Physik 2 (B.Sc. EIT) 7. Übungsblatt

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1 Institut für Physik Werner-Heisenberg-Weg 9 Fakultät für Elektrotechnik München / Neubiberg Universität der Bundeswehr München / Neubiberg Prof. Dr. H. Baugärtner Übungen: Dr.-Ing. Tanja Stipel-Lindner, Büro 118 / G. 7, Tel.: (89) 64 19, Physik (B.Sc. EIT) 7. Übungsblatt X. Festkörperphysik II Elektronen i etallischen Festkörper Die Feri-Verteilung f(w, T) und die Definition des Feri-Faktors F lauten f(w, T) 1 1, W < W F = W W, F =. F, W W k B T > F e + 1 Weiterhin gilt für die Anzahl der freien Elektronen i dreidiensionalen Elektronengas n(w, T) = D(W) f(w,t) pro Volueneleent. D(W) beschreibt dabei die Zustandsdichte in diese Gas; es gilt D(W) = 4 π e h W. Aufgaben Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben epfiehlt sich ein Studiu der folgenden Literatur: Physik von P.A.Tipler, Seiten Spektru Akadeischer Verlag, Heidelberg a) Berechnen Sie die Dichte freier Elektronen in Silber und in Gold unter der Annahe eines freien Elektrons pro Ato. b) Berechnen Sie die Feri-Energie bei T = K für Kupfer (die Dichte der freien Elektronen in Kupfer bei T = K beträgt 8,47 1 c - ). c) Zeigen Sie, dass die Feri-Dirac-Verteilung f(w, T) für T in den Feri-Faktor F übergeht. d) Schätzen Sie den Anteil freier Elektronen in Kupfer ab, die sich (i) bei Zierteperatur und (ii) bei T =1 K in angeregten Zuständen oberhalb der Feri-Energie befinden. e) Betrachten Sie ein Modell für ein Metall, in de das Gitter aus positiven Ionen als Behälter für ein klassisches Elektronengas it n Elektronen pro Volueneinheit betrachtet wird. I therischen Gleichgewicht ist dabei die ittlere Elektronengeschwindigkeit null, und bei Anlegen eines elektrischen Feldes E werden die Elektronen auf die Driftgeschwindigkeit v beschleunigt. Mit der Relaxationszeit aufgrund der Elektron-Gitter-Stöße der Elektronenasse lautet die Bewegungsgleichung der Elektronen dv + v = e E. dt i) Lösen Sie die Gleichung für die Driftgeschwindigkeit in der Richtung des angelegten elektrischen Feldes. ii) Verifizieren Sie das Ohsche Gesetz, und berechnen Sie den spezifischen Widerstand in Abhängigkeit von, e, n und der Relaxationszeit. 1

2 XI. Festkörperphysik III Elektronen i Halbleiter Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben benötigen Sie nur Ihre Vorlesungsitschrift und Ihren Übungsordner der Vorlesung Experientalphysik II In de folgenden Diagra ist der spezifische Widerstand der Materialien Siliziu, Geraniu und Galliu-Arsenid in Abhängigkeit von der Dotierkonzentration gegeben. Aufgaben f) Die Energielücke zwischen de Valenz- und de Leitungsband in Siliziu beträgt bei Zierteperatur 1,14 ev. Wie groß ist die axiale Wellenlänge eines Photons, das ein Elektron vo oberen Teil des Valenzbandes in den unteren Teil des Leitungsbandes anregen kann? Was gilt für Geraniu? g) Wie groß ist die Beweglichkeit μ n der Elektronen bzw. μ p der Löcher in Siliziu und in Geraniu, wenn das Siliziu- bzw. das Geraniusubstrat eine konstante n- bzw. p-dotierung von i) N D/A = c -, ii) N D/A = c -, iii) N D/A = c -, iv) N D/A = c -, v) N D/A = 1 1 c - besitzt? h) Tragen Sie μ n und μ p in Abhängigkeit von der Dotierkonzentration N D bzw. N A für beide Eleente graphisch auf! Was schließen Sie aus den sich ergebenden Kurvenverläufen? i) Wird ein Siliziu- oder ein Geraniuato durch ein Arsenato ersetzt, dann ist ein Elektron der fünf Valenzelektronen des Arsens nur schwach a Arsenrupf gebunden. Dieses Elektron sieht dait ein einfach geladenes, anziehendes Ladungszentru. Die Verhältnisse ähneln daher denen bei Wasserstoff. Wenn sich ein Elektron in eine Kristall bewegt, lässt sich der Einfluß der anderen Atoe folgenderaßen berücksichtigten: ε wird durch ε r ε ersetzt und e durch die effektive Masse e * des Elektrons. Für Siliziu ist ε r = 1, und die effektive Masse beträgt,. Für Geraniu ist ε r = 16, und die effektive Masse beträgt,1. Schätzen Sie i Bohrschen Atoodell den Bohr-Radius des freien Elektrons des Arsenatos in Siliziu und in Geraniu ab! j) Wie hoch uß an Siliziu it Arsen dotieren, dait sich die Grundzustands-Orbitale der schwach gebundenen Arsenelektronen i Kristall berühren? Was gilt wieder für Geraniu? k) Silizu (Geraniu) sei nun so stark it Arsen dotiert, dass sich die Grundzustands-Orbitale der ungebundenen Arsenelektronen i Kristall überlappen. Was passiert it den öglichen Energiezustanden dieser Elektronen i Kristall? l) Wo liegt bei dieser extreen Arsendotierung das Feri-Niveau und wie verhält sich die elektrische Leitfähigkeit des so hoch dotierten Silizius (Geranius)?

