Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!

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1 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben werden können. Es gibt Einflussgrößen, die gezielt vriiert werden können, ber uch oft Störgrößen, die zumindest im Versuchsumfeld kontrolliert einstellbr sein müssen. Die Wirklichkeit soll durch ein vereinfchtes Modell beschrieben werden. Dbei sind unter Umständen Nichtlinieritäten und Wechselwirkungen zu berücksichtigen. Die vereinfchten Modelle mit qudrtischen und kubischen Ansätzen können jedoch oft den relen Verluf nicht vollständig wiedergeben. Es ist im Versuchspln deshlb vorher genu zu überlegen, für welchen Extrpolieren unzulässig! Beobchtungsbereich ds Modell gelten soll. Für ein Feder-Msse-System, wie im Bild rechts drgestellt, reicht im vorderen Bereich ein qudrtischer Anstz: y ω + b ω² konst Der weitere Kurvenverluf ist dmit ber nicht gültig. Ein Extrpolieren würde völlig flsche Ergebnisse liefern. Dieses Problem ist llzu oft der Grund für ds Scheitern einer DoE Zielgröße Y Beobchtungsbereich! F m ω o 3 β 6 y^ Y m 2 f 2 ω o ( ω, , ω... 2 β 2 n ) Einflussgrößen F

2 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Für die weitere Einführung der Versuchskombintionen soll zunächst ein linerer Zusmmenhng ngenommen werden. Zur Bestimmung nur der Einzeleinflüsse (Effekte) wird zuerst ein Versuch bei unterer Stufe jedes Fktors ls Bsis- oder Ausgngsmessung benötigt. Dnch wird jeder Fktor lleine vriiert (obere Stufe des Beobchtungsbereiches). Diese Vorgehensweise wird uch One fctor t the time" gennnt. Nebenstehendes Bild soll dies verdeutlichen. Der vordere Punkt ist die Bsismessung, die nderen stellen die obere Stufe der Fktoren A, B und C dr. Mit dieser Versuchsnordnung ist es nicht möglich, heruszufinden, wie ds System regiert, wenn mehrere Fktoren zu gleichen Zeit verändert werden. Ergibt sich z.b. bei A und B uf oberer Stufe eine überproportionle Veränderung der Zielgröße gegenüber der Summe der Einzeleffekte, so liegt eine Wechselwirkung vor. Diese Wechselwirkungen lssen sich nur mit zusätzlichen Versuchen bestimmen. Neben der fehlenden Möglichkeit hier Wechselwirkungen uswerten zu können, besteht ußerdem den Nchteil, dss eine Ungleichgewicht der Versuchsnordnung vorliegt. Die Tbelle der Versuchseinstellungen führt zu einer unerwünschten Korreltion der Fktoren. Ziel der Versuchsplnung ist es uch dies zu vermeiden, um dmit sicherzustellen, dss die Fktoren voneinnder unbhängig sind. Neben den klssischen Versuchsplänen, wie den voll- und teilfktoriellen wird in der Prxis oft ein sogennnter D- Optimler Versuchspln ngewendet. A C B D-Optimle Versuchspläne Ds Ziel von D-Optimlen Plänen ist mit minimlem Aufwnd Versuchspläne zu erstellen, die die gewünschten Effekte und Wechselwirkungen eindeutig bbilden. Dies ist ein entscheidender Vorteil gegenüber teilfktoriellen Plänen, bei denen Wechselwirkungen z.t. miteinnder vermengt sind. Mit p Anzhl Fktoren berechnet sich die Anzhl der einfchen Wechselwirkungen: p p*(p-)/2 Die höheren Wechselwirkungen (z.b. ABC, ABD, ACD, usw.) werden in der Regel nicht berücksichtigt, d ihr Einfluss gegenüber den einfchen meist geringer ist. Sie würden uch den Umfng der Versuche sprengen. Insgesmt wird für einen Versuchspln mit zwei Einstellungen folgende Anzhl Versuche benötigt: Konstnte : Hupteffekte (Fktoren) : p Wechselwirkungen : p*(p-)/2 Σ : p+ p*(p-)/2+

