Inoffizielles Skriptum zur Vorlesung Höhere Mathematik für Informatiker basierend auf Vorlesungen an der Universität Karlsruhe (TH)

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1 Höhere Mathεmatik für Informatiker Inoffizielles Skriptum zur Vorlesung Höhere Mathematik für Informatiker basierend auf Vorlesungen an der Universität Karlsruhe (TH) 2 24

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3 Inhaltsverzeichnis I Eindimensionale Analysis Vorbemerkungen 3 Mengen 3 2 Abbildungen 3 3 Aussagen 4 Zahlen 7 Reelle Zahlen 7 2 Axiome der reellen Zahlen 7 3 Natürliche Zahlen 2 4 Prinzip der vollständigen Induktion 3 5 Einige Formeln (Notationen) 4 6 Wurzeln 6 7 Potenzen mit rationalen Exponenten 7 2 Folgen, Konvergenz 9 2 Definition der Folgen 9 22 Konvergenz 2 23 Monotonie Häufungswert 3 25 Cauchy-Kriterium 34 3 Reihen 37 3 Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion 5 4 Potenzreihen 5 4 Der Cosinus Der Sinus Weiteres zu Sinus und Cosinus 56 5 g-adische Entwicklungen 59 6 Grenzwerte bei Funktionen 63 6 Allgemeines Exponentialfunktion 68 7 Stetige Funktionen 7 7 Potenzreihen Zwischenwertsatz Nullstellensatz von Bolzano Kompakte Mengen Monotonie, Umkehrfunktionen Exponentialfunktion und Logarithmus 8 iii

4 Inhaltsverzeichnis 77 Verschärfter Stetigkeitsbegriff 8 78 Gleichmäßige Stetigkeit Lipschitz-Stetigkeit 83 7 Zusammenfassung 83 8 Funktionenfolgen und -reihen 85 8 Punktweise Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen 89 9 Differentialrechnung 93 9 Differentiationsregeln Umkehrfunktion Extrempunkte Mittelwertsatz der Differentialrechnung Anwendungen: 96 Die Regeln von de l Hospital 3 97 Cosinus und Sinus, die Zahl π 5 98 Sonstiges 8 99 Höhere Ableitungen 9 9 Höhere Ableitungen bei Potenzreihen 9 Satz von Taylor 2 92 Extrema 5 Das Riemann-Integral 9 Integrabilitätskriterium 24 2 Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung 26 3 Partielle Integration 36 4 Integration durch Substitution 37 5 Mittelwertsatz der Integralrechnung 43 Partialbruchzerlegung 47 Fundamentalsatz der Algebra 47 2 Integration rationaler Funktionen 5 3 Explizite Integration weiterer Funktionenklassen 55 4 Uneigentliche Integrale 59 4 Konvergenzkriterien 6 5 Komplexe Exponential, Sinus und Cosinusfunktion 67 5 Polarkoordinaten Geometrische Darstellung der Multiplikation 7 53 n-te Wurzeln 7 54 Analysis in C 72 6 Fourier-Reihen 75 6 Orthogonalitätsrelationen Die Fourier-Reihe Komplexe Schreibweise von Fourier-Reihen 85 II Mehrdimensionale Analysis, Differentialgleichungen, Transformationen 89 iv

5 Inhaltsverzeichnis 7Der Raum R n 9 8Konvergenz im R n 95 9 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit 99 2 Folgen, Reihen, Potenzreihen und Stetigkeit in C 25 2 Konvergenz von Folgen Unendliche Reihen Komplexe Funktionen Potenzreihen 28 2Differentialrechnung im R n 2 2 Partielle Differenzierbarkeit 2 22 Differenzierbarkeit und Stetigkeit Die Richtungsableitung Der Satz von Taylor Differentialrechnung für vektorwertige Funktionen Allgemeines Implizit definierte Funktionen Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Integration im R n Das Riemann-Integral Integration über allgemeineren Mengen Verallgemeinerung der Substitutionsregel Spezielle Differentialgleichungen Ordnung Exakte Differentialgleichungen Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen Lineare Differentialgleichungen Ordnung Bernoullische Differentialgleichung Riccatische Differentialgleichung Systeme von Differentialgleichungen Ordnung Allgemeines Lineare Differentialgleichungs-Systeme Reduktionsverfahren von d Alembert Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Differentialgleichungen mit speziellen Inhomogenitäten Eulersche Differentialgleichungen Weitere Spezialfälle Die Fourier-Transformation Die Fourier-Transformierte Cauchyscher Hauptwert Umkehrung stückweise glatter Funktionen Faltungen Die Laplace-Transformation Eigenschaften der Laplace-Transformation Faltungen Ableitungen und Stammfunktionen 32 v

6 Inhaltsverzeichnis 284 Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen 323 A Tabellen 327 vi

7 Tabellenverzeichnis A Verschiedene Funktionsdefinitionen 327 A2 Additionstheoreme 328 A3 Einige Funktionen und ihre Ableitungen 328 A4 Trigonometrische Funktionen und ihre Ableitungen und Stammfunktionen 329 A5 Einige Funktionen und ihre Laplace Transformierten 33 Dieses Werk ist unter einem Creative Commons Namensnennung Nicht-Kommerziell Weitergabe unter gleichen Bedingungen Lizenzvertrag lizensiert Um die Lizenz anzusehen, gehen Sie bitte zu oder schicken Sie einen Brief an Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 9435, USA Dieses Skriptum erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit Einige Beweise, die in den Saalübungen geführt wurden, sind nicht enthalten Kommentare, Fehler, Patches und Vorschläge bitte an post@danielwinklerde senden Bei Fehlern bitte nicht die Seitenzahl sondern die Nummer des Satzes, der Abbildung etc sowie die Revisionsnummern angeben Die aktuelle Version dieses Dokuments sowie die Quelldateien hierzu sind unter der Web-Adresse zu finden Dieses inoffizielle Skriptum basiert auf dem Mitschrieb von Daniel Winkler zu den Vorlesungen an der Universität Karlsruhe in den Jahren 2 und 2 von Prof M Plum Kombiniert wurde er durch Markus Westphal und Sebastian Reichelt mit Material aus den Vorlesungen in den Jahren 22 bis 24 von HDoz Dr P Kunstmann und AOR Dr Ch Schmoeger Sowohl die Konzeption als auch das Manuskript der genannten Vorlesungen stammen allein von AOR Dr Ch Schmoeger Weitere Korrekturen und Ergänzungen wurden eingebracht von Julian Dibbelt, Martin Röhricht, Christian Senger, Norbert Silberhorn, Johannes Singler und Richard Walter Teil Rev Layout 282 HM 288 HM Anhang 256 heute: Karlsruher Institut für Technologie, KIT vii

8 Tabellenverzeichnis Don t panic! viii

9 Teil I Eindimensionale Analysis

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11 Vorbemerkungen Mengen Eine Menge ist nach Cantor eine Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen Notation: geschweifte Klammern {} Beispiel Notationen: M = {, 2, 3} M = {x : x ist Vielfaches von 7} oder {x N : x Vielfaches von 7} Weitere Grundnotation: Doppelpunkt zur Kennzeichnung von Definitionen Beispiel 2 Wollen die Funktion f definieren Schreibe (zb) f(x):= x 2 Nur bei einer Neudefinition, nicht bei einer Gleichung Oder: a:= 5, f heißt injektiv: Für alle a, ã M mit a ã gilt a M (oder M a): a ist Element von M; M enthält a a M (oder M a): analog so M = N: M enthält die selben Elemente wie N M N: analog so M N (oder M N): M ist Teilmenge von N, dh jedes Element von M ist auch ein Element von N; Gleichheit der Mengen ist erlaubt N M (oder N M): N ist Obermenge von M; analog M N: M ist echte Teilmenge von N; M N : leere Menge M N = {a : a M oder a N} (Vereinigungsmenge) M N = {a : a M und a N} (Schnittmenge) M \ N = {a : a M und a N} (Komplementmenge) M, N heißen disjunkt, wenn M N = P(M) = {N : N M}: Potenzmenge von M (Menge aller Teilmengen) Beispiel 3 Beispiel für die Potenzmenge von M = {, 2}: P(M) = { {, 2}, {}, {2}, } 2 Abbildungen Seien M, N Mengen Eine Abbildung oder Funktion f von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem Element a M in eindeutiger Weise ein f(a) N zuordnet Notation: f : M N, a f(a) 3

