Portfoliorisiko und Minimum Varianz Hedge

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1 ortfoliorisiko und Minimum Varianz Hedge Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft rof. Dr. Mark Wahrenburg Überblick Messung von Risiko ortfoliodiversifikation Minimum Varianz ortfolios ortfolioanalyse und Hedging

2 Vermögensentwicklung verschiedener Investments US S& 5 Small Comany Stocks Cororate Bonds LT Govt Bond ST Govt Bond 3Day TBills Inflation Aktien: Monatliche Renditen 5 4 Mittelwert:.% Standardabweichung: 5.7% 3 S&5 Total Return %Total Return Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec

3 Monatliche Renditen von Anleihen und Aktien (USA) Anleihen: Mittelwert:.44% Standardabweichung:.% Aktien Mittelwert:.% Standardabweichung: 5.7% U.S. LT Gvt TR %Total Return S&5 Total Return %Total Return Dec Jan Feb Mar Ar May Jun Jul Aug Se Oct Nov Dec Jan Feb Mar Ar May Jun Jul Aug Se Oct Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Dec Risiko und Rendite (jährlich) : Verteilungen 8 S& 5 (.8%) Small Comanies ( 4.4%) LT Government Bonds ( 5.44%) 3 Day Treasury Bills ( 3.8%)

4 Durchschnittliche Renditen und Volatilitäten Series Arithm. Mittel Risiko rämie Standard- Abweich. Large Stocks Small Stocks LT Cor Bonds LT Govt Bonds ST Govt Bonds US TBills Inflation Source: Ibbotson Associates 7 Rendite and Volatilität Volatilität Small Co s 3 5 S& 5 5 Govt LT Cororate 5 TBills Govt IT 5 5 Rendite Volatilität ist eng mit Rendite verbunden 8 4

5 Rendite and Volatilität: Wechselkursrisiken Volatilität Intl. Aktien ungehedged Intl. Aktien gehedged Rendite Volatilität ist nicht immer mit Rendite verbunden! Risikorämie nicht auf alle Risiken! 9 Messung der ortfoliorendite Messung der (historischen) ortfoliorendite R in eriode t: R j N t Σ j j R jt j Anteil des ortfolios, der in Aktie j, j,,n investiert ist. j > ist eine Long osition. j < ist eine Short osition; j j 5

6 Messung des Risikos Die Varianz eines ortfolios wird bestimmt aus: Var T Σ t T ( R ) ( R R ) t t Häufig wird die Standardabweichung (Auch Volatilität genannt) verwendet: ( R ) Var R ) SD ( Die erwartete ortfoliorendite Die erwartete Rendite eines Aktienortfolios ist : E j n j n ( r ) Σ jer ( j ) mit Σ j j j gewichteter Durchschnitt der einzelnen erwarteten Renditen -Aktien-Fall: ( ) ( ) ( ) ( ) Er Er Er 6

7 ortfoliorisiko ortfoliorisiko gemessen als Standardabweichung Die Varianz für ein -Aktien-ortfolio : var( r i ij ) Varianz von Aktie i Kovarianz von Aktien i und j oder: var( r ) ρ ij ρ Korrelationskoeffizient von i und j 3 -Aktien-Beisiel E[r] E[r ] Aktie E[r ] Aktie 4 7

8 8 5 -Aktien-Fall Wo liegen die ortfolios aus beiden Aktien im Risiko- Rendite-Diagramm? j Anteil von Aktie j, j, j > : long osition. j < : short osition; - Wir brauchen Erwartungswert und Standardabweichung der ortfoliorendite : ) ( r r r r r ) ( ) ( ) var( r Nach auflösen und einsetzen -> Effiziente Linie 6 Das Minimum Varianz ortfolio Bestimmung des ortfolios mit minimaler Varianz:! 4 ) ( ) ( ) ( c d d c Einsetzen und Rendite/Varianz berechnen!

9 Minimum Varianz ortfolio E[r] E[r ] E[r ] E[r ] Minimum Varianz ortfolio Aktie Aktie 7 Alternative Herleitung Minimum Varianz ortfolio Marginaler Risikobeitrag von Aktie i: Veränderung der ortfoliovarianz bei kleiner Änderung von i Für Min Varianz ortfolio muß gelten: Marginale Substitution von Aktie durch Aktie darf Risiko nicht verändern -> marginaler Risikobeitrag beider Aktien identisch Marginaler Risikobeit rag: d d d d d d d d mit 8 9

10 Beisielrechnung Minimum Varianz ortfolio Beisiel: Aktie Erwartete Rendite Standard abweichung % 4% % % Korrelationskoeffizient: Fall : - Fall : Fall 3:,5 Fall 4:,75 9 Fall : erfekte negative Korrelation Mit erfekter negativer Korrelation, - ist es möglich, ein risikoloses ortfolio zu bilden Die ortfoliogewichte des Minimum Varianz ortfolios ergeben sich als: ( ) ( ) X %/(%4%) /3 E(R ) /3 * % /3 * % 4 /3%