3 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Im Flle eines qudrtischen Modells kommen noch einml p Versuche hinzu (mit mittlerer Einstellung). Weiterhin werden c. Versuche benötigt, um genügend Informtion über die Streuungen zu erhlten (Signifiknzen der Fktoren). Ein D-Optimler Pln wird nicht mit einem festem Schem generiert, sondern itertiv ufgebut. Er ht u.. folgende wichtige Eigenschften: T Mximierung der Determinnte Det( ) (Kennzhl für Auswertbrkeit) Minimierung der Korreltionen und Vertruensbereiche Möglichst gute Ausblncierung, d.h. gleiche Anzhl von Stufen (gilt nur für Rndbereiche - und +, nicht für Zwischenwerte) Insbesondere ufgrund der Zielsetzung, dss lle Wechselwirkungen bei geringer Versuchsnzhl erknnt werden sollen, verhindert dss diese Pläne vollständig orthogonl sind. D.h. gewisse Korreltionen lssen sich nicht vollständig beseitigen. In der Auswertung über Multiple Regression ist dies jedoch ein untergeordneter Nchteil. Vorteile- und Nchteile der D-optimlen Versuchspläne + Freie Whl für die Zhl der Stufen pro Einflussfktor. Die Stufenzhl knn von Fktor zu Fktor unterschiedlich gewählt werden. + Freie Whl der Stufenbstände, die äquidistnt oder nicht äquidistnt gewählt werden können. + Freie Whl für die Verteilung der Versuchspunkte im n-dimensionlen Versuchsrum + Freie Whl des mthemtischen Modells + Erweiterungsmöglichkeit durch neue Einflussfktoren Drehmoment nicht erreichbr Begrenzung + Bestimmte Einstellungen und Kombintionen können usgeschlossen werden, die nicht erreichbr sind (siehe Beispiel einer Drehmomentkurve) Drehzhl

4 Versuchsplnung 22 CRGRAPH - Der Versuchspln ist nicht orthogonl, die Abweichungen sind ber meist nur klein - Die Erstellung der Pläne ist nur mit entsprechenden Rechenlgorithmen möglich C Hinweise: Der drgestellte Grundversuchspln zur Bestimmung der Fktoren und Wechselwirkungen ist hier der Ausgngspunkt, bevor über die Determinnte weitere Versuche hinzugefügt werden. In der Litertur findet mn zur Bestimmung eines Grundversuchsplnes uch ndere Vorgehensweisen uf die hier nicht weiter eingegngen werden soll. A - B Erzeugung eines D-Optimle Versuchsplnes Es gibt verschiedene Verfhren für die Erzeugung von D- Optimlen Versuchsplänen. Diese sind insbesondere die gennnten Exchnge-Algorithmen beschrieben in /6/ und //. Eine ndere Möglichkeit ist die hier gezeigte Methode der Rndomisierung. Der Grundpln wird zunächst so ngelegt, dss die Anzhl der Stufen möglichst gut usblnciert ist (siehe Beispiel mit 3 Fktoren rechts). Bei qudrtischen, kubischen oder höherwertigeren Plänen werden die inneren Stufen (hier die ) weniger oft belegt, d die Determinnte stärker durch die ußen liegenden Einstellungen erhöht werden knn. Dnch erfolgt itertiv ein Tuschen der Positionen der Stufen uf ihren Plätzen. Dies ist besser, ls wenn durch den Zufllsgenertor der Wert der Stufen direkt festgelegt wird. Denn hierdurch wird erreicht, dss die Anzhl der unteren, oberen und mittleren Stufen erhlten bleibt. Dieser Rndomtusch wird solnge wiederholt, bis die Determinnte mximl und die Korreltion miniml ist, oder eine weitere Itertion keine nennenswerten Verbesserungen mehr bringt. A - - A - - B - - B - - C - - C - - usw Ein D-Optimlen Pln knn uch vereinfcht durch einen Grundpln mit Zustzversuchen ufgebut werden. In diesem Grundpln ist zunächst jeder Fktor lleine uf hoher Stufe. Hinzu kommen dnn noch die Kombintion der Wechselwirkungen (jeweils prweise Fktoren uf hoher Stufe). Ddurch sollen die Wechselwirkungen eindeutig bestimmbr sein. Die Zustzversuche werden uch hier über Rndomuswhl solnge usgetuscht, bis die Determinnte optiml ist. Im Folgenden soll ein nchvollziehbres Beispiel für einen einfchen D-Optimlen Pln gezeigt werden. Dieser ist zwr streng genommen nicht gnz der optimle, soll ber ds Prinzip verdeutlichen:

5 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Beispiel: Für den Fll einer 3x3 Mtrix berechnet sich die Determinnte nch Srrus nch dem drgestellten Schem: Huptdigonle Nebendigonle Die Splten und 2 werden nochmls n die rechte Seite gesetzt. Die Determinnte D errechnet sich dnn mit: D Gesucht wird ein D-Optimler Pln mit Versuchen zur Bestimmung von 3 Huptfktoren und einer Wechselwirkung AB (Vollfktoriell Versuche). A B C A B C Vollfktorieller Versuchspln Kndidtenstz Nummer im Kndidtenstz Grundpln D-Optiml (lle Huptfktoren + Wechselwirkung AB) Gesucht: optimler Zustzversuch Im Grundpln sind bereits die Versuche 2,3,4 und us dem Kndidtenstz enthlten. Es sind nun der Reihe nch die verbleibenden Versuche,6,7 und 8 ncheinnder einzusetzen, bis die bestmöglichste Determinnte entsteht. Erster Versuch mit Kndidt : T

6 Versuchsplnung 22 CRGRAPH T ' wird Wert für Wert über folgende Formel berechnet: n k k j T i k i j x x x, ) (,, ' mit j Spltenindex, i Zeilenindex T Det( T ) ()()() + ()(-)(-) + (-)()(-) - (-)()(-) - ()(-)(-) - ()()() 2 Nächster Versuch mit Kndidt 6: 6 6 T T Det( T ) 6 ()()() + (-)(-3)(-) + (-)(-)(-3) - (-)()(-) - ()(-3)(-3) - (-)(- )() 64 Ws ein erheblich schlechterer Wert ist, ls mit Kndidt. Insgesmt errechnen sich für die weiteren Kndidten folgende Determinnten: Kndidt Det( T ) Somit bildet entweder Kndidt oder 8 die optimle Determinnte. Hinweis: Im Grundpln müsste eigentlich ein weiterer Versuch zur Bestimmung der Konstnten enthlten sein. Dieser wurde hier unterschlgen. In Hinblick uf einen möglichst einfchen Aufbu um Umfng wurde dieses Beispiel bewusst reduziert gehlten. Zur Auswertung der Mtrix siehe uch Kpitel Multiple Regression.

7 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Anwendung in Visul-Sel 2. In Visul-Sel gibt es unterschiedliche Möglichkeiten einen Versuchspln zu erstellen oder zu importieren. Im folgendem wird die direkte Eingbe von Fktoren beschrieben. Die weiteren Optionen sind in der Beschreibung der Systemnlyse ufgeführt.

8 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Versuchspläne (Experimente) erstellt mn direkt im Dilogfenster unter dem Menüpunkt Dten/Versuchspläne im Huptfenster oder über die Ikone der Einstiegsmske. Eine empfehlenswerte Vorgehensweise ist jedoch über die Verwendung eines Wirkdigrmms, siehe Systemnlyse. Unter der Rubrik Fktoren werden die gewünschten unbhängigen Prmeter oder Fktoren definiert. Diese können entweder Quntittiv oder Ktegoril sein. Quntittive Fktoren können beliebige Zhlenwerte innerhlb einer festzulegenden unteren und oberen Grenze hben, die neben den Nmen einzugeben sind. Ktegorile Fktoren sind textliche Bezeichnungen für bestimmte Vorgänge oder Buteile, z.b. Liefernt A und B usw. Es können bis zu 7 ktegorile Bezeichnungen je Fktor definiert werden. Für linere Beziehungen reichen 2 Einstellungen für quntittive Größen. Für nichtlinere Zusmmenhänge müssen mindestens drei Einstellungen verwendet werden (qudrtisches Modell). Siehe hierzu uch Kpitel D-Optimle Versuchspläne. Es wird ber zunächst nur die obere und untere Stufe jedes Fktors benötigt. Durch die spätere Whl des qudrtischen Modells kommen utomtisch die Zwischenwerte hinzu. Die untere Stufe mit der kleinsten Zhl ist die Grundstellung. Alle weiteren Einstellungen kommen mindestens einml im Versuchspln vor. Sie müssen nicht gleiche Abstände hben. Nchdem die unbhängigen Fktoren bennnt wurden, ist noch die Zielgröße zu definieren. Wird diese nicht eingegeben, so erhält diese utomtisch die Bezeichnung Y. Im späteren Versuchspln wird eine leere Splte mit diesem Nmen ngefügt, in die die Ergebnisse der Versuche eingetrgen werden. Einzelne Fktoren können uch wieder gelöscht werden (Pfeiltste oberhlb Quntittiv). Zu bechten ist, dss die Anzhl der Versuche insbesondere bei vollfktoriellen Versuchsplänen mit der Anzhl der Fktoren erheblich zunimmt. In der ersten Splte des Versuchplnes steht später die Nummerierung der Versuchsreihenfolgen. Unter Umständen erfordert die Vrition einer oder mehrerer

