Grundwissen Mathematik 7I

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1 Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises besitzen ds gleiche ß und sind hlb so groß wie der dzugehörige ittelpunktswinkel. Thleskreis (Sonderfll des Rndwinkelstzes) Verbindet mn die unkte n des Hlbkreises über einer ittelsehne mit den Endpunkten und, so hben lle Winkel n bzw. n ds ß 90. Umgekehrt gilt: Ht der Winkel bzw. ds ß 90, liegt sein Scheitel uf dem Hlbkreis über der ittelsehne [] 80 Tngentenkonstruktion Fll: Tngente im erührpunkt, der uf der Kreislinie k liegt. Fll : Tngenten von einem unkt us n die Kreislinie k. eichne die Strecke [] oder die entrle durch und. eichne die Strecke []. eichne die Senkrechte zur Strecke [] oder zur entrle durch und. T T eichne einen Kreis (Thleskreis), dessen ittelpunkt der ittelpunkt der Strecke [] ist. Die Schnittpunkte der beiden Kreise bilden die erührpunkte und der beiden Tngenten. Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

2 Grundwissen themtik 7I ultipliktion und Division in QI Rechenregeln c c c d : b d b d b d b c Vorzeichenregeln : + + : + : + + : otenzgesetze. otenzgesetz n m n m + eispiel: 7 + Ü: ) b) 5 0,5 0,5 0,5 c) ( ) ( ). otenzgesetz n m n m ( ) Ü: ) eispiel: ( ) 5 5 (,5 ) b) [(k ) ] c) 7. otenzgesetz n n n b ( b) eispiel: ( ) 6 Ü: ) 5 b) z c) 7 7 (,5) ( ). otenzgesetz n m n m eispiel: Ü: ) 7 7 : 7 b) (,) : (,) c) 5 5. otenzgesetz n n n b b eispiel: 6 6 Ü: ) : b) 5 5 ( 8) : c) 9 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

3 Gleichungen Grundwissen themtik 7I Lösen von (Un)gleichungen durch Äquivlenzumformungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn mn uf beiden Seiten die gleiche hl ddiert oder subtrhiert, beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen hl multipliziert oder durch sie dividiert. eispiele: GI QI : ( ),5 IL {,5} IL { 8} Ungleichungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn mn uf beiden Seiten die gleiche hl ddiert oder subtrhiert, beide Seiten mit der gleichen positiven hl multipliziert oder durch sie dividiert, beide Seiten mit der gleichen negtiven hl multipliziert oder durch sie dividiert und ds Ungleichheitszeichen umkehrt (Inversionsgesetz). eispiele: GI QI. < : ( ) > 7 Inversion! IL { > 7}. 6 > 7 : 6 >,5 IL { >,5}. + 5 > 5 > 8 ( ) < Inversion! IL { < } Ü: Löse durch Äquivlenzumformungen die folgenden Gleichungen und Ungleichungen mit GI QI : ) b) 67 < c) + < 8 d) > e) (77 0) + 96 f) + < 6 g) > Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

4 Indirekte roportionlität Grundwissen themtik 7I Entspricht bei einer uordnung von Größen ds n-fche der einen Größe dem n-ten Teil der nderen Größe, so heißt diese uordnung indirekte roportionlität. eispiel: Der Flächeninhlt eines Rechtecks beträgt cm². Wenn GI IN IN, ist dies für cht Rechtecke verschiedener Länge cm und reite cm möglich : : :8 Eigenschften: lle hlenpre ( ) einer indirekten roportionlität sind produktgleich. Ds rodukt ht immer den gleichen Wert. eispiel: Sprechweise: und sind zueinnder indirekt proportionl Schreibweise: Der Grph einer indirekten roportionlität ist ein + + Hperbelst. ( GI QI 0 QI 0 ) eispiel: O Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

5 insrechnung Grundwissen themtik 7I Die insrechnung ist eine nwendung der rozentrechnung. Unter insen (kurz: ins) versteht mn den Geldbetrg, den mn nch einer bestimmten eit für geliehenes Geld bezhlen muss oder für verliehenes Geld bekommt. Es entsprechen sich: rozentwert (W) rozentstz (p) Grundwert (GW) Jhreszins ( J ) insstz (p) Kpitl (K) Die so berechneten insen J beziehen sich uf ein Jhr (Jhreszins). Wird ein nderer eitrum betrchtet, so muss der Jhreszins uf diesen eitrum umgerechnet werden. Ein Geschäftsjhr ht 65 Tge. ins für Jhr (Jhreszins) J K p ins für Tg t 00 K p ins für n Jhre n K p n ins für T Tge T 00 K p T eispiel: erechne die insen für 9 instge, wenn ein Kpitl 5000,00 zu 8% verliehen wird. T T 960 Der ins für 9 Tge beträgt 960,00. Übungen:.0 uf einem Sprbuch, ds mit,75% verzinst wird, sind 90,00.. erechne die insen nch einem Jhr.. erechne den insertrg für ds zweite Jhr, wenn die insen des ersten Jhres dem Kpitl zugerechnet werden. Herr urer gibt 0000,00 zu 6,5% uf die nk und legt lljährlich die gewonnen insen wieder zu seinem Kpitl. Dmit erhöht sich sein Kpitl Jhr für Jhr um den insertrg. erechne sein Endkpitl nch 5 Jhren. Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

