E09. Brückenschaltungen. 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Ohmsches Gesetz und Widerstand

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1 E9 Brückenschaltungen Die Verwendung von Brückenschaltungen ist von praktischer Bedeutung, da hierbei im Gegensat u anderen Messmethoden die Messgröße selbst durch die Messung unbeeinflusst bleibt. Mit Hilfe von Brückenschaltungen sollen in diesem Versuch Ohmsche Widerstände, deren Temperaturabhängigkeit (im Gleichstromkreis) und kapaitive bw. induktive Widerstände (im Wechselstromkreis) bestimmt werden.. Theoretische Grundlagen. Ohmsches Geset und Widerstand n Metallen gibt es freibewegliche Elektronen, die durch eine angelegte elektrische Spannung in Bewegung gesett werden, d.h. einen Strom darstellen. Wenn die Temperatur ϑ konstant bleibt, beobachtet man, dass der Quotient / einen konstanten Wert hat. Man beeichnet diesen Quotienten als Widerstand : Bild : Stromfluss durch Metall = [] = Ω () Dieses Geset wird nach Simon Ohm (787 85) das Ohmsche Geset genannt. Die Abhängigkeit des Widerstandes von Art und Geometrie eines Leiters wird durch folgende Gleichung beschrieben: l = ρ. () A Der Widerstand ist der Länge l des Leiters direkt und dem Querschnitt A umgekehrt proportional. Der speifische Widerstand ρ ([ρ] = Ω m) hängt vom Material und dessen Temperatur ab... Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Wenn man einen metallischen Leiter erwärmt, findet man im Allgemeinen eine Zunahme des elektrischen Widerstandes. Bei Legierungen ist die Zunahme geringer, einige besiten sogar einen fast konstanten Widerstand. Bei Kohlenstoff und flüssigen Leitern nimmt der Widerstand beim Erwärmen ab. Für beliebige Temperaturen ϑ ([ϑ] = ) lässt sich der elektrische Widerstand mit folgender Gleichung beschreiben: ( ϑ) = ( + α( ) ) ϑ Hierbei ist der Widerstandswert bei und α der sog. Temperaturbeiwert des Widerstandes (auch Temperaturkoeffiient genannt). ().. Messung Ohmscher Widerstände Der Wert eines Ohmschen Widerstandes kann durch Messung der anliegenden Spannung und des über ihn fließenden Stromes bestimmt werden. Bei gleicheitiger Messung beider Größen ist edoch mindestens ein Messwert aufgrund der nnenwiderstände der Messgeräte verfälscht. 5

2 E9 Brückenschaltung Ein Messverfahren, das diese Abweichung nicht hat, beruht auf der Wheatstoneschen Brückenschaltung nach Bild. Die Brücke ist abgeglichen, wenn der Strom über das Messgerät Null wird. Dau müssen die beiden Punkte A und B auf dem gleichem Potential ϕ liegen. Das ist wegen Bild : Brückenschaltung + = + ϕ A =, + ϕ B = () + genau dann der Fall, wenn (5) und damit gilt: =. (6) Versuchsaufbau für Aufgabe und Wenn.B. ein unbekannter Widerstand ist, dann kann aus der Gleichung (6) bestimmt werden, wenn man für einen bekannten Vergleichswiderstand verwendet. m die Brücke abgleichen u können, werden und durch ein Potentiometer ersett, dessen Mittelabgriff am Punkt A (Bild ) liegt (Bild ). n der Praxis ist die Verwendung eines mehrgängigen Wendelpotentiometers gebräuchlich, dessen Schleiferstellung auf einer um abgegriffenen Widerstand proportionalen Skala angeeigt wird. st max der Endwert der Skala und der Skalenwert bei abgeglichener Brücke, so gilt: Bild : Mit Potentiometer abgleichbare Brückenschaltung = = max und damit: max = (7) Der Vorwiderstand V begrent den Strom über das Amperemeter und ermöglicht somit einen Grobabgleich der Brücke. Zum Feinabgleich wird V durch den Taster T überbrückt.. Widerstände im Wechselstromkreis.. Komplexe Darstellung periodischer Größen Eine eitlich periodische Wechselspannung ( t) ωt lässt sich mit der Eulerschen Beiehung darstellen und als ealteil einer komplexen Größe ( t) ( e ) e ix = cos (8) = cos x + i sin x (9) = e. () - -

