieder Wie bei Absorbern werden zur Erzielung der Reflexionsfreiheit und der Breitbandigkeit weiche Übergänge zur verlustbehafteten Leitung hergestellt. Dämpfungsglieder für hohe Leistungen werden wassergekühlt oder man verwendet Wasser direkt zur Dämpfung. Abbildung 4.57 zeigt Beispiele für feste Dämpfungsglieder. Variable Dämpfungsglieder in Hohlleitertechnik werden häufig in der Mess-

158 15 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik a) b) Bild 4.56.: Dämpfungsglieder in Streifenleitungstechnik technik verwendet. Dabei wird verlustbehaftetes Material in den Bereich starker elektrischer Felder eingetaucht oder gedreht. Variable Dämpfungsglieder beeinflussen neben der Amplitude je nach Konstruktionsart auch die Phase. Frei von Phasenänderungen und sehr präzise sind die Rotationsdämpfungsglieder nach Abbildung Der Rechteckhohlleiter erweitert sich zum Hohlleiter mit Kreisquerschnitt, in welchem zwei feste Dämpfungsfolien senkrecht zum E-Feld der H 11 -Welle angebracht sind. Die mit dem drehbaren Außenleiterteil verbundene mittlere Dämpfungsfolie wird für kleinste Dämpfung ebenfalls senkrecht zu den E-Linien gestellt. Maximale Dämpfung ergibt sich, wenn die mittlere Folie parallel zu den Feldlinien steht. In Zwischenstellungen entsteht eine Polarisationsdrehung der aus dem mittleren Abschnitt austretenden restlichen Welle, die dann in der festen Folie eine weitere Dämpfung erfährt. Dadurch ergibt sich ein recht genauer Zusammenhang zwischen Dämpfung und Verdrehungswinkel Θ: α db = 0 log 1 = 40 log cos Θ (4.110) cos Θ Neben den absorbierenden werden auch reflektierende Dämpfungsglieder benutzt, die sogenannten Hohlrohrspannungsteiler, welche das exponentielle Ab-

159 4.6 Reflexionsfreie Abschlusswiderstände und Dämpfungsglieder 153 a) b) Glasrohr mit Wasser c) ca. H 4 d) Glasrohr H O Plastikschlauch Bild 4.57.: Feste Dämpfungsglieder in Hohlleitertechnik

160 154 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik b getaperter Übergang Rechteck-Rundhohlleiter Widerstandsfolie senkrecht zum E-Feld Widerstandsfolie drehbar Querschnittt Bild 4.58.: Rotationsdämpfungsglied klingen der aperiodischen Ausbreitung jenseits der kritischen Wellenlänge eines Hohlleiters ausnutzen (siehe auch Abschnitt 3.5). Verwendet wird die E 01 - und die H 11 -Welle im Kreisquerschnitt. Wählt man einen geeigneten Rohrdurchmesser, so lässt sich die Verschiebung der Auskopplung - mit Ausnahme des Anfangsbereiches - direkt in db/cm eichen. Die Größe des Anfangsbereiches, in dem die Linearität zwischen Verschiebung und Dämpfungsänderung nicht gegeben ist, hängt von der Reinheit des angeregten Feldes ab und kann durch exakt symmetrischen Aufbau und durch besondere Formgebung der Kopplungselemente beeinflusst werden. Für sehr hohe Frequenzen werden auch Hohlrohrdämpfungsglieder gebaut, bei denen der Hohlleiter über einen Teil seiner Länge mit Dielektrikum gefüllt ist. Hier ist die normale Wellenausbreitung möglich, während im luftgefüllten Teil aperiodische Dämpfung auftritt. Durch Längsverschieben des dielektrischen Stabes kann dann die Dämpfung verändert werden. Elektronisch steuerbare Dämpfungsglieder Elektronisch steuerbare Dämpfungsglieder werden heute fast ausschließlich mit PIN-Dioden ausgerüstet. Der Variationsbereich des Realteils R der Impedanz Z liegt abhängig von der ange-

161 4.6 Reflexionsfreie Abschlusswiderstände und Dämpfungsglieder 155 legten Spannung zwischen R D = 0.5Ω < R < 5kΩ = R S (4.111) R D = Durchlasswiderstand, R S = Sperrwiderstand Durch die Serien- bzw. Parallelschaltung der Dioden wird eine Fehlanpassung erzeugt. Die Reflexion oder die Transmission wird je nach Typ als gedämpfte Leistung weitergeführt (Abbildung 4.59). a) Eingang 3-dB- Richtkoppler Steuerspg. PIN-Diode b) Ausgang PIN-Diode Ausgang Parallel PIN-Dioden Steuerspg. Eingang /4 c) Paar 1 Paar 100 Bild 4.59.: PIN-Dioden Dämpfungsglieder - Prinzipschaltungen a), b) Reflexionstyp c) Transmissionstyp Abbildung 4.60 zeigt Beispiele in Streifenleitungs- und Hohlleiterausführung. Die Dämpfungsglieder aus 3-dB-Richtkopplern (T EM) und Leitungskopplern (6 λ/4, 4 λ/4) arbeiten nach dem Reflexionsprinzip. Die symmetrische steuerbare Fehlanpassung des gekoppelten und des durchgehenden Tores reflektiert den

