Mathematik 1 für Maschinenbau Aufgabensammlung Sommersemester Aufgaben mit Kontrollergebnissen und Lösungshinweisen

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1 Mathematik für Maschinenbau Aufgabensammlung Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Aufgaben mit Kontrollergebnissen und Lösungshinweisen Vorbemerkung: Die folgenden Angaben dienen lediglich als Kontrollergebnisse zur selbständigen Bearbeitung der Übungsaufgaben und sind in den meisten Fällen nicht mit einer vollständigen Lösung gleichzusetzen.

2 Aufgaben zum Teil Grundlagen Aufgabe Lösen Sie in den nachstehenden Aufgaben die Klammern auf und fassen Sie soweit wie möglich zusammen: a).3s C t/.4s 3t/.5s 7t/ b).5a b/.5a C b/.7a 3b/.7a 3b/ 5a 4b 49a C 9b 4ab c) 8x.x C..3x y/.5x C 3y//.. x C 6y/// Aufgabe Wenden Sie die binomischen Formeln zur Vereinfachung folgender Ausdrücke an: a) b) 9a b 3 p a b s t s C 4st C t c) a x 4 ayx b C b 4 y d) p xy p xy e) 4a C p ab C 9b

3 Aufgabe 3 Vereinfachen Sie unter Anwendung der Rechengesetze für Wurzeln bzw. Potenzen: a) b) c) d) q xy q 3 q6xy 4 3 4x y s 5 x 3 3 q p 4a x Aufgabe 4 p a 3 x Berechnen Sie x aus den folgenden Beziehungen: a) 3 log x D log 4 log 6 b) log x D.log 5 C log 5 log 3/ 3 c) ln. x / ln x ln.x C / D e d) e x D e x 5 Aufgabe 5 Gegeben sind die Zahlen i x i y i 3 4 Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: 5X x i 5X 5X.x i C y i/ x i y i 5X x i 5X y i 5X ix i! 5X iy i id id id id id id id 3

4 Aufgabe 6 Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens: a) C 4 C 6 C 8 C C b) C 3 C 3 4 C 4 5 C 5 6 C 6 7 C 7 8 c) 4 C 7 C C 3 C 6 C 9 C C 5 C 8 Aufgabe 7 Gegeben sei der Ausdruck P n id a i. Die Indizierung des Ausdrucks soll nun so verändert werden, dass die untere Summationsgrenze i D k lautet, und trotzdem die gleichen Summanden addiert werden. Aufgabe 8 Berechnen Sie die Summe nx kd.k /k : Hinweis: D.k /k k k Aufgabe 9 Lösen Sie folgende Gleichungen: a) 5x C 3x C 9 D b) x 4x C D c) x C 7x C ;5 D 4

5 Lösungshinweise zum Teil Grundlagen Lösung zu Aufgabe a) 6s 3 89s t 3st C 4t 3 b) D c) 8x C y a) Lösung zu Aufgabe 3a p C b s t b).s C t/ c) ax yb d) xy e) p a C 3 p b Lösung zu Aufgabe 3 a) jxjy b) 4xy c) x 3 5 d) p a jxj Lösung zu Aufgabe 4 a) x D 4 b) x D 5 c) Aussage falsch für alle x R: Keine Lösung in R d) x D ln 5 ) x ;898 Lösung zu Aufgabe 5 a) P 5 id x i D 7 b) P 5 id.x i C y / D 7 c) P 5 id x iy i D 8 5

6 d) P 5 id x i a) b) c) P 5 id x i D 7 Lösung zu Aufgabe 6 6X i id 7X i i C 9X. C 3i/ id id Lösung zu Aufgabe 7 nck X idk a ic k Lösung zu Aufgabe 8 D D D D nx.k /k nx k nx k kd kd kd k nx kd k C C 3 C C n n C 3 C C n C n () () (3) (4) (5) Lösung zu Aufgabe 9 a) x = D 3 p9 C 8 ;75 ;675 6

7 b) x = D 4 p6 8 R (Diskriminante negativ) 4 c) x = D 7 p49 4 ;5 D 3;5 (nur eine Lösung) 7

8 Aufgaben zum Teil Aussagen Aufgabe Gegeben seien die Aussagen A: Das Auftragsvolumen im privaten Wohnungsbau steigt B: Der Hypothekenzins fällt. Bringen Sie die Aussage B ) A verbal auf die Form a) Wenn : : : : : : : : : : : :, dann : : : : : : : : : : : : b) : : : : : : : : : : : : folgt aus : : : : : : : : : : : : c) : : : : : : : : : : : : impliziert : : : : : : : : : : : : d) : : : : : : : : : : : : ist notwendig für : : : : : : : : : : : : e) : : : : : : : : : : : : ist hinreichend für : : : : : : : : : : : : Aufgabe Gegeben sind die Aussagen: A : Die Löhne steigen. A : Die Preise steigen. Formulieren Sie die Aussagen: A W A ) A B W A ^ A B W A ^ A B 3 W A ^ A B 4 W A _ A Aufgabe Gegeben sind die Aussagen aus Aufgabe : Überprüfen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, welche der Aussagen A ) B i ; B i ) A ; A, B i ;.i D ; ; 3; 4/ stets (also unabhängig von den Wahrheitswerten der A i ) wahr sind. 8

9 Aufgabe 3 Gegeben seien die Aussagen A; B, deren Negationen mit A; B bezeichnet werden. Zeigen Sie, dass die verknüpfte Aussage stets wahr ist. Aufgabe 4.A _ B/ ^.A ^ B/,.A ^ B/ _.B ^ A/ a) Gegeben sei die Aussage P.x/ : Der Angestellte x einer bestimmten Firma ist mit seiner Position zufrieden. Interpretieren Sie die Aussagen ^x P.x/ ; _ x P.x/ ; ^x P.x/ ; _ x P.x/ ; ^x P.x/ ; _ x P.x/ b) Gegeben sei die Aussage A.x/ : Die reelle Zahl x erfüllt die Gleichung x 4 C D. Welche der All- und Existenzaussagen ^x A.x/ ; ^x A.x/ ; ^x A.x/ ; sind wahr? _ x A.x/ ; _ x A.x/ ; _ x A.x/ Aufgabe 5 Führen Sie zur Bestätigung der Aussage einen direkten Beweis..a C b/ D 4ab ) a D b 9

10 Aufgabe 6 Auf einem quadratischen Spielfeld mit 8 8 Feldern wurden geometrische Elemente in Form von kleinen und großen Quadraten (, ) und kleinen Dreiecken ( ) folgendermaßen angeordnet: oben unten Außerdem sind für geometrische Elemente x; y; z auf dem Spielfeld folgende Aussagen definiert: Q.x/ W x ist ein Quadrat K.x/ W x ist klein U.x; y/: x liegt unterhalb von y V.x; y; z/: x liegt auf der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von y und z Entscheiden und begründen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind: W a) Q.x/ x W b) Q.x/ ^ K.x/ x V c) Q.x/ ) K.x/ x V d) Q.x/ ^ Q.y/ ) W V.z; x; y/ ^ Q.z/ x;y z " V e) Q.x/ ^ K.x/ ) V!# K.y/ ) U.y; x/ x y

11 Aufgabe 7 a) Welche der Aussagen. x/ = H) x 5 x < H). x/ > x < x < x x < H) > x ist für beliebiges x R wahr bzw. falsch? Formulieren Sie jeweils eine kurze Begründung. b) Beweisen Sie indirekt die Implikationen: Aufgabe 8 x C 3p x D 3 H) x D ist die einzige reelle Lösung x > H) j x j = xc x 4x C 3 = H) x 5 _ x = 3 a) Von 45 Teilnehmern einer Mathematik-Klausur haben 3 Teilnehmer regelmäßig die Übungen besucht. Insgesamt haben % der Klausurteilnehmer die Klausur nicht bestanden. Bei den Besuchern der Übungen betrug die Durchfallquote nur %. Beweisen Sie die Richtigkeit der Aussage Die Durchfallquote der Teilnehmer der Mathematik-Klausur, die die Übungen nicht besucht haben, beträgt 4 %. b) Beweisen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage: x 4 6x x 7 H) x 3 x 5 C x 3 C x D x D

12 Aufgabe 9 Überprüfen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, für welche n N die Aussagen A.n/ W A.n/ W nx i iš D.n C /Š id nx i D n id A 3.n/ W n p n > n C p n A 4.n/ W nš > n richtig sind. Dabei gilt nš D 3 : : : n und analog iš beziehungsweise.n C /Š. Aufgabe n verschiedene Punkte einer Ebene sind paarweise durch Strecken verbunden. Dazu wird die Aussage (*) A.n/ W Die Anzahl der Strecken beträgt n.n / formuliert. a) Beweisen Sie graphisch die Aussagen A./; A.3/; A.4/. b) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass (*) für n = richtig ist. Aufgabe Die Fibonacci-Zahlen sind gemäß der folgenden rekursiven Beziehung gegeben: a nc D a n C a n für n mit a D und a D Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion für n N die explizite Darstellung von a n : a n D C p n 5 np 5 p 5 n

