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1 Lernaufgaben Mathematik Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten Arbeitsbereich 2 - Bildungsforschung, Evaluation und Schulentwicklung Bereits vor Schuleintritt machen Kinder vielfältige Erfahrungen im Bereich der Leitidee Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeit zu den inhaltsbezogenen Kompetenzen im Mathematikunterricht der Grundschule. Im Alltag werden Kinder mit Fragestellungen des Zufalls und der wiederkehrenden Häufigkeit fortlaufend konfrontiert. Im Teilbereich Daten erfahren die Schülerinnen und Schüler den Umgang mit einem erhobenen Datenwerk. Sie lernen, diese Daten zu sammeln, darzustellen, zu lesen und zu interpretieren. Der Bereich Häufigkeiten umfasst Fragestellungen der Kombinatorik. Verschiedene Möglichkeiten sowie systematisches Darstellen und Zählen stehen im Mittelpunkt. Zentrale Fragestellungen des Schwerpunkts Wahrscheinlichkeiten behandeln den Zufall. Dabei stellen die Kinder Überlegungen zum Eintritt eines Ereignisses vor dem Hintergrund einer vorausgesetzten Gegebenheit an. Beim Sammeln von Daten, Festestellen von Häufigkeiten und Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten lösen wir unsere Aufmerksamkeit vom zufälligen Einzelfall und richten sie auf die Gesamtheit; diese Gesamtheit und ihre Eigenschaften mit mathematischen Mitteln zu beschreiben, ist das Ziel. 1 Die Bildungsstandards führen folgende Aspekte zu Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten auf 2 : Daten erfassen und darstellen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen Die Richtlinien und Lehrpläne für die Grundschule in NRW knüpfen an die Bildungsstandards an und benennen die Schwerpunkte Daten und Häufigkeiten sowie Wahrscheinlichkeiten. 3 Daten und Häufigkeiten Im Zusammenhang mit Daten und Häufigkeiten verweist der Lehrplan NRW auf die konkrete Datensammlung von Daten aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Diese gewonnenen Datenmengen werden gedeutet und in Darstellungen umgesetzt. Ebenso dienen gegebene Darstellungen zur Entnahme von Zahlen und deren Interpretation. RUWISCH sieht im kompetenten Umgang mit Daten zwei Seiten einer Medaille: 4 Einerseits sollen die Schülerinnen und Schüler eigene Daten erheben, strukturieren, darstellen, Hasemann, K./Mirwald, E.: Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten, In: Walther, G./van den Heuvel-Panhuizen,M./Granzer, D./Köller, O. (2008): Bildungsstandards für die Grundschule: mathematik konkret, S. 141 Beschlüsse der Kultusministerkonferenz (2004): Bildungsstandards für den Primarbereich, S. 11 vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung in NRW (2008): Richtlinien und Lehrpläne für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen, S. 66 Ruwisch, S.: Daten frühzeitig thematisieren, In: Grundschule Mathematik, H.21/2009, S. 4