12 Vorbemerkungen Beispiel 4 M = N = R, f : { } R R x x 2 f : M N und f 2 : M 2 N 2 heißen gleich (kurz f f 2 ) (identisch), wenn M = M 2, N = N 2 und f (a) = f 2 (a) für alle a M f : M N heißt injektiv, wenn für alle a, ã M mit a ã gilt: f(a) f(ã); (x x ist injektiv, x x 2 nicht) surjektiv, wenn für alle ã N ein a M existiert mit f(a) = ã ( die Bildmenge wird voll ausgeschöpft) bijektiv, wenn f sowohl injektiv als auch surjektiv ist; eineindeutige Zuordnung Für M M heißt f(m ) = {f(a) : a M } Bildmenge von M (unter f) Für N N heißt f (N ) = {a M : f(a) N } Urbildmenge von N (unter f) Sind f : M N und g : N P Abbildungen, so heißt die Abbildung { } M P g f : a g(f(a)) Hintereinanderausführung von f und g 3 Aussagen Unter einer Aussage verstehen wir ein sprachliches oder gedankliches Gefüge, welches entweder wahr oder falsch ist Beispiel 5 4 ist eine gerade Zahl ist eine wahre Aussage Bananen sind kugelförmig ist eine falsche Aussage Nachts ist es kälter als draußen ist keine Aussage Es gibt unendlich viele Sterne ist eine Aussage, die wahr oder falsch sein kann Sind A, B Aussagen, so sind die Aussagen A, A B, A B, A B, A B, A B erklärt durch: A: A ist falsch (Negation) A B: A und B sind beide wahr (und) A B: A oder B ist wahr (oder) A B: entweder A oder B ist wahr (excl oder) A B: aus A folgt B; wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr (Implikation) (ist immer wahr, wenn A falsch ist; ist nur dann falsch, wenn B falsch ist) Bsp: Wenn Bananen kugelförmig sind, ist 4 gerade eine wahre Aussage A B: A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist (Äquivalenz) Sei M eine Menge und E eine Eigenschaft, die ein Element a M haben kann Dann sind folgende Aussagen machbar: a M a hat die Eigenschaft E; jedes a M hat die Eigenschaft E ( heißt All-Quantor) 4

13 3 Aussagen a M a hat die Eigenschaft E; es existiert ein a M mit der Eigenschaft E ( heißt Existenzquantor) a M a hat die Eigenschaft E; es existiert genau ein a M mit der Eigenschaft E Grundsätzliches Ziel der Mathematik: Möglichst viele nichttriviale Aussagen über gewisse Objekte Ein solches gedankliches Gebäude kann nicht aus dem Nichts kommen Start des mathematischen Denkens: Grundannahmen, Axiome, die nicht bewiesen werden können Insbesondere brauchen wir Axiome, die uns die Zahlen liefern Möglichkeiten: Peano-Axiome liefern die natürlichen Zahlen N, daraus lassen sich ganze Zahlen und rationale Zahlen konstruieren Ein weiteres Axiom liefert die reellen Zahlen R, woraus auch die komplexen Zahlen konstruierbar sind Wir können die Axiome sofort auf der Ebene der reellen Zahlen fordern Das wollen wir auch im Folgenden tun 5

14 Vorbemerkungen 6

15 Zahlen Reelle Zahlen Axiomatische Forderung: Es gibt eine Menge R, genannt die Menge der reellen Zahlen, mit folgenden Eigenschaften: 2 Axiome der reellen Zahlen 2 Körperaxiome In R seien zwei Verknüpfungen +, gegeben, die jedem Paar a, b R genau ein a+b R und ein a b R zuordnen Dabei soll gelten: A: Assoziativgesetz der Addition a, b, c R (a + b) + c = a + (b + c) A2: neutrales Element der Addition R a R a + = a A3: inverses Element der Addition a R ( a) R a + ( a) = A4: Kommutativgesetz der Addition a, b R a + b = b + a A bis A4 ergibt: (R, +) ist eine kommutative Gruppe A5: Assoziativgesetz der Multiplikation a, b, c R (a b) c = a (b c) A6: neutrales Element der Multiplikation R a R a = a, 7

16 Zahlen A7: inverses Element der Multiplikation a R \ {} a R a a = A8: Kommutativgesetz der Multiplikation a, b R a b = b a A5 bis A8 ergibt: (R \ {}, ) ist eine kommutative Gruppe A9: Distributivgesetz a, b, c R a (b + c) = a b + a c A bis A9 ergibt: (R, +, ) ist ein Körper Alle bekannten Regeln der Grundrechenarten lassen sich aus A bis A9 herleiten und seien von nun an bekannt Schreibweise: Für a, b R: ab := a b a b := a + ( b) falls a : b a Beispiel := ba () Das Nullelement ist eindeutig: Sei weiteres Element mit a R a + = a Dann: = = = (2) a R a = : a = a ( + ) = a + a (a ) = a (3) a R a 2 = ( a) 2 (wobei: a 2 = a a): a 2 = a a = a (a + a a) = a (a + a) + a ( a) = a (a + a) + ( a) (a + a a) = a (a + a) + ( a) (a + a) + ( a) ( a) = (a + a) (a a) + ( a) 2 = (a + a) + ( a) 2 = ( a) 2 22 Anordnungsaxiome In R ist eine Relation gegeben, für die gilt: A a, b R [ a b b a ] A a, b R [ (a b b a) a = b ] 8

17 2 Axiome der reellen Zahlen A2 a, b, c R [ (a b b c) a c ] R ist eine total geordnete Menge A3 a, b, c R [ (a b) (a + c b + c) ] A4 a, b, c R [ (a b c) a c b c ] Schreibweisen: a, b R b a : a b a < b : (a b a b) b > a : a < b Alle bekannten Regeln für Ungleichungen lassen sich aus A bis A4 herleiten und seien von nun an bekannt Beispiel 2 () a, b, c R [ (a b c ) a c b c ] Beweis: c c a ( c) b ( c) bc ac (2) a, b, c R [ (a b c > ) a c b c ] Betrag einer reellen Zahl: { a falls a a R a := a falls a < a : Abstand von a zur a b : Abstand zwischen a und b () a (2) a = a = (3) a = a (4) a b = a b (5) a a, a a (6) Dreiecksungleichung: a + b a + b (7) a b a b 9

18 Zahlen Beweis: zu (6) Fall: a + b Dann: a + b = a + b a + b a + b 2 Fall: a + b < Dann: a + b = (a + b) = ( a) + ( b) a + b Definition 3 Sei M R, M M heißt nach oben beschränkt : γ R x M x γ M heißt nach unten beschränkt : γ R x M x γ In diesem Fall heißt γ obere Schranke (bzw untere Schranke) von M Ist γ eine obere Schranke von M und gilt für jede weitere obere Schranke γ von M : γ γ, (dh γ ist kleinste obere Schranke von M), so heißt γ das Supremum von M Ist γ eine untere Schranke von M und gilt für jede weitere untere Schranke γ von M : γ γ, (dh γ ist größte untere Schranke von M), so heißt γ das Infimum von M Falls M ein Supremum hat, so ist nach A dieses eindeutig bestimmt (Infimum analog) Bezeichnung: sup M, inf M Existiert sup M und gilt sup M M, so heißt sup M auch Maximum von M (Bezeichnung max M) Existiert inf M und gilt inf M M, so heißt inf M auch Minimum von M (Bezeichnung min M) Beispiel 4 Intervalle Seien a, b R, a < b (a, b) := {x R : a < x < b} (offenes Intervall) [a, b] := {x R : a x b} (abgeschlossenes Intervall) (a, b] := {x R : a < x b} (halboffenes Intervall) [a, ) := {x R : a x} (a, ) := {x R : a < x} (, a) := {x R : x < a} (, a] := {x R : x a} (, ) := R Beispiel 5 Beispiele von Mengen und deren Schranken: () M = (, 2) obere Schranken: alle Zahlen 2 sup M = 2, 2 M, daher existiert das Maximum von M nicht untere Schranken: alle Zahlen inf M =, M, daher existiert das Minimum von M nicht

