Seminar Digitale Signalverarbeitung

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1 Universität Koblenz-Landau Institut für integrierte aturwissenschaften Abteilung Physik Dr. Merten Joost Seminar Digitale Signalverarbeitung Thema: Fast Fourier Transformation Praktische Durchführung einer diskreten Fourier Transformation Autor: Pascal Berger Datum:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Fast Fourier Transformation Einleitung Die Geschichte der Fast Fourier Transformation Herleitung der FFT Zwischenschritt Rechenaufwand nach dem 1. Zwischenschritt Strategie der FFT Rechenaufwand einer FFT Vergleich: Rechenaufwand DFT vs. FFT Anwendungsbeispiele für die FFT Praktische Durchführung einer Diskreten Fourier Transformation Einleitung Wahl der Abtastfrequenz Wahl der Anzahl von Abtastwerten Praktisches Beispiel Literaturverzeichnis 14 2

3 1 Fast Fourier Transformation 1.1 Einleitung Die schnelle Fourier Transformation (engl. Fast Fourier Transform = FFT) ist ein Algorithmus, der der Berechnung der diskreten Fourier Transformierten (DFT) dient. Sie stellt somit keine andere Transformierte dar, als die DFT, was allerdings oft angenommen wird. Der größte Vorteil der FFT gegenüber der DFT ist der wesentlich niedrigere Rechenaufwand, sprich der Algorithmus ist entscheidend performanter. Für die FFT ergeben sich, wie für die DFT auch, diverse Anwendungsmöglichkeiten auf zeitdiskrete Signale. Die beiden für die digitale Signalverarbeitung wichtigsten sind zum einen die Ermittlung des Frequenzgehalts eines Signals. Hierbei werden zeitdiskrete Signale in ihren Frequenzbereich übersetzt. Beispiele für diese Anwendungsmöglichkeit sind die Ermittlung des Spektrums eines achrichtensignals oder auch die Berechnung des Klirrfaktors eines Verstärkers durch Bestimmung der Oberschwingungen an dessen Ausgang. Zum anderen ist hier die Berechnung der Faltung und Korrelation zweier Signale zu nennen. 3

4 1.2 Die Geschichte der Fast Fourier Transformation Der US-Amerikaner John Tukey befasste sich in den frühen 60er Jahren mit der Erstellung von Programmen für die Fourier Transformation. Richard Garwin lies sich das Verfahren von Tukey erklären und gab dem IBM-Forschungszentrum den Auftrag, dieses zu programmieren. James Cooley wurde mit dieser Aufgabe betraut. ach der Fertigstellung wuchs die achfrage nach diesem Programm und dessen Veröffentlichung. Dies führte 1965 zur Publikation des Aufsatzes An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series in der Mathematics of Computation. ach der Veröffentlichung stellte sich jedoch heraus, dass eine Form dieses Algorithmus bereits viel früher verwendet wurde. Carl Friedrich Gauss nutzte ihn bereits 1805 zur Berechnung der Flugbahnen der Asteroiden Juno und Pallas. Es ist ebenfalls bekannt, dass eingeschränkte Formen der FFT mehrfach vor Tukey und Cooley entwickelt wurden. Dennoch wird die schnelle Fourier Transformation John Tukey und James Cooley zugeschrieben. ach 1965 wurden zudem diverse Verbesserungsvorschläge unterbreitet und Variationen zur FFT entwickelt. 4