162 156 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik entsprechenden Leistungsanteil zum entkoppelten Tor. Die maximale und die minimale Dämpfung sind abhängig von R D und R S. Für Dioden in Serie gilt je Arm Die minimale Dämpfung folgt daraus zu r = R S Z L R S + Z L 1 Z L R S (R S Z L ) (4.11) a min = 0 log(1 Z L R S ) [db] (4.113) Für parallelgeschaltete Dioden ist die Berechnung dual dazu. Eine Erhöhung der Sperrdämpfung lässt sich durch eine mehrstufige Anordnung erreichen, wobei die Dioden im Abstand λ/4 sitzen. PIN-Diode Streifenleitung Steuerspannung Metallfolie Isolierfolie Substrat Beam-Lead PIN - Diode - Schaltung: PIN - Dioden PIN-D Fin-L. Cu-Folie + - Kapazitätsfolie Bild 4.60.: PIN-Diodendämpfungsglieder PIN-Diodendämpfungsgliederaus Leitungsverzweigungen arbeiten nach dem Transmissionsprinzip. Auch gibt es Serien- und Parallelanordnungen. Die in diesem Fall unerwünschte reflektierte Leistung wird in einen Absorber geleitet wie das Beispiel in Abbildung 4.59c zeigt. Abbildung 4.61 zeigt ein Dämpfungsglied mit dem Magischen T (Reflexionstyp). Die Zuführung der Regelspannung ist meist schwierig und mit zusätzlichen Verlusten behaftet.

163 4.7 Phasenschieber Eingang Magic-T mit Dioden im Gegentakt angesteuert - Diode Ausgang Bild 4.61.: MagicT als PIN-Diodendämpfungsglied 4.7. Phasenschieber Für die Messtechnik im Labor werden meist mechanische Phasenschieber eingesetzt. Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Typen. Die erste Gruppe realisiert die Phasenänderung durch mechanische Veränderung der Leitungslänge (Posaune). Sie sind fast ausschließlich in koaxialer Technik bekannt. ϕ = π l λ (4.114) Die Phasenschieber in Hohlleitertechnik sind den Dämpfungsgliedern ähnlich, nur wird hier an Stelle des verlustbehafteten Materials ein hochwertiges Dielektrikum eingebracht. Durch das Dielektrikum ändert sich β z und damit die Phase. Elektronisch steuerbare Phasenschieber sind identisch wie elektronisch steuerbare Dämpfungsglieder aufgebaut. Statt PIN-Dioden werden jedoch verlustarme Kapazitätsdioden eingebaut. Der Wertebereich der C-Variation beträgt ein bis zwei Zehnerpotenzen. Die Grenzfrequenz kann bis zu 5000 GHz betragen. f g = 1 πr V C max (4.115)

164 158 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik 4.8. Diskrete Blindelemente in Leitungen Blindelemente in Koaxial-, Streifen- und Hohlleitern dienen der Kompensation von Störstellen, zur Herstellung der Anpassung oder zum Aufbau von Filtern. Die möglichen Ausführungsformen sind sehr vielfältig wie die Abbildungen 4.6 bis 4.69 zeigen. Die grundlegenden Ideen sind wie folgt: Verkürzung der elektrischen Feldlinien Parallel-C Konzentration der elektrischen Feldlinien Parallel-C Erhöhung der Querstromdichte Parallel-L Verlängerung der Längsstrompfade Serien-L Unterbrechung der Längsströme Serien-C Die Abbildungen 4.6 bis 4.65 zeigen jeweils nebeneinander die korrespondierenden Ausführungsformen in Koaxial-, Streifenleitungs- und Hohlleitertechnik (von links nach rechts). Die Ersatzschaltungen sind nur für den jeweiligen Grundmode gültig und somit nicht beliebig breitbandig. Sobald sich höhere Moden ausbreiten können, deren Entstehung durch die Störstelle begünstigt wird, verlieren die Blindelemente ihre Eindeutigkeit. Ersatzbild Koaxial Streifenleitung Hohlleiter r Querschnitt Längsschnitt l < /4 kap. Stift kap. Blende kap. Blende symm. Bild 4.6.: Parallelkapazitäten Die Blindelemente können zu Resonanzkreisen, Hoch- und Tiefpässen kombiniert werden. Da die Störungen durch die Einzelelemente die Kombination beeinflussen, ist bei der Dimensionierung iterativ vorzugehen. Periodische Strukturen zeigen häufig bei Vielfachen der Sollfrequenz Wiederkehrpunkte. Die folgenden Abbildungen zeigen einige Beispiele.

