Abitur 2011 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

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1 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2011 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Bei der TOTO-13er-Wette (vgl. abgebildeten Ausschnitt aus einem Spielschein) wird auf den Spielausgang von 13 Fußballspielen gewettet. Für jedes der 13 Spiele stehen drei Tipp- Möglichkeiten zur Auswahl: 1 Sieg der erstgenannten Mannschaft, 0 Unentschieden, 2 Sieg der zweitgenannten Mannschaft. Eine Kombination der 13 Tipps wird Tippreihe genannt. Eine Tippreihe gewinnt, wenn 10, 11, 12 ober 13 Spielergebnisse richtig vorausgesagt wurden. Abitur Hessen 2011 GK Stochastik Aufgabe C1

2 Seite 2 Teilaufgabe 1.1 (11 BE) Jemand kennt sich im Fußball nicht aus und füllt eine Tippreihe durch zufällige Entscheidungen aus. Begründen Sie, dass sich dieses Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette deuten lässt und geben Sie deren Parameter an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fußball-Laie im TOTO - eine Tippreihe vollständig richtig ausfüllt - gewinnt. Teilaufgabe 2. (7 BE) Fußballinteressierte TOTO-Spieler haben im Allgemeinen größere Chancen, richtige Vorhersagen über den Spielgang zu treffen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein fußballinteressierter TOTO-Spieler, der im Mittel in 45 % seiner Vorhersagen Recht behält, in einer Tippreihe genau zehn Spielausgänge richtig voraussagt. Dokumentieren Sie den vollständigen Rechenterm, um die Wahrscheinlichkeit, dass ein fußballinteressierter TOTO-Spieler in der 13er-Wette gewinnt, berechnen zu können. Ein Ergebnis ist nicht verlangt. Bei der Teilnehme an der TOTO-13er-Wette kostet eine Tippreihe 50 Cent. Die gesamten Spieleinsätze werden zu 50 % als Gewinne ausgeschüttet. Der Ausschüttungsbetrag wird zu je 25 % auf die vier Gewinnklassen ( 13, 12, 11 bzw. 10 Richtige) verteilt. Der auf die jeweilige Gewinnklasse fallende Betrag wird gleichmäßig auf die Gewinner aufgeteilt, wobei der Gewinn des Einzelnen auf volle zehn Cent abgerundet wird. c Abiturloesung.de

3 Seite 3 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Teilaufgabe 3.1 (12 BE) Die 42. Ausspielung der TOTO-13er-Wette am 18./19. Oktober 2008 mit einem Gesamtspieleinsatz von , 00 e wurde ausgewertet. Von den Ergebnissen in den Gewinnklassen 1 bis 4 liegt folgende, lückenhafte Tabelle vor: Berechnen Sie die in der Tabelle fehlenden Gewinnbeträge für die Gewinnklassen 1 und 2. Teilaufgabe 3.2 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein fußballinteressierter TOTO-Spieler, der in 45% seiner Vorhersagen Recht behält, in der 13er-Wette beim TOTO gewinnt, beträgt etwa 2% (Ergebnis des Rechenterms aus Aufgabe 2). Geben Sie an wie viele Tippreihen abgegeben wurden. Berechnen Sie, wie viele Gewinnen in der 42. Ausspielung insgesamt zu erwarten gewesen wären, wenn die Tippscheine zufällig mit einer 45 %-igen Trefferquote gemäß Aufgabe 2 ausgefüllt worden wären und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit der tatsächlichen Anzahl der Gewinnreihen. Ermitteln Sie einen ungefähren Wert für die Wahrscheinlichkeit, einen Spielausgang korrekt vorherzusagen, damit die tatsächlich aufgetretene Anzahl der Gewinne entsteht. Abitur Hessen 2011 GK Stochastik Aufgabe C1

