Aufgabe 1 Welche Eigenschaften muss ein mechanisches System besitzen, damit es periodische Schwingungen ausführen kann?

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1 Aufgabe 1 Welche Eigenchaften u ein echaniche Syte beitzen, dait e periodiche Schwingungen auführen kann? Aufgabe 2 Ein Federpendel wurde u die Strecke = 15 c au der Ruhelage augelenkt und dann logelaen. Nun chwingt e haronich und ungedäpft it einer Periodendauer von 2,0. Zur Zeit t 0 = 0 paiert e die Gleichgewichtlage it negativer Gechwindigkeit. a) Wie groß it eine Aulenkung zu Zeitpunkt t 1 = 1,2? b) In welchen Zeitpunkten it v axial bzw. inial? c) Berechne owohl die Gechwindigkeit, al auch die Bechleunigung i Zeitpunkt t 1. d) Zu welchen Zeitpunkten it = + 10 c? Aufgabe 3) Bei drei verchiedenen chwingungfähigen Syteen wird die Kraft geeen, die für eine betite Aulenkung der Mae erforderlich it. Aulenkung in Syte 1 Kraft 9 22, Syte 2 in 7, ,5 30 Syte 3 N a) Welche Syte wird haroniche Schwingungen auführen, welche nicht? Bitte genau begründen. b) Der Pendelkörper de haronich chwingenden Syte beitzt die Mae = 1,80 kg. Wie lange dauern 20 volle Schwingungen diee Syte? c) Welche Mae üte der Pendelkörper beitzen, dait da Syte it einer Periodendauer von 1,0 chwingt? Aufgabe 4) Eine Feder (D = 80 N/) beitzt i ungepannten Zutand die Länge l vor = 15 c. a) Welche Länge l o beitzt ie, wenn an = 500 g anhängt und wartet, bi ie in der Gleichgewichtlage = 0,0 it. Welche Kräfte wirken dann auf die Mae? b) Nun wird u 20 angehoben ( = + 20 ). Welche Kräfte wirken i Augenblick de Lolaen auf die Mae ein (Bitte einzeichnen) und wie groß it die reultierende Geatkraft? c) Wie groß it die Geatkraft wenn an die Mae zu Ort = -40 bringt? d) Mit welcher Frequenz chwingt da Syte nach de Lolaen? l vor l o 0 Aufgabe 5) Ein vertikale Federpendel wie in Afg. 4) betehe au zwei parallel eingehängten Federn it den Federkontanten D 1 = 60 N/ und D 2 = 40 N/ an denen die Mae = 500 g hängt. a) Mit welcher Frequenz chwingt diee Syte? b) Welche Schwingungfrequenz erhält da Syte, wenn an die Federn nicht parallel nebeneinander, ondern in Reihe untereinander befetigt? Aufgabe 6) Ein horizontale Federpendel beteht au eine Wagen it = 500 g und zwei Federn D 1 = 60 N/ und D 2 = 40 N/. Zu Zeitpunkt t o = 0 it e u 0 = 25 c augelenkt und wird dann logelaen. Wie groß ind die Aulenkung und die auf wirkende Kraft zu den Zeiten t 1 = 100 und t 2 = 800?

2 Löungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 2 Ein Federpendel wurde u die Strecke = 15 c von der Ruhelage augelenkt und dann logelaen. Nun chwingt e haronich und ungedäpft it einer Periodendauer von 2,0. Zur Zeit t 0 = 0 paiert e die Gleichgewichtlage it negativer Gechwindigkeit. a) Wie groß it eine Aulenkung zu Zeitpunkt t 1 = 1,2? Geg.: = 0,15, T = 2,0 Ge.: (t1) Lg.: (t1) = - in(ωt) it ω = 2 π /T = 3,14 1/ (t1) = 8,8 c b) In welchen Zeitpunkten it v axial bzw. inial? v it axial zu den Zeiten 1/2 T = 1, 3/2 T = v it inial (negativ) zu den Zeiten 0, T = 2, 2 T = 4... v c) Berechnen Sie owohl die Gechwindigkeit, al auch die Bechleunigung i Zeitpunkt t 1. v (t1) = (t1) = - ω co(ω t 1 ) v (t1) = 0,38 / a (t1) = v (t1) = ω 2 in(ωt 1 ) a (t1) = - 0,87 / 2 d) Zu welchen Zeipunkten it = + 10 c? Geucht: Zeiten, zu denen (t) = 0,10 (t) = - in(ωt) (t) / = - in(ωt) = 10 c / 15 c = 2/3 => ω t = -0,73 => t = - 0,23 Weitere Zeiten: t 2 = T 0,23 = 1,77 Allgeein: t n = n T 0,23 ( n = 1,2,3..) t' 2 = T/2 + 0,23 = 1,23 Allgeein: t n = n T + T/2 + 0,23 ( n = 0,1,2..)

