Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

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1 Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1 < < x n b des Intervlls [, b] gibt, so dß h uf ]x k 1, x k [ konstnt ist für jedes k. Es ist klr, wie mn Treppenfunktionen uf R n definiert (Die Konstnzmengen sind jetzt Rechtecke oder Quder d.h. Produkte von Intervllen. Mn knn dmit den Begriff einer Riemnn-integrierbren Funktion geeignete Funktionen mehrerer Vriblen übertrgen, indem mn Ober- und Unterintegrle völlig nlog definiert. D ein viel llgemeinerer und effizienterer Integrlbegriff (ds Lebesgue-Integrl in der Mthemtik verwendet wird und dieser Zugng sehr ufwendig ist, werden wir stttdessen iterierte Integrle behndeln. Dies genügt, um konkrete Integrle, die von prktischer Bedeutung sind, zu berechnen. Integrle, die von einem Prmeter bhängen Stz 1 Sei [, b] R, Q ein bgeschlossener Quder in R n und f : [, b] Q R stetig. Dnn ist die Funktion ϕ : Q R, wobei ϕ(y f(x, ydx, stetig. Beweis. Wähle ǫ >. D f gleichmäßig stetig ist, existiert δ >, sodss us (x x 2 + (y y 2 < δ folgt f(x, y f(x, y < ǫ. Dmit gilt φ(y φ(y < ǫ(b, wenn (y y < δ. Ähnlicherweise zeigt mn: Stz 2 Seien I, I R kompkte Intervlle und f : I I R stetig und stetig prtiell differenzierbr nch der zweiten Vriblen. Dnn ist die Funktion ϕ : I R, definiert durch ϕ(y : f(x, ydx, stetig differenzierbr und es gilt dϕ(y dy I I f(x, y dx. y Einschub Eulersche Differentilgleichungen der Vritionsrechnung Sei I [, b] R, c 1, c 2 R. Die Funktion L : (t, y, p L(t, y, p von I R R in R sei zweiml stetig prtiell differenzierbr, R bezeichne die Fmilie der Funktionen ϕ : [, b] R, sodß ϕ zweiml stetig differenzierbr ist und ϕ( c 1, ϕ(b c 2. Die Abbildung S : R R sei definiert durch S(ϕ L(t, ϕ(t, ϕ (t. Gesucht ist nun ein ϕ R, so dß S(ϕ miniml ist, d.h. S(ϕ S(ψ für lle ψ R. 1

2 Stz 3 Eine notwendige Bedingung dfür, dß S(ϕ miniml ist für ein ϕ R, ist die Gültigkeit der Eulerschen Differentilgleichung d p (t, ϕ(t, ϕ (t y (t, ϕ(t, ϕ (t. Beweis. Sei ψ : [, b] R zweiml stetig differenzierbr mit ( ψ( ψ(b. Sei ϕ R so, dß S(ϕ min χ R S(χ. Für beliebiges ǫ R ist ϕ + ǫψ R und dmit Die Funktion φ : R R sei definiert durch φ besitzt für ǫ ein Minimum, lso ist S(ϕ S(ϕ + ǫψ. φ(ǫ : S(ϕ + ǫψ. ( dφ dǫ ( dφ(ǫ dǫ ǫ L(t, ϕ(t + ǫψ(t, ϕ (t + ǫψ (t { y L(...ψ(t + } p L(... ψ (t. Wegen ( ist p ψ (t p ψ(t b ψ(t ( d ( d ψ(t p. p Dmit erhält mn schließlich mit ( dφ dǫ ( } p (t, ϕ, ϕ ψ { y (t, ϕ, ϕ ψ + { y (t, ϕ, ϕ d p (t, ϕ, ϕ } ψ. (Wir hben zur Vereinfchung nur ϕ, ϕ,... sttt ϕ(t, ϕ (t,... geschrieben. Mit dem folgenden Lemm folgt drus y (t, ϕ(t, ϕ (t d p (t, ϕ(t, ϕ (t, q.e.d. 2

