Lineare Algebra und Computer Grafik

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1 Lineare Algebra und Computer Grafik Vorlesung an der Hochschule Heilbronn (Stand: 7 Mai ) Prof Dr V Stahl Copyright 6 by Volker Stahl All rights reserved

2 Inhaltsverzeichnis Vektoren 4 Vektoren und Skalare 4 Einsatz von Vektoren in der Computer Grafik 4 3 Rechenoperationen auf Vektoren 7 3 Vektor Addition 7 3 Skalare Multiplikation, Kollineare Vektoren 8 33 Vektor Negation 34 Vektor Subtraktion 35 Vektor Division 36 Skalarprodukt 37 Länge, Betrag, Euklidische Norm 3 38 Senkrechte bzw Orthogonale Vektoren 5 39 Einheitsvektoren, normierte Richtungsvektoren 6 3 Winkel zwischen Vektoren 7 Geraden und Ebenen im Raum Geraden Ursprungsgeraden Affine Geraden 3 Zwei Punkte Form der Geraden 3 4 Geradensegmente 4 Ebenen 5 Ursprungsebenen 5 Affine Ebenen 8 3 Drei Punkte Form der Ebene 8 4 Normalenvektor einer Ebene, Kreuzprodukt 3 5 Hessesche Normalform 3 6 Implizite Form 33 7 Ebenensegmente 34 3 Schnittpunkt von Ebenen und Geraden 34 3 Genau ein Schnittpunkt 36 3 Kein Schnittpunkt Unendlich viele Schnittpunkte 39 3 Spannräume 4 3 Linearkombinationen 4 3 Lineare Abhängigkeit Austauschbarkeit Dimension und Basis 47 4 Lineare Gleichungssysteme, Gauß Algorithmus 5 5 Lineare Funktionen 55 5 Eigenschaften linearer Funktionen 55 5 Geometrische Transformationen 6 5 Streckung 6 5 Punktspiegelung 6 53 Drehung 6

3 54 Translation 6 55 Orthogonalprojektion Perspektivische Projektion 63 6 Matrizen 67 6 Darstellung linearer Funktionen durch Matrizen 67 6 Rechenoperationen auf Matrizen 7 6 Matrix Vektor Multiplikation 7 6 Matrix Addition 7 63 Matrix Skalare Multiplikation Matrix Matrix Multiplikation Matrix Inversion Matrix Transposition 8 63 Vektoren als spezielle Matrizen 8 64 Orthogonale Matrizen 8 7 Homogene Koordinaten 85 7 Der große Trick 85 7 Blick ins Unendliche 87 7 Arithmetik mit homogenen Koordinaten 88 7 Homogene Matrizen für geometrische Transformationen 89 7 Translation 89 7 Rotation 9 73 Allgemeine lineare Transformationen Perspektivische Projektion 94 8 Koordinatensysteme 96 8 Transformationen bzgl des Weltkoordinatensystems 96 8 Relative Transformationen bzgl des Cursorkoordinatensystems Koordinatensystem Transformationen 3

4 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 Vektoren Vektoren und Skalare Die Menge aller n-tupel reeller Zahlen wird mit R n bezeichnet, dh R n = {(x,x,,x n ) x i R, i =,,,n} Ein reeller n-dimensionaler Vektor ist (für uns zunächst einmal) nichts anderes als ein n-tupel reeller Zahlen Um Vektoren von normalen reellen Zahlen zu unterscheiden, werden Vektoren durch einen Pfeil gekennzeichnet So bedeutet also x R n, a R dass x ein n-dimensionaler Vektor und a eine relle Zahl ist Statt reelle Zahl sagt man auch Skalar Analog zu den bekannten Rechenoperationen auf Skalaren (Addition, Multiplikation, usw) werden wir in diesem Kapitel entsprechende Rechenoperationen auf Vektoren definieren Aus Darstellungsgründen ist es daher zweckmäßig, die Komponenten eines Vektors nicht wie bisher nebeneinander zu schreiben sondern untereinander Ein n-dimensionaler Vektor schreibt sich somit wie folgt: x = x x x n, x i R, i =,,,n Die Skalare x,x,,x n heißen Komponenten oder Koordinaten des Vektors x Einsatz von Vektoren in der Computer Grafik Was kann man mit Vektoren anfangen? Hierzu ein paar Beispiele Wie der Name der Vorlesung schon suggeriert, spielen Vektoren eine zentrale Rolle in der Computer Grafik Ein Vektor kann dazu benutzt werden um die Position eines Punktes in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum zu beschreiben Vektoren, die diesem Zweck dienen, nennt man auch Ortsvektoren Möchte man in einer virtuellen Welt Objekte an bestimmten Stellen positionieren, gibt man für jedes Objekt einen Ortsvektor an Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass in dem Raum ein Koordinatensystem verankert wurde Der Vektor s = beschreibt zb den Punkt, den man ausgehend vom Koordinatenursprung erreicht wenn man eine Einheit in x-richtung, eine Einheit entgegengesetzt der y-richtung und zwei Einheiten in z-richtung des Koordinatensystems läuft Für diesen Satz würden mich echte Mathematiker sofort erschießen Korrekterweise ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, was wiederum eine längere Geschichte ist Im Rahmen dieses Semesters werden wir mit dieser stark vereinfachten Definition ganz gut leben können

5 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 In Computer Grafik Anwendungen werden Objekte in einer virtuellen dreidimensionalen Welt positioniert und mit einer Kamera fotografiert Das entstehende zweidimensionale Bild wird dann auf dem Bildschirm dargestellt Damit man überhaupt etwas sieht muss die 3D Szene beleuchtet werden Im einfachsten Fall arbeitet man mit parallelen Lichtstrahlen, die aus einer bestimmten Richtung kommen Ähnlich wie Positionen können auch Richtungen durch Vektoren beschrieben werden Vektoren, die hierfür herhalten müssen, nennt man Richtungsvektoren Der Vektor r = würde dann die Richtung beschreiben, in die man läuft wenn man zwei Einheiten in x-richtung geht, eine Einheit entgegengesetzt der y-richtung und null Einheiten in z-richtung Man sieht es einem Vektor also nicht an, er zur Beschreibung einer Position oder einer Richtung verwendet wird Übrigens würde der Vektor r = 4 genau die selbe Richtung beschreiben, siehe Bild Sie haben allerdings eine unterschiedliche Länge Statt Länge sagt man auch Betrag eines Vektors y y x x r r Abbildung : Zwei unterschiedliche Vektoren mit gleicher Richtung Das Zusammenspiel eines Orts- und eines Richtungsvektors ist in Bild dargestellt Ein Würfel wird in einem Koordinatensystem positioniert und mit Licht aus einer bestimmten Richtung beleuchtet Ein Computer Grafik System würde in diesem Fall die linke Seite des Würfels heller darstellen als die obere, da die Lichtstrahlen dort steiler auftreffen Unter anderem muss also der Winkel zwischen einem Vektor und einer Fläche berechnet werden Computer Grafik wäre langweilig, wenn man es nur mit statischen Szenen zu tun hätte Häufig sind die Objekte in unseren virtuellen Welten in Be-