3 E9 Brückenschaltung Bild : Zeigerdiagramm einer komplexen Spannung (t) Diese komplexe Größe kann in der Gaußschen Zahlenebene (Bild ) veranschaulicht werden als ein mit der Kreisfrequen ω in mathematisch positiver ichtung rotierender Zeiger der Länge. Es ist nun üblich, statt der Gleichung () die Spannung durch die komplexe Größe selbst u beschreiben ( t) e = () und die physikalische Spannung nur als ealteil von Gleichung () u interpretieren. m dies u kenneichnen, werden solche komplexen Größen mit einer Tilde ( Schlange ) versehen. Der Vorteil dieser komplexen Darstellung gegenüber der trigonometrischen Schreibweise periodischer Größen liegt in erheblich vereinfachten echnungen, in denen man beispielsweise auf Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen gan verichten kann. Bei Kapaitäten und nduktivitäten im Wechselstromkreis treten gegenüber Ohmschen Widerständen neue Phänomene auf,.b. Phasenverschiebung wischen Spannung und Strom oder die Tatsache, dass Verhältnisse von Teilspannungen frequenabhängig sind. Diese Phänomene werden in den folgenden Abschnitten beschrieben... Kapaität im Wechselstromkreis Ein Kondensator mit der Kapaität liegt an einer Wechselspannung (). Dann gilt mit der eitabhängigen Ladung Q ( t) des Kondensators: ( t) = Q( t) () Differeniert man nach der Zeit, so erhält man = Q t ( ) = ( t). () Bild 5a: Phasendiagramm eines rein ohmschen Widerstandes Bild 5b: Phasendiagramm eines Kondensators Daraus ergibt sich mit () die eitabhängige Stromstärke ( t) = i ω ( t) = i e () mit der Amplitude = ω (5) Veranschaulicht man sich dieses Ergebnis wieder in der komplexen Zahlenebene, so erkennt man, dass ur Zeit t = der Zeiger für in ichtung der reellen Achse, der Zeiger für in ichtung der imaginären Achse eigt. Das heißt, der Strom eilt der Spannung beim Kondensator mit einer Phasenverschiebung von 9 voraus (Bild 5b). - -

4 E9 Brückenschaltung Man definiert im Wechselstromkreis den Quotienten aus Momentanspannung und -strom als komplexen Widerstand Z und erhält für einen Kondensator ( t) Z = = = i. (6) ( t) i ω ω Der Betrag von Z heißt Scheinwiderstand (hier = ω ). Z.. nduktivität im Wechselstromkreis Legt man an eine nduktivität L in Form einer Spule eine Wechselspannung (), so muss nach dem weiten Kirchhoffschen Geset die Summe der Spannungen im Kreis stets Null sein: t + t = (7) ( ) ( ) ind Die in der Spule induierte Spannung ist ind ( t) = L ( t) (8) Sett man () und (8) in (7) ein, so erhält man = e L. (9) Der eitliche Verlauf der Stromstärke ergibt sich dann durch ntegration: ω L ( t) i e = i e = mit der Amplitude = () () ω L Zureit t = eigt ett in ichtung der negativen imaginären Achse, der Strom hinkt der Spannung mit einer Phasenverschiebung von 9 nach (Bild 5c). Der komplexe Wechselstromwiderstand der Spule ist Bild 5c: Phasendiagramm einer Spule Z L wobei = = i ω L, () ( t) ( t) Z L = ωl ihr Scheinwiderstand ist... eihenschaltung von, L und Bei der eihenschaltung eines Ohmschen Widerstandes, einer nduktivität L und einer Kapaität (Bild 6) an eine treibende Spannung ( t) gilt u eder Zeit das weite Kirchhoffsche Geset in der Form: ( t) + Q( t) = ( t) L ( t) () - -

