Inhaltsverzeichnis. Seite 1: Matrizen. Seite 23: Funktionen. Seite 51: Integralrechnung. Seite 69: Binomialverteilung

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1 Inhaltsverzeichnis Seite : Matrizen Seite : Funktionen Seite 5: Integralrechnung Seite 69: Binomialverteilung Seite 86: Statistik/Normalverteilung Seite 04: Vektoren Seite 40: Wachstum

2 Lineare Algebra Matrizen A 0,5 0, 0,6 0, 0, 0, 0, 0, = 0, 0,4 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6 C 0, 0, 0, 0, A 0, 0, 0,8 0, 7 Lernen für das Abitur B Bjarne Kolb

3 Inhalt - Definition Matrizen Seite - Anwendung Matrizen Seite 6 - Beispielaufgaben Seite 5 Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen

4 Matrizen allgemein Definition der Matri Eine Matri ist ein rechteckiges Schema von Zahlen. Sie wird dabei wie eine Tabelle in Zeilen und Spalten unterteilt, meistens gibt man die Anzahl der Zeilen mit m und die Anzahl der Spalten mit n an; entsprechend der Größe wird die Matri als m n -Matri bezeichnet Als Namen verwendet man Großbuchstaben, z.b. A, die einzelnen Elemente der Matri werden mit denselben Buchstaben in klein benannt. Zusätzlich gibt man noch die Position des Elements innerhalb der Matri an. Die Zahl in der zweiten Zeile und der dritten Spalte von A wird z.b. als a bezeichnet Einen besonderen Fall gibt es, eine Matri mit nur einer Zeile oder einer Spalte nennt man Vektor. Auch die einzelnen Zeilen bzw. Spalten einer größeren Matri werden Vektor genannt A a a a a a a a a a n n = m m mn A A S Z = v S= 0 = v = Z ( 0 5) Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren kann man Matrizen ganz einfach, indem man die einzelnen Elemente addiert oder subtrahiert. Nach diesem Prinzip kann man auch eine Matri mit einem Faktor multiplizieren, indem man die einzelnen Elemente vervielfacht a a b b a + b a + b + = a a b b a b a b + + a a b b a b a b = a a b b a b a b a a k a k a k = a a k a k a Addieren und Subtrahieren kann man Matrizen nur bei gleicher Größe, bei der Multiplikation ist die Größe unbedeutend Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite

5 Komplizierter wird es, wenn man Matrizen miteinander multipliziert. Es ist überhaupt nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matri mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matri übereinstimmt. a a a b b b b 4 b b b b 4 a a a b b b b 4 a a a b4 b4 b4 b 44 a a a a b b b a a b b b a4 a 4 Bei der Multiplikation selbst ergibt sich der Wert eines Elements der Ergebnismatri aus der entsprechenden Zeile der ersten Matri und der Spalte der zweiten Matri, genauer gesagt dem Skalarprodukt aus Zeilen- und Spaltenvektor Multiplikation möglich Multiplikation unmöglich Mit dem folgenden Schema kann man sich die Multiplikation erleichtern a a a b b b b b b a a a c c c c Wenn man eine Matri mit sich selbst multipliziert, spricht man von einer Matripotenz Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 4

6 Besondere Matrizen Quadratische Matri Eine quadratische Matri ist eine Matri mit gleich vielen Zeilen und Spalten a a a Q a a a a a a = Einheitsmatri Wenn die quadratische Matri dann nur aus Einsen in der Hauptdiagonalen und Nullen neben der Hauptdiagonalen besteht, spricht man von einer Einheitsmatri E 0 0 = Transponierte Matri Wenn man bei einer Matri die Zeilen und Spalten vertauscht, also im Prinzip die Matri an der Hauptdiagonalen spiegelt, erhält man die transponierte Matri a a a a a T a a a a a A= a a A = Determinante Jede quadratische Matri hat eine Determinante, diese ist aber per Hand bei größeren Matrizen schwer zu bestimmen, deswegen verwendet man am besten den Taschenrechner und die Funktion det unter nd MATRIX Inverse Matri Wenn eine quadratische Matri eine Determinante ungleich 0 hat, gibt es eine inverse Matri. Die inverse Matri ist dadurch definiert, dass das Produkt aus Matri und inverser Matri die Einheitsmatri ergibt A A = A A= E Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 5

7 Gleichungssysteme mit Matrizen lösen Die in der Schulmathematik am häufigsten verwendete Funktion von Matrizen ist das Lösen von Gleichungssystemen Dafür muss das Gleichungssystem zuerst in eine bestimmte Form gebracht werden, nämlich mit allen Variablen auf der linken Seite der Gleichung und dem festen Faktor auf der rechten. Außerdem müssen jeweils die gleichen Variablen übereinander stehen a v+ b v + c v = d a v+ b v + c v = d a v+ b v + c v = d a v+ b v + c v = d [ A] a b c d a b c d a4 b4 c4 d 4 = a b c d Beispiel: a+ b+ c= a b c= 6 0a 7b+ 4c= 6 [ A] a+ b+ c= Diese Gleichungen werden dann ohne Variablen und Rechenzeichen in eine Matri übertragen Beispiel: 6 = Wenn man nicht ausführlich per Hand rechnen will, kann man die Funktion rref (reduced row echelon form) unter nd MATRIX auf dem Taschenrechner lösen rref( [ A ]) Beispiel: rref ([ A] ) = Die Ergebnismatri kann man dann durch Hinzufügen der vorher ausgelassenen Variablen und Rechenzeichen wieder in ein Gleichungssystem umwandeln und so die Lösung erhalten Beispiel: a= b= c= Will man die Matri doch selbst lösen, muss man nach dem so genannten Gauß-Algorithmus vorgehen Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 6

8 Gauß-Algorithmus Der Gauß-Algorithmus besteht aus einer Reihe von Schritten, mit denen man eine aus einem Gleichungssystem gebildete Matri lösen kann. Theoretisch kann man auch direkt mit dem Gleichungssystem arbeiten, aber das ist unnötige zusätzliche Schreibarbeit 0 Ausgangsmatri A B C Die erste Zahl in der Hauptdiagonalen durch Multiplikation oder Vertauschen von Zeilen auf bringen Alle Elemente unterhalb dieses ersten aus Schritt durch Addition auf 0 bringen Die Schritte und für alle Elemente der Hauptdiagonalen durchführen (Ausnahme letzte Spalte) C A A B A C C B B C Falls bereits ein Widerspruch entsteht, kann man mit dem Lösen aufhören, es gibt dann keine Lösung 5 Durch Addition in der vorletzten Zeile alle Elemente bis auf das in der Hauptdiagonalen und das letzte eliminieren 6 Schritt 5 für jede weitere Zeile oberhalb wiederholen 7 Die Matri ist so weit wie möglich gelöst und muss jetzt wieder in ein Gleichungssystem umgewandelt werden 0 4 B C A B C a= 0 0 b= 0 0 c= Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 7

