Lösungen zur Aufgabensammlung der Ingenieurtechnischen Grundlagen (Elektrotechnik)

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1 Lösungen zur Aufgabensammlung der Ingenieurtechnischen Grundlagen (Elektrotechnik) Robert Dörfler < > 3. April 2014 Vorwort Achtung! Es handelt sich hiermit nur um meine Lösungen zu den Übungsaufgaben aus der Vorlesung ( 4TI-ITG-11 ). Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständig- und Richtigkeit und kann nur empfehlen alle Aufgaben selbständig zu lösen. Diese Sammlung entstand aus der Tatsache heraus, das meine L A TEX 1 - Fähigkeiten einzurosten drohten und die mühsame Bearbeitung der Aufgaben erträglicher wird, wenn nebenbei etwas,,schönes übrig bleibt. Die Nummerierung wurde mit Hilfe einiger Tricks von den bereitgestellten Übungsaufgaben weitestgehend übernommen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Welche Ladungsmenge ist in 3cm 3 Cu frei verschiebbarer Elektronen vorhanden, wenn die Elektronendichte n = 8, cm 3 ist? Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit der Elementarladungen nach 1.1, wenn der Strom 30A und der Leiterquerschnitt 3mm 2 ist. ( Elektronendichte s. 1.1.; fertige eine Skizze an! Welche Ladungsmenge Q fließt durch einen Leiter: bei konstantem Strom von 36mA innerhalb von 2s? bei quadratisch zunehmenden Strom (I=0mA und t=0s; I=9mA und t=1s; I=36mA und t=2s)? bei mit der dritten Potenz zunehmendem Strom (I=0mA und t=0s; I=9mA und t=1s; I=36mA und t=2s)? Kraft von Elementarladungen im Vakuum Welche Kraft üben 2 Elementarladungen im Vakuum im Abstand m(e = As, m e = 9, g) aufeinander aus? ( Angaben in N ) Welche Beschleunigung folgt aus für das Elektron? ( Angaben in ms 2 und in Vielfachen der Erdbeschleunigung g = 9, 81ms Die Kapazit t eines PKW-Akkumulators sei 72 Ah. Wie lange kann eine Parkleuchte brennen, wenn diese einen Strom von 400mA aufnimmt? Durch einen fließt folgende Ladungsmenge Stelle allgemein und f[r den vorliegenden Fall die Gleichung für q(t) im Bereich 0...6s auf Berechne i(t) und stelle es grafisch dar! Der Strom durch einen Leiter habe die folgende Form: Berechne die bis zu einer beliegen Zeit t geflossene Ladungsmenge als Funktion der Zeit t! Wie lang muss ein Meßdrat sein, wenn er bei einem Durchmesser von 0,08 mm einen Widerstand von R = 20Ω haben soll? (ρm s = 0, 065 Ωmm2 m ) Welche Spannung lieg zwischen zwei 40 cm voneinander entfernten Punkten einer Cu-Leitung von 1mm Durchmesser, durch welche ein Strom von 2 A fließt (ρm s = 0, Ωmm2 m ) Durch theoretische Überlegungen ergebe sich die Abhängigkeit zwischen dem Spannungsabfall über einem passiven Bauelement (z.b. nichtlinearer Widerstand) und dem Strom durch das Bauelement die Abhängigkeit U = U(I) = 10 V A 2 I Stelle diese Abhängigkeit grafisch da (0 <= I <= 6A)! Stelle den Gleichstromwiderstand grafisch dar! Stelle den differentiellen Widerstand grafisch dar! Der Wolframfaden einer Glühlampe nimmt bei 220 V einen Strom von 340mA auf. (Fadentemperatur 2500 C) Welche Leistung nimmt die Lampe auf?

3 Wie groß ist sein Widerstand bei der Arbeitstemperatur? Wie groß ist sein Widerstand bei 20 C? (α20 = 0, 0041K 1, β20 = 10 6 K 2 ) Wie groß ist sein Widerstand bei der Arbeitstemperatur? Ein zweiadriges Kupferkabel (ρ = 17, 8mΩmm 2 /m, d = 0, 8mm ) befindet sich aufgewicket auf einer Rolle, wobei die vier Anschlußklemmen zugängig sind. Zwischen den Adern hat das Kabel an einer Stelle einen Kurzschluss. Die Widerstandsmessung an den Klemmen AB ergibt R A B = 3, 55Ω, an den Klemmen CD dagegen R C D = 13, 45Ω. Berechne zunächst allgemein, dann für die Zahlenwerte die gesamte Kabellänge, den Abstand des Kurzschlusses von den Klemmen AB Ein Verbraucher wird über eine 100m lange zweiadrige Cu-Leitung (ρ = 17, 8mΩmm 2 /m, d = 0, 8mm ) an das Netz (U N = 230V ) angeschlossen Wie groß ist der Leitungswiderstand, wenn in der Leitung maximal ein Strom von 10 A fließen soll und dabei der Spannungsabfall über der Leitung nicht mehr als 2,5% der Nennspannung vo 230V sein soll? Wie groß muss dabei der Durchmesser sein? Welche Stromdicht folgt daraus bei I = 10A? Welche elektronische Feldstärke bildet sich bei diesem Strom im Leiter aus? Welche Leistung wird im Leiter umgesetzt? Wie ist das Verhältnis der im Verbraucher umgesetzten Leistung zur Verlustleistung in der Cu-Leitung? Die Energieversorgung eines Grundstücke erfolgt über eine 200m lange Doppelleitung von der Verteilerstelle ( U = 220V ). Bei einem maximalen Strom von I = 15A soll der Spannungsabfall über der Leitung 4% der Netzspannung nicht überschreiten. Berechne den erfolderlichen Mindestquerschnitt und die Gesamtmasse der Leitung, wenn diese aus Kupfer ( ρcu = 17, 8mΩmm 2 /m, d Cu = 8, 9 g ) cm aus Kupfer ( ρal = 30mΩmm 2 /m, d Al = 2, 7 g hergestellt wird!) 21 cm Ein Freileitungsseil aus Stahl-Aluminium mit dem Seilquerschnitt A = 120mm 2 darf theoretisch ständig mit 345 A belastet werden (zulässiger Dauerstrom). Der Ohmsche Widerstand eines solchen Leiters R = 0, 23 Ω km bei 20 C Welche Wärmemenge wird in einem solchen Einzelleiter von 60km Länge auf Kosten der übertragenen elektrischen Energie hervorgerufen, wenn der zulässige Dauerstrom 24 Stunden fließen soll? Wie viel m 3 Wasser könnten theoretisch mit dieser Wärmemenge um 20 K erärmt werden?

