Statische Optimierung unter Gleichungsrestriktionen (Lagrange)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Statische Optimierung unter Gleichungsrestriktionen (Lagrange)"

Transkript

1 Kapitel 2 Statische Optimierung unter Gleichungsrestriktionen (Lagrange) 21 Einleitung/Ziel/Bedeutung/Übersicht Viele ökonomischen Fragestellungen bestehen im Kern zwar aus einem statischen Optimierungsproblem, allerdings ist die Optimierung unter Restriktionen durchzuführen Beispiele dafür sind: Unternehmen: Maximierung der Produktionsmenge f(x 1,,x n ) über die Faktoreinsatzmengen x 1,,x n bei konstant gehaltenen Produktionskosten g(x 1,,x n ) Unternehmen: Minimierung der Produktionskosten bei vorgegebener Produktionsmenge, wobei wieder über die Produktionsfaktor(meng)en x 1,,x n optimiert wird Haushalte: Maximierung des Nutzens U(x 1,,x n ) als Funktion der Konsumgütermengen x 1,,x n bei vorgegebenem Einkommen (Budget-Restriktion) Haushalte: Minimierung der Ausgaben bei unverändertem Nutzen Bei jedem dieser Probleme ist die unrestringierte Optimierung der Zielfunktion idr trivial und daher von geringem Interesse Zum Beispiel wird die unrestringierte Maximierung der Produktion eines Unternehmens idr zum trivialen Ergebnis führen, dass man dazu unendlich große Mengen x i der Produktionsfaktoren einsetzen sollte Erst wenn eine Kostenrestriktion vorliegt, dh die Kosten des Einsatzes der Produktionsfaktoren limitiert werden, entsteht ein interessantes Problem (das der effizienten Verwendung der Faktoren) Wir betrachten daher in diesem Kapitel das Problem der Optimierung einer Zielfunktion f(x 1,,x n ) unter Gleichungsrestriktionen der Form g j (x 1,,x n )=c j für j =1,,m Auf den ersten Blick ist folgendes Vorgehen naheliegend: Man eliminiert mittels der Restriktionen m der n Variablen und gelangt so zu einem unrestringierten Problem in n m Variablen, auf das man die Theorie des vorherigen Kapitels anwenden kann Obwohl dieses Vorgehen durchaus existenzberechtigt ist, wird in ökonom Anwendungen eine andere Methode vorgezogen: Die Lagrange-Methode, die mit den Lagr-Multiplikatoren die Zahl der Variablen sogar noch erhöht Ein Grund dafür ist, dass die Lagrange-Multiplikatoren relevante Informationen enthalten Ein anderer Grund liegt darin, dass sich die Lagrange- Methode auf den Fall der (schwierigeren) Ungleichungsrestriktionen verallgemeinert Wir behandeln in diesem Abschnitt notwendige und hinreichende Bedingungen für Optimalität der stationären Pkte der Lagrange-Fkt sowie einige darüber hinausgehende Themen 11

2 12 Statische Optimierung Lagrange 22 Lagrange-Methode bei einer Restriktion Es soll zunächst der Fall einer einzigen Nebenbedingung behandelt werden Eine solche Nebenbedingung lässt sich durch eine Gleichung g(x 1,,x n )=c beschreiben, wobei g : D R n R eine Funktion der gleichen Variablen x 1,,x n wie die der Zielfunktion ist Geometrisch gesehen, bewegt man sich also auf einer Isoquante der Funktion g: Es sind die (lokalen) Extrema der Zielfunktion f gesucht, wenn diese auf die durch das Niveau c festgelegte Isoquante von g restringiert wird In zwei Dimensionen ergibt sich folgendes Bild: f Lösung des unrestringierten Problems Graph von f (x,y) Lösung des restringierten Problems Im Punkt (x,y) ist der Gradient von f nicht parallel zum Gradienten von g g x,y y Daher kann man sich auf der Restriktion g(x,y) = c in eine Richtung bewegen, auf der sich die Zielfkt f vergrößert x Isoquanten von f f x,y Restriktion g(x,y) = c Also kann (x,y) nicht Lösung des Problems max f(x,y) udnb g(x,y) = c sein Die Abbildung legt nahe: Solange der Gradient von f nicht senkrecht zur Restriktionskurve, der Isoquante {g(x) = c}, steht, gibt dieser Gradient eine Richtung vor, längs der man eine Vergrößerung der Zielfunktion erreicht, indem man sich auf der Restriktionskurve in eben diese Richtung bewegt Erst wenn f senkrecht zur Restriktionskurve, und damit parallel zu deren Normalenvektor g, verläuft, besteht zumindest lokal diese Möglichkeit nicht mehr Die Parallelität von f und g ist also eine notwendige Bedingung für ein lokales Maximum von f auf einer Isoquante von g, wie wohl JLLagrange als erster erkannte: Satz 21 (Lagrange-Methode: Notwendige Bedingung) Es seien f,g : D R n R stetig differenzierbare Funktionen auf einem Gebiet D im R n Es sei x ein lokales Extremum von f unter der Restriktion g(x) =c und g(x) Dann existiert ein λ R, dasmanalslagrange-multiplikator bezeichnet, mit f(x) = λ g(x) Die Aussage dieses Satzes lässt sich auf eine interessante Weise umdeuten, indem man die Lagrange-Funktion des Problems bildet: 1 L(λ, x) :=f(x)+λ (g(x) c) Das ursprüngliche, restringierte Optimierungsproblem ist äquivalent zu einem unrestringierten Optimierungsproblem mit der Lagrange-Funktion L als Zielfunktion in den (insgesamt n + 1) Variablen λ sowie x 1,,x n im folgenden Sinne: 1 Im Hinblick auf die hinreichende Bedingung bilden wir in diesem Kapitel die Lagrange-Funktion mit +λ statt, wie meistens in ökonomischen Anwendungen, mit λ Aus dem gleichen Grund behandeln wir λ als erste (nicht als letzte) Variable der Lagrange-Funktion