6 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 y Licht: Richtungsvektor Position: Ortsvektor x Abbildung : Ortsvektor zur Bestimmung der Position, Richtungsvektor für die Richtung des Lichts wegung, dh haben zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte Geschwindigkeit Es wird Sie sicher nicht überraschen, dass man auch Geschwindigkeiten durch Vektoren beschreibt Der Vektor v = 3 5 beschreibt die Geschwindigkeit 3m/s in x-richtung, m/s entgegengesetzt der y-richtung und 5m/s in z-richtung Hat ein Objekt zum Zeitpunkt t die Position s(t) und Geschwindigkeit v, dann befindet es sich zum Zeitpunkt t + t an der Position s(t + t) = s(t) + v t Voraussetzung ist allerdings, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt Durch entsprechende arithmetische Operationen auf Vektoren lassen sich somit reale physikalische Vorgänge berechnen und dadurch in virtuelle Welten übertragen Etwas dynamischer wird die Szene, wenn die dargestellten Objekte ihre Geschwindigkeit ändern, dh langsamer oder schneller werden oder ihre Richtung ändern Physikalisch bedeutet dies, dass die Objekte beschleunigt werden Beschleunigung ist natürlich ebenfalls eine vektorielle Größe Eine Beschleunigung eines Körpers wird durch eine auf ihn wirkende Kraft verursacht Sie ahnen sicher wodurch Kräfte beschrieben werden Das physikalische Gesetz ist F = m a wobei F der Kraftvektor, m die Masse und a der Beschleunigungsvektor ist Bei diesem Gesetz wird also ein Skalar (die Masse) mit einem Vektor (der Beschleunigung) multipliziert Wie solche Operationen definiert sind, kommt im nächsten Kapitel

7 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 3 Rechenoperationen auf Vektoren In diesem Kapitel werden die elementaren Rechenoperationen auf Vektoren und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammengefasst 3 Vektor Addition Definition (Addition von Vektoren) Die Vektor Addition + R n R n R n ist definiert durch x x x n + y y y n = x + y x + y x n + y n Zu beachten ist, dass das + auf der linken Seite und die + Zeichen auf der rechten Seite unterschiedliche Funktionen sind! Links ist + R n R n R n die neu definierte Addition von Vektoren, rechts ist + R R R die Addition von reellen Zahlen Die Addition von zwei Vektoren x und y lässt sich grafisch dadurch ausführen, dass man x und y durch Pfeile darstellt und diese aneinandersetzt, siehe Bild 3 Werden Vektoren durch Pfeile in einem Koordinatensystem dargestellt, ist 3 ( ) ( 4 3 ) 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) 3 Abbildung 3: Addition zweier Vektoren es in der Regel zweckmässig zu erlauben, dass sie frei verschiebbar sind Möchte

8 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 man einen Vektor dazu benutzen um die Position eines Punktes in einem Koordinatensystem zu beschreiben, dann wird man bei der grafischen Darstellung allerdings schon darauf bestehen, dass der Vektor im Koordinatenursprung befestigt ist Theorem Eigenschaften der Vektor Addition Für alle x, y, z R n gilt x + y = y + x x + ( y + z) = ( x + y) + z x + = x (Kommutativität) (Assoziativität) (Neutrales Element) Dabei ist = der sogenannte Nullvektor Die og Eigenschaften folgen unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften der Rechenoperationen auf reellen Zahlen Die Assoziativität der Vektor Addition würde man zb wie folgt herleiten: x + ( y + z) = = = = x x x n + x + (y + z ) x + (y + z ) x n + (y n + z n ) (x + y ) + z (x + y ) + z (x n + y n ) + z n x + y x + y x n + y n y + z y + z y n + z n + z z z n Hier wird die Assoziativität der reellen Addition ausgenutzt = ( x + y) + z 3 Skalare Multiplikation, Kollineare Vektoren Als nächstes würde man erwarten, dass man analog zur Multiplikation reeller Zahlen eine Vektor Multiplikation aus der Menge R n R n R n

9 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 definiert Dies ist jedoch nicht der Fall Die Multiplikation, die wir definieren ist aus R R n R n, dh das erste Argument ist kein Vektor sondern ein Skalar! Man nennt diese Multiplikation daher auch Skalare Multiplikation Definition 3 (Skalare Multiplikation) Die Skalare Multiplikation ist definiert durch durch a R R n R n x x x n = ax ax ax n Wiederum ist zu beachten, dass das auf der linken Seite und die Multiplikationen auf der rechten Seite unterschiedliche Funktionen sind Links ist R R n R n die neu definierte Skalare Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor, rechts stehen Multiplikationen von reellen Zahlen Üblicherweise lässt man den Punkt einfach weg und schreibt a x um die Skalare Multiplikation von dem Skalar a R und dem Vektor x R n auszudrücken Die Skalare Multiplikation a x lässt sich grafisch dadurch ausführen, dass man den Vektor x als Pfeil darstellt und ihn um Faktor a streckt Interessant wird s wenn a negativ ist: In diesem Fall kehrt der Pfeil seine Richtung um, siehe Bild 4 ( ) ( ) ( ) 3 4 Abbildung 4: Skalare Multiplilation

10 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Das nächste Theorem fasst die wichtigsten Eigenschaften der Skalaren Multiplikation zusammen Machen Sie sich dabei klar, welche Operationen auf Vektoren und welche auf Skalaren definiert sind! Theorem 4 Für alle a,b R und für alle x, y R n gilt a( x + y) = a x + a y (a + b) x = a x + b x (Pseudo Distributivität) (ab) x = a(b x) x = x (Pseudo Assoziativität) (Pseudo neutrales Element) Vektoren, die durch eine Skalare Multiplikation auseinander hervorgehen, haben entweder gleiche, oder aber entgegengesetzte Richtung Solche Vektoren nennt man kollinear Definition 5 (Kollineare Vektoren) Zwei Vektoren x, y R n \ { } heißen kollinear, wenn es ein a R gibt so dass y = a x Damit ist kollinear eine Relation auf Vektoren, dh kollinear = {( x, y) x, y R n \ { } a R y = a x} Beispiel 6 Die beiden Vektoren x = ( ) ( 4, y = ) sind kollinear, während x = ( 4 3 ) ( 3, y 4 ) nicht kollinear sind Beispiel 7 Kein Vektor ist kollinear zum Nullvektor Das macht Sinn, da der Nullvektor ja keine Richtung hat 33 Vektor Negation Definition 8 Die Vektor Negation ist definiert durch R n R n x = ( ) x

11 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Die Vektor Negation ist somit eine einstellige Funktion auf R n Sie ist ein Spezialfall der Skalaren Multiplikation a x für a = Man hätte natürlich auch gleichbedeutend definieren können x = x x x n Wie in Bild 4 dargestellt, ist x der selbe Vektor wie x nur in entgegengesetzter Richtung 34 Vektor Subtraktion Hat man die Vektor Negation, kriegt man die Vektor Subtraktion quasi geschenkt Definition 9 (Vektor Subtraktion) Die Vektor Subtraktion ist definiert durch durch R n R n R n x y = x + ( y) Man hätte natürlich gleichbedeutend definieren können x y x y x y = x n y n Die erste Definition hat jedoch den Vorteil, dass sie grafisch leichter interpretierbar ist Stellt man sich x und y wieder als Pfeile in einem Koordinatensystem vor, dann berechnet man x y indem man y umdreht und an x dransetzt, siehe Bild 5 Das Bild zeigt auch, dass man sich den Vektor x y als den Vektor vorstellen kann, der vom Endpunkt von y zum Endpunkt von x geht x y y x y x y Abbildung 5: Subtraktion zweier Vektoren