165 4.8 Diskrete Blindelemente in Leitungen 159 ind. Blende ind. Blende symm. Stift parallel zu b Loch durchkontaktiert Bild 4.63.: Parallelinduktivitäten l < H / 4 Längsschnitt Bild 4.64.: Serieninduktivitäten H / > l > H /4 l Bild 4.65.: Serienkapazitäten / l ca. 0/4 ca. /4 l = ca. eff./4 Bild 4.66.: Bandsperre

166 160 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik /4 l l = ca. eff / Rechteckblende Resonanzschlitz Bild 4.67.: Bandpass Bild 4.68.: Hochpass b a Leitungsseite Massefläche Bild 4.69.: Tiefpass

167 4.9 MEMS-Schalter MEMS-Schalter In der Mikrowellentechnik wird derzeit eine neue Technologie für Mikrowellenkomponenten erforscht und teilweise auch schon eingesetzt: MEMS (engl. Microelectromechanical Systems). Diese Technologie ist eine Verbindung von Elektronik und Mechanik und hat großes Potenzial, manche konventionellen (meist Halbleiter-) Komponenten in der Leistungsfähigkeit zu übertreffen. Außerhalb der Hochfrequenztechnik sind MEMS seit einigen Jahren z.b. als Beschleunigungssensoren für Airbags im Automobil im Einsatz. Ein MEMS-Bauelement für die HF-Technik, das hier beispielhaft vorgestellt wird, ist der MEMS-Schalter. Die wesentlichen Vorteile dieser Schalter gegenüber konventionellen Halbleiterschaltern sind der geringe Leistungsverbrauch, eine gute Isolation im ausgeschalteten Zustand, eine gute Anpassung und eine Reduktion der Größe. Den Vorteilen stehen zwei Nachteile gegenüber: die hohe Verzögerungszeit und die geringe Langzeitstabilität. Ein Schalter hat allgemein zwei Zustände: Einen Ein -Zustand, in dem das Eingangstor und das Ausgangstor verbunden sind, und einen Aus -Zustand, in dem Eingangs- und Ausgangstor nicht miteinander verbunden sind. Üblicherweise werden MEMS-Schalter nach der Art des Kontaktes in kapazitive (Metall - Isolator - Metall) und resistive (Metall - Metall) Schalter eingeteilt. Ein schematischer Aufbau eines resistiven MEMS-Schalters ist in Bild 4.70 gezeigt. Dieser Schalter besitzt eine leitfähige Membran, das ist ein dünner Metallstreifen, der am einen Ende befestigt ist und am anderen Ende über der zu schaltenden Leiterbahn in der Luft schwebt. Wenn eine Bias-Spannung an die Steuerelektrode angelegt wird, entsteht durch Umverteilung der Ladungen eine elektrostatische Kraft, die auf die Membran wirkt. Wenn die Bias-Spannung einen bestimmten Wert überschreitet, hält die Eigenspannung der Membran der elektrostatischen Kraft nicht mehr stand. Das in der Luft schwebende Ende bewegt sich auf die darunterliegende Leiterbahn zu und stellt so einen Kontakt zwischen den beiden Leiterenden her. Der Schalter ist somit eingeschaltet. Um den Schalter im eingeschalteten Zustand zu halten, ist eine geringere Steuerspannung notwendig, das heisst, der Schalter hat ein Hystereseverhalten. Wenn die Steuerspannung aber zu gering wird, ist die elektrostatische Kraft kleiner als die Rückstellkraft, die durch die mechanische Verbiegung auf die Membran wirkt. Die

168 16 4 Passive Bauelemente der Mikrowellentechnik Bild 4.70.: Resistiver MEMS-Schalter Membran bewegt sich wieder in die ursprüngliche Position. Das Ende schwebt in der Luft und es herrscht kein Kontakt zwischen den Leiterenden. Der Schalter ist ausgeschaltet. Im Folgenden wird der gesamte Vorgang unter Zuhilfenahme von Näherungen detailliert erläutert. Als vereinfachtes Modell des MEMS-Schalters werden zwei Platten der Fläche A mit einer Feder angenommen, die sich parallel zueinander bewegen (siehe Bild 4.71). Bild 4.71.: Vereinfachtes Modell für MEMS-Schalter