13 Lösungshinweise zum Teil Aussagen Lösung zu Aufgabe a) Wenn der Hypothekenzins fällt, dann steigt das Auftragsvolumen im privaten Wohnungsbau b) Steigendes Auftragsvolumen im privaten Wohnungsbau folgt aus fallendem Hypothekenzins c) Fallender Hypothekenzins impliziert steigendes Auftragsvolumen im privaten Wohnungsbau d) Steigendes Auftragsvolumen im privaten Wohnungsbau ist notwendig für fallende Hypothekenzins e) Fallende Hypothekenzins sind hinreichend für steigende Auftragsvolumen im privaten Wohnungsbau Lösung zu Aufgabe A: Wenn die Löhne steigen, dann steigen die Preise B : Die Löhne und die Preise steigen B : Die Löhne steigen, aber die Preise nicht B 3 : Weder die Löhne noch die Preise steigen B 4 : Die Löhne steigen nicht oder die Preise steigen Lösung zu Aufgabe Tautologien sind: A ) B 4, B ) A, B 3 ), B 4 ) A, A, B 4 Lösung zu Aufgabe 3 A w w f f B w f w f W A _ B w w w f W A ^ B f w w w 3 W A ^ B f w f f 4 W B ^ A f f w f ^ f w w f 3 _ 4 f w w f, w w w w Also: Tautologie. 3

14 . Lösung zu Aufgabe 4 ^xp.x/: Alle Angestellten einer bestimmen Firma sind mit ihrer Position zufrieden _ x P.x/: Mindestens ein Angestellter einer bestimmen Firma ist mit seiner Position zufrieden ^xp.x/: Alle Angestellten einer bestimmen Firma sind mit ihrer Position unzufrieden _ x P.x/: Mindestens ein Angestellter einer bestimmen Firma ist mit seiner Position unzufrieden ^xp.x/: Nicht alle Angestellten einer bestimmen Firma sind mit ihrer Position zufrieden _ x P.x/: Kein Angestellter einer bestimmen Firma ist mit seiner Position zufrieden. A.x/ ) 8x R gilt: x 4 ) x 4 C > ) A.x/ ist immer falsch und A.x/ ist immer wahr. ) V x A.x/ W Alle x R erfüllen x4 C.w/ V x A.x/ W Nicht alle x R erfüllen x4 C D.w/ W x A.x/ W Mindestens ein x R erfüllt x4 C.w/ W x A.x/ W Kein x R erfüllt x4 C D.w/ V x A.x/ W Alle x R erfüllen x4 C D.f / W x A.x/ W Mindestens ein x R erfüllt x4 C D.f / 4

15 Lösung zu Aufgabe 5 Lösung zu Aufgabe 6.a C b/ D 4ab ) a C ab C b D 4ab ) a ab C b D ).a b/ D ) a b D ) a D b a) Es existiert mind. ein Quadrat (w) b) Es gibt mind. ein kleines Nicht-Quadrat (w) c) Alle Nicht-Quadrate sind klein (w) d) Zwischen jedem Paar aus Quadrat und Dreieck (Nicht-Quadrat) liegt mind. ein Dreieck (Nicht-Quadrat) (f) e) Alle nicht-kleinen Elemente liegen unter allen kleinen Quadraten (w) Lösung zu Aufgabe 7 a) ) falsch x > ). x/ < ) wahr. x/ ) x D >, d.h.. x/ ) x - wahr 3) wahr.x < ) < / ^. < ) x < / - wahr x x 4) wahr x ) x ).x /x ^ x ) x.i ) x > - wahr b) ) x ) x C 3p x 3 x C 3p x 3 D ; t D 3p x ) t 3 C t 3 D t 3 C 3t t 3 D t.t / C 3.t / D t.t /.t C / C 3.t / D.t /.t C t C 3/ D t D _ t C t C 3 D D < ; 3p x D x D - Einzige reelle Lösung 5

16 ) jxj < ) xc.x /.x /.xc/.x /.xc/ x xc x. I / - wahr 3) x > ^ x < 3 ) x 4x C 3 < x 4x C 3 D x D 3; x D (x-3)(x-) < x.i 3/ - wahr Lösung zu Aufgabe 8 a) 4 % b) ) Indirekt: x D 3 ) x 4 6x x D 7 x 4 3x 6x 36 D D - wahr ) x 5 C x 3 C x D x.x 4 C x C / D x D _ x 4 C x C D - keine Lösung ) x D - die einzige Lösung Lösung zu Aufgabe 9 A.n/ W Beh.: A.n/ W P n id i iš D.n C /Š Ind.-Anfang: A./ W P id i iš D Š D. C /Š (wahr) P Zu zg.: A.n/ W n id i iš D.n C /Š ) A.n C / W P nc id i iš D.n C /Š Beweis: A.n/ W P nc id i iš D.n C /.n C /Š C P n id i iš D.n C /.n C /Š C.n C /Š D.n C C /.n C /Š D.n C /.n C /Š D.n C /Š Ind.-Anfang: A./ W P id i D D D Zu zg.: P n id i D n ) P nc id i D nc Beweis: P nc id i D P n id i C nc D n C n D n D nc 6

17 A 3.n/ W Ind.-Anf.: Erstes mal wahr für n D 3: A 3.3/ W 3 p 3 5; > 3 C p 3 4;7 Zu zg.: n p n > n C p n ).n C / p n C >.n C / C p n C für n 3 Beweis:.n C / p n C D n p n C C p n C A 4.n/ W > n p n C p n C > n C p n C p n C > n C C p n C Ind.-Anf.: Erstes mal wahr für n D 4: A 4.4/ W 4 3 D 4 > 6 D 4 Zu zg.: nš > n ).n C /Š > nc für n 4 Beweis:.n C /Š D.n C / nš >.n C / n > n D nc Lösung zu Aufgabe a) A./ D. / D A.3/ D 3.3 / D 3 A.4/ D 4.4 / D 6 b) Induktionsanfang siehe Teilaufgabe a) Beweisidee: Beim Übergang vom n- zum n C -Eck kommen n Verbindungslinien dazu. Beweis: A.k C / D A.k/ C k D k.k / C k D k k C k D k C k D.k C /k D.k C /..k C / / 7

18 Lösung zu Aufgabe Induktionsanfang: Probiere explizite Darstellung für n D : Induktionsschritt: a nc D a n C a n D a D C p n 5 D ncp 5 D ncp 5 D ncp 5 D ncp 5 np 5 C p 5 p 5 n p 5 C C p n 5 p 5 C p n 5 C p n 5 C p 5 C 4 C p n 5 C p 5 C 5 C p n 5 C p 5 D p 5 D n p 5 p 5 n p n 5 C 4 C p n 5 4 p 5 n p n 5 p 5 C 4 p n 5 p 5 C 5 p 5 n p 5 D C p nc 5 ncp 5 p 5 nc 8

19 Aufgaben zum Teil Mengen Aufgabe Gegeben sei die Menge M D fx R C W x < g : Welche der folgenden Mengen ist Teilmenge von M? M D f; ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g M D fx R C W x D ^ x < g M 3 D fx R C W x > 5 _ x < g M 4 D fx R C W x D 9 _ x D g M 5 D fx R C W x < ) x D g M 6 D fx R C W.x < _ x > / ) x D g M 7 D fx R C W x = ) x D g 9

20 Aufgabe 3 Eine Unternehmung produziert 8 Produkte a ; a ; : : : ; a 8 auf drei Maschinen. Dabei werden die Maschinen folgendermasßen in der Produktion eingesetzt: die erste Maschine zur Produktion von a ; a ; a 3 ; a 4 ; a 5 die zweite Maschine zur Produktion von a ; a 3 ; a 4 ; a 6 ; a 7 die dritte Maschine zur Produktion von a ; a 4 ; a 6 ; a 7 ; a 8 Geben Sie die Menge aller Produkte, die a) auf allen drei Maschinen bearbeitet werden müssen, b) nur auf der ersten Maschine bearbeitet werden, c) auf der zweiten und dritten Maschine bearbeitet werden, d) nicht auf der dritten Maschine bearbeitet werden, e) auf Maschine und oder auf Maschine 3 bearbeitet werden, durch geeignete Durchschnitts-, Vereinigungs- und Differenzbildung der Mengen A; B; C an. Dabei gilt: A = fx W x wird auf der ersten Maschine produziertg B = fx W x wird auf der zweiten Maschine produziertg C = fx W x wird auf der dritten Maschine produziertg Aufgabe 4 7 Touristen wurden an einem Urlaubsort befragt, welche der Verkehrsmittel Auto (A), Bahn (B), Flugzeug (F) sie zur Anreise benutzt haben. Dabei ergaben sich folgende Aussagen: Touristen benutzten (mindestens) das Auto. 3 Touristen benutzten (mindestens) die Bahn. 4 Touristen benutzten (mindestens) das Flugzeug. 6 Touristen benutzten (mindestens) Bahn und Flugzeug. 4 Touristen benutzten (mindestens) Bahn und Auto. Tourist reiste mit Auto, Bahn und Flugzeug an. Touristen reisten nur mit dem Auto. a) Wie viele Touristen benutzten genau der 3 Verkehrsmittel? b) Wie viele Touristen benutzten keines der genannten Verkehrsmittel?