12 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 35 Vektor Division Vergessen Sie s Vektoren kann man nicht durcheinander dividieren Was man manchmal liest sind Ausdrücke wie x a wobei x ein Vektor und a ein Skalar ist Das bedeutet jedoch nichts anderes als a x, dh eine Skalare Multiplikation von /a und x Das klappt natürlich nur wenn a ist 36 Skalarprodukt Die Skalarprodukt Operation kann man mit guten Recht als wichtigste Operation für die Computer Grafik bezeichnet werden Sie tritt nicht nur bei der Berechnung der Länge oder des Winkels zwischen Vektoren auf Die später zu behandelnden Matrix Operationen lassen sich alle durch Skalarprodukte beschreiben Grafikkarten verwenden den größten Teil ihrer Rechenleistung auf Skalarprodukt Operationen Frühe Superrechner wie zb die berühmten Cray s waren deshalb so erfolgreich, weil sie spezielle Pipeline Rechenwerke für die effiziente Berechnung von Skalarprodukten hatten Die damals entwickelte Technologie findet man heute integriert auf Mikroprozessoren wieder Anders als bei der Skalaren Multiplikation sind beim Skalarprodukt beide Argumente Vektoren, das Ergebnis aber dafür ein Skalar Achten Sie darauf, dass Sie Skalare Multiplikation und Skalarprodukt nicht verwechseln! Definition (Skalarprodukt) Das Skalarprodukt R n R n R ist definiert durch x x x n y y y n = x y + x y + + x n y n Auf der rechten Seite stehen nur Multiplikationen und Additionen von Skalaren, auf der linken Seite das neu definierte Skalarprodukt Also zb 3 = 3 + = Die wichtigsten Eigenschaften des Skalarprodukts sind wie folgt

13 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Theorem Für alle a R und für alle x, y, z R n gilt x y = y x ( x + y) z = ( x z) + ( y z) a( x y) = (a x) y (Kommutativität) (Pseudo Distributivität) (Homogenität) x x und x x = genau dann wenn x = (Positive Definitheit) Der Beweis läuft wieder darauf hinaus, dass man die Definitionen der Vektor Operationen (Addition, Skalare Multiplikation, Skalarprodukt) einsetzt, dann hat man nur noch Operationen auf reellen Zahlen und kann dereren Rechengesetze verwenden Als Beispiel vielleicht der Beweis der positiven Definitheit Sei also x R n, x = x x x n ein beliebig aber fest gewählter Vektor Dann ist x x = x x + x x + + x n x n = x + x + + x n Jeder Summand ist größer oder gleich Null, da x i für jede relle Zahl x i Somit ist x x Damit die Summe gleich Null wird, muss jeder Summand x i Null sein Dies ist jedoch nur möglich, wenn x i Null ist für alle i, dh x = 37 Länge, Betrag, Euklidische Norm Die Begriffe Länge, Betrag und Euklidische Norm oder einfach Norm verwenden wir synonym Stellt man einen Vektor x R als Pfeil in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dar, so berechnet sich seine Länge nach dem Satz des Pythagoras durch x = x + x, siehe Bild 6 Dies gilt analog auch für n = 3 und obwohl noch niemand die Länge von höherdimensionalen Pfeilen nachgemessen hat, wird die Euklidische Norm allgemein für Vektoren aus R n wie folgt definiert Definition (Euklidische Norm) Die Funktion R n R ist definiert durch x = x + x + + x n

14 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 x xxx xxx x = x + x xxx xxx x Abbildung 6: Norm eines Vektors ist die Länge des Pfeils Unter Verwendung des Skalarprodukts lässt sich dies einfach schreiben als x = x x Bitte verwechseln Sie die doppelten Betragsstriche nicht mit der normalen Betragsfunktion Erstere ist auf Vektoren definiert, letztere auf Skalaren! Nur im Fall n = sind beide Operationen identisch Beispiel 3 Wird die Geschwindigkeit eines Körpers durch einen Vektor v R 3 beschrieben, dann ist v der Betrag der Geschwindigkeit, dh ein Skalar Die Richtung, in die sich der Körper bewegt, geht bei der Operation verloren Theorem 4 (Positivität der Norm) Für alle x R n gilt x und x = genau dann wenn x = Dies folgt aus den oben genannten Eigenschaften des Skalarprodukts, ist aber auch geometrisch zumindest für n 3 klar, da die Länge eines Vektors nie negativ sein kann und nur der Nullvektor Länge Null hat Theorem 5 (Dreiecksungleichung) Für alle x, y R n gilt x + y x + y Der Beweis dieses Theorems ist recht mühsam Wenn man sich die Vektor Addition geometrisch vorstellt (schauen Sie dazu nochmal Bild 3 an) und die Euklidische Norm als Länge der Pfeile interpretiert, wird s jedoch sofort klar Man sieht dann auch, dass Gleichheit genau dann gilt wenn x und y die selbe Richtung haben (oder mindestens einer der Vektoren Nullvektor ist)

15 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 Theorem 6 Für alle a R und alle x R n gilt a x = a x Aufpassen dass man den Betrag von a auf der rechten Seite nicht vergisst! Der Beweis ist recht einfach: a x = (ax ) + (ax ) + + (ax n ) = a x + a x + + a x n = a (x + x + + x n = a x + x + + x n = a x 38 Senkrechte bzw Orthogonale Vektoren Zwei Vektoren x, y R stehen senkrecht (oder orthogonal) zueinander wenn das Dreieck mit Eckpunkten, x und y einen 9 Grad Winkel bei hat, siehe Bild 7 Im Ausnahmefall wenn x oder y gleich dem Nullvektor sind, hat man kein Dreieck Man legt dann einfach fest, dass der Nullvektor orthogonal zu jedem Vektor ist Der n-dimensionale Fall lässt sich leicht auf den zweidimensionalen Fall reduzieren, da drei Punkte immer in einer Ebene liegen Man kann daher ein Blatt in die Ebene legen, die von, x und y aufgespannt wird und dort die Punkte einzeichnen Danach ist alles wie im Zweidimensionalen Statt senkrecht sagt man auch orthogonal Die vielleicht wichtigste Eigenschaft des Skalarprodukts ist, dass man damit sehr einfach entscheiden kann, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind x y x y y x y x Abbildung 7: Rechtwinkliges Dreieck mit Eckpunkten, x und y Theorem 7 Für alle x, y R n gilt x y = genau dann wenn x und y orthogonal sind

16 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 Also zb ( ) ( 4 ) = 4 4 = Zeichnen Sie die beiden Vektoren in ein Koordinatensystem ein sie stehen senkrecht zueinander! Zum Beweis verwenden wir den Satz des Pythagoras: Ein ebenes Dreieck mit Seitenlängen a,b,c und a,b c ist genau dann rechtwinklig, wenn a + b = c Damit sind x und y orthogonal genau dann wenn siehe Bild 7 Umformen ergibt x + y = x y, x + + x n + y + + y n = (x y ) + + (x n y n ) x + + x n + y + + y n = x + y x y + + x n + y n x n y n = x y x n y n = x y + + x n y n, dh x y = 39 Einheitsvektoren, normierte Richtungsvektoren Ein Vektor, dessen euklidische Norm eins ist, heißt Einheitsvektor Offensichtlich kann man jeden Vektor (außer den Nullvektor) so skalieren, dh mit einem positiven Skalar Multiplizieren, dass er danach Länge eins hat Seine Richtung bleibt dabei erhalten Definition 8 Normierter Richtungsvektor Der normierte Richtungsvektor von x R n, x ist definiert durch e = x x Da / x ein positives Skalar ist, folgt aus den Eigenschaften der Skalaren Multiplikation, dass x und e die selbe Richtung haben Dass e tatsächlich ein Einheitsvektor ist, kann man leicht nachprüfen: e = x x = x x (Theorem 6) = x x =