19 2 Axiome der reellen Zahlen (2) M = (, 2] obere Schranken: alle Zahlen 2 sup M = 2, 2 M max M = 2 untere Schranken: alle Zahlen inf M =, M, daher existiert das Minimum von M nicht (3) M = [2, ) inf M = 2; 2 M, also min M = 2 sup M exisitert nicht A5 Ist M R, M, M nach oben beschränkt, so existiert sup M Satz 6 Ist M R, M, M nach unten beschränkt, so existiert inf M Beweis: Betrachte M := { x, x M} statt M Definition 7 Sei M R, M M heißt beschränkt, wenn M nach oben und nach unten beschränkt ist Es gilt: M beschränkt c > x M x c Satz 8 Sei B A R, B, dann gilt: () Ist A beschränkt, so gilt inf A sup A (2) Ist A nach oben beschränkt, so ist auch B nach oben beschränkt und sup B sup A Ist A nach unten beschränkt, so ist auch B nach unten beschränkt und inf B inf A (3) Ist A nach oben beschränkt und γ eine obere Schranke von A, so gilt: γ = sup A ε > x A x > γ ε Ist A nach unten beschränkt und γ eine untere Schranke von A, so gilt: γ = inf A ε > x A x < γ + ε Beweis: () Wähle x A Da sup A obere Schranke von A, gilt: x sup A Da inf A untere Schranke von A, gilt: x inf A inf A sup A (2) (obere Zeile): sup A ist obere Schranke von A, also (wegen B A) auch von B Da sup B kleinste obere Schranke von B, folgt sup B sup A (3) (obere Zeile): : Sei γ = sup A, und sei ε > Da γ ε < γ, ist γ ε keine obere Schranke von A Also existiert ein x A mit x > γ ε

20 Zahlen : Es gelte ε > x A x > γ ε Wäre γ nicht das Supremum von A, so existiert eine kleinere obere Schranke γ von A (also γ < γ) Setze ε := γ γ > Nach Voraussetzung existiert ein x A mit x > γ ε = γ (γ γ) = γ γ ist keine obere Schranke von A Widerspruch ( ) 3 Natürliche Zahlen Definition 9 A R heißt Induktionsmenge (IM), wenn gilt: () A (2) x A x + A Beispiel R, [, ), {} [2, ) sind Induktionsmengen {} (2, ) ist keine Induktionsmenge Definition Die Menge N := {x R : x A für jede Induktionsmenge A} = Durchschnitt aller Induktionsmengen = A A IM heißt Menge der natürlichen Zahlen Satz 2 () Ist A R eine Induktionsmenge, dann gilt: N A (2) N ist eine Induktionsmenge (3) N ist nicht nach oben beschränkt (4) x R n N n > x Beweis: () Klar nach Definition von N (2) Da A für jede Induktionsmenge A R, gilt auch Sei x N = A Also x A für jede Induktionsmenge A A IM A IM A = N Da x + A für jede Induktionsmenge A, ist x + A = N N ist Induktionsmenge (3) Annahme: N ist nach oben beschränkt Nach A5 existiert also ein s := sup N s ist keine obere Schranke von N x N x > s ; da N Induktionsmenge ist, gilt x + N, andererseits x + > s Widerspruch, da s obere Schranke von N (4) folgt aus (3) A IM 2

21 4 Prinzip der vollständigen Induktion 4 Prinzip der vollständigen Induktion Satz 3 Ist A N und A Induktionsmenge, so ist A = N Beweis: N Ã für jede Induktionsmenge Ã, insbesondere N A Außerdem ist A N nach Voraussetzung, also A = N 4 Beweisverfahren durch Induktion Für jedes n N sei eine Aussage A(n) definiert Es gelte: () A() ist wahr (2) n N [ A(n) wahr A(n + ) wahr ] Dann gilt: n N A(n) ist wahr Denn: Setze A := {n N : A(n) ist wahr} Nach () gilt: A; nach (2) gilt n N n + A Also A Induktionsmenge; ferner A N Also ist nach Prinzip der vollständigen Induktion: A = N, dh A(n) wahr für alle n N Beispiel 4 () Behauptung: n N n Beweis: induktiv A(n) sei die Aussage n A() ist wahr, da Sei A(n) wahr, also n Dann n = dh also A(n + ) ist auch wahr für alle n N, dh n N n (2) Es sei m N und x R mit m < x < m + Behauptung: x N Beweis: A := (N [, m]) [m +, ) ist Induktionsmenge (Bew selbst) N A Annahme: x N, denn (wegen N A): x A, dh insbesondere x m oder x m + Widerspruch zur Annahme (echt kleiner etc) (3) Behauptung: n = n(n+) 2 3

22 Zahlen Beweis: () Stimmt für n =, da = (+) 2 (2) Gelte die Behauptung für ein beliebiges n N Dann n + (n + ) = Behauptung gilt für n + n(n + ) 2 ( n ) + (n + ) = (n + ) 2 + (n + )(n + 2) = 2 Definition 5 N := N {} Z := N { n : n N} { } p Q := q : p Z, q N ganze Zahlen rationale Zahlen Satz 6 Sind x, y R und x < y, so existiert ein r Q mit x < r < y Beweis: Wähle q N, q > y x, dann qy qx > Dann existiert (Beweis später) ein p Z mit qx < p < qy, dh x < p q < y Nachweis der Existenz eines solchen p: Setze M := Z (, qx] nach oben beschränkt s := sup M Wähle n M mit n > s Setze p := n + Z; ferner p > s p M; wegen p Z also p (, qx], dh p > qx Ferner p = n + qx + < qy 5 Einige Formeln (Notationen) () Für a R und n N: a n := a a a (n mal) Präzise mit vollständiger Induktion: Definiere a := a Sei a n für ein n N bereits definiert Dann a n+ := a n a Daraus: übliche Rechenregeln für Potenzen Falls a, n N : a n := a n Für alle a R : a := Damit: a n (für a ) für alle n Z definiert (2) Für n N : n! := 2 3 n Präzise:! := ; falls n! bereits definiert für ein n N : (n + )! := n! (n + ) Damit ist n! definiert für alle n N 4

23 5 Einige Formeln (Notationen) (3) ( Für n N, k N, k n: n ) k := n! k!(n k)! (Binomialkoeffizenten) Es gilt: ( ( n ) = ; n n) = Ferner: ( ) ( n k + n ) ( k = n+ ) k, k n (4) Bernoullische Ungleichung: Für x R, x und n N gilt: ( + x) n + nx Beweis: n = : ( + x) = + x = + x Gelte die Behauptung für ein n N; ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + (n + )x + nx 2 + (n + )x (5) Summenzeichen, Produktzeichen: Will definieren: n a k := a + a a n k= n a k := a a 2 a n k= Präzise: Setze a R, so setze a k := a k= a k := a k= Sind für je n Zahlen a,, a n R bereits obige Ausdrücke definiert und sind a,, a n+ R, so setze ( n+ n ) a k := a k + a n+ k= k= Produktzeichen analog Sind p, q Z, p q, a p,, a q R, so definiere q a k := k=p q a k := k=p q p+ k= q p+ k= Schließlich für p > q: a p +k a p +k q a k :=, k=p q a k := k=p 5

24 Zahlen (6) Binomischer Lehrsatz: Es seien a, b R, n N Dann gilt: (a + b) n = n k= ( ) n a n k b k k (7) Es seien a, b R, n N Dann gilt n a n+ b n+ = (a b) a n k b k k= 6 Wurzeln Will nun n einführen Lemma 7 Für x, y R, x, y und n N gilt: x y x n y n Satz und Definition 8 Es sei a und n N Behauptung: Es existiert genau ein x R, x mit x n = a Dieses x heißt n-te Wurzel aus a, x =: n a Speziell für n = 2 : a := 2 a Beweis: Eindeutigkeit nach obigem Lemma Die Existenz: mit Zwischenwertsatz für stetige Funktionen 7 Bemerkung 9 2 Q Beweis: Annahme: 2 Q, dh es gibt p, q N, p, q teilerfremd, mit 2 = p p2 q ; dann 2 = q, also 2 p 2 = 2q 2 p 2 ist durch 2 teilbar p ist durch 2 teilbar p 2 ist durch 4 teilbar q 2 ist durch 2 teilbar q ist durch 2 teilbar p, q beide durch 2 teilbar; Widerspruch zu p, q teilerfremd Nach unserer Definition ist n a (für a ) Achtung: Wir ziehen nur Wurzeln aus Zahlen Bsp: 4 = 2; die Gleichung x 2 = 4 hat zwei Lösungen 2 und 2; als Wurzel wählen wir die Lösung aus a 2 = a 6