5 1.3 Herleitung der FFT Zwischenschritt Ausgangspunkt zur Herleitung der schnellen Fourier Transformation ist die Definition der DFT: X[k] = 1 n=0 x[n]w nk, k = 0,..., 1 (1) k: diskrete Frequenzvariable n: diskrete Zeitvariable : Anzahl der Abtastwerte X[k]: Diskrete Fourier Transformierte an der Stelle f = k fs k-ter DFT-Koeffizient x[n]: Abtastwert von x(t) an der Stelle t = nt = n f s oder W : Drehfaktor, W = e j2π 1 Bei näherer Betrachtung der Gleichung 1 stellt man fest, dass zur Berechnung der DFT an einer Frequenzstelle bereits Multiplikationen sowie (-1) Additionen notwendig sind. Bei der Berechnung an allen Frequenzstellen sind daher Multiplikationen sowie (-1) Additionen durchzuführen. Daraus resultiert ein Rechenaufwand von ca. 2, wobei eine Operation als eine Multiplikation inklusive ihrer Addition zu verstehen ist. Basierend auf Gleichung 1 lässt sich jedoch ein wesentlich effizienterer Algorithmus gewinnen, die FFT. Voraussetzung hierfür ist jedoch, dass eine Zweierpotenz ist. Ist dies gegeben, so kann man in mehreren Umformungsschritten die FFT gewinnen. 1. Unterteilung der Folge x[n] in zwei Teilfolgen: x 1 [n] = x[2n], x 2 [n] = x[2n + 1], n=0,..., 2-1 Die erste Teilfolge enthält nun die geraden Abtastwerte, die zweite nur die ungeraden. 2. Aufspaltung der Summe aus Gleichung 1 in zwei Teilsummen: X[k] = = 2 1 n=0 2 1 n=0 x[2n]w 2nk + x 1 [n]w 2nk 2 1 n=0 + W k x[2n + 1]W (2n+1)k 2 1 n=0 x 2 [n]w 2nk (2) 5

6 3. Umformen des Drehfaktors: Der Drehfaktor aus Gleichung 2 lässt sich wie folgt umformen: W 2nk = e j 2π 2nk 2π j = e /2 nk = W/2 nk 4. Umformen der Gleichung 2: un kann man die Gleichung 2 mit Hilfe des umgeformten Drehfaktors aus Schritt 3 wie folgt umschreiben: X[k] = 2 1 n=0 x 1 [n]w nk /2 + W k 2 1 n=0 x 2 [n]w nk /2 = X 1 [k] + W k X 2 [k] k = 0,..., 1 ach näherer Betrachtung der obigen Gleichung stellt man fest, dass X 1 [k] und X 2 [k] sogenannte /2-Punkte-DFTs repräsentieren. Sie stellen somit eine Zerlegung der Ausgangs-DFT dar. Dies ist aber nur der erste Zwischenschritt zum Erhalt der FFT. Viel wichtiger ist die Reduzierung des Rechenaufwands, die bereits nach diesem ersten Schritt erreicht werden konnte Rechenaufwand nach dem 1. Zwischenschritt Jede /2-Punkte DFT benötigt (/2) 2 Rechenoperationen. Dies ergibt also 2(/2) 2 Operationen für beide /2-Punkte-DFTs. Zusätzlich fallen Operationen für die Multiplikation mit dem Drehfaktor W k an. Der gesamte Rechenaufwand nach dem ersten Zwischenschritt beträgt daher: Strategie der FFT 2( 2 )2 + = Ausgehend von den beiden /2-Punkte-DFTs kann man nun die Zerlegungsschritte solange fortführen, bis man am Ende nur noch 2-Punkte-DFTs erhält. Damit dies gelingt, ist es aber notwendig, dass man als Zweierpotenz wählt, wie bereits eingangs erwähnt Rechenaufwand einer FFT Für die Berechnung des Rechenaufwands einer FFT sind nicht nur die Anzahl der Abtastwerte wichtig, sondern auch die Anzahl der 6

7 Zerlegungsschritte. Diese beträgt log 2 (). Als Beispiel soll an dieser Stelle eine 8-Punkte-DFT dienen. Wie in Kapitel erwähnt, erfolgt nun eine Zerlegung der DFT bis nur noch 2-Punkte-DFTs übrig bleiben. Folgende Abbildung zeigt die vollständige Zerlegung einer 8-Punkte-DFT: Vollständige Zerlegung einer 8-Punkte-DFT Quelle: Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Seite 144 7

