Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n
|
|
- Linus Meyer
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1 < < x n b des Intervlls [, b] gibt, so dß h uf ]x k 1, x k [ konstnt ist für jedes k. Es ist klr, wie mn Treppenfunktionen uf R n definiert (Die Konstnzmengen sind jetzt Rechtecke oder Quder d.h. Produkte von Intervllen. Mn knn dmit den Begriff einer Riemnn-integrierbren Funktion geeignete Funktionen mehrerer Vriblen übertrgen, indem mn Ober- und Unterintegrle völlig nlog definiert. D ein viel llgemeinerer und effizienterer Integrlbegriff (ds Lebesgue-Integrl in der Mthemtik verwendet wird und dieser Zugng sehr ufwendig ist, werden wir stttdessen iterierte Integrle behndeln. Dies genügt, um konkrete Integrle, die von prktischer Bedeutung sind, zu berechnen. Integrle, die von einem Prmeter bhängen Stz 1 Sei [, b] R, Q ein bgeschlossener Quder in R n und f : [, b] Q R stetig. Dnn ist die Funktion ϕ : Q R, wobei ϕ(y f(x, ydx, stetig. Beweis. Wähle ǫ >. D f gleichmäßig stetig ist, existiert δ >, sodss us (x x 2 + (y y 2 < δ folgt f(x, y f(x, y < ǫ. Dmit gilt φ(y φ(y < ǫ(b, wenn (y y < δ. Ähnlicherweise zeigt mn: Stz 2 Seien I, I R kompkte Intervlle und f : I I R stetig und stetig prtiell differenzierbr nch der zweiten Vriblen. Dnn ist die Funktion ϕ : I R, definiert durch ϕ(y : f(x, ydx, stetig differenzierbr und es gilt dϕ(y dy I I f(x, y dx. y Einschub Eulersche Differentilgleichungen der Vritionsrechnung Sei I [, b] R, c 1, c 2 R. Die Funktion L : (t, y, p L(t, y, p von I R R in R sei zweiml stetig prtiell differenzierbr, R bezeichne die Fmilie der Funktionen ϕ : [, b] R, sodß ϕ zweiml stetig differenzierbr ist und ϕ( c 1, ϕ(b c 2. Die Abbildung S : R R sei definiert durch S(ϕ L(t, ϕ(t, ϕ (t. Gesucht ist nun ein ϕ R, so dß S(ϕ miniml ist, d.h. S(ϕ S(ψ für lle ψ R. 1
2 Stz 3 Eine notwendige Bedingung dfür, dß S(ϕ miniml ist für ein ϕ R, ist die Gültigkeit der Eulerschen Differentilgleichung d p (t, ϕ(t, ϕ (t y (t, ϕ(t, ϕ (t. Beweis. Sei ψ : [, b] R zweiml stetig differenzierbr mit ( ψ( ψ(b. Sei ϕ R so, dß S(ϕ min χ R S(χ. Für beliebiges ǫ R ist ϕ + ǫψ R und dmit Die Funktion φ : R R sei definiert durch φ besitzt für ǫ ein Minimum, lso ist S(ϕ S(ϕ + ǫψ. φ(ǫ : S(ϕ + ǫψ. ( dφ dǫ ( dφ(ǫ dǫ ǫ L(t, ϕ(t + ǫψ(t, ϕ (t + ǫψ (t { y L(...ψ(t + } p L(... ψ (t. Wegen ( ist p ψ (t p ψ(t b ψ(t ( d ( d ψ(t p. p Dmit erhält mn schließlich mit ( dφ dǫ ( } p (t, ϕ, ϕ ψ { y (t, ϕ, ϕ ψ + { y (t, ϕ, ϕ d p (t, ϕ, ϕ } ψ. (Wir hben zur Vereinfchung nur ϕ, ϕ,... sttt ϕ(t, ϕ (t,... geschrieben. Mit dem folgenden Lemm folgt drus y (t, ϕ(t, ϕ (t d p (t, ϕ(t, ϕ (t, q.e.d. 2
3 Die folgende Aussge ist nheliegend: Lemm 4 Sei [, b] R mit < b ein bgeschlossenes Intervll und f : [, b] R eine stetige Funktion. Flls für jede zweiml stetig differenzierbre Funktion gilt: dnn ist f(t für lle t [, b]. ψ : [, b] R mit ψ( ψ(b f(tψ(t, Verllgemeinerung uf höhere Dimensionen Sei [, b] R ein bgeschlossenes Intervll, c (c 1,...,c n, d (d 1,...,d n R n. R {ϕ (ϕ 1,...,ϕ n : [, b] R n : ϕ zweiml stetig differenzierbr mit ϕ( c, ϕ(b d}. L : (t, y 1,..., y n, p 1,...,p n L(t, y 1,...,y n, p 1,...,p n von [, b] R n R n R sei eine zweiml stetig differenzierbre Funktion. Ein reelles Funktionl S : R R sei definiert durch S(ϕ Mn knn uch hier zeigen: Ist für ein ϕ R L(t, ϕ 1 (t,...,ϕ n (t, ϕ 1 (t,...,ϕ n (t. S(ϕ S(ψ für lle ψ R, dnn