Bericht zur Prüfung im Oktober 2003 über Mathematik der Lebensversicherung (Grundwissen)

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1 Bericht zur Prüfung im Oktober 2003 über Mathematik der Lebensversicherung Grundwissen) Jürgen Strobel Köln) und Hans-Jochen Bartels Mannheim) Am wurde in Köln die zehnte Prüfung über Mathematik der Lebensversicherung Grundwissen) nach der Prüfungsordnung der DAV mit insgesamt 252 Teilnehmerinnen und Teilnehmern durchgeführt. Das Bestehen dieser Prüfung ist eine notwendige Voraussetzung, um die Mitgliedschaft in der DAV erwerben zu können. 180 Damen und Herren haben die Prüfungsklausur bestanden. Die Prüfung bestand aus einer 90- minütigen Klausur, in der drei Aufgaben gestellt waren. Um die Klausur zu bestehen, mussten mindestens 36 Punkte von 90 möglichen Punkten erreicht werden. Auszüge aus den DAV- Sterbetafeln 1994 TM und TF i = 3, 25%) und eine Formelsammlung Barwertformeln) wurden zur Verfügung gestellt. 1. Aufgabe 40 Punkte) Ein LVU möchte für Berufseinsteiger eine gemischte Kapitalversicherung mit konstanter Todesfallleistung anbieten, bei welcher der Jahresbeitrag in den ersten 5 Jahren nur c 100% des ab dem 6. Jahres gezahlten,,vollbeitrags beträgt 0 c 1). a) Berechnen Sie die ab dem 6. Versicherungsjahr zahlbare,,volle Nettoprämie P für eine 25-jährige Frau bei einer Laufzeit von 35 Jahren und einer Versicherungssumme von für c = 0, 25 d.h. die gezahlte Prämie betrage in den ersten 5 Jahren 0, 25 P, ab dem 6. Jahr 1, 0 P). b) Begründen Sie, warum c nicht beliebig nahe bei Null liegen darf, und berechnen Sie das minimale c mit den Werten aus Teil a). c) Der Tarif solle tatsächlich mit dem kleinstmöglichen Wert von c angeboten werden. Was ist dann bei der Festlegung von Kostenzuschlägen zu beachten? Welche möglicherweise für den Versicherer problematische Option enthält dieser Tarif? Sterbetafel DAV 1994 TF, i = 3, 25%) Lösung: Zu a) Berechnung der Nettoprämie mit dem Ansatz nach dem Äquivalenzprinzip: BW Prämien) = BW Leistung) BW Leistungen) = A x, n = 1 d ä x, n ) = 1 1 v) N ) x N x+n = 1 0, , 827 = 0, = , , , 044 ) 511

2 Somit ergibt sich: BW Prämien) = ä x, n P ä x, 5 1 c) P ) = P ä x, n 1 c) ä x, 5 Nx N x+n = P 1 c) N ) x N x+5 = P 21, , 75 4, ) = P 17, P = , 20 = 1.930, 75 17, Zu b) Mindestbetrag für c Die reduzierte Prämie zu Beginn muss mindestens so hoch sein wie die Nettoprämie für eine 5-jährige Risikoversicherung, d.h. es muss gelten: c P ) ä x, 5 = M x M x+5 c P = M x M x+5 N x N x+5 = 57, 16 Zur Bestimmung von P : Nx N x+n P 1 c) N ) x N x+5 = A, n x Nx N x+n P N ) x N x+5 + P c N x N x+5 = A, n x Also muss gelten: P 21, , ) + 57, 16 4, = , 20 P = c , 13 = 2.052, 89 16, , 16 = 0, , 89 Hinweis: Eine weitere Forderung besteht darin, dass die reduzierte Prämie während der ersten 5 Jahre mindestens so hoch sein muss, dass sich ein positives Deckungskapital ergibt. Dies kann alternativ als Ansatz herangezogen werden, um den Mindestwert von c zu bestimmen. Geschieht dies in der Weise, dass das Deckungskapital am Ende des 5. Jahres gerade gleich Null ist, so könnte nebenbei de Berechnung der Vollprämie im vorliegenden Beispiel einfacher erfolgen. Dann muss nämlich nach dem erweiterten Äquivalenzprinzip gelten, dass der Barwert der künftigen Prämien genau dem zukünftigen Leistungsbarwert entspricht. Die Vollprämie muss also genau der Nettoprämie einer gemischten Kapitalversicherung für eine 30-jährige Frau mit einer Versicherungsdauer von 30 Jahren entsprechen. Dies ergibt sich auch numerisch tatsächlich: P = A 30, 30 ä x, n = M 30 M 60 + D 60 N 30 N 60 = 2.052, 89 Zu c) Bei der Kostenkalkulation muss natürlich darauf geachtet werden, dass der Kostenansatz insbesondere zu Beginn zu einer hinlänglichen Kostendeckung führt. Es bietet sich an, in den 512

