Grundlagen der Elektrotechnik II

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1 Grundlagen der Elektrotechnik rof. Dr. Suchaneck SS 006

2 nhaltsverzeichnis 8. Wechselstromtechnik Sinusförmige Wechselspannung Kennwerte, Kenngrößen Augenblickswert ositiver und negativer Maximalwert (Scheitelwert) Arithmetischer Mittelwert (Gleichwert, Gleichanteil) Gleichrichtwert, Absolutwert Effektivwert Scheitelfaktor, Crestfaktor Formfaktor Klirrfaktor, Oberschwingungsgehalt Nullphasenwinkel echnen im Wechselstromkreis Komplexe echnung und symbolische Methode (komplexe Symbole) Widerstand und Leitwert Komplexer Widerstand Z Komplexer Leitwert Y Verlustwinkel realer nduktivitäten und Kapazitäten Verlustfaktor Güte Verlustfaktoren verschiedener Kondensatoren und Ferrite Ersatzschaltbilder von Kondensatoren und nduktivitäten deale Wechselstromwiderstände eale Wechselstromwiderstände Äquivalente eihen/arallelumwandlung arallel ÿ eihe eihe ÿ arallel Netzwerke bei veränderlicher Frequenz Ortskurvendarstellung Ortskurven von L- und C-Grundschaltungen Frequenzgang Logarithmische Größenverhältnisse in Dezibel db Grafische Darstellung (Bodediagramm) Schwingkreise eihenschaltung von, L und C; eihenkreis, Serienkreis, Saugkreis Komplexer Widerstand esonanz Bandbreite (absolut) Bandbreite (relativ) esonanzgüte Kennwiderstand arallelschaltung von, L und C; arallelkreis, Sperrkreis... 30

3 8.8.. Komplexer Leitwert Stromresonanz Bandbreite (absolut) Bandbreite (relativ) esonanzgüte Kennleitwert Leistung im Wechselstromkreis (einphasig) Augenblicksleistung Scheinleistung Wirkleistung Blindleistung Komplexe Leistung eihenschaltung arallelschaltung Blindleistungskompensation Übertrager, Transformatoren dealer Transformator Leistungen Widerstände Technischer Transformator Ausgangswiderstand Eingangswiderstand Verluste Belasteter Transformator mit Streuung Eisenverluste: Hystereseverluste + Wirbelstromverluste Wicklungskapazität Darstellung mit komplexen Größen Messung der Transformatoreigenschaften Leerlaufversuch Kurzschlussversuch Berechnung von Netztransformatoren rimärwindungszahl Sekundärwindungszahl Wahl von max. Flussdichte und Eisenfläche Niederfrequenz-Breitbandübertrager Verhalten an der unteren Frequenzgrenze Verhalten an der oberen Frequenzgrenze Messwandler Stromwandler Spannungswandler Mehrphasensysteme Drehstromsystem Spannungen gegen N-Leiter: Sternschaltung Spannungen verkettet: Dreieckschaltung

4 ..3 Ströme Ströme in Sternschaltung Ströme in Dreieckschaltung Leistungen (Drehstrom) Sternschaltung Dreieckschaltung Wirkleistungsmessung mit vereinfachter Schaltung AON-Schaltung (Zweiwattmeter-Schaltung) Literatur siehe Skript Grundlagen der Elektrotechnik 4

5 8. Wechselstromtechnik Hierzu DN 400 Wechselstromgrößen DN 5483 Teil + Zeitabhängige Größen, Formelzeichen Begriffe: 8. Sinusförmige Wechselspannung π $u π π π π 3 π π 3 π u( α) u$ sinα ω α α oder ω d t dt Winkelgeschwindigkeit α ωt ωt π π ω π f f Frequenz T [f], s erioden Hz, s 8.. Kennwerte, Kenngrößen 8... Augenblickswert uu(t) bzw. uu(tt) 8... ositiver und negativer Maximalwert, (Scheitelwert) u $, M, max, us Arithmetischer Mittelwert, (Gleichwert, Gleichanteil) AV u T u $ sinω t dt T 0 5

6 T u T u $ ( ) cosω t ω 0 u$ T u$ (cosω π cos 0) ( T ) π ω π 0 Der Mittelwert einer reinen Sinusgröße ist Null Gleichrichtwert, Absolutwert T u i T u dt ; T i dt 0 Zur Berechnung ist es sinnvoll, die obere ntegrationsgrenze auf Symmetrie möglich). T T 0 $ $ u u u sin t dt cos t T ω ω T ω 0 0 u$ π T (cos cos 0) π T T T u$ u$ ( ) π π u 064, u$ (bei Sinus!) T T zu legen (wegen der Effektivwert Entspricht einer Gleichspannung mit gleichem energiemäßigem (thermischen) Effekt. ÿ gleicher Energieumsatz während der Zeit T ÿ W Gleich W Wechsel W ² T ($ u sin ω t )² dt T 0 eff MS T ( u $ sin ω t )² dt MS oot Mean Square T 0 6

7 eff T T u $² (sin ω t )² dt 0 u$² t T [ sin ωt ] T 4ω 0 u$² πt + ( sin ω π ) sin 0 T π 4ω ω 4ω u$² T u$ T u eff $ Gilt nur bei reinem Sinus! Beispiel Berechnung des Effektivwertes eines Mischstromes ÿ Mischstrom Gleichstrom + überlagerter Wechselstrom $ i~ sin ω t $ i ~ i i i+ $ i sin ωt π ( + $ eff i i~ sin ωt )² dωt π 0 ² + $ ( cos ) + $ ωt i ωt i i~ ωt i~ ² π ² + $ [( ) ( )] + $ π i π i i~ i~ ² π $ i~ ² ² i + ~ π π π [ ] 0 { } 0 ² i + ² eff 0 ~ eff 7

8 8...6 Scheitelfaktor, Crestfaktor u C $ z.b. bei Sinus: eff u$ C 44, u$ z.b. wichtig zur Beurteilung der Übersteuerung (-festigkeit) von Mess-Verstärkern, Messgeräten u.ä Formfaktor F u eff Fi u eff i u bei Sinus: Fu $ π u$, z.b. wichtig für Messgeräte, die den Gleichrichtwert messen, aber den Effektivwert anzeigen sollen Klirrfaktor, Oberschwingungsgehalt ) Gesamt-Klirrfaktor K K Effektivwert Oberschwingungen Effektivwert Gesamt ² + ² ² + ² + ² K m n m n n n ² ² m n n ² ÆÈÇ bei K<0% ) Einzel-Klirrfaktor K, K m ² m n n n 3 3 n ² K groß bei unsym. Signalen K 3 groß bei sym. Signalen 8

9 8...9 Nullphasenwinkel n u, n i Voraussetzung: Gleiche Frequenz, gleiche Quelle n hasenwinkel zwischen gleichen oder ungleichen Größen (z.b. u, i oder u, u) Nullphasenwinkel sind die hasenwinkel, die vom rsprung aus gemessen werden. ϕ ϕu ϕi ϕ 0 ϕ ϕ i u u u$ sin( ωt+ ϕ ) i $ i sin( ωt+ ϕ ) i u Beispiel ϕ ϕ u i A n 55 i eilt nach! 8. echnen im Wechselstromkreis Annahme: eingeschwungener Zustand (stationärer Zustand), Spannungen und Ströme sinusförmig u u u$ sinωt C i C C du C C u$ ω cosωt dt C u$ ω sin( ωt+ 90 ) C u$ ω jsinωt 9

