Risikoeinstellungen empirisch

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1 Risikoeinstellungen empirisch Risk attitude and Investment Decisions across European Countries Are women more conservative investors than men? Oleg Badunenko, Nataliya Barasinska, Dorothea Schäfer 1

2 Präferenzgebundene Bewertung von unsicheren Ansprüchen - Nutzenfunktion 1. Bernoulli Nutzenfunktion (Rationalitätsaxiome) 1. Erwartungswert/Varianz Nutzenfunktion (beruht nur unter bestimmten Bedingungen auf Rationalitätsaxiomen) Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Geht das? Antwort ja, wenn Arbitragefreiheit herrscht. Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit 2

3 Vorbereitung auf die arbitragefreie Bewertung unter Unsicherheit anhand eines Beispiels Drei Titel A,B,C werden auf dem Markt gehandelt. Es gibt in der Zukunft drei mögliche Zustände der Welt Z 1, Z 2, Z 3.. 3

4 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen. Ihr jetziges Vermögen beträgt 4761,50 Euro. Sie möchten in der zukünftigen Periode folgende zustandsabhängige Einkommen erzielen: Z 1 : 3015 Euro, Z 2 : 2105 Euro und Z 3 : 3535 Euro. Wie hoch muss der Rückfluss von C im Zustand 3 sein? Ist der Markt arbitragefrei? 4

5 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit Notation: Zwei Zeitpunkte Modell: t=0 und t=1 In t=1 können mehrere unsichere Zustände Z S eintreten. Es existiert ein Kapitalmarkt auf dem so viele Finanztitel J gehandelt werden, wie Zustände eintreten (d.h. vollständiger Kapitalmarkt) Jeder Finanztitel j wirft in t=1 den Cashflow X js = {X J1 X js } ab. Der Preis des Finanztitels j beträgt p(x j ). Kauf von n Finanztiteln vom Typ j: n p(x j ) Kauf eines Portfolios aus mehreren Wertpapieren von Typ j: p J! ( n X ) 1 j j 5

6 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Annahmen: Homogene Erwartungen Alle Marktteilnehmer sind sich einig über die in den einzelnen Zuständen eintreffenden Zahlungen Alle Marktteilnehmer sind sich einig über die eintretenden Zustände und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. 6

7 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Annahmen fortg. : Reibungsloser Markt Beliebige Teilbarkeiten, Keine Transaktionskosten und Steuern, keine Marktzutrittsbeschränkungen, Zulässigkeit von Leerverkäufen. Kompetitiver Markt Marktteilnehmer sind Mengenanpasser. Keine Arbitragegelegenheiten Pure Transaktionen in existierenden Finanztiteln sind wertneutral.. 7

8 Anwesenheit von Arbitragegelegenheiten: Sichere Einnahmen, die nichts oder weniger als nichts kosten Wahrscheinlich Einnahmen, die weniger als nichts kosten Preissumme der Finanztitel bei Einzelkauf ist ungleich Preis eines Portfolios, das die gleichen Rückflüsse abwirft. 8

9 Prüfung auf Abwesenheit von Arbitragegelegenheiten Instrument: Reine Wertpapiere bei Unsicherheit (Arrow-Debreu- Papiere) Reines Wertpapier ist ein Finanztitel, der in nur einem Zustand genau 1 Geldeinheit als Rückfluss gewährt; in allen anderen Zuständen nichts. 9

10 Reine Wertpapiere unter Unsicherheit Beispiel Zwei Zustände: oben (o) und unten (u) Typ 1:! 1 1 (o) 0 (u) Typ 2:! 2 0 (o) 1 (u) 10

11 Prinzip der Duplikation von Finanztiteln mit reinen Wertpapieren Beispiel: drei Zustände Finanztitel: X j = {200, 50, 100} Duplikation dieses Finanztitels mit einem Portfolio aus reinen Wertpapieren (Arrow-Debreu-Papieren)? Wieviel vom Typ 1, Typ 2, Typ 3? Was kosten die? Arbitragefreiheit: Finanztitel kostet nicht mehr und nicht weniger als das Portfolio aus diesen reinen Wertpapieren Duplikation eines sicheren Finanztitels mit einem Portfolio aus reinen Wertpapieren? 11

