EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN: IMPLEMENTATION UND ANWENDUNGEN IM ASSET-MANAGEMENT-BEREICH

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1 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN: IMPLEMENTATION UND ANWENDUNGEN IM ASSET-MANAGEMENT-BEREICH Dplomarbet von Felx Strechert Betreuung Prof.Dr.-Ing. Arnold Kstner Insttut A für Mechank Unverstät Stuttgart Dr. Werner Koch Commerz Asset Managers Commerzbank AG Frankfurt/Man August 2001

2 Inhalt 1 KURZFASSUNG 5 2 EINFÜHRUNG 6 3 INHALTLICH VERWANDTE ARBEITEN Evolutonäre Algorthmen n der Portfolo-Selekton Evolutonäre Algorthmen zur Zetrehenprognose Evolutonäre Algorthmen zur Optmerung von Handelsregeln 10 4 GRUNDLAGEN EVOLUTIONÄRER ALGORITHMEN Enführung n Genetsche Algorthmen Indvduum Intalserung Problembeschrebung Ftnessnormerung Selekton Rekombnaton Mutaton Elmneren Generatonsstrategen Abbruchkrterum Enführung n Genetsches Programmeren Indvduum Intalserung Problembeschrebung Rekombnaton Mutaton Enführung n das Hybrdmodell Genetsche Algorthmen/ Programmerung Enführung n Evolutonsstrategen Indvduum Intalserung Problembeschrebung Selekton Rekombnaton Mutaton Generatonsstrategen Enführung n Evolutonäre Programmerung Indvduum Problembeschrebung Selekton Mutaton Enführung n Learnng Classfer Systems Indvduum Problembeschrebung Modulares Konzept des EA-Tools Modulares Konzept für GA/P-Strategen 35 2

3 4.7.2 Implementaton der Indvduen Zukünftge Erweterungen Um Evolutonsstrategen erwetertes modulares Konzept Erweterung um Learnng Classfer Systems Erweterung um Strategeebenen Vertelte Anwendung von EA Tracken mehrer Suboptma 39 5 EA-METHODEN UND IHRE IMPLEMENTIERUNG Aufbau ener Populaton Struktur enes Indvduums Attrbute: GAAttrbutes Programmbäume: GPTreeModel Problemdefnton Ftnessnormerung Proportonale Ftnessnormerung Skalerte Ftnessnormerung Boltzmann-Normerung Rankng-Normerung Selekton Tournament-Selekton Truncaton-Selekton Roulette-Wheel-Selekton Stochastc-Unversal-Samplng Determnstc-Rankng Rekombnaton GA/ES-Crossover GP-Crossover Mutaton GA/ES-Mutaton GP-Mutaton Ersetzungsstrategen 66 6 ERGEBNISSE DER FINANZWIRTSCHAFTLICHEN ANWENDUNGEN Portfolo-Selekton Problembeschrebung Ergebnsse Zetrehenprognose Regressonsmodelle Handelsmodelle 87 7 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK Verwendbarket des vorgestellten EA-Tools Ergebnsse des EA-Tools auf fnanzwrtschaftlchen Anwendungen 91 8 ANHANG 93 3

4 8.1 Enfaches Rechenbespel für enen GA Inhaltlche Ergänzungen zu EA Genetsche Drft und Selektonsdruck Lamarksmus und Baldwn-Effekt Schema-Theorem Vorzetge Konvergenz oder kene Konvergenz Beschrebung der Problemmodule Generelles Interface des EA-Tools Standart-Testfunkton F Portfolo-Selekton Parametrsche Regresson Artfcal-Ant N-Multplexer Symbolsche Regresson Tradng Agents REFERENZEN 112 4

5 1 Kurzfassung In deser Arbet wrd en Programm zur Smulaton Evolutonärer Algorthmen (EA-Tool) mplementert und vorgestellt, mt dem de Lestungsfähgket von Evolutonären Algorthmen (EA) n fnanzwrtschaftlchen Fragestellungen untersucht werden soll. Das EA-Tool realsert verschedene Optmerungsstrategen aus dem Berech der EA, darunter Genetsche Algorthmen (GA), Genetsches Programmeren (GP), en Hybrd aus GA und GP (GA/P) sowe Evolutonsstrategen (ES). Das EA- Tool wurde so entworfen, dass unterschedlchste Problemstellungen beschreben und dem EA-Tool zur Bearbetung zugänglch gemacht und mt verschedenen EA-Methoden bearbetet werden können. Praxsbezogene Problemstellungen deser Arbet waren de Portfolo-Selekton mt Nebenbedngungen (unter anderem Kardnaltätsbeschränkungen), Parameteroptmerung für Regressonsmodelle, Zetrehenprognose mt Symbolscher Regresson und de Entwcklung von Handelsstrategen auf Wechselkursen. An desen Bespelen lassen sch ene Velzahl an Effekten und Egenschaften der Anwendung von EA auf multmodale Lösungsräume 1, we se n fnanzwrtschaftlchen Anwendungen zu erwarten snd, beschreben. 1 Multmodaler Lösungsraum: Lösungsraum mt mehreren Suboptma. 5

6 2 Enführung Zur Bewältgung komplexer Optmerungsprobleme wurden n den vergangenen Jahrzehnten Methoden entwckelt, de natürlchen Vorbldern nachempfunden wurden. Vele deser Methoden stammten ursprünglch aus den Forschungsberechen Künstlche Intellgenz (KI) und Künstlches Leben (KL). Zu den bekannteren und erfolgrecheren Bespelen zählen Neuronale Netze (NN), Fuzzy Methoden (FM) und Evolutonäre Algorthmen (EA). EA snd mest auf Computern mplementerten stochastsche Such- und Optmerungsverfahren, welche von der klassschen Evolutonstheore abgeletet wurden. De Grunddee st, dass sch Populatonen von Indvduen an hre Umwelt anpassen, um langfrstg überlebensfähg zu sen. Dazu werden enge Prnzpen der darwnstschen Evolutonstheore, deren enfachste Formulerung n der Regel surval of the fttest zu fnden st, n Computerprogrammen umgesetzt. Ene möglche Lösung für en gegebenes Problem wrd m folgenden als Indvduum bezechnet, ene Menge von Indvduen als Populaton. Das Schema des EA-Verfahrens läuft n folgenden Stufen ab, vergleche Abb. 1: In enem ersten Schrtt wrd ene Populaton von zufällgen Lösungen erzeugt. Für edes Indvduum deser Populaton werden Performance und Überlebensfähgket n ener smulerten Umwelt bestmmt. Dese Überlebensfähgket spegelt sch be desem Verfahren n der Ftness Φ weder. De besten Indvduen aus der Populaton werden für de Reprodukton ausgewählt, um ene neue Generaton von Indvduen zu blden. De Reprodukton besteht n den modernen Verfahren aus den Methoden: Rekombnaton, welche ene sexuelle Reprodukton realsert, und Mutaton, welche ene mperfekte Reprodukton smulert. Durch dese enfachen Methoden setzen sch m Laufe der Generatonen n der Populaton mmer bessere Indvduen durch. Her noch enmal der gleche Ablauf als Pseudocode: Intalsere zufällge Anfangspopulaton A(s=0) Wederhole Abbldung 1: Enfaches Evolutonsschema Selektere de fttesten Indvduen als Elternmenge B (s) aus A(s) Reproduzere Nachkommen C(s) aus B (s) A(s+1) = C(s) Bs en Abbruchkrterum erfüllt st Für EA st bezechnend, dass se ncht von ener enzelnen Startlösung ausgehend den Lösungsraum durchsuchen, sondern n eder Generaton ene Populaton von Indvduen verwenden. Auf dese Wese st es möglch, vorzetge Konvergenz auf Suboptma zu vermeden und das globale Optmum zu dentfzeren. De ersten Versuche, n den Computerwssenschaften Evolutonsprozesse nachzublden, wurden n den späten 50er-Jahren und n den frühen 60er-Jahren durchgeführt. John Holland von der Unversty of Mchgan fügte Mtte der 60er-Jahre de geschlechtlche Reprodukton und Rekombnaton als Varatonsmethode zur Mutaton hnzu und konnte damt erste Erfolge erzelen 2. Setdem wrd Holland als Begründer des Forschungsgebetes der Evolutonären Algorthmen angesehen, das sch heute n mehrere Bereche untertelt, sehe Abb. 2: Genetsche Algorthmen (GA), Genetsches Programmeren (GP), Evolutonsstrategen (ES), Evolutonäres Programmeren (EP) und Learnng Classfer Systems (LCS). 2 Sehe [HJ92] 6