3 c KH Schild, Abt Statistik, Fb Wiwi, Uni Marburg 13 DienotwendigeBedingung f(x) = λ g(x) des Satzes zusammen mit der Nebenbedingung g(x) =c ist äquivalent zu der notwendigen Bedingung für ein unrestringiertes Optimierungsproblem bzgl L, dhzu Das folgt unmittelbar aus den Identitäten: L(λ, x) = (λ, x) = g(x) c λ (λ, x) = f (x)+λ (x), x 1 x 1 x 1 x n (λ, x) = f x n (x)+λ x n (x) Mit anderen Worten: In Bezug auf die Bedingungen erster Ordnung unterscheidet sich das restringierte Problem nicht von einem unrestringierten, aber(n + 1)-dimensionalen Problem mit der Lagrange-Funktion als Zielfunktion In diesem Sinne haben beide Probleme die gleichen stationären Punkte Beispiel: Gegeben ist die Funktion f : R 2 R, f(x, y) = 1 2 x2 + y 2 +2y + 1, die unter der Restriktion g(x, y) :=x + y =8 zu maximieren oder minimieren ist Die Lagrange-Funktion lautet L(λ, x) =L(λ, x, y) = 1 2 x2 + y 2 +2y λ (x + y 8) Partielle Differentiation nach λ sowie x, y und anschließendes Nullsetzen der Ableitungen liefert das folgende Gleichungssystem (notwendige Bedingung für das unrestringierte Problem bzgl L): λ =+(x + y 8)! =, x = x + λ! =, y =2y +2+λ! = Dies ist (hier) ein lineares Gleichungssystem in den drei Variablen (λ, x, y) Die Lösung ergibt sich als: x = 54, y =26undλ = 54 Ökonomische Anwendungen der Lagrange-Methode enden oft an dieser Stelle mit der Aussage, dass die Lösung gefunden ist Allerdings ist ungeklärt, ob der stationäre Punkt überhaupt eine Extremstelle ist und, falls ja, ob es ein Maximum oder Minimum ist Offen ist auch die Frage, ob es sich dabei um ein globales Maximum bzw Minimum handelt Man könnte nun vermuten, dass sich eine hinreichende Bedingung (für das Vorliegen eines lokalen Extremums in einem stat Pkt des restr Problems) mit Hilfe der Definitheit der (gesamten) Hesse-Matrix der Lagrange-Fkt formulieren lässt Das gilt allerdings nur eingeschränkt: Das lokal konvexe bzw konkave Verhalten ist beim restringierten Problem mit einer Teilmenge der Hurwitz-Determinanten der Hesse-Matrix von L im stat Pkt (λ, x )zuerfassen

4 14 Statische Optimierung Lagrange Die Hesse-Matrix der Lagrange-Fkt L(λ, x) =f(x)+λ ( g(x) c ) hat folgende Struktur: λ λ x 1 λ x n λ x 1 x n H L (λ, x) = λ x 1 x 1 x 1 x n x 1 = x 1 x 1 x 1 x n x 1 λ x n x 1 x n x n x n x n x 1 x n x n x n Diese Matrix wird auch als geränderte Hesse-Matrix ( bordered Hessian matrix ) des Problems bezeichnet 2 Mit x 1 x k d k = d k (λ, x) := x 1 x 1 x 1 x k x 1 x k x 1 x k x k x k bezeichnen wir die Hauptunterdeterminanten der geränderten Hesse-Matrix (wobei wir die Zählung beibeginnen,sodassdiereuntereeckevon d k auf 2 L x k x k liegt); es gilt immer d = Satz 22 (Lagrange-Methode: Hinreichende Bedingung) Die Funktion f sei zweimal, die Funktion g einmal stetig differenzierbar Es sei (λ, x ) ein stationärer Punkt der Lagrange-Funktion L(λ, x ) und g(x ) Danngilt: Sind die letzen n 1 Hauptunterdeterminanten von H L (λ, x ) alle negativ, dh d 2 <,, d n <, soistx eine lokale Minimalstelle des restringierten Problems Haben die letzten n 1 Hauptunterdeterminanten von H L (λ, x ) alternierende Vorzeichen beginnend mit + (dh d 2 >, d 3 <, ), soistx eine lokale Maximalstelle des restringierten Problems Die Zahl der zu überprüfenden Determinanten entspricht der Zahl der Freiheitsgrade des Problems Die Nebenbedingung reduziert diese von n auf n 1 Im Fall eines Problems mit n =2Variablen(won 1 = 1) ist nur eine Determinante, nämlich x 1 x 2 d 2 = x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 2 Die Einträge in der rechten unteren Teilmatrix von H L(λ, x) ergeben sich als Die geränderte Hesse-Matrix hat also folgende Blockstruktur ( ) g(x) H L(λ, x) = g(x) H f (x)+λh g(x) x j = 2 f x j + λ 2 g x j Man beachte, dass sich die re untere n n-teilmatrix (nur) im Fall einer linearen Restriktionsfunktion g ( H g = O) auf die Hesse-Matrix der Zielfunktion H f (x) reduziert