9 Produktionsprozesse Materialverflechtung Neben dem Lösen von Gleichungen kann man Matrizen auch dazu verwenden, ein- oder mehrstufige Produktionsprozesse zu beschreiben. Man beschreibt dabei jede einzelne Stufe durch eine Matri, in der die benötigten Ausgangsprodukte angegeben werden. Zur besseren Übersicht stellt man den Prozess auch graphisch dar, in einem so genannten Gozinthograph R Z 9 6 P 4 8 R Z P 5 5 E R 5 P 9 E R Z 4 P4 9 Abb. Beschreibt man jetzt die benötigten Materialien auf den einzelnen Stufen durch Matrizen, erhält man die folgenden drei Matrizen R R R R 4 Z Z Z Z Z Z P P P P P P P P 4 E E Man kann diese Matrizen allerdings nur anwenden, wenn es keine Überschneidungen zwischen den Stufen gibt, d.h. für die Endprodukte jeder Stufe nur die jeweiligen Ausgangsprodukte verwendet werden Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 8

10 Will man jetzt aus einer bestimmten Anzahl Endprodukte die benötigten Anfangsprodukte bestimmen, ist es relativ viel Aufwand, weil man gleich drei Rechnungen nacheinander durchführen muss. Es ist deshalb sinnvoll, die gesamte Produktion zunächst durch eine Matri zu beschreiben. Dazu muss man nur alle Matrizen in der Reihenfolge der Produktionsstufen multiplizieren. E E R = R R R Will man nur einen Teil des Produktionsprozesses angeben, multipliziert man nur die Matrizen in diesem Teil des Prozesses Die folgende Gleichung ist dann der Ansatz, um alle Aufgabenstellungen lösen zu können Matri * Vektor des Endprodukte = Vektor der Anfangsprodukte Mit der Matri aus dem Prozess in Abb. ergibt sich folgende Gleichung: r e r = 078 e r r 4 Grundsätzlich gibt es zwei Aufgabenstellungen, die jeweils einen bestimmten Lösungsweg vorgeben. Die Matri und die Anzahl der Endprodukte werden vollständig angegeben, gefragt wird nach der Anzahl der Ausgangsprodukte Man muss dann einfach nur die Matri mit dem Vektor der Endprodukte multiplizieren und erhält die Lösung. Die Anzahl der Ausgangsprodukte ist bekannt, es wird nach der Anzahl der Endprodukte gefragt oder es fehlen Elemente in der Matri, es kann auch beides sein. Man muss die Matri per Hand mit dem Vektor der Endprodukte multiplizieren und dann das dadurch entstehende Gleichungssystem lösen Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 9

11 Es kann natürlich auch passieren, dass man einen kompleeren Produktionsprozess hat R R R Z 0 Z 9 5 Z E Es wäre auch in diesem Fall möglich, drei Matrizen aufzustellen, um den ganzen Prozess zu beschreiben, aber das Rechnen wäre komplizierter. Deshalb fasst man die Produktion in einer Matri zusammen, der so genannten Direktbedarfsmatri. E Abb. In diesem Fall erhält man als Direktbedarfsmatri R R R Z Z Z E E Man kann aber nicht mit der Direktbedarfsmatri rechnen, man muss zunächst die so genannte Gesamtbedarfsmatri bilden Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 0

12 Dafür muss man erst die Direktbedarfsmatri von der Einheitsmatri der gleichen Größe abziehen und dann dazu die inverse Matri bestimmen G= ( E D) G= Um den Bedarf der einzelnen Produkte zu berechnen, muss man diese Gesamtbedarfsmatri mit einem Vektor multiplizieren, der alle bestellten Produkte angibt v= e e Man kann auch ohne Probleme mit einberechnen, dass zusätzlich Ausgangs- oder Zwischenprodukte bestellt werden, man muss dann nur die Werte in den Vektor einsetzen Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite

13 Übergangsmatrizen Übergangsmatrizen sind Matrizen, die Umverteilungen zwischen Merkmalen/Gruppen/Orten in einem bestimmten Zeitraum angeben. Dabei darf man den Begriff Umverteilungen nicht zu wörtlich nehmen, es muss nicht wirklich ein Übergang zwischen den Gruppen stattfinden, nur die Anzahl ist entscheidend A B C D A B C D aa ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad bd cd dd Bei den Übergangsmatrizen werden anders als bei der Materialverflechtung die Merkmale am Anfang in die Spalten und die Merkmale nach dem Zeitintervall in die Zeilen eingetragen. In diesem Fall heißt das, dass z.b. der Wert bd an, welcher Anteil des Merkmals B nach der entsprechenden Zeit in das Merkmal D übergegangen ist. Ein wichtiges Merkmal von Übergangsmatrizen ist, dass keine negativen Werte vorkommen können Die neue Verteilung kann man bestimmen, indem man die Übergangsmatri mit der alten Verteilung multipliziert. Will man direkt die Verteilung nach mehreren Intervallen bestimmen, muss man statt der Matri die entsprechende Potenz der Matri verwenden aa ba ca da a 0 a ab bb cb db b 0 b = ac bc cc dc c 0 c ad bd cd dd d 0 d aa ba ca da 0 a a ab bb cb db b 0 b ac bc cc = dc c 0 c ad bd cd dd d 0 d Zusätzlich zu der Verteilung nach einer bestimmten Anzahl an Zeitintervallen kann man die langfristige Entwicklung der Verteilung betrachten. Für diese Verteilung gibt es vier mögliche Varianten. Die Verteilung nähert sich einem Fivektor an. Es liegt ein zyklischer Prozess vor. Die Gesamtanzahl nähert sich 0 an 4. Die Gesamtanzahl nimmt immer weiter zu Es gibt eine besondere Art von Übergangsmatrizen, wenn die Summe der Werte in den Spalten jeweils ergibt. Es liegt dann eine so genannte stochastische Matri vor und die Gesamtanzahl verändert sich nicht Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite

14 Variante Fivektor Bei manchen Übergangsmatrizen nähert sich die Verteilung nach immer mehr Intervallen immer mehr einer bestimmten Verteilung an. Diese Verteilung wird durch den so genannten Fivektor angegeben. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass man bei Multiplikation mit der Matri wieder den Fivektor erhält aa ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad bd cd dd a a = c c f f b f b f f f d f d f Man kann den Fivektor bestimmen, indem man entweder die obige Gleichung aufstellt und löst oder eine möglichst hohe Matripotenz bestimmt. Im ersten Fall gibt es einen Fivektor, wenn man genau eine Lösung erhält, im zweiten, wenn alle Spalten der Matripotenz identisch sind. Diese entsprechen dem Fivektor Variante Zyklischer Prozess Bei anderen Übergangsmatrizen wiederholt sich die Verteilung nach einer bestimmten Anzahl von Intervallen. Die entsprechende Matripotenz ist eine Einheitsmatri aa ba ca da ab bb cb db ac bc cc = dc ad bd cd dd n Wenn die Anzahl der Intervalle bekannt ist, kann man einfach die passende Matripotenz bilden und testen, ob sich die Einheitsmatri ergibt Ansonsten muss man von der zweiten Potenz an die Matripotenzen durchprobieren, um eine Lösung zu erhalten. In manchen Fällen ist es auch durch logisches Denken möglich, die Anzahl der Intervalle zu ermitteln Falls Teile der Matri unbekannt sind, dafür aber der zyklische Prozess eindeutig definiert ist, kann man wieder die obige Gleichung aufstellen und lösen Liegt bei einer Übergangsmatri ein zyklischer Prozess nach n Intervallen vor, so spricht man von einem n-stufigen zyklischen Prozess oder einem zyklischen Prozess nach n Stufen Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite

15 Variante Zerfall Wenn die Summe der Anzahlen der einzelnen Merkmale immer weiter abnimmt, spricht man von einem Zerfall. Die Entwicklung ist sehr ähnlich zu einer Entwicklung mit Fivektor, als Fivektor hätte man in diesem Fall den Nullvektor. Im Gegensatz zu den anderen Fällen spricht man in diesem allerdings nicht von einem Fivektor. Den Zerfall kann man in den meisten Fällen nur an der langfristigen Entwicklung der Verteilung erkennen Variante 4 Epansion Die letzte Variante ist die Epansion, wenn die Gesamtanzahl der Verteilung immer weiter zunimmt. Erkennen kann man es an der langfristigen Entwicklung der Verteilung oder man zeigt die Epansion, indem man die anderen Varianten ausschließt Die Verteilung ändert sich zwar immer weiter, aber es pendelt sich meistens nach einer gewissen Zeit ein festes Verhältnis zwischen den Merkmalen ein. Dieses kann man ähnlich der Bestimmung des Fivektors mit folgender Gleichung bestimmen: a k a aa ba ca da f f b ab bb cb db f k b f = c k c ac bc cc dc f f d ad bd cd dd f k d f Übergangsdiagramme Wie bei der Materialverflechtung kann man sich eine Übergangsmatri durch eine Graphik veranschaulichen A 0,4 0,7 0,6 B 0, Abb. Die zu dem Übergangsdiagramm passende Matri ist A B A B 0,7 0,4 0, 0, 6 Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 4

16 Matrizenmultiplikation Multiplizieren Sie falls möglich die folgenden Multiplikationen schriftlich a) b) und a) und ( 6) ( 6) 9 7 ( 9) ( 6 ) ( 6) ( 6) + 6 ( 9) ( 6) = ( 6 ) 5 ( ) 8 6 ( 6 ) 6 ( ) 5 ( 9 ) ( ) 6 ( 6 ) ( 6) ( 6) 4 ( 9) 6 7 ( 6) = = Multiplikation nicht möglich b) Multiplikation nicht möglich = = = Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 5

17 Inverse Matrizen Bestimmen Sie die inverse Matri zu Man kann die inverse Matri bestimmen, weil die Matri mit der inversen Matri multipliziert die Einheitsmatri ergibt 9 a a a b b b = c c c 0 0 9a+ b c 9a+ b c 9a+ b c 0 0 5a+ b 6c 5a+ b 6c 5a+ b 6c = 0 0 a 4b+ c a 4b+ c a 4b+ c 0 0 9a+ b c = 5a+ b 6c= 0 a 4b+ c= 0 9 A= rref( A) = a= 9 4 b= 9 9 c= 9 9a + b c = 0 5a + b 6c = a 4b + c = A= rref( A) = a= 9 7 b= 9 c= 9 9a+ b c = 0 5a+ b 6c = 0 a 4b+ c = 9 0 A= rref( A) = a= 9 49 b= 9 6 c= = Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 6

18 Gleichungssysteme lösen Gauß-Algorithmus Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme ausführlich ohne Taschenrechner a) 9b+ 5c+ 9d= 6 b) c) 6a 5b+ 9c+ 5d= 7 a+ 4b c 8d= = 9 a b+ 5c+ d= 8 a b+ 6c 7d= 8 5 = 54 4a 9b c+ 6d= 0 7a 4b 9c+ 8d= 50 a+ b 5c 6d= 0 a) = 0 4 a b 8c+ 9d= 47 8b c 6d= 0 A C B A+ B D C 6 7 A D A+ D B E A+ E : B+ C D B D C B E :00 0 0,, : C+ D : C+ E A 7D ,,8 0 0,,8 B 9D 0 0,, ,6 5,4 : 0, C+, D , 9,8 :, A+ 6C A B a= B+ 7C b= c= d = 9 b) C : B 8A A C A Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 7

19 : 4 0 0,5, ,5, C B 0 0 6,75 8, 5 : 5 A+ C 0 8, 565 7, 75 A+ B 0 0,5, 75 B C 0 0, 065, ,875 4,5 0 0,875 4, , 65 6, , 065, ,875 4, c) B 5 8 :, 5, 5, A A B A C A+ D , 5, 5, 5 4, 5, 5, :( 4) 0,5 7, C B 0 5, 5 0, 5, , 5 0, 5, 5 5 5, 5B+ D E 8B, 5, 5, 5 4, 5, 5, 5 4 0, 5 7, 75 0, 5 7, ,5 59, 5 E : , , , , C 0 0 7,5 59, 5, 5, 5, 5 4, 5, 5, 5 4 0,5 7, 75 0,5 7, , , 65 8, 75C+ D ,5 59, 5 7,5C E Nach der vierten Gleichung hat die Variable d ein negatives Vorzeichen, nach der fünften Gleichung aber ein positives. Das ergibt einen Widerspruch und das Gleichungssystem hat keine Lösung Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 8

20 Materialverflechtung Stellen Sie die Matri auf, die den Rohstoffbedarf für die Endprodukte angibt. Verwenden Sie dabei die Informationen des Gozinthographen. Berechnen Sie dann den Rohstoffbedarf für eine Bestellung von 0 Einheiten E und 5 Einheiten E. R R R Z Z P P E R4 8 5 Z 8 5 P P4 9 E R5 Abb. 4 Nach der Produktion sind noch folgende Mengen der Rohstoffe vorhanden: 047-fach R, 48-fach R, 87-fach R, 58-fach R 4 und 9875-fach R 5. Bestimmen Sie, wie viele der Endprodukte hergestellt werden können, wenn die Rohstoffe vollständig aufgebraucht werden sollen. Um mehr Gewinn zu erzielen, wird die Zusammensetzung der Produkte leicht geändert. Dadurch ändern sich die benötigten Mengen an R für E und an R für E. Bestimmen Sie diese Werte mit Hilfe der Information, dass für 0 Einheiten E und 0 Einheiten E folgende Rohstoffe benötigt werden: v r = Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 9

21 Zunächst muss man die Matrizen für die einzelnen Stufen aufstellen R R R R R 4 5 Z Z Z Z Z Z P P P P P P P P 4 E E Durch Multiplikation erhält man dann die gesuchte Matri = Multipliziert man diese Matri dann mit dem Bestellvektor, erhält man die Anzahl der benötigten Rohstoffe = Auch für die Bestimmung der Menge der Endprodukte kann man die Gleichung aufstellen a+ 85b= a+ 494b= 48 a = 69a+ 05b= 87 b a+ 49b= a+ 59b= Weil die Funktion rref nicht bei Matrizen mit mehr Zeilen als Spalten funktioniert, muss man die Matri um zwei leere Spalten ergänzen rref = Man kann also 6 Einheiten E und Einheiten E herstellen Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite 0