21 Aufgabe 5 Wie viele verschiedene Zusammenstellungen von genau 5 Buchstaben können aus den 6 Buchstaben des Alphabets gebildet werden, wenn Wiederholungen zulässig bzw. nicht zulässig sind? Aufgabe 6 Bei der Beurteilung der Klangqualität von Lautsprecher-Boxen ist in der Weise zu verfahren, dass die Tester jeweils zwei Boxen durch aufeinander folgendes Anhören miteinander vergleichen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll auch jede Box mit sich selbst in der angegebenen Weise verglichen werden. Wie viele Hörvergleiche sind durchzuführen, wenn es auf die Reihenfolge, in der zwei Boxen angehört werden, nicht ankommt? Aufgabe 7 Ein Kartenspiel mit 3 verschiedenen Karten soll so unter 4 Spieler aufgeteilt werden, dass jeder genau 8 Karten erhält. a) Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es? b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass ein Spieler alle vier Asse erhält? c) Bilden Sie den Quotienten des Ergebnisses von b) und a) und interpretieren Sie den erhaltenen Wert. Aufgabe 8 Gegeben seien die Ziffern,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. a) Wie viele dreistellige Zahlen können daraus gebildet werden, wenn jede Ziffer höchstens einmal vorkommen darf? b) Wie viele der so gebildeten Zahlen sind gerade, wie viele ungerade? c) Wie viele dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? d) Wie viele dieser Zahlen sind kleiner als bzw. größer als 5? Aufgabe 9 Wie viele Möglichkeiten gibt es, im Zahlenlotte 6 aus 49 genau 3,4,5, beziehungsweise 6 richtige Zahlen anzukreuzen?

22 Aufgabe 3 Zu den Mengen A D f; ag ; B D f;; f;; bgg bestimme man die Potenzmengen P.A/ ; P.P.A// ; P.B/. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Aufgabe 3 ; A ; ; A ; A ; f; ag A ; ; P.A/ ; P.A/ ; A P.A/ ; fag P.A/ ; fg P.P.A// ; ; B ; ; B ; f;; bg B ; f;g B ; ff;; bgg P.B/ Gegeben seien die Mengen A D f;g und B D A [ fg sowie die Relationen von A in B R D f.a; b/ A B W a bg R D f.a; b/ A B W a C b Ag R 3 D f.a; b/ A B W a b b g Charakterisieren Sie die Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente. Aufgabe 3 Gegeben seien die Relationen R D.x; y/ R W y D x 3 ; R D.x; y/ R W x C y D ; R 3 D.x; y/ R W y = x D : a) Man stelle die Relationen R ; R ; R 3 sowie die inversen Relationen R ; R ; R 3 graphisch dar. b) Man begründe, dass die Kompositionen R ı R ; R ı R 3 und R ı R nicht leer sind, und stelle R 3 ı R graphisch dar. c) Welche der Relationen R ; R ; R 3 stellt eine Abbildung dar?

23 Aufgabe 33 Gegeben seien die Mengen A = {Fritz, Günther, Hans, Peter, Paul, Willi} B = {Doris, Franziska, Gertraud, Maria, Susanne} von Vornamen, sowie die Abbildung f W A! B mit: Fritz Günther Doris Hans Franziska Peter Gertraud Paul Maria Willi Susanne Sei ferner g W B! N eine Abbildung, die jedem Namen aus B die Anzahl seiner Buchstaben zuordnet. a) Sind die Abbildungen f; g surjektiv, injektiv, bijektiv? b) Konstruieren Sie - falls möglich - die Abbildungen f ı g und g ı f. c) Man gebe die Bildbereiche von {Peter, Paul, Willi} bzgl. f; g ı f und die Urbildbereiche von f; 3; 4g bzgl. g; g ı f an. d) Man begründe, warum f nicht existiert. 3

24 Aufgabe 34 Gegeben seien die Abbildungen: f W R! R mit f.x/ D x x C f W R! R mit f.x/ D x 3 a) Man untersuche die Abbildungen f ; f auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität. b) Man ermittle gegebenenfalls f ı f ; f ı f ; f ; f sowie f ı f und.f ı f /. 4

25 Lösungshinweise zum Teil Mengen Lösung zu Aufgabe Teilmengen von M sind M ; M ; M 4 ; M 7. Keine Teilmengen von M sind M 3 ; M 5 ; M 6. Lösung zu Aufgabe 3 M D A [ B [ C a) fx W x A ^ x B ^ x C g D A \ B \ C D fa ; a 4 g b) fx W.x A ^ x B/ ^ x C g D.A n B/ n C D fa ; a 5 g c) fx W x B ^ x C g D B \ C D fa ; a 4 ; a 6 ; a 7 g d) fx W x C g D C M D fa ; a 3 ; a 5 g e) fx W.x A ^ x B/ _ x C g D.A \ B/ [ C D fa ; a 3 ; a 4 ; a 6 ; a 7 ; a 8 g Lösung zu Aufgabe 4 A: Menge aller Touristen, die mindestens das Auto benutzen. Analog B: Bahnbenutzer und F Flugzeugbenutzer. Menge Anzahl der Elemente A B 3 F 4 B \ F 6 B \ A 4 A \ B \ F An.B [ F / a) Genau Verkehrsmittel: j.a \ B/nF j C j.a \ F /nbj C j.b \ F /naj D 3 C 4 C 5 D b) Kein Verkehrsmittel: 7 - (+43+) = 4 Lösung zu Aufgabe 5 mit WH: 6 5 ;9 6 ohne WH: D 6Š.6 5/Š 7;

26 Lösung zu Aufgabe 6 Mit Wiederholung, ohne Reihenfolge: nck k D C D Lösung zu Aufgabe 7! 3 8 a)! 8 b) 4 4 c) D 3 8! !! D D 55! 8 9; !! 8 7; ;779% Lösung zu Aufgabe 8 a) mit RF, ohne WH: nš.n k/š D 9Š 6Š D D 54 b) gerade: D 4 ungerade: 54 4 D 8 c) 8 7 D 56 d) x < ergibt 8 7 D 56 x > 5 ergibt D 8 Lösung zu Aufgabe 9 Genau 3 Richtige: Genau 4 Richtige: Genau 5 Richtige: Genau 6 Richtige:! 6 3! 6 4! 6 5! 6 6! 43 D 468 3! 43 D 3545! 43 D 58! 43 D 6

27 Lösung zu Aufgabe 3 P.A/ D f;; fg; fag; Ag jp.a/j D jaj D 4/ P.P.A// D f ;; f;g; ffgg ; ffagg ; fag; f;; fgg ; f;; fagg ; f;; Ag ; ffg; fagg ; ffg; Ag ; ffag; Ag ; f;; fg; fagg ; f;; fg; Ag ; f;; fag; Ag ; ffg; fag; Ag ; P.A/ g P.B/ D f;; f;g; ff;; bgg ; Bg Lösung zu Aufgabe 3 A D f;g; B D f;;g R D f.;/;.;/;.;/;.;/;.;/g R D f.;/;.;/;.;/g R 3 D f.;/;.;/;.;/;.;/;.;/g Lösung zu Aufgabe 3 a) b) R ı R D f.x; y/ W 9z R W x C z D ^ y D z 3 g ist nicht leer, denn z.b.. / R ı R mit z D Analog: (,) ist (mit z=) Element von R ı R 3 D f.x; y/ W 9z R mit z x D ^ y D z 3.;/ist (mit z=) Element von R ı R D f.x; y/ W 9z R mit x C z D ^ z C y D g R 3 ı R D f.x; y/ W 9z R W x C z D ^ y z D g D f.x; y/ R W y p x D g D fy I x D g c) nur R ist Abbildung: Zuordnung y D x 3 ist sogar bijektiv.x D 3p y/ R keine Abbildung, denn z.b. (,) und.; / R R 3 keine Abbildung, denn z.b. (,) und.;/ R 3 7

