die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).

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1 Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres. Se Y das Rskoergebs des Verscherugsuterehmes für dese Verscherug, bewertet zu Beg des Jahres. Ermttel Se das Rskoergebs ud herzu das rskerte Kaptal für das Todesfallrsko ud für das Erlebesfallrsko. Verwaltugskoste solle cht berückschtgt werde. b) Bewese Se, dass a) EY glt, we de tatsächlche Sterblchket der rechugsmäßge Sterblchket etsprcht. c) Ermttel Se für ee Bestad vo. Reteverscheruge (gleches Alter, gleches Geschlecht, gleche Rete) das erwartete Rskoergebs, we de tatsächlche Sterblchket ur 9 % der rechugsmäßge Sterblchket beträgt. d) Se Y de Schadehöhe ( = Rskoergebs) des -te Verscherugsehmers,, ). Es gelte de Aahme uter a). ) Defere Se de Zufallsvarable Y. Welche Egeschafte habe se? ) Gebe Se Erwartugswert ud Varaz vo Y a. ) Bezeche S Y de Gesamtschade m Bestad. Bestmme Se de für de Bestad zusätzlch beötgte Scherhetszuschlag S, so dass ur mt Wahrschelchket 5 % der Gesamtschade größer als de Deckugsrückstellug zzgl. Scherhetszuschlag st. v) Gebe Se de Scherhetszuschlag m Verhälts zu der gesamte Deckugsrückstellug am Afag des Verscherugsjahres (ach Abzug der Rete) a. v) Welche Auswrkug hat es für Telaufgabe ), we de verscherte Rete m Bestad uterschedlch sd? Gebe Se ee Bedgug a, damt ee zu ) verglechbare Aussage getroffe werde ka. Quatle der Stadardormalvertelug, p,9,95,975,99,995,999 u p,8,64,96,33,58 3,9

2 Lösug Aufgabe a) Nach der Rekursosformel für de Deckugsrückstellug glt V = -P + R + vv ( - q) herbe bezeche q V V P R v Deckugsrückstellug am Afag des Verscherugsjahres Deckugsrückstellug als Reter am Ede des Verscherugsjahres Präme, jährlch vorschüssg Verscherugslestug, fällg am Beg des Verscherugsjahres Sterbewahrschelchket des Verscherte Be eer Reteverscherug der Retebezugszet st P = ud R de vorschüssge Jahresrete.../

3 / Da be Tod kee wetere Rete zu leste st, lässt sch V schrebe als V = R + vv ( - q) + q V - R = vv ( - q) + q d. h. ach Abzug der sofort fällge Rete muss de verblebede Deckugsrückstellug für de erwartete ud abgezste Deckugsrückstellug am Ede des Verscherugsjahres ausreche. Das rskerte Kaptal st K T = - (V - R) m Todesfall K E = vv - (V - R) m Erlebesfall b) E(Y) = - K^T*q-K^E*(-q) = c) Es gelte de rskerte Kaptale aus Aufgabe a), jedoch st aufgrud der Dfferez zwsche rechugsmäßger ud tatsächlcher Sterblchket de Rekursosformel der Deckugsrückstellug cht gültg. De Deckugsrückstellug am Afag des Jahres recht ur be % Sterblchket aus, d. h. V - R = ( - q) vv Be 9 % Sterblchket wrd jedoch e Deckugskaptal beötgt. V R =,9q vv 9 9 V gemäß Das Rskoergebs st also 9 V R V R = q vv, 9q vv =,q vv../ 3

4 / 3 d) ) Defere Y ( ) vv V R falls -ter Verscherer überlebt = V R falls -ter Verscherter strbt da sd de Y uabhägg ud detsch Beroull-vertelt mt ( ( )) ( = + ) = P Y = vv V R = q P Y V R q ) Se X ZV mt X falls -ter Verscherter überlebt = sost da glt Y = vv X - (V - R) ud es folgt E(Y ) = vv E(X ) - (V - R) = vv ( - q) - (V - R) ud ( ) = ( ) = Var ( vv X ( V R) vv ( q) ( V R) ) = Var vv X vv ( q) Var Y Var Y E Y ( ) ( vv ) Var ( X P) = ( vv ) Var ( X ) ( vv ) q ( q) = =../ 4