3 ersten Jahren zumindest den Kostenanteil des Beitrags zu verlangen, der demjenigen einer analogen 5-jährigen Risikoversicherung entspricht. Dieser Tarif kann bei kleinem Ansatz von c allerdings nicht im üblichen Sinne verprovisioniert werden, denn die Abschlusskosten in Höhe von 4% der Bruttobeitragssumme würden die ersten 5 Beiträge um ein Vielfaches übersteigen. Auf einen weiteren Aspekt sei hingewiesen: Wenn tatsächlich das c wie oben dargestellt minimal gewählt wird, so handelt es sich faktisch um die Hintereinanderschaltung einer reinen Risikoversicherung und einer kapitalbildenden Lebensversicherung. Da am Ende der ersten 5 Jahre der Kunde den Vertrag schadlos kündigen kann, bedeutet diese Konstruktion für den Kunden eine kostenlose Nachversicherungsoption: je nach dem Gesundheitszustand am Ende des 5. Jahres wird die Versicherung weitergeführt oder nicht. Aus Sicht des LVU könnte es dabei zu einer ungewünschten Risikoselektion kommen. 2. Aufgabe 25 Punkte) Für eine reine Risikoversicherung seien folgende Daten vorgegeben: die über die Vertragslaufzeit konstante Todesfalleistung T, das Eintrittsalter x und die Laufzeit n. Die Prämien P m des m ten Jahres m = 1,..., n sind jährlich vorschüssig zu zahlen und sollen linear steigen. Der Einfachheit wegen werden nur die ungezillmerten Nettoprämien also Prämien ohne Kostenzuschläge ) betrachtet. Die letzte Prämie P n sei als die natürliche Prämie festgelegt, d.h. die benötigte Risikoprämie für das n-te Versicherungsjahr. Damit lassen sich die Prämien P 1,...,P n 1 berechnen mit Hilfe des Äquivalenzprinzips. Für T = , x = 35, n = 10 und mit der Tafel DAV 1994TM; i = 3, 25%, ergeben sich dann folgende Werte für die so festgelegten Prämien: x linear steigende Prämie 35 P 1 = 139,66 36 P 2 = 164,24 37 P 3 = 188,82 38 P 4 = 213,40 39 P 5 = 237,98 40 P 6 = 262,56 41 P 7 = 287,13 42 P 8 = 311,71 43 P 9 = 336,29 44 P 10 = 360,87 a) Geben Sie die Äquivalenzgleichung an, aus der sich die Prämien P m zusammen mit der Forderung der Linearität : P m = P 1 + P n P 1 ) m 1 n 1 = P n m 1) + P 1 n m) n 1 im Prinzip berechnen lassen. 513

4 b) Für T = , x = 35, n = 10 berechne man mit der Tafel DAV 1994TM; i = 3, 25%, die natürlichen Prämien, d.h. die benötigten Risikoprämien, für die ersten vier Beitragsjahre und vergleiche diese mit den oben angegebenen Prämien P 1,..., P 4. c) Warum ist eine Versicherung dieser Form unter aktuariellen Gesichtspunkten nicht zulässig? Welche Maßnahmen wären denkbar, wenn diese Versicherungsform trotzdem in ähnlicher Form, d.h. mit linear steigenden Prämien angeboten werden soll? Lösung Zu a) Es ist P n = v q x+n 1 T natürliche Prämie). Der Leistungsbarwert der Risikoversicherung ist es folgt daher mit dem Äquivalenzprinzip: n A x = M x M x+n T, n 2 n A x =P 1 + P 2 v p x + P 3 v 2 p x+1 p x P n v n 1 =P 1 + n P j v j 1 j 2 Alternativ kann man die letzte Summe unter Verwendung der +i auch so schreiben: n A x = n i=1 Zusatz bei der Musterlösung dieser war nicht verlangt in der Aufgabenstellung ): Da die Prämien linear steigen sollen, ist P i +i 1. 1) P m = P 1 + P n P 1 ) m 1 n 1 = P n m 1) + P 1 n m) n 1 und man kann dann auch explizite Formeln für die Prämie P 1 angeben: n A x = P 1 + n P n j 1)+P 1 n j) n 1 v j 1 j 2 = = P 1 + P 1 n n j + P n n j 1 also n A x P n n j 1 P 1 =. 1 + n n j 514