10 Z C uc i C u$ sinω t C u$ ω jsin ωt j jx jωc ωc C \ eaktanz uc ZC ic \ mpedanz Erkenntnisse S Strom und Spannung sind um n i phasenverschoben S hasenwinkel n i ist genau 90 $ π (i eilt vor) S Es ist zu erwarten, dass bei einer nduktivität L der hasenwinkel n u 90 $ π beträgt (Vertauschung ø ) Folgerung: Bei idealen Bauelementen, L, C treten hauptsächlich hasenwinkel von 0 sowie ±90 auf. ÿ Vorteilhaft ist eine echen- und Darstellungsmethode, die diesen Sachverhalt berücksichtigt. L ges jx L L j ωc ges C 0

11 Diese echen- und Darstellungsmethode ist die 8.. Komplexe echnung und symbolische Methode (komplexe Symbole) Die komplexe Zahl wird durch Zeiger dargestellt ÿ Symbol Allg. math. Darstellung: Z e + jm a + jb (Normalform) Z Z a² + b² a cos" b sin" Z cos" + j sin" ÿ trigonometrische Form Für u α ωt + ϕ u u u$ cos( ωt+ ϕ ) + ju$ sin( ωt+ ϕ ) u Wirkanteil Blindanteil u$[cos( ωt+ ϕ ) + jsin( ωt+ ϕ )] u u u e{ u} a u$ cos( ωt + ϕ ) m{ u} b u$ sin( ωt+ ϕ ) u u mformung in die Exponentialform ÿ Euler sche Form ω cosωt+ jsinωt e j t $ jϕ jωt Komplexe Amplitude Zeit faktor u u u3 e e{ j( t u j t j u u u$ ω + ϕ ) e u$ ω ϕ e{ e{ Zeit faktor u$ u$ e j ϕ u hasen winkel komplexe Amplitude Da für alle Schaltelemente (, L, C) in einem Netzwerk die gleiche Netzfrequenz T wirksam ist, genügt es in der egel, die komplexe Amplitude u$ u$ e j ϕ u zu betrachten. Gleichzeitig wird $u mit dem Faktor auf den Effektivwert umgerechnet. Der Zeitfaktor e jωt ist für alle Größen gleich, bedeutet eine otation des Zeiger-Systems.

12 ÿ Bleibt der Zeitfaktor unberücksichtigt, werden die Zeiger zu ruhenden Zeigern (Effektivwert-Zeiger) jϕu jϕi e oder e 8.3 Widerstand und Leitwert 8.3. Komplexer Widerstand Z Z u u$ j u e e ϕ j i $ ϕ i i e e j( ϕu ϕi) e jϕ jωt jωt e e z Z Z e Z cos ϕ + jz sinϕ + jx z \ / \ Scheinwiderstand Wirk - Blindwiderstand mpedanz esistanz eaktanz jϕ jϕ i u z Betrag Z hase Z Z ² + X² tanϕ z Z sinϕ Z cosϕ z z X Zahlenbeispiel 00V; 4A; 0S; Gesucht: Z, X, n, Z Scheinwiderstand Z u V i 00 4A 5Ω Blindwiderstand X Z² ² 5² 0² Ω 5Ω 5Ω hase X 5 tan ϕ z 075, ϕ z arctan 075, 0 ϕ 36, 87 $ 0, 6435rad z Z 5Ω e j 0, S /36,87 Z + jx ( 0 + j5) Ω Z Z 0² + 5² Ω 65Ω 5Ω

13 8.3. Komplexer Leitwert Y ÿ nversion von Z ej ( i u) i Y Z u jϕ Y ϕ ϕ Y Y e Y cos ϕy + jy sin ϕ Y Scheinleitwert Wirkleitwert Blindleitwert Admittanz Konduktanz Suszeptanz echnerisch: Y Z Z e jϕ z Y e Z jϕ z Beispiele:.) Z 0Ω + j5ω Gesucht: Y? Z 5Ω e j36, 87 j Y S e 004, S e Z 5 36, 87 j36, 87.) Wie groß ist Z ( 400Ω+ j300ω) (000Ω j50ω)? (arallelschaltung) Z + + Z Z j 500Ω e 030, 8Ω e 36, 87 j4, 04 (, 6 j, ) ms+ ( 0, 94 + j0, 4) ms ( 54, j096, ) ms j0, , 9Ω e ( 343, 95 + j30, 57) Ω 3

14 8.4 Verlustwinkel realer nduktivitäten und Kapazitäten eihenschaltung: tanδ L ; tanδ C ωc ωl arallelschaltung: tanδ ωl G ωgl ; tanδ C ωc ω C L L C 8.4. Verlustfaktor d tanδ tan( 90 ϕ) tanϕ 8.4. Güte Q tanδ d δ Q ges + QL QC Kondensator: nduktivität: d L d C tanδ L e tanδ C ωc m ωc ωl Verlustfaktoren verschiedener Kondensatoren und Ferrite Î AL-Elektrolyt-Kondensator (h5 C) Ï Tantal-Elektrolyt-Kondensator (h5 C) Ð MKT-Kunststofffolie Ñ MKC-Kunststofffolie Ò Keramik-Kondensator (NDK) Ó KS-Folienkondensator (Styroflex) Ô Ferrit allgemein Ô NF Ferrit Niederfrequenz Ô HF Ferrit Hochfrequenz 4

15 tan* Î Ï % Ð Ô ÔNF ÔHF 0,% Ñ Ò Ó khz MHz GHz f Hz 8.5 Ersatzschaltbilder von Kondensatoren und nduktivitäten 8.5. deale Wechselstromwiderstände (nicht bzw. nur annähernd herstellbar) kapazitiv: ZC jxc j ωc induktiv: ZL jxl jωl Logarithmische Darstellung Lineare Darstellung CµF, L0,H 5

16 8.5. eale Wechselstromwiderstände Kondensator Vereinfachte Schaltung nduktivität (Spule) ZC j + jωl ωc ZC j ωc G + jωc ZL ( +jωl ) j ωc Beispiel: Kondensator 6

17 8.6 Äquivalente eihen/arallelumwandlung Gültig nur bei T konstant! X B Definitionen: Z + jx ; Y G + jb ; Z Y Y ; Z nduktivität Kapazität jx jω L ; jx j eihe ω C jb j ω L ; jb jω C arallel G 8.6. arallel ÿ eihe Z jx G jb jx Y G + jb Z + jx Y 8.6. eihe ÿ arallel Z + jx Y Z Y G + ; jx G jb jb Z jx 7

18 .Beispiel Gegeben: L Z + jωl ( + j9, ) kω jωl jπ f 30mH j9, kω Gesucht: Z und Y L Lösung Y 07, S j04, S Z ( + j9, ) kω Ω ; jx Ω 07, j04, 4,6k Ω j,43kω Z jx 46, kω j,43kω Y G + jb j 0, ms j04, ms 46, kω,43kω 8