28 Lösung zu Aufgabe 33 a) f ist surjektiv, jedes b B hat Urbild g ist nicht surjektiv, 3 hat z.b. kein Urbild f und g sind nicht injektiv, denn f.peter/ D f.willi/ D Maria bzw. g.doris/ D g.maria/ D 5 ) Weder f noch g sind bijektiv Fritz Günther Doris 5 Hans Franziska 9 Peter Gertraud 8 Paul Maria Willi Susanne 7 f g b) f ı g existiert nicht, denn f müsste N! B abbilden g ı f : Fritz 5 Günther 9 Hans 8 Peter Paul 7 Willi c) f.fpeter; Paul; Willig/ D fmaria; Susanneg g ı f.fpeter; Paul; Willig/ D f5;7g Urbild von f;3;4g bzgl. g: fg (leere Menge) bzgl. g ı f : fg d) f ist nicht bijektiv a) Lösung zu Aufgabe 34 f W x! x x C 8

29 Gegeben: y R beliebig Gesucht: x R mit f.x/ D y Dazu: y.x p C / D x, yx x C y D 4y x = D ) y Für 4y <, y. I ) f ist nicht surjektiv Suche x mit f.x/ D =8, x x C D =8, x 8x C D, x = D 8 p64 4 D 4 p5 ) f ist nicht injektiv ) f ist nicht bijektiv f W x! x 3 y D x 3, x D 3p y C ) f ist surjektiv Annahme: x x mit f.x / D f.x / ) x 3 D x 3 ) x 3 D x3 ) x D x ) f ist injektiv ) f ist bijektiv / [. I C/ gibt es so ein x nicht b) f ı f.x/ D x3 h f ı f.x/ D.x 3 / C x x Ci 3 f existiert nicht f.x/ D 3p x C f ı f.x/ D.x 3 / 3.f ı f /.x/ D 3p p 3 x C C 9

30 Aufgaben zum Teil Folgen Aufgabe 35 Geben Sie die rekursiv definierten Folgen.a n / und.b n / mit in expliziter Form an. Aufgabe 36 a nc D n C a n mit.a D / b nc D p b n mit.b D / Berechnen Sie für die Folgen.a n /;.b n /;.c n /;.d n /;.e n / mit n N und a n D. n 3 /n C.n C 3/ ; b C n C 4n 3 n D c n D. / n n nc n n C ; d n D n n 3 p n 3 n 4 n 4 ; p n n p ; n C n C n e n D 3np n n C p n die Grenzwerte. Aufgabe 37 a) Überprüfen Sie die Reihen.r n /;.s n /;.t n /;.u n / mit r n D nx id i 5i C ; s n D nx id 3 ic 5 i ; t n D nx id 3 i 5 i ; u n D nx id.iš/.i/š auf ihre Konvergenz. b) Berechnen Sie den Grenzwert lim n!.s n/. 3

31 Aufgabe 38 Eine Schätzung der gesamten Öl- und Gasreserven im norwegischen Festlandsockel zu Beginn des Jahres 3 betrug 3 Milliarden Tonnen. Die Förderung im selben Jahr lag bei 5 Millionen Tonnen. a) Wann sind die Reserven erschöpft, wenn die Förderung auf demselben Niveau wie im Jahr 3 fortgesetzt wird? b) Nehmen Sie an, dass die Förderung jedes Jahr um % im Vergleich zum vorangegangenen Jahr reduziert wird, beginnend im Jahr 4. Wie lange werden die Reserven in diesem Fall reichen? c) Wie ändert sich die Situation, wenn die jährliche Förderung um jeweils Millionen Tonnen gegenüber dem Vorjahr steigt, beginnend im Jahr 4. Wie lange werden die Reserven in diesem Fall reichen? Aufgabe 39 a) Für welche k N konvergieren die Folgen.a n /;.b n /;.c n / mit a n D 3.n /.nc/ k ; b n D a n ; c n D a n Geben Sie gegebenenfalls die entsprechenden Grenzwerte an. b) Zeigen Sie, dass die Reihe.s n / mit s n D n P id a i für k = konvergiert und für k D divergiert. Aufgabe 4 Überprüfen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, für welche a R die Reihen.r n /;.s n / mit nx nx r n D a i ; s n D konvergieren. id id.a / i a.i C / 3

32 Lösungshinweise zum Teil Folgen Lösung zu Aufgabe 35 Lösung zu Aufgabe 36 a n D n ; b n D n nš a n : Kein Grenzwert; Häufungspunkte: 4 b n : Kein Grenzwert; lim b n! R n! c n : lim c n D n! d n : lim d n D n! e n : lim e n D 3 n! Lösung zu Aufgabe 37 nx i nx a) r n D 5i C D a i. id id Da a i keine Nullfolge ) r n konvergiert nicht. Xn 3 i s n D 9. 5 id Das ist eine geometrische Reihe mit q < ) s n konvergiert. nx 9 i t n D. 5 id Das ist eine geometrische Reihe mit q > ) t n divergiert. nx u n D a i ) lim a kc ˇ k! a ˇ D ) u n konvergiert. id k b) lim s. 3 n D 9 lim 5/ n D ;5 n! n! 3 5 Lösung zu Aufgabe 38 a) Reserven in Abhängigkeit der Zeit t W Œ3I / t / D ) t D 54 3

33 b) Gesamt geförderte Menge bis zum n-ten Jahr nach 3: nx 5 6 ;98 i id Damit gilt für den Zeitpunkt n, bis zu dem die Reserven maximal genügen: nx 5 6 ;98 i 3 9 id nx ;98 i 5 id ;98nC 5 ;98 ;98 nc ;4 Und das gilt für alle n. Die Reserven würden in diesem Fall unendlich lang reichen. Alternative Lösung: Grenzwert der insgesamt geförderten Menge: lim n! nx id 5 6 ;98 i ;98nC D lim 5 6 n! ;98 D 5 6 ;98 D ;5 9 < 3 9 c) Reserven 3 3.5n C 5 C.n C n/ D, n 3;3 ) Nach dem Jahr 34 sind die Vorrate erschöpft Lösung zu Aufgabe 39 a) ) k=: 3 k>: (Höchste Zählerpotenz ist kleiner als höchste Nennerpotenz) Grenzwert=) k<: (Höchste Zählerpotenz ist größer als höchste Nennerpotenz)Folge ist divergent) ) k=: 3 k<: Grenzwert= k>: Folge ist divergent 3) k=:

34 k<: Folge ist divergent k>: Grenzwert= b) k ) a n D 3 n n nx a i 3 id 3 3 ).nc/ k n k n nx id i ) S n - konvergiert, da P auch konvergiert i k= ) a n D 3 n ).n! / 3 ).nc/ a n - keine Nullfolge) S n divergiert Lösung zu Aufgabe 4 a) a. I / [.I C/ b) a.i / 34

35 Aufgaben zum Teil LineareAlgebra Aufgabe 4 Gegeben sind die Matrizen A, B, C sowie die Vektoren a, b mit A D C D ; a D ; B D ; b D Prüfen Sie, welche der folgenden Ausdrücke berechenbar sind, und berechnen Sie sie gegebenenfalls. a).a C B/a, b) ABb, c).b C C T /a, d) BA.a C b/, e) ab T A, f).a C b/b T, g) CAB, h) a T B T Cb ; : 35

36 Aufgabe 4 Eine Unternehmung produziert mit Hilfe von fünf Produktionsfaktoren F ; : : : ; F 5 zwei Zwischenprodukte Z ; Z, sowie mit diesen Zwischenprodukten und den Faktoren F ; F ; F 3 drei Endprodukte P ; P ; P 3. In den Matrizen A D.a ij / 5;, B D.b ik / 3;3, C D.c jk/ ;3 bedeute a ij D Anzahl der Einheiten von F i zur Herstellung einer Einheit von Z j, b ik D Anzahl der Einheiten von F i zur Herstellung einer Einheit von P k, c jk D Anzahl der Einheiten von Z j zur Herstellung einer Einheit von P k. a) Bestimmen Sie mit den Daten 3 A D ; B D! ; C D 3 den Vektor y R 5 C von Produktionsfaktoren, der erforderlich ist, um eine Einheit von P k zu fertigen (für k D ;;3 ). b) Welche Faktormengen braucht man, um den Endproduktvektor (3,, 3) zu realisieren? c) Berechnen Sie mit den Vektoren c T =.; ; ; 3; / für die Beschaffungskosten der Faktoren, q T =.5; ; / für die Produktionskosten der Produkte, p T =.4; 5; 4/ für die Verkaufspreise der Produkte, die Gesamtkosten, den Umsatz und den Gewinn des Endproduktvektors (3,, 3). 36

