Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege

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1 Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB)

2 2 Überblick Problem Motivation Graphentheorie und Euler Der Algorithmus von Dijkstra Grenzen des Modells Ein Verkehrs-Paradoxon

3 3 Motivation Hier will ich hin! Die Frage ist: Wie komme ich hin? Hier bin ich!

4 4 Ziel Umsetzbar, Schnell und Richtig! Antwort! Mögliche Antwort: Links in die Tiergartenstraße Rechts in die Hofjägerallee Kreisverkehr Rechts in die Altonaerstrasse Rechts in die Bachstrasse

5 5 Ziele Welchen Weg suchen wir? schnellster kürzester günstigster...

6 6 Anwendungen Überall im Alltag! Routenplaner Navigationssysteme Fahrplanauskunft

7 7 Lösung Aber wie funktioniert das? Lokalisierung GPS Routing

8 Lösungen Evaluieren 8 Abstraktion Realität Mathematik Definitionen, Sätze, Beweise, Algorithmen Problem Modellieren

9 9 Modellierung Kreuzungen Knoten Strassen Fahrzeiten Kanten Kantengewichten 2 t s

10 0 Graphentheorie Modellierung Graph G =(V,A) V = Menge aller Knoten {s,t,,2,3,4,5,6} A = Menge aller Kanten {(s,),(s,2),(s,4)...} c = Abbildung der Kosten (Fahrzeiten) {c(s,) ->, c(s,4) -> 3,...} t s

11 Kürzeste Wege Problem Modellierung Gegeben: Graph G =(V,A), Kostenfunktion c(a) Gesucht: kürzester Weg von s nach t (mit minimalen Kosten bzgl. c(a) ) t s

12 2 Historisches Leonhard Euler ( ) Scans erstellt von Wladimir Velminski für seine Doktotarbeit in Kunstgeschichte an der HU bei Prof. Bredekamp (~2008)

13 3 Königsberg

14 4 Das Problem a Grüne Brücke b Köttelbrücke c Krämerbrücke d Schmiedebrücke e Honigbrücke g Holzbrücke f Hohe Brücke Das Problem, das ziemlich bekannt sein soll, war folgendes. Zu Königsberg in Preußen ist eine Insel A, genannt der Kneiphof, und der Fluß, der sie umfließt, teilt sich in zwei Arme, wie dies aus Fig. ersichtlich ist. Über die Arme dieses Flußes führen sieben Brücken a, b, c, d, e, f und g. Nun wurde gefragt, ob jemand seinen Spaziergang so einrichten könne, daß er jede dieser Brücken einmal und nicht mehr als einmal überschreite. Es wurde mir gesagt, daß einige diese Möglichkeit verneinen, andere daran zweifeln, daß aber niemand sie erhärte. Hieraus bildete ich mir folgendes höchst allgemeine Problem: Wie auch die Gestalt des Flußes und seine Verteilung in Arme, sowie die Anzahl der Brücken ist, zu finden, ob es möglich sei, jede Brücke genau einmal zu überschreiten oder nicht.

15 5 Enumeration Anzahl der Spaziergänge (im schlimmsten Fall) Hier: 7!/2 = 7*6*5*4*3 = Allgemein: Formel) n n n!/ 2 n e 2 π n / 2 (Stirling- Was das Königsberger Problem von den sieben Brücken betrifft, so könnte man es lösen durch eine genaue Aufzählung aller Gänge, die möglich sind; denn dann wüßte man, ob einer derselben der Bedingung genügt oder keiner. Diese Lösungsart ist aber wegen der großen Zahl von Kombinationen zu mühsam und schwierig, und zudem könnte sie in andern Fragen, wo noch viel mehr Brücken vorhanden sind, gar nicht mehr angewendet werden. Würde die Untersuchung in der eben erwähnten Weise geführt, so würde Vieles gefunden, wonach gar nicht gefragt war; dies ist zweifellos der Grund, warum dieser Weg so beschwerlich wäre. Darum habe ich diese Methode fallengelassen und eine andere gesucht, die nur so weit reicht, daß sie erweist, ob ein solcher Spaziergang gefunden werden kann oder nicht; denn ich vermutete, daß eine solche Methode viel einfacher sein würde.

16 6 Kombinatorische Explosion Enumeration n Lineares Wachstum (n) Quadratisches Wachstum (n²) Exponentielles Wachstum (n!)

