5. Lineare Funktionen

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1 5. Lineare Funktionen Lernziele: -Eine lineare Funktion grafisch darstellen -Geradengleichung (Funktionsgleichung einer linearen Funktion) -Deutung von k- und d-wert -Grafische Lösung von Gleichungssystemen (Schnittpunkt von Geraden) -Anwendungen linearer Funktionen in Technik, Wirtschaft, Physik, u.a. Aufgabe 1: Die Marktforschung für eine Ware ergibt, dass der Monatsumsatz bei einem Preis von 400 Euro 1000 Stück beträgt, bei einem Stückpreis von 450 Euro auf 800 Stück zurückgeht. Wie hoch wird der Monatsumsatz bei einem Stückpreis von a) 480 Euro b) 50 Euro sein? (Lösung grafisch und rechnerisch) Für alle Funktionsgleichungen gilt: -Zeichnung auf Millimeterpapier -mittelharter Bleistift -Achsen immer mit Maßstab und Beschriftung (mit Einheiten) versehen Aufgabe : Stellen Sie im Bereich von x=-5 bis x=5 folgende Funktionen zeichnerisch dar: f g h 1 x y = y = x y = x + 4 y = x y = x +, 5 y = x + 0, 5 y = x + y = 0,5x y = x 1 Anleitung: Erstellen Sie Wertetabellen am angegeben Bereich und lassen Sie Funktionswerte in der Zeichnung weg, die größer als 5 bzw. kleiner als -5 sind. (Maßstab für beide Koordinatenachsen: 1 Einheit = 1 cm) Arbeitsblätter Funktionen by A.L. (bearbeitet für Geogebra von W.D.) Seite 1

2 Allgemeine Form einer linearen Funktion (Geradengleichung): y = k. x + d Aufgabe : Wie lauten die k- und d- Werte der linearen Funktionen aus Aufgabe? (Erstellen Sie eine Tabelle) Vergleichen Sie die Ergebnisse mit Ihren Zeichnungen! Welche Bedeutung haben die Werte k und d? Wenn k positiv ist, Wenn k negativ ist, Der d- Wert gibt an, Ist d positiv, Ist d negativ, _ Ist d=0, so _ Wenn k=0 ist, so heißt die Funktion Die Gerade verläuft in diesem Fall Je größer k ist, desto _ Der k-wert ist also ein Maß für und wird aus diesem Grund genannt. Arbeitsblätter Funktionen by A.L. (bearbeitet für Geogebra von W.D.) Seite

3 Aufgabe : Zeichnen Sie zu den Funktionen f1, g und h die Steigungsdreiecke ein! Welcher Zusammenhang besteht mit dem k-wert? Verwenden Sie in Geogebra den Befehl Steigung[f] Wie ist der Steigungswinkel einer linearen Funktion definiert? Welcher Zusammenhang besteht mit dem k-wert? Was haben parallele Geraden gemeinsam? Ermitteln Sie zeichnerisch und rechnerisch die Anstiegswinkel der Geraden aus Aufgabe : F1 F F G1 G G H1 H H Zeichnung Rechnung Anleitung: Verwenden Sie die Umkehrfunktion des Tangens! Arbeitsblätter Funktionen by A.L. (bearbeitet für Geogebra von W.D.) Seite

4 Ausblick: Nichtlineare Funktionen Aufgabe 4: Erstellen Sie mit Geogebra eine zeichnerische Darstellung der Funktionen y = x = 0,5x + y y = 0,8x x x y y = x 8 4 y = 0,5x 1 = x + x y = x x x y = x + 5x 5 Welche Eigenschaften können Sie für Funktionen.,., 4., 5.,.n.-ten Grades erkennen? Arbeitsblätter Funktionen by A.L. (bearbeitet für Geogebra von W.D.) Seite 4

5 Aufgaben (Erstellen Sie zu jeder Aufgabe eine Zeichnung mit Geogebra): 1. Nach welcher Zeit und nach welcher zurückgelegten Strecke holt ein Radfahrer (Geschwindigkeit 5km/h) einen Wanderer (Geschwindigkeit 6km/h) ein, der eine Stunde Vorsprung hat? (Rechnung + zeichnerische Darstellung in einem Weg-Zeit-Diagramm mit geeignetem Maßstab!). Eine Glühbirne (Preis 0,8 ) verbraucht in 100 Stunden Betrieb Energie im Wert von 0,9. Eine Energiesparlampe mit der gleichen Helligkeit (Preis 5 ) verbraucht während derselben Zeitdauer Energie im Wert von 0,. Ab welcher Betriebsdauer ist die Energiesparlampe bei Berücksichtigung der Anschaffungskosten günstiger? Wie hoch sind die bis zu diesem Zeitpunkt angefallenen Kosten (incl. Anschaffung)?. Gesucht: Die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden a) g1: A(1/), B(-/1,5) g: C(5/14), D(-/-) b) g1: Anstiegswinkel: 45 Grad, A(4/) g: B(-5/8), d=0,5 4. Berechnen Sie den Anstiegswinkel ( Nachkommastellen, gerundet) der Geraden, die durch die Punkte P 1 (-5/-8) und P (5/0) geht! Wie lauten die Koordinaten des Punktes, in dem die Gerade die y-achse schneidet? Wie lautet die Gleichung jener Geraden, die durch diesen Schnittpunkt geht und zur x-achse parallel ist? 5. Wie lautet die Gleichung jener Geraden (in Hauptform), die durch den Punkt P(4/) geht und zur Geraden y = -x + parallel ist? Fertigen Sie eine Zeichnung der beiden Geraden an, Maßstab: 1 Einheit = 1cm 6. In welcher Zeit holt ein PKW mit einer Geschwindigkeit von 140 km/h einen zweiten ein, der einen Vorsprung von 5 Minuten hat und mit 80 km/h fährt? Wie groß ist die zurückgelegte Strecke bis zum Überholpunkt? Erstellen Sie ein Weg-Zeitdiagramm mit geeignetem Maßstab! Arbeitsblätter Funktionen by A.L. (bearbeitet für Geogebra von W.D.) Seite 5