17 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 Normierte Richtungsvektoren spielen dann eine Rolle, wenn man Vektoren dazu benutzen möchte, ausschließlich eine Richtung zu beschreiben und die Länge dabei nur störend ist Die Richtung, aus der Licht in eine Szene fällt oder die Richtung einer Geraden sind typische Beispiele In der Computer Grafik legt man die Orientierung eines Flächenstücks im Raum durch einen Vektor fest, der senkrecht auf der Vorderseite der Fläche steht Zumindest in OpenGL muss man hierfür Einheitsvektoren verwenden Das ist auch sinnvoll, weil dann die Helligkeit, mit der die Fläche dargestellt werden muss wenn sie aus einer bestimmten Richtung angestrahlt wird, einfach zu berechnen ist Was man dazu noch bracht, ist die Berechnung des Winkels zwischen zwei Richtungen 3 Winkel zwischen Vektoren Wenn man sich mit Winkeln beschäftigt, treten einige unangenehme Fragen auf, die normalerweise stillschweigend unter den Teppich gekehrt werden: Meint man den inneren oder den äußeren Winkel, siehe Bild 8? Unter welchen Umständen ist der Winkel zwischen x und y negativ? Winkel werden ja immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen Bedeutet das, dass der Winkel zwischen x und y gleich dem negativen Winkel zwischen y und x ist? Tatsächlich werden diese Fragen je nach Anwendung unterschiedlich beantwortet Wenn wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen, legen wir fest, dass wir den inneren Winkel meinen und dieser positiv ist Der Winkel α zwischen x und y ist damit gleich dem Winkel zwischen y und x und es gilt immer α < 8 Grad bzw α < π Radian x β x α y y Abbildung 8: Innerer Winkel α bzw äußerer Winkel β zwischen x und y Wie lässt sich nun der Winkel α zwischen zwei Vektoren x und y berechnen? Zunächst muss ausgeschlossen werden, dass einer der beiden Vektoren gleich dem Nullvektor ist, da in diesem Fall der Winkel undefiniert ist Um die Sache etwas Wenn wir uns mit Drehungen beschäftigen werden, treten positive und negative Winkel auf, wobei das Vorzeichen die Drehrichtung bestimmt Auch Winkel größer 36 Grad werden dann eine Bedeutung haben wenn man zb ein Objekt mehr als eine ganze Umdrehung ausführen lassen möchte

18 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 zu vereinfachen, kann man beide Vektoren durch ihre jeweiligen normierten Richtungsvektoren e x = e y = x x y y ersetzen Sei dann λ e x der Fusspunkt des Lotes von e y auf e x, siehe Bild 9 Der gestrichelte Vektor von e y nach λ e x ist nach den Gesetzen der Vektor Subtraktion λ e x e y Dieser Vektor steht senkrecht zu e x, nach Theorem 7 gilt also e x (λ e x e y ) = Umformen mit Hilfe der Rechengesetze des Skalarprodukts (Theorem ) ergibt λ e x e x e x e y = Da e x ein Einheitsvektor ist, ist e x e x = und damit folgt λ = e x e y Für den Winkel α ergibt sich somit aus Bild 9 cos α = λ e x e y = λ = e x e y Setzt man die Einheitsvektoren wieder ein, erhält man folgende Formel Theorem 9 Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren x, y R n \ { } gilt cos α = x y x y Es ist also nicht schwierig, cos(α) auszurechnen, aber wie kommt man nun auf α? Leider ist die Cosinus Funktion nicht bijektiv, dh man kann α nicht durch Anwenden einer Umkehrfunktion berechnen Tatsächlich tut s für unsere Zwecke aber auch die arccos Funktion Für < α < π gilt nämlich arccos(cos(α)) = α Da wir in weiser Voraussicht festgelegt haben, dass Winkel zwischen Vektoren immer zwischen und π liegen, ist das Problem damit gelöst

19 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 y e y α λ e x e x x Abbildung 9: Winkel zwischen x und y Der Kreis hat Radius

20 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Geraden und Ebenen im Raum Geraden und Ebenen sind geometrisch betrachtet nichts anderes als bestimmte unendliche Punkmengen im dreidimensionalen Raum Die Position eines Punktes kann bzgl eines Koordinatensystems durch einen (Orts-) Vektor angegeben werden Damit sind Geraden und Ebenen (und eigentlich alle geometrischen Gebilde) einfach Mengen von Vektoren Zur grafischen Darstellung verwendet man für Vektoren dann nicht mehr Pfeile sondern zeichnet lediglich deren Endpunkte ein Dies setzt natürlich voraus, dass die Vektoren im Koordinatenursprung befestigt sind Geraden Wir beginnen zunächst mit einem Spezialfall von Geraden, den Ursprungsgeraden Das sind Geraden, die durch den Koordinatenursprung laufen Später wird dann verallgemeinert auf affine Geraden, die beliebig im Koordinatensystem liegen können Ursprungsgeraden Beispiel Sei G = { ( a ) } a R R ¾½½¾ eine Menge von zweidimensionalen Vektoren Zeichnet man jedes Element von G als Punkt in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein, so entsteht eine Gerade durch den Ursprung, ½ siehe ¾ Bild ¾ r Abbildung : Ursprungsgerade Eine Gerade, die durch den Ursprung läuft heißt Ursprungsgerade und ist wie folgt definiert Definition (Ursprungsgerade mit Richtungsvektor) Für jeden Vektor r R n \ { } ist die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor r definiert durch G = {a r a R}

21 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Mit dieser Definition haben wir noch lange nicht gesagt, wann eine Menge Ursprungsgerade heißt Wir haben lediglich eine Funktion aus der Menge R n \ { } P(R n ) definiert, die einem Vektor aus R n \ { } eine Menge von Vektoren, dh ein Element von P(R n ) zuordnet Definition 3 Eine Menge G heißt Ursprungsgerade, wenn es ein r R n \ { } gibt so dass G = {a r a R} So Wenn Sie also wissen, dass G eine Ursprungsgerade ist, dann können Sie daraus schließen, dass r R n \ { } G = {a r a R} wahr ist In vielen Beweisen ist das ein entscheidender Schritt Beispiel 4 Sei G = { ( 4 a ) } a R Vergleicht man diese Gerade mit der Geraden { ( ) } G = a a R R aus Beispiel, so stellt man fest, dass G = G Ist nämlich x ein beliebig aber fest gewähltes Element von G, dann existiert ein a R so dass ( ) x = a Wählt man nun a = /a, so ist ( ) x = a ( ) = a 4, und somit folgt x G, dh G G Die umgekehrte Richtung G G zeigt man analog Die oben definierte Funktion, die einem Vektor r R n \{ } die Ursprungsgerade G = {a r a R} zuordnet, ist also nicht injektiv Anders ausgedrückt heißt das, dass man ein und die selbe Gerade durch unterschiedliche Richtungsvektoren darstellen kann Der Richtungsvektor einer Geraden ist nur bis auf einen skalaren Faktor eindeutig