11 erfekte negative Korrelation E[r] E[r ] E[r ] E[r ] Null-Varianz ortfolio ortfolio mit viel Aktie Aktie Aktie ortfolio mit viel Aktie erfekte ositive Korrelation Bei erfekter ositiver correlation,, kann Risiko nur durch Shortositionen (Leerverkauf) reduziert werden die ortfoliogewichte des Minimum Varianz ortfolios sind: Minimum Varianz ortfolio: Leerverkauf einer Aktie Long osition in der anderen Aktie

12 Fall : erfekte ositive Korrelation im Beisiel. ortfoliogewichte:.. (. ).. 4. Erwartete ortfoliorendite: ( ) (. )( ) (. )( ) Er % % 4% Varianz ist auf null reduziert! 3 erfekte ositive Korrelation E[r] Minimum Varianz Mit Leerverkauf E[r ] E[r ] E[r ] Minimum Varianz ortfolio ohne Leerverkauf Asset Leerverkauf Aktie ortfolio mit viel Aktie Asset ortfolio mit viel Aktie 4

13 erfekte Korrelation: Beisiel Derivate (Futures) haben sehr hohe Korrelation mit Underlying -> Nutzung für Hedge (Vernichtung von Risiko) Beisiel: Sie müssen DM 9 investieren in Assets: Eine Aktie mit reis mit erwarteter Rendite von.% und,5% Volatilität über eine Woche Eine Call Otion mit Delta,4 zum reis von DM 4. (kurzfristig äquivalent mit,4 Aktien) Wie kann das Risiko über die nächste Woche minimiert werden? 5 erfekte Korrelation: Beisiel Eine Otion entsricht,4 Aktien -> Zunächst Varianz der Otion bestimmen: Wenn Aktie um eine Standardabweichung (,5 DM) steigt, verändert sich Otionswert um,4 *,5 DM -> Rendite der Otion DM / Otionsreis /4 5% -> Die Otion ist mal so riskant: C $./$4.5%. Formel für das Minimum Varianz ortfolio (Korrelation ): Call 5. Stock Varianzminimierender Hedge:. Verkaufe 5 Call Otionen (Wert /9 des Vermögens). Investiere die Otionsrämie und die 9 DM in Aktien! 9 6 3

14 Fall 3: Geringe Korrelation E[r] E[r ] E[r ] E[r ] Minimum Varianz ortfolio ortfolio mit Viel Aktie Asset Asset ortfolio mit Viel Aktie 7 Beisiel.5 Wie groß sind die ortfoliogewichte, Erwartete ortfoliorendite und Volatilität des Minimum Varianz ortfolio? ortfoliogewichte: (. ) (. 5)(. 4)(. ). 5% (. 4) (. ) (. 5)(. 4)(. ) (. 5) 87. 5% Erwartete Rendite und Volatilität E( r ) (. 5)( %) (. 875)( %) 3. % var( r ) (. 5) (. 4) (. 875) (. ) var( r ). 375 (. 5)(. 875)(. 5)(. 4)(. ) Sd( r ) % 8 4

15 Fall 4: Hohe Korrelation E[r ] E[r ] Minimum Varianz ortfolio Asset Asset ortfolio mit viel Aktie E[r ] ortfolio mit Long osition in Aktie Short osition in Aktie 9 Beisiel,75 ortfoliogewichte (. ) (. 75)(. 4)(. ) 65%. (. 4) (. ) (. 75)(. 4)(. ) (. 65) 6. 5% Erwartete Rendite und Volatilität E( r ) (. 65)( %) (. 65)( %) 5%. var( r ) (. 65) (. 4) ( 65. ) (. ) var( r ). 347 (. 65)( 65. )(. 75)(. 4)(. ) Sd( r ) % 3 5

16 Besonderheiten bei Hedging mit Futures Kein Kaitaleinsatz Rechnung in i s funktioniert nicht Lösung: Rechnung in absoluten Veränderungen ( ) anstelle von relativen Veränderungen (R / ) Beisiel: ortfolio mit Aktien mit reis heute S investiert Suche Min.-Varianz-Hedge mit DAX-Futures (Futureswert heute F) ortfoliogewinn: S * F * S * F *** F S Ableitung: d /d F * F S * - * F S / F 3 Grahische Illustration Aktienhedge mit Da-Futures F ❻ ❻ ❻ ❻ ❻ ❻ ❻ ❻ ❻ ❻ Delta F S / F S 3 6

17 Basisrisiko Basisrisiko ist die verbleibende Varianz (* ) Hedgeeffizienz mißt die Effektivität des Hedges: () - (* ) () (Anteil des ursrünglichen Risikos, der durch Hedging vernichtet wird 33 7

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