25 7 Potenzen mit rationalen Exponenten 7 Potenzen mit rationalen Exponenten Es sei a und r Q, r > Also r = m n Wir wollen definieren: a r := ( n a ) m mit m, n N Problem: Ist r = p q eine weitere Darstellung von r, gilt dann ( n a ) m = ( q a ) p? Ja! Denn: Setze x := ( n a ) m, y := ( q a ) p Dann [ ( x q = n ) ] m q ( a = n ) mq ( a = n ) [ np ( a = n ) ] n p a = a p Analog für y q dh x q = y q Nach Hilfssatz also x = y Also obige Definition in Ordnung Es gelten die bekannten Rechenregeln Ist a >, r Q, r <, so setze a r := a r 7

26 Zahlen 8

27 2 Folgen, Konvergenz 2 Definition der Folgen Definition 2 Sei X eine beliebige Menge, X Eine Funktion a : N X heißt Folge in X Schreibweise: n N a n := a(n) n-tes Folgenglied (a n ) n N oder (a n ) n= oder (a n ) oder (a, a 2, a 3, ) statt a Ist X = R, so spricht man von reellen Folgen Bemerkung 22 Ist p Z und a : {p, p +, p + 2, } X eine Funktion, so spricht man ebenfalls von einer Folge in X Bezeichnung: (a n ) n=p oder (a p, a p+, ) Beispiel 23 a n := n für alle n N, also (a n ) n N = (, 2, 3, ) n N a 2n :=, a 2n := also (a n ) n N = (,,,, ) n N a n := ( ) n also (a n ) n N = (,,,, ) Definition 24 Sei X eine beliebige Menge, X () X ist endlich, wenn eine surjektive Abbildung φ : {,, n} X existiert (2) X heißt abzählbar, wenn X endlich ist oder eine surjektive Abbildung φ : N X existiert (Dh wenn X endlich ist oder eine Folge (a n ) n N in X existiert mit {a, a 2, a 3, } = X oder: die Elemente von X können mit {,, n} oder mit N durchnummeriert werden) (3) X heißt überabzählbar, wenn X nicht abzählbar ist Beispiel 25 N ist abzählbar, denn N = {a, a 2, a 3, } mit n N a n := n Z ist abzählbar Definiere etwa: a :=, a 2 :=, a 3 :=, a 4 := 2, 9

28 2 Folgen, Konvergenz Q ist abzählbar Unendliches Rechteck Dann setze b :=, b 2 := a, b 3 := a,, um auch die negativen Zahlen durchnummerieren zu können R ist überabzählbar ( es gibt auch viel mehr irrationale Zahlen als rationale) Ab jetzt seien alle Folgen reelle Folgen Definition 26 Sei (a n ) eine reelle Folge (a n ) heißt nach oben bzw unten beschränkt, wenn die Menge M = {a, a 2, a 3 } nach oben bzw nach unten beschränkt ist In diesem Fall: sup(a n ) n N := sup M Analog für die andere Seite (a n ) heißt beschränkt, wenn (a n ) nach oben und nach unten beschränkt ist 22 Konvergenz Der Begriff der Konvergenz ist der zentrale Begriff der Analysis Wir betrachten zunächst die Konvergenz reeller Folgen Sei (a n ) eine Folge in R und a R Was soll a n a für n bedeuten? Schritt: Die Folgenglieder a n kommen a beliebig nahe oder a n a wird beliebig klein, wenn n groß wird 2 Schritt: So sollte doch zum Beispiel gelten: a n a < Nur: für welche n? Idee: Ab einem gewissen Index n soll für alle n n die obige Ungleichung gelten Ebenso sollte es ein n N geben mit a n a < 6 für alle n n 3 Schritt: Ist ε > (und ε beliebig klein), so sollte es stets ein n = n (ε) N geben, mit a n a < ε für alle n n Diese Überlegungen führen uns zu folgender Definition 27 () Die Folge (a n ) heißt konvergent gegen a, wenn gilt: ε > n N n n a n a < ε In diesem Fall heißt a Grenzwert (Limes) von (a n ) Bezeichnung: a = lim n a n oder: a n a für n 2

29 22 Konvergenz (2) Eine Folge (a n ) heißt konvergent, wenn es ein a R gibt derart, dass (a n ) gegen a konvergiert (3) Eine Folge (a n ) heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist Definition 28 Für x R, ε > definiere: U ε (x ) := { x R : x x < ε } = (x ε, x + ε) als ε-umgebung von x Somit gilt für eine Folge (a n ) und a R: a n a für n ε > n N n n a n U ε (a) Satz 29 (a n ) sei eine konvergente Folge Dann gilt: () Der Grenzwert von (a n ) ist eindeutig bestimmt (2) (a n ) ist beschränkt Beweis: () Annahme: a n a und a n b, a b Wähle ε > mit U ε (a) U ε (b) = Dann wegen a n a : a n U ε (a) für fast alle n N dh a n U ε (a) für höchstens endlich viele n N Insbesondere a n U ε (b) für höchstens endlich viele n N (2) Nach Definition gilt insbesondere für ε := : Daher gilt: n N n n a n a < n n a n = (a n a) + a a n a + a < + a Setze jetzt c := max { a, a 2,, a n, a + } Dann offenbar n N a n c Beispiel 2 Sei c R, n N a n := c Dann heißt (a n ) konstante Folge n N a n c = Daher natürlich a n c für n n N a n := n Behauptung: (a n ) 2

30 2 Folgen, Konvergenz Beweis: Sei ε > (beliebig) Wähle n N mit n > ε Dann ist n < ε Also n n a n = n n < ε a N a n := n (a n ) ist nicht konvergent, da sie nicht beschränkt ist (vgl obiger Satz) n N a n := ( ) n Behauptung: (a n ) ist divergent Beweis: Annahme: (a n ) ist konvergent, also exisitert a R mit a n a Dann gilt: a oder a Etwa a : Wähle ε > mit U ε (a) Dann wegen a n a: a n U ε (a) für fast alle n N a n U ε (a) für höchstens endlich viele n N Insbesondere: a n = für höchstens endlich viele n N n N a n := n + n Dann n N a n = ( n + n ) ( n + + n ) n + + n = n + + n 2 n n Behauptung: a n Sei ε > Wähle n N mit n > ε 2 Dann n < ε 2, also n < ε Daher n n a n = a n n n < ε n N a n := n2 n 2 + Dann: n N a n = n 2 n 2 + n2 + n 2 + = n 2 + n 2 n Sei ε > ; wie oben: wähle n N mit n > ε etc (vgl oben) n N a n := n Behauptung: a n 22

31 22 Konvergenz Beweis: Idee: a n = n < ε n > ε 2 Sei ε > Wir finden ein n N mit n > ε 2 Für jedes n n gilt dann n > ε 2, also a n = n < ε Sei x R Zu jedem n N finden wir ein r n Q mit r n ( x n, x + n), dh mit x rn < n Wir erhalten r n x für n Fazit: Jedes x R ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen Bemerkung 2 Sei p Z fest Für Folgen der Form (a n ) n=p definieren wir Konvergenz, Beschränktheit, analog zu Folgen der Form (a n ) n N Im folgenden formulieren wir Definitionen, Sätze etc nur für Folgen der Form (a n ) n N Sie gelten sinngemäß für Folgen der Form (a n ) n=p Satz 22 (a n ), (b n ), (c n ) seien Folgen in R und sei a R () a n a a n a (2) Ist (α n ) eine weitere Folge mit α n für n und a n a α n für fast alle n N, so gilt a n a für n (3) Gilt a n a, so gilt a n a (Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch) (4) Es gelte a n a, b n b Dann gilt: (i) a n + b n a + b (ii) α a n α a (wobei α R beliebig) (iii) a n b n a b (iv) Sei b Dann existiert ein m N mit n N n m konvergiert gegen a b b n und die Folge (5) Gilt a n a und b n b und gilt a n b n für fast alle n N, so gilt auch a b (6) Gilt a n a und c n a und a n b n c n für fast alle n N, dann gilt b n a ( a n bn ) n=m Beweis: zu (): Ergibt sich aus der Definition des Konvergenzbegriffes zu (2): Sei ε > Da α n, existiert ein n N mit n n α n < ε Ferner existiert ein n 2 N mit n n 2 Wähle n := max{n, n 2 } Dann n n a n a α n = α n < ε Also a n a zu (3): n N : an a an a =: α n Wegen a n a folgt aus (): α n Nach (2) also a n a a n a α n 23