5 c KH Schild, Abt Statistik, Fb Wiwi, Uni Marburg 15 zu überprüfen: d 2 < Minimalstelle, d 2 > Maximalstelle, d 2 = keine Aussage Beispiel Fortsetzung von f(x, y) := 1 2 x2 + y 2 +2y + 1 u d NBd g(x, y) :=x + y = 8 Die Lagrange-Funktion war L(λ, x) =L(λ, x, y) = 1 2 x2 + y 2 +2y λ (x + y 8), deren partielle Ableitungen erster Ordnung ergaben sich zu: λ = x + y 8, x = x + λ, y =2y +2+λ Damit ergibt sich für die 3 3-Hesse-Matrix von L: H L (λ, x) = x y x x x x y y y x y y = Die Determinante d 2 dieser Matrix errechnet sich mit Sarrus-Regel zu: d 2 = = 3 < Damit liegt im oben berechneten stationären Punkt eine lokale Minimalstelle vor Beispiel 2: Wir betrachten im R 3 das Problem, denjenigen Punkt (x,y,z ) aus einer gegebenen Ebene (wir nehmen die zum Vektor (1, 1, 1) senkrechte Ebene durch den Ursprung) zu finden, der den minimalen Abstand zu einem gegeb Punkt y realisiert (wir wählen y = (2,,1)) 3 Wir können dies als restringiertes Optimierungsproblem formulieren (wobei wir aus rechentechnischen Gründen als Zielfkt nicht den Abstand, sondern das halbe Abstandsquadrat nehmen): min f(x, y, z) := 1 2 (x 2) (y ) (z 1)2 udnb g(x, y, z) :=x + y + z = Mit der Lagrange-Funktion L(λ, x, y, z) = 1 2 (x 2) (y ) (z 1)2 + λ ( x + y + z ) wird die Stationaritätsbedingung zu: L λ = x + y + z = λ L x = x 2+λ = L 1 1 x y = y + λ = 1 1 y = 2 L z = z 1+λ = 1 1 z 1 Als Lösung dieses 4 4 linearen GlSystems und damit einzigem stationären Punkt der Lagrange- Funktion erhält man (λ =1,x =1,y = 1,z =) Die Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion ist genau die Koeffizientenmatrix des lin GlSystems Die hinreichende Bedingung involviert die beiden letzten Hurwitz-Determinanten dieser Matrix: d 2 = = 1 1= 2, d3 = = d 2 = 1 2= 3 (Lapl 4Zl) Da beide negativ sind, ist (x =1,y = 1,z = ) lok Minimum des restringierten Problems 3 Im R 3 könnten wir dieses Problem auch geometrisch lösen indem wir das Lot von y auf die Ebene fällen, dh y orthogonal auf die Ebene projizieren Das skizzierte Problem läßt sich auch als Version der Ausgleichsrechnung wie im letzten Kapitel interpretieren: Man regressiert y auf die Ebene

6 16 Statische Optimierung Lagrange 221 Interpretation des Lagrange-Multiplikators Die Lagrange-Methode liefert neben der lokalen Extremalstelle x auch eine zunächst gar nicht gefragte Information, den Lagrange-Multiplikator λ Es stellt sich jedoch heraus, dass der Lagrange-Multiplikator eine (insbesondere für ökonomische Anwendungen) interessante Größe darstellt Um dies zu sehen, beachten wir, dass (das Folgende ist nicht als mathematisch rigorose Herleitung zu sehen): (λ, x) = f (x)+λ (x) = λ = λ = f (x ) (x ) Dies gilt für jedes i Ersetzt man im Quotienten rechts die partiellen Ableitungen durch entsprechende, auf x i = xi (und λ = λ ) bezogene Differenzenquotienten, so kürzt sich Δx i heraus: λ Δf Δx i (x ) Δg Δx i (x ) = Δf (x ) Δx i Δx i Δg (x )= Δf(x ) Δg(x ) Da g(x )=c, istδg(x )eineänderung im Niveau c der Restriktion Das Ergebnis lässt sich folgendermaßen interpretieren: Wir betrachten Änderungen im Niveau c der Restriktion; zu jedem c gehört im Allgemeinen eine andere Extremstelle x (c) mit zugehörigem Extremwert F (c) :=f(x (c)) Die Aussage ist, dass dann λ = F (c): Der Lagrange-Multiplikator λ misst die Sensitivität des Extremwertes f(x ) auf Änderungen im Niveau c der Restriktion Er gibt die (momentane) Rate an, mit der sich Änderungen (im Niveau) der Restriktion auf Änderungen (im optimalen Wert) der Zielfunktion f(x ) auswirken In ökonomischen Anwendungen liefert diese Aussage regelmäßig eine ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators λ: Zielfunktion Restriktion Bedeutung Lagrange-Multiplikator Unternehmen min Kosten Produkt = const λ = Grenzkosten des Produkts Unternehmen max Produkt Kosten= const λ = Grenzprodukt der Kosten Haushalt max Nutzen Einkommen= c λ = Grenznutzen des Einkommens Haushalt min Ausgaben Nutzen = const λ = Grenzkosten des Nutzens Beispielsweise besagt die erste Zeile der Tabelle (Unternehmen minimiert seine Kosten bei konstant gehaltenem Produkt, dh Output): Wenn das Unternehmen seinen Output um eine Einheit erhöht, dann erhöhen sich die Kosten näherungsweise um das ( λ)-fache(das Vorzeichen entsteht aufgrund unserer Konvention zur Lagrange-Fkt) λ gibt hier also an, was die nä produzierte Einheit kostet, dh wie teuer sie gemessen in Kosteneinheiten ist Der Lagrange-Multiplikator λ misst also, wie sehr die Restriktion auf die Zielfunktion drückt Er gibt den Preis an, den eine Einheit der Restriktion kostet Wenn die Restriktion g eine Ressource auf das Niveau c limitiert, wird λ daher auch als Schattenpreis (einer Einheit der Ressource, gemessen in Einheiten der Zielfunktion) bezeichnet Verdeutlichung anhand des obigen geometrischen Beispiels 2: Dort hatten wir λ =1 ermittelt Mit einer Erhöhung des Niveaus c der Restriktion x + y + z = c aus c =heraus verringern wir also die Zielfunktion, den minimalen Abstand der Ebene zum Punkt y =(2,, 1) (bzw das halbe Abstandsquadrat), und zwar näherungsweise um 1 c Zumindest das Vorzeichen leuchtet ein, denn mit wachsendem c> bewegen wir die Ebene längs des Normalenvektors (1, 1, 1) aus dem Ursprung heraus; dabei bewegen wir uns auf den Punkt (2,, 1) zu (nicht weg)