12 Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit Rückkehr zum Beispiel Jetziges Vermögen beträgt 4761,50 Euro (Budgetrestriktion) Zukünftige zustandsabhängige Einkommensziele Z 1 : 3015 Euro, Z 2 : 2105 Euro und Z 3 : 3535 Euro. Bedingung, so viele Finanztitel wie Zustände, ist erfüllt.. 12

13 Gleichungssystem zur Bestimmung des fehlenden zustandsabhängigen Cashflows Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 Budgetbeschränkung: Kauf der Finanztitel darf nicht mehr kosten als Geld vorhanden ist. Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 Preis A Preis B Preis C 13

14 Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit Ergebnis Was bezahlt man für einen sicheren Zahlungsanspruch von einer Geldeinheit? Frage: Ist der Markt dann vielleicht doch nicht arbitragefrei?. 14

15 Eine sichere Geldeinheit in t=1 kostet in t=0 0, = 1,7 Kassenhaltung Eine sichere Geldeinheit morgen kostet 1 Geldeinheit heute Paketpreis ungleich Summe der Einzelpreise: Arbitragegelegenheit Ausnutzung: Verkauf des Paketes aus Arrow Debreu Securities und Ertrag unters Kopfkissenlegen 15

16 Portfoliotheorie und Kapitalkosten unter Risiko Bisher: Auswahl der besten Alternative unter Unsicherheit Nun: Wie hängen die Risiken unterschiedlicher Assets (Alternativen) in meinem Portfolio miteinander zusammen und wie kann ich diese Zusammenhänge zur Nutzenmaximierung ausnutzen? Notwendig: Entwicklung von Kennzahlen zur Beurteilung von Verteilungen 16

17 Kennzahlen zur Beurteilung von Verteilungen im Rahmen der Portfoliotheorie Erwartungswert µ= E(X s ) Varianz S 2 ( X ) = # = " qs ( X s E( X s s= 1 Var! )) 2 analog zu klassischen Entscheidungsregeln 17

18 Beispiele für Verteilungen unterschiedlicher Alternativen (Wertpapiere) Titel 1 Titel 2 Titel 3 Eintrittswahrscheinlichkeiten 18

19 Berechnung des Erwartungswerts der Renditen 19

20 Berechnung der Varianzen (Standardabweichungen) 20

21 Eine etwas andere Herangehensweise, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeiten nicht bekannt sind. Empirische Erwartungswerte und Varianzen Berechnung aus Zeitreihen von Renditen 21

22 Berechnung des Erwartungswerts (T: Anzahl der Beobachtungszeitpunkte) E[ r] = 1 T T! r t t= 1 22

23 Berechnung der Varianzen (Standardabweichungen) 1 T Var[ r] = " ( rt E[ r]) T! 1! t=

24 Erreichbare Kombinationen von Rendite (Erwartungswert) und Risiko (Standardabweichung) bei Mischung von Wertpapieren? IBM Aktienrendite im selben Zeitraum wie Sony E (r) = Varianz IBM Var (r) = Standardabweichung IBM SD (r) = Welche Kombinationen von Rendite und Risiko erreiche ich mit variierenden Anteilen von Sony und IBM Aktien im Portfolio (im relevanten Zeitraum)? 24

25 Allgemein Rendite eines Portfolios aus zwei Wertpapieren Varianz des Portfolios aus zwei Wertpapieren 25

26 Korrelationskoeffizient allgemeine Definition Cov(r 1,r 2 ) Cov(r 1,r 2 ) = q 1 (r 11 - E[r 1 ])(r 21 - E[(r 2 ])+ + q 4 (r 14 - E[r 1 ])(r 24 - E[(r 2 ]) 26

27 Beispiel Wertpapier 2 und ein weiteres am Markt gehandeltes Wertpapier mit 27

28 Beispiele für Verteilungen unterschiedlicher Alternativen (Wertpapiere) Titel 1 Titel 2 Titel 3 Eintrittswahrscheinlichkeiten 28

29 In unserem Beispiel: Korrelationskoeffizient sei -0.5, d.h. negative Korrelation der beiden Wertpapiere Wie sehen unter diesen Umständen die erreichbaren Kombinationen aus Rendite und Risiko unseres Portfolios aus? 29

30 Wie sehen unter diesen Umständen die erreichbaren Kombinationen aus Rendite und Risiko unseres Portfolios aus? 30

31 Wie sehen unter diesen Umständen die erreichbaren Kombinationen aus Rendite und Risiko unseres Portfolios aus? Graphik wird in der Vorlesung entwickelt 31

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