4 1.16 Ein Spannungsmesser soll den Messbereich 10 V erhalten. Das zur Verfügung stehende Drehspulmesswerk benötigt einen Messwerkstrom von 100µA für Vollausschlag. Der Widerstand der Drehspule beträgt 1300Ω. Wie groß ist der erforderliche Vorwiderstand R V? Ein Strommesser mit dem Innenwiderstand 0, 1Ω soll ein um den Fehler 10 größeren Messbereich erhalten. Was ist zu tun? Ein freies Elektron durchlaufe im Vakuum eine Spannung von 1 V. Welche Geschwindigkeit besitzt es? Netzwerkberechnung Berechne die Ersatzwiderstände R AB (Widerstandwert = Zahl in Ohm) (Hinweis zu f) Nutze die Stern-Dreieck- bzw. Dreieck-Stern- Umformung!) Berechne die Spannungsteiler! Gegeben: U 1 = 240V, R 1 = 50 Ω, R 2 = 60Ω, R 3 = 200Ω; Gesucht: U 2! Gegeben: Schaltung mit U R3 = 6V ; R 1 = 3Ω; R 2 = 8Ω; R 3 = 4Ω, Gesucht: I 1, I 2, I, U R1, U R2, U AB Berechne zu der nebenstehenden Schaltung R iersatz! Gegeben: R 1 = R 3, R 2 = R 4 ; Gesucht: Leerlaufspannung U AB (d.h. Spannung zwischen A und B, wenn keine direkte Verbindung zwischen A und B existiert bzw. über diese kein Strom fließt) Eine Spannungsquelle von 6V wird abwechselnd mit den Klemmen A-B, A-C, B-C verbunden und liefert dabei die Ströme I AB = 2, 4A, I AC = 1, 5A, I BC = 1, 33A. Wie sind die Widerstände des Dreiecks? (Empfehlung: Benutze die Transformationsgleichungen für die Stern-/Dreieck- Umformung! Bestimme zunächst die Widerstände des äquivalenten Sterns!) Stelle das vollständige Gleichungssystem zur Berechnung der Spannung U AB zwischen A und B auf. (Hinweis: Bilde mit Hilfe des Spannungs- Zählpfeiles für die Klemmenspannung U AB eine zusätzliche Masche. Erstelle nur das Gleichungssystem, keine Lösung!) Berechne mit dem Überlagerungssatz den Strom I 4 durch den Widerstand R 4! (Parallelschaltung von R nur in folgender Form angeben: R n R m ) Bestimme den aktiven Zweipol: das Leerlaufspannungsquellenersatzschaltbild! das Kurzschlussstromquellenersatzschaltbild! Gib für beide Fälle den Strom durch einen an AB angeschlossenen Belastunswiderstand R a an! Wie groß muss ein Lastwiderstand an einem aktiven Zweipol gewählt sein, damit an diesem Lastwiderstand maximale Leistung umgesetzt werden kann. (Formel mit Herleitung) Wie groß muss R 2 gewählt werden, damit in R AB maximale Leistung umgesetzt wird? Wie groß ist diese Leistung? (Formel mit Herleitung)

5 2.9.3 Wie groß ist R, wenn U q = 10V, R 1 = 5Ω, und die durch die Spannungsquelle abgegebene Leistung 100W beträgt? Wie groß wird dann R 2? Berechne den Strom durch R 4 ( Alle R k = 10Ω, Alle U q = 5V, I q = 0, 5A) (Hinweis: Zerlege die Schaltung in 2 bzw. 3 einzelne Zweipole und reduziere sie so auf eine einzige Masche!) Berechne den Strom durch R 4 mit Hilfe der Zweipoltheorie! Bestimme für den dargestellen aktiven Zweipol: das Leerlaufspannungsquellenersatzschaltbild! das Kurzschlussstomquellenersatzschaltbild! Gib für beide Fälle den Strom durch einen A-B angeschlossenen Belastungswiderstand an! Bestimme für den dargestellen aktiven Zweipol: das Leerlaufspannungsquellenersatzschaltbild! das Kurzschlussstomquellenersatzschaltbild! Gib für beide Fälle den Strom durch einen A-B angeschlossenen Belastungswiderstand R L = 5Ω an! (Alternative Empfehlung: Verwende die Stromteiler-Regel zur Bestimmung der Leerlaufspannung!) Gegeben: R 1 = R 3 = R 6 = R 8 = 10Ω, R 4 = R 5 = 30Ω, R 7 = 25Ω, R 2 = 5Ω, U q1 = 10V, U q2 = 5V ; Gesucht: I R8! Berechne den Strom I zwischen A und B bei Kurzschluss! Welchen Strom zeigt ein Strommesser mit einem Innenwiderstand von 10Ω an? Welcher relative Fehler l wird also begangen? Werte: R l 1 = 10Ω, R 2 = 50Ω, R 3 = 40Ω, R 4 = 20Ω, R 5 = 30Ω, R 6 = 100Ω, U q1 = 20V Berechne die Spannung U AB und den Innenwiderstand R AB für die nebenstehende Schaltung! Die Spannung U AB soll mit keinem größeren Fehler als 1 % gemessen werden. Wie groß muss dann der Widerstand des benutzten Voltmeters mindestens sein? (Hinweis: Betrachte den Grundstromkreis mit den Ersatzzweipolen für Voltmeter und Spannungsquelle!) Für die angegebene Schaltung sind I Ra und U Ra zu berechnen. ( U q1 = 2V,U q2 = 4V,R 3 = 10Ω,R 1 = 0, 05Ω, R 2 = 0, 1Ω, R a = 10Ω ) Wie ändern sich diese Werte, wenn U q2 umgepolt wird? Elektrische Felder Elektrische Felder - Allgemein Berechnen Sie die Kapazität eines Kondensators mit einem Plattenabstand von d = 10µm und einem Dielektrikum mit ɛ rel = 3. Die wirksame rechteckige Plattenfläche ist 3cm breit und 2cm lang

6 3.1.2 Ein Kondensator mit der Kapazität 4µF liegt seit längerer Zeit an Gleichspannung 30V Wie groß ist die gespeicherte Ladungsmenge? Wie groß ist die Stromstärke in den Zuleitungen? (Begründung) Gegeben sei ein aus drei verschiedenen Materialien zusammengesetzter Leiter mit quadratischem Querschnitt (s. Abillung, l 1 = l 2 = l 3 = L ), der vom Strom I durchflossen wird Die Elektroden A und B eines Plattenkondensators (s. Abbilung) tragen die Ladung Q Zeiche das D- und das E-Feld für ɛ r1 = 1 und ɛ r2 = 3! Berechne die Potentialverläufe ängs x (Bezugspunkt bei x = 0) für die unter genannten Werte und stelle beide in einem Diagramm dar! Wie unterscheiden sich die Spannungen? Berechne den prozentualen Unterschied für d 1 = d! Der Abstand d soll 3 klein gegenüber den Seitenabmessungen der Fläche A sein Gegeben sei ein Kondensator C = 10µF Wie groß ist seine Ladung bei U C = 1000V? Wie groß ist die gespeicherte Energie? Der Kondensator wird über eine Blitzlampe entladen, deren Löschspannung 70V + 40V beträt. Welche Energie wird maximal bzw. minimal in der Blitzlampe umgesetzt? Um wie viel Prozent schwankt also die Energie des ausgesandten Lichtes (bezogen auf den maximalen Energieumsatz)? Ein Plattenkondensator hat einen Plattendurchmesser von d 0 = 10cm und einen Plattenabstand von s = 5mm Wie groß ist die Kapazität? (Hinweis: Platten sind Kreisflächen!) Wie groß ist die Kapazität, wenn der Plattenabstand verdoppelt wird? Welche Ladungsmenge befindet sich auf den Platten, wenn eine Spannung von 200V angelegt wird? Was passiert, wenn der Plattenabstand wieder auf 5mm reduziert wird? (a) mit angelegter Spannung (b) ohne, dass die Spannungsquelle bei der Abstandsänderung anliegt)