3 Die folgende Aussge ist nheliegend: Lemm 4 Sei [, b] R mit < b ein bgeschlossenes Intervll und f : [, b] R eine stetige Funktion. Flls für jede zweiml stetig differenzierbre Funktion gilt: dnn ist f(t für lle t [, b]. ψ : [, b] R mit ψ( ψ(b f(tψ(t, Verllgemeinerung uf höhere Dimensionen Sei [, b] R ein bgeschlossenes Intervll, c (c 1,...,c n, d (d 1,...,d n R n. R {ϕ (ϕ 1,...,ϕ n : [, b] R n : ϕ zweiml stetig differenzierbr mit ϕ( c, ϕ(b d}. L : (t, y 1,..., y n, p 1,...,p n L(t, y 1,...,y n, p 1,...,p n von [, b] R n R n R sei eine zweiml stetig differenzierbre Funktion. Ein reelles Funktionl S : R R sei definiert durch S(ϕ Mn knn uch hier zeigen: Ist für ein ϕ R L(t, ϕ 1 (t,...,ϕ n (t, ϕ 1 (t,...,ϕ n (t. S(ϕ S(ψ für lle ψ R, dnn gelten die Eulerschen Differentilgleichungen d (t, ϕ(t, ϕ (t (t, ϕ(t, ϕ (t p i y i für i 1,...,n. Wir kehren zurück zum Them der Integrtion. Ds Integrl von stetigen Funktionen mit kompktem Träger Sei jetzt f eine stetige Funktion von zwei Vriblen, die uf einer Menge [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] definiert ist. Mn definiert dnn ( f(x, y dxdy f(x, y dx dy. Ähnlicherweise definiert mn f(x 1,...,x n dx 1... dx n ls ein iteriertes Integrl. Wir werden unten zeigen, dß diese Definition unbhängig von der Reihe der Integrtionen ist d.h. es gilt (für n 2 ( ( f(x, y dx dy f(x, y dy dx. K(R n bezeichne die Menge der stetigen Funktionen f : R n R, sodß K > existiert mit f(x, flls x R n, x > K. Ist f K(R n, dnn liegt f(x 1,...,x n dx n K(R n 1. 3

4 Beweis. Zunächst ist klr, dß ds Integrl existiert, d die Abbildung x n f(x 1,..., x n 1, x n bei jeder Whl von (x 1,..., x n 1 in K(R liegt. Die Abbildung (x 1,...,x n 1 f(x 1,...,x n 1, x n dx n ht ntürlich kompkten Träger. Nch den obigen Sätzen ist sie uch stetig. D die Funktion (x 1,...,x n 1 f(x 1,...,x n 1, x n dx n in K(R n 1 liegt, knn mn ds Integrl ( f(x 1,...,x n 1, x n dx n dx n 1 bilden und erhält wieder eine Funktion us K(R n 2, usw. Also knn mn jeder Funktion f K(R n die Zhl ( (( I(f... f(x 1,...,x n dx n dx n 1... dx 1 zuordnen, die mn durch iterierte Integrtion us f erhält. Stz 5 Ds Funktionl I ht uf K(R n die folgenden Eigenschften: I(f 1 + f 2 I(f 1 + I(f 2 I(αf αi(f für α R I(f für f I(E t f I(f für t R n, wobei E t f die Funktion x f(x + t bezeichnet Flls f K, dnn I(f (b i i K, wenn Trf [ i, b i ] ist (d.h. f(x, flls x / [ i, b i ]. Beweis. Ds folgt unmittelbr us den Eigenschften des eindimensionlen Integrls für stückweise stetige Funktionen. Es ist interessnt, dß ds Funktionl I durch diese Eigenschften bis uf einen Proportionlitätsfktor eindeutig bestimmt ist. D mn von einem Integrl lle diese Eigenschften erwrtet, hben wir somit den richtigen Integrlbegriff gefunden. Sollte mn Funktionen integrieren wollen, die nicht stetig sind, verwendet mn folgende ntürliche Approximtionsmethode: Definition 6 Sei f eine nichtnegtive beschränkte Funktion mit kompktem Träger uf R n. Wir nennen f integrierbr uf R n, wenn für jedes ǫ > Funktionen g, h K(R n existieren mit g f h und I(g h < ǫ. Für eine integrierre Funktion f versteht mn unter dem Integrl I(f die Zhl I(f sup I(g g f g K(R n inf I(h. f h h K(R n Wenn f integrierbr ist, gibt es für jedes ǫ > Funktionen g ǫ, h ǫ K(R n mit g ǫ f h ǫ und I(h ǫ I(g ǫ < ǫ. Dnn ist I(g ǫ sup I(g inf I(h I(h ǫ g f f h 4