4 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2011 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C2 Kinderspielzeug Jedes Fünfte ist mangelhaft Die nordrhein-westfälischen Ministerien für Verbraucherschutz und Gesundheit haben 150 unterschiedliche Spielzeuge für Kleinkinder im Alter von bis zu drei Jahren auf ihre Sicherheit untersucht. Dabei zeigte sich, dass jedes fünfte Spielzeug bei dieser Untersuchung durchfiel. Häufigster Schwachpunkt: Kleinteile (z.b. Räder an Fahrzeugen oder Verzierungen), die sich leicht vom Spielzeug lösen und verschluckt oder eingeatmet werden können. Neben den Kleinteilen sind enthaltene Schadstoffe ein Durchfallgrund: In 16 der 150 Proben wurden gesundheitsschädliche Stoffe (z.b. die Weichmacher Phthalate oder Formaldehyd) gefunden, die zur Mangelbewertung führten. Quelle: Ministerium für Umwelt und Naturschutz, Landwirtschaft und Verbraucherschutz des Landes Nordrhein-Westfalen, Pressemitteilung vom Teilaufgabe 1. (6 BE) Dieser Artikel enthält keine Angabe, wie viele der 150 untersuchten Spielzeuge gefährliche Kleinteile enthielten. Entscheiden Sie, ob die Anzahl der untersuchten Spielzeuge mit gefährlichen Kleinteilen 14, 21 oder 37 sein kann. Teilaufgabe 2. (11 BE) Um die Wahrscheinlichkeit p zu berechnen, dass eines der untersuchten 150 Spielzeuge gefährliche Kleinteile aufweist, verwendet jemand als Ansatz die Gleichung ( (1 p) 1 16 ) = 0, Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p und erklären Sie diesen Ansatz beispielsweise mithilfe einer Baumdiagramms. Geben Sie dabei Voraussetzungen an, unter denen dieser Ansatz richtig ist. Eine große deutsche Spielzeugfirma ist überzeugt, dass deutsches Spielzeug vergleichsweise deutlich weniger Mängel aufweist. Sie behauptet, dass weniger als jedes zehnte Spielzeug mangelhaft ist. Sie beauftragt ein Institut, dies zu überprüfen. Das Institut untersucht daraufhin 100 zufällig ausgewählte Spielzeuge mit der Nullhypothese H 0 : Mindestens jedes zehnte Spielzeug ist mangelhaft. Teilaufgabe 3.1 (13 BE) Es wird vorgeschlagen, dass H 0 bei weniger als 6 mangelhaften Proben der 100 Spielzeuge abgelehnt wird. Geben Sie an, was bei diesem Test ein Fehler 1. Art ist, und ermitteln Sie die maximale Wahrscheinlichkeit, einen solchen Fehler zu begehen. Begründen Sie warum die Wahrscheinlichkeit auch kleiner sein kann. Abitur Hessen 2011 GK Stochastik Aufgabe C2

5 Seite 2 Teilaufgabe 3.2 Das Institut beschließt, für den Hypothesentest ein Signifikanzniveau von 1 % zu verwenden. Entwickeln Sie eine Entscheidungsregel und bewerten Sie die obige Behauptung der Spielzeugfirma für den Fall, dass bei dem Test 3 der 100 Proben Mängel aufweisen. c Abiturloesung.de

6 Aufgabe C1 Landesabitur Hessen 2011 GK Aufgabe 1 ( 11 BE ) Eine Bernoullikette liegt vor, wenn ein Zufallsversuch, bei dem man zwei verschiedene Ausgänge ( Treffer und Nichttreffer ) erhalten kann, unter gleich bleibenden Bedingungen, p(t) = p, also unabhängig voneinander, mehrere Male (n) wiederholt werden kann. Diese drei Bedingungen sind bei der Toto-Wette erfüllt: 1) Jedes der 13 Spiele entspricht einem Zufallsversuch mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von p = 1/3 2) die Anzahl der Versuche ist n = 13 und 3) man kann nur richtig oder falsch tippen X zählt die Anzahl der richtigen Tipps, d.h. 0 X 13 p( X = 13 ) = , ( ) = ( ) = 1 p( X 9) p Gewinn p X 10 1 = 1 F 13; ;9 3 = 1 0,9984 ( nach Tabelle) = 0, 0016 ( = 0,16%) Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C1

7 Aufgabe 2 ( 7 BE ) X zählt wieder die Anzahl der richtigen Tipps, d.h. 0 X 13, die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt jetzt p = 0,45 n = 13 p X , ,55 0, ( = ) = 1, 62 % ( ) = ( ) p Spieler gewinnt p X = 0, 45 0,55 + 0, 45 0,55 + 0, 45 0,55 + 0, Ausrechnen des Rechenterms war nicht gefordert. Aufgabe 3.1 ( 4 BE ) Die nebenstehende Tabelle gibt eine Übersicht über die Gewinne der 42. Ausspielung. Die beiden fehlenden Beträge sind zu berechnen. Der Gesamtspieleinsatz betrug , 00 Euro. Er wird zu 50 % auf die Gewinner verteilt und ausgeschüttet. Gewinnausschüttung = 0, = ,50 davon werden je 25 % auf die einzelnen Gewinnklassen verteilt, d.h. Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C1

8 Ausschüttung pro Gewinnkklasse = 0, ,50 = 79424,875 Aus der Tabelle kann man entnehmen: Gewinnbetrag in der Gewinnklasse 2 = ,875 : , ,80 da der Gewinnbetrag des Einzelnen auf volle zehn Cent abgerundet wird. Gewinnbetrag in der Gewinnklasse1 = ,875 : , ,70 Aufgabe 3.2 ( 8 BE ) Berechnung der abgegebenen Tippreihen: Anzahlder Tippreihen Gesamtspieleinsatz ( in Euro) = Pr eis pro Tippreihe (in Euro ) = = , Laut Tabelle gab es in der 42. Ausspielung insgesamt Gewinner in den 4 Gewinnklassen. Die mit der theoretischen Trefferwahrscheinlichkeit von p = 0,45 errechnete Gewinnwahrscheinlichkeit von mindestens 10 Treffern liegt ungefähr bei 2 %. Dies ist das Ergebnis des Rechenterms von Teilaufgabe 2. Bei Spielen ergibt sich mit der Formel für den Erwartungswert bei Binomialverteilungen E ( X) = n p = , Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C1