7 3.1.7 Die beiden Zungen eines Reedkontaktes schließen sich, wenn der Körper in ein magnetisches Feld gebracht wird. Die beiden gegenüberliegenden Schaltflächen kann man als wirksame Flächen eines Kondensators ansehen, die vor dem Schalten einen Abstand von s = 0, 35mm haben. Im Relais - Datenblatt ist angegeben: Kapazität Kontakt - Kontakt: 4µF (Hiervon entfallen 70 % auf die Zuleitungskapazität. Wie groß ist die für die Kapazität wirksame Plattenfläche A? Ein Scheibenkondensator mit dem Durchmesser d = 8mm besteht aus einer (gemeinsamen) Mittelplatte und zwei außen liegenden Platten (=Parallelschaltung) Wie groß ist die Kapazität, wenn man als Dielektrikum jeweils eine 0, 4mm dicke Glimmerscheibe (ɛ r = 8) benutzt? Der Kondensator wird an eine Spannung von 20V gelegt. Welche Ladungsmenge tragen die Elektroden? Wie groß darf die Spannung am Kondensator maximal werden, wenn die Durchschlagsfeldstärke bei Glimmer 1500kV/cm beträgt? Gegeben: C 1 = 1nF, C 2 = 2nF, C 3 = 5nF. Wie groß ist die Kapazität C AB für: Schaltung Schaltung Gegeben: Alle C i = C 0. Gesucht: C AB Zeitabhängige Vorgänge Magnetismus Wie groß ist die Stromstärke I in einem langen geraden Leiter, der in 1m Abstand vom Leiter eine magnetische Feldstärke H = 50 A erzeugt? m (Hinweis Beginne mit dem Feldverlauf und dem Durchflutungsgesetz) Der Widerstand einer Relaiswicklung mit N = 2000 beträgt R = 125Ω. Bei Nennspannung U N soll eine Durchflutung (magnetische Urspannung) θ = 400A erreicht werden Wie groß muss die Nennspannung sein? Wie groß ist der magnetische Fluss Φ im Relaiskern, Relaisjoch, Relaisanker und im Luftspalt, wenn 80 % der Durchflutung zur Magnetisierung des Luftspaltes gebraucht wird? Gegeben ist der abgebildete Eisenkreis Gib das Ersatzschaltbild dieses Kreises an! Wie groß ist der Querschnitt des Mittelschenkels dieses Mantelkernes zu wählen, damit überall die gleiche Flussdichte herrscht? (Begründung!) Dicke: überall 50mm

8 4.3.3 Wie groß muss die magnetische Urspannung sein, damit die Flussdichte in den einzelnen Schenkeln B = 0, 8T wird? (Hinweis: Beginne mit einer Skizze der Feldlinien! Beachte die mittlere Feldlinienlänge für jeden magnetischen Teilwiderstand!) Wie groß wird di magnetische Feldstärke im Eisen? Wie groß würde die magnetische Feldstärke im Luftspalt sein, wenn in jeden Schenkel ein Spalt von 1mm Länge eingebracht würde? Berechne den magnetischen Widerstand des angegebenen Eisenkreises! Welche magnetische Urspannung ist notwendig, um einen Fluss von Φ = W b hindurch zu treiben? Berechne die Induktivität der abgebildeten Spule! Der Mittelschenkel habe einen Querschnitt von A M = 600mm 2, die Seitenschenkel je A S = 300mm 2 ; µ r el = 1200, N = 3500) Wie viele Windungen müssen abgewickelt werden, damit die Induktivität um 3% abnimmt? Welcher Strom muss fließen, damit die Flussdichte von B = 1, 6T erzielt wird? Der Eisenkreis werde durch einen Schnitt senkrecht zu den (Mittelund Seiten-) Schenkeln aufgetrennt. Mit welcher Kraft würden sich die Schenkel anziehen? (Hinweis: Benutze als Ansatz den Energieerhaltungssatz!) Im Eisenkreis mit µ r el = 400 soll eine Flussdichte B F e = 1 V s erzeugt m 2 werden Wie groß wird der Magetfluss θ? Wie groß werden die Feldstärken H L und H F e? Gib allgemein in Abhängigkeit vom Luftspalt I L die magnetischen Widerstände R mf e, R ml und die magnetischen Spannungsabfälle V F e, V l im Eisen und im Luftspalt an! Wie ist θ mit V F e und V l verknüpft? Berechne allgemein B F e B l, H F e H l! Der skizzierte Eisenring entspricht im Prinzip einem Elektromagneten. Die Eisenteile A und B bestehen aus Stahlguß. Die mittlere Weglänge des Eisens ist etwa l F e = 52cm. Aufgrund der geringen Luftspaltbreiten kann die magnetische Flußdichte für den gesamten Kreis bei gleichbleibenden Querschnitt als konstant betrachtet werden. Die Erregerwicklung befindet sich auf Teil A, sie ist für 220V ausgelegt. Die Wicklung besitzt 1600 Windungen und den Widerstand R = 343, 5Ω Welche Durchflutung erzeugt die Erregerspule? Welche Permeabilität besitzt das Eisen, wenn im Luftspalt eine Induktion B L = V s herrschen soll? (Hinweis: Verwende cm 2 die Magnetisierungskurven unter 4! Wie groß ist θ?

