Die Hohman-Transferbahn

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1 Die Hohman-Tansfebahn Wie bingt man einen Satelliten von eine ednahen auf die geostationäe Umlaufbahn? Die Idee: De geingste Enegieaufwand egibt sich, wenn de Satellit den Wechsel de Umlaufbahnen auf eine speziellen Ellipse vollzieht. Diese Ellipse beginnt bei de ednahen Bahn und eicht geade bis zu geostationäen Bahn. De deutsche Ingenieu We Hohmann ( ) gilt als Efinde diese Tansfebahn, die deshalb auch Hohmann-Übegang genannt wid. Um die Ellipse zu beginnen, muss de Satellit auf de ednahen Keisbahn einen Geschwindigkeitszuwachs ehen (Zünden de Tiebweke Kick ). Sobald die geostationäe Bahn eeicht ist (Winkel zwischen Gavitationskaft und Geschwindigkeitsvekto muss genau 90 betagen) efolgt de zweite Geschwindigkeitszuwachs (Zünden de Tiebweke Kick ). Das Gavitationsfeld eines Himmelsköpes lässt sich anschaulich als Potentiichte dastellen. Dabei wid sichtba, wie viel Abeit notwendig ist, um sich vom Gund des Tichtes (Edobefläche) zu entfenen. In diese Dastellung sieht man deutlich, die enegetischen Vehältnisse beim Aufstieg von de ednahen auf die geostationäe Umlaufbahn.

2 Die Theoie: Zu Beechnung de Bahnübegänge ist es sinnvoll, die Gesamtenegie (kinetische plus potentielle Enegie) des Satelliten auf seine Umlaufbahn beechnen zu können. Dabei ist es üblich, die potentielle Enegie nicht gegenübe de Obefläche de Ede anzugeben, sonden gegenübe dem Unendlichen. Man fagt also nicht wie viel Enegie benötige ich, um den Köpe vom Edboden auf den Radius zu heben?, sonden wie viel Enegie ehe ich, wenn ich die Masse vom Unendlichen zum Radius veschiebe?. Da man dabei Abeit geliefet bekommt, ist die potentielle Enegie negativ. Aus GmM E pot GmM wid mit E pot. Die Gesamtenegie auf eine Keisbahn egibt sich dann zu GmM Eges Ekin Epot mv ( ) GM GmM GmM m G M. (Dabei wude benutzt: v fü die Geschwindigkeit auf eine Keisbahn) Fü eine Keisbahn mit dem Radius gilt also: GmM E ges. (Anmekung: Aufgund de oben ewähnten Festlegung des Bezugspunktes ins Unendliche ist auch die Gesamtenegie negativ. Das bedeutet, dass sie im Unendlichen Null ist.) Befindet sich de Köpe auf eine Ellipsenbahn egibt sich eine entspechende GmM E ges a bedeutet. Fomel fü die Gesamtenegie:, wobei a die Länge de goßen Halbachse de Ellipse (Aus de Skizze ekennt man den Zusammenhang zwischen a und de Lage de Bennpunkte de Ellipse: a.)

3 De kleine Keis wid zu Ellipse (Kick ): Fage: Welche Geschwindigkeit muss de Satellit auf de Hohmann-Ellipse bei P haben, um bis zum Punkt P aufsteigen zu können (dot hat e übigens noch eine Geschwindigkeit, denn e bewegt sich ja weite auf de Ellipse)? Antwot: Bei P gilt: E befindet sich auf dem Keis mit dem Radius, hat abe duch Zünden de Tiebweke beeits die Gesamtenegie de Ellipse ehen (,dahe wid e ja auch in P den Keis velassen). E Ellipse E E kin pot GmM GmM mv a Mit a egibt sich daaus: v G M G M und weite: v G M Diese Geschwindigkeit hat de Satellit nach dem Zünden de Tiebweke. Davo hatte e die Keisbahngeschwindigkeit v G M. Die Diffeenz de beiden Geschwindigkeiten ist de Geschwindigkeitszuwachs, de die Homann-Ellipse einleitet, oft auch als Kick bezeichnet. v Kick v v

