Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

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1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt man Eigenwertproblem. Die Zahl λ heißt Eigenwert, wobei λ eine komplexe oder eine reelle Zahl ist Der Vektor x heißt Eigenvektor, wobei auch cx c ist eine beliebige reelle Zahl ungleich ein Eigenvektor ist. x darf definitionsgemäss nicht gleich dem Nullvektor sein. Die Gleichung Ax = λx kann man folgendermassen umformen: Ax = λx Ax λ }{{} x = =Ex A λex =. Ein paar Anmerkungen: Falls die Matrix symmetrisch ist, sind ihre Eigenwerte reell Falls die Matrix positiv definit ist, sind ihre Eigenwerte >. Eine Matrix A ist positiv definit, falls x T Ax > für alle x

2 Falls die Matrix positiv semidefinit ist, sind ihre Eigenwerte. Eine Matrix A ist positiv semidefinit, falls x T Ax für alle x Das charakteristische Polynom Die Eigenwerte der Matrix A sind nun die Lösungen folgender Gleichung: deta λe = wobei deta λe = a λ a 2... a m a 2 a 22 λ... a 2m a m a m2... a mm λ = P n λ d.h. deta λe ist ein Polynom n-ten Grades mit Variable λ symbolisch P n λ. Das Polynom P n λ nennt man charakteristisches Polynom. Ein Beispiel: A = deta λe = λ 3 3 λ λ = 2 λ λ 4 λ λ λ 4 λ 3 3 = 2 λ 2λ + λ 2 4 λ

3 +5 λ 6 2 λ λ = 2 3λ + λ 2 4 λ λ 2 + 6λ 36 9λ = 8 + 2λ 4λ 2 2λ + 3λ 2 λ λ = λ 3 λ 2 + 2λ = } {{ } Char. Polynom Die Eigenwerte Die Lösungen der Gleichung berechnet man folgendermaßen: Zuerst kann man λ herausheben: λ 2 + λ 2 lässt sich darstellen als λ 3 λ 2 + 2λ = λ 3 λ 2 + 2λ = λλ 2 + λ 2. λ λ + 2 = λ λ λ + 2λ 2 = λ 2 + λ 2 } {{ } Probe also Das heisst λ 3 λ 2 + 2λ = λλ λ + 2 =. λ 3 λ 2 + 2λ = λλ λ + 2 = ist genau dann erfüllt, wenn λ gleich, oder 2 ist. λ =, λ 2 =, λ 3 = 2 sind die Eigenwerte der Matrix A. Die Eigenwerte sind als die Lösungen der Gleichung P n λ =.

4 Die Eigenvektoren Der zu einem Eigenwert λ i gehörende Eigenvektor x i ist die Lösung der Gleichung A λ i Ex i =. Nun wollen wir die 3 Eigenvektoren der Matrix A bestimmen: λ = : Der.Eigenvektor ergibt sich aus folgender Gleichung: 2 3 x A Ex = Ax = 3 3 = Der nächste Schritt ist das Ausmultiplizieren der Matrizen: 2 3 x 3 3 = x 3 + 3x x = d.h. folgendes Gleichungssystem muss gelöst werden: 2x 3 + = 3x = 5x =. Man kann zeigen, dass eine Lösung dieses Systems ist. D.h. unser.eigenvektor ist: x =, = 3, x x = c 3.

5 λ 2 = : Der 2.Eigenvektor ergibt sich aus folgender Gleichung: A Ex = also x x x x 3 + 3x x Erneut ist ein Gleichungssystem zu lösen: x 3 + = 3x + 3 = 5x =. Man kann zeigen, dass eine Lösung dieses Systems ist. D.h. unser 2.Eigenvektor ist: x =, =, = c. = = = = λ 3 = 2: Der 3.Eigenvektor ergibt sich aus folgender Gleichung: A 2Ex =

6 x x 4x 3 + 3x x = = = Eine Lösung dieses Systems ist Der 3.Eigenvektor ist demnach 4x 3 + = 3x = 5x =. x = 4, = 3, = 7. c Eigenwerte und Eigenvektoren mehrfacher Nullstellen Ist λ i ein n-facher Eigenwert und hat die Matrix A λ i E den Rang r i, dann ist die Zahl der linear unabhängigen Eigenvektoren, die zu λ i gehören, gleich n r i. Im Laufe des Studiums begegnet man häufig symmetrischen Matrizen z.b. Varianz-Kovarianz Matrizen, Korrelationsmatrizen. Diese haben die Eigenschaft, dass zu jedem k-fachen Eigenwert λ = λ =... = λ k genau k linear unabhängige Eigenvektoren x,..., x k existieren.

7 Sei z.b. B = 2 2 Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist Die Lösung von detb λe = det. 2 λ 2 λ = 2 λ2 λ = 2 λ2 λ. 2 λ2 λ = ist λ = 2, d.h. 2 ist eine zweifache Lösung des Gleichungssystems. Die Eigenwerte sind dementsprechend λ = λ 2 = 2, also ist 2 ist ein zweifacher Eigenwert. Da B eine symmetrische Matrix ist, existieren zu 2 linear unabhängige Eigenvektoren. λ = λ 2 = 2 Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu λ = λ 2 = 2 ist folgende Gleichung zu lösen: 2 2 x = 2 also 2 2 x = 2 2 x = x =

8 d.h. es ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: x + = x + = 2 linear unabhängige Lösungsvektoren sind etwa: c, c 2 Dass diese beiden Vektoren das Gleichungssystem lösen, kann man durch Einsetzen überprüfen, z.b. x + = x + =. für ist x = + = + = also = = d.h. wir haben gezeigt, dass c tatsächlich ein Lösungsvektor ist. Die Vorgangsweise für den 2.Lösungsvektor ist analog. Die lineare Unabhängigkeit von c, c 2

9 ist am einfachsten daran zu erkennen, dass c = c 2 nicht lösbar ist, ausser c =, was aber wegen der Definition für die Existenz von Eigenvektoren augeschlossen wurde der Nullvektor kann kein Eigenvektor sein.

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