22 Nach der Änderung der Zusammensetzung ergibt sich folgende Rohstoff-Endprodukt-Matri 9 b a Stellt man wieder die Gleichung Matri * Bestellvektor = Rohstoffvektor, erhält man 9 b 9990 a = b a = b+ 90= a+ 9880= = = = b= a= 00 a= 0 b= 544 Für die Matri bedeutet das: Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Matrizen Seite

23 Analysis Funktionsuntersuchung Funktionsschar Ableitung Stammfunktion Lernen für das Abitur Bjarne Kolb

24 Inhalt - Funktionsuntersuchung Seite - Funktionsscharen Seite 7 - Ableitungsregeln Seite 9 - Herleitungen Seite - Beispielrechnungen Seite 9 Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen

25 Funktionsuntersuchung Unter einer Funktionsuntersuchung (oder auch Kurvendiskussion) versteht man die Analyse einer Funktion im Hinblick auf Verlauf und besondere Punkte des Funktionsgraphen Als besondere Punkte werden dabei die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen, Y-Achsenabschnitt), Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte), Sattelpunkte und Wendepunkte gesehen. Theoretisch kann man die Funktion auch noch auf Flachpunkte untersuchen, aber die Flachpunkte werden so gut wie nie verlangt, deswegen muss man diese Bestimmung nicht unbedingt beherrschen Zu dem Verlauf werden Steigungsverhalten (steigend oder fallend) und Krümmungsverhalten (links- oder rechtsgekrümmt) sowie das Verhalten der Funktion bei sehr großen und sehr kleinen X-Werten (Funktionswerte für ± ) gezählt Wenn man eine Funktion untersucht, sollte man immer zuerst mit den besonderen Punkten anfangen, weil man sich anhand der Etrempunkte das Steigungsverhalten und anhand der Wendepunkte das Krümmungsverhalten leichter überlegen kann. Am einfachsten wird es, wenn man sich an dieser Liste orientiert. Nullstellen. Y-Achsenabschnitt. Etrem- und Sattelpunkte 4. Wendepunkte 5. Steigungsverhalten 6. Krümmungsverhalten 7. Verlauf für ± Bei der Untersuchung der Funktion sollte man darauf achten Möglichst nur zu rechnen, wenn es argumentativ nicht möglich ist Die Rechnungen zu begründen Die gesuchten Punkte zu bestimmen, nicht nur die X-Werte Nicht mit Sieht man doch oder ähnlichen Ausdrücken zu argumentieren y monoton steigend monoton fallend y rechtsgekrümmt linksgekrümmt Nullstelle Hochpunkt Nullstelle Wendepunkt Tiefp unkt Abb. - Abb. Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite

26 . Nullstellen Für die Bestimmung der Nullstellen muss man die Funktion nur mit 0 gleichsetzen f( ) = 0 und dann die Gleichung nach umstellen. Wichtig ist dabei, dass man nicht durch teilen darf, sondern ausklammern muss. Dann kann man nach der Regel, dass ein Produkt nur gleich 0 sein kann, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist, einzeln weiterrechnen. Quadratische Gleichungen sollte man, wenn Ausklammern nicht möglich ist, mit der pq-formel berechnen. Wenn die Nutzung des GTR nicht untersagt wird, kann man die Nullstellen auch mit nd CALC :zero bestimmen lassen. Dabei werden Punkte, an denen der Graph die X-Achse nur berührt, allerdings nicht erkannt. Y-Achsenabschnitt Der Y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert der Funktion an der Stelle =0, deswegen muss man nur f(0) berechnen. Etrem- und Sattelpunkte Die Etremstellen kann man bestimmen, indem man zunächst nach der notwendigen Bedingung, dass die Steigung 0 betragen muss, die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt. Die ermittelten Stellen können dabei entweder Etrem- oder Sattelstellen sein. Um die tatsächlich vorliegenden Punkte herauszufinden, hat man drei verschiedene Wege A Argumentativ Man kann anhand bekannter Eigenschaften der betrachteten Funktionen die Art des Etrempunktes/Sattelpunktes begründen (z.b. kann es bei Funktionen dritten Grades nur entweder einen Sattelpunkt oder zwei Etrempunkte geben) B Rechnerisch Vorzeichenwechselkriterium Man kann die Art des Etrempunktes auch daran erkennen, ob ein Vorzeichenwechsel in der Steigung, also der ersten Ableitung vorliegt. Dazu bestimmt man links und rechts des gesuchten Punktes jeweils einen Wert der ersten Ableitung. Man muss dabei darauf achten, dass zwischen den gewählten Punkten und dem gesuchten Punkt keine weitere Etremstelle liegt. Um sich unnötige Rechnungen zu ersparen, bestimmt man zwischen zwei möglichen Etrempunkten nur einen Punkt und verwendet ihn für die Bestimmung beider Stellen. Das Ergebnis kann man folgendermaßen interpretieren: Vorzeichenwechsel von + nach - => Hochpunkt Vorzeichenwechsel von nach + => Tiefpunkt kein Vorzeichenwechsel => Sattelpunkt Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 4

27 C Rechnerisch Werte der zweiten Ableitung In den meisten Fällen kann man sich noch mehr Rechnungen sparen, indem man anstatt eines Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung die Werte der zweiten Ableitung an den möglichen Etremstellen bestimmt. Ist dieser Wert negativ, so liegt ein Hochpunkt vor, bei einem positiven Wert hat man einen Tiefpunkt. Ist die zweite Ableitung gleich 0, liegt meistens ein Sattelpunkt vor, allerdings kann es in einigen Fällen auch trotzdem ein Etrempunkt sein, deswegen muss man wieder auf das Vorzeichenwechselkriterium zurückgreifen Unabhängig davon, mit welchem Verfahren man die Etrem- und Sattelpunkte bestimmt hat, muss man jetzt noch die Funktionswerte an diesen Stellen bestimmen, wenn nicht die Etremstellen, sondern die Etrempunkte gesucht sind 4. Wendepunkte Die Wendepunkte kann man genauso wie die Etrempunkte argumentativ anhand von Besonderheiten des Funktionstyps bestimmen. Alternativ kann man wieder über einen Vorzeichenwechsel, diesmal in der zweiten Ableitung, zum Ziel kommen. Will man sich Rechnungen sparen, kann man die Werte der dritten Ableitung berechnen. Ist diese ungleich 0, liegt ein Wendepunkt vor, andernfalls muss man wieder mit dem Vorzeichenwechsel arbeiten. Auch bei den Wendestellen muss man wieder die Funktionswerte bestimmen, um die Wendepunkte zu erhalten 5. Steigungsverhalten Wenn man die Etrempunkte bestimmt hat, kann man das Steigungsverhalten leicht angeben: Der Graph steigt - von einem Tiefpunkt zu einem Hochpunkt - bei, wenn der Etrempunkt mit dem kleinsten X-Wert ein Hochpunkt ist - bei, wenn der Etrempunkt mit dem größten X-Wert ein Tiefpunkt ist Der Graph fällt - von einem Hochpunkt zu einem Tiefpunkt - bei, wenn der Etrempunkt mit dem kleinsten X-Wert ein Tiefpunkt ist - bei, wenn der Etrempunkt mit dem größten X-Wert ein Hochpunkt ist Liegt in dem jeweils betrachteten Intervall kein Sattelpunkt, steigt bzw. fällt der Graph sogar streng monoton Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 5