9 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Fktoren einen zu großen Aufwnd (z.b. wegen Mschineneinstellungen). Es sind dnn bestimmte Kombintionen hintereinnder durchzuführen. Dies erreicht mn, indem der Fktor uf schwierig einzustellen gesetzt wird. Im nächsten Schritt (Tste Weiter oder Rubrik Design) wird ds Design oder der Typ des Versuchsplnes festgelegt. Als Modell steht Liner, Wechselwirkungen, Qudrtisch und Kubisch zur Verfügung. Entsprechend der Auswhl, werden in einer Auswhlliste links die benötigten Terme hinzugefügt. Einzelne können uch wieder gelöscht werden (Pfeiltste), z.b. wenn beknnt ist, dss bestimmte Wechselwirkungen nicht vorkommen. Als Typ knn Vollfktoriell, Teilfktoriell, Tguchi, zentrl zusmmengesetzt und D-Optiml, sowie Mischung-D-Opt. gewählt werden. Weiter unten wird gleichzeitig mit der Modell- und Typuswhl die Anzhl der so gennnten Kndidten und die Anzhl der benötigten Versuche ngezeigt. Die Kndidten entsprechen immer denen des vollfktoriellen Versuchsplnes. Für ein qudrtisches Modell mit 4 Fktoren werden lso Versuche benötigt. Zusätzlich können uch noch Zentrlpunkte mit den mittleren Werten und Wiederholungen gewählt werden. Siehe hierzu Optionen. Für rein linere Beziehungen werden die orthogonlen Versuchspläne nch Tguchi empfohlen. Unter der Rubrik Anordnung können zunächst die Versuchsnordnungen für jeweils zwei Fktoren ngezeigt werden. Dbei lssen sich uch Einschränkungen (Constrins) definieren, die in der Versuchsdurchführung nicht erreichbr sind. Hierzu ist rechts eine Auswhl zu treffen, über den Bereich der nicht verwendet werden soll, (dunkelgruer Bereich). Unterhlb der Fktorennmen können die konkreten Zhlenwerte hierfür eingegeben werden. Die Stndrdvorgbe ist der jeweilige Mittelwert. Auch ktegorile Fktoren können usgeschlossen werden (letzte Auswhl unter Einschränkungen). Dies mcht jedoch nur Sinn, wenn diese zusmmen mit bedingten Einschränkungen nderer Fktoren nicht mit ufgenommen werden sollen. Ansonsten würde mn diese ktegorile Vrinte unter Fktoren erst gr nicht ufnehmen. Bedingte Einschränkungen gelten ber uch für quntittive Fktoren. Z.B. knn es sein, dss physiklisch ein Bereich eines Fktors nur nicht erreichbr ist, wenn gleichzeitig die Einstellung eines nderen Fktors dies verhindert. Nch diesen Eingben ist die Tste Neu zu drücken, um diese Einschränkungen für den Versuchspln festzuhlten. In der Liste unten links können Sie lle gemchten Einschränkungen sehen und wieder löschen. Zum Ändern vorhndener Definitionen ist eine Auswhl in der Liste nzuklicken. Dnch können Zhlenwerte oder Bereiche geändert werden. Zum Abspeichern ist die Tste Übernehmen zu drücken. Für ein und dieselbe Fktorkombintion lssen sich mehrere Einschränkungen ncheinnder definieren, z.b. Abschneiden der linken oberen und rechten unteren