7 Abbldung 2: Überblck über de verschedenen EA-Verfahren und verwandte Methoden Genetsche Algorthmen blden de deutlchste Abbldung des natürlchen Vorblds durch de Betonung des Genotyps enes Indvduums. Se benutzen oft Bt-Strng-coderte Lösungsrepräsentatonen. Genetsche Programmerung st von der Methodk her eng verwandt mt den Genetschen Algorthmen. Bem Genetschen Programmeren werden aber Programmbäume als Lösungsrepräsentaton verwendet, deren Struktur über de Generatonen optmert wrd. Der Hybrd von Genetschen Algorthmen und Genetscher Programmerung wrd GA/P genannt und verent bede Methoden n enem Verfahren. Evolutonsstrategen betonen wederum den Phänotyp enes Indvduums. Se snd ene Form von Evolutonären Algorthmen, de kene Bt-Strng-coderte Repräsentaton benutzen und sch hauptsächlch auf de Mutaton als Varatonsmethode konzentreren. Evolutonäres Programmeren st den Evolutonsstrategen sehr ähnlch, wurde aber unabhängg entwckelt und bestzt kene Beschränkungen hnschtlch der Lösungsrepräsentaton. Learnng Classfer Systems snd regelbaserte maschnelle Lernsysteme, welche n der Lage snd, Regelmäßgketen hrer Ensatzumgebung anhand von Feedback-Informatonen nduktv zu lernen. De Grenzen zwschen desen Dszplnen snd verschwommen. Oft werden de oben genannten Begrffe verwendet, ohne genauer zwschen den enzelnen Berechen zu unterscheden. Ähnlche Optmerungsmethoden snd n desem Zusammenhang: Smulated Annealng, Hll Clmbng, Partcel Swarms, Ant Systems und Tabu Search. Das Hauptanwendungsgebet von EA snd Optmerungsprobleme, welche mt herkömmlchen mathematschen Verfahren ncht oder ncht effzent analyserbar snd. Der Vortel von EA legt n der Fähgket, auch multmodale Lösungsräume nach Lösungen parallel durchsuchen zu können. De Aufgabenstellungen snd praktsch kenen Vorraussetzungen unterworfen. EA können auf Lösungsräumen mt unstetgen und ncht dfferenzerbaren Zelfunktonen angewendet werden und de Zelfunktonen snd lecht um Nebenbedngungen zu erwetern. Zudem reageren EA auch robust auf Änderungen externer Parameter der Verfahrensmethoden 3. Im Rahmen deser Arbet sollen unterschedlche Anwendungen von EA auf Problemstellungen aus der Fnanzwrtschaft untersucht werden. In Kaptel 3 wrd en Ausblck auf möglche Anwendungen gegeben und enge wssenschaftlche Arbeten über Problemstellungen der Portfolo-Selekton, der Zetrehenprognose und der Genererung von Handelsregeln stellvertretend aufgezählt. Dese Aufzählung st auf de fnanzwrtschaftlchen Anwendungen beschränkt, welche auch n deser Arbet mt EA-Verfahren untersucht wurden. In Kaptel 4 wrd auf de Grundlagen von EA und der enzelnen Verfahren engegangen. Ferner wrd das n deser Arbet verwendete modulare Konzept der EA-Methoden und Indvduen vorgestellt. In Kaptel 5 werden de mplementerten GA/P-Indvduen, de EA-Methoden und das benutzte Smulatorkonzept beschreben. Nachdem de Grundlagen und de verwendeten Konzepte vorgestellt wurden, werden de Anwendungen auf Portfolo-Selekton, Zetrehenprognose und Handelsregeln auf spezelle Egenschaften der EA-Methoden und deren Performance m Verglech zu Referenzlösungen n Kaptel 6 untersucht. In Kaptel 7 wrd ene Zusammenfassung der Ergebnsse und en Ausblck auf de möglchen Erweterungen des her vorgestellten EA-Tools gegeben. Im Anhang n Kaptel 8 wrd en enfaches Rechenbespel für enen GA angeführt und enge ergänzende Betrachtungen zu EA gegeben, de m Kaptel 4 entfallen snd, da se dort ncht unbedngt für das Verständns von EA 3 In [ST01] wrd näher untersucht, we de Performance enes EA-Verfahrens auf klene Änderungen exogener Verfahrensparameter reagert 7

8 notwendg waren. Ebenfalls m Anhang fnden sch Beschrebungen der mplementerten Problemstellungen, und es wrd an Bespelen erläutert, we spezfsche Problemstellungen mplementert werden können. 8