32 2 Folgen, Konvergenz zu (4): zu (i) Sei ε > Wegen a n a existiert ein n N mit n n a n a < ε 2 Wegen b n b existiert n 2 N mit n n 2 b n b < ε 2 Wähle n := max{n, n 2 } Dann: n n (an + b n ) (a + b) = (an a) + (b n b) an a + b n b < ε zu (ii) Beweis selbst zu (iii) n N a n b n ab = (an b n a n b) + (a n b ab) an b n a n b + a n b ab = a n b n b + b a n a Außerdem ist (a n ) beschränkt, da konvergent Also c n N a n c Daher n N Aus (ii) und () folgt a n b n ab c b n b + b a n a =: α n c b n b und b a n a Nach (i) also α n Nach (2) also a n b n ab zu (iv) Wegen b gilt ε := b 2 > zu (5): Annahme: a > b Wegen b n b gilt b n b, daher existiert ein m N mit n m bn b < ε n m b n > b ε = b 2 > Ferner n m ist = bn b b n b Dann α n, da b n b (ii) ( ) Nach (2) also b n ( ) b Nach (iii): an b n = a n b n a b = a b Setze ε := a b 2 > Offenbar gilt b 2 n b b 2 b n b =: α n x U ε (b) y U ε (a) : x < y (2-i) Wegen a n a und b n b existiert ein n N so dass n N, n n : Wegen (2-i) gilt also n N, n n : b n < a n a n U ε (a) b n U ε (b) zu (6): Sei ε > Dann existiert ein n N mit n n a n a < ε c n a < ε a n b n c n a n > a ε c n < a + ε n n a ε < a n b n c n < a + ε Das heißt: n n ε < b n a < ε also n n b n a < ε Daher b n a 24

33 23 Monotonie Beispiel 23 () Sei p N und n N a n := n p Behauptung: a n Beweis: Möglichkeit: Setze b n := n, dann a n b n wegen n p n Daher a n 2 Möglichkeit: Setze c n := n Mit vollständiger Induktion über p folgt mit (4) (iii): a n (2) n N a n := 5n2 + 3n + 6 7n 2 + 4n + = n + 6 n n + n 2 n Monotonie Definition 24 Die Folge (a n ) heißt monoton wachsend monoton fallend, wenn n N a n a n+ bzw a n a n+ Die Folge (a n ) heißt streng monoton wachsend streng monoton fallend, wenn obiges mit strengem < > gilt Satz 25 (Monotonie-Kriterium) Ist (a n ) monoton dann ist (a n ) konvergent wachsend fallend und nach oben unten beschränkt, Beweis: Setze a := sup a n Dies existiert, da (a n ) nach oben beschränkt ist Sei ε > Dann ist a ε keine obere Schranke von (a n ) Das heißt: n N a n > a ε Somit n n a n a n > a ε (wegen Monotonie) a n a < a + ε (wegen Supremum) Also n n a n a < ε 2 Teil geht analog Eine anschauliche Darstellung des Beweises findet man in Abbildung 2 Beispiel 26 Definiere (a n ) rekursiv: a := 3 6, n N a n+ := a n Behauptung: n N a n < 2 25

34 2 Folgen, Konvergenz Abbildung 2: Zum Beweis des Monotonie-Kriteriums Beweis: a = 3 6 < 2 Gelte a n < 2 für ein n N Dann a n+ = a n < = 2 (wegen a n < 2) Behauptung: (a n ) monoton wachsend Beweis: a a 2 Gelte a n a n+ für ein n N a n+2 = a n a n = a n+ Also (a n ) konvergent Beispiel 27 Sei p N fest, (a n ) eine Folge, a n a für n Ferner gelte n N a n Also gilt auch: a (so) Behauptung: p a n p a Beweis: Fall: a = Zu zeigen: p a n Sei ε > Wähle n N mit n n a n < ε p (geht wegen a n, n N a n ) n n p a n = p a n < ε 2 Fall: a > n N a n a = ( p a n ) p ( p a) p Nach Verallgemeinerung der 3 binom Formel: ( = p an p a ) p ( p a n ) p k ( p a) k k= 26

35 23 Monotonie p a n p a ( p a n ) p (p ) ( p a ) p } {{ } =( p a) p =:c n N : p a n p a c a n a p a n p a Beispiel 28 Sei x R fest und n N a n := x n Dann gilt: Fall: x = a n 2 Fall: x = a n 3 Fall: x = (a n ) = ( ( ) n) divergent 4 Fall: x > δ := x > und für jedes n N gilt: a n = x n = x n = ( + δ) n Bernoullische Ungleichung + n δ > n δ Weil δ > (a n ) nicht beschränkt (a n ) divergent 5 Fall: < x < y := x > und für jedes n N gilt: ( a n = x ) n = ( + y) n Bernoullische n N : a n < y n a n Beispiel 29 Sei x R und n N s n := Ungleichung + n y > n y n k= x k Behauptung: (s n ) konvergiert Beweis: x < ; dann: lim n s n = x Fall: x = s n = n + (s n ) divergiert 2 Fall: x Mit vollständiger Induktion zeigt man: s n = xn+ x für jedes n N [ (s n ) konvergiert ( x n+) konvergiert ] [ (s n ) konvergiert x < ] außerdem: x < x n+ s n x Beispiel 22 Behauptung: n n für n 27

36 2 Folgen, Konvergenz Beweis: Es gilt: n N n n (da n n n ) Sei n N a n := n n Zu zeigen: a n Es gilt: n N n = ( n n ) n = ( + an ) n = n k= ( ) n n k a k n k ( ) n a 2 n(n ) n = a 2 n 2 2 n 2 a 2 n 2 n a n für n = n 2 a n 2 n Beispiel 22 Sei c > fest Behauptung: n c für n Beweis: Fall: c : m N c m also n m c n n m n c n n }{{} Also n c (so) 2 Fall: < c < : Dann c > n c Durch invertieren folgt: n c Beispiel 222 Für jedes n N sei a n := ( + n ) n und bn := n Behauptung: (a n ) und (b n ) konvergieren und lim n a n = lim n b n Beweis: (i) Für jedes n N gilt: a n = ( + ) n Bernoullische Ungleichung + n n n = 2 k= k! (ii) Für jedes n N gilt: b n+ = n k= n k! + (n + )! > k! = b n k= Also: (b n ) ist streng monoton wachsend 28

37 23 Monotonie (iii) Für jedes n N gilt: b n = + }{{} = 2 + Für jedes n N ist n k= ( 2 2 }{{} = }{{} ) k = ( ) n ( 2 = 2 2 Also: b n + 2 = 3 für alle n N } 2 3 {{ n } 2 n n < + ( ) n ) 2 = 2 2 k= ( ) k 2 (iv) Nach dem Monotonie-Kriterium konvergiert b n wegen (ii) und (iii) Setze b := lim n b n (v) Wir zeigen mit der Bernoullischen Ungleichung, dass für alle n N gilt: a n+ > a n a n+ > a n ( + ) n+ ( > + ) n n + n ( ) n+ ( ) n n + 2 n + > n + n ( ) n (n + 2) n (n + ) 2 > n + n + 2 ( ) n (n + ) 2 > n + n + 2 ( ) n (n + ) 2 > n + 2 } {{ } bleibt zu zeigen Nach der Bernoullischen Ungleichung: ( ) n n (n + ) 2 ( + n) 2 Bleibt noch zu zeigen: n ( + n) 2 > n + 2 dh n ( + n) 2 < n + 2 (n + ) 2 > n (n + 2) n n + > n n Dies ist aber wahr (vi) Wir wollen zeigen: Für alle n 2 gilt: a n < b n a n = ( + n) n = = + + k=2 n k= n k! ( ) n k n k n n }{{} < n n } {{ } < n k + < b n } {{ n } < 29