8 Bei näherer Betrachtung obiger Abbildung stellt man fest, dass jede Zerlegungsebene aus /2 Schmetterlings-Graphen besteht. Für jeden Schmetterlings-Graphen sind zwei komplexe Multiplikationen sowie komplexe Additionen notwendig. Schmetterlings-Graph Quelle: Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Seite 145 Fasst man nun wieder eine komplexe Multiplikation und eine komplexe Addition als eine Operation zusammen, so sind pro Zerlegungsebene Operationen notwendig. Dies ergibt folgenden Gesamtaufwand: log 2 () Vergleich: Rechenaufwand DFT vs. FFT Anhand zweier Zahlenbeispiele soll der Vorteil der FFT gegenüber der DFT verdeutlicht werden: 1. =16: Rechenaufwand für DFT: 2 = 16 2 = 256 Rechenaufwand für FFT: log 2 () = 16 log 2 (16) = 16 4 = 64 Dies zeigt, dass die FFT bereits bei kleinem einen wesentlich niedrigeren Rechenaufwand als die DFT hat. 2. =1024: Rechenaufwand für DFT: 2 = = Rechenaufwand für FFT: log 2 () = 1024 log 2 (1024) = = Bei =1024 liegt die Einsparung an Rechenoperationen bei über 99%! 8

9 1.4 Anwendungsbeispiele für die FFT Um einige Anwendungsbeispiele für die FFT aufzulisten, ist zunächst anzumerken, dass für die FFT, wie für die DFT auch, eine inverse FFT (ifft) definiert ist. Wir werden hier aber nicht näher auf die inverse FFT eingehen, daher wird die Definition ausgelassen. Die Kombination aus FFT und ifft ermöglicht die Manipulation von Signalen auf Frequenzebene. Daher ergeben sich unter anderem folgende Anwendungsbereiche: ADSL WLA DVB-T MP3 usw. 9

10 2 Praktische Durchführung einer Diskreten Fourier Transformation 2.1 Einleitung Möchte man eine diskrete Fourier Transformation selbst durchführen, so stellen sich in der Praxis maßgeblich zwei Probleme: die Wahl der Abtastfrequenz f s sowie der Anzahl der Abtastwerte. 2.2 Wahl der Abtastfrequenz Als Wiederholung gedacht, stellt sich zunächst die Frage, was die Abtastfrequenz eigentlich ist. Kurz gesagt, stellt sie die Häufigkeit dar, mit welcher ein bestimmter Wert in einer bestimmten Zeitperiode ermittelt wird. In der digitalen Signalverarbeitung wendet man hierfür meist die Einheit Hertz an: 1Hz = 1 s. Die Wahl der Abtastfrequenz ist abhängig von der höchsten im abzutastenden Signal vorkommenden Frequenz. un muss man zwei Fälle unterscheiden: Die höchste im Signal vorkommende Frequenz ist bekannt: Hier lässt sich das Abtasttheorem anwenden, welches besagt, dass die Abtastfrequenz f s größer sein muss, als das Doppelte der höchsten im Signal vorkommenden Frequenz. Es muss also gelten: f s > 2f max Die höchste im Signal vorkommende Frequenz ist unbekannt: Die richtige Abtastfrequenz lässt sich nun experimentell ermitteln, indem man sie so lange erhöht, bis keine Bandüberlappungen mehr auftreten. links: unterabgetastetes Signal, rechts: richtig abgetastetes Signal Quelle: Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Seite

11 Eine Alternative bildet die Verwendung eines Antialiasing-Filters. Die minimale Abtastfrequenz folgt hierbei aus der Dimensionierung des Filters, sprich aus der Durchlassfrequenz f pass und der Sperrfrequenz f stop. Es gilt: f s > f pass + f stop Zu beachten ist jedoch, dass das interessierende Spektrum innerhalb des Durchlassbereichs des Antialiasing-Filters liegt. Das restliche Spektrum wird vom Filter gedämpft. Signalverarbeitungskette Quelle: Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Seite 162 Stellt sich nun die Frage, was eigentlich passiert, wenn das Abtasttheorem verletzt wird, sprich die Abtastfrequenz zu niedrig ist. Ist dies der Fall, so tritt der sogenannte Alias-Effekt auf. Hohe Frequenzen des abzutastenden Signals, die größer sind als f s /2, werden als niedrige interpretiert. Da sich sozusagen hohe Frequenzen als niedrige ausgeben, nennt man dies auch den Alias-Effekt. Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass sich mit Hilfe einer korrekten minimalen Abtastfrequenz f s ein zeitkontinuierliches Signal ohne große Verfälschungen in ein zeitdiskretes umwandeln lässt. links: analoges Signal, rechts: zeitdiskretes Signal Quelle: Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Seite 1 11