22 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Theorem 5 Für alle r, s R n, r, s gilt {a r a R} = {a s a R} genau dann wenn r und s kollinear sind Affine Geraden Für jede Ursprungsgerade G gilt offensichtlich G Eine Verallgemeinerung von Ursprungsgeraden sind Geraden, die nicht notwendig durch den Ursprung gehen Solche Geraden nennt man affine Geraden Beispiel 6 Sei G = {( ¾½½ ) ( + a Ô ) } a R Zeichnet man wieder jeden Vektor von G in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein, so entsteht eine Gerade, die nicht durch den Ursprung läuft, siehe Bild ¾ ½ ½ ¾ r Abbildung : Affine Gerade Definition 7 (Affine Gerade) Für alle p, r R n, r heißt die Menge G = { p + a r a R} affine Gerade mit Richtungsvektor r und Ortsvektor p Eine Menge von Vektoren G R n heißt affine Gerade, wenn es ein p, r R n, r gibt so dass G = { p + a r a R} Beispiel 8 Sei G = {( 3 ) ( + a ) } a R

23 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Vergleicht man diese Gerade mit der Geraden {( ) ( ) } G = + a a R aus Beispiel 6, so stellt man fest, dass G = G Ist nämlich x G, dann existiert ein a R so dass ( ) ( ) x = + a ( ) ( ) ( ) 3 = + a ( ) ( ) 3 = + (a ) ( ) ( ) 3 = + a für a = a und somit ist x G, dh G G Die umgekehrte Richtung G G zeigt man analog Auch affine Geraden lassen sich somit auf unterschiedliche Weisen darstellen Theorem 9 Sei p, q, r, s R n, r, s und G = { p + a r a R} G = { q + a s a R} Dann ist G = G genau dann wenn G G und r, s kollinear sind 3 Zwei Punkte Form der Geraden Eine affine Gerade kann durch Angabe eines Ortsvektors p und eines Richtungsvektors r definiert werden, dh G = { p + a r a R} Diese Darstellung nennt man auch parametrische Darstellung, da a die Rolle eines Parameters spielt Alternativ ist eine Gerade auch dadurch eindeutig festgelegt, dass man zwei Punkte angibt, durch die die Gerade laufen soll Diese Darstellung nennt man Zwei Punkte Form der Geraden, siehe Bild 3 Theorem Durch je zwei Punkte x, y R n mit x y gibt es genau eine affine Gerade G = { x + a( y x) a R}, dh G ist die Gerade mit Ortsvektor x und Richtungsvektor y x Umrechnen von einer in die andere Darstellung ist denkbar einfach

24 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 Hat man einen Ortsvektor p und einen Richtungsvektor r einer Geraden G gegeben, dann sind zwei Punkte auf der Geraden zb x = p y = p + r Hat man andererseits zwei Punkte x, y auf einer Geraden gegeben, dann sind ein Ortsvektor p und ein Richtungsvektor r für diese Gerade zb Ü p = Ý x r = y x y x Abbildung 3: Affine Gerade durch zwei Punkte x und y 4 Geradensegmente In der Computer Grafik spielen vor allem endlich lange Ausschnitte von Geraden eine wichtige Rolle Solche Geradensegmente erhält man, indem man den Parameterbereich von affinen Geraden auf ein endliches Intervall einschränkt Definition (Geradensegment) Eine Menge G R n heißt Geradensegment, wenn es p, r R n, r sowie a,a R mit a a gibt so dass G = { p + a r a a a } Oft werden Geradensegmente durch Angabe ihrer Endpunkte angegeben Definition Für alle x, y R n ist das Geradensegment mit Endpunkten x und y definiert durch G = { x + a( y x) a } Klar, für a = ist und für a = ist x + a( y x) = x x + a( y x) = y

25 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 Für die Werte von a zwischen und liegen die Punkte Ü x + a( y x) auf der Geraden durch x und y und zwar zwischen Ý x und y, siehe Bild 4 a( y x) Abbildung 4: Geradensegment mit den Endpunkten x und y Der Parameter a läuft zwischne und Es ist daher immer möglich, den Parameterbereich von Geradensegmenten auf das Intervall [, ] zu normieren, indem man einfach die Endpunkte berechnet Die Endpunkte von G = { p + a r a a a } sind x = p + a r und y = p + a r Legt man das Geradensegment durch diese beiden Punkte, erhält man G = { x + a( y x) a } = { p + a r + a( p + a r ( p + a r)) a } = { p + a r + a((a a ) r a }} = { p + a r a } mit p = p + a r und r = (a a ) r Ebenen Wie bei den Geraden beginnen wir zunächst mit einem Spezialfall von Ebenen, den Ursprungsebenen Das sind Ebenen, die durch den Koordinatenursprung laufen Später wird dann verallgemeinert auf affine Ebenen, die beliebig im Koordinatensystem liegen können Ursprungsebenen Für n = 3 entspricht eine Ebene dem, was man sich normalerweise unter einer zweidimensionalen ebenen Fläche mit unendlicher Ausbreitung vorstellt Für n > 3 spricht man auch von Hyperebenen Während Geraden für beliebige

26 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 n immer eindimensionale Gebilde sind, sind Hyperebenen n dimensionale Gebilde Im Folgenden betrachten wir aber nur den für die Computer Grafik wichtigsten Fall n = 3 Beispiel 3 Die Menge E = a 3 + b 4 3 a,b R ist eine Ebene So sind zb die Punkte 7 E, E und damit auch die gesamte Ursprungsgerade 7 G = c c R E Generell gilt für zwei beliebige Punkte x, y E, dass die affine Gerade durch x und y Teilmenge von E ist Definition 4 (Ursprungsebene) Für zwei nicht kollineare Vektoren r, s R 3 mit r, s heißt die Menge E = {a r + b s a,b R} Ursprungsebene mit Richtungsvektoren r und s Eine Menge von Vektoren E R 3 heißt Ursprungsebene, wenn es nicht kollinear Vektoren r, s R 3 mit r, s gibt so dass E = {a r + b s a,b R} Die Forderung, dass r und s nicht kollinear sind ist wichtig, da ie Ebene sonst zu einer Geraden degenerieren würde: Angenommen r und s wären kollinear, dh s = c r, dann wäre Damit wäre E eine Ursprungsgerade E = {a r + b s a,b R} = {a r + bc r a,b R} = {(a + bc) r a,b R} = {a r a R} Beispiel 5 Sei E = a 7 + b 3 4 a,b R

27 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 Diese Ursprungsebene ist gleich wie die Ursprungsbene E = a 3 + b 4 3 a,b R aus Beispiel 3, dh E = E Ist nämlich x ein beliebig aber fest gewähltes Element von E, dann existieren a,b R so dass x = a 3 + b 4 3 Damit x auch in E ist, müssen a,b R existieren so dass x = a 7 + b 3 4 Die Werte von a und b kann man berechnen, indem man die beiden Darstellungen von x gleichsetzt Man erhält drei Gleichungen 3a + 4b = 7a + b a b = a 3b a + 3b = a + 4b, die man nach a und b auflösen kann: a = (a + b)/, b = (b a)/ Somit ist x E, dh E E Die umgekehrte Richtung E E zeigt man analog Wie bei Geraden hat man somit auch bei Ebenen eine gewisse Freiheit bei der Wahl der Richtungsvektoren Genau genommen kann man in einer Ursprungsebene E = {a r + b s a,b R} die Richtungsvektoren r, s durch zwei beliebige Elemente x, y E ersetzen Einzige Bedingung ist, dass x und y nicht kollinear und ungleich dem Nullvektor sind Theorem 6 Sei E eine Ursprungsebene und x, y E mit x, y und x, y nicht kollinear Dann ist E = {a x + b y a,b R} Mehr dazu in Kapitel 3