4 Die Ellipse wid zum goßen Keis (Kick ): Fage: Welche Geschwindigkeit muss de Satellit auf de Hohmann-Ellipse bei P haben, um auf die geostationäe Keisbahn einzuschwenken? Antwot: Bei P gilt: E befindet sich auf de Ellipse duch Zünden de Tiebweke soll die Ellipsenenegie zu Keisbahnenegie (geostationä) weden. Auf de geostationäen Bahn ist die Geschwindigkeit v G M. Die Geschwindigkeit auf de Ellipse im Punkt P ehält man duch ähnliche Übelegungen wie oben: v G M. Die Diffeenz de beiden Geschwindigkeiten ist de Geschwindigkeitszuwachs, um die Homann-Ellipse zu velassen und die geostationäe Bahn zu beteten, was oft auch als Kick bezeichnet wid: v Kick v v. Die Veanschaulichung mit Hilfe de Softwae: Das Computepogamm Hohmann_Tansfe.exe simuliet die Bewegung eine Raumsonde im Gavitationsfeld de Ede. Die Idee dabei ist, dass man die Statdaten zunächst so wählen soll, dass eine ednahe Keisbahn entsteht. Will man beispielsweise eine Keisbahn in 800km Höhe ezeugen, muss man die entspechende Keisbahngeschwindigkeit ausechnen: G M Mit Hilfe de Fomel v Keisbahn und den entspechenden Weten egibt sich hie eine Geschwindigkeit von 7457 m/s. Diese Statgeschwindigkeit und die Statposition (y = 770 km) lassen sich im Pogamm eingeben. Wude alles ichtig beechnet, entsteht eine exakte Keisbahn, sobald man den Statbuttom dückt. (Im Pogamm sind diese Beispielwete beeits eingegeben es sollten jedoch auf jeden Fall Keisbahnen fü andee Höhen beechnet weden und mit Hilfe de Simulation veifiziet weden.) Nachdem man die Daten fü die gewählte Keisbahn eechnet hat, müssen nun die Geschwindigkeitszuwächse von Kick und Kick ausgeechnet weden. (Die Höhe de geostationäen Bahn sollte dazu vohe exakt beechnet woden sein). Diese Geschwindigkeitswete müssen ebenfalls in die Eingabemaske des Pogamms eingetagen weden. Bewegt sich nun de Satellit auf de ednahen Keisbahn, kann man zu einem beliebigen Zeitpunkt die Taste Kick anclicken. Damit wid de Geschwindigkeitszuwachs dem Pogamm übegeben und de Satellit beginnt, sich auf eine Ellipse Richtung geostationäe

5 Bahn zu bewegen. Man sollte die Raumsonde diese Ellipse uhig mehfach duchlaufen lassen, denn dann est sieht man, ob de weiteste Ellipsenpunkt geade die geostationäe Bahn beüht, so wie es die Theoie des Hohmann_Übegangs velangt. Ist dies nicht de Fall, hat de Anwende falsch geechnet. Um auf die geostationäe Bahn einzuschwenken, muss man zum ichtigen Zeitpunkt den Kick ausfühen. De ichtige Zeitpunkt ist gegeben, wenn de Winkel zwischen Geschwindigkeitsvekto und Gavitationskaft genau 90 betägt. De aktuelle Winkel wid im Ausgabefeld des Pogamms ständig angezeigt. Wude de zweite Geschwindigkeitszuwachs icht beechnet, wid sich de Satellit exakt auf de geostationäen Bahn bewegen. (Fü das oben angegebene Zahlenbeispiel (800km Höhe) wuden die ichtigen Kicks als Beispiel im Pogamm beeits eingetagen). Das Pogamm bietet übigens auch die Möglichkeit, die Keisbahn und den Aufstieg zu geostationäen Bahn im Potentiichte de Ede zu vefolgen (Zentalpojektion des deidimensionalen Tichtes). Die Bahn des Satelliten wid dazu auf die Obefläche des Potentiichtes abgebildet. Die Dastellung lässt sich Stückchenweise kippen, so dass die Bahn und de Tichte auch aus andeen Blickwinkeln betachtet weden können. Geade diese Dastellung zeigt seh schön, wie man sich die enegetischen Vehältnisse im Gavitationsfeld de Ede äumlich vostellen sollte. Aufgabe: Beechnen Sie die Statgeschwindigkeit fü eine Keisbahn in eine Höhe von 00 km. Beechnen Sie weite, welche Geschwindigkeitszuwächse (Kick und Kick) fü diese Keisbahn jeweils notwendig sind, um Ihen Satelliten auf die geostationäe Bahn zu bingen. Tagen Sie die eechneten Wete in die Eingabemaske des Pogamms ein und staten Sie die Simulation. Fühen Sie die einzelnen Schitte fü eine ednahe Keisbahn in eine andeen Höhe duch und übepüfen Sie die Egebnisse et mit Hilfe de Simulation. Matthias Bochadt, Bonn

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