37 Lösungshinweise zum Teil LineareAlgebra Lösung zu Aufgabe 4.A C B/a: Nicht möglich, ABb: Nicht möglich, 4.B C C T /a A, BA.a C b/: Nicht möglich, ab T A A, a C b/b T A, 4 CAB: Nicht möglich, a T B T Cb D 8 Lösung zu Aufgabe 4 Produktion seriell: AC, Produktion parallel: B C AC Damit: Faktorenbedarf y R 5 C für Endproduktvektor x R3 C : y D.B C AC /x a) AC C B D B A D D Damit benötigt man für jede Einheit von P ; P ; P 3 : y D D y 3 D 4 A D B 5 A. 3 b) y D A D B7C 6 A A c) Kosten: c t y C q t x D 35 C 5 D 35 Umsatz: p t x D 34 Gewinn: p t x c t y q t x D D A ; y D D A D 6 8 A, 3 37

38 Aufgaben zum Teil LineareAlgebra Aufgabe 43 Gegeben sind die folgenden Vektoren: a A ; b D 3 Für welche b R gelten folgende Aussagen? a) ka C b ck D 3 b) a und b sind orthogonal c) a c und b sind orthogonal d) a T a = b T b = c T c e).a C b/ T.b c/ b 3 A ; c 3 A Aufgabe 44 Gegeben sind die folgenden Punktmengen R W M D M D M 3 D M 4 D x x x x R x W x N ; x D x R x W x.;/ ; x = R x W x C x D ; x x D R x W x = x 3 ; x = M 5 D x R W kxk = ;.; / x D a) Man stelle alle Mengen graphisch dar und prüfe mit Hilfe der Zeichnung, welche der Mengen offen, abgeschlossen, beschränkt, konvex ist. b) Welche der paarweisen Durchschnitte sind leer? 38

39 Aufgabe 45 Eine Unternehmung möchte zwei Produkte in den Quantitäten x ; x = herstellen. Zur Verfügung stehen Einheiten eines erforderlichen Rohstoffes, ebenso Arbeitsstunden sowie Minuten an Maschinenzeit. Den Bedarf an Rohstoffeinheiten, Arbeitsstunden und Maschinenminuten pro Einheit der beiden Produkte entnehme man der Tabelle: Rohstoffeinheiten Arbeitsstunden Maschinenminuten Produkt 4 Produkt 3 a) Man gebe die Menge M aller produzierbaren Quantitäten x x R C an und stelle diese graphisch dar. b) Man bestimme alle Eckpunkte von M. c) Man gebe alle produzierbaren Quantitäten x x N mit x D 3 an. d) In welchem der Eckpunkte von M wird der Umsatz maximal, wenn für Produkt bzw. Produkt Verkaufspreise von bzw. 3 Geldeinheiten erzielt werden? Aufgabe 46 Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen A A ; 6 3 B 4 5 6A ; D D C D 3 C 3 A 3 C 3 5 A 3 nach dem Entwicklungssatz und der Sarrus-Regel. Welche Implikationen resultieren aus den Ergebnissen für die Ränge der Matrizen A; B; C; D? und 39

40 Aufgabe 47 Man berechne alle reellen Eigenwerte und die dazu gehörenden Eigenvektoren der Matrizen Aufgabe 48 A A ; 3 B A ; C A : Man bestimme eine symmetrische 3 3 Matrix, deren Eigenwerte und entsprechende Eigenvektoren wie folgt gegeben sind: Eigenwert zugehöriger Eigenvektor = (,, ) = (,, ) 3 = (,, ) Aufgabe 49 Eine Unternehmung bietet zwei Güter an. Zwischen den Absatzquantitäten x t ; y t zum Zeitpunkt t und x tc ; y tc zum Zeitpunkt t C wird folgende Verbundbeziehung angenommen: x tc D x t y t y tc D 5 x t C y t Es soll untersucht werden, ob ein für beide Güter gleichförmiges Absatzwachstum möglich ist. a) Man formuliere das Problem als Eigenwertproblem. b) Man berechne Eigenwerte und Eigenvektoren und interpretiere die Ergebnisse. c) Wie viele Zeitperioden benötigt man bei gleichförmigem Wachstum in jeder Periode, um eine Steigerung der Absatzquantitäten um mindestens % zu erreichen? d) Wie könnte ein Ergebnis interpretiert werden, das keine reellen Eigenwerte enthält? 4

41 Lösungshinweise zum Teil LineareAlgebra Lösung zu Aufgabe 43 a) ja C b cj D Œ C. C b / C 3 D D Œb C b C D 3 ) b C b C D p4 8 b D R ) nicht möglich b) a T b D C b C 9 D ) b D 5 c).a c/ T b D C b C 3 D ) b D d) C C 3 C b C 3 C C 3 ) 4 b ) b oder b e) C. C b /.b / C 6 D ) b C b b D ) b C b D ).b C /b D ) b fi g Lösung zu Aufgabe 44 a) M D x R x W x N; x D x M : abgeschlossen, nicht offen, nicht konvex, nicht beschränkt M D x x R W x.;/; x M : nicht abgeschlossen,nicht offen,konvex,nach unter beschränkt M 3 D x R W x C x D ; x x D M 3 D ;: offen,abgeschlossen,konvex,beschränkt M 4 D x R W x x 3 ; x M 4 : nicht offen,abgeschlossen,nicht offen,nicht konvex,nicht unten beschränkt 4

42 M 5 D x R W kxk > ; x x D M 5 : abgeschlossen, nicht offen, nicht konvex, nicht beschränkt b) M \ M D ; M \ M 3 D ; M \ M 3 D ; M 3 \ M 4 D ; M 3 \ M 5 D ; Lösung zu Aufgabe 45 a) N W x C 3x N W x C x N 3 W 4x C x b) A D.;/; B D.5;/; E D.;4/ zu C: Schneide N mit N 3 W) N 3 N ) x D 8 ) x D 4; x D zu D: N \ N ) N N ) 4x D ) x D 3; x D 3 Also: C D.4;/ D D.3;3/ c) Umsatz: u.x ; x / D x C 3x ) ) maximaler Umsatz bei D D.3;3/ Eckpunkt Umsatz A B C 4 D 5 E 4

43 Lösung zu Aufgabe 46 43

44 Lösung zu Aufgabe 47 44

45 Lösung zu Aufgabe 48 Lösung zu Aufgabe 49 45

46 Aufgaben zum Teil LineareGleichungssysteme Aufgabe 5 Aus den Werkstoffen A ; A werden Zwischenprodukte A 3 ; A 4 ; A 5 und Endprodukte A 6 ; A 7 hergestellt. Die nachfolgende Graphik stellt die Verknüpfungen dar. A 3 A A 6 4 A 5 A A 7 3 A Die Pfeilbewertung a ij mit A i a ij! A j gibt an, wie viele Mengeneinheiten von A i zur Herstellung einer Einheit A j benötigt werden. Wie viele Einheiten von A ; A ; A 3 ; A 4 werden benötigt, wenn von A 5 ; A 6 ; A 7 genau 5,, Einheiten verkauft werden können? 46

47 Aufgabe 5 a) Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme sind wahr bzw. falsch? (Begründen Sie Ihre Antwort!) a.) Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen ist stets lösbar. a.) Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen ist nicht immer lösbar. a.3) Wenn ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen lösbar ist, dann ist die Lösung eindeutig. a.4) Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen ist nicht lösbar. a.5) Ein lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Variablen kann eindeutig lösbar sein. b) Für ein lineares Gleichungssystem Ax D b sei die erweiterte Koeffizientenmatrix ( A b) durch 4 a mit a R gegeben. b.) Geben Sie die allgemeine Lösung des homogenen Systems ( b = ) sowie eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems an. b.) Für welche a R ist das gegebene Gleichungssystem lösbar? b.3) Gibt es ein a R, so dass x T D.; ;;;/ das Gleichungssystem Ax D b löst? Aufgabe 5 Die Abteilungen A ; A ; A 3 eines Betriebes sind durch mengenmäßige Leistungen a ij.i; j D ; ; 3/ von A i nach A j gegenseitig verbunden. Jede der Abteilungen gibt ferner Leistungen b i.i D ; ; 3/ an den Markt ab und hat sogenannte Primärkosten c i.i D ; ; 3/ zu tragen. Gegeben seien folgende Daten: A D.a ij / 3;3 D 3 ; b b D b ; c c D c 3 a) Formulieren Sie mit den Variablen x ; x ; x 3 für die innerbetrieblichen Verrechnungspreise ein lineares Gleichungssystem für ein innerbetriebliches Kostengleichgewicht der Abteilungen A ; A ; A 3. b) Lösen Sie das Gleichungssystem von a) und interpretieren Sie das Ergebnis