gelten die Eulerschen Differentilgleichungen d (t, ϕ(t, ϕ (t (t, ϕ(t, ϕ (t p i y i für i 1,...,n. Wir kehren zurück zum Them der Integrtion. Ds Integrl von stetigen Funktionen mit kompktem Träger Sei jetzt f eine stetige Funktion von zwei Vriblen, die uf einer Menge [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] definiert ist. Mn definiert dnn ( f(x, y dxdy f(x, y dx dy. Ähnlicherweise definiert mn f(x 1,...,x n dx 1... dx n ls ein iteriertes Integrl. Wir werden unten zeigen, dß diese Definition unbhängig von der Reihe der Integrtionen ist d.h. es gilt (für n 2 ( ( f(x, y dx dy f(x, y dy dx. K(R n bezeichne die Menge der stetigen Funktionen f : R n R, sodß K > existiert mit f(x, flls x R n, x > K. Ist f K(R n, dnn liegt f(x 1,...,x n dx n K(R n 1. 3
4 Beweis. Zunächst ist klr, dß ds Integrl existiert, d die Abbildung x n f(x 1,..., x n 1, x n bei jeder Whl von (x 1,..., x n 1 in K(R liegt. Die Abbildung (x 1,...,x n 1 f(x 1,...,x n 1, x n dx n ht ntürlich kompkten Träger. Nch den obigen Sätzen ist sie uch stetig. D die Funktion (x 1,...,x n 1 f(x 1,...,x n 1, x n dx n in K(R n 1 liegt, knn mn ds Integrl ( f(x 1,...,x n 1, x n dx n dx n 1 bilden und erhält wieder eine Funktion us K(R n 2, usw. Also knn mn jeder Funktion f K(R n die Zhl ( (( I(f... f(x 1,...,x n dx n dx n 1... dx 1 zuordnen, die mn durch iterierte Integrtion us f erhält. Stz 5 Ds Funktionl I ht uf K(R n die folgenden Eigenschften: I(f 1 + f 2 I(f 1 + I(f 2 I(αf αi(f für α R I(f für f I(E t f I(f für t R n, wobei E t f die Funktion x f(x + t bezeichnet Flls f K, dnn I(f (b i i K, wenn Trf [ i, b i ] ist (d.h. f(x, flls x / [ i, b i ]. Beweis. Ds folgt unmittelbr us den Eigenschften des eindimensionlen Integrls für stückweise stetige Funktionen. Es ist interessnt, dß ds Funktionl I durch diese Eigenschften bis uf einen Proportionlitätsfktor eindeutig bestimmt ist. D mn von einem Integrl lle diese Eigenschften erwrtet, hben wir somit den richtigen Integrlbegriff gefunden. Sollte mn Funktionen integrieren wollen, die nicht stetig sind, verwendet mn folgende ntürliche Approximtionsmethode: Definition 6 Sei f eine nichtnegtive beschränkte Funktion mit kompktem Träger uf R n. Wir nennen f integrierbr uf R n, wenn für jedes ǫ > Funktionen g, h K(R n existieren mit g f h und I(g h < ǫ. Für eine integrierre Funktion f versteht mn unter dem Integrl I(f die Zhl I(f sup I(g g f g K(R n inf I(h. f h h K(R n Wenn f integrierbr ist, gibt es für jedes ǫ > Funktionen g ǫ, h ǫ K(R n mit g ǫ f h ǫ und I(h ǫ I(g ǫ < ǫ. Dnn ist I(g ǫ sup I(g inf I(h I(h ǫ g f f h 4
5 und somit ttsächlich sup I(g inf I(h, womit gezeigt ist, dß die Definition sinnvoll ist. Bemerkung. Diese Definition ist im wesentlichen die Archimedische Exhustionsmethode zur Bestimmung des Inhlts eines Körpers. Mn pproximiert die Funktion f von oben und unten durch Funktionen, für welche ds Integrl bereits definiert ist. Definition 7 Eine beschränkte reellwertige Funktion f heißt integrierbr, wenn f + mx(f, und f mx( f, integrierbr sind. Mn definiert dnn ds Integrl durch I(f I(f + I(f. Stz 8 Mit f 1 und f 2 sind uch f 1 + f 2, αf 1, f 1 f 2, mx(f 1, f 2, min(f 1, f 2 und f 1 integrierbr. Ds erweiterte Integrl ht ähnliche Eigenschften: Stz 9 Für integrierbre Funktionen f, f 1, f 2 gilt I(f 1 + f 2 I(f 1 + I(f 2 I(αf αi(f, α R I(f für f I(E t f I(f, t R n I(f (b i i K, flls Trf [ i, b i ] und f K. Die o.e. Eindeutigkeit wird im folgenden Stz (ohne Beweis formuliert. Stz 1 Sei J : K(R n R eine Abbildung mit den folgenden Eigenschften: J(f 1 + f 2 J(f 1 + J(f 2 J(αf αj(f, α R J(f für f J(E t f J(f, t R n J(f α (b i i K für jedes f mit Tr f [ i, b i ] und f < K mit einer von f und Tr f unbhängigen Konstnten α >. Dnn existiert ein λ mit J(f λi(f für lle f K(R n. Als einfche Folgerung us diesem Stz ergibt sich, dß es in der Definition von I(f uf die Reihenfolge der Integrtionen nicht nkommt. Stz 11 Sei J(f... ( f(x 1,...,x n dx i1 dx i2... dx in, wobei {i 1, i 2,...,i n } irgendeine Permuttion von {1, 2,..., s} ist. Dnn gilt J(f I(f. Beweis. J(f erfüllt 1 5 und J(χ W1 1. Wir schreiben dher kurz I(f R n f(xdx, wobei dx dx 1...dx n bedeutet. Nun sind wir in der Lge, den bis jetzt nur vge umschriebenen Begriff des Flächeninhlts oder Volumens exkt zu definieren. Definition 12 Ist A R n und die Indiktorfunktion χ A integrierbr im R n, dnn nennt mn die Zhl m(a I(χ A ds (n-dimensionle Mß oder den Inhlt von A und nennt A eine integrierbre Menge. (Für n 2 spricht mn von Flächeninhlt, für n 3 von Volumen. Bemerkung. Mn erhält uf diese Weise eine Klsse von integrierbren Mengen, die lle jene Mengen umfßt, welchen mn üblicherweise einen Inhlt zuschreiben möchte. 5
6 Die Trnsformtionsregel Stz 13 Sei g (g 1,...,g n eine stetig differenzierbre Funktion uf U (offen in R n. Wir nehmen n, g ist injektiv und det J g (x uf U. Sei f stetig uf g(u. Dnn gilt: f(x dx f g(u detj g (u du g(u für jede stetige Funktion f uf g(u. Beweis. (Beweisskizze Wir betrchten ds Funktionl f f g(u detj g (u du. U U Mn prüft nch, dß dieses Funktionl den Bedingungen von oben genügt. Drus folgt die Aussge des Stzes. Beispiel. Berechne V x2 z dxdydz wobei V {(x, y, z : x 2 + y 2 2, z h}. Wir benutzen zylindrische Koordinten d.h. die Abbildung φ : (r, θ, ζ (r cosθ, r sin θ, ζ φ(v V wobei V {(r, θ, ζ : r, θ [, 2π], ζ h}. Dher gilt: V x 2 zdxdydz h 2π (r cosθ 2 rζ drdθdζ π4 h 2. 8 Beispiel. Wir berechnen eine Formel für ds Volumen des Rottionskörpers x 2 +y 2 (φ(z 2 : Es gilt: V π dz dxdydz (x 2 +y 2 φ(z 2 2π φ(z dθ φ(z 2 dz. Anwendungen des Integrls: r dr (in zylindrische Koordinten 1. Flls ρ(x, y, z die Dichte n der Stelle (x, y, z ist, dnn ist ρ(x, y, z dxdydz die Gesmtmsse von G. G 6
7 2. Sttisches Moment: Die Größen T x G T y T z xρ(x, y, z dxdydz, yρ(x, y, z dxdydz, zρ(x, y, z dxdydz sind die sttischen Momente der Msse. 3. Der Schwerpunkt von G ist der Punkt ( x, ȳ, z, wobei x xρ(x, y, z dxdydz ρ(x, y, z dxdydz T x V usw. 4. Die Trägheitsmomente I x, I y, I z im Bezug uf die x (bzw. y, z Achse ist: I x (y 2 + z 2 ρ(x, y, z dxdydz, usw. 5. Ds Potentil der Mssennziehung eines Körpers G mit Dichte ρ ist ρ(x, y, z f(x, y, z (x h2 + (y η 2 + (z ζ dhdηdζ. 2 (Ds entsprechende Krftfeld ist grdf. G Beispiel. Berechne T x, T y, T z, x, ȳ, z für die homogene Hlbkugel {(x, y, z x 2 + y 2 + z 2 1, z }, T x T y (us Symmetriegründen T z D die Gesmtmsse 2π 3 gilt V z dxdydz 1 2π zdz 1 1 z 2 2π rdr 1 z 2 z dz π 2 4. dθ x, ȳ, z 3 8. Beispiel. Berechne I x für die Kugel mit Mssendichte 1. Es gilt: I x (y 2 + z 2 dxdydz I y I z wegen der Symmetrie 1 (x 2 + y 2 + z 2 dxdydz π 2π r 4 sin vdrdvdu 8π 15. 7
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
MehrVorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
MehrGroßübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht
Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung)
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:
Mehr10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
MehrDoppel- und Dreifachintegrale
Doppel- und Dreifchintegrle Sei [, b] ein Intervll des R 2 oder R 3 (lso ein Rechteck bzw. ein Quder), i.e. [, b] = [, b ] [ 2, b 2 ] oder [, b] = [, b ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ]. Für Intervlle des R 2 bzw.
Mehr1 Kurvendiskussion /40
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.
MehrAbitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999
Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden
MehrKapitel 9 Integralrechnung
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion
MehrSatz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Mehr1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt
Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrMatrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.
Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrMathe Warm-Up, Teil 1 1 2
Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrEinführung in Mathcad 14.0 2011 H.
Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf + + 5 sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrFormelsammlung. Folgen und Reihen
Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
Mehr5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter
Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
MehrFunktionen und Mächtigkeiten
Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
Mehr(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!
0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt
Mehr( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der
ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der
MehrDie Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.
Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrMusterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes des dargestellten Querschnitts an!
Seite 1/15 Aufgbe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinten des lächenschwerpunktes des drgestellten Querschnitts n! 2 Gegeben:. 4 ΣA i = y 2 x Σx i A i = x s = Σy i A i = y s = ΣA i = 8 2 Σx i A i = 13 3
MehrKAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mthemtischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 20 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 20 Definition 9.1 (Stmmfunktion)
MehrNumerische Mathematik Sommersemester 2013
TU Chemnitz 5. Februr 2014 Professur Numerische Mthemtik Prof. Dr. Oliver Ernst Dipl.-Mth. Ingolf Busch Dipl.-Mth. techn. Tommy Etling Numerische Mthemtik Sommersemester 2013 Musterlösungen zu nicht behndelten
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrÜbungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8
Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrKapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
MehrKapitel 8 Anwendungen der Di erentialrechnung
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 235 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.1 (Mittelwertstz
MehrMathematik. Name, Vorname:
Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig
MehrDefinition Suffixbaum
Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrDomäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.
Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine
Mehr3 Wiederholung des Bruchrechnens
3 Wiederholung des Bruchrechnens Ein Bruch entsteht, wenn ein Gnzes in mehrere gleiche Teile zerlegt wird. Jeder Bruch besteht us dem Zähler, der Zhl über dem Bruchstrich, und dem Nenner, der Zhl unter
MehrZusatzunterlagen zur Vorlesung Analysis II Sommersemester 2014
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier M. Sc. Sebstin Lngendörfer e Integrlrechnung Zustzunterlgen zur Vorlesung Anlysis II Sommersemester 2014 Dieses Bltt enthält
Mehr16. Integration über Flächen. Der Gaußsche Integralsatz
41 16. Integrtion über Flächen. Der Gußsche Integrlstz Der Gußsche Stz in der Ebene. 16.1. Orientierter Rnd von Normlbereichen. Es sei [, b] ein Intervll, und f 1 und f 2 seien stückweise stetig di erenzierbre
MehrAbsolute Stetigkeit von Maßen
Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrKapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 207/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F(x) heißt Stmmfunktion einer Funktion f (x), flls F (x) = f (x) Berechnung: Vermuten
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrMathematik II. Vorlesung 31
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrMathematik schriftlich
WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe
MehrDefinition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Simone Wrzel Mx Lein Husufgben 1. Flächeninhlte Teil 1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik 4 für Physik Anlysis 3 Wintersemester 9/1 Lösungsbltt 1.1.9 Wie gross ist der Flächeninhlt
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
Mehr9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.
9 ntegrlrechnung 9. Ds Riemnn-ntegrl: Sei [, b] ein beschränktes bgeschlossenes ntervll und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Problem: Bestimme Flächeninhlt A zwischen Grphen von f und x-achse. Betrchte
MehrSerie 13 Lösungsvorschläge
D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter
MehrKapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36. F (x) = f (x) Vermuten und Verifizieren.
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F() heißt Stmmfunktion einer Funktion f (), flls F () = f () Berechnung: Vermuten und Verifizieren
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
Mehrnennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
Mehr9.6 Parameterabhängige Integrale
Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes
MehrÜbungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
Mehrf : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.
Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,
MehrNumerische Integration durch Extrapolation
Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
MehrVI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition
MehrLösungen zu Kapitel 7
Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig
MehrSchriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik
Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene
Mehr8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz
O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung
MehrZum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
Mehrkomplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch
Mehr!(0) + o 1("). Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen.
Bifurkationen an geschlossenen Orbits 5.4 167 der Schnittabbldung konstruiert. Die Periode T (") der zugehörigen periodischen Lösungen ergibt sich aus =! + o 1 (") beziehungsweise Es ist also t 0 = T (")
MehrDef.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:
8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrErstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc
Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc In dieser kleinen Anleitung geht es nur darum, aus einer bestehenden Tabelle ein x-y-diagramm zu erzeugen. D.h. es müssen in der Tabelle mindestens zwei
Mehr4.4 Partielle Integration
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 4.4 Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz 4..8. Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr
MehrFreie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen:
Die Schwingungs-Differenilgleichung Freie ungedämpfe Schwingung eines Mssenpunes Federschwinger Bei Auslenung des Mssenpunes: Hooesches Gesez F - Federonsne Die Bewegungsgleichung lue dher: d m oder m
MehrDefinition und Begriffe
Merkblatt: Das Dreieck Definition und Begriffe Das Dreieck ist ein Vieleck. In der Ebene ist es die einfachste Figur, die von geraden Linien begrenzt wird. Ecken: Jedes Dreieck hat drei Ecken, die meist
MehrFrohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!
Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]
MehrAnalysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick uf die letzte Vorlesung 1. Ljpunov-Funktion 2. Rndwertprobleme 3. Lösbrkeit und Eindeutigkeit Ausblick uf die heutige Vorlesung 1. Vritionsrechnung 2. Brchistochrone 3. Euler-Lgrnge Gleichung
MehrGrundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Hauptprüfung Abiturprüfung 205 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 205 Aufgabe A
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrStammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
Mehr