9 3 Inhaltlch verwandte Arbeten De möglchen Anwendungen von Evolutonären Algorthmen (EA) m fnanzwrtschaftlchen Berech snd sehr velfältg und zahlrech, obglech EA ene relatv unge Forschungsdszpln blden 4.EAsnd be Anwendungen n desem Berech deshalb so belebt, wel durch se de dort typschen komplexen Probleme gelöst werden können, de sch ener analytschen oder auch numerschen Lösung entzehen. Zudem benötgen EA nur weng problemspezfsches Wssen 5 und stellen kaum Anforderungen an de Beschaffenhet des Lösungsraums. Se reageren auch sehr robust auf Änderungen externer Parameter der Verfahrensmethoden und snd deshalb lecht auf unterschedlchste Lösungsräume anzuwenden. Wegen der Velfalt der EA-Strategen können EA lecht an problemspezfsche Anforderungen angepasst werden: bezüglch der zu verarbetenden Datentypen, der zu benutzenden Lösungsrepräsentatonen und der Beschaffenhet des Lösungsraums. Besonders geegnet schenen EA für Anwendungen m fnanzwrtschaftlchen Berech aus zumndest dre Gründen zu sen: EA werden vom Erfolg von Lösungen angetreben, das heßt der Ftnessfunkton. Erfolg kann be Anwendungen m Fnanzberech de Vorhersagekraft enes Prognosemodells sen oder der erzelte Gewnn m Verhältns zum engegangenen Rsko enes Portfolos. En solcher Erfolg kann lecht auf de n den EA verwendete Ftnessfunkton übertragen werden. Glechzetg snd Bewegungen der Indvduen m Lösungsraum m allgemenen enfach zu nterpreteren 6. EA snd von hrer Natur her eher ausgelegt, quanttatv-numersche Verbesserungen zu machen, weshalb se sch hervorragend zur Parameteroptmerung egnen. De Ftnessfunkton st lecht um Nebenbedngungen zu erwetern und ermöglcht auch de Kombnaton von mehreren Zelfunktonen. Innerhalb der Fnanzwrtschaft gbt es velfältge Anwendungsmöglchketen: So können EA zur Bestmmung von Regeln für Ausfallwahrschenlchketen von Unternehmensanlehen auf Bass von Fundamentaldaten benutzt werden, für Credt Scorng, zum Data Mnng, zur Kredtanalyse, zur Portfolo-Selekton und zur Entwcklung von Handelsregeln für Akten- und Bond-Märkte 7. In deser Arbet beschränken sch de Anwendungen auf de Portfolo-Selekton, de Zetrehenprognose mt verschedenen Regressonsmodellen und auf de Optmerung von Handelsregeln auf Wechselkursen. In den folgenden dre Unterkapteln werden enge Arbeten mt EA-Verfahren auf desen Problemfelder aufgezählt und deren Inhalt skzzert. De m folgenden bespelhaft erwähnten Verfahren und Methoden werden zum Tel n Kaptel 4 näher erläutert. 3.1 Evolutonäre Algorthmen n der Portfolo-Selekton Auf de Portfolo-Selekton können EA sehr lecht angewendet werden, da es sch her ledglch um ene Parameteroptmerung handelt, und de Ftnessfunkton aus Rendte, Rsko und gegebenenfalls Nebenbedngungen abgeletet werden kann. Ene der früheren Arbeten, de EA erfolgrech zur Portfolo-Selekton verwendet, stammt von Arnone, Lorasch und Tettamanz 8. In deser Arbet beschreben de Autoren de prnzpelle Vorgehenswese, we de Portfolo-Selekton mt GA durchzuführen st. Zwe Jahre später haben se hren Ansatz um enen Dstrbuted Computng Ansatz erwetert 9. Dadurch konnten se erheblche Lestungsstegerungen be großen Populatonen errechen, spezell n sehr großen Lösungsräumen mt rund Assets. In ener späteren Arbet haben Chang, Meade, Beasly und Sharaha drekte Lestungsvergleche zwschen GA, Tabu Search und Smulated Annealng be der Anwendung auf de Portfolo-Selekton 4 Enen klenen Überblck gbt [JA00] über Anwendungen von GA n wrtschaftlchen Anwendungen, was allerdngs ncht den Endruck der Vollständgket erwecken darf. 5 EA-Verfahren benötgen prnzpell nur ene zu maxmerende Zelfunkton enes Problems, um en Problem lösen zu können. Darüber hnaus snd zusätzlche problemspezfsche Informatonen ncht nötg, können aber vortelhaft zur Stegerung der Performance der EA- Verfahren engesetzt werden. 6 Sehe herzu auch den Verglech zwschen Bt-Strng-Mutaton und Value-Mutaton n Kaptel Sehe [DM98], her fndet sch auch ene klene Lste von Referenzen zu den ewelgen Themengebeten. 8 Sehe [AL93] 9 Sehe [LT95] 9

10 durchgeführt 10. Se fanden heraus, dass das GA-Verfahren m Verglech zu den anderen Verfahren noch de besten Ergebnsse brachten. Doch n der Konsequenz wurde von hnen ene Kombnaton von allen dre Verfahren befürwortet. Shapcott verwendet enen GA n Kombnaton mt quadratschem Programmeren zum Index Trackng 11. Dazu benutzt er en zwestufges Optmerungsverfahren: En GA optmert de Untermenge von Assets, de aus dem Asset-Unversum ausgewählt werden soll 12. Und de optmale Gewchtung nnerhalb enes GA-Indvduums (=Untermenge von Assets) wrd mttels quadratscher Programmerung bestmmt. Auf dese Wese wrd mt zwe parallel ablaufenden Optmerungsverfahren zum enen de Auswahl der günstgsten Untermenge und zum anderen der optmalen Gewchtung der Assets nnerhalb der Untermenge bestmmt. 3.2 Evolutonäre Algorthmen zur Zetrehenprognose In der Lteratur fnden sch mest zwe Strategen, um Zetrehenprognosen mt EA-Verfahren zu mplementeren. De ene wenger verbretete Stratege zur Zetrehenprognose besteht darn, de Auswahl von Inputgrößen oder Strategeparametern für klasssche Modelle mt EA zu optmeren. So verwenden Mnerva und Pol 13 enen GA, um de externen Parameter von ARMA-Modellen zu optmeren, mt guten Ergebnssen. De andere Stratege benutzt enen GP zur Symbolschen Regresson. Her kann als Ftnessmaß für den GP m enfachsten Fall de quadratsche Abwechung der GP-Prognose zur realen Zetrehe verwendet werden. Berets Koza, der Erfnder des GP-Verfahrens, n senem Buch "Genetc Programmng" 14 en Bespel zur Zetrehenprognose durch Symbolsche Regresson gegeben, um en ökonometrsches Modell zu reproduzeren. Es handelt sch um enen erfolgrechen Versuch, ene bekannte ökonometrsche Glechung aus realen Zetrehen zu reproduzeren. Koza benutzt dazu n deser Arbet den kanonschen GP zur Symbolschen Regresson ohne spezelle Anpassungen oder Erweterungen. Yoshhara, Aoyama und Yasunaga schlugen zur Zetrehenprognose enen erweterten zwestufgen GP vor 15, welcher de Beschränkung von GP auf statsche prädetermnerte Konstanten nnerhalb des GP-Programmbaums aufhebt. In der ersten Stufe verwenden se den kanonschen GP für de Symbolsche Regresson und n ener darunter legenden zweten Stufe ene Gradentensuche, n der de Konstanten, de nnerhalb des GP verwendet werden, optmert werden. Es handelt sch n deser Arbet m wesentlchen um en lamarkstsches Modell, welches auch m Anhang n Unterkaptel näher erläutert wrd. Erfolgrech waren Santn und Tettamanz be enem Wettbewerb zur Vorhersage des Dow Jones, ns Leben gerufen von der CEC 2000, den se gegen de Konkurrenz gewannen, ndem se enen GP zur multplen Punktprognose des Dow Jones ansetzten 16. Ursprünglch wollten se ARCH- und GARCH- Modelle zur Prognose verwenden und ledglch de Parameter durch enen EA anpassen. Stattdessen kamen se zum Schluss, dass der kanonsche GP für deses Problem geegneter se. Um de Performance von Prognosemodellen zu verbessern, de durch en EA-Verfahren erzeugt wurden, führt Zemke en baggng Verfahren zur Synthese ener Populaton von EA- Prognosemodellen en 17. Das baggng Verfahren basert dabe m wesentlchen auf enem Mehrhetswahlverfahren, wodurch Zemke de Performance der gewchteten Prognose der ganzen Populaton m Verglech zu enem enzelnen Prognosemodell des besten Indvduums deutlch verbessern konnte. 3.3 Evolutonäre Algorthmen zur Optmerung von Handelsregeln Ene andere Stratege zur Vorhersage von Zetrehen besteht darn, Handelsregeln zu entwckeln, welche de zu prognostzerenden Größen als Asset handeln. So können m Idealfall Umkehrpunkte der Zetrehe dentfzert werden. Werden Handelsaktonen nach den optmerten Regeln smulert, kann der erzelte Gewnn, eventuell abzüglch von Transaktonskosten, als drektes Ftnessmaß für 10 Sehe [CM98] 11 Sehe [SJ92] 12 Dazu defnert en GA-Indvduum n desem Fall ene Asset-Untermenge des Asset-Unversums, welche de Assets enes noch zu optmerenden Portfolos stellt. 13 Sehe [MP01] 14 Sehe [KJ92a] Sete 245 ff. 15 Sehe [YA00] 16 Sehe [ST01] 17 Sehe [ZS99] 10