5 E9 Brückenschaltung Die eitliche Ableitung von () ergibt ( t) + L ( t) + ( t) = ( t) () Als Lösung dieser Differentialgleichung nach dem Abklingen des Einschwingungsvorgangs erhält man für den hier nur betrachteten schwach gedämpften Fall eine sinusförmige Funktion, die gegenüber der Erregerfunktion um den Winkelϕ phasenverschoben ist. Entsprechend fließt auch in der Schaltung ein harmonisch osillierender Strom i( ωt ϕ ) ( t) = e (5) Durch Einseten von (5) und () in () erhält man den komplexen Wechselstromwiderstand der Schaltung als Summe der komplexen Einelwiderstände: Z = = + i ωl. (6) ω Bild 6a eihenschaltung von, L und Bild 6b: Addition der komplexen Widerstände Diese Summe lässt sich auch geometrisch in der komplexen Ebene darstellen (Bild 6b). Da die Stromstärke im Kreis überall gleich ist, kann Bild 6b auch als Zeigerdiagramm für die Spannungssumme im Kreis aufgefasst werden (Bild 6c). Der Strom ist in Phase mit der Teilspannung am Ohmschen Widerstand, der Winkel ϕ gibt demnach die Phasenverschiebung wischen dem Strom und der äußeren Spannung an. Er lässt sich berechnen aus ωl ω tanϕ =. (7) nteressiert man sich nur für den Quotienten der Amplituden von ( t) und ( t) die Beträge betrachten: Z = ( L ) = + ω Bild 6c: Zeigerdiagramm für die Teilspannungen, so muss man in (6) ω. (8) Der Betrag des komplexen Wechselstromwiderstandes Z wird als Scheinwiderstand der Schaltung beeichnet...5 Messung komplexer Widerstände Mit Hilfe einer Brückenschaltung können auch komplexe Wechselstromwiderstände gemessen werden (Bild 7). Die Brücke wird hieru mit Wechselspannung konstanter Frequen betrieben. Bei Fre-

6 E9 Brückenschaltung quenen im hörbaren Bereich kann statt des Strommessgerätes auch ein Kopfhörer verwendet werden. Die beiden komplexen Widerstände haben die Werte Z = + iω L ( =,) (9) Verwendet man Kondensatoren statt der Spulen, so ist Z = + iω ( =,) () Bild 7: Messbrücke für komplexe Widerstände Die Bedingungen für den Abgleich der Brücke sind analog u Gleichungen (6) und (7): + i = = Z Z =. () max + i und sind die maginärteile von Z und Z ( L = ω L; = ω ). Führt man die komplexe Division durch, so erhält man + = + i. () + + Da die linke Seite von () reell ist, muss der maginärteil auf der rechten Seite verschwinden und es folgt =. () nter Verwendung von () kann der ealteil von () umgeformt werden: =. () Anmerkung: Für den Abgleich der Brücke müssen also die wei Bedingungen () und () gleicheitig erfüllt sein. Seien und die unbekannten Größen. Dann liefert () die Bestimmungsgleichung für = = max (5) und aus () und () folgt: =. (6) max - 6 -