7 c KH Schild, Abt Statistik, Fb Wiwi, Uni Marburg Lagrange-Methode mit mehreren Restriktionen Die Lagrange-Theorie lässt sich problemlos auf den Fall, dass mehr als eine Restriktion für das gesuchte Extremum vorliegt, verallgemeinern Es werden also jetzt die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,,x n )unterdenm Nebenbedingungen g 1 (x 1,,x n ) = c 1 g m (x 1,,x n ) = c m gesucht Dabei wird m<nvorausgesetzt (bei m = n legen die Restriktionen ia bereits die zulässige Menge auf einzelne Punkte fest, bei m>nist die zulässige Menge ia leer) Die für den Fall einer Restriktion geltenden Sätze übertragensichaufdiesenfall,wennmanm Lagrange-Multiplikatoren λ 1,,λ m vorsieht und als Lagrange-Funktion L(λ 1,,λ m, x) =f(x)+ m λ j (g j (x) c j ) verwendet Eine notwendige Bedingung für eine ( reguläre ) lokale Extremstelle ist nun das Verschwinden aller n + m partiellen Ableitungen von L: λ j =, j =1,,m, =, i =1,,n Dies stellt hier ein Gleichungssystem mit m + n Gleichungen in den m + n Unbekannten (λ 1,,λ m,x 1,,x n ) dar Satz 23 (Lagrange: Notwendige Bedingung bei mehreren Restriktionen) Es seien f,g : D R n R stetig diffbare Funktionen auf einem Gebiet D R n Esseix ein lokales Extremum von f unter den Restriktionen g j (x) =c j, j =1,,m Die Vektoren g j (x) seien linear unabhängig Dann existieren λ j R mit f(x) = j=1 m λ j g j (x) j=1 Die Regularitätsbedingung, dass die Gradienten der Restriktionsfktnen, g j, im lokalen Extremum linear unabhängig sind, wird auch als Qualifikationsbedingung (constraint qualification) bezeichnet Sieht man von solchen irregulären oder entarteten Extrema ab, besagt der Satz, dass in einer lokalen Extremstelle der Gradient der Zielfunktion f eine Linearkombination der Gradienten der Restriktionsfunktionen g j sein muss Solche Stellen werden als stationäre Stellen des restringierten Problems bezeichnet Wie im Fall einer Restriktion lässt sich dies plakativ folgendermaßen zusammenfassen: Die stationären Stellen des restringierten Problems sind die stationären Stellen des unrestringierten Problems bzgl der Lagrange-Funktion Auch die hinreichende Bedingung besitzt eine entsprechende Verallgemeinerung Dazu sind die zweiten partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion L(λ 1,,λ m,x 1,,x n )=f(x 1,,x n )+ m ( ) λ j gj (x 1,,x n ) c j, j=1 ( )