19 . Beispiel kω 3 0kΩ jx j j73, kω ωc jx jωl j68, kω Gesucht: eihenersatzschaltung Z ges und arallelersatzschaltung Z ges echnerische Lösung: Z 3kΩ - j7,3 kω G jb jx Y G + jb 033, ms+ j04, ms Z + jx 56, kω j06, kω Y Z 0kΩ j6,8 kω G jb jx Y G + jb 0, ms j06, ms Z + jx 83, kω+ j45, kω Y Z Z + Z ges Zges + jx Y 03, ms j008, ms Z Y 56, kω j06, kω + 83, kω + j45, kω 539, kω + j3,44 kω jx j3,44 kω ges X ges 3,44kΩ nduktivität L ω π 000 G + ges ; jx G jb Z jx 759, kω j 88, kω ges jb s 547, 5mH jx j, 88kΩ ges Xges nduktivität L ω, 88kΩ π 000 s 9, H 7,59kS,9H 9

20 8.7 Netzwerke bei veränderlicher Frequenz (und anderen veränderlichen Netzwerkgrößen) n Netzwerken mit nduktivitäten L und/oder Kondensatoren C hat die Frequenz einen wesentlichen Einfluss auf die Wirkung des Netzwerkes. Beispiel: T@C@ sowie T@C@ Die frequenzabhängigen Eigenschaften werden vorteilhaft grafisch dargestellt. Grafische Darstellungen 8.7. Ortskurvendarstellung n einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird die Netzwerkfunktion nach ealteil und maginärteil in Abhängigkeit von der Variablen eingetragen. Variable: Frequenz T (f) oder ein anderer Netzwerkparameter z. B. veränderlicher Widerstand m weiteren wird nur die Frequenz als Variable verwendet. Sehr einfache Ortskurven erhält man für die Grundzweipole L und C. Beispiel: ZL j ω L m T Z L (jt) L ZC j ωc T4 Z C (jt) C e e -m T Zusammensetzung + L bzw. + C Z + jωl ; Z j L C ωc Zusammenfassung Ortskurven komplexer eihenwiderstände und arallelleitwerte sind Geraden. 0

21 8.7.. Ortskurven von L- und C-Grundschaltungen (Wechselstromwiderstand und -leitwert)

22 8.7. Frequenzgang Der Frequenzgang ist eine Netzwerkfunktion, die das Netzwerk in Abhängigkeit von einer Sinusgröße beschreibt. Die Frequenzabhängigkeit der Amplitude wird durch den Amplitudengang beschrieben, die Frequenzabhängigkeit des Nullphasenwinkel durch den hasengang. Bekannte Anwendungen: Frequenzgang von Hoch- und Tiefpass (Filter), Verstärker, Operationsverstärkerschaltungen u.a. Genauer: Es wird der Frequenzgang des Übertragungsfaktors dargestellt. Übliche Bezeichnungen: A, G, T, F, H etc. A Ausgangsgröße Eingangsgröße Die Größenverhältnisse des Betrages der Amplitude werden in der egel logarithmisch angegeben. Vorteil: Große Zahlenbereiche können grafisch anschaulich dargestellt werden. Logarithmische Verhältnisse führen häufig zu Geraden; einfache Multiplikationen werden durch Addition dargestellt. Größenverhältnisse sind dimensionslos. Nach DN 5493/(4048) (egelrechnung) nterscheidung: Energiegrößen: (rsprung ) Feldgrößen, Logarithmische Größenverhältnisse in Dezibel db Beispiel: zwei Wirkleistungen a 0 lg db / \ Gewichtsfaktor nicht mit Einheit verwechseln! dezi, da rsprung Bel Logarithmus zur Basis 0 Beispiel: 00W; 5mW a 00W 0 lg W db 36 db Zur Angabe des Größenverhältnisses von Feldgrößen wie, muss auf Energiegrößen umgerechnet werden.

23 a i db 0 lg 0 lg db a u db 0 lg 0 lg db wichtig: > : a positiv (Verstärkung) < : a negativ (Dämpfung) Beispiel: Widerstandsteiler k au 0 Ω 0kΩ + 0kΩ au 0 lg db 0 lg 0, 5 db 6, 0 db Betrag (Amplitudengang) und hase (hasengang) von A(jT). Betrag Aj ( ω) A( ω) A. hase ϕ A arctan m{ } Bezugsgröße e{ A} 3

24 Beispiel: Tiefpass T (C -T) Übertragungsfunktion A ( j ωc) jω C ( j j C + + C C) ω ( ω )² ω + jωc Normalform Betrag A A ( ωc)² + ² ω ( )² + ω g Grenzfrequenz T g Bedingung ÿ e{z} m{z} ωg C ω 000 g C s f g 59, Hz πc hase ϕ A A ωc arctan m{ } arctan e{ A} Grafische Darstellung (Bodediagramm) ÿ Allg. Anwendung in der Übertragungs- und egelungstechnik u.a. Die Amplituden- und hasenverläufe werden meist nicht exakt, sondern mit den 3 Zeichenhilfen gezeichnet. a. Annäherung an die Asymptote für T ÿ 0 b. Funktionswert für die Grenzfrequenz T g c. Annäherung an die Asymptote für T ÿ 4 Beispieldarstellung des vorherigen C-Tiefpasses. 4

25 . Amplitudengang (Darstellung doppeltlogarithmisch auf einfachlog. apier) a) T 0...0,T g A ω ( )² + ω g $ 0dB b) T T g A + 0,707 $ - 3,0 db c) T 0 T g... 4 g A ω ~ ω ω ω ( )² ω g Neigung der Asymptoten bei gleicher Skalenteilung der A-Achse und T-Achse d(lg A) d(lg ω) d(lgω lg ω) g d(lg ω) 0 tanα α 45-0dB 45 heißt Dekade( ω) -6dB Oktave( ω) Dekade: Frequenzverhältnis 0: Oktave: " : (Doppelte Frequenz, halbe Spannung). hasengang ϕ A ω arctan( ) ω g a) T ÿ 0 n.arctan00 b) T T g narctan(-)-45 c) T ÿ 4 n.arctan(- 4)-90 Darstellung einfachlogarithmisch auf einfachlog. apier, Frequenzachse identisch mit der Amplitudengangdarstellung. 5

26 Darstellung Beispiel: Hochpass H (erweiterter H mit Grunddämpfung) A L 0 L ( i + L j ) ωc K i + L j ωc L L K T g ÿ e m i + L ω g ω C ( + )C 4kΩ 0, µ F L g L K i L K 74, 3 s f 3,7Hz g 6

27 Betrag A i + L ( ) + ( ) ω C L L K 3 Zeichenhilfen a) A(T << T g ) ( ) ωc L K ωc L K ~ ω $ db +0 Dek. b) A(T g ) ( ) + ( ( ) C i L i L K i L i L ) ( ) ( ) C L L L + i L L K 5kΩ 0, 53 $ 953, db 9kΩ + 5kΩ L c) A(T >> T g ) L 5kΩ + + 9k + 5k i L i L Ω Ω ( ) L 0, 357 $ 8, 94dB hasengang ϕ ω arctan m{ A } C L K arctan arctan e{ A} i + L ω ( + )C L i L K n(t ÿ 0) arctan4 +90 n(t g ) 45 n(4) 0 7

28 8.8 Schwingkreise Schwingkreise entstehen durch eihen- bzw. arallelschaltung von, L und C. S S diskrete Zusammenschaltung der Zweipole unbeabsichtigte (parasitäre) Schwingkreise infolge Leitungsinduktivitäten, Schalt-, Wicklungs- und Elektrodenkapazitäten Normalfall: beabsichtigte Schwingkreise sollen eine geringe Dämpfung haben, dagegen unbeabsichtigte eine hohe Dämpfung (siehe Kenngrößen). Anwendung der Schwingkreise: S S komplexe Widerstände, komplexe Spannungsteiler selektive Verstärker und Oszillatoren 8.8. eihenschaltung von, L und C; eihenkreis, Serienkreis, Saugkreis Komplexer Widerstand Z ' %j L &j C C C Z ' %j( L & C ) L L AZ nduktive Wirkung Kapazitive Wirkung 8