38 2 Folgen, Konvergenz (vii) Aus (vi) folgt: a n < 3 für alle n N Nach dem Monotoniekriterium konvergiert dann (a n ); sezte: a := lim n a n Wegen (vi) folgt: a b (viii) Sei j N, j 2 fest Für n j gilt: Also: a n so + + j ( k! ) n k=2 ( k ) =: c n n } {{ } (n ) } {{ } b j a n c n, c n b j a b j j beliebig und b j b a b (vii) a = b ( Definition 223 e := lim + n n n) heißt Eulersche Zahl Nach vorigem Beispiel gilt: 2 e 3 und lim n n k= k! = e 24 Häufungswert Definition 224 Sei (a n ) eine reelle Folge und (n, n 2, n 3, ) eine Folge in N mit n < n 2 < n 3 Setze k N b k := a nk Die Folge (b k ) heißt dann Teilfolge von (a n ) Beispiel 225 () (a 2, a 4, a 6, ) ist Teilfolge von (a n ) (Setze n k := 2k) (2) (a, a 4, a 9, a 6 ) ist Teilfolge von (a n ) (Setze n k := k 2 ) (3) (a 4, a 2, a 8, a 6, a, ) ist keine Teilfolge von (a n ) { 2 (k ) für k gerade Denn: n k := ist nicht streng monoton wachsend 2 (k + ) für k ungerade 3

39 24 Häufungswert Definition 226 Sei (a n ) eine reelle Folge und a R a heißt Häufungswert von (a n ), wenn eine Teilfolge (a nk ) von (a n ) existiert mit a nk a für k HW(a n ) := {a R : a ist Häufungswert von (a n )} Beispiel 227 () n N a n := ( ) n n N a 2n = (a 2n ) = (a nk ) mit n k := 2k ist Teilfolge von (a n ) ist Häufungswert von (a n ) n N a 2n = (a 2n ) = (a nk ) mit n k := 2k ist Teilfolge von (a n ) ist Häufungswert von (a n ) Behauptung: Es gibt keinen weiteren Häufungswert von (a n ) Beweis: Sei a R, a, a Annahme: a ist Häufungswert Also existiert eine Teilfolge (a nk ) mit a nk a für k Wähle ε > so, dass U ε (a), U ε (a) Wegen a nk a für k existiert ein k N mit k k a nk U ε (a) Aber: k N a nk = oder a nk = (2) Q ist abzählbar Also existiert eine Folge (a n ) in Q mit Q = {a, a 2, } Behauptung: Jede reelle Zahl ist Häufungswert von (a n ) Beweis: Sei a R Es existiert ein q Q mit a < q < a + (sogar unendlich viele) Es existiert ein n N mit q = a n Es existiert ein q 2 Q mit a < q 2 < min { a + 2, a } n Es existiert ein n 2 N mit q 2 = a n2 und n 2 > n Es existiert ein q 3 Q mit a < q 3 < min { a + 3, a } n 2 Es existiert ein n 3 N mit q 3 = a n3 und n 3 > n 2 Induktiv fortsetzen: Es existiert eine Teilfolge (a nk ) mit a < a nk < min { a + k, a } n k+ für alle k N, k 2 Also (a nk ) a für k a ist Häufungswert (3) n N a n := n Für jede Teilfolge (a nk ) gilt: (a nk ) = (n, n 2, n 3, ) unbeschränkt Jede Teilfolge ist divergent Es existieren keine Häufungswerte Erinnerung: a n a ε > a n U ε (a) für fast alle n N 3

40 2 Folgen, Konvergenz Satz 228 Sei (a n ) Folge und a R Dann gilt: a HW(a n ) ε > a n U ε (a) für unendlich viele n N Beweis: Wir finden eine Teilfolge (a n k ) von (a n ) mit a nk α (k ) Sei ε > Dann existiert ein k N mit dh a nk U ε (α) für alle k k a n U ε (α) für alle n {n k, n k+, } =: M M ist unendlich Zu ε = finden wir n N mit α < a n < α + Zu ε = 2 finden wir n 2 N mit α 2 < a n 2 < α + 2 Wir erhalten eine Teilfolge (a nk ) von (a n ) mit ank α < k für alle k N a nk k α α HW(a n ) Satz 229 Ist (a n ) konvergente Folge und (a nk ) eine { Teilfolge } von (a n ), so ist auch (a nk ) konvergent und lim a n k = lim a n Insbesondere ist HW(a n ) = lim a n k n n Beweis: Sei a := lim a n Sei ε > Wegen a n a existiert ein n N mit n n a n a < ε Da n < n 2 < existiert ein k N mit n k n Dann gilt k k : n k > n k n k k a n a < ε, also konvergiert a nk a Lemma 23 Jede Folge (a n ) hat eine monotone Teilfolge Beweis: m N heiße niedrig : n m a n a m Fall Es gibt höchstens endlich viele (möglicherweise gar keine) niedrige Indizes Dann finden wir ein m N mit m, m +, sind alle nicht niedrig Setze n := m n nicht niedrig es existiert ein n 2 N mit n 2 > n und a n2 < a n n 2 nicht niedrig es existiert ein n 3 N mit n 3 > n 2 und a n3 < a n2 Wir erhalten eine Teilfolge (a nk ), die monoton fällt 32

41 24 Häufungswert 2 Fall Es gibt unendlich viele niedrige Indizes n < n 2 < n 3 < Da für alle k N der Index n k niedrig ist, gilt n n k : a n a nk (a nk ) monoton wachsend Satz 23 (Satz von Bolzano Weierstrass) Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungswert Beweis: Nach obigem Lemma enthält (a n ) eine monotone Teilfolge (a nk ) Da (a n ) beschränkt ist, ist auch (a nk ) (nach oben und unten) beschränkt Nach dem Monotonie-Kriterium ist (a nk ) konvergent Dann ist lim (a n k ) Häufungswert von (a n ) k Satz 232 (a n ) sei beschränkt ( HW(a n ) ) Dann gilt: () HW(a n ) ist beschränkt (2) sup HW(a n ), inf HW(a n ) sind selbst wieder Häufungswerte Also existieren max HW(a n ) und min HW(a n ) Beweis: zu (): Wir finden ein c mit a n c für alle n N Für jede Teilfolge (a nk ) gilt a nk c für alle k N Für jedes α HW(a n ) gilt α c zu (2): Sei s := sup HW(a n ) und ε > Wir finden α HW(a n ) mit s ε 2 < α s U ε/2 (α) U ε (s) In U ε/2 (α) liegen unendlich viele der Folgenglieder a n in U ε (s) liegen unendlich viele a n s HW(a n ) Definition 233 (a n ) sei beschränkte Folge lim sup a n := lim a n := max HW(a n ) heißt limes superior oder oberer Limes von (a n ) n n lim inf a n := lim a n := min HW(a n ) heißt limes inferior oder unterer Limes von (a n ) n n Klar: Wenn (a n ) beschränkt ist, dann gilt: a HW(a n ) lim inf a n a lim sup n n a n Beachte: Aus obigem Satz folgt: Ist (a n ) konvergent, dann gilt: lim sup a n = lim inf a n = lim a n n n n Beispiel 234 n N a n = ( ) n Schon gezeigt: HW(a n ) = {, } Also: lim sup a n =, n lim inf n a n = 33

42 2 Folgen, Konvergenz Beispiel 235 n N a n = ( ) n ( + n) n Dann gilt n N a 2n = ( + 2n) 2n (a2n ) ist Teilfolge von (a n ) und lim n a 2n = e Ferner n N ( a 2n+ = + ) 2n+ 2n + (a 2n+ ) ist Teilfolge von (a n ) und lim n a 2n+ = e Also (!) ist HW(a n ) = {e, e} dh lim sup a n = e, n lim inf n a n = e Satz 236 (a n ) sei beschränkt Dann gilt: α lim sup(α a n ) = α lim sup n n a n α lim inf n (α a n) = α lim inf n a n lim sup( a n ) = lim inf a n n n 25 Cauchy-Kriterium Definition 237 Eine Folge (a n ) heißt eine Cauchy-Folge, wenn gilt: ε > n N n, m n a n a m < ε Satz 238 (Cauchy-Kriterium) (a n ) konvergent (a n ) Cauchy-Folge Beweis: Sei ε > Sei a := lim a n n Da (a n ) konvergent ist, existiert n N mit n n a n a < ε 2 n, m n a n a m = (an a) + (a a m ) an a + a a m < ε Zeige zunächst (a n) (vorgegebene Cauchy-Folge) ist beschränkt Zu ε := existiert ein n N mit n, m n a n a m < n n a n = (an a n ) + a n an a n + a n + a n n N a n max { a, a 2,, a n, + a n } Nach Bolzano-Weierstraß hat (a n ) also einen Häufungswert, dh es existiert eine konvergente Teilfolge (a nk ) Sei a := lim n a n k Zu zeigen: a = lim n a n 34