28 6. Krümmungsverhalten Jede Funktion hat immer zwischen zwei Wendepunkten ein einheitliches Krümmungsverhalten. Um die Richtung der Krümmung zu bestimmen, kann man in dem Bereich einen Wert der zweiten Ableitung bestimmen, ist dieser positiv, liegt eine Linkskrümmung vor, bei einem negativen Wert eine Rechtskrümmung. Die Rechnung kann man sich sparen, wenn in dem jeweiligen Bereich ein Etrempunkt liegt. Bei einem Hochpunkt hat man immer eine Rechtskrümmung vorliegen, bei einem Tiefpunkt eine Linkskrümmung 7. Verlauf für ± Den Verlauf der Funktion für sehr kleine und sehr große X-Werte kann man bestimmen, indem man den Grenzwert der Funktionswerte für und bestimmt. Dazu muss man zunächst überlegen, wie sich die einzelnen Faktoren der Funktion bei der Grenzwertbestimmung verhalten würden. Danach kommt der anspruchsvollere Teil, man muss entscheiden, welcher dieser Faktoren den größten Einfluss auf den Verlauf des Graphen hat. Dabei kann man sagen, dass höhere Potenzen von einen größeren Einfluss haben als niedrigere Potenzen. Potenzen mit im Eponenten haben einen größeren Einfluss als alle Potenzen von Es gibt insgesamt nur drei Möglichkeiten, wie der Graph sich in den Randbereichen verhält. Er kann im Positiven oder im Negativen gegen unendlich laufen oder sich einem bestimmten Wert, meistens 0, annähern Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 6

29 Funktionsscharen Funktionsscharen, das klingt nach einem sehr komplizierten und schwer verständlichem Thema. Grundlegend unterscheiden sich Funktionsscharen aber kaum von normalen Funktionen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass in Funktionsscharen neben der Variablen noch ein weiterer Parameter auftritt. Setzt man für diesen Parameter verschiedene Werte ein, erhält man einzelne der unendlich vielen Funktionen, die zu einer Funktionsschar gehören Man kennzeichnet eine Funktionsschar mit dem Parameter als Inde, um sie von normalen Funktionen abzugrenzen fk = k Indem man den Parameter k durch einen Wert ersetzt (auch im Inde), erhält man einzelne Funktionen 0 f = f = f = + Die Funktionsscharen kann man wie alle anderen Funktionen mit einer Kurvendiskussion auf charakteristische Punkte und den Verlauf untersuchen. Dabei muss man aber eine Besonderheit von Funktionsscharen beachten. Es kann passieren, dass sich z.b. bei negativen und positiven Werten des Parameters ein vollständig anderer Verlauf zeigt. In diesem Fall muss man eine Fallunterscheidung durchführen und den Verlauf für positive und negative Werte einzeln ermitteln. Besonders häufig wird diese Fallunterscheidung bei Etrem- und Wendepunkten benötigt. Zum Beispiel hat g k und für k> 0 zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt k 4 = für 0 k genau einen Tiefpunkt Wenn die Etrem- oder Wendepunkte (wie bei der Funktion g) von dem Parameter (hier k) abhängen, so hat die Funktionsschar nicht einen dieser Punkte an einer bestimmten Stelle, sondern viele, die jeweils bei einem anderen Wert für den Parameter auftreten. Diese Punkte liegen dann wieder auf einer Kurve (oder Geraden), die man durch eine Funktion angeben kann, die so genannte Ortslinie des Punktes Dazu setzt man die X-Koordinate dieses Punktes zunächst mit gleich ( = p, wenn der P p p ist) und stellt diese Gleichung nach dem Parameter (in dem Fall k) um. Dann Punkt ( y) setzt man die Y-Koordinate mit y gleich ( y= p ) und setzt danach den zuvor ermittelten Wert für den Parameter in diese Gleichung ein. Wenn man dann noch die Gleichung so weit wie möglich vereinfacht, erhält man die Funktion für die Ortslinie des entsprechenden Punktes. Um klar zu machen, dass es sich um eine Funktion handelt, wird das y= noch durch den Namen einer Funktion, z.b. t()=, ersetzt y Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 7

30 Um vor der Funktionsuntersuchung schon eine grobe Vorstellung von dem Verlauf der Funktionen oder auch schon möglichen Fallunterscheidungen zu entwickeln, kann man sich einige der Funktionen zeichnen oder zeichnen lassen: f-f f0f ff y Abb. In diesem Fall wurden die oben bereits genannten Funktionen f, f 0 und f - gezeichnet und man kann jetzt schon vermuten, dass alle Funktionen dieser Funktionsschar einfach auf der Y-Achse verschobene, nach oben geöffnete Normalparabeln sind Außerdem kann man sich überlegen, dass außer bei der Anzahl an Nullstellen keine Fallunterscheidung vorgenommen werden muss, weil die Funktionen (zumindest die gezeichneten, theoretisch könnte es Ausnahmen geben) alle genau einen Tiefpunkt und keinen Wendepunkt aufweisen g g0 g- y Bei der Funktionsschar g k zeigen sich dagegen deutliche Unterschiede im Verlauf. Die Funktionen verlaufen zwar alle durch den Ursprung, aber die Funktion g hat drei Etrempunkte und verläuft zum Teil unterhalb der X-Achse, während es bei g 0 und g - nur einen Tiefpunkt im Ursprung gibt und die Funktionswerte nicht negativ werden. Deshalb muss man wahrscheinlich bei der Bestimmung aller charakteristischen Punkte zwischen den Fällen 0 und > 0 unterscheiden - -,5 - -0,5 0,5,5 - Abb. 4 Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 8

31 Ableitungen Für die Funktionsuntersuchungen muss man mit der ersten und zweiten, teilweise auch dritten Ableitung rechnen. Aber was ist die Ableitung überhaupt? Die Ableitung einer Funktion in einem Punkt ist die Steigung der Funktion in diesem Punkt, die Ableitungsfunktion ist demnach die momentane Änderungsrate in allen Punkten einer Funktion Weil man aber mit nur einem Punkt keine Steigung bestimmen kann, nähert man sich dieser Steigung durch Sekanten, die durch den gesuchten und einen naheliegenden Punkt verlaufen, an. Der zweite Punkt wird dabei immer weiter in Richtung des gesuchten Punktes verschoben, sodass man sich immer weiter einer Tangenten durch den gesuchten Punkt annähert. Die Steigung dieser Tangente entspricht dann der Steigung und damit der Ableitung in dem Punkt. Die Ableitung ist also der Grenzwert von Sekantensteigungen, der die Steigung der Tangente durch den gesuchten Punkt ergibt. Berechnen lässt sich die Ableitung mit Hilfe des Differenzialquotienten (mit der so genannten h-methode): f f( + h) f( ) f( + h) f( ) '( ) = lim = lim + h h h 0 h 0 Da es aber sehr aufwendig ist, jede einzelne Funktion mit diesem Differenzialquotienten abzuleiten, gibt es Regeln, mit denen man Funktionen deutlich einfacher ableiten kann Anfangen sollte man dabei bei den drei Grundfunktionen, aus denen alle Funktionen aufgebaut sind. (Nicht ganz alle, aber alle im Unterricht behandelten). Potenzfunktionen n ' n f = f = n. Die natürliche Eponentialfunktion ' f = e f = e. Trigonometrische Funktionen = sin ' = cos = cos ' = sin = sin ' = cos = cos ' = sin f f f f f f f f Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 9