6 Die rllelverschiebung Grundwissen themtik 7I r v Eigenschften: I ' ei llen rllelverschiebungen sind die Verbindungsstrecken von Urpunkt und ildpunkt ' prllel, gleich lng und gleich gerichtet. Sie bilden eine feilklsse. Jede feilklsse heißt Vektor. Durch jede rllelverschiebung ist umkehrbr eindeutig ein Vektor bestimmt. lle rllelverschiebungen hben keinen Fipunkt. lle rllelverschiebungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzbbildung ). lle rllelverschiebungen sind gerden- und kreistreu. D ' ' feilklsse Vektor r v ' D'... r v (Fußpunkt) ' (Spitze) Jeder Vektor v r lässt sich im Koordintensstem durch seine Koordinten eindeutig festlegen. uuur r Die Koordinten des feils ' und dmit des Vektors v werden durch die Koordinten des Fußpunktes ( ) und die Koordinten der Spitze '(' ') festgelegt. n berechnet sie nch der Regel: ' ' ' Spitze minus Fuß z.. ( ) und '( ) ( ) ' 6 ' eispiel: r 6 v I ''' mit ( ), ( ) und ( ) ' ' O ' + +6 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

7 Gesetze zur Vektorrechnung Grundwissen themtik 7I Kommuttivgesetz und ssozitivgesetz bei der ddition von Vektoren Kommuttivgesetz b b ssozitivgesetz ( b ) c ( b c ) erechnung von Summenvektoren llgemein eispiel r ; b b r ; r b r r b r r + b b b b b + r r r r r + ( ) r r b b b b + Ortspfeil Ortspfeile sind feile, die vom Ursprung des Koordintensstems zu einem unkt im Koordintensstem führen. Die Koordinten des Ortspfeils sind dieselben wie die Koordinten des unktes. z..: ( ) O O O ( ) erechnung der Koordinten von ildpunkten llg.: O ' O v ' v ' v z..: ( ) v + O ' O ' + 6 O ' '(6 ) ' + v ' + v ( ) '( + v + v ) '(6 ) + + O 5 erechnung der Koordinten des ittelpunktes der Strecke [] llg.: ( ), ( ), ( ) + + ( ) z..: ( ), ( ) + + (0,5,5) Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule O

8 Die Drehung Grundwissen themtik 7I ; ϕ Eigenschften: I ' Jede Drehung besitzt einen unkt ls Drehzentrum und einen Winkel ϕ ls Drehwinkel. Die Verbindungsstrecken [] von Urpunkt und Drehzentrum und [ '] vom zugehörigen ildpunkt ' und Drehzentrum sind gleich lng und schließen den Winkel ' mit dem ß ϕ ein. lle Drehungen hben nur ds entrum ls Fipunkt. lle Drehungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzbbildung ). lle Drehungen sind gerden- und kreistreu. positive Drehrichtung negtive Drehrichtung ' ' ' ' ' ϕ 5 ϕ -5 ϕ ; ϕ 5 I ' ; ϕ 5 I ' ; ϕ I ''' Eine Drehung um 80 nennt mn uch eine unktspiegelung m entrum. ' ; ϕ 80 I '' ' ' ' ϕ erke: Eine Figur heißt punktsmmetrisch, wenn sie durch Drehung n einem unkt um 80 uf sich selbst bgebildet werden knn. D D D D rllelogrmm Rechteck Qudrt Rute Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

9 Regeln für Winkel Grundwissen themtik 7I Neben- und Scheitelwinkel β Scheitelwinkel sind gleich groß: * * und β β g Nebenwinkel ergänzen sich zu 80 : + β 80 Winkel n rllelen ( g ). Stufenwinkel (F-Winkel) g β g β g β g β. Wechselwinkel (-Winkel) g β g β g β g β Innenwinkelsummen. im Dreieck. im Viereck In jedem Dreieck beträgt die Summe der Winkelmße der drei Innenwinkel 80 : + β + γ 80 Ü: Gib die fehlenden Winkelmße n und begründe. In jedem Viereck beträgt die Summe der Winkelmße der vier Innenwinkel 60 : + β + γ + δ 60 δ g δ γ δ g 70 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

10 Grundwissen themtik 7I Der Kreis Kreis k Die Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte E und F heißt Sehne s. Die Sehne s teilt die Kreislinie in zwei Kreisbögen EF und FE. Ds von Kreissehne und Kreisbogen begrenzte Flächenstück ist ein Kreissegment. Ein von zwei Rdien und einem Kreisbogen begrenztes Flächenstück ist ein Kreissektor. Die beiden Rdien schließen den ittelpunktswinkel mit dem ß ε ein. E Rdius r Durchmesser d Sehne s Segment Sektor ε F Lgebeziehung von Kreis k und Gerde ssnte p: p k Tngente t: t k {} Tngente t ssnte p entrle z: z k {; } mit z Seknte s: s k {E; F} entrle z erührrdius Seknte s E F erechnungen m Kreis Für den Kreisumfng u gilt: u r π Für den Inhlt der Kreisfläche gilt: r π r r Für die Kreiszhl π wird vorläufig der Wert π, oder π benutzt. 7 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

11 Grundwissen themtik 7I Geometrische Ortslinien Kreis Der Kreis ist der geometrische Ort ller unkte, die von einem unkt die gleiche r Entfernung hben. k(; r) { r} k ittelsenkrechte Die ittelsenkrechte ist der geometrische Ort ller unke, die von zwei unkten die gleiche Entfernung hben. m [] { } m Winkelhlbierende Die Winkelhlbierende ist der geometrische Ort ller unkte, die von beiden Schenkeln eines Winkels den gleichen bstnd hben. S w ittelprllele Die ittelprllele zweier prlleler Gerden ist der geometrische Ort ller unkte, die von den beiden Gerden den gleichen bstnd hben. g m h 5 rllelenpr Ds rllelenpr zu einer Gerden ist der geometrische Ort ller unkte, die von einer Gerden den gleichen bstnd hben. g p p Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

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