29 8.8.. esonanz (Spannungsresonanz) L + C 0 Y 6 Maximum bei T o esonanzfrequenz Bedingung: m()0 ÿ o L & o C '0 ÿ o ' L C Strom bei esonanz o ' (Maximum) Bandbreite (absolut) ª g ' go & gu ' L &(& L ) ' L ' o ² C Bandbreite (relativ) bezogen auf T o b r ' ª g o ' o L ' o C ' d Dämpfung,Verlustfaktor esonanzgüte Q S ' b r ' d ' o ª g ' o L ' o C Kennwiderstand Z o ' L C 9

30 8.8. arallelschaltung von, L und C; arallelkreis, Sperrkreis C G L "Duale" Beziehung zwischen eihen und arallelschaltung. Vertauschung: 6 G, X 6 B; ' 6 ' und umgekehrt Somit gelten auch alle grafischen Darstellungen der eihenschaltung für die entsprechenden Größen der arallelschaltung. Anwendung der arallelschaltung als "Sperrkreis" in der NF- und HF-Technik sowie als selektiver Arbeitswiderstand in esonanzverstärkern, Oszillatoren etc. Kenngrößen Komplexer Leitwert Y 'G %j C &j L Stromresonanz C + L 0 ÿ ÿ Maximum bei T o esonanzfrequenz Bedingung: m()0 ÿ o C & '0 o L ÿ o ' L C Spannung bei esonanz o ' ' (Maximum) Bandbreite (absolut) ª g ' go & gu ' C ' G C ' o ²G L 30

31 Bandbreite (relativ) Dämpfung, Verlustfaktor b r ' ª g o ' o C ' o G L ' d esonanzgüte Q S ' b r ' d ' ' o C ' Y o Kennleitwert Y o ' C L 3

32 Beispiel: Tiefpass.Ordnung L C L Gesucht: Gf(T)f(S), Amplitudenverlauf, esonanzüberhöhung, max ÆÈÇ Z Übertragungsfaktor G' ' ; Z j L%Z ' Z L %j C L ' %j L C G ' L %j L C L j L% %j L %j L C L %j L C L ' & ²LC%j L L G Ω Ω + j ( Ω ) Ω g G G + Ω Ω g ω ω g mit Ω ; Ωg sowie ω ω 0 0 o ' LC L ω Ω ; ω g ω g Ω g 4 34 L wenn C 0 ϑ L ω 0 C ω Ω L g g esonanzstelle nur, wenn d< h Dämpfungsgrad d h Dämpfung Fallunterscheidung. nbelastet, d.h. L ÿ 4 Folge: G ( Ω ) Ω ωg wegen ωg L Ω Ω g ; 0 Ω G ÿ4 g Maximum, wenn S (esonanz), esonanzüberhöhung 4, da d0. L 3

33 Amplitudenverlauf a) S 60 Y G ÿ 0dB a) S Y G 64 b) S >> Y G Ω ÿ -40dB/dek. Große Belastung, große Dämpfung, C unwirksam Ω g Ω 0, daher ( Ω ) < ( ) und ωg << ω Ωg G Ω ( Ω ) + ( ) Ω a) S 60 Y G ÿ 0dB b) S Y G S g << Ω g c) S >> Y G ÿ -0dB/dek (einfacher Tiefpass) Ω g 0 3. Optimale Dimensionierung S g, d.h. T g T o h ' o g ' ; d' Ω + Ω + Ω Ω + Ω 44 3 A G da Ω + 4Ω 0 4Ω Ω dω G maximal, wenn A min! 3 Ω max esonanzüberhöhung G 3max ' ' 3 ',5 5% & % 4 33

34 a) S 60 Y G 3 ÿ 0dB b) S Y G 3 ÿ 0dB c) S >> Y G 3. Ω ÿ -40dB/dek (Neigung wie Fall) Betrag G Amplitudenverläufe Tiefpass. Ordnung mit unterschiedlichen Dämpfungen Frequenz lg T 34

35 9. Leistung im Wechselstromkreis (einphasig) Spannungen und Ströme sinusförmig 9. Augenblicksleistung Erkenntnis: p(t) u(t) i(t) u(t) û sin(tt + n u ) i(t) î sin(tt + n i ) n n u - n i (DN 400) p(t) û sin(tt + n u ) î sin(tt + n i ) sin" sin$ mit sin" sin$ (cos["-$] - cos["+$]) p(t) (cos[(tt + n u ) - (Tt + n i )] - cos[tt + n u + Tt + n i ]) p(t) (cos[n u - n i ] - cos[tt + n u + n i ]) Mittelwert ulsierender Teil (Gleichanteil) (Wechselanteil) (Wirkleistung) (Blindleistung). pulsierender Anteil mit doppelter Netzfrequenz (T) überlagert den Mittelwert Mittelwert: mittlere, gerichtete Wirkleistung.. Augenblicksleistung p(t) kann das Vorzeichen periodisch wechseln zwei Leistungsflussrichtungen Wirkleistung: Generator SS Verbraucher Blindleistung: Generator SS Verbraucher Beispiel: induktiv-ohmsche Last i, u, p S p(t) u(t) n u n 0 i i(t) 35

36 9. Scheinleistung Amplitude des Wechselanteils heißt Scheinleistung S S p - (t) cos(tt + n u + n i ) S (Amplitude) [S] VA Die Scheinleistung ist stets positiv (rodukt der Effektivwerte). 9.3 Wirkleistung Die Wirkleistung ist der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung p(t). T pt dt T () dt cosϕ T 0 cosϕ 0 0 cos ϕ S Wirkfaktor (Leistungsfaktor cosn) \ Scheinleistung T Die Wirkleistung kann ein positives oder negatives Vorzeichen haben (abh. von n). pos. Vorzeichen: passiver Zweipol, nimmt elektrische Energie auf neg. Vorzeichen: aktiver Zweipol, gibt elektrische Energie ab Z n cosn passiv $0-90 # n # 90 $0 Verbraucher aktiv <0-80 # n < < n # 80 < 0 Generator 9.4 Blindleistung. ohmscher Widerstand 6 n0 6 cosn ' ' ² ' ² π π. induktiver Widerstand L ϕ u cos 0 0 π π p() t ( 0 cos[ ω t + ]) sinω t sin sinω t p(t) endelleistung (Blindleistungsschwingung), keine Wirkleistung, da 0 übliche Bezeichnung: Blindleistung Q Q sinn [Q] var 36

37 Die Blindleistung erhöht den Scheinstrom zwischen Generator und Verbraucher und damit die ohmschen Verluste in Leitungen, Transformatoren, Schaltern etc. π π 3. kapazitiver Widerstand C ϕ u cos( ) 0 wie induktiver Widerstand 9.5 Komplexe Leistung 9.5. eihenschaltung Z ' %jx reell induktiv-ohmsch % ' % S ' % Q S ' % jq kapazitiv-ohmsch S ' ² % Q² 9.5. arallelschaltung Y 'G %jb s G w reell 6 n u 0; n-n i -n y B b ' % s ' w % j b ' % j kapazitiv-ohmsch S ' % jq induktiv-ohmsch: wegen -n ÿvorzeichenwechsel des maginärteils 37