2 vergleichen und verarbeiten. Andererseits sollen Kinder mit gegebenen Daten handeln. Eine Datenmenge soll gelesen, verstanden, hinterfragt und überprüft werden. Für das unterrichtliche Geschehen bedeutet dieses, dass Schülerinnen und Schüler zunächst Fertigkeiten im Erheben von Datensätzen erwerben müssen. Dabei erkennen die Kinder, dass Daten flüchtig sind und daher in geeigneter Form festgehalten (dargestellt) werden müssen. 5 Die Schülerinnen und Schüler entscheiden mit wachsendem Lernfortschritt über die geeignete Darstellung der Daten im Hinblick auf den Zweck der Datensammlung. Schließlich sind sie in der Lage, Daten aus Darstellungen zu gewinnen, kritisch zu überprüfen und zu interpretieren. Wahrscheinlichkeiten Die Kompetenzerwartungen Wahrscheinlichkeiten des Lehrplans NRW geben die Anzahlbestimmung einfacher kombinatorischer Fragestellungen an und die Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten hinsichtlich des Eintritts eines Ereignisses. Ziel des Umgangs mit Wahrscheinlichkeiten ist es, diese in ihrer Bedeutung zu verstehen, sie mit mathematischen Mitteln auszudrücken und so vergleichbar zu machen. 6 Ein mathematischer Fachwortschatz, der hier nicht nur prozessbezogene Kompetenzen, wie Argumentieren, Kommunizieren, u. a., unterstützt, ist von elementarer Bedeutung für den Unterricht. Begrifflichkeiten wie sicher (ein Ereignis tritt immer ein), sehr wahrscheinlich, unwahrscheinlich (das Eintreten des Ereignisses ist möglich, aber nicht sicher; es gibt die Möglichkeit des Nicht-Eintretens) und unmöglich (ein Ereignis tritt in keinem Fall ein) können sehr wertvoll sein. SCHWARZKOPF betont eine experimentelle Zugänglichkeit zu Wahrscheinlichkeiten. 7 Die Schülerinnen und Schüler erleben aktiv-entdeckend Zufallsexperimente und untersuchen diese hinsichtlich des Eintritts von Aussagen und Vermutungen vor dem Hintergrund der Wahrscheinlichkeit. Die Leitidee Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten bietet darüber hinaus zahlreiche Anknüpfungspunkte zu inhalts- wie auch prozessbezogenen Kompetenzen. Beispielsweise sind Verknüpfungen zu Schwerpunkten der inhaltsbezogenen Kompetenz Größen und Messen denkbar. So sind Fragestellungen möglich, die eine Verbindung zum Umgang mit gemessenen Daten aus der Lebenswirklichkeit ziehen. Der Umgang mit Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten im Unterricht impliziert die prozessbezogenen Kompetenzen in einem hohen Maß. Die Kinder modellieren, indem die Daten aus der Lebenswirklichkeit innermathematische nutzen. Sie stellen diese in zutreffenden Schaubildern, Tabellen, o. ä. dar. Bei der Deutung der Darstellungen argumentieren und kommunizieren die Schülerinnen und Schüler. Bei Wahrscheinlichkeitsexperimenten kommt das Problemlösen zum Tragen. Innerhalb einer Vergleichsarbeit sollen die Kinder auf ihre im Unterricht gemachten Vorerfahrungen zurückgreifen. Dabei sollen sie Kompetenzen im Umgang und Lesen mit einfachen Datenwerken abrufen. Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten sollen mit Hilfe geeigneter Begrifflichkeiten zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeit eines eintretenden Ereignisses getroffen werden vgl. Hasemann, K.: Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten, In: Müller, G.N./Selter, Chr./Wittmann, E.Chr.(2012): Zahlen, Muster und Strukturen, S. 188 vgl. Hasemann, K./Mirwald, E.: Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten, In: Walther, G./van den Heuvel-Panhuizen,M./Granzer, D./Köller, O. (2008): Bildungsstandards für die Grundschule: mathematik konkret, S. 150 vgl. Schwarzkopf, R.: Wer gewinnt? Dem Zufall auf der Spur, In: Müller, G.N./Selter, Chr./Wittmann, E.Chr.(2012): Zahlen, Muster und Strukturen, S. 183

3 Aufgabenbeispiel Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Mathematik Bereich: Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit Klasse: 3/4 Schwerpunkt: Daten, Häufigkeit Vorhaben: Daten und Informationen aus verschiedenen Diagrammtypen ablesen und übertragen Titel der Lernaufgabe: Der Wald und seine Tiere Kompetenzerwartungen Lernvoraussetzungen mit Darstellungen in verschiedenen Diagrammtypen und Tabelle vertraut sein Informationen aus Tabellen entnehmen können Informationen aus Texten entnehmen können Kompetenzerwartungen Die Schülerinnen und Schüler sammeln Daten aus der unmittelbaren Lebnswirklichkeit und stellen sie in Diagrammen und Tabellen dar (...) entnehmen Kalendern, Diagrammen und Tabellen Daten und ziehen sie zur Beantwortung von mathematikhaltigen Fragen heran Übergreifende Kompetenzen Sachsituationen und Sachaufgaben Informationen entnehmen und entscheiden zwischen relevanten und nicht relevanten Informationen in Lerngruppen kommunizieren die gemeinsame Arbeit reflektieren Lernergebnisse darstellen und präsentieren Sachinformation: Diagramme bieten die Möglichkeit, Daten in übersichtlicher Form zu präsentieren. Für die Grundschule ist die Unterscheidung von Säulen-, Balken und Kreisdiagramme angedacht. Balken- und Säulendiagramme Balken- und Säulendiagramme werden sehr häufig als Darstellungsform genutzt und unterscheiden sich durch die Anordnung der Balken. Das Säulendiagramm weist senkrechte Strecken auf während die Strecken beim Balkendiagramm waagerecht angeordnet sind. Häufig werden die Daten nicht durch Striche, sondern durch rechteckige Flächen abgebildet. Kreisdiagramm Durch ein Kreisdiagramm werden die Teilwerte eines Ganzen dargestellt. Grundschüler können in einem Kreisdiagramm nur wenige Winkel selbst einzeichnen bzw. abmessen. Dieses Diagramm sollte aber gedeutet und abgelesen werden können.

