Eingangstest Mathematik Musterlösungen

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1 Fakultät für Technik Eingangstest Mathematik Musterlösungen 00 Fakultät für Technik DHBW Mannheim

2 . Arithmetik.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich: ( ) ( ) (+)( ) (+) (+) 3 + (3 3 ).. (5 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich: A ab+a ac a c a 3 ab a b3 b b c c (a(b+a) ac a c ) a(a b) a b(b b) b (b+a a) a b b +b (b+a) a b (a+b) (a b)(a+b) a b B 6a +4ab 8a 3 +4a b+8ab a(3a+b) a(9a ab+4b ) 3a+b (3a+b) 3a+b

3 . Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich: 4+ (4 ) (,5) 4 4 ( ) e e e (3) (7 3 3).. (3 Punkte) Vereinfachen Sie den Ausdruck ( +)( ) +.3. (5 Punkte) Für welchen ganzzahligen Eponenten n gilt: 0 n 000 n 3 (0 ( 3) ) Für welche ganzzahligen Eponenten n gilt: 3 n 0 n 3 (3 9; 3 3 7) Was ist der Logarithmus von 6 zur Basis 4 (6 4 log (6)4) Berechnen Sie log 5 (0,) (0, 5 5 ) Berechnen Sie ln(e ) +ln( e ) 3 (ln(e e )ln(e3 )3).4. ( Punkte) Bei einem Zellteilungsprozess teilt sich eine Zelle einmal pro Stunde. Wie viele Zellen haben Sie nach 5 Stunden, wenn Sie mit einer Zellpopulation von 6 Zellen starten? (((((6 ) ) ) ) 6 5 9

4 3. Prozentrechnung 3.. ( Punkte) Sie legen 500 C an. Sie erhalten jeweils am Jahresende zuerst % Zinsen und zahlen danach 0 C Kontoführungsgebühr pro Jahr. Wie groß ist Ihr Guthaben nach 5 Jahren? , Euro, das bleibt in den fünf Jahren gleich ( Punkte) Wie groß ist Ihr Guthaben nach zwei Jahren, wenn Sie bei gleichen Gebühren und Anfangsbetrag wie in Aufgabe 3. einen Zinssatz von 0 % pro Jahr erhalten?. Jahr: 500 ( +0,) 0540 Euro. Jahr: 540 ( +0,) 0584 Euro oder: 500 ( +0, ) ( +0, (+0, 0 )584 Euro ( Punkte) Eine Zahl a ist 0 % kleiner als die Zahl b. Um wie viele Prozent ist b größer als a? ab ( 0,) b a 0,8,5aa +0,5a b ist um 5% größer als a 5% 3.4. (4 Punkte) In einem Unternehmen arbeiten 88 Personen in der Produktion. 0 % der Beschäftigten sind in der Verwaltung tätig und ein Viertel im Vertrieb. Weitere Personen sind in dem Unternehmen nicht beschäftigt. Wie viele Personen arbeiten insgesamt in dem Unternehmen? Ansatz: In Verwaltung und Vertrieb arbeiten 45 % der N Beschäftigten 88 Personen in der Produktion entsprechen 55%, also 0,55 N , ,660N Beschäftigte insgesamt. 60

5 4. Grenzwerte 4.. (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte lim t t+ 0 lim ln( t )lim t 0 t 3 +t ln( )lim t 0 t + ln() 0 t 0 lim t e t n lim t e 0 lim t n n+ lim /n n +/n 4.. ( Punkte) Wir betrachten die Funktion f() 4 mit maimalem Definitionsbereich D f R {}. Wie muss f() definiert werden, so dass daraus eine auf ganz R stetige Funktion wird? f() 4 ( )(+) + f() (3 Punkte) Für eine Zahl a bezeichnen wir mit a den ganzzahligen Anteil von a (also 4,87 4oder π 3). Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen der Funktion ( Sägezahnfunktion ) f() mit Definitionsbereich D f [0, 9 ]. f() 3 4 {,,3,4} 4.4. (4 Punkte) Wir betrachten die Funktion f(), die abschnittsweise definiert ist durch f(){ + für +c für < Wie ist c zu wählen, damit diese Funktion stetig im Punkt ist? linksseitiger Grenzwert rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle muss gelten + +c c 3