11 den EA verwendet werden. Mest werden GP-Agenten für solche Modelle verwendet, es snd aber auch Learnng Classfer Systems erfolgrech angewendet worden. Ene der früheren Arbeten mt ener GP-Stratege stammt von Allen und Karalanen aus dem Jahr In deser Arbet stellen de Autoren fest, dass der GP ncht n der Lage st, de enfache Buy&Hold-Stratege n der Out-Of-Sample-Menge zu schlagen. Des glt nsbesondere dann, wenn Transaktonskosten hnzukommen. Des deutet edoch eher auf en Overfttng-Problem 19 hn als auf en systematsches Versagen des GP, denn sonst hätte der GP auch de Buy&Hold-Stratege als gültge Lösung produzert. De Autoren stellen aber fest, dass der GP tatsächlch marktrelevante Größen n sene Handelsstratege mt enbezeht und rrelevante Größen gnorert. Ready veröffentlchte 1997 ene krtsche Betrachtung von Allen und Karalanens Arbet 20. Er bemängelt, dass de Transaktonskosten und de Kaufzetpunkte relatv zum Sgnal der GP- Handelsregeln ncht korrekt mplementert werden. Weter fndet er heraus, dass de von Allen und Karalanen gefundenen, mttlerwele fünf Jahrealten, Regeln hre Gültgket verloren hatten. Er schleßt, dass ene perodsche Neubestmmung von Handelsregeln nötg zu sen schent, um Regmebrüchen m Markt gerecht zu werden. Er muss edoch weter feststellen, dass trotz der vorgeschlagenen Verbesserungen der GP de Buy&Hold-Stratege ncht schlagen kann. Jonsson, Madd und Mordal benutzen den kanonschen GP, um Handelsregeln auf Wechselkursen zu optmeren 21. Se wederholen n regelmäßgen Abständen de Optmerung der Handelsregeln, um en Overfttng zu vermeden. Se verwenden en realstsches Handelsmodell mt Transaktonskosten und Intraday Kaufs- und Verkaufskursen und konnten mt dem GO Handelsregeln fnden, de enen höheren Return erzelen als de Buy&Hold-Stratege, auch auf der Out-Of-Sample-Menge. Iba und Sasak verwenden enen GP, um Handelsregeln für den Nkke225 zu optmeren 22. Als Benchmark wrd her leder nur en tranertes Neuronales Netz verwendet, so dass en Bezug zu den Ergebnssen und der Krtk der vorgenannten Arbeten schwer fällt. Auch schenen her begrenzende Nebenbedngungen we Transaktonskosten und der zetlche Abstand zwschen Kaufsgnal und Kauf wenger betont zu sen. Hervorzuheben st be deser Arbet edoch, dass der Enfluss der Auswahl der m GP verwendeten Operatoren näher untersucht wrd. Dabe werden erheblche Unterschede n der Performance des GP e nach verwendeten Operatoren festgestellt. Ene wetere nteressante Arbet veröffentlchten Neely, Weller und Dttmar, n der se Handelsregeln für mehrere Wechselkurse mt GP optmeren 23. De n deser Arbet gefundenen Regeln lefern sowohl auf der In-Sample-Menge gute Ergebnsse we auch auf der Out-Of-Sample-Menge. De Autoren zegen mt Hlfe der Boot-Strappng-Methode 24, dass durch den GP Regeln gefunden werden, de ncht durch statstsche Modelle abgedeckt werden können. Pctet, Dacorogna, Chopard, Oussadene, Schrru und Tomassn benutzen enen GA zur Entwcklung von Handelsregeln 25. In hrer Arbet betonen se de multmodale Struktur des entsprechenden Lösungsraums. Um dennoch ene ausrechende Performance auf der Out-Of-Sample-Menge zu erzelen, benutzen se Nschen- und Cluster-Modelle, um mehrere suboptmale Lösungen zu managen, de auf der In-Sample- und Out-Of-Sample-Menge gut performen. Deser Ansatz wrd später erwetert zu enem parallelverarbetenden GP zur Herletung von Handelsregeln 26. O Nell, Brabazon, Ryan und Collns verwenden ene Varante des GP, de Grammatcal Evoluton (GE) 27, um Handelsregeln auf dem UK FTSE 100 Index zu entwckeln 28. Se fnden dabe Regeln, welche de Buy&Hold-Stratege deutlch outperformen. Se krtseren de Arbet von Allen und Karalanen, da dese ncht beachten, dass der GP Regeln generert, de nur zu 57% der Zet m Markt 18 Sehe [AK99] "Usng genetc algorthms to fnd techncal tradng rules"; der Ttel st her etwas rreführend, tatsächlch verwenden de Autoren enen GP. 19 Unter Overfttng versteht man wenn de Performance des Optmerungsverfahrens auf der In-Sample- und der Out-Of-Sample-Menge über den zetlchen Verlauf des Optmerungsverfahrens zunächst anstegt, aber ab enem gewssen Punkt de Performance auf der Out-Of- Sample Menge weder abfällt. Insgesamt nmmt de Generalserungsfähgket der entwckelten Regeln be zunehmender Performance auf der In-Sample-Menge ab. Vergleche Unterkaptel Sehe [RM97] 21 Sehe [JM97] 22 Sehe [IS99] 23 Sehe [ND97] 24 Ene Enführung n de Boot-Strappng-Methode fndet sch n [TE98] 25 Sehe [OT95] 26 Sehe [OT97] 27 Ene Beschrebung von GE fndet sch n [OR01] 28 Sehe [OB01] 11