5 und somit ttsächlich sup I(g inf I(h, womit gezeigt ist, dß die Definition sinnvoll ist. Bemerkung. Diese Definition ist im wesentlichen die Archimedische Exhustionsmethode zur Bestimmung des Inhlts eines Körpers. Mn pproximiert die Funktion f von oben und unten durch Funktionen, für welche ds Integrl bereits definiert ist. Definition 7 Eine beschränkte reellwertige Funktion f heißt integrierbr, wenn f + mx(f, und f mx( f, integrierbr sind. Mn definiert dnn ds Integrl durch I(f I(f + I(f. Stz 8 Mit f 1 und f 2 sind uch f 1 + f 2, αf 1, f 1 f 2, mx(f 1, f 2, min(f 1, f 2 und f 1 integrierbr. Ds erweiterte Integrl ht ähnliche Eigenschften: Stz 9 Für integrierbre Funktionen f, f 1, f 2 gilt I(f 1 + f 2 I(f 1 + I(f 2 I(αf αi(f, α R I(f für f I(E t f I(f, t R n I(f (b i i K, flls Trf [ i, b i ] und f K. Die o.e. Eindeutigkeit wird im folgenden Stz (ohne Beweis formuliert. Stz 1 Sei J : K(R n R eine Abbildung mit den folgenden Eigenschften: J(f 1 + f 2 J(f 1 + J(f 2 J(αf αj(f, α R J(f für f J(E t f J(f, t R n J(f α (b i i K für jedes f mit Tr f [ i, b i ] und f < K mit einer von f und Tr f unbhängigen Konstnten α >. Dnn existiert ein λ mit J(f λi(f für lle f K(R n. Als einfche Folgerung us diesem Stz ergibt sich, dß es in der Definition von I(f uf die Reihenfolge der Integrtionen nicht nkommt. Stz 11 Sei J(f... ( f(x 1,...,x n dx i1 dx i2... dx in, wobei {i 1, i 2,...,i n } irgendeine Permuttion von {1, 2,..., s} ist. Dnn gilt J(f I(f. Beweis. J(f erfüllt 1 5 und J(χ W1 1. Wir schreiben dher kurz I(f R n f(xdx, wobei dx dx 1...dx n bedeutet. Nun sind wir in der Lge, den bis jetzt nur vge umschriebenen Begriff des Flächeninhlts oder Volumens exkt zu definieren. Definition 12 Ist A R n und die Indiktorfunktion χ A integrierbr im R n, dnn nennt mn die Zhl m(a I(χ A ds (n-dimensionle Mß oder den Inhlt von A und nennt A eine integrierbre Menge. (Für n 2 spricht mn von Flächeninhlt, für n 3 von Volumen. Bemerkung. Mn erhält uf diese Weise eine Klsse von integrierbren Mengen, die lle jene Mengen umfßt, welchen mn üblicherweise einen Inhlt zuschreiben möchte. 5

6 Die Trnsformtionsregel Stz 13 Sei g (g 1,...,g n eine stetig differenzierbre Funktion uf U (offen in R n. Wir nehmen n, g ist injektiv und det J g (x uf U. Sei f stetig uf g(u. Dnn gilt: f(x dx f g(u detj g (u du g(u für jede stetige Funktion f uf g(u. Beweis. (Beweisskizze Wir betrchten ds Funktionl f f g(u detj g (u du. U U Mn prüft nch, dß dieses Funktionl den Bedingungen von oben genügt. Drus folgt die Aussge des Stzes. Beispiel. Berechne V x2 z dxdydz wobei V {(x, y, z : x 2 + y 2 2, z h}. Wir benutzen zylindrische Koordinten d.h. die Abbildung φ : (r, θ, ζ (r cosθ, r sin θ, ζ φ(v V wobei V {(r, θ, ζ : r, θ [, 2π], ζ h}. Dher gilt: V x 2 zdxdydz h 2π (r cosθ 2 rζ drdθdζ π4 h 2. 8 Beispiel. Wir berechnen eine Formel für ds Volumen des Rottionskörpers x 2 +y 2 (φ(z 2 : Es gilt: V π dz dxdydz (x 2 +y 2 φ(z 2 2π φ(z dθ φ(z 2 dz. Anwendungen des Integrls: r dr (in zylindrische Koordinten 1. Flls ρ(x, y, z die Dichte n der Stelle (x, y, z ist, dnn ist ρ(x, y, z dxdydz die Gesmtmsse von G. G 6

7 2. Sttisches Moment: Die Größen T x G T y T z xρ(x, y, z dxdydz, yρ(x, y, z dxdydz, zρ(x, y, z dxdydz sind die sttischen Momente der Msse. 3. Der Schwerpunkt von G ist der Punkt ( x, ȳ, z, wobei x xρ(x, y, z dxdydz ρ(x, y, z dxdydz T x V usw. 4. Die Trägheitsmomente I x, I y, I z im Bezug uf die x (bzw. y, z Achse ist: I x (y 2 + z 2 ρ(x, y, z dxdydz, usw. 5. Ds Potentil der Mssennziehung eines Körpers G mit Dichte ρ ist ρ(x, y, z f(x, y, z (x h2 + (y η 2 + (z ζ dhdηdζ. 2 (Ds entsprechende Krftfeld ist grdf. G Beispiel. Berechne T x, T y, T z, x, ȳ, z für die homogene Hlbkugel {(x, y, z x 2 + y 2 + z 2 1, z }, T x T y (us Symmetriegründen T z D die Gesmtmsse 2π 3 gilt V z dxdydz 1 2π zdz 1 1 z 2 2π rdr 1 z 2 z dz π 2 4. dθ x, ȳ, z 3 8. Beispiel. Berechne I x für die Kugel mit Mssendichte 1. Es gilt: I x (y 2 + z 2 dxdydz I y I z wegen der Symmetrie 1 (x 2 + y 2 + z 2 dxdydz π 2π r 4 sin vdrdvdu 8π 15. 7

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