38 9.6 Blindleistungskompensation (arallelkompensation, eihenkompensation) Es entstehen zusätzliche Verluste durch die Blindleistung (endelenergie), Schalterbelastungen, Leitungsverluste. Diese Verluste lassen sich vermeiden, wenn dem Verbraucher Y G + jb ein Zweipol -jb parallel (oder in eihe) geschaltet wird. n der egel wird nicht voll kompensiert: S technisch schwierig S Aufwand steigt unverhältnismäßig S Kostengründe Blindstromkompensation Der Leistungsfaktor wird meist auf etwa cosn0,95 kompensiert. Weiter Definitionen: λ cos ϕ S sinn ' Q S Wirkfaktor, Leistungsfaktor, owerfaktor Blindfaktor d tan( 90 ϕ) cot ϕ 3 tan ϕ tan ϕ Verlust winkel δ Zusammenfassung: Spannung, Ströme, Leistungen Q Spannung Strom Leistung Schein- s ' S s ' S S' s Wirk- Blind- w ' b ' Q ' w ' ' 'S@cosn ' b ' Q ' Q'S@sinn eihenschaltung arallelschaltung beide 38

39 0. Übertrager, Transformatoren 0. dealer Transformator Der ideale Transformator hat einen geschlossenen Kern (ingkern), auf den zwei Wicklungen (primär und sekundär) gewickelt sind. Das Kernmaterial hat eine sehr hohe ermeabilität, das Magnetfeld ist konzentriert nur im Kern. Die Spulen haben einen sehr geringen (vernachlässigbaren) ohm'schen Widerstand. Der gesamte magnetische Fluss durchsetzt beide Spulen (kein Streufluss). Schaltbild M N N unkte: Gleicher Wicklungsanfang sinusförmige Spannung u u N d Φ () t dt N rimär-windungszahl Verbraucher-feilsystem, magnetischer Fluss ist sinusförmig für die Sekundärspule gilt u N d Φ () t dt N Sekundär-Windungszahl Entsprechend der Voraussetzung sind beide Flüsse gleich: Φ() t Φ() t Φ() t N d Φ() t u dt u üübersetzungsverhältnis u N N d t ü ( u N ) Φ () dt rimär- und Sekundärspannung sind in hase, die Beträge sind proportional den Windungszahlen. 39

40 0.. Leistungen: () S S Damit ergibt sich für das Stromverhältnis: 0.. Widerstände: N ü (3) N mit () und (3) ein ü² L ü² ² ² (4) ü² aus mit (3) 0 K L K L K 0 ü ü i ü 0 ü ü ² i 0 0 (5) ü² ü² n der rimärwicklung fließt der Magnetisierungsstrom, der um so kleiner ist, je idealer der Transformator ist (sehr große ermeabilität). Ohm sche Last µ Φ 40

41 0. Technischer Transformator nerwünschte Nebenwirkungen - Ohm'scher Wicklungswiderstand (Kupferwiderstand) - Streuinduktivität, Streuung d.h. M ist nicht gleich M - Eisenverluste: Hystereseverluste + Wirbelstromverluste - Wicklungskapazität Berücksichtigung der Kupferverluste (Wicklungswiderstände) ÿ zusätzlicher Wirkwiderstand, Leistungsverlust, hasenverschiebung, Spannungsabfall i o L L ÆÈÇ ideal ü L L L ü mit (3) ü ü mit ² L ( + + ) ü² ü L L ü + ( + ) ü² L (6) mit i 0 0 ü + L i + ( ü² + ) (6a) 4

42 0.. Ausgangswiderstand aus ( ü + ) (7) 0.. Eingangswiderstand ein + ( + ) ü ein + sek L (7a) 0..3 Verluste V L L ü + ' sek V ü + sek L ( + ) sek L V ( ü ) + sek sek 3 η V ( η) η η ü L + sek 0..4 Belasteter Transformator mit Streuung ÿ Zusätzlicher Blindwiderstand, hasenverschiebung, Spannungsabfall 4

43 Φ ges i u u L N Φ S Φ V Φ Φ i u u L N Φ S Φ Φ Φ V Φ ges ideal: Θ i N i N 0 mit Kopplungsfaktor k# Θges Θ+ k Θ in in k mit Θ Φ m Φ ges m in i N k u N d Φges dθ N k d Θ L ( + ) (9) dt dt dt Ndi N + N k N ( di ) dt dt m u L di k NN L dt m 3 M prim. Hauptinduktivität m di dt m (9a) Kopplungs- oder gegenseitige nduktivität M k L L (0) σ k² Streufaktor () 43

44 Maschenregel primär u i + u L u i L di M di + dt dt () sekundär u i + u L mit u L di k NN L + dt m di dt u i L di M di + dt dt (3) Für die folgenden Ableitungen ist die mrechnung der Sekundärgrößen auf rimärgrößen Voraussetzung (Größen durch r Strich gekennzeichnet). Dadurch kann der ideale Transformator durch die Gegeninduktivität M ersetzt werden, das Windungsverhältnis entfällt. u i L di M di + dt dt i + L di M di M di dt dt dt + M di dt di i + L M + M d ( ) ( dt dt i i ) 4 34 LS \ Streuinduktivität primär i L S L S r r i r u i L di dt + M di dt + M di M di dt dt ' u L -Mr Mr L r-mr u r di i L M + M d ( ) ( dt dt i i ) 4 34 L S \ Streuinduktivität sekundär i -i r NN NN NN mrechnungen: L; L ; ü m m m L ü L 44

45 k NN M k NN k NN ; ü M M ; ü m m m M M ü N N ü N N ü ü L L ü, L L ü S S N N ü, N ü N ü, ü 0..5 Eisenverluste: Hystereseverluste + Wirbelstromverluste ÿ zusätzlicher Wirkwiderstand parallel zur Wicklung (Leistungsverlust) zusätzliche hasenverschiebung Fe Summe aller Eisenverluste 0..6 Wicklungskapazität ÿ nur bei hohen Frequenzen bei 50 Hertz meist vernachlässigbar zusätzlicher Blindwiderstand (hasenverschiebung) Einfluss auf Frequenzgang C primär C sekundär 0..7 Darstellung mit komplexen Größen + jω LS + ZFe( ') ' ' jωl ' + Z ( ') S Fe + jxs + ZFe 3 0 ' M L S L S r r µ 0 V Mr L r Fe M r r 4 34 Z Fe r ' ' jx ' + Z S Fe 0 45

46 Es ergibt sich folgendes Zeigerdiagramm unter Berücksichtigung der Kupferverluste, Streuung und Eisenverluste: X S ' X S ' M ' ' ' ' L 0 ' 0 µ v Φ V 0..8 Messung der Transformatoreigenschaften (Leistungstransformatoren, f50hz) Leerlaufversuch Ausgangsstrom (sekundär) 0 rimärstrom Leerlaufstrom 0...5% von N (primärer Nennstrom) Streuung und Kupferverluste können vernachlässigt werden, der Leerlaufstrom deckt den Magnetisierungsbedarf. ' ' M 0 ' Es werden gemessen bei N : N, 0, 0 0. Eisenverluste im Nennbetrieb N M' µ v Fe M' 'L 46