9 4.7.4 Wie groß ist R M des gesamten Kreises? Wie groß ist R mf e? Wie groß ist die Länge eines jeden Luftspaltes? Wie viel % trägt der magnetische Widerstand des Luftspaltes zum Gesamtwiderstand bei? Wie groß ist der magnetische Spannungsabfall an beiden Luftspalten bzw. im Eisen? Ein magnetischer Kreis aus Stahlguss hat überall einen gleichen Querschnitt, die Länge sei 36cm. Die Spule bestehe aus 500 Windungen. Die Flussdichte im Luftspalt von 1mm Länge soll B L = 1, 2T betragen. Berechne die erforderliche Stromstärke I. (Hinweis: Verwende die Magnetisierungskurven unter 4.) Zwei Spulen sind um einen unverzweigten Eisenkern von 0, 7m Länge mit Luftspalt (0,5mm Länge) gewickelt. Die Streuung sll vernachlässigt werden. I 1 = 1, 3A, N 1 = 3000, N 2 = Gesucht ist der Strom I 2 bei vorgegebenem Strom I 1, damit im Luftspalt die Flussdichte B 0 = 1, 6T erzeugt wird. (Hinweis: Verwende die Magnetisierungskurven unter 4!) Wie viel Prozent der Durchflutung entfallen auf den Luftspalt? Berechne für I L = 0 die Flussdichte in den Seitenschenkeln, , wenn sie im Mittelschenkel mit B 2 vorgegeben ist! (Dicke sei überall gleich!) Welcher Erregerstrom ist für die in berechnete Flussdichte notwendig? Windungszahl N Berechne den Fluss im Mittelschenkel als θ = f(l), I L << l F e und stelle diese Funktion normiert dar! Es soll homogene Feldverteilung angenommen werden An einer Spule mit der Induktivität L = 100µH wird folgende Spannung gemessen: Bestimmte den Stromverlauf i L (t) für i(0) = 0. (Zeichne zunächst u(t) auf!) Kann man den Spannungs-Zeitflächen eine Bedeutung geben? Wie groß ist die im Magnetfeld gespeicherte Energie zu den Zeitpunkten t = 12µs, t = 16µs? Durch eine Spule mit der Induktivität 100µH werde der veränderliche Strom i(t) geschickt: i(t) sei bis 4µs 0, nehme zwischen 4µs und 12µs linear bis 0.3A ab und nehme bis t = 16µs wieder linear bis 0 zu Stelle den Strom i(t) grafisch dar Stelle die durch Selbstinduktion über L abfallende Spannung grafisch dar! Wie verhält sich die Spannung über L, wenn man zum Strom nach 4.12 einen konstanten Strom I 1 = 0, 2A addiert?

10 4.13 Eine Spule mit Eisenkern (Dynamoblech) und Luftspalt erzeugt bei einem Strom von 0, 1A und 500 Windungen im Spalt eine Flussdichte von 0, 8T (Streufluss sei vernachlässigt) Es sei l F e = 5cm; A F e = 4cm 2. Berechne die Luftspaltlänge! Wie groß ist die Induktivität bei N = 500 Windungen? Wie würde sich die Induktivität verändern, wenn man den Luftspalt auf 0, 1mm verändern würde? Ist die Induktivität der Spule stromunabhängig, also konstant? Ein magnetischer Kreis habe zwei Wicklungen mit den Windungszahlen N 1 = N 2 = 100. Zu den Wicklungen gehören die Induktivitäten L 1 und L 2. Wie groß ist die Gesamtinduktivität bei den beiden möglichen Reihenschaltungen der Wicklungen (gleich gewickelt bzw. entgegen gewickelt), wenn der Kopplungsfaktor k = 1 ist? Der magnetische Widerstand ist R m = 10 mh Für die Berechnung der Induktivität von Spulen gilt die Formel: L = N 2 µ 0µ rel A l Was bedeuten die Formelzeichen A und l bei Ringspulen (= Toroid) und Zylinderspulen? (Hinweis: Benutze zum besseren Verständnis der Spulenarten die Literatur und das Internet!) Für die Ringspule wird L = N 2 µ 0µ rel A angegeben. Besteht Übereinstimmung 2πR der Formeln? Ringspulen ohne Luftspalt mit zwei gleichen Wicklungen und entgegengesetztem Wicklungssinn werden Zweifachdrosseln bzw. stromkompensierte Drosselspulen genannt. Sie werden in der Automatisierungs- und Kommunikationstechnik zu Funkentstörung zwischen Stromversorgung und Verbraucher geschaltet (eine Wicklung in die eine Zuleitung, eine in die Fortleitung des Betriebsstromes). (Hinweis: Benutze zum besseren Verständnis der Anordnung die Literatur und das Internet!) Wie groß ist die Gesamtinduktivität L? Wie groß ist die Gesamtinduktivität für Störströme, die von außen herrürhren, also in beiden Leitungen gleiche Richtung haben? Wechselstrom Wechselstrom Berechne für die Funktion: Berechne für die angegebene periodische Funktion: Berechne für die in den folgenden Abbildungen dargestellten, periodisch verlaufenden Spannungen den Effektivwert! Berechne den Gleichstrommittelwert, den Gleichrichtwert und den Effektivwert: Komplexe Zahlen Berechne c und d aus der komplexen Beziehung c]jd = und stelle die erhaltene komplexe Zahl durch einen Zeiger in der komplexen Ebene dar!

11 5.2.2 Bestimme a und b aus den folgenden Gleichungen: a j5b = jb j 60 a+b+j(b 5) = j a+j Bringe den folgenden komplexen Ausdruck auf die Form c + jd (x,y reelle Größen x > y) Ein Zeiger A = 4(1+j 3) soll in mathematisch positiver Richtung um 120 gedreht werden und doppelt so lang gemacht werden. Berechne den neuen Zeiger A in kartesischer und Exponentialform und verdeutliche die Aufgabe grafisch! Berechne die komplexen Zahlen: Berechne den Betrag, Phase, Realteil und Imaginärteil von: z = (3+5j)(6 7j) 8 9j z = (6 + j)(5 3j)(2 + 2j) z = (2+j)(3 j)(1 2j) 4+3j) z = j z = 5e j45 6e j z = 2, 5e j15 + 2, 5e j Wie lautet die komplexe Größe Z a bzw. Z b, die aus der vorgegebenen Z = x + jy durch Spiegelung an der reellen Achse hervorgeht Spiegelung an der imaginären Achse hervorgeht Was ergibt Z Z a bzw. Z Z b? Veranschauliche beide Produkte in der komplexen Ebene! (Zahlenbeispiel: x = 2, y = Komplexe Wechselstromberechnung Bestimme über die komplexe Ebene und mit Hilfe der Zeigerdarstellung Amplute I und Phase φ des Stromes i(t) = I cos(ωt+φ) = I 1 cos(ωt + π) + i 2 2 cos ωt + I 3 cos(ωt π) allgemein für I 1 = 5A; I 2 = 4A;I 3 = 2A Wie lautet i(t)? Berechne den Strom I c durch die Kapazität der Schaltung durch unmittelbaren Ansatz nach Ersatz der Schaltelemente durch ihre Widerstandsoperatoren und bei gleichzeitiger Anwendung der Zweipoltheorie allgemein Löse mit der Stromteilerregel! Differentialgleichungen Zeigerdiagramm Ortskurven Vierpole

12 1 Grundlagen 1.1 Welche Ladungsmenge ist in 3cm 3 Cu frei verschiebbarer Elektronen vorhanden, wenn die Elektronendichte n = 8, cm 3 ist? Die gewünschte Anzahl an Elektronen wird mittels Raumladungsdichte ρ = Q/V in der Dimension As/m 3 durch die Integration über das ladungsbesetzte Volumen berechnet. Q = n e ρ = Q V Q GES = ρ dv V = ρ V geg. : ρ = 8, cm 3 V = 3 cm 3 e = 1, As Q GES = n e V = cm 3 1, As 3 cm 3 = 4, C = 4, As (1) 12