43 25 Cauchy-Kriterium Sei nun ε > Dann existiert ein n N mit n, m n a n a m < ε 2 Da a nk a existiert k N mit n k n k k a nk a < ε 2 n n a n a = (a n a nk ) + (a nk a) a n a nk + a nk a < ε Beispiel 239 (a n ) rekursiv definiert durch: Dann: a :=, a n+ := + a n n N a n >, a n < (Beweis per Induktion) n N a n+ = + a n 2 n N a n 2 Daher: n, k N, n 2 a n+k a n = + a n+k + a n a n+k a n = ( + a n+k )( + a n ) 4 9 a n+k a n ( ) n 4 ( ak+ + a ) ( n, k N ( ) n 4 a n+k a n 2 9 (a n ) ist Cauchy-Folge: Sei ε > wähle n N mit 2 ( 4 9) n < ε Seien n, m n obda sei m > n Setze k := m n a m a n = an+k a n 2 ( 4 9) n 2 (a n ) ist Cauchy-Folge (a n ) ist konvergent ( ) n 4 9 Sei a := lim n a n Wegen a n+ = +a n und a n a und a n+ a folgt: a = + a a 2 + a = a = 5 2 ± 4 + = 2 ± 2 Wegen a n 2 (so) gilt auch a 2 Also + a = ( ) 5 2 ( 4 9 ) n a n+k (n ) a n (n ) ) n < ε 35

44 2 Folgen, Konvergenz 36

45 3 Reihen Definition 3 Sei (a n ) eine Folge in R und s n := wird mit k= a k n k= bezeichnet s n heißt n-te Teilsumme oder Partialsumme a k heißt konvergent : (s n ) konvergent Analog: divergent k= a k Die Folge (s n ) heißt unendliche Reihe und Ist a k konvergent, so heißt lim s n der Reihenwert oder Reihensumme und wird ebenfalls mit k= n k= bezeichnet Das Symbol a k hat also im Konvergenzfall zwei Bedeutungen k= a k Bemerkung 32 () Ist p Z und (a n ) n=p eine Folge, so definiert man entsprechend (2) n p s n := a p + a p+ + + a n = n k=p a k Die kommenden Sätze und Definitionen werden nur für den Fall p = formuliert, gelten aber entsprechend auch für andere p Z Man schreibt für p = auch oft a k statt a k, wenn keine Verwirrungen zu befürchten sind a k = a j = k= j= k= Beispiel 33 () geometrische Reihe k= x k Also n N s n = + x + x x n 37

46 3 Reihen (2) (3) Wie bereits gezeigt (29): (s n ) konvergiert x < In diesem Fall: lim s n = n x Also x k ist konvergent x <, und in diesem Fall: k= dh k= k= x k = x k(k+), dh a k = k(k+) = k k+ Also k= n N s n = a + a a n = k= n k(k+) ist konvergent und k= ( ) ( ) ( n ) = n + n + k(k+) = k!, also n N s n = + + 2! + + n! Wie bereits gesehen: s n e für n Also: k! ist konvergent, und k! = e k= (4) harmonische Reihe k= k k= Also n N s n = n n N s 2n = s n + n + } {{ } 2n + n + 2 } {{ } 2n + + 2n }{{} 2n } {{ } n Summanden s n + n 2n = s n + 2 Also ist (s n ) keine Cauchy-Folge, denn sonst gibt es zu ε = 2 ein n N mit n, m n s n s m < ε Wähle n n beliebig und m := 2n, denn s 2n s n < ε = 2 Nach Cauchy-Kriterium ist (s n ) divergent, dh k divergent Satz 34 () Monotoniekriterium: Es gelte k N a k Ferner sei (s n ) nach oben beschränkt Dann ist a k konvergent k= k= 38

47 (2) Cauchy-Kriterium für Reihen: a k ist konvergent ε > n N n, m n m > n k= m a k < ε k=n (3) a k sei konvergent, dann ist für jedes ν N die folgende Reihe k= r ν := k=ν+ a k gilt lim ν r ν = k=ν+ (4) Ist a k konvergent, so gilt lim a k = k= k Achtung: Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch Beispiel: harmonische Reihe a k konvergent, und für Beweis: () Da k N a k ist (s n ) monoton wachsend (s n+ = s n +a n+ ) Ferner (s n ) nach oben beschränkt Also nach dem Monotoniekriterium für Folgen gilt: (s n ) ist konvergent (2) Für m > n gilt s m s n = m a k k=n+ Behauptung folgt aus dem Cauchy-Kriterium für Folgen (3) Sei ν N fest Setze m ν + σ m := m (4) k=ν+ Dann m ν + s m = a + + a ν + a ν+ + + a m = s ν + σ m a k Lasse hier m gehen Und mit s := lim m s m gilt also σ m = s m s ν s s ν für m Dh k=ν+ a k ist konvergent und k=ν+ Also ν N r ν = s s ν für ν a k = s s ν n N s n+ s n = (a + + a n+ ) (a + + a n ) = a n+ Wegen lim s n+ = lim s n = a k =: s Daher a n+ = s n+ s n s s = für n Also n n k= a n für n Beispiel 35 () a k := ( ) k für alle n N Dann a k für k Also ( ) k divergent (2) k= k divergent, obwohl k für k k= 39

48 3 Reihen Satz 36 a k, b k seien konvergent, und seien α, β R Dann konvergiert auch (αak + βb k ) und (αak + βb k ) = α a k + β b k Beweis: n N s n := n a k, σ n := n b k Da a k, b k k= k= αs n + βσ n } {{ } = n (αa k +βb k ) k= α lim n s n } {{ } = a k +β lim n σ n } {{ } = b k Achtung: Eine Gleichung der Form (αak + βb k ) = α a k + β b k konvergie- macht nur Sinn (als Gleichung zwischen Grenzwerten), wenn ren Definition 37 a k heißt absolut konvergent : a k konvergent ak, b k konvergent: (s n ), (σ n ) auch konvergent Und: Satz 38 Ist a k absolut konvergent, so ist a k konvergent (Die Umkehrung ist falsch) Beweis: m > n m m a k = a n+ + + a m a n+ + + a m = a k k=n+ k= Sei ε > Da a k konvergent nach Voraussetzung, folgt Behauptung aus dem Cauchy Kriterium Beispiel 39 alternierende harmonische Reihe: Zeige: ( ) k+ k= k= k= k ( ) k+ k ( ) k+ k = k Zur Konvergenz von ist konvergent Aber offenbar: k= k= (ist divergent) ( ) k+ k : k= ( ) k+ k ist nicht absolut konvergent, denn 4

49 n ( ) k+ n N s n := k k= = ( )n+ n Setze a n := ( )n+ n Dann n N s 2n+2 = s 2n + a 2n+ + a 2n+2 = s 2n + 2n + s 2n 2n + 2 } {{ } (s 2n ) ist monoton wachsend Analog zeige: (s 2n ) ist monoton fallend: n N s 2n+ = s 2n + a 2n + a 2n+ = s 2n s 2n s 2n = a 2n = ( )2n+ 2n s 2n = s 2n + 2n Induktiv folgt: = 2n s 2 s 4 s 6 s 2n s 2n s 2n 3 s 3 s Insbesondere ist (s 2n ) nach oben beschränkt (zb durch s ) und (s 2n ) ist nach unten beschränkt (zb durch s 2 ) Nach Monotoniekriterium sind beide konvergent Sei s := lim n s 2n, s := lim n s 2n Offenbar s s Außerdem gilt (vgl oben): s = s Daher konvergiert auch (s n ) gegen s: ε >, s 2n s s 2n U ε (s) für fast alle n N s n U ε (s) für fast alle geraden n N Analog für die ungeraden Indizes, s n U ε (s) für fast alle n N s n s (später: s = log 2) Satz 3 (Leibniz Kriterium) Sei (b n ) eine Folge, b n, (b n ) monoton fallend; lim n b n =, und a n := ( ) n+ b n Dann ist a n konvergent n= Beweis: vgl obiges Beispiel Beispiel 3 { b n := k für n = 2k +, k N für n = 2k, k N 2 k Dann ist b n > für alle n N und b n, aber: ( ) n+ b n divergiert (Behauptung) n= 4

