Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band 2, 2.Aufl. (Version 2010), Kapitel 5

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1 Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band,.Aufl. Version, Kapitel 5 Bilinear-und Sesquilinearformen Abschnitt.A, Aufg., p : Man bestimme die Ränge der Bilinearformen : R R R, die durch die folgenden Fundamentalmatrizen bzgl. der Standardbasis gegeben werden, und entscheide, ob sie nicht-ausgeartet sind: 5,. 7 Für die Vektoren x,,, y,, und x,,, y,, bestimme man jeweils x, y. Lösung: Die Determinante der ersten Matrix ist , sie hat also wie den maximal möglichen Rang und die zugehörige Bilinearform ist eine vollständige Dualität, also erst recht nichtausgeartet. Für sie gilt:,,,,,,,,,,,,,, 5 5,, 8, 5, 8, 7. Die dritte Zeile der zweiten Matrix ist die Summe der beiden ersten Zeilen, der Rang der Matrix ist also höchstens. Da die ersten beiden Zeilen der Matrix offensichtlich linear unabhängig sind, ist der Rang der Matrix und damit der Rang von gleich. Daher ist ausgeartet, d.h. nicht nicht-ausgeartet, und es gilt:,,,,,,,,,,,,,, Abschnitt.A, Aufg., p : 7, 9, 7,,,. 7 Seien x,..., x n Elemente eines n-dimensionalen Vektorraums und f,..., f n Linearformen auf V. Genau dann sind x,..., x n und f,..., f n Basen von V bzw. V, wenn gilt: f x f n x f x n f n x n Beweis: Die angegebene Determinate ist die Gramsche Determinante G x,..., x n ; f,..., f n der zugehörigen Gramschen Matrix bzgl. der natürlichen Dualität : V V K mit x, f : f x. Die Aussage folgt daher unmittelbar aus dem Gramschen Kriterium.A.. Abschnitt.A, Aufg., p : Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume und : V W K eine bilineare bzw. sesquilineare Funktion. Für Unterräume V V und W W sei die Beschränkung von auf V W. Dann gilt Rang Rang. Insbesondere ist Rang m, falls nicht-ausgeartet und m : Dim V Dim W ist.

2 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Beweis: Wir ergänzen eine Basisv,..., v p vonv zu einer Basisv,..., v n vonv und eine Basisw,..., w q vonw zu einer Basisw,..., w n vonw. Die Gramsche Matrix von ist also eine Teilmatrix der Gramschen Matrix von. Daher ist Rang Rang. Ist nicht-ausgeartet und m : Dim V Dim W, so besitzt die zugehörige Gramsche Matrix von einen m m-minor. Nach dem Minorenkriterium 9.C. ist dann ihr Rang und damit Rang mindestens m. Abschnitt.A, Aufg., p : SeiV eink-vektorraum und :V V K die natürliche Dualität. Dann ist dieabbildung : V V die Identität und die Abbildung : V V V der kanonische injektive Homomorphismus σ V von V in sein Bidual, vgl. Beispiel 5.G.. ist genau dann ein Isomorphismus, wenn V endlichdimensional ist. Beweis: Definitionsgemäß gilt f x x, f f x für alle x V und f V, also f f und somit id V, sowie xf x, f f x σ V x f, also x σ V x und somit σ V. Ist V endlichdimensional, so ist eine vollständige Dualität z. B. weil id V ist, vgl. auch Beispiel.A.6, also σ V ein Isomorphismus. Ist umgekehrt V nicht endlichdimensional, so sei v i, i I, eine Basis von V. Dann sind die Linearformen vi, i I, mit vi v j δ ij linear unabhängig. Aus a i vi mit a i K folgt nämlich a j a i vi v j i I i I für alle j J. Die vi erzeugen V aber nicht. Beispielsweise lässt sich die Linearform g V mit g a i v i : a i nicht durch die vi darstellen. In einer Darstellung g b i vi wäre nämlich b i i I i I i I nur für endlich viele i. Ist also i I ein Index mit b i, so ergäbe sich der Widerspruch gv i b i vi v i b i. i I Nach Satz.A.6, der, wie im Anschluss an.a.9 erwähnt, auch bei beliebigem I gilt, lasssen sich die vi, i I, durch weitere Elemente e j V, j J, zu einer Basis von V ergänzen. Wir wählen dann ein j J und definieren eine Linearform h V durch hvi : für alle i, he j für alle j j und he j. Wäre nun σ V : V V ein Isomorphismus, so gäbe es ein x a i v i V mit h σ V x σ V a i v i. i I i I Es folgte a i a j vi v j σ V a j v j v i hvi für alle i, somit x und schließlich h im j I j I Widerspruch zu he j. Zu dieser Aufgabe vergleiche auch Bemerkung 5.G.6 und 5.G, Aufg.. Abschnitt.A, Aufg. 5, p : Definiert : V W K eine vollständige Dualität, so sind die Vektorräume V und W endlichdimensional mit Dim V Dim W. Beweis: Definiert : V W K eine vollständige Dualität, so sind die kanonischen Abbildungen : W V mit y x x, y und : V W mit x y x, y bijektiv. Nach 5.G, Aufg. ist dann auch die duale Abbildung : V W, die für L V durch Ly : L x x, y für alle y W definiert ist, bijektiv. Da : V W mit x y x, y ebenfalls bijektiv ist, ist auch : V V bijektiv. Haben wir gezeigt, dass diese Abbildung gleich der kanonischen Abbildung σ V ist, so liefert Aufg., dass V und somit V endlichdimensional sind. Da bijektiv ist, muss auch W endlichdimensional sein. Dim V Dim W folgt nun aus Satz.A.9. Um σ V, d.h. σ V, zu zeigen, fixieren wir ein x V. Dann gilt für alle y W σv x y σ V x x x, y x, y x y. Es folgt σv x x, also schließlich σ V. Abschnitt.A, Aufg. 7, p : Die Funktion : V W K definiere eine vollständige Dualität. Zu jeder Basis v v i i I von V existiert dann genau eine Basis w w i i I von W mit v i, w j δ ij, d.h. G v;w E I. Analog existiert zu