47 0 N Fe cos ϕ ü 0 N L Fe 0 S N N 0 sinϕ µ 0 0 N M ω sinϕ M M ü 0 0 v cosϕ Kurzschlussversuch Hierbei wird der Transformator am Ausgang (sekundärseitig) kurzgeschlossen. Mit dem Stelltransformator wird die rimärspannung von 0 auf die Kurzschlussspannung K erhöht, bis der Sekundärnennstrom N K erreicht ist. Wichtig: Keinesfalls den Transformator an die Nennspannung N anschließen! N ges L Sges rn r 0 Es wird gemessen: K, K, K, K ( + ) K ges ges K + K ' Z K K ; X Sges ω( L S + ü LS) K K ges S S X Z L und L Sges 47

48 Z + jx K ges Sges cosϕ K Z K ges K Eingangsimpedanz Z Ausgangsimpedanz Zaus ZK ü Z ein K elative Nennkurzschlussspannung u K K 00% N 0..9 Berechnung von Netztransformatoren Kleintransformatoren (VDE 0550, DN ) rimärwindungszahl mit $ $ Φ B A Fe u N d t L ( Φ $ sin ω ) N ω Φ $ t dt cos ω eff u$ N ω B$ AFe eff 4,44 f B$ A Fe N 4,44 f B$ A Fe N 444, f B$ A Fe N übliche Angabe in Wdg./Volt Sekundärwindungszahl N N u u Spannungsfaktor ( Spannungsabfall) 48

49 Wahl von max. Flussdichte und Eisenfläche ( $B und A Fe ) Die Wahl ist abhängig von a) Material Fe-Sorten B$ <, T( T) größere $B und T ÿ Kernerwärmung infolge von Magnetisierungsverlusten Ferrit-Sorten B< 0,3T $ $ Φ B A Fe ausreichend groß dimensionieren b) Wickelraum bestimmt die Kerngröße Wicklungsauslegung so, dass Cu Cu Die nnenwicklung hat einen größeren thermischen Widerstand th. ÿ Stromdichte evtl. innen kleiner als außen wählen. Kerngröße beeinflusst die Eisenweglänge l Fe ~ m ~ Φ Wenn c) Bleche l Fe größer N größer wg. Θ N Φ Θ m.) Kernbleche M-Schnitt E-Schnitt früher wirtschaftlich gewesen, Schichtung teuer, heute für Sonderfertigung mit MD-Blechen, Streuung nicht zu vernachlässigen billig für Massenproduktion, einfache Montage, große Streuung, geeignet für kleine Baugrößen.) Bandkerne Schnittbandkerne, ingbandkerne SM, SE-Schnitt S, SG-Schnitt ÿ geringe Streuung, einfache Montage (Ausnahme ingkern) beste Leistungsübertragung, teurer als Kernbleche 3.) Ferrit-Kerne: M E 44 Topf 44 ing 3 geringe Streuung 49

50 für hohe Frequenzen geeignet, $B klein (<0,3T). Beispiel: Berechnung von Netztransformatoren DN 4300 Gesucht: Daten: Netztransformator M- oder E-Schnitt Eingangsspannung 30V, f50hz, Ausgang: 4V, 3A Wahl der Leistung N 4V 3A 7VA Aus Tabelle ÿ M85a Blech V30-50A L, 4V 6, 66V u aus Tabelle N η 7VA 377mA 30V 0, 83 η w aus Tabelle 86, 75VA Übersetzungsverhältnis 30V ü 863, 6, 66V L Windungszahlen N L 30V 4 ω B$ A π50 37, T 86, 0 m² max Fe s gewählt: N 879Wdg. 878, 8Wdg. N N , Wdg. 0Wdg. ü 863, Drahtdurchmesser Stromdichte S N A 347, mm ² (Tabelle) A 0377, A mm² S 347, A N 04, mm² aus Tabelle d 038, mm A S 3 N A mm² 347, A 0865, mm² aus Tabelle d, mm (A 0,95mm²) 50

51 Wickelraum A 879 0, 3mm² 99, 3mm² Cu A 0 095, mm² 88, mm² Cu A Cuges 87, 5mm²,9cm² Tabelle: A, cm ² ausreichend CuN Trotzdem folgendes roblem: A Cu schwankt um den Faktor...3, abhängig vom Drahtquerschnitt, Zwischenisolation, Wickeltechnik (lose, fest) Verluste, Wirkungsgrad Aus Tabelle: VFe VCu 69, W 0, 4W η + Vges 4V 3A 4V 3A+ 7, 3W 08, Tabelle 5

52 Daten von Transformatoren: M-Schnitte, E-Schnitte 5

53 Draht-Tabelle 53

54 0.3 Niederfrequenz-Breitbandübertrager Anwendung: Eingangs-, Ausgangs-, Trenn- und Symmetrierübertrager zur Anpassung von Spannung, Strom, Leistung, Widerstand Verhalten an der unteren Frequenzgrenze f gu Auslegung auf die rimärinduktivität, d.h. Windungszahl N. L prim i L' π f gu N Lprim m L A prim L 0.3. Verhalten an der oberen Frequenzgrenze f go Einfluss von parasitären Wicklungs- und Schaltkapazitäten, sowie Streuinduktivitäten. Gegeninduktivität wegen X M' >> L' vernachlässigt. i LS L S' ' i ' u C Fe C u ' ' L' C' C ü C vergrößert i, verringert Z ein. C bildet mit L Sges und cuges einen Tiefpass.Ordnung. ÿ robleme bezüglich f go und der esonanzüberhöhung fe -Verluste erzeugen Wärme, verringern den Wirkungsgrad. + ' LS+ L S' u u C ' ' L' 54

55 Obere Grenzfrequenz f go bzw. esonanzfrequenz a) L r ÿ 4 Y Dämpfung h ÿ 0 starke esonanzüberhöhung f go f 0 π L Sges C C r bestimmt wesentlich f go b) L << ÿ h > ω C g f go + + L π L Sges L Sges bestimmt f go ÿ streuarm ausführen bei ϑ < entsteht eine esonanzüberhöhung C Gmax L ϑ L Sges ϑ L C Sges L Voraussetzung ( + r)<< L r Beispiel L 00kS; ü 0,; C 00pF; L Sges 50mH ϑ L C L Sges 0, 00kΩ 50mH 00pF 0, 0395, G max 65, 6,5% Überhöhung ϑ ÿ nicht für Messzwecke geeignet, besser ϑ f go L ü π L Sges 00kΩ 0, π 50mH, 7kHz Hochfrequenzübertrager siehe Vorlesung HF-Technik. 55

56 0.4 Messwandler VDE 044, DN 4600/ Stromwandler X S X S r r r X M r 0 Fe r A Bürde Bürde: ÿ sekundärseitige Belastung, Messinstrument oder Widerstand. Übersetzungsverhältnis K N N N ü Nennleistung N N ² L Wegen Messfehler Forderung: ', also o << ', oder L ' sehr klein ( 0) und µ sehr klein (µ r groß) KN Stromfehler Fri 00% Forderung: 0,... 3% Fehler Für geringe Streuung (kleine Fehlwinkel) ingkerne. Wichtig: Stromwandler nie offen oder hochohmig am Ausgang betreiben. ÿ Spannung steigt an, Durchschlaggefahr. Stromwandler verhalten sich wie Stromquellen Spannungswandler Übersetzungsverhältnis K N N ü N N ; N N N L ', also Längsspannungsabfälle ( k ) müssen klein sein, d.h. 0 (hochohmiger L, Leerlauf). und klein, sowie geringe Streuung (ingkern). Spannungsfehler F Wichtig: ru KN 00% Spannungswandler immer hochohmig belasten. Großer Kurzschlussstrom, Verhalten wie Spannungsquelle. 56