5 / 4 ) Es soll gelte P(S + S > E(S )) =,5 () Es st E S EY E Y vv q V R = = ( ) = = ( ) = ( ( ) ( )) = = ( ) Var S Var Y vv q q Da Y..d. sd ach dem zetrale Grezwertsatz de Zufallsvarable S ( ) E S Var S asymptotsch stadardormalvertelt. Daher st () äquvalet zu S + S E S Var S! P =, 5 Var ( S ) S E S S = Var S S! u,65 Var S P,5 =,95 = mt u,95 95 %-Quatl der Stadardormalvertelug. S =, 65 Var S =,65 vv q q../ 5

6 / 5 v) ( ) ( ) S,65 q q = V R q ( ) ( ) q q =,65 q,65 q = q q =,65 q q =,65 q v) Be uterschedlche Retebeträge sd de Zufallsvarable Y zwar uabhägg, aber cht mehr detsch vertelt. Der zetrale Grezwertsatz st awedbar, we bespelswese de Ljapuoff-Bedgug erfüllt st. D. h. δ >, so dass +δ = ( ( ) ) +δ lm E Y E Y = τ mt Var ( S ) Var ( Y ) τ = = =

7 stochastsche Prozesses t t Aufgabe (3 Pukte): De achfolgede Graphk zegt de afäglche Verlauf ees zetstetge X mt de bede Zustäde ud für t 3 (z.b. Gesudhetszustad ees Patete, = krak, = gesud): Abb. De Sprugzetpukte S k des Prozesses sd tabellarsch we folgt gegebe (auf dre Dezmale gerudet): k S,8,66,35 3,843 4,68 8,455 8,66 8,94 9,5,79 k k S,935 3, 3,6 4,37 4,498 6,9 7,778 7,864 8,9,53 k a) Es soll mt Hlfe vo Q-Q-Plots für de Verweldauer de bede Zustäde ud überprüft werde, ob de Aahme ees homogee Markov-Prozesses gerechtfertgt st. Auf welche Vertelugsklasse wrd da geprüft? Welche Date werde als Egabe-Date verwedet? Vo welchem Typ st de Regressosgerade? b) De achfolgede Graphk zegt de bede resulterede Q-Q-Plots eem Dagramm. Abb. c) Begrüde Se, warum ma ahad der Graphk de Aahme ees homogee Markov- Prozesses rechtfertge ka, ud warum de Fudametalmatrx Q svoll durch ˆ /,76 /,76,586,586 Q /,636 /,636,588,588 geschätzt werde ka. Welche statoäre Vertelug ergbt sch aus Q ˆ? We ka ma alteratv de statoäre Vertelug drekt aus Abb. mt Hlfe der zetdskrete Markov-Kette X schätze? 6

8 Lösug: a) Be eem homogee Markov-Prozess sd de Verweldauer de jewelge Zustäde (bedgt) stochastsch uabhägg ud jewels expoetalvertelt mt demselbe, ur vom aktuelle Zustad abhägge Parameter. Da her ur zwe Zustäde vorlege, köe wr de Parameter mt ud (für Zustad bzw. Zustad ) bezeche. Es wrd also bede Fälle auf das Vorlege eer Expoetalvertelugsfamle (als ree Skalefamle) geprüft. Als Egabedate werde de sukzessve Verweldauer Zustad bzw. Zustad verwedet; dese sd für sch geomme stochastsch uabhägg ud ( )- bzw. ( )-vertelt. Es ergbt sch (für de Lösug cht explzt verlagt): k V,8,699,784,7,58,657,5,6,857,37 k k V,498,58 3,87,78,758,75,76,43,86,86 k De bede größte Werte sd jewels gelb uterlegt. Herletug: V S, V S S, V S S, V S S usw De Regressosgerade verlaufe durch de Nullpukt, da ee ree Skalefamle vorlegt; se sd vom Typ y x, d.h. de Kehrwerte der Stegug sd de Schätzer ˆ für de Parameter ˆ,. b) Offeschtlch gehört de obere Regressosgerade zu de Verweldauer Zustad, de utere zu de Verweldauer Zustad. Durch Ablese erhält ma: ˆ,588 ˆ,586,636,76 c) Be eem homogee Markov-Prozess stehe de egatve Parameter der Verweldauerverteluge auf der Dagoale; da de Zelesumme vo Q de Wert ergebe müsse, hat se also de Form Q. E svoller Schätzer ˆQ für Q ergbt sch also durch Esetze der Parameterschätzer Q. Heraus erhält ma das agegebee Ergebs. De (geschätzte) statoäre Vertelug ˆp erhält ma durch Löse vo pˆ Qˆ, mt dem Ergebs ˆ ˆ p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 75,795. (Zugrude gelegt ware de Parameter,5 ud,5 mt,5,75 p!). 7