13 1.2 Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit der Elementarladungen nach 1.1, wenn der Strom 30A und der Leiterquerschnitt 3mm 2 ist. ( Elektronendichte s. 1.1.; fertige eine Skizze an! Abbildung 1: Skizze eines Leiters mit Ladungen Die Stromstärke ist die in einem Zeitabschnit t durch den Querschnitt eines Leiters bewegte Elektrizitäts- bzw. Ladungsmenge. I = Q t = N e t (2) Aus der Mechanik ist bekannt t = s/v und somit ergibt sich die Geschwindigkeit aus dem Weg/Zeit-Gesetz v = t/s. I = N e v s I s = N e v I s N e = v (3) In diesem Fall berechnet sich N aus N = n A s, denn das Volumen ergibt sich aus dem Querschnitt des Leites A und der Länge s. 13

14 I s n A s e I n A e = v = v geg. : ρ = 8, /cm 3 e = 1, As A = 3mm 2 v = 30A 8, mm 3 3mm 2 1, = mm s (4) Um das Ergebnis der gegebenen Lösung anzupassen, ist die Umrechnung von cm 3 nach mm 3 zu beachten. 1.3 Welche Ladungsmenge Q fließt durch einen Leiter: bei konstantem Strom von 36mA innerhalb von 2s? geg. : I = 36mA t = 2s I = Q t Q = I t = 36mA 2s = 72mAs (5) 14

15 t ( in s ) I ( in ma) Abbildung 2: Stromstärken zum gegebenen Zeitpunkt bei quadratisch zunehmenden Strom (I=0mA und t=0s; I=9mA und t=1s; I=36mA und t=2s)? Wie sich aus der Wertetabelle ergibt, handelt es sich um eine quadratische Funktion der Form y = 3 x 2. Durch Lösen des Integrals nach der Zeit, erlangt man die geforderte Ladungsmenge. f(x) f(x) = 9 x x Abbildung 3: Stromstärken zum gegebenen Zeitpunkt I = Q t Q = I t I 2 di dt = ma 2s = 24 mas (6) 15

16 t ( in s ) I ( in ma) Abbildung 4: Stromstärken zum gegebenen Zeitpunkt bei mit der dritten Potenz zunehmendem Strom (I=0mA und t=0s; I=9mA und t=1s; I=36mA und t=2s)? Analog zur Aufgabe nur in kubischen Form y = 3 x 3. f(x) f(x) = 3 x x Abbildung 5: Stromstärken zum gegebenen Zeitpunkt I = Q t Q = I t I 3 di dt = ma 2s = 24 mas (7) 16

17 1.4 Kraft von Elementarladungen im Vakuum Welche Kraft üben 2 Elementarladungen im Vakuum im Abstand m(e = As, m e = 9, g) aufeinander aus? ( Angaben in N ) Welche Beschleunigung folgt aus für das Elektron? ( Angaben in ms 2 und in Vielfachen der Erdbeschleunigung g = 9, 81ms Die Kapazit t eines PKW-Akkumulators sei 72 Ah. Wie lange kann eine Parkleuchte brennen, wenn diese einen Strom von 400mA aufnimmt? 1.6 Durch einen fließt folgende Ladungsmenge Stelle allgemein und f[r den vorliegenden Fall die Gleichung für q(t) im Bereich 0...6s auf Berechne i(t) und stelle es grafisch dar! 1.7 Der Strom durch einen Leiter habe die folgende Form: Berechne die bis zu einer beliegen Zeit t geflossene Ladungsmenge als Funktion der Zeit t! 1.8 Wie lang muss ein Meßdrat sein, wenn er bei einem Durchmesser von 0,08 mm einen Widerstand von R = 20Ω haben soll? (ρm s = 0, 065 Ωmm2 m ) 17

18 Abbildung 6: Skizze eines Leiters mit Ladungen 1.9 Welche Spannung lieg zwischen zwei 40 cm voneinander entfernten Punkten einer Cu-Leitung von 1mm Durchmesser, durch welche ein Strom von 2 A fließt (ρm s = 0, Ωmm2 m ) geg. : δm s = 0, Ωmm2 m I = 2A l = 40cm d = 1mm r = 0, 5mm ges. : U U = R A B I = δ l A I = Ωmm2 m 0, 4 m mm 2 A = = V V A mm2 m 0, 4 m mm 2 A = 18, 19mV (8) 18

19 Um das Ergebnis der gegebenen Lösung anzupassen, ist die Umrechnung von cm 3 nach mm 3 zu beachten Durch theoretische Überlegungen ergebe sich die Abhängigkeit zwischen dem Spannungsabfall über einem passiven Bauelement (z.b. nichtlinearer Widerstand) und dem Strom durch das Bauelement die Abhängigkeit U = U(I) = 10 V A 2 I 2 U(I) = 10 V A 2 I2 (9) Stelle diese Abhängigkeit grafisch da (0 <= I <= 6A)! U(I) U(I) = 10 V I 2 A I Abbildung 7: Abhängigkeit U = U(I) = 10 V A 2 I Stelle den Gleichstromwiderstand grafisch dar! Stelle den differentiellen Widerstand grafisch dar! 19

20 U(I) R(I) = U(I) I I Abbildung 8: Gleichstromwiderstand 1.11 Der Wolframfaden einer Glühlampe nimmt bei 220 V einen Strom von 340mA auf. (Fadentemperatur 2500 C) geg. : U = 220V J = 340mA (10) Welche Leistung nimmt die Lampe auf? W = U Q = U I t P = W t = U I t t = 220V 0, 340A = 74, 8 V A = 748 W (11) 20

21 Wie groß ist sein Widerstand bei der Arbeitstemperatur? U = R I = U I t R = U I = 220 V 0, 340 A = 647, 05Ω (12) Wie groß ist sein Widerstand bei 20 C? (α20 = 0, 0041K 1, β20 = 10 6 K 2 ) Wie groß ist sein Widerstand bei der Arbeitstemperatur? 1.12 Ein zweiadriges Kupferkabel (ρ = 17, 8mΩmm 2 /m, d = 0, 8mm ) befindet sich aufgewicket auf einer Rolle, wobei die vier Anschlußklemmen zugängig sind. Zwischen den Adern hat das Kabel an einer Stelle einen Kurzschluss. Die Widerstandsmessung an den Klemmen AB ergibt R A B = 3, 55Ω, an den Klemmen CD dagegen R C D = 13, 45Ω. Berechne zunächst allgemein, dann für die Zahlenwerte die gesamte Kabellänge, den Abstand des Kurzschlusses von den Klemmen AB. 21