48 Aufgabe 53 Gegeben sind die beiden folgenden Gleichungssysteme:.G / x C x C x 3 D 4 x C x x 3 D x x C x 3 D.G / 3x C x C x 3 D 3 x C x C x 3 D x C x 3 D a) Welches der beiden Gleichungssysteme besitzt keine Lösung, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen? b) Wie verändert sich die Lösungsmenge von.g /, wenn die Gleichung x C x C x 3 D zusätzlich berücksichtigt werden soll? c) Wie verändert sich die Lösungsmenge von.g /, wenn die Gleichung x C x 3 D entfallen soll? d) Bestimmen Sie für.g / und.g /, falls möglich, eine Lösung mit x 3 D. Aufgabe 54 Ein regionaler Markt wird von drei konkurrierenden Produkten P ; P ; P 3 beherrscht. Bezeichnet man mit a ij Œ; den Anteil von P i -Käufern zum Zeitpunkt t N, der zum Zeitpunkt t C N das Produkt P j kauft, so charakterisiert die Matrix ;6 ;4 A D.a ij / 3;3 ; ;6 ; A ; ;8 die anteiligen Käuferfluktuationen zwischen den Produkten. Ferner beschreibt der Vektor x T D.;5 ; ;5 ; / die Marktanteile der Produkte P ; P ; P 3 zum Zeitpunkt t D. a) Interpretieren Sie die in A und x enthaltenen Nullen. b) Berechnen Sie die Marktanteile der Produkte zu den Zeitpunkten t D ;3 und begründen Sie die Marktanteilszuwächse von P 3 mit Hilfe von A. c) Geben Sie eine stationäre Marktverteilung an, das heißt, für beliebiges t N sind xt T und xtc T D xt t A identisch. 48

49 Aufgabe 55 Ein Teegroßhändler führt drei Sorten Tee: Darjeeling, Nepal und Java mit den Anfangsbeständen x ; x ; x 3. Der Lagerbestand zu Beginn der ersten Woche beträgt 3 Tonnen. Nach der ersten (zweiten) Woche hat er 5 % (5 %) des Bestandes an Darjeeling und jeweils % (4 %) des Bestandes an Nepal bzw. Java verkauft. Der Lagerbestand beträgt nach der ersten (zweiten) Woche 5 (8) Tonnen. Nach der dritten Woche hat er bei einem Gesamtlagerbestand von 5. Tonnen noch Vorräte von % Darjeeling und jeweils % Nepal bzw. Java (im Vergleich zu deren Anfangsbeständen). a) Formulieren Sie ein lineares Gleichungssystem mit den unbekannten Variablen x ; x ; x 3, das alle gegebenen Informationen angemessen wiedergibt. b) Ermitteln Sie alle ökonomisch sinnvollen Lösungen des Gleichungssystems. c) Verwerten Sie falls möglich die zusätzliche Information, dass zu Beginn der ersten Woche der Vorrat an Darjeeling um % höher war als der Vorrat an Nepal. Wie verändert sich damit die Lösung von b)? Aufgabe 56 Eine Brauerei stellt 3 Biersorten her: Hell, Pils und Bock. Die Herstellung erfordert eine Arbeitszeit von Stunden für hl Hell, 4 Stunden für hl Pils und 5 Stunden für hl Bock, wobei insgesamt genau Z Arbeitsstunden zu leisten sind. Das für Werbung bewilligte Budget beträgt 35., wobei die Werbekosten je hl Hell und Bock und bei Pils betragen. Der Gewinn pro hl beträgt bei Hell, bei Pils und 3 bei Bock. Insgesamt soll ein Gewinn von 55. erzielt werden. a) Formulieren Sie das gegebene Gleichungssystem. b) Ermitteln Sie die ökonomisch sinnvolle Lösungsmenge. (Hinweis: die zu produzierenden Einheiten an hl Bier sind nicht negativ). Für welchen Arbeitseinsatz Z gibt es keine Lösung, genau eine Lösung, mehrere Lösungen? c) Skizzieren Sie das in b) erhaltene Ergebnis. 49

50 Aufgabe 57 Gegeben sind die Matrizen: A D a) Zeigen Sie, dass A orthogonal ist. b) Berechnen Sie B. c) Lösen Sie das Gleichungssystem AB x D c mit unter Verwendung von b). ; B D x T D.x ; x ; x 3 ; x 4 / ; c T D.; ; 3; 4/ 5

51 Lösungshinweise zum Teil LineareGleichungssysteme Lösung zu Aufgabe 5 Sei x i.i D ; : : : ;7/ der Gesamtbedarf (+ Verkauf) von A i. Dann ergibt sich der Reihe nach: x 7 D ; x 6 D ; x 5 D 49; x 4 D 46; x 3 D 84; x D 679; x D 6 Lösung zu Aufgabe 5 4 a x 3 D x 4 D ; x 5 D ; x D ; x D ; x ; x - Basis, x 3 ; x 4 ; x 5 - Nicht-Basis x x x 3 x 4 x 5./ 4 a./ a./././ Spezielle Lösung des inhomogenen Systems (Startpunkt) x 3 D x 4 D x 5 D ) xs T D.a / Allgemeine Lösung des homogenen Systems (Richtungsvektoren): x 3 =, x 4 =, x 5 = ) x T k D. / x 3 =, x 4 =, x 5 = ) xe T D. / x 3 =, x 4 =, x 5 = ) xm T D. / 8 ˆ< L D x R 5 W ˆ: a C A C t C A C t C A C t 3 9 >= C A I t ; t ; t 3 R >; ) LGS ist für alle a R Lösbar 5

52 b.3) x T D. / x 5 D C t C t C t 3 D ) t 3 D x 4 D C t C t C t 3 D ) t D x 3 D C t C t C t 3 D ) t D ) Lösungsvektor: a C. / C C. / D ) a C. / D ) a D 4 C. / C C. / D C C C D C C C D C C C D a) Lösung zu Aufgabe 5 Abtei- Sek.kost. Sekundärkosten lung für abgegebene für erhaltene Leistg. Leistungen + Primärkosten A x.4 C C / D 5 C x C 3x 3 A x.7 C C / D 7 C x C x 3 A 3 x 3.6 C 3 C / D 6 C x C x ) 6x x 3x 3 D 5 x C x x 3 D 7 x x C x 3 D 6 b) Gaußalgorithmus liefert: x 3 D (Verrechnungspreis Abteilung A ), x D (V.P. Abt. A ), x D (A 3 ) Lösung zu Aufgabe 53 a) G : eindeutige Lösung mit x 3 D, x D, x D 5

53 G : unendlich viele Lösungen, z.b. der Form: x 3 R bel., x D x 3, x D 3 x 3 b) Einsetzen: x C x C x 3 D C C D ) keine Veränderung der Lösung c) 3. Gleichung entfällt ) Keine Veränderung der Lösungsmenge d) G : x 3 D ) Widerspruch, damit G nicht lösbar. e) G : x 3 D ) X D ; x D. Damit ist G eindeutig lösbar. Lösung zu Aufgabe 54 a) a 3 D a 3 D : Der Käuferanteil, der im Zeitpunkt t C gegenüber t von P nach P 3 bzw. von P 3 nach P wechselt, ist. x 3 D : Zum Zeitpunkt t D ist der Marktanteil von P 3 gleich. b) x T D xt A D.;4; ;5; ;/ x3 T D xt A D.;34; ;48; ;8/ Wachsende Marktanteile von P 3 : a 3 D a 3 D ;: P gibt an P 3 % seines Marktanteils ab, ebenso P 3 an P. Andererseits ist der Marktanteil von P 3 für t D ; jeweils kleiner als der Marktanteil von P. Wegen a 3 D a 3 D spielt dabei P keine Rolle. c) y D x t D x tc ) y T D y T A ) y T.E A/ D T mit y C y C y 3 D ) stationäre Marktverteilung y T D.;; ;4; ;4/ Lösung zu Aufgabe 55 a) Lagerbestand zu Beginn: x C x C x 3 D 3 Lagerbestand nach der. Woche: ;75x C ;8x C ;8x 3 D 5 Lagerbestand nach der. Woche: ;5x C ;6x C ;6x 3 D 8 Lagerbestand nach der 3. Woche: ;x C ;x C ;x 3 D 5; b) Gaußalgorithmus liefert: L D x R 3 C W x D ; x C x 3 D c) x D ; x D ) x D ) x 3 D Lösung zu Aufgabe 56 x ; x ; x 3 R C : Biermenge in hl für Hell (x ), Pils (x ) und Bock (x 3 ) a) x C 4x C 5x 3 D Z (Arbeitszeit) x C x C x 3 D 35 (Werbung) x C x C 3x 3 D 55 (Gewinn) 53

54 . Gaußalgorithmus liefert: Keine Lösung für Z ; für Z D : ) x 3 D und x C x D 5. Damit Lösungsmenge: 8 < x 5 L D : x D x R 3 C W x D x 3 C 9 = ; R ; Ökonomisch sinnvolle Lösungen für x ; x >. Damit: 5 Lösung zu Aufgabe 57 a) Ausmultiplizieren liefert: A A D E ) A D 4 A 4 b) B D B A c) Von links (!) mit B A multiplizieren ergibt: x D B A c D ; ; C ;5A ; 54