9 Alteratver Schätzer: Atel der jedem Zustad sgesamt verbrachte Zet be der zetdskrete Markov-Kette X (ka drekt aus der Graphk abgelese werde): k X k k X k # k,,,3 # k,,,3 5 7 p,467, (Der erste Schätzer legt her deutlch äher am wahre p.) 8

10 Aufgabe 3 (Parameterschätzug ud Hypothesetests) Für x se x de größte gaze Zahl, de kleer als x st, also bespelswese,, 3,9 3. Se X ud de dskrete Zufallsvarable Y : X. a) Bewese Se, dass für de Wahrschelchketsfukto vo Y glt: y Y ye e, y. b) Bewese Se, dass de Vertelug vo Y zu eer Expoetalfamle gehört. Bestmme Se de atürlche Parameter ud b. c) Bestmme Se de Erwartugswert ud de Varaz vo Y. d) Bestmme Se ee Maxmum Lkelhood Schätzer für aus eer Stchprobe vo uabhägg ud detsch vertelte Y,..., Y Y. e) Bestmme Se de Fscherformato I vo Y. f) Wr betrachte für de folgede Aufgabe ee Stchprobe mt Stchprobeläge5, Stchprobemttel,6 ud Stchprobevaraz 4.. Bestmme Se de Maxmum Lkelhood Schätzwert für.. Bestmme Se e asymptotsches 95 %-Schätztervall für.. We beurtele Se de Hypothese,4 mt dem Lkelhood-Quotete Test be eem Sgfkazveau vo 5 %? v. Ee Statstk-Software gbt für ee Nullhypothese,5 de p-wert We beurtele Se dese Hypothese?,5 4 aus. m p Quatle der χ m -Vertelug,5,5,,9,95,975,,,,7 3,84 5,,5,, 4,6 5,99 7,38 4 5,63 6,57 7,79,6 3,69 6, 5 6,6 7,6 8,55,3 5, 7,49 6 6,9 7,96 9,3 3,54 6,3 8,85 Quatle der Stadardormalvertelug, p,9,95,975,99,995,999 u p,8,64,96,33,58 3,9 9

11 Lösug Zu a) Für y glt P Y y P yx y P yx y P X y P X y. Für de Vertelugsfukto vo X glt ud somt folgt weter Zu b) Aus a) ergbt sch für y P X x e x y y y y y PY y e e e e e e. y exp l PY y e e y e also hadelt es sch um ee Expoetalfamle mt atürlchem Parameter. Damt st b l e. Zu c) Mt de Ergebsse aus b) ergbt sch Zu d) EY Var Y Aus der Lkelhood L ergbt sch y L e e e e l l e ' y e e '' e e e b' e e ee ee e e b'' ( e ) ( e ) e L e y e y y