57 . Mehrphasensysteme Beispiele: Zweiphasen, Dreiphasen, Sechsphasen, Zwölfphasen Ferraris- Drehstrom Schweiss- Tachogeneratoren motor 50/60Hz maschinen (hren etc.) Normen: DN 4008, 400, 40705, 4400, VDE 0570, 000, Drehstromsystem Name von Dolivo-Dobrowolsky (AEG-Gründer) "Dreh" wegen einfacher Drehfelderzeugung in elektrischen Maschinen. z.b. Drehstrommotoren (besser: Drehfeldmotoren, Drehfeldmaschinen) Strom dreht sich nicht, sondern das aus dem Strom erzeugte Feld bzw. das Feld, welches Spannungen im Generator induziert. nach DN 4400 Zeigerdiagramm (ruhende Zeiger) Klemmenzählpfeile 57

58 Es gilt Kirchhoff: G0, G0 System ohne N-Leiter + + L L L3 0 mit N-Leiter + + L L L3 N 0.. Spannungen gegen N-Leiter: Sternschaltung ruhende Zeiger u$ j( ωt 0 ) jωt j0 j0 LN sin( ωt 0 ) LN e LN e e LN LN e u$ j( ωt 0 ) jωt j0 j LN sin( ωt 0 ) LN e LN e e L N LN e u$ j( ωt 40 ) jωt j40 L3N sin( ωt 40 ) L3N e L3N e e L3 N L3N e LN LN L3N.. Spannungen verkettet: Dreieckschaltung 0 j40 (Außenleiter gegeneinander) z. B. L gegen L ( e ) LL LN LN LN [ cos( 0 ) jsin( 0 ) LN (, 5 + j0, 866) LN 3 e LN LL LN e 3 j30 j30 j0 weitere verkettete Spannungen sinngemäß: (ndex L weggelassen) L L3 3 N 3N N ( e e ) [ 05, + 05, + j( 0866, 0866, )] N ( 0 j 3) N 3 e N j90 j0 j40 3 Verkettungsfaktor zb.. 3 N 3 30V , V Übungsaufgabe: bestimmen 3 e 3 3 N j50 j0 bzw. e 58

59 ..3 Ströme G0..3. Ströme in Sternschaltung a) mit Neutralleiter N N 0 N N 3N ; ; 3 ; N + + Z Z Z 3 3 Beispiel: Gesucht: N Gegeben: Z Z Z 3 N 00Ω 00Ω e 00Ω e 30V j60 j60 Lösung: N j0 j0 30V e 30V e 30V e + + j60 00Ω 00Ω e 00Ω e j0 j80 j80 3, A e + 3, A e + 3, A e 3, A[ + ( + j0)] 3, A( + j0) j0 j80 j40 j60 3, A e 3, A e (gegenphasig zu N ) b) ohne Neutralleiter N ÿ führt bei unsymmetrischer Last zur Sternpunktverlagerung N + N' N'N N Gesucht: ) Größe der Ströme... 3 ) Sternpunktverlagerungsspannung N N 59

60 zu ) Überlagerungsprinzip + Stromteilerregel. Schritt 3 0, wirkt. Schritt 0, 3 wirkt / Z + ( Z // Z ) 3 / 3 Z Z + ( Z // Z ) 3 // Z Z mformung Z ÿ Y / + Y Y + Y 3 ( Y + Y ) Y ( Y + Y ) Y 3 3 / 3 + Y Y + Y 3 Y Y + Y ( Y + Y ) Y 3 Y + Y + Y 3 3 Y Y3 Y+ Y Y + 3 Y 3 3 Y Y 3 Y + Y + Y 3 Addition + mformung ( + ) Y Y + Y Y Y 3 3 mit zyklischer Vertauschung ( + ) Y Y + Y Y Y 3 ( + ) Y Y + Y Y Y Sternpunktverlagerung NN '? ( ) Y + ( ) Y + ( ) Y 3 N NN ' N NN ' 3N NN ' 3 Y + Y + Y ( Y + Y + Y ) N N 3N 3 NN ' 3 ÿ NN ' Y + Y + Y N N 3N 3 Y 60

61 Beispiel: Gegeben: Gesucht: Sternpunktverlagerung (Sternschaltung) Z Z Z 3 N, N N 00Ω 00Ω e 00Ω e 30V j60 j60 3 e 398, 4V e N j30 j30 3 e 398, 4V e 3 N j90 j90 Y Y Y 3 0mS e 0mS e 0mS e j0 j60 j60 ( + ) Y Y + Y Y 3 3 Y j30 j90 j0 j60 j30 j0 j60 ( 398, 4V e + 398, 4V e ) 0mS e 0mS e + 398, 4V e 0mS e 0mS e j0 j60 j60 0mS e + 0mS e + 0mS e j60 j30 ( 345V+ j99, 9V+ 0 j398, 4V)( 0mS)² e + 398, 4V( 0mS)² e 0mS j30 j30 398, 4V( 0mS)²( e + e ) 0mS 398,4V 0mS 0mS 3 0mS 690V 5mS 3, 45A Z 3, 45A 00Ω 345V > 30V! N ' 30V 345V 5V 5V e NN ' N N' ÿ Spannungsüberlastung von Sternlasten an L möglich. j80 6

62 ..3. Ströme in Dreieckschaltung Die verketteten Spannungen sind eingeprägt! 3 ; 3 ; 3 Z Z 3 Z 3 3 ; ; Beispiel: Symmetrische Last Z Z3 Z3 0Ω e ; N 30V Gesucht: alle Ströme j V 3 e 0Ω e j40 30V 3 e 0Ω e j30 j90 j40 30V 3 e 0Ω e j40 j50 j0 33, A e 369, A j0576, A j30 33, A e 34, A j543, A j0 33, A e 35, A+ j3, A ( 3, 69A j0, 576A) (, 35A+ j3, A) 4, 404A j3, 696A 3 ( 34, A j, 543A) ( 3, 69A j0, 576A) 5, 403A j967, A 3 ( 35, A+ j3, A) ( 34, A j, 543A) 0, 999A + j5, 663A j0 Begriffe: Strang, Strangstrom, Strangspannung, Leiterstrom, Leiterspannung Sternschaltung (Symmetrisch) Strang Verbraucher Leiterstrom Strangstrom Leiterspannung Strangspannung 3 3 z.b. 398V 30V 3 Dreieckschaltung (Symmetrisch) Leiterspannung Strangspannung Leiterstrom Strangstrom 3 Strang 6

63 ..4 Leistungen (Drehstrom) (DN 400)..4. Sternschaltung Es gilt p() t i un + i un + i3 u3 N Augenblicksleistung Was beim Einphasensystem gilt, ist auch hier für jede einzelne hase gültig. Wirkleistung T N N 3 3N 3 p( t)dt cosϕ + cosϕ + cosϕ ϕ, ϕ, ϕ hasenwinkel zwischen Strom und Spannung 3 ϕ ϕ u ϕ i Blindleistung Q sinϕ + sinϕ + sinϕ N N 3 3N 3 Scheinleistung S + + N N 3 3N Für die Sternschaltung mit sym. Last gilt: 3 Y Strangstrom N N 3N Y Strangspannung 3 N cosϕ 3 cosϕ 3 3 cosϕ Q 3 N sinϕ 3 sinϕ 3 3 sinϕ S 3 N