12 nvestert waren. Damt wesen de gefundenen Handelsregeln en anderes Rskoprofl auf als de enfache Buy&Hold-Stratege. Ene andere Möglchket, Handelsregeln mt EA zu entwckeln, snd - we berets erwähnt - Learnng Classfer Systems (LCS). En Bespel st de Arbet von Schulenburg und Ross, de LCS zur Optmerung von Handelsregeln verwenden 29. Das benutzte Handelsmodell erlaubt Long- und Short- Postonen und de Investton n ene rskofree Anlageform mt varablen Gewchtungen, ferner mplementert es realstsche Handelskosten. Se fnden mt dem LCS Handelsregeln, welche de Buy&Hold-Stratege outperformen. Se wesen darauf hn, dass de Lestung der LCS davon abhängg st, welche Inputs vorgegeben werden und damt, welche Struktur der Bedngungstel der LCS-Regeln hat. Problematsch st be all den Anwendungen von EA-Methoden zur Entwcklung von Handelsregeln, dass es ncht notwendgerwese Regeln gbt, de gefunden werden können, denn: Mt EA-Verfahren können nur technsche Analysen von Zetrehen vorgenommen werden. De verarbetbaren Datentypen beschränken sch zumest auf numersche Werte, weshalb prnzpell ncht alle öffentlch verfügbaren Daten, welche den Kurs beenflussen können, verwendet werden. Sobald es sch um enen schwach nformatonseffzenten Markt handelt, lassen sch durch technsche Analyse kene Überrendten erzelen 30. Dese Auflstung von Arbeten über EA n fnanzwrtschaftlchen Themenberechen st keneswegs vollständg. Se betet edoch ene gute Überscht über andere Arbeten zu Problemstellungen we se n deser Arbet untersucht werden. 29 Sehe [SR01] 30 Sehe [SB98], Sete 41f 12

13 4 Grundlagen Evolutonärer Algorthmen Um enen Überblck über de unterschedlchen EA-Verfahren, sehe Abb. 3, zu geben, werden dese m folgenden näher vorgestellt. Es wrd mt der Erläuterung von Genetschen Algorthmen (GA) n Unterkaptel 4.1 begonnen. Anschleßend wrd davon das Genetsche Programmeren (GP) n Unterkaptel 4.2 abgeletet. Aus desen beden Verfahren wederum wrd n Unterkaptel 4.3 der GA/P- Hybrd zusammengesetzt und sene Vortele beschreben. In Unterkaptel 4.4 werden de Evolutonsstrategen (ES) erklärt und n Unterkaptel 4.5 wrd en kurzer Ausblck auf Evolutonäres Programmeren (EP) gegeben. Als letzte der EA-Verfahren werden n Unterkaptel 4.6 Learnng Classfer Systems (LCS) vorgestellt. Für edes enzelne Verfahren wrd zunächst de allgemene Stratege beschreben und dann de enzelnen Schrtte mt enfachen exemplarschen Methoden erläutert. Spezell zum GA fndet sch m Anhang en explztes Bespel. Das Unterkaptel 4.7 beschrebt das modulare Konzept, welches n desem EA-Tool mplementert wurde. Abbldung 3: De verschedenen EA-Verfahren, de m folgenden beschreben werden und verwandte Verfahren. Zunächst sollen an deser Stelle enge Begrffe und Abkürzungen defnert werden, welche m folgenden häufg verwendet werden. Dabe kommen dese Begrffe zum enen aus dem Berech der Bologe und zum anderen aus dem Berech der Computerwssenschaften. Oft konnten sch n der Lteratur de Begrffe aus der Bologe etableren. Se sollen n Tab. 1 enander gegenübergestellt werden: Tabelle 1 Bologe Abkz. Computerwssenschaften Populaton A(s) Menge von möglchen Lösungen zum Zetpunkt s. Aussterbende A' ( s) Ene Untermenge derengen Lösungen zum Zetpunkt s, Indvduen Indvduum (s) Ftness a Φ a ) = e de sch ncht n de nächste Generaton fortpflanzen. Struktur, de ene Lösung repräsentert. st der Index der Lösung nnerhalb der Menge A(s). ( Lösungsqualtät, problemspezfsch. Generaton s Verfahrensteraton Genotyp, Chromosom a = S Coderte Lösung, z.b.: bem GA ene Kette von Zechen, Strng genannt. Snd de Zechen Bts {0,1}, so wrd der Strng Bt-Strng genannt. Phenotyp Γ( a ) a ( s) Decoderte Lösung. Gen Allel, = a = w x Das -te Wort aus l Zechen nnerhalb des Strngs des Indvduums a. = Γ En decodertes Wort oder der Wert enes Attrbutes. = Γ( w Base {Adenn, Cytodn, / k Guann, Thynn} Elternpool ) ( a, ) a = b B(s k ) En Zechen m Strng des Indvduums a an der Stelle k. Bem Bt-Strng mt dem Alphabet {0,1}. Pool von Lösungen, aus denen de Eltern der nächsten 13

14 Generaton ausgewählt werden können Elternpopulaton B' ( s) Zur Reprodukton ausgewählte Lösungen, zu Eltern gepaart. Zur Reprodukton ausgewählte Lösung aus B (s). Elter b (s) C(s) Nachkommenpopulaton Aus der Kombnaton von Lösungen entstandene neue Menge von Lösungen. Nachkomme c (s) Aus der Kombnaton von Lösungen entstandene neue Lösung. Crossover Varatonsmethode, de Elemente verschedener Lösungen mscht, m folgenden auch Rekombnaton genannt. Mutaton Varatonsmethode, de ene Lösung verändert. Populatonsgröße µ Mächtgket der Menge von Lösungen n A(s), externer Verfahrensparameter. Anzahl der λ Mächtgket der Menge der neuen Lösungen für de Nachkommen nächste Generaton, externer Verfahrensparameter. Umwelt Smulator der Problemumwelt, er stellt exogene Inputvarabeln zur Verfügung, smulert das Indvduum n der Umwelt und bestmmt de Lösungsqualtät. Zet t Smulatonszet. Autonom Indvduum agerendes α (s) GP- oder GA/P-Agent 31, der mt sener Umwelt nteragert. Es kann sene Umwelt wahrnehmen und n der Umwelt autonom ageren. Verhalten α, (s) Der -te Programmbaum enes Agenten. Weter sollen de m folgenden benutzten typografschen Konventonen n Tab. 2 erläutert werden: Tabelle 2 Schrftart oder Symbol Bedeutung Schrebmaschnenschrft Text n Schrebmaschnenschrft steht für JAVA-Code und Varablen oder Text we er auf dem Bldschrm erschent als Text En- oder Ausgabe. Fettschrft Fettschrft m Text oder n Codezelen kennzechnet reserverte Wörter n JAVA. Kursve Fettschrft Kursve Fettschrft n Codezelen kennzechnet spezfsche Obekte des EA-Tools. [ ] Eckge Klammern m Text bezechnen entweder Wertebereche oder n Codebespelen optonale Elemente. Kursvschrft Kursvschrft m Text bezechnet Varablen oder n Codebespelen varable Parameter, wobe dann der so gekennzechnete Text ncht wortwörtlch abgeschreben werden darf. TASTEN Dese Schrftart wrd für Tasten auf der Tastatur oder Bedenungselemente des Interfaces des EA-Tools verwendet. Bespel: Drücken Se ENTER, um de Engabe zu bestätgen. 31 Sehe [RN 95] Sete 7 14