10 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Ecke. Unter der Rubrik Optionen gibt es noch eine Reihe von Einstellungen, die bei Bedrf gewählt werden können. Zusätzlich knn die untere Einstellung der Fktoren wiederholt werden. Die obere Einstellung ist im Grundversuchspln nicht enthlten und knn hinzugenommen werden. Ist zu erwrten, dss sich die Streuungen des Systems bei unterer und oberer Einstellung strk unterscheiden, so sind in beiden Wiederholungen sinnvoll. Ohne Wiederholungen mindestens einer Zustzuswhl ist keine Auswertung über den pure Error und über ein evtl. Lck of Fit möglich (siehe ANOVA in multipler Regression). Für D-Optimle Pläne gibt es weiterhin Zustzversuche zu dem Grundversuchspln. Diese sind stndrdmäßig. Siehe hierzu Kpitel D-Optimle Versuchspläne. Für ds Modell Liner und Wechselwirkungen sollte die Anzhl nicht betrgen, d sonst zu wenig Freiheitsgrde für die Bestimmung der p-vlues vorhnden sein können. Wurden bereits Versuche durchgeführt, die einbezogen werden sollen, so sind diese uf der Tbellenseite unter der Angbe Fixpunkte (Inclusions) einzugeben. In dieser Tbellenseite müssen die Fktornmen in der ersten Zeile in der Reihenfolge stehen, wie sie unter der Liste Fktoren stehen. Bei der Erstellung des Versuchsplnes wird geprüft, ob diese schon vorhnden sind. Wenn nicht, werden diese einzeln dem Versuchspln hinzugefügt. Dieses Vorgehen knn uch dzu benutzt werden, bestimmte Einstellungskombintionen explizit mit ufzunehmen. Soll zu einem bereits durchgeführten Versuchspln, ein Fktor neu hinzukommen, so ist in der Tbelle, definiert unter Fixpunkte, eine weitere Splte mit diesen Fktornmen ufzunehmen. Die Einstellung entspricht der bei den vorherigen Versuchen. D dieser Fktor bisher nicht vriiert wurde, sind in llen Zeilen ntürlich die gleichen Werten einzutrgen. Für D-Optimle Versuchspläne gibt es die Möglichkeit nstelle des Kndidtensets us dem vollfktoriellen Pln eine eigene Auswhl vorzugeben. Dmit lssen sich z.b. uch Versuchsplnvrinten kombinieren. Ist nfänglich ein zentrl zusmmengesetzter Versuchspln gewünscht, dieser ber in der Anzhl der Versuche zu groß, so knn im zweitem Schritt ein D-Optimler Pln mit Kndidtenset eines zentrl zusmmengesetzten ufgebut werden. Dieser benötigt evtl. erheblich weniger Versuche. Die Zieltbelle für den neuen Pln ist unter Allgemein dnn uf z.b. T2 zu setzen. Mn knn uch komplexere Einschränkungen und Selektionen, die mnuell us einem vollfktoriellen Versuchspln berbeitet wurden, hier verwenden. Der Nchteil ist, dss mn hierbei nicht mehr sicherstellen knn, dss die Auswertbrkeit zu % möglich ist. Demgegenüber erstellt mn einen neuen Pln unter Einbeziehung einer vorhndenen Tbelle mit Fixpunkte immer ls optimlen Versuchspln und es werden evtl. notwendig Versuche zu den vorhndenen ergänzt.

11 Versuchsplnung 22 CRGRAPH Unter Wiederholungen ist es möglich jeden Versuch in der Tbelle mehrfch drzustellen. Dies ist sinnvoll, wenn eine entsprechende Streuung der Ergebnisse erwrtet wird. In diesen Fll sind ntürlich unter Zusätzlich keine Werte > notwendig. Bei D-Optimlen Plänen knn es dbei jedoch zu Scheinkorreltionen kommen. Es empfiehlt sich die Wiederholungen in verschiedene Splten zu schreiben. Ausgewertet wird dnn der Mittelwert ym hierus und z.b. die Stndrdbweichung s bzw. ds S/N-Verhältnis nch Tguchi. Dies ermöglicht insbesondere robuste Systeme zu erstellen (siehe Beispiel..\6_Dtenuswertung\ Beispiel_Tguchi.vxg). Anstelle der Erzeugung von ym, s und S/N über Formeln, knn uch die Funktion Sttistik/Sttistic Summry verwendet werden. Der Tbellenbereich F-I8 muss dvor mrkiert sein. Besteht die Befürchtung, dss die Reihenfolge der Versuche über der Zeit (z.b. wegen Umwelteinflüsse) einen Einfluss uf die Ergebnisse ht, so ist uf jeden Fll die Einstellung der Fktoren bei Beginn der Versuche m Ende nochmls zu wiederholen. Bei der Auswertung knn evtl. uch die Splte der Versuchsreihenfolge ls Pseudofktor mit usgewertet werden. Hierzu ist in der. Splte ein Titel zu schreiben (z.b. VNr) Nch Betätigung der Tste Ok wird der Versuchspln in die unter Allgemein ngegebene Tbellenseite geschrieben. Stndrdmäßig ist dies die Tbellenseite Experiment. Ds mehrmlige Erzeugen von D-Optimlen Plänen ergibt unterschiedliche Pläne, die weitgehend gleichwertig sind. Voll- oder teilfktorielle Pläne sind immer gleich. Im Kpitel Systemnlyse wird zur Erstellung von Versuchsplänen ein nderer Weg vorgeschlgen. Hier werden die Fktoren zunächst grfisch ls Mindmp erstellt. Ist zunächst nicht klr, welche Fktoren uszuwählen sind, ist diese Vorgehensweise zu empfehlen. Nch Durchführung der Versuche und Eingbe der Ergebnisse in die letzte Splte, knn die Multiple Regression ufgerufen werden, um die Dten uszuwerten.

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