3 Musterlösung a) Mit eine freien Elektron pro Ato ist die Anzahldichte der freien Elektronen: N A n = ρ. Mol Darin bezeichnet ρ die Dichte des betrachteten Metalls und Mol seine olare Masse. N A ist die Avogadro-Konstante. Silber hat die Dichte ρ = 1,5 g c - und die olare Masse Mol = 17,87 g ol -1. Dait ergibt sich eine Dichte freier Elektronen von n = 5,86 1 c -. Für Gold ergibt sich (ρ = 19, g c -, Mol = 196,97 g ol -1 ) n = 5,9 1 c -. b) Die Feri-Energie i dreidiensionalen Fall bei T = K lässt sich it der folgenden Forel berechnen: h NZ WF = (*) 8 π V Darin bezeichnet h das Plancksche Wirkungsquantu und die Elektronenasse. N Z gibt die Anzahl besetzbarer Zustände i Betrachteten Voluen V i Energieintervall (, W F ]. Bei T = K besetzen alle vorhandenen freien Elektronen N i Metall genau diese und nur diese Zustände. Für die Konzentration freier Elektronen in Kupfer gilt soit bei T = K: N N n V V Für Kupfer ergibt sich daraus W F = 7,4 ev. Z = = = 8,47 1 c. Herleitung der Beziehung (*) I dreidiensionalen Elektronengas ist die Anzahl der freien Elektronen dn pro Volueneleent dv gegeben durch die Beziehung: dn n = = D(W) f(w,t). dv D(W) beschreibt die Zustandsdichte. Das ist die Anzahl der besetzbaren Zustände dn Z pro Volueneleent dv i Energieintervall [W, W + dw] i freien Elektronengas und es gilt: dn Z D(W) = = 4 π W. dv dw h Wie gezeigt geht f(w, T) für T = K in den Feri-Faktor F über; dait folgt: dn Z n(w,t) = D(W) F = F = 4 π W F. dv dw h Multipliziert an diese Gleichung it dw und integriert, dann erhält an: n(w, T) dw = WF n(w,t) dw = WF NZ D(W) dw = V (da der Feri-Faktor für W > W F null wird, reicht es, die Integration nur bis W F auszuführen). Konkret ergibt die Integration:

4 n(w, T) W F N Z = D(W) F = = 4 π W. V Setzt an die Integrationsgrenzen ein und löst die Gleichung nach W F auf, dann ergibt sich die obige Beziehung (*). h c) Die Feri-Dirac-Verteilung f(w, T) und die Definition des Feri-Faktors F lauten: 1 1,W < WF f(w,t) =, F = W W. F k B T,W > WF e + 1 W WF k B T 1. Fall W < W F : li = e =, daraus folgt: F = 1 T K W W k B T. Fall W > W F : li = e =, daraus folgt: F = T K F d) Die sogenannte Feri-Teperatur T F wird über die Beziehung W F = k B T F definiert. Die Feri-Teperatur von Kupfer beträgt it W F = 7,4 ev rund T F = 817 K. Würde an Kupfer auf diese Teperatur bringen und annehen, dass der Kupferkristall eine solche Teperatur übersteht, würden alle (1%) freien Kupferelektronen in energetischen Zuständen oberhalb der Feri-Energie sitzen. Für Teperaturen T << T F gleicht die zu T gehörende Feri-Verteilung f(w, T) der Feri-Verteilung f(w, T = K) = F für T = K. Führt an nun de Kupferkristall durch Erwärung auf eine Teperatur T die ittlere therische Energie W = k B Τ zu, werden nur die Elektronen i Energieintervall [W F k B T, W F ] in höhere Energiezustände oberhalb der Feri-Energie angeregt. Soit kann der Anteil der Elektronen, die bei einer Teperatur T über das Feri-Niveau angeregt werden, folgenderaßen abgeschätzt werden: 1 % 1 % x = =. WF kb TF kb T Dait folgt: T x = 1 % T F und soit ergibt sich x =,67 % (T = K) bzw. x = 1, % (T = 1 K). e,i) Bei der zu lösenden Differentialgleichung v(t) & + v(t) = e E handelt es sich u eine inhoogene Differentialgleichung erster Ordnung. Diese besitzt genau eine linear unabhängige Lösung. Zunächst löst an die hoogene Differentialgleichung: v& h (t) + vh(t) =. Als Lösungsansatz wählt an: 4

5 t vh(t) = vd α. Dait folgt: α t v& h(t) = α vd = α vh(t) und v& h (t) + vh(t) = α vh(t) + vh(t) =. Ein Koeffizientenvergleich liefert sofort α = 1. Nun bestit an eine partikuläre Lösung v p (t) der inhoogenen Differentialgleichung: v& p(t) + vp(t) = e E it Hilfe der Methode der unbestiten Koeffizienten. Da die Störfunktion bzw. das Restglied R(t) = e E ein Polyno -ten Grades ist (eine Konstante), wählt an als Ansatz für die partikuläre Lösung ebenfalls ein Polyno -ten Grades (eine Konstante): v p (t) = A = konst. Dait ergibt sich: v& p (t) = und v & p(t) + vp(t) = A = e E. E Es ist also A =. Die allgeeine Lösung lautet dait: t. E v(t) = vh(t) + vp(t) = vd E Mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Nebenbedingung v(t = ) = folgt v D =. Es ergibt sich also: t E E = v(t) e 1 und li v(t) = vd =. t Nach einer bestiten Einschwingzeit t >> bewegen sich alle Elektronen kollektiv it der konstanten Driftgeschwindigkeit v D. (Das Minuszeichen gibt an, dass sich die Elektronen entgegengesetzt zur Richtung des elektrischen Feldes E bewegen.) Man erkennt, dass die Driftgeschwindigkeit direkt proportional zu elektrischen Feld ist, d. h., je höher das elektrische Feld ist uso höher ist die Driftgeschwindigkeit. Die Proportionalitätskonstante μ = nennt an Beweglichkeit. ii) Bewegen sich die Elektronen it der konstanten Geschwindigkeit v D durch einen elektrischen Leiter der Länge L und der Querschnittsfläche A, dann treten in eine Zeitintervall dt dn = n A v D dt Elektronen durch die Querschnittsfläche A des elektrischen Leiters (dabei wird eine konstante Elektronendichte n angenoen). Das entspricht der Ladung dq = e dn = n A e v D dt (e bezeichnet darin die Eleentarladung). Es fließt also durch den Leiter der elektrische Stro bzw. die elektrische Strodichte: dq n A I n I = = n A e vd = E bzw. j = = n vd = E dt A Man erkennt, dass die Strodichte j direkt proportional zu angelegten elektrischen Feld E n ist. Die Proportionalitätskonstante σ = nennt an elektrische Leitfähigkeit. Dait folgt für den elektrischen Stro: I = A σ E. Der ohsche Widerstand des elektrischen Leiters ist durch 5