15 4.1 Enführung n Genetsche Algorthmen De allgemene Vorgehenswese be GA st n Abb. 4 dargestellt und gestaltet sch we folgt: Nachdem ene zufällge Anfangspopulaton A(0) mt µ Indvduen ntalsert wurde, wrd de Ftness Φ=e aller µ Indvduen n der Populaton bestmmt 32. Dann wrd de Ftness e umgerechnet n ene Selektonswahrschenlchket p. Proportonal zu deser Selektonswahrschenlchket werden zufällg λ Elternpaare B (s) mt Zurücklegen ausgewählt. Dese Elternpaare erzeugen durch Rekombnaton λ Nachkommen C(s), de anschleßend noch mutert werden. De neue Generaton A(s+1) entsteht aus ener Kombnaton von A(s), abzüglch ener Menge von aussterbenden Indvduen A (s) und zuzüglch der neuentstandenen Nachkommen C(s). Im folgenden wrd zunächst de Struktur enes GA-Indvduums erläutert, sene Intalserung und danach de Bestmmung der Ftness e durch de Problembeschrebung. Anschleßend werden Bespele für de enzelnen Verfahrensschrtte gegeben: Zuerst für de Berechnung der Selektonswahrschenlchket p für en Indvduum aus dem Ftnesswert e, dann ene Selektonsmethode und schleßlch ene Rekombnatons- und ene Abbldung 4: Allgemenes Schema des GA-Verfahrens. Mutatonsmethode für GA. Zuletzt werden n desem Unterkaptel verschedene Strategen vorgestellt, we neue Generatonen aus A(s), A (s) und C(s) bestmmt werden können, m folgenden auch Generatonsstrategen genannt Indvduum En GA-Indvduum besteht aus ener Kette von Zechen, enem sogenannten Strng S. Im enfachsten Fall st edes Zechen b k (=a /k, das k-te Zechen n der Strngrepräsentaton des -ten Indvduums) m Strng en Bt є{0,1}. En Strng mt enem solchen Alphabet wrd auch Bt-Strng genannt 33.EnStrng besteht aus L Zechen, de n zusammenhängenden Gruppen zu Wörtern w geordnet werden. Im enfachsten Fall snd de Wörter m Strng mmer glech lang 34, dann st be n Wörtern mt ewels l Zechen der Strng L=n*lZechen lang. De Anzahl n der verwendeten Wörter und de Länge l enes Wortes hängen von der Problemstellung ab. Im enfachsten Fall st daher en GA-Indvduum über den Bt-Strng S defnert : a } L = S = ( a / 1, a / 2,..., a / L ) {0,1, sehe auch Abb Typsche Werte für de Populatonsgröße µ legen be GA zwschen 50 und 500 Indvduen. 33 Allgemener können belebge Zechen für den Strng zugelassen werden. 34 Des wrd als Hollands fxed-length Codng bezechnet, be der l für alle Worte glech und über de Zet konstant st. Dese Varante wrd auch n deser Implementaton des EA-Tools verwendet. En Wort st nnerhalb des EA-Tools mmer l=32 Zechen (Bt) lang. 15

16 De decoderten Wörter m Strng enes Indvduums werden m folgenden auch als de Attrbute x des Indvduums bezechnet. Dabe st das Attrbut x dem -ten Wort des Strngs zugeordnet. Wörter enthalten n bnärcoderter Form den Wert des zugehörgen Attrbutes. Das coderte Wort wrd auch als Gen bezechnet, das decoderte Wort oder der Wert des Attrbutes wrd auch als Allel bezechnet. Abbldung 5: Bt-Strng enes Indvduums a Coderung: Genotyp Phänotyp Oft coderen Worte n GA-Anwendungen reelle Zahlen. Dese Attrbute snd dann mmer bezüglch des darstellbaren Zahlenberechs und darstellbarer Genaugket begrenzt, da endlche Wortlängen verwendet werden müssen. Wenn der Werteberech für en numersches Attrbut fre gewählt wrd, so ergbt sch damt glechzetg de Genaugket des Attrbutes be gegebener Länge l des Worts. En enfaches bnäres Coderungsverfahren für en Wort w mt der oberen Wertgrenze o und der unteren Grenze u mt der Länge l wäre: o l u z 1 Γ( a, ) = Γ( w ) = Γ( a / * l, a / * l+ 1,..., a / * l+ l 1 ) = u + a l / + 2 = x 2 1 z= 1 ( l z+ 1) Dese Coderung wrd Standard-Bnärcoderung genannt. Verglechbare Coderungen fnden sch n modernen Datenverarbetungssystemen. Werden zum Bespel de obere und untere Wertgrenze für ene numersche Varable x 0 enes Problems mt u 0 =-1 und o 0 =2 festlegt und pro Wort nur l=5 Zechen verwendet, so folgt ene Genaugket für x 0 von etwa ener Nachkommastelle. De nachfolgende Tab. 3 wurde mt der obengenannten Glechung erzeugt: Tabelle 3 Bnär codertes Wort, w 0 : Numerscher Wert, Attrbut x o : Intalserung Bem GA wrd der Bt-Strng der Indvduen mt zufällgen Btwerten so ntalsert, dass de erste Generaton den Lösungsraum möglchst gut abdeckt und de Gefahr vermndert wrd, durch ene ungünstge Intalserung auf enem suboptmalen Berech des Lösungsraums beschränkt zu bleben Problembeschrebung In der Problembeschrebung wrd de Struktur der Indvduen problemspezfsch angelegt und de Ftnessfunkton defnert. Se benhaltet also de Elemente Strukturerung und Bewertung der Indvduen 36. De Struktur enes Indvduums muss so festgelegt werden, dass es alle problemrelevanten Attrbute enthält und alle gültgen Problemlösungen darstellen kann. De Bewertung erfolgt, ndem en Indvduum als gültge Lösung nterpretert und entsprechend sener Qualtät beurtelt wrd. En enfaches Bespel st de Maxmerung enes Funktonswertes. 35 Problemspezfsche Intalserungsmethoden snd möglch und können de Performance zusätzlch stegern. Im allgemenen snd edoch problemspezfsche Intalserungsmethoden ncht nötg. 36 Dese Notaton st berets an das n deser Arbet mplementerte modulare Konzept für EA-Verfahren angelehnt. 16