64 ..4. Dreieckschaltung Symmetrische Last: 3 3 ) Strangstrom 3 3 ) Strangspannung nsym. Last: S cosϕ + cosϕ + cosϕ Q sinϕ + sinϕ + sinϕ Sym. Last: S 3 3 cosϕ Q 3 sinϕ mrechnung, wenn S konstant (symmetrisch) Y Y Y 3 3 ; Y Y 3 Beispiel: Leistungsberechnung in Sternschaltung (wie vor mit N) 30V ; Z 00Ω ; Z 00Ω e ; Z 00Ω e N Es muss jede Strangleistung berechnet werden. j60 j cosϕ + cosϕ + cosϕ ges 3 N N 3 3N 3 30V j0 30V j60 30V j60 e e e 00Ω 00Ω 00Ω (30V)² (30V)² (30V)² 00Ω 00Ω 00Ω + 0, 5 + 0, 5 058W 64

65 Q Q Q + Q + Q sinϕ + sinϕ + sinϕ ges 3 N N 3 3N 3 (30V)² 00Ω ( 0 + ( 0, 866) + 0, 866) 0 var ÿ hase und 3 kompensieren sich. S S S + S + S VA ges 3 N (30V)² 00Ω Wichtig: nnerhalb jedes Stranges gilt S ² + Q², aber nicht im Gesamtsystem. Falls der N-Leiter nicht vorhanden ist und unsymmetrische Last vorliegt: ÿ Strangströme,, 3 berechnen, dann N N berechnen und daraus die Strangspannungen berechnen Wirkleistungsmessung mit vereinfachter Schaltung Symmetrische Last mit N-Leiter L L ges 3 L 3 N ohne N-Leiter L L ges 3 L 3 Künstlicher Sternpunkt 3 65

66 nsymmetrische Last im 3-Leitersystem:..4.4 AON-Schaltung (Zweiwattmeter-Schaltung) ÿ Einsparung eines Wattmeters p u i + u i + u i ges N N 3N 3 i + i + i 0 ; i i i 3 3 p u i u i u i + u i ges N N N 3 3N 3 ges i( u N u N) + i3( u3n u N) u T T p dt ges cos ϕ + cos ϕ 0 u Beispiel Symmetrische Last; 50kW im ); cosn ) 0,75; N 30V Gesucht: a) Q im ); S im );, b) Z ) ;, Q, S in Y-Schaltung (Z ) Z Y ) a) Q tanϕ 50kW tan(arccos 0, 75) 44, kvar 50kW S 66, 7kVA cos ϕ 075, S 3 S 66, 7kVA 55, 8A V 66, 7kVA 96, 7A ( 3 ) 3 30V N b) Z 3 30V 3 30V cos ϕ + j sin ϕ 55, 8A 55, 8A 7, Ω 075, + j7, Ω 066, ( 54, + j47, ) Ω 7, Ωe j4, 4 ( 30V)² SY 3, kva 7, Ω S cos ϕ 6, 7kW Y Y Q S sinϕ 4, 7kvar Y Y 66

67 Gegenüberstellung: Einphasennetz - Dreiphasennetz Vergleich der notwendigen Kupferleiter (Masse) Annahme:Gleiche Länge, gleiche Wirkleistung, gleiche Spannung, Ohm sche Last W D ; W D ndex W Wechselstrom, ndex D Drehstrom 3 3 W D W D W D LtgW W LtgD D LtgD LtgW Kupferleitungswiderstände LtgD Auf beiden Leitungssystemen sollen die Leitungsverluste gleich sein ² 3 ² mit LtgW W LtgD D LtgW sowie W l l ρ und LtgD ρ A A W ² 3 ² D ergibt sich D A W A A A W D Das Einphasenwechselstromsystem hat Leiter A 4 A, das Dreiphasenwechselstromsystem hat 3 Leiter 3 A D ; bei gleicher Länge gilt m ~ A, das bedeutet für die Kupfermasse der Leiter: m W ~ 4A D, sowie m D ~ 3A D. D W D Das Verhältnis ergibt: m m D W 3 3 m D m 4 4 W Fazit: Das Drehstromleitungssystem benötigt nur 75% des Kupfermaterials, wie es für das Einphasenleitungssystem notwendig ist. 67

68 Beispiele: a) Ein Drehstrommotor hat einen cosn M 0,7. (Sternschaltung) Am 400V-Drehstromnetz fließt der Nennstrom 7,7A (Leiterstrom) Durch 3 Kondensatoren soll der Leistungsfaktor auf cosn K 0,95 verbessert werden. Berechne die Kondensatoren in Stern- und Dreieckschaltung. Welche Schaltung ist zweckmäßiger? S 3 / ϕ , 77, A /45, 6 53, kva /45, 6 M Q M M M S cos ϕ M 37, kw S sin ϕ 379, kvar M Der kompensierte Motor sollte eine Blindleistung Q tan ϕ 3, 7kW 0, 39 kvar, K M K aufnehmen. Die Kompensationskondensatoren müssen eine Blindleistung QC QK QM, kvar 3, 79kvar -,57kvar erzeugen. Ein Kondensator in Sternschaltung hat einen Strom Damit berechnet sich die Kapazität C Y -Q 3C 373, A 30V C Y ω 373, A 30V π 50 s 56, µ F ÿ gewählt 3 mal 56µF im Stern n der Dreieckschaltung hat ein Kondensator C -Q C 5, A C 3 30V 3 (3 mal 8µF im Dreieck) 5, A 30V 3 π 50 s 7, µ F Fazit: Wegen C Y 3C ) und 3 Y ist im allg. die )-Schaltung günstiger. b) An L eines 400V-Vierleiternetzes ist ein ohmscher Widerstand 3S angeschlossen. An L ist ein Einphasenmotor mit 0A und einem Leistungsfaktor cosn0,5 angeschlossen. Wie groß ist N? 30V 30V /0 0A /0 3Ω 68

69 Z 30V / ϕ /60 3Ω /60 0A Motorwiderstand Der Einphasenmotor nimmt durch Z induktive Blindleistung auf und damit den Strom Z 30V /-0 3Ω /60 0A /-80 0A /0 Der resultierende Neutralleiterstrom N + 0A 0A 0 Änderung: Der Widerstand 3S wird an L 3 statt an L angeschlossen. Was ändert sich? 30V /0 ; 0A /0-5A + j8,66a 3 3 0A + 0A- 5A + j8,66a -5A + j8,66a 7,3A /50 N 3 c) An einem 400V-Vierleiternetz (50Hz) sind angeschlossen: An L ein ohmscher Widerstand 7,5S, an L 3 ist ein Einphasenmotor mit 9A und einem Leistungsfaktor cosn0,7. Frage: Wie groß müsste ein Widerstand Z sein, der an L angeschlossen wird, damit kein Strom N im Neutralleiter entsteht. ( N 0) N V /0 3, 4A /0 7, 5Ω 3 9A /74,4 4, A+ j867, A 3, 4A, 4A j8, 67A 5, 56A j8, 67A 7, 8A / - 50,9 Z 30V /-0 j A, 9Ω /30,9 7 8, Ω + 6, 6Ω, / - 50,9 nduktivität X ωl L L 66, Ω π 50 s mh 69