22 1.13 Ein Verbraucher wird über eine 100m lange zweiadrige Cu-Leitung (ρ = 17, 8mΩmm 2 /m, d = 0, 8mm ) an das Netz (U N = 230V ) angeschlossen Wie groß ist der Leitungswiderstand, wenn in der Leitung maximal ein Strom von 10 A fließen soll und dabei der Spannungsabfall über der Leitung nicht mehr als 2,5% der Nennspannung vo 230V sein soll? Wie groß muss dabei der Durchmesser sein? Welche Stromdicht folgt daraus bei I = 10A? Welche elektronische Feldstärke bildet sich bei diesem Strom im Leiter aus? Welche Leistung wird im Leiter umgesetzt? Wie ist das Verhältnis der im Verbraucher umgesetzten Leistung zur Verlustleistung in der Cu-Leitung? 1.14 Die Energieversorgung eines Grundstücke erfolgt über eine 200m lange Doppelleitung von der Verteilerstelle ( U = 220V ). Bei einem maximalen Strom von I = 15A soll der Spannungsabfall über der Leitung 4% der Netzspannung nicht überschreiten. Berechne den erfolderlichen Mindestquerschnitt und die Gesamtmasse der Leitung, wenn diese aus Kupfer ( ρcu = 17, 8mΩmm 2 /m, d Cu = 8, 9 g cm 3 ) aus Kupfer ( ρal = 30mΩmm 2 /m, d Al = 2, 7 g cm 3 hergestellt wird!) 1.15 Ein Freileitungsseil aus Stahl-Aluminium mit dem Seilquerschnitt A = 120mm 2 darf theoretisch ständig mit 345 A belastet werden (zulässiger Dauerstrom). Der Ohmsche Widerstand eines solchen Leiters R = 0, 23 Ω km bei 20 C Welche Wärmemenge wird in einem solchen Einzelleiter von 60km Länge auf Kosten der übertragenen elektrischen Energie hervorgerufen, wenn der zulässige Dauerstrom 24 Stunden fließen soll? Wie viel m 3 Wasser könnten theoretisch mit dieser Wärmemenge um 20 K erärmt werden? 22

23 1.16 Ein Spannungsmesser soll den Messbereich 10 V erhalten. Das zur Verfügung stehende Drehspulmesswerk benötigt einen Messwerkstrom von 100µA für Vollausschlag. Der Widerstand der Drehspule beträgt 1300Ω. Wie groß ist der erforderliche Vorwiderstand R V? 1.17 Ein Strommesser mit dem Innenwiderstand 0, 1Ω soll ein um den Fehler 10 größeren Messbereich erhalten. Was ist zu tun? 1.18 Ein freies Elektron durchlaufe im Vakuum eine Spannung von 1 V. Welche Geschwindigkeit besitzt es? 23

24 2 Netzwerkberechnung Berechne die Ersatzwiderstände R AB (Widerstandwert = Zahl in Ohm) (Hinweis zu f) Nutze die Stern-Dreieck- bzw. Dreieck-Stern-Umformung!) Abbildung 9: Widerstandsnetzwerke Berechne die Spannungsteiler! Abbildung 10: Widerstandsnetzwerke 24

25 2.1 Gegeben: U 1 = 240V, R 1 = 50 Ω, R 2 = 60Ω, R 3 = 200Ω; Gesucht: U 2! Abbildung 11: Widerstandsnetzwerk 2.2 Gegeben: Schaltung mit U R3 = 6V ; R 1 = 3Ω; R 2 = 8Ω; R 3 = 4Ω, Gesucht: I 1, I 2, I, U R1, U R2, U AB Abbildung 12: Widerstandsnetzwerk 2.3 Berechne zu der nebenstehenden Schaltung R iersatz! Abbildung 13: Widerstandsnetzwerk 25

26 2.4 Gegeben: R 1 = R 3, R 2 = R 4 ; Gesucht: Leerlaufspannung U AB (d.h. Spannung zwischen A und B, wenn keine direkte Verbindung zwischen A und B existiert bzw. über diese kein Strom fließt). Abbildung 14: Widerstandsnetzwerk 2.5 Eine Spannungsquelle von 6V wird abwechselnd mit den Klemmen A-B, A-C, B-C verbunden und liefert dabei die Ströme I AB = 2, 4A, I AC = 1, 5A, I BC = 1, 33A. Wie sind die Widerstände des Dreiecks? (Empfehlung: Benutze die Transformationsgleichungen für die Stern-/Dreieck-Umformung! Bestimme zunächst die Widerstände des äquivalenten Sterns!) Abbildung 15: Widerstandsnetzwerk 2.6 Stelle das vollständige Gleichungssystem zur Berechnung der Spannung U AB zwischen A und B auf. (Hinweis: Bilde mit Hilfe des Spannungs-Zählpfeiles für die Klemmenspannung U AB eine zusätzliche Masche. Erstelle nur das Gleichungssystem, keine Lösung!) 26

27 Abbildung 16: Widerstandsnetzwerk Abbildung 17: Widerstandsnetzwerk 2.7 Berechne mit dem Überlagerungssatz den Strom I 4 durch den Widerstand R 4! (Parallelschaltung von R nur in folgender Form angeben: R n R m ) 2.8 Bestimme den aktiven Zweipol: Abbildung 18: Widerstandsnetzwerk das Leerlaufspannungsquellenersatzschaltbild! 27

28 2.8.2 das Kurzschlussstromquellenersatzschaltbild! Gib für beide Fälle den Strom durch einen an AB angeschlossenen Belastunswiderstand R a an! 2.9 Wie groß muss ein Lastwiderstand an einem aktiven Zweipol gewählt sein, damit an diesem Lastwiderstand maximale Leistung umgesetzt werden kann. (Formel mit Herleitung) Wie groß muss R 2 gewählt werden, damit in R AB maximale Leistung umgesetzt wird? Wie groß ist diese Leistung? (Formel mit Herleitung) Wie groß ist R, wenn U q = 10V, R 1 = 5Ω, und die durch die Spannungsquelle abgegebene Leistung 100W beträgt? Wie groß wird dann R 2? 2.10 Berechne den Strom durch R 4 ( Alle R k = 10Ω, Alle U q = 5V, I q = 0, 5A) (Hinweis: Zerlege die Schaltung in 2 bzw. 3 einzelne Zweipole und reduziere sie so auf eine einzige Masche!) Abbildung 19: Widerstandsnetzwerk 28

29 2.11 Berechne den Strom durch R 4 mit Hilfe der Zweipoltheorie! Abbildung 20: Widerstandsnetzwerk 2.12 Bestimme für den dargestellen aktiven Zweipol: Abbildung 21: Widerstandsnetzwerk das Leerlaufspannungsquellenersatzschaltbild! das Kurzschlussstomquellenersatzschaltbild! Gib für beide Fälle den Strom durch einen A-B angeschlossenen Belastungswiderstand an! 2.13 Bestimme für den dargestellen aktiven Zweipol: 29

30 Abbildung 22: Widerstandsnetzwerk das Leerlaufspannungsquellenersatzschaltbild! das Kurzschlussstomquellenersatzschaltbild! Gib für beide Fälle den Strom durch einen A-B angeschlossenen Belastungswiderstand R L = 5Ω an! (Alternative Empfehlung: Verwende die Stromteiler-Regel zur Bestimmung der Leerlaufspannung!) 2.14 Gegeben: R 1 = R 3 = R 6 = R 8 = 10Ω, R 4 = R 5 = 30Ω, R 7 = 25Ω, R 2 = 5Ω, U q1 = 10V, U q2 = 5V ; Gesucht: I R8! Abbildung 23: Widerstandsnetzwerk 2.15 Berechne den Strom I 30