6 5. Lineare Gleichungen 5.. (4 Punkte) Welche Lösung hat die lineare Gleichung ab mit a 0? Welche Lösung hat das Gleichungssstem 4 und 4? Ein Kilo Birnen kostet doppelt so viel wie ein Kilo Äpfel. Zwei Kilo Äpfel kosten 4 C. Wie viel kosten 5 Kilo Birnen? B A und A4e 5 B5 A5 4e0e b a, (4 Punkte) Ein Bauer besitzt dreimal so viele Schweine wie Kühe. Die Anzahl seiner Hühner ist um 5 größer als das Fünffache der Anzahl der Schweine und Kühe zusammen. Insgesamt hat der Bauer 5 Tiere. Wie viele Tiere jeder Art befinden sich auf dem Bauernhof? K ist die Anzahl der Kühe, S die der Schweine und H die der Hühner. S3 K H5 (S +K) +5 5K +S +HK +3K +5(3K +k) +54K +5 K0/4 Kühe 5 Schweine 5 Hühner (3 Punkte) Für einen Mietwagenvertrag liegen Ihnen zwei Angebote vor: Angebot besteht aus einem Grundpreis von 00 C pro Woche und einer Kilometerpauschaule von,00 C pro gefahrenem Kilometer. Angebot sieht einen Pauschalpreis von 50 C pro Tag vor (mit unbegrenzten Freikilometern). Wie viele Kilometer müssen Sie pro Woche mindestens fahren, damit sich Angebot lohnt? Ansatz: 00 +>7 50 > , also ab 5 km lohnt es sich. 5

7 6. Quadratische Gleichungen 6.. ( Punkte) Bestimmen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung / 4 ± oder / 4 ± 6.. ( Punkte) Was ist das Ergebnis der Polnomdivision ( 3 3 +) ( ) ( 4 ) 3, ( Punkte) Ein rechteckiges Grundstück ist doppelt so lang wie breit. Seine Fläche beträgt 800 m. Wie lang und wie breit ist das Grundstück? A Aa b(b) b b 400 Länge 40m Breite 0m 6.4. (3 Punkte) Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist um 5 größer als die kleinere der beiden Zahlen. Um welche Zahlen handelt es sich? ( +) +5 5 ( ± ) 5 5, (4 Punkte) Die Summe der Quadrate zweier positiver Zahlen, von denen die eine um größer ist als die andere, ist 90. Bestimmen Sie die kleinere der beiden Zahlen. +( +) oder / 4 ± oder / ± ( ) +43 3

8 7. Trigonometrie und Geometrie 7.. ( Punkte) Die Werte trigonometrischer Funktionen lassen sich im Einheitskreis als Abschnitte bestimmter Geraden konstruieren. Zeichnen Sie die Abschnitte für sin(60 ) und cos(60 ) ein. sin(60 ) 60 cos(60 ) 7.. (4 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden Ausdrücke, ob sie positiv (+) oder negativ (-) sind oder ob sie verschwinden (0): sin(40 ) + cos(05 ) cos(5 ) sin(300 ) 7.3. ( Punkte) Mit welcher Gleichung berechnet man den Winkel α in diesem Dreieck c a tanα b c. sinα b c. cosα b c. cotα b c. α b 7.4. ( Punkte) Welcher der Ausdrücke sin(0 ), cos(0 ),(sin(0 )),(cos(0 )) liefert den größten Wert? sin(0 ) 0,74; cos(0 ) 0,985;(sin(0 )) 0,030;(cos(0 )) 0,970 cos(0 ) 7.5. (3 Punkte) Bestimmen Sie alle Zahlen [0,5] für die sin( π 4 ) gilt sin( π) 4 π 4 π + k π 3π 4

9 7.6. (4 Punkte) Bei einem Sonnenstand von 30 zum Horizont wirft ein Kirchturm einen Schatten von5m. Wie hoch ist der Kirchturm (gerundet auf ganze Meter)? H 30 Ist die gesuchte Höhe und H die Länge der Hpotenuse, so gilt: tan(30 ) 5, oder cos(30 ) H5; sin(30 ) H Mit tan(30 ) 3 3 0,57 bzw. cos(30 ) 3 0,87 bzw. sin(30 )0,5 folgt: 5 30m 7.7. (4 Punkte) Bestimmen Sie Mittelpunkt M und Radius r des Kreises, der durch die Gleichung beschrieben wird. Allg. Kreisgleichung:( M ) +( M ) r Diese erhält man durch quadratische Ergänzung: ( 4 +4) +( + +) 4 5( ) +( +) 9 M (; ) r ( Punkte) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, das einen spitzen Winkel von 45 enthält. Die Ankathete an diesen Winkel ist 6cm lang. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. A (6cm) 8cm 7.9. ( Punkte) Ein, 00 m hoher, vertikal eingeschlagener Stab wirft einen Schatten von,40m. Wie hoch ist ein Baum, dessen Schatten zur selben Zeit,0m lang ist? m,40m,0m,,4 m8m 8m