17 Se de Zelfunkton 2 F( x) = ( x 10) für 0 x 63 gegeben. In desem Fall recht ene Varable x zur Beschrebung ener gültgen Lösung für deses Optmerungsproblem aus. Werden nur ganzzahlge Werte für x zugelassen, besteht der Bt-Strng enes Indvduums für deses Problem nur aus enem Wort 37 mt der Länge l = 4, nämlch dem Attrbut x. De Bewertung erfolgt durch de Ftnessfunkton Φ. Für en Indvduum a wäre de Ftnessfunkton für dese Problemstellung gegeben durch: Φ( a ) = e = F( Γ( a )) En explztes Bespel zu der obengenannten Ftnessfunkton fndet sch m Anhang Unterkaptel 8.1. En GA st m allgemenen so ausgelegt, dass de Ftnessfunkton maxmert wrd, denn es werden mmer Indvduen mt ener größeren Ftness e be der Selekton bevorzugt. Soll de Zelfunkton mnmert werden, so könnte de Ftnessfunkton we folgt defnert werden: 1 Φ( a ) = e = für F( Γ( a )) 0 F( Γ( a )) Ftnessnormerung Be der Ftnessnormerung werden de Ftnesswerte e aller Indvduen a n Selektonswahrschenlchketen p umgerechnet. Dabe werden de Ftnesswerte von enem Werteberech [mn(e ), max(e )] auf enen Werteberech [0,1] umgerechnet. Zusätzlch muss gelten: p = 1 Ene für verschedene Problemstellungen geegnete Normerungsmethode st de Skalerte Ftnessnormerung 38 : p = p ( a ) = Φ( a ) Mnl ( Φ( al )) = Φ( a ) Mn ( Φ( a )) l l e Mnl ( el ) e Mn ( e ) De Ftnessnormerung st nötg, um das EA-Verfahren auf unterschedlchen Problemstellungen verwenden zu können. Damt das Konvergenzverhalten des Verfahrens möglchst unabhängg st vom ewelgen Problem, nsbesondere von der Beschaffenhet der Zelfunkton hnschtlch des möglchen Werteberechs und der Skalerung Selekton Ene verbretete GA-Selektonsmethode 40 st de Roulette-Wheel-Selekton: Her wrd edem Indvduum a auf enem Glücksrad en Abschntt zugewesen, dessen Größe proportonal zu sener Selektonswahrschenlchket p st, sehe Abb. 6. Dann wrd doppelt so oft Roulette gespelt we Elternpaare für de nächste Generaton benötgt werden. De selekterten Elternpaare blden de Populaton B (s). En Indvduum kann dabe auch mehrmals als Elterntel ausgewählt werden und so auch mehrfach n der Elternpopulaton B (s) auftreten, des wrd Zehen mt Zurücklegen genannt. Der Erwartungswert (EW ), de wahrschenlche Anzahl von Nachkommen enes Indvduums, st: l l 37 De benötgte Länge für en Wort kann mt l =ln(a) bestmmt werden. A st dabe de Anzahl der Elemente, de codert werden sollen. In desem Fall st A = 64. l muss gegebenenfalls zu ener ganzen Zahl aufgerundet werden. 38 Dese Normerung st dskrmnerend, denn das schlechteste Indvduum hat ene Selektonswahrschenlchket von p =0 und kann ncht selektert werden. Ene ncht dskrmnerende Stratege würde edem Indvduum ene Selektonswahrschenlchket größer Null zuwesen. 39 Vergleche herzu auch Unterkaptel De mesten Selektonsmethoden n EA-Verfahren snd mehr oder wenger stochastscher Natur. 17

18 p ( a ) = EW λ Abbldung Rekombnaton De Rekombnaton (Crossover) bldet für GA de wchtgste Methode be der Suche n Lösungsraum nach neuen verbesserten Lösungen. De Rekombnaton vermscht de Gene der Eltern mtenander n Abhänggket von ener Crossoverwahrschenlchket 41 p c. Ene Methode st das Sngle-Pont-Crossover: Mt ener Wahrschenlchket von 1-p c snd de Nachkommen ledglch Kopen der Eltern. Anderenfalls werden de Nachkommen erzeugt, ndem ene glechvertelte Zufallszahl z aus [0,L] bestmmt wrd. An der Stelle z werden de Bt- Strngs der beden Elterntele aufgetrennt und für de Nachkommen kreuzwese vertauscht weder zusammengesetzt. Be der Auswahl der Kreuzungsstelle z wrd auf Wortgrenzen kene Rückscht genommen 42. De erzeugten Nachkommen blden de Abbldung 7: Bespel für Sngle-Pont-Crossover Populaton C(s). In der Abb. 7 wrd der Anschaulchket wegen en Nachkomme und sen Komplement erzeugt. Da aber en Elternpaar nur enen Nachkommen erzeugen soll, wrd der tatsächlche Nachkomme per Zufall bestmmt Mutaton Gewöhnlch wrd de Mutaton be GA als Varatonsmethode von nachrangger Bedeutung engestuft. Se soll hauptsächlch verhndern, dass spezfsche Werte für Zechen an bestmmten Stellen nnerhalb des Bt-Strngs durch Crossover nfolge des Optmerungsverfahrens unwederbrnglch verloren gehen können. Be der enfachsten Mutaton wrd edes Bt a /k des Bt-Strngs enes Indvduums a mt der Mutatonswahrschenlchket p m nvertert 43. a' / k a / k (1 a / k Elmneren ), Wahrschenlchket : (1 p, Wahrschenlchket : p m Um bem Generatonswechsel Platz n der Populaton A(s) für de λ Nachkommen C(s) zu schaffen, müssen aus der Populaton A(s) λ Indvduen entfernt werden. In der enfachsten Varante wrd de alte Populaton A(s) komplett durch de Nachkommen ersetzt 44, dann st λ=µ. Der Antel der Populaton A(s), der entfernt wrd, wrd mt A (s) bezechnet. Um de Indvduen A (s) zu selekteren, de ersetzt werden sollen, kann ene der folgenden Strategen verwendet werden: entferne de schlechtesten Indvduen 45 entferne zufällg ausgewählte Indvduen 46 verwende belebges Selektonsverfahren 47 mt negatver Ftness 48 m ) 41 En Standardwert für de Crossoverwahrschenlchket st p c =0,6 42 De Wortgrenzen nnerhalb des Bt-Strngs snd nur für de Coderungs-/Decoderungsmethoden wchtg, ncht für Varatonsmethoden, de sch auf den Genotyp bezehen. 43 En Standardwert für de Mutatonswahrschenlchket p m be GA st p m = 0,01-0,001. Im allgemenen sollte de Mutatonswahrschenlchket p m so gewählt werden, dass etwa ene Bt-Inverson pro Indvduum auftrtt. Dann st de Mutatonswahrschenlchket p m umgekehrt proportonal zu der Gesamtlänge L=l*n des Bt-Strngs, p m 1/L. 44 Deses Vorgehen wrd Generatonal GA genannt. 45 Deses Verfahren kann zu vorzetger Konvergenz führen, da der Selektonsdruck sehr hoch st. Sehe dazu auch den Anhang. 46 Zur Zet st nur deses Verfahren m EA-Tool mplementert. 18