55 Aufgaben zum Teil ReelleFunktionen Aufgabe 58 Gegeben sind die Funktionen f ; f von einer reellen Variablen mit f.x/ D 4x C x ; f.x/ D x4 3x 3 C x x Beantworten Sie die folgenden Teilaufgaben ohne Differentialrechnung: a) Für welche x R sind die Funktionen f ; f definiert? b) Zerlegen Sie f additiv in ein Polynom und eine echt-gebrochen-rationale Funktion und zeigen Sie damit, dass f für x > streng monoton fällt. c) Zeigen Sie, dass f für alle x streng monoton wächst. d) Zeigen Sie, dass weder f noch f eine globale Extremalstelle besitzt. Aufgabe 59 Gegeben ist die Funktion f mit f.x/ D q.x C / p x : a) Für welche x R ist f definiert? b) Zeigen Sie ohne Differentialrechnung, dass f für x D minimal und für x D maximal wird. Aufgabe 6 Gegeben ist die Funktion f mit f.x/ D xp ln. x/ : a) Für welche x R ist f definiert? b) Zeigen Sie, dass f streng monoton fällt für x <. 55

56 Aufgabe 6 Bei der Produktion eines Gutes wirken sich die mit steigenden Stückzahlen gewonnenen Produktionserfahrungen kostensenkend aus. Die für eine Mengeneinheit (ME) des Produkts anfallenden Stückkosten k (in /ME) hängen von der Gesamtproduktionsmenge x folgendermaßen ab: k.x/ D a x b mit a; b R; x Es wird nun folgendes beobachtet:. Die erste produzierte Einheit verursacht Kosten in Höhe von 6.. Verdoppelt man die Produktionsmenge ausgehend von einer beliebigen Stückzahl, so sinken die Stückkosten um % gegenüber dem Wert vor der Stückzahlverdoppelung. a) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion k. b) Wie hoch muß die Gesamtproduktionsmenge sein, damit die gesamten Produktionskosten 8. betragen? Aufgabe 6 Bestimmen Sie alle Extremalstellen der Funktion ohne Differentialrechnung. f W Œ I 7! R mit f.x/ D sin x 6 Aufgabe 63 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit 8 x für x < 3 x C 3 ˆ< 3 für x D 3 f.x/ D.x C / für 3 < x ˆ: ln.e xc / für x > auf Stetigkeit. 56

57 Aufgabe 64 Für welche Konstanten a; b R ist die Funktion f W R! R mit 8 ˆ< a e jxj für x f.x/ D ˆ: jxj b e x für x < für alle x R stetig? 57

58 Lösungshinweise zum Teil ReelleFunktionen Lösung zu Aufgabe 58 58

59 Lösung zu Aufgabe 59 Lösung zu Aufgabe 6 Lösung zu Aufgabe 6 59

60 a) Aus. folgt: aus. folgt: k./ D 6 D a b D a ) a D 6 k./ D ;8 k./ D ;8 6 D 6 b ) b D b) 8 D K.x/ D k.x/ x D 6 x bc ln ;8 C ) 5 D x ln D x ln.;8/ ln ;8 ln ) x D 5 ln ;6 9557;8 Lösung zu Aufgabe 6 ln ;8 ln ;3 Lösung zu Aufgabe 63 6

61 Lösung zu Aufgabe 64 6

62 Aufgaben zum Teil ReelleFunktionen Aufgabe 65 Berechnen Sie für x R folgende Grenzwerte: p sin. x/ a) lim p x! x b) lim x! sin.x/ x c) lim x! sin.x/ sin.x/ r d) lim r! tan.r/ p e) lim x sin x& x Aufgabe 66 Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D R folgender Funktionsvorschriften von D! R und geben Sie für jede Funktion eine stetige Fortsetzung auf R! R an. a) f.x/ D sin.x / x b) g.x/ D sin.4x/ x c) h.x/ D x3 x x C x d) k.x/ D cos.x/ x 6

63 Aufgabe 67 Zeigen Sie mittels Zwischenwertsatz, dass die Gleichung cos x D x mindestens eine Lösung hat. Berechnen Sie die Lösung mittels Taschenrechner und Wertetabelle auf mindestens 3 gültige Ziffern. Aufgabe 68 Führen Sie für die gebrochen rationale Funktion f mit eine Partialbruchzerlegung durch. Aufgabe 69 f.x/ D.x /.x C / Zerlegen Sie folgende rationale Funktionen ggf. jeweil additiv in ein Polynom und eine echt gebrochen rationale Funktion und führen Sie für den echt gebrochen rationalen Teil eine Partialbruchzerlegung durch: a) f.x/ D x3 5x 6x C 5 x x 5 b) g.x/ D x3 C 7x C.x C 4/ c) h.x/ D d) j.x/ D x 6x C x 3 6x C x 8 3x C 7 x 3 C 3x C 7x e) k.x/ D x3 x C x x 4 C 3x C 63

64 Aufgabe 7 Geben Sie die größte Menge D R an, auf der die Funktion f W D! R mit stetig ist. Aufgabe 7 8 ˆ< f.x; y/ D ˆ: Ist die Funktion f W R! R mit 8 < f.x; y/ D : 3x y x 8 C y 4 für.x; y/.;/ für.x; y/ D.;/ xy x y x C y für.x; y/.;/ für.x; y/ D.;/ im gesamten Definitionsbereich stetig? Aufgabe 7 Skizzieren Sie folgende Vektorfelder: a) f W Œ;3 Œ I! R mit f.x; y/ A sin 4 y b) g W Œ ;3! R mit g.x; y/ D x y C x y c) h W Œ 3;3! R mit h.x; y/ D x C y 64

65 Lösungshinweise zum Teil ReelleFunktionen Lösung zu Aufgabe 65 65

66 Lösung zu Aufgabe 66 Lösung zu Aufgabe 67 66

67 Lösung zu Aufgabe 68 67

68 Lösung zu Aufgabe 69 68

69 Lösung zu Aufgabe 7 Lösung zu Aufgabe 7 69

70 Lösung zu Aufgabe 7 7

71 Aufgaben zum Teil Differentialrechnung Aufgabe 73 Gegeben sind die reellen Funktionen f ; f ; f 3 W R! R mit: f.x/ D x 3p x C ( p x C x C für x = f.x/ D f 3.x/ D ( x für x < x x C für x = e x für x < a) Für welche x R sind die Funktionen differenzierbar? b) Berechnen Sie gegebenenfalls die Differentialquotienten. Aufgabe 74 Die kumulierte Nachfrage y nach Videorecordern in Abhängigkeit der Zeit t = wird durch die sogenannte Gompertz-Funktionsgleichung prognostiziert. y.t/ D 7 e 5.;5/t a) Skizzieren Sie die Funktion und gebe Sie eine Interpretation. b) Berechnen Sie die Sättigungsgrenze lim t! y.t/. c) Zeigen Sie, dass die Änderungsrate der Nachfrage für alle t = positiv und monoton fallend ist. d) Zeigen Sie auch, dass die Nachfrage für t 5 3 elastisch und für t = 4 unelastisch ist. 7

72 Aufgabe 75 Für eine Einproduktunternehmung wurden in Abhängigkeit des Produktionsniveaus x > die Kosten durch c.x/ D 6x C 4 und die Preis-Absatz-Beziehung gemäß p.x/ D 3 x geschätzt. a) Geben Sie die Gewinnfunktion g mit g.x/ D x p.x/ c.x/ an und untersuchen Sie diese Funktion auf Monotonie und Konvexität. b) Berechnen Sie den Bereich positiver Gewinne sowie das gewinnmaximale Produktionsniveau. c) Bestimmen Sie das Produktionsniveau mit maximalem Stückgewinn. Aufgabe 76 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/ D 5 e x.x / auf Monotonie und Konvexität. Bestimmen Sie außerdem alle Extremalstellen und Wendepunkte und skizzieren Sie den Verlauf der Funktion für x =. Aufgabe 77 Gegeben sei die Funktion f W R! R mit f.x/ D x 4 x 3 C : a) Berechnen Sie alle Extremalstellen und Wendepunkte. b) Berechnen Sie die Funktion für x D ; ; 5; ; und skizzieren Sie f.x/. c) Beschreiben Sie mit Hilfe von a) und b) das Monotonie- und das Konvexitätsverhalten der Funktion. 7