28 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 p r s Abbildung 5: Affine Ebene Affine Ebenen Für jede Ursprungsebene E gilt offensichtlich E Analog zu affinen Geraden gibt es auch affine Ebenen, die nicht notwendigerweise durch den Ursprung gehen Definition 7 (Affine Ebene) Für alle p, s, r R 3 mit r, s und r, s nicht kollinear heißt die Menge E = { p + a r + b s a,b R} affine Ebene mit Richtungsvektoren r und s und Ortsvektor p Eine Menge von Vektoren E R 3 heißt affine Ebene wenn es einen Vektor p R 3 und zwei nicht kollineare Vektoren r, s R 3 mit r, s gibt, so dass E = { p + a r + b s a,b R} Eine affine Ebene ist somit einfach eine Ursprungsebene, die um einen bestimmten Ortsvektor verschoben ist, siehe Bild 5 3 Drei Punkte Form der Ebene Eine affine Ebene kann durch Angabe eines Ortsvektors p und zweier Richtungsvektoren r und s definiert werden, dh E = { p + a r + b s a,b R} Diese Darstellung nennt man auch parametrische Darstellung, wobei a und b als Parameter bezeichnet werden Alternativ ist eine Ebene auch dadurch eindeutig festgelegt, dass man drei Punkte x, y, z angibt, durch die die Ebene laufen soll vorausgesetzt die drei Punkte liegen nicht unglücklicherweise genau auf einer Geraden

29 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 Theorem 8 Durch je drei Punkte x, y, z R 3, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, gibt es genau eine affine Ebene E = { x + a( y x) + b( z x) a,b R}, dh E ist die Ebene mit Ortsvektor x und Richtungsvektoren y x und z x Aus der Bedingung, dass die drei Punkte x, y, z nicht auf einer Geraden liegen, folgt dass die Richtungsvektoren y x und z x der Ebene E = { x + a( y x) + b( z x) a,b R} nicht kollinear sind, dh die Ebene degeneriert nicht zu einer Geraden Dass x, y, z auf der Ebene liegen, sieht man indem man für die Parameter (a,b) die Werte (,), (,) und (,) einsetzt Umrechnen von einer in die andere Darstellung ist wie im Fall von Geraden sehr einfach Hat man einen Ortsvektor p und zwei Richtungsvektoren r und s einer affinen Ebenen E gegeben, dann sind drei Punkte auf der Ebenen zb x = p y = p + r z = p + s Da r und s nicht kollinear sind, liegen x, y und z nicht auf einer Geraden Hat man andererseits drei Punkte x, y, z auf einer Ebenen gegeben, die nicht auf einer Geraden liegen, dann sind ein Ortsvektor p und zwei Richtungsvektoren r und s für diese Ebene zb p r s = x = y x = z x Da x, y und z nicht auf einer Geraden liegen, sind r, s und nicht kollinear Umgekehrt kann man ausgehend von einer affinen Ebene in parametrischer Form E = { p + a r + b s a,b R} leicht drei Punkte x, y, z E bestimmen, die nicht auf einer Geraden liegen, zb x = p y = p + r z = p + s Da r, s und nicht kollinear sind, liegen x, y und z nicht auf einer Geraden

30 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 4 Normalenvektor einer Ebene, Kreuzprodukt Die Richtungen einer Ebene wurden bisher durch zwei Richtungsvektoren r und s angegeben Kompakter geht das, indem man einen Vektor n angibt, der senkrecht zur Ebene steht statt zwei Vektoren hat man dann nur noch einen! Ein Vektor, der senkrecht zu einer Ebene steht, nennt man Normalenvektor der Ebene Die Länge des Normalenvektors spielt dabei keine Rolle Ist n ein Normalenvektor, dann ist natürlich auch c n ein Normalenvektor für alle c Der Normalenvektor einer Ebene ist also nur bis auf einen skalaren Faktor eindeutig Mit etwas geometrischem Vorstellungsvermögen (oder einem Bleistift, das man senkrecht auf ein Blatt Papier stellt), kann man sich davon überzeugen, dass n genau dann senkrecht zur Ebene steht, wenn n orthogonal zu beiden Richtungsvektoren r und s der Ebene ist Man hat somit zwei Gleichungen für n: n r = n s = Setzt man die Definition des Skalarprodukts ein, erhält man n r + n r + n 3 r 3 = n s + n s + n 3 s 3 = Multipliziert man die erste mit s und die zweite mit r und subtrahiert dann die Gleichungen, fällt n raus: n (r s r s ) n 3 (r 3 s r s 3 ) = Eine spezielle Lösung, bei der man nicht dividieren muss und daher um eine Fallunterscheidung herumkommt ist Einsetzen in die erste Gleichung gibt n = r 3 s r s 3 n 3 = r s r s n r + (r 3 s r s 3 )r + (r s r s )r 3 = Der Summand r 3 r s fällt heraus und man erhält nach Ausklammern von r Mit der Wahl r (n + r 3 s r s 3 ) = n = r s 3 r 3 s sind somit alle Gleichungen erfüllt Ein Normalenvektor ist daher r s 3 r 3 s n = r 3 s r s 3 r s r s Die damit hergeleitete Rechenvorschrift, mit der man einen Vektor finden kann, der senkrecht zu zwei anderen Vektoren steht, verdient einen eigenen Namen und heißt Kreuzprodukt Manchmal sagt man dazu auch Vektorprodukt

31 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Definition 9 (Kreuzprodukt) Die Funktion R 3 R 3 R 3 ist definiert durch x x x 3 y y y 3 = x y 3 x 3 y x 3 y x y 3 x y x y Die beiden wichtigsten Eigenschaften des Kreuzprodukts nochmal kurz zusammengefasst Theorem Seien x, y R 3 mit x, y und z = x y Dann gilt z steht senkrecht auf x und y z = x y sin α, wobei α der Winkel zwischen x und y ist Der Nachweis der zweiten Eigenschaft ist eine ziemliche Rechnerei Die wichtigsten Schritte lassen sich aber leicht nachvollziehen Insbesondere folgt hieraus x y = x y ( x y) = x y cos α = x y sin α x y = genau dann wenn x und y kollinear sind (dann ist sinα = ) oder mindestens einer der beiden gleich dem Nullvektor ist (dann ist x = bzw y = ) Hat man also eine Ebene E = { p + a r + b s a,b R} vorliegen, dann sind r, s und nicht kollinear Folglich ist r s, dh das Kreuzprodukt liefert einen echten Normalenvektor und nicht etwa den Nullvektor, der ja die eingangs gestellten Bedingungen auch erfüllt hätte 5 Hessesche Normalform n r = n s = Ein Normalenvektor zu einer Ebene beschreibt zwar deren Orientierung, die Ebene kann aber immer noch frei im Raum verschoben werden Um eine Ebene also eindeutig festzulegen, muss man zusätzlich zum Normalenvektor n noch einen Punkt p auf der Ebene angeben Die Ebene besteht dann aus allen Punkten x, für die x p senkrecht zu n steht, dh E = { x ( x p) n = }