32 Jetzt kann man also einfache Potenzfunktionen ableiten, indem man den Eponenten als Faktor vor die Potenz stellt und ihn dann um verringert, die e-funktion, die man einfach übernehmen kann, und man kann trigonometrische Funktionen ableiten, bei denen ein Kreislauf zwischen sin, cos, sin und cos vorliegt. Weil aber nicht alle Funktionen so einfach aufgebaut sind, braucht man zusätzlich noch Regeln für die Kombinationen dieser Grundfunktionen. Die einfachsten sind dabei die Faktor- und die Summenregel - Faktorregel = ' = ' f k g f k g - Summenregel = + ' = ' + ' f u v f u v Ein Faktor vor der Funktion wird also beim Ableiten einfach übernommen, und die Ableitung einer Summe kann man bestimmen, indem man die Summe der einzelnen Ableitungen bildet. Die meisten Funktionen kann man mit diesen Regeln schon berechnen, aber es kann auch vorkommen, dass eine Funktion das Produkt zweier Faktoren ist, die man nicht einfach vorher verrechnen kann, z.b. und sin(). Für solche Fälle gibt es die Produktregel: - Produktregel = ' = ' + ' f u v f u v u v Man kann also bei einem Produkt zweier Funktionen die Ableitung nicht einfach bestimmen, indem man die Ableitungen der einzelnen Funktionen multipliziert, sondern man muss die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion multiplizieren, dann muss man das Produkt der ersten Funktion und der Ableitung der zweiten Funktion ausrechnen und aufaddieren. Was muss man aber machen, wenn eine Funktion in der anderen enthalten ist, sich also nicht mehr einfach als Produkt oder Summe verschiedener Grundfunktionen schreiben lässt? In diesem Fall benötigt man eine weitere Regel, die Kettenregel - Kettenregel = ( ) = f u v f v u v ' ' ' Die Ableitung einer verketteten Funktion ist also das Produkt aus der inneren und der äußeren Ableitung. Eine letzte Regel gibt es noch, die man zwar eigentlich nicht benötigt, die aber die Berechnung verkürzt, die Quotientenregel - Quotientenregel ' ( v( ) ) u u ' v u v f( ) = f '( ) = v Mit diesen Regeln kann man jetzt jede beliebige, differenzierbare Funktion ableiten Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 0

33 Stammfunktionen Ableitungen kann man mit diesen Regeln relativ einfach bestimmen, aber es kann natürlich auch passieren, dass man aufleiten statt ableiten muss. Dann stellt sich die Frage, welche dieser Regeln man (umgekehrt) auch für die Stammfunktion verwenden kann. Regeln, die sich leicht umkehren lassen, sind Potenzregel, Faktorregel und Summenregel sowie die Ableitungen der e-funktion und der trigonometrischen Funktionen - Potenzregel n n+ n+ f = F = + C - Faktorregel f( ) = k g( ) F( ) = k G( ) + C - Summenregel f( ) = u( ) + v( ) F( ) = U( ) + V( ) - e-funktion f = e F = e + C - trigonometrische Funktionen = cos = sin + = sin = cos + cos sin = sin = cos + f F C f F C f = F = + C f F C Die Produkt-, die Ketten- und die Quotientenregel lassen sich nicht einfach umkehren, man muss diese Funktionen durch Substitution aufleiten, was aber in der Schule nicht behandelt wird. Eine Ausnahme gibt es, eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion kann man leicht aufleiten, mit der so genannten linearen Substitution - Lineare Substitution f( ) = g( m+ b) F( ) = G( m+ b) + C m Mit den Regeln zur Bildung einer Stammfunktion kann man viele Funktionen aufleiten, allerdings bei weitem nicht alle Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite

34 Herleiten und Beweisen Wenn man etwas herleiten oder beweisen muss, kann man sich an diesen Schritten orientieren:. Überlegung Was will man zeigen oder entwickeln?. Überlegung Welche Voraussetzungen hat man (Rechtwinkligkeit etc.). Überlegung Welche mathematischen Definitionen/Sätze/Gesetze/Regeln könnte man verwenden 4. Notizen Erste Ansätze, den Beweis zu führen 5. Überlegung und Notizen Entwicklung des Beweises bzw. solange die Sätze/Definitionen umstellen und zusammenwürfeln, bis man auf die Lösung kommt 6. Reinschrift Formulieren der Zielsetzung 7. Überlegung und Notizen Korrekte Reihenfolge aufstellen und richtige Formulierung des Beweises finden 8. Reinschrift Verwendete Definitionen/Sätze/Gesetze/Regeln auflisten 9. Reinschrift Ausformulierung der Beweisführung/Herleitung 0. Reinschrift Bei Herleitungen noch einmal die entwickelte Formel aufschreiben, bei Beweisen das Ergebnis der Beweises notieren (Damit ist bewiesen, dass ) Bei den folgenden Herleitungen werde ich aber nur die Schritte 6 und 8 bis 0 beachten, weil nur diese Reinschrift auch später im Abitur gewertet wird Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite

35 Herleitung der Potenzregel Zielsetzung Herleitung der Ableitung für f( ) = n Verwendete Sätze und Definitionen Differenzialquotient Beweisführung Nach dem Differenzialquotienten ergibt sich für die Ableitung: f '( ) = lim = lim Den Term ( h) n f + h f + h h h 0 h 0 h n + kann man mit Hilfe des Binomialkoeffizienten umschreiben n n n n + h = h + h h + h 0 n n n n 0 n n 0 n n n n + h = + h h + h n n n n n n n n n n n + h h + h n n f '( ) = lim h 0 h n n n n n n h h + h n n f '( ) = lim h 0 h n n n n n f '( ) lim... h n = h 0 n h n n n n n Durch die Grenzwertbildung laufen alle Summanden, in denen h auftritt, gegen 0, also mit Ausnahme des ersten alle Summanden n n n n n f '( ) = + 0= = n n Ergebnis der Herleitung n Die Ableitung der Funktion f( ) = ist ' n f = n Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite

36 Herleitung der Faktorregel Zielsetzung Herleitung der Ableitung für f( ) = k g( ) Verwendete Sätze und Definitionen Differenzialquotient Beweisführung Nach dem Differenzialquotienten ergibt sich für die Ableitung: f ' ( ) = ' ( + ) ( + ) h 0 h 0 h 0 ( ) a g + h g f '( ) = lim h 0 h g( + h) g( ) f '( ) = lim a h 0 h f ' = a f h f a g h a g = lim = h lim h lim f ' a g ( + ) g h g h Ergebnis der Herleitung Die Ableitung der Funktion f( ) = k g( ) ist f '( ) = k g '( ) Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 4

37 Herleitung der Summenregel Zielsetzung Herleitung der Ableitung für f( ) = u( ) + v( ) Verwendete Sätze und Definitionen Differenzialquotient Beweisführung Nach dem Differenzialquotienten ergibt sich für die Ableitung: f ' f ' f ' f ' f ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ( + ) ( u( + h) + v( + h) ) ( u( ) + v( ) ) f h f = lim = h = h 0 h 0 lim h 0 ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) h 0 h 0 f ' u ' v ' lim u h v h u v u h u v h v = lim h 0 h u( + h) u( ) v( + h) v( ) = lim + h 0 h h u h u v h v = lim + h lim h h h Ergebnis der Herleitung Die Ableitung der Funktion f( ) = u( ) + v( ) ist f '( ) = u '( ) + v '( ) Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 5

38 Herleitung der Produktregel Zielsetzung Herleitung der Ableitung für f( ) = u( ) v( ) Verwendete Sätze und Definitionen Differenzialquotient Beweisführung Nach dem Differenzialquotienten ergibt sich für die Ableitung: f( + h) f( ) u( + h) v( + h) u( ) v( ) '( ) = lim = lim f h 0 h h 0 Diesen Term kann man jetzt etwas umformen ( + ) ( + ) u h v h u v f '( ) = lim lim h 0 h h 0 h u( + h) u v f '( ) = lim v( h) + lim h 0 h h 0 h u( + h) u( ) v( ) f '( ) = lim limv( + h) lim h 0 h h 0 h 0 h Der erste Grenzwert sieht dem Differenzialquotienten von u ' kann man das fehlende u( ) ergänzen lim lim lim h 0 h 0 h 0 Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 6 h ähnlich, deswegen u + h u + u u v f '( ) = v + h h h lim lim lim lim lim h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 ( + ) h 0 h 0 ( + ) u + h u u u v f '( ) = v + h+ v + h h h h u v h u v f '( ) = u '( ) v( ) + lim h lim h u v h u v f '( ) = u '( ) v( ) + lim h 0 h v( + h) v( ) f '( ) = u '( ) v( ) + lim u( ) h 0 h v( + h) v( ) f '( ) = u '( ) v( ) + u( ) lim = u ' v + u v ' h Ergebnis der Herleitung h 0 Die Ableitung der Funktion f( ) = u( ) v( ) ist f '( ) = u '( ) v( ) + u( ) v '( )

39 Herleitung der Kettenregel Zielsetzung Herleitung der Ableitung für f( ) = u( v( ) ) Verwendete Sätze und Definitionen Differenzialquotient Beweisführung Nach dem Differenzialquotienten ergibt sich für die Ableitung: f f( + h) f( ) u( v( + h) ) u( v( ) ) '( ) = lim = lim h 0 h h 0 h Um die Umformungen einfacher durchführen zu können, kann man die innere Funktion durch Variablen ersetzen a = v( ) b= v( + h) v( ) Man erhält dann f ' ( ) ( + ) ( + ) ( + ) u a b u a u a b u a b u a b u a b = lim = lim lim lim h 0 h h 0 b h = h 0 b h 0 h ( + ) ( + ) ( + ) u a b u a v h v u a b u a f '( ) = lim lim = lim v ' b h b h 0 h 0 h 0 Wenn h gegen 0 läuft, läuft auch b gegen 0, weil man die Differenz aus zwei in immer kleinerem Abstand voneinander liegenden Funktionswerten bestimmt, im Grenzwertfall sogar aus denselben Funktionswerten. Aus diesem Grund kann man bei dem Grenzwert statt h auch b gegen 0 laufen lassen f '( u a+ b u a ) = lim v '( ) b 0 b Man hat einen Differenzialquotienten mit a statt und b statt h. Daraus ergibt sich: = f ' u ' a v' Setzt man für a wieder v( ) ein, erhält man: ' = '( ) ' = ' '( ) f u v v v u v Ergebnis der Herleitung Die Ableitung der Funktion f( ) = u( v( ) ) ist f '( ) = v '( ) u '( v( ) ) Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 7

40 Herleitung der Quotientenregel Zielsetzung Herleitung der Ableitung für f( ) u = v Verwendete Sätze und Definitionen Produktregel Kettenregel Beweisführung Die Funktion kann man zunächst umschreiben als f( ) = u( ) v Mit g( ) = erhält man v f( ) = u( ) g( ) Diese Funktion kann man dann nach der Produktregel ableiten: u f '( ) = u '( ) g( ) + u( ) g '( ) = u '( ) + u( ) g '( ) = + u g ' v v '( ) Die Ableitung von g( ) kann man noch nicht direkt bestimmen, deswegen muss man zunächst g ' mit der Kettenregel bestimmen g '( ) = v '( ) = ( v( ) ) v '( ) ( v( ) ) Setzt man diese Ableitung in die Ableitung der Funktion f ein, erhält man u '( ) v '( ) u '( ) v '( ) u '( ) u v ' f '( ) = + u( ) = u ( ) = v( ) ( v( ) ) v( ) ( v( ) ) v( ) ( v( ) ) u '( ) v( ) u( ) v '( ) u '( ) v( ) u( ) v '( ) f '( ) = = v v v ( ) ( ) ( ) Ergebnis der Herleitung u( ) Die Ableitung der Funktion f( ) = ist f '( ) v( ) ' ( v( ) ) u ' v u v = Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 8

41 Funktionsuntersuchung Untersuchen Sie den Verlauf der Funktion = + +. f Am Anfang kann man die ersten drei (wenn man die Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel überprüft, nur die ersten beiden) Ableitungen bilden: f f = + + ' = + + ( ) f '' = + f ''' = Nullstellen f( ) = + + = + + = = + + = = = = 0 oder,= ± + 9=,5±, 5 0 oder 0 0 oder 9 0 = 0 oder =,5+, 5 4,85 oder =,5, 5,85 Y-Achsenabschnitt f ( 0) = 0 (Nullstelle) Etrem- und Sattelpunkte Etrem- und Sattelpunkte liegen bei Nullstellen der ersten Ableitung f ' = = 0 = 0, = ± + = ± 4= ± = oder = A Argumentativ Eine Funktion dritten Grades kann entweder einen Sattelpunkt oder einen Tief- und einen Hochpunkt haben. Weil bei dieser Funktion zwei mögliche Stellen gibt, muss es also zwei Etrempunkte geben. Der Hochpunkt ist dabei die Stelle mit dem größeren Funktionswert, weil von einem Hochpunkt zu einem Tiefpunkt eine negative Steigung vorliegt Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 9