17 7 Das Problem a Grüne Brücke b Köttelbrücke c Krämerbrücke d Schmiedebrücke e Honigbrücke g Holzbrücke f Hohe Brücke C A D B

18 8 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade. C A B D

19 9 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade

20 20 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade. 0 0

21 2 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade. 2 0

22 22 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade

23 23 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade

24 24 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade

25 25 Graphentheorie Knoten Kanten Grad 3 D Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade

26 26 Graphentheorie Satz: Die Anzahl der ungeraden Knoten ist gerade. Beweis: Kanten++: uu gg (-2) ug gu (±0) gg uu (+2)

27 27 Graphentheorie Lösung: Es gibt keinen (Euler-) Weg, weil mehr als 2 Knoten ungeraden Grad haben

28 28 Graphentheorie Satz: Einen Eulerweg gibt es genau dann, wenn G zusammenhängend ist und höchstens 2 Knoten ungeraden Grad haben

29 29 Graphentheorie Satz: Einen Eulerweg gibt es genau dann, wenn G zusammenhängend ist und höchstens 2 Knoten ungeraden Grad haben. Algorithmischer Beweis: Starte in beliebigen Knoten Laufe Kanten ab bis man zurückkehrt Lösche Kreis Wiederhole das bis keine Kanten mehr da sind Zerlegung in Kreise und maximal einen Weg!

30 30 Graphentheorie Satz: Einen Eulerweg gibt es genau dann, wenn G zusammenhängend ist und höchstens 2 Knoten ungeraden Grad haben.

31 3 Eulerweg... ist einfach! Wir können leicht entweder einen Eulerweg finden oder beweisen, dass es keine gibt.

32 32 Beispiele... ist einfach! Wir können leicht (linearer Zeit) entweder eine Eulertour finden oder beweisen, dass es keine gibt.

33 33 Kürzeste Wege Problem Kürzeste Wege Gegeben: Graph G =(V,A), Kostenfunktion c(a) Gesucht: kürzester Weg von s nach (minimale Kosten) t t s

34 34 Dijkstra s - Idee Edsgar W. Dijkstra ( ) t z kürzester s-t-weg <= s kürzester s-z-weg + kürzester z-t-weg

35 35 Lösung Knoten : aktuelle kürzeste Distanz : s t 0??????? t s

36 36 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t 0??????? t s

37 37 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t 0 2? 3??? t s

38 38 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t ??? t s

39 39 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t ?? t s

40 40 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t ? 7 t s

41 4 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t t s

42 42 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t t s

43 43 Lösung Annahme: Keine negativen Gewichte s s s s - Knoten fertig - aktueller Knoten s t t s

44 44 Grenzen Kapazitäten der Kanten (Fahrbahnen) Fahrzeitfunktionen (wachsend) s t

45 45 Erweiterung Fahrzeitfunktionen in Abhängigkeit der fahrenden Autos! Fahrzeit x 4 Anzahl der Autos Je mehr Autos auf einer Strasse fahren, umso grösser wird die Fahrzeit! 4 x 2

46 46 Nash-Gleichgewicht Gleichgewichte John F. Nash (928-) Eine intuitive Definition : Das Nash-Gleichgewicht beschreibt eine Situation, in der sich keiner der Spieler mehr aus seiner Froschperspektive heraus verbessern kann.

47 47 Nash-Gleichgewicht Gleichgewichte John F. Nash (928-) s t 0 + x Im Gleichgewicht hätten alle eine Fahrzeit von!

48 48 Beispiel 0x 50 + x s t 50 + x 2 0x

49 49 Keiner kann sich verbessern! Lösung 30 0x x s t 50 + x x Im Gleichgewicht haben alle eine Fahrzeit von 83!

50 50 Ausbau Szenario Ausbau des Netzes durch neue Verbindung?!? Dietrich Braess ( ) x x 83 s 50 + x x 2 0x t

51 5 Ausbau Szenario Ausbau des Netzes durch neue Verbindung?!? 0x x 93 s 0 + x 5 t 50 + x x

52 52 Keiner kann sich verbessern! Neues Gleichgewicht x x s t 0 + x x x 92 Im neuen Gleichgewicht haben alle eine Fahrzeit von 92!

53 53 Braess-Paradoxon Trotz Ausbau des Netzes haben sich alle um 9 Minuten verschlechtert?!?

54 54 Die Mathematik der kürzesten Wege Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

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