31 Abbildung 24: Widerstandsnetzwerk zwischen A und B bei Kurzschluss! Welchen Strom zeigt ein Strommesser mit einem Innenwiderstand von 10Ω an? Welcher relative Fehler l l wird also begangen? Werte: R 1 = 10Ω, R 2 = 50Ω, R 3 = 40Ω, R 4 = 20Ω, R 5 = 30Ω, R 6 = 100Ω, U q1 = 20V Berechne die Spannung U AB Abbildung 25: Widerstandsnetzwerk 31

32 und den Innenwiderstand R AB für die nebenstehende Schaltung! Die Spannung U AB soll mit keinem größeren Fehler als 1 % gemessen werden. Wie groß muss dann der Widerstand des benutzten Voltmeters mindestens sein? (Hinweis: Betrachte den Grundstromkreis mit den Ersatzzweipolen für Voltmeter und Spannungsquelle!) 2.17 Für die angegebene Schaltung sind... Abbildung 26: Widerstandsnetzwerk I Ra und U Ra zu berechnen. ( U q1 = 2V,U q2 = 4V,R 3 = 10Ω,R 1 = 0, 05Ω, R 2 = 0, 1Ω, R a = 10Ω ) Wie ändern sich diese Werte, wenn U q2 umgepolt wird? 32

33 3 Elektrische Felder 3.1 Elektrische Felder - Allgemein Berechnen Sie die Kapazität eines Kondensators mit einem Plattenabstand von d = 10µm und einem Dielektrikum mit ɛ rel = 3. Die wirksame rechteckige Plattenfläche ist 3cm breit und 2cm lang. geg. : ɛ rel = 3 A = a b = 3cm 2cm = 6cm 2 d = 1µm ges. : C C = A ɛ r ɛ 0 = 3 8, A s V m 6cm3 l AB cm C = A ɛ r ɛ 0 = 3 8, A s 0, 006m3 V m l AB m = 1, 59µF (13) Ein Kondensator mit der Kapazität 4µF liegt seit längerer Zeit an Gleichspannung 30V. geg. : C = 4µF = 4µ A s V U = 30V (14) Wie groß ist die gespeicherte Ladungsmenge? Q = C U = 4µ A s V 30V = 120A s = 120µC (15) Wie groß ist die Stromstärke in den Zuleitungen? (Begründung) 33

34 3.1.3 Gegeben sei ein aus drei verschiedenen Materialien zusammengesetzter Leiter mit quadratischem Querschnitt (s. Abillung, l 1 = l 2 = l 3 = L ), der 3 vom Strom I durchflossen wird. Das Verhältnis der Leitfähigkeiten sei κ 1 : κ 2 : κ 3 = 1 : 2 : 3. Zeichne Feldstärke-, und Stromdichtefelder, berechne das Verhältnis der Teilspannungen und stelle die Verläufe der Feldstärke, der Stromdichte, und des Potentials (Bezugspunkt bei x = L) längs des Leiters grafisch dar! Abbildung 27: Zusammengesetzter Leiter 34

35 3.1.4 Die Elektroden A und B eines Plattenkondensators (s. Abbilung) tragen die Ladung Q Abbildung 28: Elektroden A und B eines Plattenkondensators Zeiche das D- und das E-Feld für ɛ r1 = 1 und ɛ r2 = 3! Begründung: D 1 = D 2 =... = D n das D-Feld bleibt immer gleich. Allerdings gilt beim E-Feld:,,Die Feldstärke ist da am größten, wo die Pemitivitätszahl am kleinsten ist. Aus den gegebenen Werten ergibt sich somit ein Verhältnis von 3:1. Abbildung 29: D-Feld, E-Felder im Plattenkondensator Berechne die Potentialverläufe ängs x (Bezugspunkt bei x = 0) für die unter genannten Werte und stelle beide in einem Diagramm dar! Wie unterscheiden sich die Spannungen? Berechne den prozentualen Unterschied für d 1 = d! Der Abstand d soll klein gegenüber den Seitenabmessungen 3 der Fläche A sein. 35

36 3.1.5 Gegeben sei ein Kondensator C = 10µF Wie groß ist seine Ladung bei U C = 1000V? Wie groß ist die gespeicherte Energie? Der Kondensator wird über eine Blitzlampe entladen, deren Löschspannung 70V + 40V beträt. Welche Energie wird maximal bzw. minimal in der Blitzlampe umgesetzt? Um wie viel Prozent schwankt also die Energie des ausgesandten Lichtes (bezogen auf den maximalen Energieumsatz)? 36

37 3.1.6 Ein Plattenkondensator hat einen Plattendurchmesser von d 0 = 10cm und einen Plattenabstand von s = 5mm. Abbildung 30: D-Feld, E-Felder im Plattenkondensator Wie groß ist die Kapazität? (Hinweis: Platten sind Kreisflächen!) geg. : C = Q U = ɛ A l A = π d2 4 = m 2 ges. : C C = ɛ A l = 8, A s 0, 07583m2 V m 0, 005m = 13, F = 13, 9pF (16) Wie groß ist die Kapazität, wenn der Plattenabstand verdoppelt wird? ges. : C doppelterabstand C = ɛ A 2l = 6, F A s 0, 07583m2 = 8, V m 0, 01m = 6, 95pF (17) 37

38 Welche Ladungsmenge befindet sich auf den Platten, wenn eine Spannung von 200V angelegt wird? Was passiert, wenn der Plattenabstand wieder auf 5mm reduziert wird? (a) mit angelegter Spannung (b) ohne, dass die Spannungsquelle bei der Abstandsänderung anliegt) Die beiden Zungen eines Reedkontaktes schließen sich, wenn der Körper in ein magnetisches Feld gebracht wird. Die beiden gegenüberliegenden Schaltflächen kann man als wirksame Flächen eines Kondensators ansehen, die vor dem Schalten einen Abstand von s = 0, 35mm haben. Im Relais - Datenblatt ist angegeben: Kapazität Kontakt - Kontakt: 4µF (Hiervon entfallen 70 % auf die Zuleitungskapazität. Wie groß ist die für die Kapazität wirksame Plattenfläche A? Ein Scheibenkondensator mit dem Durchmesser d = 8mm besteht aus einer (gemeinsamen) Mittelplatte und zwei außen liegenden Platten (=Parallelschaltung) Wie groß ist die Kapazität, wenn man als Dielektrikum jeweils eine 0, 4mm dicke Glimmerscheibe (ɛ r = 8) benutzt? Der Kondensator wird an eine Spannung von 20V gelegt. Welche Ladungsmenge tragen die Elektroden? Wie groß darf die Spannung am Kondensator maximal werden, wenn die Durchschlagsfeldstärke bei Glimmer 1500kV/cm beträgt? Gegeben: C 1 = 1nF, C 2 = 2nF, C 3 = 5nF. Wie groß ist die Kapazität C AB für: Schaltung 1 Abbildung 31: Kondensatornetzwerk 38