5 Unter Verwendung der Anzahl der diskontierten Lebenden +i kann die Formel noch etwas komprimierter aufgeschrieben werden vgl. Formel 1) oben ). Zu b) [Die konstante normale) Nettoprämie beträgt 243,51 EUR.] x nat. Prämie lin. steig. Prämie ,20 139, ,02 164, ,38 188, ,88 213, ,99 237, ,81 262, ,41 287, ,98 311, ,04 336, ,87 360,87 Offenbar sind die Prämien für a) bei x = 35, 36, 37 kleiner als die natürliche Prämien. Zu c) Da die unter b) errechneten Prämien niedriger sind als die benötigten natürlichen Prämien, muss das ungezillmerte) Nettodeckungskapital für m = 1, 2, 3 kleiner Null werden. Erst für x + m = 38 steigt es. Damit liegt ein erhebliches Antiselektionsrisiko / Stornorisiko vor. Als Maßnahmen wären denkbar : Abkürzung der Beitragszahlungsdauer oder alternativ: Man setzt die Endprämie P n = f v q x+n 1 T mit 0 < f < 1 niedriger fest. Damit werden die Anfangsprämien höher, d.h. der Tarif wird zum Ende günstiger und am Anfang teurer. f ist dabei so auszutarieren, daß die erste Prämie mindestens gleich der natürlichen Prämie ist. 3. Aufgabe 25 Punkte) f 0 B a 0 V 1 = c 0 f t B + V t a t V t+1 = c t für t = 1,..., n 2 und f n 1 B + V n 1 = c n 1 sei das einen Versicherungsvertrag beschreibende lineare Gleichungssystem mit : 0 < a t < 1 für t = 0, 1,..., n 2, den Beitragszahlungsmodalitäten f 0 = 1, f 1 =... = f n 1 = 0, den Zahlen c t > 0, t = 1,...n 1, welche die Leistungen des Tarifs beschreiben, und 515

6 den zugehörigen Deckungsrückstellungen V t > 0 für t = 1,..., n 1. Es gelte f n 1 B = c n 1 und f t B < c t für t = 0, 1, 2,.., m mit m < n 2 und f t B > c t für t = m + 1,..., n 2. Man zeige: Mindestens m + 1 Deckungsrückstellungen in der Folge V 1, V 2,..., V n 1 sind negativ. Lösung Aus B = c 0 + a 0 V 1 folgt wegen f 0 B < c 0 die Beziehung V 1 < 0, und hieraus ergibt sich rekursiv aus den angegebenen Bedingungen wegen f t B + V t a t V t+1 = c t und a t > 0 sofort : V 2, V 3,..., V m+1 < 0 und damit insgesamt die Behauptung. Es gilt ferner V n 1 = 0, wegen f n 2 B + V n 2 = c n 2 sowie f n 2 B > c n 2 folgt hieraus V n 2 < 0. Rekursiv folgt dann sogar V n 3,..., V m+2 < 0. In Worten formuliert heißt dies, dass man durch nicht ausreichende Prämien zu Beginn negative Deckungskapitale aufbaut, danach d.h. nach dem Jahr m werden die negativen Deckungskapitale zwar wieder aufgefüllt, bleiben aber noch negativ, bis schließlich V n 1 = 0 wird und damit letztlich die Äquivalenzgleichungen erfüllt werden. Solche Tarifgestaltungen sind auf jeden Fall zu vermeiden, da negative Deckungsrückstellungen im Stornofall zu Verlusten des Versicherungsunternehmens führen und aus Sicht des Kunden einen zu billigen Versicherungsschutz bieten bei gezieltem Storno zum richtigen Zeitpunkt). 516