73 Lösungshinweise zum Teil Differentialrechnung Lösung zu Aufgabe 73 f.x/ D x 3 p x C ist differenzierbar 8x R, da Komposition elementarer differenzierbarer Funktionen. f.x/ D 3xp x C C x 3 x C x D 3x4 C 3x C x 4 p x C f.x/ D p x C x C für x = x für x < ) f.x/ D.x C x C /.x C / für x > für x < lim x& D 4x4 C 3x p x C ist stetig differenzierbar für x ist stetig differenzierbar für x Noch zu betrachten: x D. Für Differenzierbarkeit ist Stetigkeit von f Voraussetzung: 9 lim f.x/ D x% f.x/ D p = C C D ; ) f.x/ist nicht stetig für x D ) f.x/ ist nicht differenzierbar für x D Analoge Überlegung bei f 3.x/ führt zu stetiger Differenzierbarkeit für x Zur Stetigkeit bei x D Diff.barkeit W ) f 3.x/ D x für x > e x für x < lim f 3.x/ D e D x% f 3.x/ D C D lim x& lim f 3.x/ D e D x% lim x& f 3.x/ D D 9 = 9 = ; ) f 3.x/ist stetig für x D ; ) f 3.x/ist nicht diff.bar für x D 73

74 a) Lösung zu Aufgabe 74 7 ; 8 7 ; 6 7 ; 4 7 ; 7 y.t/ b) lim t! y.t/ D lim t! 7 e 5. / t D 7 e 5 lim t!. / t D 7 e 5 D 7 y.t/ D 7 e 5 t t c) % y.t/ D y.t/ 7 e 5. / t t 5 y.t/ D ln 7 e 5. D C5 / t t ln > ) % y.t/ ist monoton fallend, denn t ist monoton fallend. t. d) " y.t/ D t % y.t/ D t 5 ln 3 Damit ist " y.3/ D 3 5 ln ;99 und "y.4/ D 4 5 ln 4 ;866. Außerdem gilt für die Ableitung: " y.t/ D 5 ln. t ln / D 5 ln t ln ƒ immer > t t ;44, damit ist ln " y.t/ > (streng monoton steigend) für t < ;44 und " y.t/ < (streng monoton fallend) für t > ;44. Damit gilt, da " y./ ;7 > und " y.t/ für < t < ;44 steigt, dann bis t D 3 fällt mit " y.3/ ;99 >, dass y.t/ im Bereich von 5 t 5 3 elastisch sein muss. Andererseits ist " y.4/ ;866 < und " y.t/ fällt für t > 4. Damit ist y.t/ unelastisch für t > 4. 74

75 Lösung zu Aufgabe 75 Allgemein gilt: a) Das Produktionsniveau ist nicht negativ: x = Für die Kosten gilt: c.x/ D 6x C 4 Für den Preis gilt: p.x/ D 3 x g.x/ D x p.x/ c.x/ D x.3 x/.6x C 4/ D x C 4x 4 > für x < 6 str. mon. steigend ) g.x/ D 4x C 4 D 4.6 x/ < für x > 6 str. mon. fallend ) g.x/ D 4 ) g.x/ konkav 8 x > b) g.x/ D, x = D C6 p36 D 6 4 D ) wegen str. Konkavität: g.x/ > für < x <. Maximaler Gewinn: g.x/ D, x D 6 und g.x/ D 4 < ) g.6/ D 6 C D 7 C 44 4 D 3 c) Für den Stückgewinn gilt: h.x/ D g.x/=x D x C 4 4=x Damit: h.x/ D C 4. Extremum bei x wenn h.x/ D, also x C 4x D, x D p 4;5 h.x/ D 4 D 8x 3 < (für x > ), also streng konkav. Damit ist h. p / 6; x 3 globales Stückgewinnmaximum. 75

76 Lösung zu Aufgabe 76 f.x/ D 5 e x.3 x/. Damit ist f.x/ > (f str. mon. steigend) für x < 3 und f.x/ < (f str. mon. fallend) für x > 3. Also ist x D 3 ein globales Maximum mit f.3/ D 5 e ;5 ;77. f.x/ D 5 4 e x.x 5/. Damit ist f.x/ > (f streng konvex) für x > 5 und f.x/ < (f streng konkav) für x < 5 Wertetabelle x f.x/ ,6 3 -,77 5-3,36! -5 ;76 f.x/ f.x/ D 5 e x.x / x 76

77 Lösung zu Aufgabe 77 a) und c) f.x/ D 4x 3 6x D 4x.x 3=/ und damit f.x/ D x.x / Also gilt für das Monotonieverhalten: 8 > für x > 3= str. mon. steigend ˆ< f.x/ D D für x f; 3 g ˆ: < für x. I 3 / n fg str. mon. fallend Für das Krümmungsverhalten gilt: b) f.x/ f.x/ D x 4 x 3 C x f.x/ D ( > für x > _ x < str. konvex < für < x < str. konkav Damit ist f.3=/ ;6875 ein globales Minimum, f./ D eine Terasse und f./ D ein Wendepunkt. 77

78 Aufgaben zum Teil Differentialrechnung Aufgabe 78 Verwenden Sie die Definition des Differentalquotienten, um jeweils die. Ableitung folgender Funktionen zu bestimmen: a) f.x/ D x b) g.x/ D x x c) h.x/ D p x Aufgabe 79 Bei konstanter Temperatur T ist der Druck P in Abhängigkeit vom Volumen V durch die Beziehung P D nrt an V nb V gegeben. Dabei bezeichnen a; b; n und R Konstanten. Berechnen Sie dp dv. Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen f i W R D! R: a) f a.x/ D C x x b) f b.x/ D x x c) f c.x/ D x xx d) f d.x/ D.x 3/ x 78

79 Aufgabe 8 Eine quaderförmige Kiste, deren oberes Ende geöffnet ist, soll aus einem quadratischen Blech mit der Seitenlänge a hergestellt werden. Dazu werden an den 4 Ecken des Blechs jeweils gleich große Quadrate mit Seitenlänge x ausgestanzt und die so entstandenen 4 Seitenrechtecke hochgeklappt um die Kiste zu formen. Wie groß muss x sein, so dass das Volumen der entstandenen Kiste maximal wird? Aufgabe 8 Ein zylinderfömiger Ölbehälter soll einen Liter Flüssigkeit fassen. Der Behälter ist oben und unten komplett geschlossen. Wie müssen Höhe und Radius dimensioniert sein, so dass möglichst wenig Material verbraucht wird? Aufgabe 83 Im Folgenden bedeutet u W R C! R den Umsatz u.x/ in Abhängigkeit von der verkauften Stückzahl x und k W R C! R die Produktionskosten k.x/. Umsatz und Produktionskosten seien stetig differenzierbar. Daraus leitet sich die Gewinnfunktion g W R! R mit g.x/ D u.x/ k.x/ ab. Die Ausdrücke du dk und bezeichnet man als den Grenzumsatz beziehungsweise die Grenzkosten beim Produktionsniveau x. Beweisen Sie folgende dx dx Aussagen: a) Maximaler Gewinn entsteht (sofern er existiert) bei einem Produktionsniveau x, bei dem Grenzumsatz und Grenzkosten übereinstimmen. b) Beim Produktionsniveau x mit den niedrigsten Stückkosten (sofern es existiert) sind die Stückkosten und die Grenzkosten gleich hoch. Aufgabe 84 Zwei Massen hängen nebeneinander an zwei Federn und haben in Abhängigkeit der Zeit t die vertikale Position s.t/ D sin t und s.t/ D sin.t/ a) Zu welchen Zeitpunkten t > haben die Massen die gleiche Höhe? b) Wann ist im Zeitintervall ŒI der Abstand der Massen am größten? Hinweis: Es gilt sin.t/ D sin t cos t und cos.t/ D cos t 79

80 Lösungshinweise zum Teil Differentialrechnung Lösung zu Aufgabe 78 Lösung zu Aufgabe 79 8

81 Lösung zu Aufgabe 8 8

82 Lösung zu Aufgabe 8 8

83 Lösung zu Aufgabe 8 Lösung zu Aufgabe 83 83

84 Lösung zu Aufgabe 84 84

85 Aufgaben zum Teil Differentialrechnung3 Aufgabe 85 Verwenden Sie das Newtonsche Verfahren, um jeweils eine Nullstelle folgender Funktionen mit einer Abweichung von maximal 5 zu finden. Starten Sie das Verfahren jeweils im angegebenen Punkt x : a) f.x/ D x 4 C x 3; x D b) g.x/ D x Aufgabe 86 sin x; x D 3 Berechnen Sie mit Newtons Verfahren den Schnittpunkt der beiden Funktionen f.x/ D x und g.x/ D tan x im Intervall.I =/. Aufgabe 87 Suchen Sie mit der Newtonschen Methode die Nullstelle Qx D der Funktion f.x/ D.x / 4 vom Startpunkt aus. Warum arbeitet das Verfahren in diesem Fall so schlecht? Aufgabe 88 Berechnen Sie den Wert von sin. 4 / mittels Taylorpolynom im Entwicklungspunkt x D auf 4 Stellen nach dem Komma genau. Aufgabe 89 Für welche x R konvergieren die Potenzreihen.p n.x//;.q n.x// mit p n.x/ D nx id 3 i.x / ; q n.x/ D nx id i.x C / i 85