10 8. Elementare Funktionen 8.. ( Punkte) Lesen Sie aus dem nachfolgenden Graphen die Funktionsgleichung () in Abhängigkeit von den eingezeichneten Werten ab Geradengleichung: m +b, -Achsenabschnitt b4, Steigung m 4 5 () ( Punkte) Der Graph einer Funktion f() hat die folgenden Gestalt: Um welche Funktion handelt es sich? e (3 Punkte) Die Funktion +a +b beschreibt eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel im Punkt(, ). Bestimmen Sie a und b. Scheitelpunktform der Normalparabel:( S ) + S 0( +) a +b a b 0

11 8.4. (3 Punkte) Gegeben ist die Funktion f() +. a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich der Funktion ( Pkt.) +( ) 0 D f R {} b) Wie verhält sich der Graph von f(), wenn gegen + geht? ( Pkt.) lim + lim / (/) +(/ ) lim f() (4 Punkte) Eine Kugel wird senkrecht nach oben geworfen. Ihre Höhe h (in Metern) zum Zeitpunkt t (in Sekunden) berechnet sich nach der Formel h8t t a) In welcher Höhe befindet sich die Kugel nach 3 Sekunden? ( Pkt.) h(3)8 3 9 h 66m b) Was ist die höchste Höhe, die erreicht wird, und nach wie viel Sekunden wird sie erreicht? (3 Pkt.) Scheitelpunktform der allgemeinen Parabel: a( S ) + S 0 Quadratische Ergänzung: t +8t (t 7) +980 Oder: Ableiten der Funktion: h 4t +80 t7 h(7) h ma 98m t ma 7s

12 8.6. ( Punkte) Welches der folgenden Bilder beschreibt den Graphen der Funktion ln( +) 8. Abbildung 8.: f()ln( +) Abbildung 8.: f()ln(); >0 Abbildung 8.3: f() Abbildung 8.4: f() 3 5 +

13 9. Logik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 9.. ( Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel zweimal hintereinander eine 6 zu würfeln? P bzw % 9.. ( Punkte) Wie oft muss eine Münze (mit Wappen und Zahl) geworfen werden, damit mit mindestens 80 % iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine Zahl vorkommt? 0,5 n 0,8 0,5 n <0,. 0,5 0,5>0,, 0,5 3 0,5<0, n3 mal 9.3. ( Punkte) In einem Topf befinden sich sieben Zettel mit den Ziffern,...,7. Anna zieht zwei Zettel und legt sie in aufsteigender Reihenfolge der Ziffern aneinander. Wie viele zweistellige Zahlen kann Sie auf diese Art und Weise bekommen? N 7! (7 )!! ( Punkte) Für alle Elemente einer Menge M R gilt > 30. Muss dann schon >5 für alle M gelten? Begründen Sie Ihre Antwort. ja. nein. Da auch für Werte < 30 gilt > 30; falsch ist die Begründung, dass etwa 5, < 30. Es ist nämlich nicht danach gefragt, ob für alle Zahlen >5schon gilt > 30, sondern ob alle Zahlen, deren Quadrat größer als 30 ist schon größer als 5 sein müssen (3 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: ++ +n n(n +) n: linke Seite; rechte Seite. n n +: Induktionsannahme: ++ +n n(n+) für alle n. ++ +n+n+ n(n+) +n+ Ind. Ann. n(n+)+(n+) (n+)((n+) ( Punkte) Anton sagt: Bertram lügt, Bertram sagt Claus lügt und Claus sagt Anton und Bertram lügen. Wer von den dreien sagt die Wahrheit? Bertram

14 Mittels Ausschlussverfahren: Annahme : Anton sagt die Wahrheit Bertram lügt Claus sagt die Wahrheit Anton lügt Annahme : Bertram sagt die Wahrheit Claus lügt Anton oder/und Bertram sagen die Wahrheit Annahme 3: Claus sagt die Wahrheit Anton lügt und Bertram lügt. Doch da Anton lügt Bertram sagt die Wahrheit Widerspruch zu Bertram lügt. Oder mittels Wahrheitstafel: A B C A B B C C A B w w w w f f w f w f f w w w f w w f w f f f w f f w w w f f f w f w w w f f w f f w f f f f w w

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