7 E9 Brückenschaltung.Versuch. Vorbetrachtung Aufgabe : Es gibt eine Vielahl von Messbrücken. Benennen Sie mindesten wei. Wou werden sie benutt und wie funktionieren sie? Aufgabe : Wie groß ist der Temperaturkoeffiient α eines temperaturabhängigen Widerstandes, der mit Hilfe einer Brückenschaltung ermittelt wurde (siehe Bild )? Messwerte: ( max = Z max = Ω; = Z = 5Ω bei ; = Z = 68Ω bei ; = Ω). Versuchsdurchführung.. Verwendete Geräte Aufbaubrett mit Widerständen, Kondensatoren und Spulen, Glühlampe, Potentiometer, Taster, Strommessgerät, Edelmetallwiderstand, Heiofen, Temperaturmess- und -regelgerät, Sinusgenerator, Batteriekasten.. Versuchshinweise Aufgabe : Messung mit einer Messbrücke Bestimmen Sie den Ohmschen Widerstand einer Glühlampe und weier Spulen mit einer Messbrücke unter Verwendung unterschiedlicher Vergleichswiderstände. Bauen Sie die Schaltung nach Bild auf und seten Sie für eine Lampe V,,A (Herstellerangaben) ein. Beginnen Sie den Abgleich mit dem größten Messbereich des Strommessgerätes. Der Feinabgleich erfolgt mit Betätigung des Tasters T und mit mschaltung der Strombereiche. Verwenden Sie als Vergleichswiderstände folgende Präisionswiderstände: Ω, 5Ω, Ω, Ω, 5Ω und kω (Toleran %). Zur Bestimmung des Ohmschen Widerstandes der Spulen (Wdg. und 5Wdg.) genügt eine Messung. Bestimmen Sie dabei den günstigsten Vergleichswiderstand. Aufgabe : ntersuchung der Temperaturabhängigkeit eines Edelmetallwiderstandes Zur Temperierung befindet sich der Edelmetallwiderstand in einem ohrofen. Benuten Sie diesen mit dem angeschlossenen Temperaturregel- und -messgerät (Messbereich > ) ur Erwärmung des Widerstandes. Messen Sie den Widerstand mit der aufgebauten Messbrücke ( = Ω) unächst bei aumtemperatur und dann bei Änderung der Temperatur in ca. 5 - Schritten. Die Temperaturänderung geschieht über die Sollwerteinstellung am Temperaturregelgerät. Warten Sie eine konstante sich einstellenden Temperatur ϑ (über Temperaturmessgerät - Einstellung stwert) ab. Die maximal einustellende Temperatur beträgt, sonst Zerstörung des Widerstandes! Aufgabe : ntersuchung nduktivität und Ohmschen Widerstand einer Spule - 7 -

8 E9 Brückenschaltung Aufgabe : Bestimmung der nduktivität und des Ohmschen Widerstandes Bauen Sie die Schaltung nach Bild auf. Benuten Sie dabei den Funktionsgenerator N-T als Spannungsquelle ( = 5V). Daten der Vergleichsspule: Windungsahl: Wdg. nduktivität L : 7mH Ohmscher Widerstand : aus Aufgabe Benuten Sie ur Bestimmung der nduktivität L bw. des Ohmschen Widerstandes die Spule 5Wdg. Stellen Sie am Potentiometer die minimale Lautstärke des Kopfhörers ein und notieren Sie sich den Wert für. Verwenden Sie für die Messung die Frequenen H, 5H, kh, 5kH und kh. Aufgabe : Bestimmung einer unbekannten Kapaität Bestimmen Sie mit einer Messreihe von mindestens Messungen die Kapaität des Kondensators x ( ) mit einer Messbrücke. Verwenden Sie den Aufbau entsprechend der Aufgabe. Erseten Sie dabei die Spulen durch die entsprechenden Kondensatoren (usätliche Beschaltungen sind nicht notwendig). Benuten Sie als Vergleichskondensator: =,µf (Toleran %) und legen Sie die Frequeneinstellung selbst fest (Frequenwerte wischen H bis kh).. Versuchsauswertung Aufgabe : Messung mit einer Messbrücke nterpretieren Sie die Messergebnisse. Bestimmen Sie die absolute und relative Messunsicherheit durch eine Fehlerrechnung von für alle Messungen. Aufgabe : ntersuchung der Temperaturabhängigkeit eines Edelmetallwiderstandes Stellen Sie die Messergebnisse als Funktion = f (ϑ) unter Verwendung der linearen egression graphisch dar. Berechnen Sie den Temperaturbeiwert unter Verwendung des Anstiegs dieser Kurve. Bestimmen Sie die Messunsicherheit durch eine Fehlerrechnung für den Temperaturbeiwert unter Verwendung der bei der linearen egression auftretenden Standardabweichung s b. Aufgabe : Bestimmung der nduktivität und des Ohmschen Widerstandes Bestimmen Sie L und und weisen Sie deren Frequenunabhängigkeit nach. Aufgabe : Bestimmung einer Kapaität Bestimmen Sie sowie die Messabweichung