50 3 Reihen Beweis: a n := ( ) n+ b n, s n := a + + a n, n N Dann gilt für jedes n N: s 2n = ( ) ( ) a + a a 2n + a2 + a a 2n ( = ) ( + ( 2 ( ) ) n n 2 2) } {{ } } {{ } =:α n =:β n Es ist β n konvergent (geometrische Reihe): β n = 2 Annahme: (s n ) konvergiert (s 2n ) konvergiert, da β n konvergiert (α n ) = (s 2n β n ) konvergiert Also: (s n ) divergiert = 2 Satz 32 () Majorantenkriterium: Seien (a n ), (b n ) Folgen, mit a n b n für fast alle n N Ferner sei konvergent Dann ist a n absolut konvergent n= b n n= (2) Minorantenkriterium: Seien (a n ), (b n ) Folgen, mit b n a n für fast alle n N Ferner sei b n divergent n= Dann ist auch a n divergent n= Beweis: () k N n k a n b n Seien m > n k : m m σ m,n := a k b k =: σ m,n Sei ε > k=n+ k=n+ n N m, n n, m > n σ m,n < ε obda sei n k m > n n σ m,n ( σ m,n ) < ε k= (2) Annahme: a k ist konvergent (Nach 2 Cauchy-Kriterium) a n konvergent n= b n konvergent Widerspruch 42

51 Beispiel 33 () (n+), dh a 2 n = (n+) 2 n= Dann a n = a n = (n + ) (n + ) n(n + ) =: b n } {{ } n Bekannt b n konvergent a n konvergent Also n= (n+) = 2 n=2 (2) Sei α (, ], α Q Dann n N n N n n α n konvergent 2 n α n n= Da n divergent, folgt nach dem Minorantenkriterium n α (3) Sei α 2, α Q n N n N n 2 n α n α n 2 n 2 konvergent (Reihenwert: π2 6 ) Da n 2 konvergent, folgt nach dem Majorantenkriterium: n α (4) Ohne Beweis: Sei α >, α Q Dann ist die Reihe n α divergent konvergent ist konvergent Bemerkung: Die Einschränkung α Q wird später verschwinden, wenn wir Potenzen mit reellen Exponenten eingeführt haben (siehe 727) Satz 34 (Wurzelkriterium) Sei (a n ) Folge () Ist n a n unbeschränkt, dann ist die Reihe a n divergent n (2) Sei n a n beschränkt und setze α := lim sup an n Ist α <, so ist a n absolut konvergent Ist α >, so ist a n divergent Beweis: () n a n unbeschränkt n a n für unendlich viele n a n a n für n a n divergent (2) Sei α < Wähle x R, α < x < n Behauptung: a n < x für fast alle n N 43

52 3 Reihen Beweis: Annahme: n a n x für unendlich viele n Also existiert eine Teilfolge: ( ) n k ank mit b k := n k ank x für alle k N Da (b k ) beschränkt ist, hat sie nach Bolzano-Weierstraß mindestens einen Häufungswert; ( nenne n diesen β Es sei (b kj ) eine Teilfolge, die gegen β konvergiert (b kj ) ist eine Teilfolge von an ) ( n β HW an ) β α (wg α größter Häufungswert) Andererseits b kj x für alle j N β x Also x β a < x Widerspruch Also n a n < x für fast alle n a n < x n Wegen x = x < ist x n konvergent Also folgt aus dem Majorantenkriterium: a n absolut konvergent Sei α > Setze n N c n := n a n Wähle ε > mit α ε > Dann gilt c n U ε (x) für unendlich viele n, da α Häufungswert ist c n > für unendlich viele n a n > für unendlich viele n Wie in () folgt: a n divergent ( n Beachte: Ist die Folge an ) beschränkt und α := lim sup n n an = so liefert obiges Kriterium keine Entscheidung über Konvergenz von a n Beispiel 35 () a n := n n an = n für n n lim sup n n n an = lim an = n und a n divergent (harmonische Reihe) (2) a n := n 2 n an = n = n 2 ( n n) 2 für n lim sup n und a n konvergent n n an = lim an = n 44

53 (3) Sei x R {( ) n a n := 2, falls n gerade n 2 x n, falls n ungerade n 2 falls n gerade ( n ) 2 a n = n x falls n ungerade } {{ } n x ( n HW an ) = { 2, x } n lim sup an = max { 2, x } n also: falls x <, ist a n absolut konvergent Falls x >, ist a n divergent Falls x =, so gilt a n = n 2 für alle ungeraden n a n a n divergent (4) a n := n2 4 n +n 3 n n = n2 4 n + 4 n a n n2 4 n, n N ( n n) 2 n 2 4 } {{ } 4 n a n 4 < n a n ( n n) 2 4 } {{ } 4 a n konvergiert (5) a n := ( ) n 3 n 2 Hier ist n a n = ( ) n 2 n für alle n N ( 2 n Dh an ) ist Teilfolge von (( n) n ) Wegen ( n) n e gilt somit n a n e < a n konvergiert Satz 36 (Quotientenkriterium) Sei (a n ) Folge mit a n für fast alle n N ( ) () Ist an+ a n beschränkt und lim sup n a n+ a n < so ist die Reihe a n absolut konvergent (2) Ist an+ a n für fast alle n, so ist an divergent (3) Ist lim inf an+ n a n >, so ist an divergent 45

54 3 Reihen Beweis: () Sei α := lim sup an+ a n n < Wähle x R, α < x < Wie im Beweis für Wurzelkriterium folgt: a n+ a n x für fast alle n etwa für alle n n =:c { }} { a n a n x a n 2 x 2 a n x n n = a n x xn für n n n a n c x n Wegen x < ist x n konvergent a n absolut konvergent ( (2) an+ a n für fast alle n an ) ist mon wachsend (3) Sei a n a n divergent β := lim inf n a n+ a n > Wähle x R, < x < β Ähnlich wie im Beweis zum Wurzelkriterium erhält man: fast alle n Korollar 37 n () Falls α = lim an existiert, so gilt n an ist absolut konvergent, falls α < und divergent, falls α > (2) Falls β = lim an+ n a n existiert, so gilt: an ist absolut konvergent, falls β < und divergent, falls β > an+ a n > x für Korollar 38 () Existiert β = lim Wurzelkriterium) an+ n a n a n = n a n+ a n a n divergent a n = n 2 a n+ a n a n konvergent = und ist β =, so liefert obiger Satz keine Entscheidung (analog zum n n + = n 2 (n + ) 2 46

55 3 Exponentialfunktion 3 Exponentialfunktion Beispiel 39 Sei x R beliebig Untersuche die Reihe x n n! n= Klar: Für x = ist die Reihe absolut konvergent mit Reihenwert Sei x Setze a n := xn n! Dann x a n+ a n = n+ (n+)! x n n! = x n! (n + )! = x n + für n Insbesondere ist lim < Nach dem Quotientenkriterium folgt: an+ n a n an = x n n! absolut konvergent Also n= x n n! für jedes x R absolut konvergent Dies definiert eine Funktion E := R R durch x n x R E(x) := n! (Exponentialfunktion) n= Es gilt E() =, E() = n= n! = e Später zeigen wir: r Q E(r) = e r Später definieren wir x R E(x) =: e x Weiteres zum Thema Reihenkonvergenz: Definition 32 Es sei (a n ) eine Folge in R und ϕ : N N eine bijektive Abbildung Setze n N b n := a ϕ(n) Dann heißt (b n ) eine Umordnung von (a n ) Selbiges gilt auch für die Reihe Beispiel 32 (a, a 3, a 2, a 4, a 5, a 7, a 6, a 8, ) ist eine Umordnung von (a n ) (das ist etwas anderes als eine Teilfolge) Satz 322 (Umordnungssatz) (b n ) sei eine Umordnung von (a n ) () Ist (a n ) konvergent, so ist auch (b n ) konvergent, und lim b n = lim a n n n (2) Ist a n absolut konvergent, so ist auch b n absolut konvergent, und bn = a n 47