32 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Da die Länge des Normalenvektors keine Rolle spielt, kann man diesen auf Länge eins normieren Die Beschreibung der Ebene auf diese Weise heißt Hessesche Normalenform Die Umrechnung zwischen der parametrischen Form und der Hesseschen Normalform wird an einem Beispiel illustriert Beispiel Gegeben ist eine Ebene in parametrischer Form E = + a + b a,b R 4 Um die Hessesche Normalform zu berechnen, wird zunächst ein Normalenvektor zu den Richtungsvektoren bestimmt Hierzu berechnet man einfach das Kreuzprodukt: = Somit ist der normierte Normalenvektor zu E n = 6 4 Mit der Wahl von p = 4 E 6 lässt sich somit E in der Hesseschen Normalenform schreiben als E = x x 6 = 4 4 Beispiel Gegeben ist eine Ebene in Hessescher Normalform E = x x 3 = 4 6 Zunächst sucht man zwei nicht kollineare Vektoren, die senkrecht zum Normalenvektor stehen Dies sind zb r =, s = Einen Ortsvektor kann man direkt aus der Hesseschen Normalform entnehmen p = 3 E 4

33 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 33 Damit ist die parametrische Darstellung E = 3 + a + b 4 6 Implizite Form a,b R Eine weitere Möglichkeit, eine affine Ebene zu beschreiben ist eine lineare Gleichung mit 4 Koeffizienten a,b,c,d: E = { x ax + bx + cx 3 = d}, wobei a,b,c nicht gleichzeitig Null sein dürfen Man spricht hier von der impliziten Form der Ebene Wie bei der Hesseschen Normalform kann man in dieser Darstellung sehr einfach durch Einsetzen prüfen, ob ein Punkt x Element der Ebene ist oder nicht Die Umrechnung von der Hesseschen Normalform in die implizite Form geschieht wie folgt: wobei E = { x ( x p) n = } = { x x n p n = } = { x n x + n x + n 3 x 3 = p n} = { x ax + bx + cx 3 = d} a = n, b = n, c = n 3, d = p n Umgekehrt kommt man von der impliziten Darstellung E = { x ax + bx + cx 3 = d} auf die Hessesche Normalform, indem man einen Punkt p wählt, der die Gleichung ap + bp + cp 3 = d erfüllt Da einer der Koeffizient a,b,c sein muss, kann man p auf mindestens eine der drei folgenden Arten mit wenig Rechenaufwand wählen p =, p 3 =, p = d/a falls a p =, p 3 =, p = d/b falls b p =, p =, p 3 = d/c falls c Ein Normalenvektor von E ergibt sich dann als a n = b c Wieso? Seien x, y zwei beliebige Punkte auf der Ebene E = { x ax + bx + cx 3 = d}

34 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 34 dann steht n senkrecht auf x y, denn ( x y) n = x n y n = ax + bx + cx 3 (ay + by + cy 3 ) = d d = Die Hessesche Normalform ist dann { E = x ( x p) } n n 7 Ebenensegmente Ähnlich wie bei Geraden kann man auch bei Ebenen ausgehend von der parametrischen Form den Parameterbereich auf endliche Intervalle einschränken und dadurch Ebenensegmente erzeugen Definition 3 (Ebenensegment) Eine Menge E R n heißt Ebenensegment, wenn es p, r, s R n mit r, s und r, s nicht kollinear sowie a,a,b,b R mit a a und b b gibt so dass E = { p + a r + b s a a a,b b b } Geometrisch hat ein Ebenensegment die Form eines Parallelogramms, siehe Bild 5 auf Seite 8 Auch hier kann man die Parameterbereiche wieder auf die Intervalle [, ] normieren Man nimmt einfach die drei Punkte x, y, z der Ebene, die zu den Parameterwerten (a,b ), (a,b ) und (a,b ) gehören Hieraus berechnet man die parametrische Form, schränkt aber die Parameter Intervalle auf [,] ein E = { p + a r + b s a a a,b b b } = { x + a( y x) + b( z x) a, b } = { p + a r + b s + a(a a ) r + b(b b ) s a, b }} Das Ergebnis ist in Bild 6 dargestellt 3 Schnittpunkt von Ebenen und Geraden Die prinzipielle Vorgehensweise zur Erzeugung superrealistischer Bilder mit der Ray Tracing Technik ist in Bild 7 dargestellt Man stellt sich vor, der Bildschirm wäre das Fenster zu einer virtuellen Welt, die dahinter aufgebaut ist Ausgehend vom Auge des Benutzers wird eine Gerade durch jeden Pixel des Bildschirms gezeichnet und verlängert, bis sie auf ein Objekt der virtuellen Welt trifft Die Farbe des Objekts an der Stelle des Schnittpunkts bestimmt dann die Farbe des Pixels Zur Berechnung der Farbe des Objekts im Schnittpunkt überlegt man von welchen Lichtquellen der Punkt angestrahlt wird und unter welchem Winkel die Strahlen dort eintreffen Zahlreiche Verbesserungen

35 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 35 y x y x z x z Abbildung 6: Affines Ebenensegment mit Parameterwerten aus [,] Pixel Schnittpunkt Objekt Auge Lichtquelle Bildschirm Abbildung 7: Prinzipielle Vorgehensweise beim Ray Tracing

36 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 36 dieses Verfahrens sind bekannt, die ua auch mehrfach reflektierte Lichtstrahlen berücksichtigen Der Rechenaufwand steigt hierbei allerdings enorm Die Oberflächen der virtuellen Objekte sind in der Regel durch ebene Polygone gegeben Eine elementare Operation beim Ray Tracing ist somit die Berechnung des Schnittpunktes einer Geraden mit einem Polygon Hierbei wird zunächst vernachlässigt, dass das Polygon begrenzt ist Damit ist man beim Problem der Berechnung des Schnittpunktes einer Ebenen und einer Geraden im dreidimensionalen Raum In der Regel schneiden sich eine Ebene E und eine Gerade G in genau einem Punkt, dh E G ist eine einelementige Menge Es gibt jedoch zwei Ausnahmen, nämlich dann wenn E und G parallel zueinander verlaufen: E und G schneiden sich überhaupt nicht, dh E G = G liegt komplett in E, dh G E und somit E G = G Tatsächlich handelt es sich hierbei um Spezialfälle, denn eine zufällig gewählte Ebene und Gerae sind mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht parallel 3 Genau ein Schnittpunkt Gegeben ist die Ebene E und die Gerade G durch 3 E = + a + b 3 a,b R G = 6 + a 4 a R 8 Gesucht ist die Menge E G, dh die Menge aller Vektoren x für, die sowohl x G als auch x E gilt Da die gebundene Variable a sowohl in der Definition von E als auch in der Definition von G auftritt und dies zu Problemen führt wenn ein konkreter Wert für a einmal für die Ebene und einmal für die Gerade berechnet werden soll, wird zunächst a in der Geraden durch c umbenannt Diesen Vorgang nennt man auch gebundene Umbenennung Somit ist also G = c 3 4 c R Die Bedingungen x E und x G sind nun wie folgt: 3 x = + a + b 3 für ein a,b R x = c 3 4 für ein c R