8 18 Statische Optimierung Lagrange in der Hesse-Matrix H L (λ, x) zusammenzufassen; diese Matrix, die wieder als die geränderten Hesse-Matrix des Problems bezeichnet wird, hat folgende Struktur: H L (λ, x) = 1 1 x 1 x n m m x 1 x n + 1 m x 1 x 1 x 1 x 1 x n x 1 1 m x n x n x 1 x n x n x n (Nur) für lineare Restriktionen entsteht im re unteren Block die Hesse-Matrix der Zielfunktion Mit d j = d j (λ, x) bezeichnen wir die (m + j)-te Hauptminore von H L (λ, x) (ihre re untere Ecke ist der Diagonaleintrag x j x j ) Satz 24 (Lagrange: Hinreichende Bedingung bei mehreren Restriktionen) Die Funktion f seizweimal,diefunktioneng i einmal stetig differenzierbar Es sei (λ, x ) ein stationärer Punkt der Lagrange-Funktion L(λ, x ), der die Qualifikationsbedingung erfüllt Dann gilt für gerades m: Sind die letzen n m Hauptunterdeterminanten von H L (λ, x ),allepositiv,dh d m+1 >,, d n >, soistx eine lokale Minimalstelle des restringierten Problems Haben die letzten n m Hauptunterdeterminanten von H L (λ, x ) alternierende Vorzeichen beginnend mit (dh dm+1 <, dn m+1 >, ), soistx eine lokale Maximalstelle des restringierten Problems Für ungerades m gelten die Bedingungen mit umgekehrten Vorzeichen der d j ( d j statt d j ) Wiederum entstpricht die Zahl der zuüberprüfenden Determinanten der Zahl der Freiheitsgrade des Problems Die m Restriktionen reduzieren diese von n auf n m Der letzte Satz ist nicht nur recht unangenehm in der Anwendung, sondern trifft auch nur Aussagen zu lokalen Extrema Wie im unrestringierten Fall ist im geeigneten Konvexitätsszenario die Stationaritätsbedingung (ohne QualifBed) bereits hinreichend für ein globales Extremum: Satz 25 (Hinreichende Bed f globale Extrema unter Konvexität/Konkavität) Die Funktion f seizweimal,diefunktioneng j einmal stetig differenzierbar Es sei (λ, x ) ein stationärer Punkt der Lagrange-Funktion L(λ, x ) Wenn die Lagrange-Fkt L als Funktion von x bei festgehaltenem λ = λ konkav (bzw konvex) ist, dann stellt x ein globales Maximum (bzw Minimum) des restringierten Problems dar Die Voraussetzungen dieses Satzes (bzgl eines Minimums) sind zb dann erfüllt, wenn die Zielfunktion konvex ist und für j = 1,,m gilt: Entweder λ j undg j konkav oder λ j undg j konvex In den beiden numerischen Beispielen des vorhergehenden Abschnitts hat man eine konvexe Zielfunktion und (sogar) lineare Restriktionsfunktionen (die sowohl konvex als auch konkav sind); der stationäre Punkt ist also eine globale Minimalstelle

9 c KH Schild, Abt Statistik, Fb Wiwi, Uni Marburg Anwendung: Budget-restringierte Nutzenmaximierung Ein Haushalt kann n Güter in den Mengen x 1,,x n zu den Preisen p 1,,p n zum Konsum erwerben Aus dem Konsum erwächst ihm ein Nutzen U(x 1,,x n ) Wir unterstellen, dass U monoton wachsend in jedem Konsumgut (math: U, ök: Mehr ist besser ) und konkav ist (math: H f (x) negativ semi-definit, ök: Gesetz des abnehmenden Grenznutzens) Der Haushalt hat ein (exogen vorgegebenes)budgeti und steht vor der Aufgabe, seinen Nutzen zu maximieren unter der Vorgabe, dass sein gesamtes Budget dafür verbraucht wird, dh p 1 x p n x n = I Die Lagrange-Funktion zu diesem Problem lautet L(λ, x 1,,x n )=U(x 1,,x n ) λ(p 1 x p n x n I) Die notwendige Bedingung erster Ordnung, = U λp i! =führt auf 1 U (x 1,x n )=λ (= const unabhängig von i) p i Zusammen mit der Budget-Restriktion stellt dies ein Gleichungssystem von n + 1 Gln in den n + 1 Unbekannten λ, x 1,x n dar Da die Zielfunktion U konkav und die Restriktion linear ist, ist die Bed 1 Ordn bereits hinreichend für ein globales Maximum x j p i Budget- Restriktion p j p i p j p Isoquanten von U (Indifferenzkurven) x i Interpretation der Lagr-Bed U p: Der Restriktionsgradient ist hier p; solange dieser Gradient nicht parallel zum Gradienten der Zielfkt U verläuft, besteht ein Anreiz zur Veränderung von x: Die Projektion des Nutzengradienten auf die Budget-Restriktion gibt dann die Richtung vor, in der man sich auf der Budget-Restriktion bewegenmuss,umdennutzenzuerhöhen (auf eine bessere Nutzenisoquante zu gelangen) Die Lagrange-Bedingung für Optimalität kann in der in der Abbildung angedeuteten Weise interpretiert werden Hier soll noch eine alternative Interpretation mittels Substitutionsraten gegeben werden: Durch Bildung des Quotienten in den Gln für das i-te und j-te Gut (wird λ eliminiert und) man erhält: U / U x j = p i p j Dabei ist U / U x j die Marginalrate der Substitution von x i zu x j,die(in1ordnung)angibt, wieviel Einheiten zusätzlichen Konsums von x j der Haushalt für den Verzicht auf eine Einheit des Konsums von x i verlangt, damit er indifferent ist (auf der gleichen Nutzenisoquante bleibt) Man kann diese Kompensationsforderung als die Opportunitätskosten einer Einheit von x i gemessen in Einheiten von x j interpretieren Die Optimalitätsbed zeigt, dass diese Kosten gleich dem Preisverhältnis p i /p j sein müssen, was sich folgendermaßen erklären lässt: Solange der Preis p i einer Einheit von x i relativ zu dem einer Einheit x j niedriger ist als die Opportunitätskosten eines Verzichts auf eine Einheit x i gemessen in Einheiten von x j, gibt es einen Anreiz zu Mehrkonsum von x i auf Kosten eines Minderkonsums von x j (man gelangt so auf eine bessere Nutzenisoquante) Entsprechend hat man einen Anreiz zur Verminderung des Konsums von x i, wenn dessen Preis p i gemessen in den Nutzenkoordinaten zu hoch ist