12 Aus ' ergbt sch wege y '' der ML-Schätzer ˆ y l l y y mt y y. Zu e) Aus d) folgt sofort I E e e e e Zu f), 6. Laut d) erhält ma de Schätzwert ˆ y l l, 49 y, 6. Da es sch um ee Expoetalfamle hadelt st der ML-Schätzer asymptotsch ormalvertelt mt ˆ, I Vertelug. Damt erhält aus I ˆ y y,6,6 4,6 ma das 95 % Schätztervall. ˆ u ˆ,975, u,975, 49,96,, 49,96 Iˆ Iˆ 5 4,6 5 4,6., 4;,74. Zum Teste der Nullhypothese mt dem Lkelhood-Quotete Test, beötgt ma de Größe ˆ ˆ e W y l ˆ y,5 e de vertelt st. De Hypothese wrd verworfe, falls Wy, glt. Her st Wy,5 3,84, somt wrd de Hypothese cht verworfe. v. Ergbt sch für de Nullhypothese,5 der p-wert,5 4 da wrd de Hypothese abgeleht. Das st de Wahrschelchket, dass be,5 für de beobachtete Realserug etrtt.

13 Aufgabe GLM: Betrachtet wrd e Kollektv vo stochastsch uabhägge Kfz-Verscherte mt de Tarfmerkmale Kfz-Nutzug (Velfahrer/Wegfahrer) ud Azahl der schadefree Jahre. Folgede Beobachtuge sd verfügbar: Tarfzelle Kfz-Nutzug Schadefree Jahre Azahl vo Verscherte ( ) Mttel der Jahresschäde (Schadebedarf µˆ ) Varaz der Jahresschäde ˆ ( σ ) Velfahrer 3,333 7,8 Velfahrer 5 5,49 5,35 3 Velfahrer,833,7 4 Wegfahrer,667 7,54 5 Wegfahrer 5 3,,55 6 Wegfahrer 7,667,8 I der -te Tarfzelle befde sch dabe Verscherugsehmer mt de Jahresschäde S,, S,,..., S,. De Jahresschäde see uabhägg detsch vertelt mt Parameter E ) = µ S j ( S, j ) (, ud Var = σ. Beobachtet wurde pro Tarfzelle das emprsche Mttel ˆµ = S, j ud de emprsche Varaz ˆ σ = ( S, j ˆ µ ) der Jahresschäde. µˆ j= j= bezechet ma auch als Schadebedarf. Deser soll m Folgede als abhägge Varable Y := µˆ eem verallgemeerte leare Modell durch de Tarfmerkmale beschrebe werde. a) Der Aktuar mmt folgede Zusammehag zwsche Mttelwert ud Varaz der k Jahresschäde a: σ = ψ, () µ mt zwe für alle Tarfzelle =,, 6 gleche Kostate ψ > ud k {,,,...}. Trage Se eem Mttelwert-Varaz-Plot de Beobachtuge l( ˆ σ ) gege l( ˆ µ ) ab ud begrüde Se damt, dass k = ee geegete Wahl für k st. (Maßstab: cm auf der x-achse =ˆ, / cm auf der y-achse =ˆ,5) b) Aus () folgt Var(Y ) = ψ ( E(Y ) k. Welche Vertelug zur Modellerug des ) Schadebedarfs Y legt des ahe (Agabe des Names der Vertelug geügt)?