37 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 37 Gesucht sind somit a, b, c R so dass 3 + a + b bzw nach Umformen a + b c = c = Schreibt man die einzelnen Vektorkomponenten separat hin, erhält man drei lineare Gleichungen in den Unbekannten a,b,c: a b + 3c = 5 a + 3b + 4c = 8 4a + 6b + c = 7 Dieses lineare Gleichungssystem kann man zb mit dem Gauß Algorithmus lösen und erhält a = 33/6, b = 5/8, c = / Man kann nun a und b in die Ebenengleichung oder c in die Geradengleichung einsetzen In beiden Fällen kommt man zum gleichen Schnittpunkt 3 x = + 33/6 + 5/ dh = = / 3/ 4 3, E G = 3 4 3/ 4 3 Die Berechnung des Schnittpunkts einer Ebenen und einer Geraden läuft also auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems hinaus Solche Systeme kann man wie folgt mit dem Gauß Algorithmus lösen Hierbei stellt man auch fest, ob die Ebene und die Geraden parallel sind und ob in diesem Fall keine Lösung existiert oder die ganze Gerade die Schnittmenge ist Kehren wir zu dem linearen Gleichungssystem a b + 3c = 5 () a + 3b + 4c = 8 () 4a + 6b + c = 7 (3) zurück Es liegen 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten a,b,c vor Der erste Schritt ist nun, a aus Gleichung () und (3) zu elimineren und zwar dadurch, dass ein geeignetes Vielfaches von () zu () bzw (3) addiert wird

38 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 38 Damit a aus () verschwindet, muss () mit multipliziert und zu () addiert werden Damit a aus (3) verschwindet, muss () mit multipliziert und zu () addiert werden Gleichung () wird unverändert übernommen Man erhält somit das lineare Gleichungssystem a b + 3c = 5 ( ) = () 4b + c = 3 ( ) = () () 8b + 4c = 7 (3 ) = (3) (), welches die selben Lösungen wie das ursprüngliche System hat Der nächste Schritt ist b aus Gleichung (3 ) zu eliminieren und zwar dadurch, dass ein geeignetes Vielfaches von ( ) zu (3 ) addiert wird Damit c aus (3 ) verschwindet, muss ( ) mit multipliziert werden und zu (3) addiert werden Gleichung ( ) und ( ) werden unverändert übernommen Man erhält somit das lineare Gleichungssystem a b + 3c = 5 ( ) = ( ) 4b + c = 3 ( ) = ( ) c = (3 ) = (3 ) ( ), welches wiederum die selben Lösungen wie das ursprüngliche System hat Aufgrund seiner Dreiecksstruktur kann man bei diesem System aber die Lösung unmittelbar durch Rückwärtseinsetzen ablesen: Aus Gleichung (3 ) erhält man c = / Setzt man c in ( ) ein, erhält man und damit b = 5/8 4b + / = 3 Setzt man c und b in ( ) ein, erhält man und damit a = 33/6 3 Kein Schnittpunkt a 5/8 + 3/ = 5 Als nächstes betrachten wir einen Spezialfall, bei dem die Ebene und die Gerade parallel verlaufen und keinen Schnittpunkt haben Sei E = G = a + c b 3 4 c R a,b R

39 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 39 Die Berechung von E G führt auf die Vektorgleichung a + b 4 = + c 3 3 a + b 4 + c 3 =, 3 3 bzw auf das lineare Gleichungssystem a + 3b c = () a + 4b 3c = () a + b 3c = 3 (3) Wie im vorigen Beispiel wird zunächst a aus Gleichung () und (3) eliminert, indem man zu diesen Gleichungen ein geeignetes Vielfaches der Gleichung () addiert: a + 3b c = ( ) = () 5/b 5/c = ( ) = () / () 4b 4c = (3 ) = (3) + () Als nächstes wird b aus Gleichung (3 ) eliminert, indem man ein geeignetes Vielfaches von Gleichung ( ) addiert: a + 3b c = ( ) = ( ) 5/b 5/c = ( ) = ( ) c = /5 (3 ) = (3) 8/5 ( ) Offensichtlich existiert kein c, das die letzte Gleichung c = /5 erfüllt Somit hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung und daraus folgt, dass E G = 33 Unendlich viele Schnittpunkte Zum Schluss noch ein Beispiel für den dritten Fall, wenn die Gerade G komplett in der Ebene E liegt Dies erkennt man daran, dass das Gleichungssystem für beliebige Werte von c lösbar ist, dh jeder Punkt von G ist Schnittpunkt von E und G Sei zb E = G = 4 + a + c b 4 a,b R c R Die Berechung von E G führt auf die Vektorgleichung a + b 4 = + c 3 5 a + b 4 + c 5 =, 5 5

40 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 bzw auf das lineare Gleichungssystem a + 3b 5c = () a + 4b 5c = () a + b + c = (3) Nach der Elimination von a aus Gleichung () und (3) unter Verwendung von () entsteht das System a + 3b 5c = ( ) = () 5/b 5/c = ( ) = () / () 4b 4c = (3 ) = (3) + () Eliminiert man b aus (3 ) unter Verwendung von ( ) erhält man a + 3b 5c = ( ) = ( ) 5/b 5/c = ( ) = ( ) c = (3 ) = (3) 8/5 ( ) Die letzte Gleichung c = ist für beliebiges c R erfüllt und somit ist E G = G Zur Kontrolle kann man noch ( ) und ( ) nach a und b auflösen und erhält a = c, b = c Setzt man diese Werte in die Gleichung von E ein, erhält man ebenfalls die Schnittgerade G (c ) + c 4 c R 4 3 = + c + c 4 c R 5 = + c 5 c R

41 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 3 Spannräume 3 Linearkombinationen In der linearen Algebra hat man es meistens mit gewichteten Summen von Vektoren zu tun, dh mit Ausdrücken der Form x a + x a + + x n a n Solche Ausdrücke nennt man Linearkombinationen von a, a,, a n Für n = bzw n = sind uns Linearkombinationen bereits in Form von Geraden bzw Ebenen im R 3 begegnet Die miteinander linear kombinierten Vektoren waren die Richtungsvektoren In Kapitel 6 werden wir sehen, dass alle linearen Funktionen und damit die wichtigsten geometrischen Transformationen der Computer Grafik nichts anderes als Linearkombinationen sind Lineare Gleichungssysteme, mit denen wir uns im nächsten Kapitel beschäftigen werden, haben die Form x a + x a + + x n a n = b für gegeben Vektoren a,, a n und b Gesucht sind die Koeffizienten x,,x n der Linearkombination auf der linken Seite Definition 3 (Linearkombination, Spannraum) Ein Vektor b R m heißt Linearkombination von a, a,, a n R m wenn es gibt so dass x,x,,x n R b = x a + x a + + x n a n Die Menge aller Linearkombinationen L( a, a,, a n ) = {x a + x a + + x n a n x i R} R m von a, a,, a n heißt Spannraum von a, a,, a n Man sagt auch L( a, a,, a n ) wird von den Vektoren a, a,, a n aufgespannt oder erzeugt Dazu stellt man sich die a i als Streben eines Regenschirms vor und L( a, a,, a n ) als den von ihnen aufgespannten Stoff Beispiel 3 Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen sind Beispiele von Spannräumen, die von einem bzw zwei Vektoren aufgespannt werden So gilt {x a x R} = L( a) {x a + y b x,y R} = L( a, b) (Ursprungsgerade) (Ursprungsebene)

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