6 L R = ρ spezifisch A gegeben (ρ spezifisch bezeichnet den spezifischen Widerstand des Leiteraterials). Außerde gilt für das elektrische Feld: U E =. L Darin bezeichnet U die über den Leiter der Länge L abfallende elektrische Spannung. Dait folgt für den elektrischen Stro: A I = σ U L Da außerde ρ spezifisch = σ -1 gilt, folgt U = R I. (j = σ E bzw. U = R I ist das Ohsche Gesetz.) Mit j = σ E = n e v D und v D = μ E folgt σ = n e μ. f) Die Energie eines Photons der Frequenz f ist W = h f = h c λ -1. Mit W = 1,14 ev (Größe der Bandlücke i Siliziukristall zwischen der Valanzbandoberkante und der Leitungsbandunterkante) folgt für die axiale Wellenlänge des Photons λ = 1,9 μ (1 ev = 1, J). Geraniu hat eine Bandlücke von W =,74 ev, und es folgt λ = 1,77 μ. g, h) Es gilt das Ohsche Gesetz j = σ E = n e μ E (darin sind σ ist die elektrische Leitfähigkeit und μ die Beweglichkeit). Aus de auf de Aufgabenblatt gegebenen Diagra ergeben sich für Siliziu und Geraniu die folgenden spezifischen Widerstände ρ spezifisch als Funktion der Dotierstoffkonzentration N A bzw. N D. N D/A [c - ] 1E16 1E17 1E18 1E19 1E ρ p-si [Ω c].5 7Ε- 1Ε- 1.5Ε- ρ n-si [Ω c] 5.5Ε-1 9Ε- Ε- 6E- 9Ε-4 ρ p-ge [Ω c] 4E-1 5.5E- 1E- E- 6E-4 ρ n-ge [Ω c].5e-1 4E- 7E- E- 4Ε-4 Aus der Beziehung ρ n(p) -1 = σ = n e μ = N D,A e μ n(p) folgen die Werte für die Beweglichkeiten μ n(p) (μ n bezeichnet die Elektronenbeweglichkeit, μ p die Löcherbeweglichkeit), die i folgenden Diagra in Abhängigkeit von N D(A) für Siliziu und Geraniu dargestellt sind. 6

7 Löcher- und Elektronenbeweglichkeiten [c (Vs) -1 ] p-typ Siliziu n-typ Siliziu p-typ Geraniu n-typ Geraniu 1E16 1E17 1E18 1E19 1E Dotierstoffkonzentration N D(A) [c - ] i) I Bohrschen Atoodell (vergleiche it der Musterlösung zu. Übungsblatt, Experientalphysik II) gilt: h r1 (Z = 1) r(n, Z) = n 4 π ε = n rn (Z) Z Z Für ein das fünfte ungebundene Valenzelektron des Arsen-Ato i Siliziu(Geraniu)- Kristall gilt Z = 1. Da nach de Bohrschen Radius gefragt ist gilt n = 1. Mit den notwendigen Ersetzungen (ε ε rel ε und * ) ergibt sich r As, Si =,17 n und r As,Ge = 8,47 n. j) Da die Eleentarzelle von Siliziu(Geraniu) kubisch ist, soll die in der folgenden Skizze dargestellte Annahe über die Lage der Arsen-Atoe in der Eleentarzelle geacht werden. Arsen-Ato Eleentarzelle des Siliziu(Geraniu)-Kristalls r As, Si(Ge) In eine Voluen V = 8 r As, Si(Ge) befindet sich genau ein Arsen-Ato. Dait folgt für die gesuchten Dotierkonzentrationen N As, Si = c - und N As, Ge = 1 17 c -. k, l) Erhöht an die in (j) berechneten Dotierkonzentrationen, überlappen sich die Bahnen der Donatorelektronen und spalten aufgrund des Pauli-Verbots i Kristall zu eine 7

8 sogenannten Störstellenband auf. Das Feri-Niveau wird in das Leitungsband des Silizius(Geranius) geschoben. Der leichte Anstieg des spezifischen Widerstandes i Bereich N As, Si / c ( N As,Ge / c ) lässt sich dadurch erklären, dass in diese Bereich die Streuung der freien Elektronen an den Störstellen (den Dotieratoen) stärker zunit. Erst bei noch höheren Dotierungen (dann ist das Störstellenband voll ausgebildet) bzw. Elektronendichten verliert dieser Streuechanisus an Doinanz, und der spezifische Widerstand sinkt wieder. 8

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