9 d.h. dass rund Spieler mit einem Gewinn rechnen könnten. Da es aber deutlich mehr Gewinner gab, kann man unter Umständen davon ausgehen, dass der Sachverstand der Mitspieler höher als die geschätzte Trefferwahrscheinlichkeit von 45 % sein muss. Was wäre also zu rechnen? Es ist ein p so zu finden, dass das Ergebnis von ( ) = ( ) p Spieler gewinnt p X = p ( 1 p) + p ( 1 p) + p ( 1 p) + p dem Quotienten , entspricht. Der mitgelieferten Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung kann man für p den ungefähren Wert 0,5 entnehmen, denn ( ) ( ) 1 F 13; p;9 = 0, F 13; p;9 = 0,9461 ( ) F 13;0,5;9 = 0,9539 liegt am nächsten an dem gesuchten Wert. Interpretation: Können die beteiligten Spieler mit rund 50% Erfolgswahrscheinlichkeit den Ausgang eines Spiels richtig vorhersagen, so kann man bei rund 1,25 Millionen Tippreihen mit ca Gewinnen rechnen. Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C1

10 Ein genaueres Ergebnis erhält man, wenn man eine GeoGebra-Datei zur Binomialverteilung benutzt. (siehe Zeichnung) Hier kann man für p den Wert 0,51 ablesen. Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C1

11 Aufgabe C2 Landesabitur Hessen 2011 GK Aufgabe 1. ( 6 BE ) Jedes 5. Spielzeug ist bei der Überprüfung durchgefallen. Die Anzahl der insgesamt beanstandeten Spiele ist also: 1 nd = 150 = 30 (*) 5 In 16 Proben waren Schadstoffe die Ursache der Mangelbewertung d.h. ns = 16 (**) Häufigster Schwachpunkt waren allerdings defekte Kleinteile. n Sei die Anzahl der Spielsachen mit defekten Kleinteilen, so folgt aus. k (**) n 17 k Da aber wegen (*) nk 30 sein muss, ist die einzig mögliche der 3 Lösungen n = 21. k Aufgabe 2. ( 11 BE ) Ein Baumdiagramm hilft bei der Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit. p 1 - p K K S S S S 0,8 Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C2

12 Mit den Bezeichnungen : K - defekte Kleinteile K - keine defekten Kleinteile S - Schadstoffe enthalten und S - keine Schadstoffe enthalten ergibt sich die gegebene Gleichung als Anwendung der Pfadregel. Ein Spielzeug fällt genau dann nicht durch, wenn es durch den Pfad ( K,S ) charakterisiert werden kann. Die zugehörige Rechnung liefert für p den Wert p 0, p 1 = 0, ( 1 p ) = 0, p = p = 1 = 0, ( ) Voraussetzungen, dass der Ansatz gültig ist : 1) es treten nur K und S als Gründe für ein Durchfallen auf und 2) die Mängel K und S treten unabhängig voneinander auf, denn nur dann gilt die Regel p( K S) = p( K) p( S) Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C2

13 Das vollständige Baumdiagramm hat dann folgendes Aussehen: 0,104 0,896 K K S S S S 0, 011 0, 093 0,095 0,8 Aufgabe 3.1 ( 7 BE ) Zufallsgröße X Anzahl der defekten Spielzeuge bei einem Stichprobenumfang von n = 100 Nullhypothese H 0 p 0,10 (d.h. die Wahrscheinlichkeit ein defektes Spielzeug zu finden, ist größer als 10 % ) Vermutung der Firma Weniger als 10 % der Spielzeuge aus deutscher Herkunft weist Mängel auf Testcharakteristik linksseitig, da der Ablehnungsbereich von H 0 links liegt Fehler 1. Art ( α - Fehler ) Die Behauptung der Firma wird als bestätigt angesehen, obwohl mindestens jedes zehnte Spielzeug mangelhaft ist. (d.h. mit anderen Worten die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist) Ho ( ) ( ) α= p X 5 = F 100; 0,1;5 0,0576 (lt. Tabelle) Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C2

14 Skizze dazu : A : Ablehnungsbereich der Nullhypothese B : Annahmebereich der Nullhypothese α kann auch geringer als 0,0576 sein, falls die ja nicht genau bekannte Wahrscheinlichkeit für p größer als p = 0,1 sein sollte. Aufgabe 3.2 ( 6 BE ) Bei einem Signifikanzniveau von 1 % darf der α - Fehler maximal 0,01 sein. Gesucht ist also die sogenannte kritische Zahl, so dass ( ) p X k 0,01 ist. Ho Skizze dazu Das heißt: ( ) ( ) p X k 0,01 F 100;0,1;k 0,01 Ho Die Tabelle liefert dazu die Werte ( ) ( ) F 100;0,1; 4 0, 0237 F 100;0,1;3 0, 0078 < 0, 01 also k = 3 Interpretation : Sind maximal 3 Spielzeuge zu beanstanden, so kann die Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau (mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit) von höchstens 1 % abgelehnt werden. Die Firma hätte dann mit ihrer Behauptung recht, denn k = 3 liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Die Alternativhypothese p < 0,1 ist also anzunehmen. Abitur Hessen 2011 GK Stochastik C2

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