12 2.3 Wahl der Anzahl von Abtastwerten Zunächst stellt sich die Frage, wozu die Wahl der Anzahl der Abtastwerte so wichtig ist. Das Problem, das es zu lösen gilt, ist, dass die Anzahl der Abtastwerte des Ursprungssignals unendlich ist. Zur Berechnung der DFT ist jedoch eine endliche Anzahl, hier, nötig. Dies fasst man auch unter dem Begriff Rechteckfensterung zusammen. Folgende Abbildung zeigt den Unterschied zwischen einem zeitdiskreten Signal mit unendlich vielen Abtastwerten und einem digitalen Signal, welches nur endlich viele Abtastwerte kennt: links: zeitdiskretes Signal, rechts: digitales Signal Quelle: Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Seite 1 Die Wahl der Anzahl der Abtastwerte ist maßgeblich von 3 Punkten abhängig: 1. Je höher die Qualität der spektralen Auflösung sein soll, desto höher muss gewählt werden. Ist der maximale Abstand f max zwischen zwei Abtastfrequenzen festgelegt, so gilt folgende Ungleichung: f s f max 2. sollte als Zweierpotenz gewählt werden, damit man eine schnelle Fourier Transformation durchführen kann. 3. Ist das Ausgangssignal periodisch, so sollte die Messdauer T ein Vielfaches der Periodendauer sein. Ist es dem Anwender nicht möglich, als Zweierpotenz zu wählen, so gibt es zwei Optionen. Er kann einen anderen Algorithmus als die FFT aussuchen, oder das sogenannte Zero Padding anwenden. Beim Zero Padding wird der Abtastwertesatz soweit mit ullen aufgefüllt, bis er eine Zweierpotenz ergibt. 12

13 Zero Padding Quelle: Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Seite 163 Linke Abbildung zeigt einen Abtastwertesatz mit =12 ohne Anwendung des Zero Paddings. Rechte Abbildung zeigt den gleichen Abtastwertesatz, welcher aber mit ullen aufgefüllt wurde. ist nun gleich 16, also eine Zweierpotenz. Somit kann eine FFT durchgeführt werden. Kann Punkt 3 nicht erfüllt werden, so gibt es die Möglichkeit, ein entsprechendes Fenster zu verwenden. 2.4 Praktisches Beispiel Um den Zusammenhang zwischen Abtastfrequenz und Abtastwerten zu verdeutlichen, soll als praktisches Beispiel die Spektralanalyse des Lautes A dienen. Das Signal verhält sich annähernd periodisch, mit einer Periodendauer von 11, 08ms. Wir setzen voraus, dass nur eine Periode mit einer Abtastfrequenz f s von 50kHz betrachtet wird. Dies ergibt für das Abtastintervall T = 1 f s = 1 50kHz = 20µs. Für die Anzahl an Abtastwerten in einer Periode gilt = 11,08ms 20µs =

14 3 Literaturverzeichnis [1] Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, 2. Auflage, Fachbuchverlag Leipzig [2] John Perr, Grundlegendes zu Akustik und Signalverarbeitung ( [3] B. Spethmann, Prof. Dr.-Ing. A. Potchinkov, Skript zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung, Universität Kaiserslautern ( [4] Jan Metzner, Alexander Schaal, Schnelle Fourier-Transformation, Fachhochschule München ( [5] Wikipedia, Schnelle Fourier Transformation ( 14

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