42 5 f( ) = + + = + = f() = + + = = 9 Damit gibt es einen Hochpunkt H ( 9) und einen Tiefpunkt 5 T B Rechnerisch Vorzeichenwechselkriterium Nach der hinreichenden Bedingung für einen Etrempunkt hat man bei einem Vorzeichenwechsel von + nach einen Hochpunkt, bei einem Wechsel von nach + dagegen einen Tiefpunkt. Liegt kein Vorzeichenwechsel vor, hat man einen Sattelpunkt f f f ' = + + = 4 4+ = 5 ' 0 = = = ' 4 = = = 5 Nach den oben genannten Kriterien liegt bei = ein Tiefpunkt, bei = ein Hochpunkt vor 5 f( ) = + + = + = f() = + + = = 9 Damit gibt es einen Hochpunkt H ( 9) und einen Tiefpunkt 5 T C Rechnerisch Werte der zweiten Ableitung Berechnet man an den möglichen Etremstellen die Werte der zweiten Ableitung, kann man meistens erkennen, ob ein Etrempunkt vorliegt. Ist die zweite Ableitung negativ, liegt dort ein Hochpunkt, ist sie positiv, liegt ein Tiefpunkt vor. Wenn die zweite Ableitung an der Stelle eine Nullstelle hat, muss man mit dem Vorzeichenwechselkriterium weiterarbeiten f f () '' = + = + = 4 '' = + = 6+ = 4 Demnach liegt bei = ein Tiefpunkt, bei = ein Hochpunkt 5 f( ) = + + = + = f() = + + = = 9 Damit gibt es einen Hochpunkt H ( 9) und einen Tiefpunkt 5 T Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 0

43 Wendepunkte Wendepunkte liegen bei Nullstellen der zweiten Ableitung f '' = 0 + = 0 = = A Argumentativ Eine Funktion dritten Grades hat immer genau einen Wendepunkt. Deshalb muss bei = ein Wendepunkt liegen () f = + + = + + = Es gibt also einen Wendepunkt W B Rechnerisch Vorzeichenwechselkriterium Nach der hinreichenden Bedingung für einen Wendepunkt gibt es einen Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung f f '' 0 = 0+ = 0+ = '' = + = 4+ = Damit ist bei = ein Wendepunkt () f = + + = + + = Es gibt also einen Wendepunkt W C Rechnerisch Werte der zweiten Ableitung Wenn an der möglichen Wendestelle die dritte Ableitung ungleich 0 ist, liegt dort ein Wendepunkt. Ist die dritte Ableitung gleich 0, muss man wieder auf das Vorzeichenwechselkriterium zurückgreifen f '''() = Damit ist = eine Wendestelle () f = + + = + + = Es gibt also einen Wendepunkt Die Funktion hat Nullstellen bei =,85, = 0und = 4,85, einen Hochpunkt H ( 9), einen Tiefpunkt 5 T und einen Wendepunkt W W Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite

44 Steigungsverhalten Bei <, also links des Tiefpunktes, fällt der Graph streng monoton Bei < <, also zwischen den Etrempunkten, steigt der Graph monoton Bei >, also rechts des Hochpunktes, fällt der Graph wieder streng monoton Krümmungsverhalten Bei <, also links des Wendepunktes, liegt eine Linkskrümmung vor, weil in diesem Bereich der Tiefpunkt liegt Bei >, also rechts des Wendepunktes, liegt eine Rechtskrümmung vor, weil in diesem Bereich der Hochpunkt liegt Verlauf für ± Wenn gegen läuft, läuft gegen. Die anderen Summanden kann man ignorieren, weil bei einer ganzrationalen Funktion nur die höchste Potenz Einfluss auf den Verlauf des Graphen ins Unendliche hat. Deswegen läuft auch die ganze Funktion gegen. Wenn gegen läuft, muss die Funktion gegen laufen, weil gegen läuft < fällt streng monoton < < steigt streng monoton > fällt streng monoton < linksgekrümmt > rechtsgekrümmt f( ) f( ) Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite

45 Funktionsscharen Gegeben ist die Funktion fk = k mit k 0.Untersuchen Sie die Funktion im Hinblick auf charakteristische Punkte und geben Sie eine Ortslinie für alle Etrempunkte an. Zunächst kann man wieder die Ableitungen bilden 4 fk( ) = = k k 4 8 fk '( ) = 8 = 8 k k 8 fk ''( ) = 4 = 4 k k f ''' = 48 k Nullstellen fk( ) = = k 0 0 = 0 oder = 0 = 0 oder = k k = 0 oder = oder = k k Fallunterscheidung k< 0 Eine Nullstelle bei = 0 k> 0 Drei Nullstellen bei = 0, = und k Etrem- und Sattelpunkte = k Die Etremstellen liegen bei Nullstellen der ersten Ableitung f ( ) k k ' = 0 8 = 0 8= 0 oder = 0 = 0 oder = k k = 0 oder = oder = k k Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite

46 Fallunterscheidung k< 0 Es gibt einen möglichen Etrempunkt bei = 0. Eine Funktion vierten Grades ist immer eine nach oben oder unten geöffnete Kurve, bei einen positiven Faktor vor der vierten Potenz von ist sie nach oben geöffnet. Eine nach oben geöffnete Kurve muss mindestens einen Tiefpunkt haben, deswegen ist bei = 0 ein Tiefpunkt f 0= 0 (Nullstelle) k Es gibt also einen Tiefpunkt T ( 0 0) k> 0 Es gibt drei mögliche Etrempunkte bei = 0, = und =. Setzt man diese k k Werte in die zweite Ableitung ein, kann man erkennen, ob ein Etrempunkt vorliegt f f f k k '' 0 = 4 0 = < 0 k '' 4 = = 4 = = > 0 k k k k k k k k 8 8 k k '' 4 = 4 0 k = = = > k k k k k k k Bei =± ist die zweite Ableitung positiv, es liegt ein Tiefpunkt vor, bei = 0 liegt k wegen dem negativen Wert der zweiten Ableitung ein Hochpunkt vor f k 0= 0 (Nullstelle) fk = = = = k k k k k k k k k k f k = k k = = = k k k k k k k k Es gibt einen Hochpunkt ( 0 0) H sowie zwei Tiefpunkte T k k und T k k Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 4

47 Wendepunkte Wendepunkte liegen bei Nullstellen der zweiten Ableitung fk ''( ) = 4 = 0 = 0 = k k k = oder = k k Fallunterscheidung k< 0 Es gibt keinen Wendepunkt k> 0 Es gibt zwei mögliche Wendepunkte bei =± k Weil die Funktionen drei Etrempunkte haben, müssen sie auch mindestens zwei Wendepunkte haben. Damit sind beide möglichen Stellen Wendestellen fk = = = = k k k k k k k k k 9k f k = = k k k k = = k k k k k 9k 0 Die Wendepunkte sind W k 9k und 0 W k 9k Ortslinie der Tiefpunkte Bei den Tiefpunkten T und T ergibt sich: = = k = k= k k y= = = = k 4 4 = = k = k= k k y = = = = k 4 4 Damit lässt sich die Lage aller Tiefpunkte durch die Funktion t( ) 4 = beschreiben Bjarne Kolb Lernen für das Abitur Funktionen Seite 5