4 Nachdem sich die Schülerinnen und Schüler mit den verschiedenen Diagrammformen auseinander gesetzt haben, vertieft das Erstellen von eigenen Diagrammen die erworbenen Kompetenzen. Um eigene Diagramme zu erstellen, ist zunächst die Erhebung von Daten notwendig. Die Schülerinnen und Schüler müssen aus der Lebenswirklichkeit, aus Texten und Tabellen hinsichtlich einer Fragestellung geeignete Daten entnehmen und als Merkmalsausprägung notieren. Danach stellen sich für die Schüler verschiedene Fragen hinsichtlich der Darstellung des Diagramms. Zunächst gilt es, einen geeigneten Diagrammtyp auszuwählen, eine Skalierung festzulegen, das Diagramm ordentlich und sorgfältig zu zeichnen, die Achsen zu beschriften und die Darstellung mit einer Überschrift zu versehen. Anforderungsbereiche: Anforderungsbereiche Bildungsstandards Aufgabenbeispiel AB I: Reproduzieren AB II: Zusammenhänge herstellen AB III: Verallgemeinern und Reflektieren Die Schülerinnen und Schüler geben bekannte Informationen wieder und wenden grundlegende Verfahren und Routinen an. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten vertraute Sachverhalte, in dem sie erworbenes Wissen und bekannte Methoden anwenden und miteinander verknüpfen. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten für sie neue Problemstellungen, die eigenständige Beurteilungen und eigene Lösungsansätze erfordern. Die Schülerinnen und Schüler lesen Informationen aus den verschiedenen Diagrammen ab. Die Schülerinnen und Schüler erkennen Informationen aus Tabellen und Schaubildern und können sie in eine andere Darstellungsform übertragen. Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Aussagen von Diagrammen, erarbeiten sich die Skalierung und übertragen diese Information. Quellenverzeichnis Cottmann, K. (2010): Zahlen und Größen in Diagrammen veranschaulichen. In: Grundschule Mathematik. H. 24, S Hasemann, K. (2009): Meilensteine bei der Kompetenzentwicklung im Bereich Daten. In: Grundschule Mathematik. H. 21, S Neubert, B. (2009): Daten erfassen und darstellen in der Grundschule. Verfügbar unter: thueringen.de/c/document_library/get_file?folderid= &name=dlfe pdf (Abruf am ). Ruwisch, S. (2009): Beschreibende Statistik. In: Grundschule Mathematik. H. 21, S Weiss, B. (2010): Diagramme erstellen. In: Praxis Grundschule. H. 3, S

5 Daten und Häufigkeiten 1. Tabellen Waldtier Gewicht eines Jungtieres bei der Geburt Dachs 100g Eichhörnchen 8g Hermelin 3g Igel 25g Maus 1g Reh 1500g Rotfuchs 150g Wildschwein 1000g AB 1: Reproduzieren Wie viel wiegt das Jungtier eines Igels? Welches Tier bekommt den leichtesten Nachwuchs? 2. Säulendiagramme AB 1: Reproduzieren Wie viele Jungtiere bekommt ein Reh? Wie viele Jungtiere bekommt eine Maus? Bekommt ein Igel oder ein Reh mehr Jungtiere? Welches Tier bekommt die meisten Jungtiere? AB 2: Zusammenhänge herstellen Ein Hermelin bekommt dreimal so viele Jungtiere wie ein Dachs. Zeichne die Säule für den Dachs ein.

6 AB 3: Verallgemeinern und Reflektieren Eine Maus bekommt 10 Jungtiere. Das Eichhörnchen bekommt 6 Jungtiere. Zeichne die Säule für das Eichhörnchen ein. Anzahl der Jungtiere 3. Balkendiagramm Anteil der Baumarten beim Aufbau eines Waldes AB 1: Reproduzieren Welche Baumart kommt am häufigsten im Wald vor? Welche Baumart kommt am wenigsten im Wald vor? AB 2: Zusammenhänge herstellen In der Tabelle sind die Baumarten eines Waldes angegeben. Kiefern Eichen Buchen Fichten Ergänze das Diagramm passend zur Tabelle.

7 4. Kreisdiagramm Eichen Kiefern Fichten Buchen AB 1: Reproduzieren Welche Baumart kommt am häufigsten im Wald vor? Welche Baumarten kommen gleich oft vor? AB 2: Zusammenhänge herstellen In einem Wald stehen 100 Bäume, davon sind 50 Fichten 30 Buchen 10 Kiefern und 10 Eichen. Welche Darstellung passt nicht zu den Angaben?

8 Diagramm 1 Kiefern Eichen Buchen Fichten Diagramm 2 Diagramm 3

9 AB 3: Verallgemeinern und Reflektieren In einem Mischwald stehen 100 Bäume. Es sind 60 Fichten, 20 Eichen, 10 Buchen und 10 Kiefern. Skizziere ein passendes Kreisdiagramm:

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