39 Schaltung 2 Abbildung 32: Kondensatornetzwerk Gegeben: Alle C i = C 0. Gesucht: C AB Abbildung 33: Kondensatornetzwerk 39

40 3.2 Zeitabhängige Vorgänge 40

41 4 Magnetismus Abbildung 34: Magnetisierungskurven 41

42 4.1 Wie groß ist die Stromstärke I in einem langen geraden Leiter, der in 1m Abstand vom Leiter eine magnetische Feldstärke H = 50 A erzeugt? (Hinweis m Beginne mit dem Feldverlauf und dem Durchflutungsgesetz) Abbildung 35: Leiter geg. : H = 50 A m H = θ l = I N l B = µ 0 H B = µ 0 I 2πr I = B 2πr µ 0 = 50 A 2π 1m m = 314, 159A (18) 42

43 4.2 Der Widerstand einer Relaiswicklung mit N = 2000 beträgt R = 125Ω. Bei Nennspannung U N soll eine Durchflutung (magnetische Urspannung) θ = 400A erreicht werden. Abbildung 36: Relaiswicklung Wie groß muss die Nennspannung sein? R M = V Φ ges.θ θ = H l = N I I = θ N = 400 A 2000 = 0, 2 A U N = R I = 25Ω 0, 2 A = 25V (19) 43

44 4.2.2 Wie groß ist der magnetische Fluss Φ im Relaiskern, Relaisjoch, Relaisanker und im Luftspalt, wenn 80 % der Durchflutung zur Magnetisierung des Luftspaltes gebraucht wird? geg. : l L = 1mm d Kern = 1cm ges. : Φ φ = B A = µ H A A = π 4 d2 H = θ l = N I l = , 2 A 0, 001m = A m φ = B A = µ H A = 4π A m π 0, 01m2 4 = s (20) 44

45 4.3 Gegeben ist der abgebildete Eisenkreis Abbildung 37: Eisenkreis Gib das Ersatzschaltbild dieses Kreises an! Abbildung 38: ESB der Spule mit Mantelkern 45

46 4.3.2 Wie groß ist der Querschnitt des Mittelschenkels dieses Mantelkernes zu wählen, damit überall die gleiche Flussdichte herrscht? (Begründung!) Dicke: überall 50mm Wie groß muss die magnetische Urspannung sein, damit die Flussdichte in den einzelnen Schenkeln B = 0, 8T wird? (Hinweis: Beginne mit einer Skizze der Feldlinien! Beachte die mittlere Feldlinienlänge für jeden magnetischen Teilwiderstand!) Wie groß wird di magnetische Feldstärke im Eisen? Wie groß würde die magnetische Feldstärke im Luftspalt sein, wenn in jeden Schenkel ein Spalt von 1mm Länge eingebracht würde? 46

47 4.4 Berechne den magnetischen Widerstand... Abbildung 39: Eisenkreis des angegebenen Eisenkreises! geg. : A = 25 cm 2 l = 10 cm l L = 1 mm µ rel = µ rf e = 3000 (21) Abbildung 40: Magnetisches Ersatzschaltbild 47

48 l Gesamt = 3 l + (l l L ) l Gesamt = 30 cm + (10 cm 0, 1 cm) = 39, 9 cm = 0, 399m R m = R mf e + R mluft R m = R m = l Gesamt µ 0 µ rf e A + l L µ 0 A 0, 399m 0, 001m + 4 π 10 7 V s , 0025m2 4 π 10 A m 7 V s 0, 0025m2 A m R m = , 101 A V s = 360, 645 ka V s (22) Welche magnetische Urspannung ist notwendig, um einen Fluss von Φ = W b hindurch zu treiben? geg.φ = W b) R M = V Φ V = R M Φ = , 101 A V s V s = 108, 1935 A (23) 48

49 4.5 Berechne die Induktivität der abgebildeten Spule! Abbildung 41: Spule Der Mittelschenkel habe einen Querschnitt von A M = 600mm 2, die Seitenschenkel je A S = 300mm 2 ; µ r el = 1200, N = 3500) Wie viele Windungen müssen abgewickelt werden, damit die Induktivität um 3% abnimmt? Welcher Strom muss fließen, damit die Flussdichte von B = 1, 6T erzielt wird? 49

50 Abbildung 42: Eisenkreis Der Eisenkreis werde durch einen Schnitt senkrecht zu den (Mittel- und Seiten-) Schenkeln aufgetrennt. Mit welcher Kraft würden sich die Schenkel anziehen? (Hinweis: Benutze als Ansatz den Energieerhaltungssatz!) 4.6 Im Eisenkreis mit µ r el = 400 soll eine Flussdichte B F e = 1 V s m 2 erzeugt werden Wie groß wird der Magetfluss θ? Wie groß werden die Feldstärken H L und H F e? Gib allgemein in Abhängigkeit vom Luftspalt I L die magnetischen Widerstände R mf e, R ml und die magnetischen Spannungsabfälle V F e, V l im Eisen und im Luftspalt an! 50

51 4.6.4 Wie ist θ mit V F e und V l verknüpft? Berechne allgemein B F e B l, H F e H l! 4.7 Der skizzierte Eisenring entspricht im Prinzip einem Elektromagneten. Die Eisenteile A und B bestehen aus Stahlguß. Die mittlere Weglänge des Eisens ist etwa l F e = 52cm. Aufgrund der geringen Luftspaltbreiten kann die magnetische Flußdichte für den gesamten Kreis bei gleichbleibenden Querschnitt als konstant betrachtet werden. Die Erregerwicklung befindet sich auf Teil A, sie ist für 220V ausgelegt. Die Wicklung besitzt 1600 Windungen und den Widerstand R = 343, 5Ω. Abbildung 43: Eisenring Welche Durchflutung erzeugt die Erregerspule? 51

52 4.7.2 Welche Permeabilität besitzt das Eisen, wenn im Luftspalt eine Induktion B L = V s herrschen soll? (Hinweis: Verwende die cm 2 Magnetisierungskurven unter 4! Wie groß ist θ? Wie groß ist R M des gesamten Kreises? Wie groß ist R mf e? Wie groß ist die Länge eines jeden Luftspaltes? Wie viel % trägt der magnetische Widerstand des Luftspaltes zum Gesamtwiderstand bei? Wie groß ist der magnetische Spannungsabfall an beiden Luftspalten bzw. im Eisen? 4.8 Ein magnetischer Kreis aus Stahlguss hat überall einen gleichen Querschnitt, die Länge sei 36cm. Die Spule bestehe aus 500 Windungen. Die Flussdichte im Luftspalt von 1mm Länge soll B L = 1, 2T betragen. Berechne die erforderliche Stromstärke I. (Hinweis: Verwende die Magnetisierungskurven unter 4.) 52