3 Übungen zu echaniche Schwingungen 2004 Aufgabe 3) Bei drei verchiedenen chwingungfähigen Syteen wird die Kraft geeen, die für eine betite Aulenkung der Mae erforderlich it. Aulenkung in Syte 1 Kraft 9 22, Syte 2 in 7, ,5 30 Syte 3 N a) Welche Syte wird haroniche Schwingungen auführen, welche nicht? Bitte genau begründen. a) Die Schwingung it haronich, fall ein lineare Kraftgeetz vorliegt, d.h. fall F ~ zunit. Tet z. B. it Excel ergibt: => Syte 1 chwingt haronich. Die Sytee 2 und 3 chwingen nicht haronich, da kein lineare Kraftgeetz vorliegt F in N in b) Der Pendelkörper de haronich chwingenden Syte beitzt die Mae = 1,80 kg. Wie lange dauern 20 volle Schwingungen diee Syte? E gilt: ω = 2π/T = D/ => T = 2π /D Wobei D = F/ = 36 N / 0,08 = 450 N/ => T = 0, T = 7,9 c) Welche Mae üte der Pendelkörper beitzen, dait da Syte it einer Periodendauer von 1,0 chwingt? Geucht: Mae für T = 1,0 2π/T = D/ => = D T 2 / (4π 2 ) = 11 kg

4 Aufgabe 4) Eine Feder (D = 80 N/) beitzt i ungepannten Zutand die Länge l vor = 15 c. a) Welche Länge l o beitzt ie, wenn an = 500 g anhängt und wartet, bi ie in der Gleichgewichtlage = 0,0 it. Welche Kräfte wirken dann auf die Mae? b) Nun wird u 20 angehoben ( = + 20 ). Welche Kräfte wirken i Augenblick de Lolaen auf die Mae ein (Bitte einzeichnen) und wie groß it die reultierende Geatkraft? c) Wie groß it die Geatkraft wenn an die Mae zu Ort = -40 bringt? d) Mit welcher Frequenz chwingt da Syte nach de Lolaen? l vor l o 0 a) Gegeben: l vor = 0,15 D = 80 N/; = 0,500 kg Geucht: Gleichgewichtlänge l 0 F = D l => l = F / D = g / D = 0,061.. l 0 = l vor + l = 0,21 Kräfte: E wirken die Gewichtkraft und die Federkraft. I Gleichgewicht ind beide gleich groß und entgegengeetzt. F = 4,9 b) E wirkt die Geweichtkraft F G = - 4,9 N nach unten und die Federkraft F F = D l = D 0,041.. = 3,3 N nach oben. => Reultierende Kraft F = -1,6 nach unten. F F l o F G c) A Ort = - 40 it F = + 3,2. d) Geucht: f ω = 2 π f = D/ => f = D/ / 2π = 2,0 Hz

5 Aufgabe 5) Ein vertikale Federpendel wie in Afg. 4) betehe au zwei parallel eingehängten Federn it den Federkontanten D 1 = 60 N/ und D 2 = 40 N/ an denen die Mae = 500 g hängt. a) Mit welcher Frequenz chwingt diee Syte? b) Welche Schwingungfrequenz erhält da Syte, wenn an die Federn nicht parallel nebeneinander, ondern in Reihe untereinander befetigt? a) Bei parallelen Federn addieren ich die Kräfte: F = F 1 + F 2 = D 1 + D 2 = (D 1 + D 2 ) F = D it D = D 1 + D 2 = 100 N/ D 1 D 2 ω = 2 π f = D/ => f = D/ / 2π = 2,3 Hz b) Bei zwei in reihe hängenden Federn ind die Kräfte gleich, die Aulenkungen addieren ich aber. = it F = D folgt: = F / D D 1 => = F/D = F 1 / D 1 + F 2 / D 2 Da F = F 1 = F 2 folgt: D 2 1/D = 1/D 1 + 1/D 2 1/D = 1/(60 N/) + 1/(40 N/) = 0,0412 /N => D = 24 N/ => f = D/ / 2π = 1,1 Hz

6 Aufgabe 6) Ein horizontale Federpendel beteht au eine Wagen it = 500 g und zwei Federn D 1 = 60 N/ und D 2 = 40 N/. Zu Zeitpunkt t o = 0 it e u 0 = 25 c augelenkt und wird dann logelaen. Wie groß ind die Aulenkung und die auf wirkende Kraft zu den Zeiten t 1 = 100 und t 2 = 800? Gegeben: D 1 = 60 N/c; D 2 = 40 N/; = 0,5 kg; = (t0) = 0,25 Geucht: (t1) und (t2) Für Horizontale Federpendel gilt: D = D 1 + D 2 = 100 N/ => ω = D/ 14,1 1/ (t) = co(ωt) (t1) = 3,9 c, (t2) = 7,8 c F = a = F 1 = -3,9 ; F 2 = - 7,8 da a Anfang Maxialaulenkung. oder F = - D