19 Damt st en Generatonsschrtt komplett vollendet worden, und en Generatonswechsel kann durchgeführt werden, um de Verfahrensschrtte für de nächste Generaton zu wederholen Generatonsstrategen Es gbt für den GA verschedene Strategen, we ene neue Generaton A(s+1) aus der alten Generaton und den neuerzeugten Nachkommen entstehen kann. Es folgt en Ausblck auf de dre wesentlchen Strategen, welche m EA-Tool mplementert wurden. De Varablen λ und µ snd externe Verfahrensparameter Generatonal GA Bem Generatonal GA wrd de alte Populaton A(s) be edem Generatonswechsel komplett durch C(s) ersetzt: A( s + 1) C( s) ; A ( s + 1) = C( s) = µ = λ ; A '( s) = A( s) Steady-State GA Be enem Steady-State GA 49 wrd pro Zetschrtt mmer nur en Indvduum ener Populaton durch en neues Indvduum ersetzt. Es werden nur zwe Eltern aus der Populaton A(s) für den enen Nachkommen ausgewählt. Deser Nachkomme wrd n de Populaton engefügt, ndem en ausgewähltes Indvduum n der Populaton ersetzt wrd. A ( s + 1) ( A( s) A' ( s)) + C( s) ; A( s + 1) = µ ; C( s) = A' ( s) = 1 Es kann ede belebge Selektonsmethode verwendet werden, um de Eltern des Nachkommens auszuwählen, vergleche Kaptel Generaton Gap und CHC Um zwschen Generatonal GA und Steady-State GA zu nterpoleren, führte De Jong den Generaton Gap en 50. Dabe gbt λ den Antel der Populaton an, welcher be edem Generatonswechsel ausgetauscht werden soll. Mt dem Generaton Gap kann auch der Generatonal GA mt λ = µ und der Steady-State GA mt λ =1 nachgebldet werden. Allgemen glt: A ( s + 1) ( A( s) A' ( s)) + C( s) ; A( s + 1) = µ ; C( s) = A' ( s) Eshelman führte enen evolutonären Algorthmus namens CHC Adaptve Search Algorthm en, be dem ene neue Populaton erzeugt und der alten Populaton hnzugefügt wrd, bevor de Selekton stattfndet 51. Je größer der Generaton Gap g = µ / λ, desto klener st m allgemenen de genetsche Drft. Der CHC hat ene halb so starke genetsche Drft we der Generatonal GA Eltsmus Bem Eltsmus wrd de beste bsher gefundene Lösung aus A(s) über den Generatonswechsel hnaus n der Populaton A(s+1) bebehalten 53. So werden Rückschrtte n der Entwcklung vermeden, de entstehen können, wenn de Varaton der neuen Generaton so unglücklch st, dass berets gefundene gute Lösungen zerstört werden. = λ 47 Zu den verschedenen Selektonsmethoden sehe auch Kaptel Unter negatver Ftness soll her verstanden werden, dass proportonal deengen Indvduen selektert werden sollen, welche de schlechteste Ftness bestzen. 49 Steady-State GA wurden n [RA99a] und [RA00b] näher untersucht. Im allgemenen snd für den Steady-State GA der Selektonsdruck und de genetsche Drft doppelt so stark we bem Generatonal GA, wenn aus e zwe Eltern mmer nur en Nachkomme erzeugt wrd. Der Steady-State GA schent deshalb doppelt so schnell zu konvergeren, aber dafür deckt er den Suchraum ncht so gut ab we der Generatonal GA. 50 Sehe [DJ93] 51 Sehe [EL91], deses Verfahren fndet auch Verwendung be Evolutonsstrategen. 52 DegenetscheDrftfür Steady-State EA, Generaton Gap und für CHC wurde n [RA 99b] näher untersucht. Nähere Informatonen zu genetscher Drft fndet sch m Anhang n Kaptel Der Eltsmus st n sener enfachsten Varante m EA-Tool mplementert. Der Überschtlchket wegen wrd der Eltsmus ncht n den Ablaufschemata und Pseudocodes aufgeführt. 19

20 Es können bem Eltsmus nur das beste Indvduum bebehalten werden oder auch ene ganze Gruppe von besten Indvduen Abbruchkrterum Es gbt verschedene Möglchketen zu bestmmen, wann das Optmerungsverfahren abgebrochen werden kann: Nach Ablauf ener vorher bestmmten Zetperode wrd das EA-Verfahren abgebrochen. De Zetperode bezeht sch her auf absolute Zet, da de benötgte Rechenzet pro Generaton für das EA-Verfahren über de Generatonen schwanken und ncht prognostzert werden kann 55. Das EA-Verfahren wrd nach ener bestmmten Anzahl von Generatonen abgebrochen. Das Verfahren wrd abgebrochen, wenn sch de Populaton über enen längeren Zetraum ncht mehr verbessert. Des kann sch auf de beste Performance oder de mttlere Performance bezehen. Es kann de Dfferenz der In- und Out-Of-Sample Performance benutzt werden, um festzustellen, wann de gefundenen Lösungen ncht mehr generalseren 56, und ob um Overfttng zu vermeden en Abbruch des Verfahrens snnvoll sen kann. In dem vorgestellten EA-Tool kann nur de Anzahl von Generatonen vorgegeben werden, de smulert werden soll. De Smulaton kann zur Zet ncht vorzetg abgebrochen werden. 54 Ene nteressante Erweterung wrd n [EL01] vorgeschlagen, wo de besten Indvduen ener Generaton n ener begrenzten "Best of" Populaton gespechert werden. Wenn durch enen Regmewechsel de Performance des EA unter ene Scherhetsschwelle snkt, wrd dese "Best of" Populaton n der aktuellen Populaton engefügt, ndem schlechte Indvduen ersetzt werden. So kann be wederkehrenden Regmen n zetdynamschen Problemräumen ene deutlch bessere Performance erzelt werden. En Bespel zu enem Regmewechsel fndet sch n Unterkaptel Ene Ursache kann zum Bespel das Anwachsen von Programmbäumen bem GP sen. 56 Allgemene Regeln, de für enen langen Zetraum gelten und Systemegenschaften abblden, generalseren, während spezalserte Regeln, ähnlch dem Auswendglernen, oft nur kurze Zeträume gelten. 20

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