10 2 Statische Optimierung Lagrange Das Modell kann auch in einer dynamischen Situation angewandt werden, wo x t für den Konsum zur Zeit t steht und U(x,,x T ) eine intertemporale Nutzenfkt darstellt, die die Zeitpräferenzen des Haushalts erfasst Dies soll für den Fall einer Periode und der Nutzenfunktion U(x,x 1 )=α ln(x )+(1 α) ln(x 1 ) durchgerechnet werden, wobei x für heutigen Konsum, x 1 für morgigen Konsum steht und der Parameter α (, 1) die Präferenz heutigen gegenüber morgigen Konsums misst (realistisch ist α> 1 2 ) Die Budget-Restriktion besteht darin, dass der Haushalt mit Grundausstattungen w und w 1 heute und morgen versehen ist und über einen Kapitalmarkt heutigen Unter- oder Überkonsum w x mit einem Zins von r nach morgen transferrieren kann bzw zurückzahlen muss: x 1 = w 1 +(1+r)(w x ) 1 x }{{} 1 +(1+r) x } {{ } = w 1 +(1+r) w } {{ } ˆ=p 1 ˆ=p ˆ=I Die Substitutionsrate U / U x x 1 gibt an, wieviel für den Verzicht auf eine Einheit heutigen Konsums an morgigem Mehrkonsum gefordert wird Im Nutzenmax muss sie gleich p /p 1 =1+r sein, dh gerade so groß wie die Kapitalmarkt-Kompensation für Verzicht auf heutigen Konsum Bei der konkreten Nutzenfkt errechnet sie sich zu U / / U x x 1 = α 1 α x x 1 = α x 1 1 α x Zusammen mit der Budgetrestriktion erhält man nach einfacher Rechnung folgende Lösung des Problems: x = α ( w + w 1 /(1 + r) ), x 1 =(1 α) ( w 1 + w (1 + r) ), λ =1/ ( w 1 + w (1 + r) ) Diese Ergebnisse sollen nun verwendet werden für ein Modell zur Entstehung des Zinses r auf einem neoklassischen Kapitalmarkt Dazu nehmen wir an, dass sich viele Haushalte i = 1,,N mit individuellen Präferenzen α (i) und Ausstattungen w (i),w(i) 1 zur Zeit auf einem Markt treffen und der Auktionator einen Kapitalmarktzins r ausruft Die Formel für x, gelesen als x (i) (r) ( =α(i) w (i) + w(i) 1 /(1 + r)), beschreibt dann die Konsum-Reaktion, mit der Haushalt i auf dieses r reagieren würde Er wird eine Nachfrage nach einer Kapitalmarktanleihe mit Zins r haben, wenn x (i) (r) <w(i) ist, und ein Angebot machen, wenn x (i) (r) >w(i) Die gesamte Nachfrage nach und das gesamte Angebot von Anleihen mit einem Zins r ist durch D(r) = ( (i) ) ( (i) i:x x (i) (r)>w(i) (r) w(i), S(r) = i:x w (i) (r)<w(i) x(i) (r)) gegeben Wenn der Zins r durch Ausgleich von Angebot und Nachfrage entsteht, muss r die Gl D(r) =S(r) lösen (was äquivalent ist zu i x(i) (r) = i w(i) ) Mit den Reaktionsfunktionen x (i) (r) aus obiger Nutzenmaximierung ergibt sich nach einfacher Rechnung folgendes Ergebnis N i=1 1+r = α(i) w (i) 1 N i=1 (1 α(i) ) w (i) Zur einfacheren Interpretation dieser Formel sei W := N i=1 w(i),w 1 := N i=1 w(i) 1 die Gesamtaustattung aller Haushalte zum Zeitpkt bzw 1 und ᾱ t := N i=1 α(i) (w (i) t /W t ) das mit den Anteilen der Haushalte an der GesAusstattung gewichtete Mittel der α s Dann ergibt sich 1+r = ᾱ1 1 ᾱ W 1 W, Neben banalen Implikationen, wie der Zins steigt, wenn die Gegenwartspräferenz α steigt, zeigt diese Formel vor allem, dass der Zins klein wird, wenn der morgige Wohlstand W 1 klein im Verhältnis zum heutigen W ist Selbst bei strikter Gegenwartspräferenz aller Haushalte (α (i) > 1/2 für alle i) kann r sogar negativ werden, wenn W 1 /W genügend klein ist Der Grund ist, dass die morgige Armut antizipiert wird, was eine hohe Nachfrage nach Transfer, dh Rettung des heute noch bestehenden Wohlstands bewirkt

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Extrema mit Nebenbedingungen

Extrema mit Nebenbedingungen Extrema mit Nebenbedingungen Gesucht ist das Extremum der Funktion f(x,y) = 5 x y unter der Nebenbedingung g(x,y) = x+y =. 5 y x In diesem einfachen Fall kann die Nebenbedingung nach einer Variablen aufgelöst

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Optimieren unter Nebenbedingungen

Optimieren unter Nebenbedingungen Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht

Mehr

Multivariate Analysis

Multivariate Analysis Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

5.10. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte

5.10. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte 5.1. Mehrdimensionale Extrema und Sattelpunkte Zur Erinnerung: Eine Funktion f von einer Teilmenge A des R n nach R hat im Punkt a ein (strenges) globales Maximum, falls f( x ) f( a ) (bzw. f( x ) < f(

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

10 Extremwerte mit Nebenbedingungen

10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 49 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen Wir betrachten nun Extremwertaufgaben, bei denen nach dem Extremwert einer fx 1,, x n gesucht wird, aber die Menge der zulässigen

Mehr

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 8. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 NLP Aufgabe KKT 2 Nachtrag

Mehr

Statische Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen (Kuhn-Tucker)

Statische Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen (Kuhn-Tucker) Kapitel 3 Statische Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen (Kuhn-Tucker) 3.1 Einleitung/Ziel/Bedeutung/Übersicht In ökonomischen Anwendungen treten die Restriktionen häufig als Ungleichungen (statt

Mehr

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen und entscheiden

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum. Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit

Mehr

(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren

(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(,,, B(,,, C(,,. (a Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche die drei Punkte A, B und C enthält, an. (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (,, 5 zur Ebene

Mehr

3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R

3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R 3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R 31 Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung heißt eigentlich: Wir suchen ein x R n so, dass f(x ) f(x) für alle x R n (dann heißt x globales Minimum)

Mehr

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz WS 2009/10 Universität Freiburg Dieses Vorlesungsskript ist auf der Basis von Vorlesungen

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen

8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R

Mehr

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. S. Vogel Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker Funktionen von mehreren Variablen. Grenzwerte und Stetigkeit Betrachtet werden Funktionen f : D f

Mehr

9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R

9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R 9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R 91 Optimierung ohne Nebenbedingungen Ein Optimum zu suchen heißt, den größten oder den kleinsten Wert zu suchen Wir suchen also ein x R n, sodass

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Mikroökonomik Prof. Dr. Stefan Klonner SoSe Übungsblatt 1

Mikroökonomik Prof. Dr. Stefan Klonner SoSe Übungsblatt 1 1 Funktionen Definition 1 (Funktion). Übungsblatt 1 Eine Funktion f(x) einer reellen Variable x mit Definitionsbereich D ist eine Regel, die jeder Zahl x in D eine reelle Zahl f(x) eindeutig zuordnet.

Mehr

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Analysis II. Vorlesung 50. Hinreichende Kriterien für lokale Extrema

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Analysis II. Vorlesung 50. Hinreichende Kriterien für lokale Extrema Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 205 Analysis II Vorlesung 50 Hinreichende Kriterien für lokale Extrema Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

1 Konvexe Funktionen. 1.1 Definition. 1.2 Bedingung 1.Ordnung. Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1

1 Konvexe Funktionen. 1.1 Definition. 1.2 Bedingung 1.Ordnung. Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1 Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1 1 Konvexe Funktionen 1.1 Definition Eine Funktion f heißt konvex, wenn domf eine konvexe Menge ist und x,y domf und 0 θ 1: f(θx + (1 θ)y)

Mehr

Anwendungen der Differentialrechnung

Anwendungen der Differentialrechnung KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

Extrema von Funktionen mit zwei Variablen

Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser

Mehr

Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren. Robert Koschig (www.massmatics.de), 09/2012

Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren. Robert Koschig (www.massmatics.de), 09/2012 Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren Robert Koschig www.massmatics.de, 9/ Inhaltsverzeichnis Motivation. Wo taucht so etwas auf?...................................... Was ist das Problem?......................................

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 03 6.06.03 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein

Mehr

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Extremwerte

C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Extremwerte C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS 05 Extremwerte Gelöste Aufgabenbeispiele:. Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x) = x x + x auf dem Intervall [ 4, ]. a. Bestimmung der

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Ein Buch. Für Anwendungen des Stoffs in den Wirtschaftswissenschaften: Knut Sydsæter, Peter Hemmond: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Ein Buch. Für Anwendungen des Stoffs in den Wirtschaftswissenschaften: Knut Sydsæter, Peter Hemmond: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Ein Buch Für Anwendungen des Stoffs in den Wirtschaftswissenschaften: Knut Sydsæter, Peter Hemmond: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (Aber bei der Mathematik ein bisschen aufpassen!) 4 Extremstellen

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Prof. Dr. Torsten Wedhorn SoSe 22 Daniel Wortmann Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Aufgabe 5: 6+6+6* Punkte Bestimme alle lokalen Extrema der folgenden Funktionen: a b c* f : R 3 R g : R 2 R

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Rechnerische Lösung - Simplex- Algorithmus LO - Auswertung des

Mehr

Aufgaben zur Mikroökonomik I

Aufgaben zur Mikroökonomik I Aufgaben zur Mikroökonomik I Aufgabe 1 Der Vermieter möchte seine großen Wohnung in herrlichster zentraler Wohnlage der Studentenstadt G an eine WG vermieten. Per Aushang werden Mieter für die 4 gleich

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum

Mehr

Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester 2014. Übungsblatt 13

Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester 2014. Übungsblatt 13 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Prof. Dr. Dres. h.c. Hans Georg Bock Dr. Christian Kirches Dipl.-Phys. Simon Lenz Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester

Mehr

Prof. Dr. Ulrich Schwalbe Wintersemester 2004/05. Klausur Mikroökonomik. Matrikelnummer: Studiengang:

Prof. Dr. Ulrich Schwalbe Wintersemester 2004/05. Klausur Mikroökonomik. Matrikelnummer: Studiengang: Prof. Dr. Ulrich Schwalbe Wintersemester 2004/05 Klausur Mikroökonomik Matrikelnummer: Studiengang: Prof. Dr. Ulrich Schwalbe Wintersemester 2004/05 Klausur Mikroökonomik Bitte bearbeiten Sie alle zehn

Mehr

Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II

Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin

Mehr

LÖSUNG ZUR VORLESUNG MAKROÖKONOMIK I (SoSe 14) Aufgabenblatt 4

LÖSUNG ZUR VORLESUNG MAKROÖKONOMIK I (SoSe 14) Aufgabenblatt 4 Fakultät Wirtschafts- und Sozialwissenschaften Jun.-Prof. Dr. Philipp Engler, Michael Paetz LÖSUNG ZUR VORLESUNG MAKROÖKONOMIK I (SoSe 14) Aufgabenblatt 4 Aufgabe 1: IS-Kurve Leiten Sie graphisch mit Hilfe

Mehr

4. Lösung linearer Gleichungssysteme

4. Lösung linearer Gleichungssysteme 4. Lösung linearer Gleichungssysteme a x + : : : + a m x m = b a 2 x + : : : + a 2m x m = b 2 : : : a n x + : : : + a nm x m = b n in Matrix-Form: A~x = ~ b (*) mit A 2 R n;m als Koe zientenmatrix, ~x

Mehr

1.2 Wachstum bei endogener Sparquote

1.2 Wachstum bei endogener Sparquote TU Dortmund, WS 2/3, Konjunktur, Wachstum und Beschäftigung 43.2 Wachstum bei endogener Sparquote Das Ramsey-Modell Im Ramsey-Modell, genauer im Ramsey (928) Cass(965) Koopmans (965) Modell, ist die Sparquote

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt Die zu optimierende Zielfunktion ist der Abstand zum Ursprung. Ein bekannter Trick (Vereinfachung der Rechnung) besteht darin, das Quadrat

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

18.2 Implizit definierte Funktionen

18.2 Implizit definierte Funktionen 18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung Teil II Optimierung Gliederung 9 Einführung, Klassifizierung und Grundlagen 10 Lineare Optimierung 11 Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung 12 Dynamische Optimierung Literatur: zu 10-12: Neumann,

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Vektoranalysis Funktionen mehrerer Variabler Wir untersuchen allgemein vektorwertige Funktionen von vektoriellen Argumenten, wobei zunächst nur reelle Vektoren zugelassen seien. Speziell betrachten wir:

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Z = 60! 29!31! 1,1 1017.

Z = 60! 29!31! 1,1 1017. Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der

Mehr

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg Universität Regensburg Wintersemester 2012/13 1 Einführung Anwendungen Finanzwirtschaft: maximale Gewinnrate unter Beschränkungen an das Risiko; Portfolio von Investments Produktion: maximiere Gewinn bei

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Die Funktion f sei (zumindest) in einem Intervall I = [a, b] definiert und dort hinreichend oft differenzierbar. f(x 0 ) f(x)

Die Funktion f sei (zumindest) in einem Intervall I = [a, b] definiert und dort hinreichend oft differenzierbar. f(x 0 ) f(x) 3.2.4. Analyse von Funktionen Die Funktion f sei (zumindest) in einem Intervall I = [a, b] definiert und dort hinreichend oft differenzierbar. Begriffe: Die Funktion f hat in x 0 I eine stationäre Stelle,

Mehr

Im Falle einer zweimal differenzierbaren Funktion lässt sich das Krümmungsverhalten anhand der zweiten Ableitung feststellen.

Im Falle einer zweimal differenzierbaren Funktion lässt sich das Krümmungsverhalten anhand der zweiten Ableitung feststellen. Konvex, Konkav, Wendepunkt: Sei f : D R eine Funktion und sei I D ein Intervall. Gilt für alle x 1,x 2 I f ( x1 +x ) 2 2 f(x 1)+f(x 2 ), 2 dann heißt f konvex (linksgekrümmt) in I. Gilt für alle x 1,x

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Folgerungen aus dem Auflösungsatz

Folgerungen aus dem Auflösungsatz Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und

Mehr

Mikroökonomik. Das Haushaltsoptimum. Harald Wiese. Universität Leipzig. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 1 / 37

Mikroökonomik. Das Haushaltsoptimum. Harald Wiese. Universität Leipzig. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 1 / 37 Mikroökonomik Das Haushaltsoptimum Harald Wiese Universität Leipzig Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 1 / 37 Gliederung Einführung Haushaltstheorie Das Budget Präferenzen, Indi erenzkurven

Mehr

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) 3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2015, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben sei das Dreieck und die Funktion f : R mit Bestimmen Sie f(

Mehr

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II... ................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Mehr

Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher

Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher Technische Universität Chemnitz 1. Juli 20 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Durch ein

Mehr

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Prüfung: Mathematik Termin: August 2008 Bearbeitungszeit: 180 Minuten

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester 2011 30.09.2011 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.

Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x. Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe

Mehr

Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen

Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen Unter der Kurvendiskussion einer Funktionsgleichung versteht man die Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften ihres Bildes mit anschließender Zeichnung.

Mehr