6 7. Ein Betrieb entschließt sich, für eine Maschine einen Leasingvertrag abzuschließen. Der Vertrag enthält die Bestimmung, dass die Miete, die jeweils am Beginn des Jahres zu erlegen ist und im ersten Jahr ausmacht, sich jeweils nach einem Jahr um 1500 vermindert. Nach wie vielen Jahren geht das Gerät in das Eigentum des Mieters über? 8. Ein selbstständiger Handelsvertreter steht vor der Entscheidung, ob er seine Tätigkeit mit dem eigenen PKW oder einem gleichwertigen Mietwagen ausführen soll. Sein eigener PKW verursacht ihm Kosten von 0,7 pro km (Treibstoff, Versicherung, Kfz-Steuer, Service usw.), der Mietwagen kosten nur 0,5 pro km. Bei diesem sind aber zusätzlich zum Kilometergeld noch 18 pro Tag zu entrichten. a) bei welcher Anzahl von gefahrenen Kilometern sind die Kosten pro Monat gleich hoch (ein Monat = 0 Tage)? b) Wie hoch sind diese Kosten? c) die Kostenverläufe sind für beide Fälle in einem Diagramm mit geeignetem Maßstab darzustellen (x- Richtung: gefahrene km, y- Richtung: Kosten) 9. Liegen die Punkte A(5/-), B(/4), C(10/) auf einer Geraden (rechnerische Lösung)? Wie lauten die vollständigen Koordinaten des Punktes D(-100/.), der auf der Geraden durch die Punkte A und B liegen soll? 10. Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden: 0 g : A(4/,5); α = 15 g : B( / ); C(0/ 0,6) 1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden, die durch den Schnittpunkt geht und zur x-achse parallel ist? Wie groß ist der Steigungswinkel der zweiten Geraden, wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Geraden? 11. Um 10:00 Uhr startet ein Güterzug (Durchschnittsgeschwindigkeit 85 km/h) von A-Stadt aus in Richtung der 110 km entfernten B-Stadt. Um 10:15 Uhr startet in B-Stadt ein Intercity- Schnellzug (Durchschnittsgeschwindigkeit 10 km/h) in Richtung A-Stadt. Wann und an welcher Stelle (Entfernung von A aus gerechnet) begegnen sich die beiden Züge? Wann kommt der Intercity in A-Stadt an? Arbeitsblätter Funktionen by A.L. (bearbeitet für Geogebra von W.D.) Seite 6

7 1. Erweiterung zu Aufgabe 11: Geben Sie auf die Minute genau an, wann die Züge einen Abstand von a) noch 0 km b) noch 10 km c) noch einen km haben! Stellen Sie in einer Funktionszeichnung dar: Den Abstand der Züge (y-achse, Einheit km) als Funktion der Zeit (x-achse) 1. Eine Pferdekutsche fährt mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit von 14 km/h. Wie lautet die Funktionsgleichung für den Zusammenhang zwischen Weg und Zeit? 14. Von einer Geraden sind zwei Punkte bekannt A(1/5) und B(4/1). Wie lautet die Gleichung der Geraden, die a) parallel ist und durch den Punkt P(-/-) geht? b) auf die obige Geraden senkrecht steht und durch den Punkt Q(5/7) geht? c) Erstellen Sie von allen drei Geraden eine Zeichnung in passendem Maßstab! 15. Die Kostenvoranschläge zweier Firmen für die gleiche Arbeit lauten: Firma 1 verlangt eine Pauschalsumme von 500 plus Fahrtkosten von 18,50. Firma verlangt keine Fahrtkosten und einen Stundensatz von 5. Der Kunde lässt die Arbeitszeit auf 75 Stunden schätzen. Welche Firma ist günstiger? Wie hoch sind die Kosten? Bei welcher Arbeitszeit kommen beide Firmen gleich teuer? Wenn die geschätzte Arbeitszeit von 75 Stunden um 10 % überschritten werden könnte, soll der Kunde eventuell die Firma wechseln? Mit welchen Kosten ist dann zu rechnen? Arbeitsblätter Funktionen by A.L. (bearbeitet für Geogebra von W.D.) Seite 7