14 c) Im Kotext der verallgemeerte leare Modelle wrd de Vertelug aus b) der Form f y ) = exp ( yϑ b( ϑ )) + c( y, ψ / ) ψ ( dargestellt. Gebe Se de Fukto b( ϑ ) a. Welcher allgemee Zusammehag besteht zwsche der Fukto b ud dem Erwartugswert E = µ? Lete Se heraus ee Fukto h her, mt der Se de Erwartugswert µ ud de Parameter ϑ eader überführe köe: ϑ = h ( µ ). Y d) Verwede Se m Folgede de kaosche Lkfukto h( µ ) g( µ ) : =. Erstelle Se h() alle Mttelwert-Plots, dem Se jewels e Tarfmerkmal fxere ud g( ˆ µ ) gege das adere Tarfmerkmal auftrage (Rudug auf Dezmale). Dskutere Se auf Bass Ihres vsuelle Edrucks de Egug der kaosche Lkfukto für de vorlegede Date ud ob Iteraktoe zwsche de Tarfmerkmale modellert werde sollte. (Maßstab: cm auf der x-achse =ˆ schadefrees Jahr / cm auf der y-achse =ˆ,) e) Gebe Se ee 6x3 Desgmatrx ( x, j ) =,...,6; j=,..., 3 a, be der Se das Merkmal Kfz- Nutzug als dskretes Merkmal ud das Merkmal Azahl der schadefree Jahre als stetges Merkmal behadel. f) De ubekate Regressosparameter see β, β, ), so dass g µ ) = β j x, j. ( β 3 3 ( Aufgrud der besodere Datelage köe Se her auf de Maxmum-Lkelhood- Schätzug der Regressosparameter verzchte, dem Se de Schaublder aus d) auswerte. Gebe Se Schätzer ˆ β, ˆ β, ˆ ) a ud zeche Se de Schaublder e, wo ( β 3 Se dese abgelese habe. g) Schätze Se Erwartugswert ud Varaz des Schadebedarfs eem Kollektv vo 5 Wegfahrer mt schadefree Jahre. (Hwes: Aus dem Mttelwert-Varaz-Plot aus Aufgabetel a) ergbt sch e Wert ψ =,5). j= 3

15 Lösug: a) Folgede Werte ergebe sch: Tarfzelle ˆ l( µ ) l( ˆ σ ),4 3,35,357, ,83,53 4,5,954 5,, ,45,3 Grafsch aufgetrage 4, 3,5 3,,5 l(σ ),,5,,5, -,6 -,4 -,,,,4,6,8,,,4 l( µ ) Aus () folgt l( σ ) = l( ψ ) + k l( µ ), so dass sch k aus der Stegug der Ausglechsgerade ablese lässt. Damt detfzert ma k =. (5 Pukte) b) De quadratsche Varazfukto (k = ) legt ee Gammavertelug zur Modellerug vo µ ahe. ( Pukt) 4

16 c) Für de Gammavertelug st b ϑ ) = l( ϑ ). Allgeme glt E Y ) = b' ( ϑ ), d.h. m ( ( vorlegede Fall µ = E( Y ) = b' ( ϑ ) = ( ) =. Daraus folgt ϑ = = h ( µ ). ϑ ϑ µ (4 Pukte) d) De kaosche Lkfukto st g( µ ) =. µ Folgede Date sd aufzutrage: Tarfzelle Kfz-Nutzug Schadefree Jahre g ˆ µ ) ( Velfahrer,3 Velfahrer 5,7 3 Velfahrer, 4 Wegfahrer,6 5 Wegfahrer 5, 6 Wegfahrer,5 Daraus ergebe sch de bede Mttelwert-Plots:,6,4, β =,3 g(µ),,8 β 3 =,,6,4 Velfahrer,, β =, Wegfahrer Schadefree Jahre 5

17 ,6,4,, g(µ),8,6,4,, Velfahrer Kfz-Nutzug sf. Jahre = sf. Jahre = 5 sf. Jahre = Wegfahrer Der leare, parallele Verlauf der Graphe des erste Plots ud de Paralleltät m zwete Plot zege, dass de Lkfukto g tatsächlch auf ee leare Zusammehag führt ud dass kee Iteraktoe zwsche de Tarfmerkmale erkebar sd. e) Ee möglche Desgmatrx st 5 5 (9 Pukte). De erste Spalte korrespodert dabe zum Achseabschtt des leare Prädktors, de zwete Spalte codert, ob es sch um ee Wegfahrer hadelt, ud de drtte Spalte etsprcht der Azahl der schadefree Jahre. (3 Pukte) f) Aus dem erste Mttelwert-Plot ka ma bespelswese umttelbar ablese: ˆ β, ˆ β, ˆ β ) (,;,3;,). (4 Pukte) ( 3 = g) Der leare Prädktor beträgt her: ˆ β + ˆ β + ˆ β, 7. Aus desem folgt der Erwartugswert 3 = ˆ µ = g (,7) = =,486. Mt dem Ergebs vo b) ergbt sch schleßlch als Varaz,7 ψ,5 5 ( ˆ µ ) =,486 =,. (4 Pukte) 6

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