3 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 jeder Basis w w i i I von W genau eine Basis v v i i I von V mit v i, w j δ ij. Die Basen v und w heißen in dieser Situation d u a l e B a s e n bzgl.. Man bestimme die duale Basis w w, w, w zur Standardbasis v e, e, e für die erste der Funktionen aus Aufg.. Beweis: Nach Aufg. 5 sind V und W endlichdimensional. Ist v i, i I, eine Basis von V, vi, i I, die dazu duale Basis von V und : W V mit y x x, y der zugehörige kanonische Isomorphismus, so setzen wir w j : v j, j I. Dann ist w j, j I, eine Basis von W, und es gilt v i, w j w j v i v j v i v j v i δ ij, d.h. w j, j I, ist die gesuchte -duale Basis zu v i, i I. Analog findet man die -duale Basis von V zur Basis w von W. Die erste Matrix in Aufg. definiert eine vollständige Dualität. Sie ist nach Beispiel.A.6 die Matrix der zugehörigen kanonischen Abbildung : R R bzgl. der Basen e, e, e bzw. e, e, e. wird dann bzgl. dieser Basen durch die dazu inverse Matrix beschrieben. Ihre Spalten liefern die gesuchte Dualbasis w : 8 7, 9,, w : 5,,, 8 w : 8 5,, von R zu e, e, e bzgl.. Abschnitt.A, Aufg. 9, p : Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Für zwei lineare Abbildungen f Hom K V, W und g Hom K W, V gilt stets Sp fg Sp gf. Die Abbildung Hom K W, V Hom K V, W K mit g, f Sp gf ist bilinear und definiert eine vollständige Dualität. Im Fall W K ergibt sich die natürliche Dualität V V K. Beweis: Sei m : Dim K V und n : Dim K W. Wrir dürfen annehmen, dass m, n> gilt. Nach Übergang zu Basen von V bzw. W genügt es zu zeigen, dass die Abbildung M m,n K M n,m K K mit A, B SpAB für A M m,n K, B M n,m K, bilinear ist und eine vollständige Dualität definiert. Die Bilinearität folgt dabei sofort aus der Linearität der Spurabbildung. In der Zeile zum Index i, j, i m, j n, der Fundamentalmatrix dieser Spurform bzgl. der Standardbasen E ij, i m, j n, von M m,n K bzw. E rs, r n, s m, von M n,m K stehen dann die Elemente SpE ij E rs Spδ jr E is δ jr SpE is δ jr δ is, vgl. die Produktformel für die E ij im Anschluss an Satz 8.A.9. Das einzige Element in dieser Zeile steht also in der Spalte mit dem Index j, i und ist überdies gleich. Daher hat die gesuchte Fundamentalmatrix den Maximalrang mn. Die zugehörige Bilinearform ist somit eine vollständige Dualität. Im FallW K identifiziert sich Hom K W, V mitv und Hom K V, W ist der DualraumV. Für v g V und f V ist gf : V V die lineare Abbildung x f xv, deren Spur offensichtlich f v ist. Abschnitt.B, Aufg. 7, p : a Die symmetrischen Bilinearformen auf einem n-dimensionalen K-Vektorraum bilden einen K-Vektorraum der Dimension n+. b Die komplex-hermiteschen Formen auf einem n-dimensionalen C-Vektorraum bilden einen nur reellen Vektorraum der Dimension n. Beweis: a Ist v v,..., v n eine Basis von V, so ist G v,v ein K-Isomorphismus des Raums der K-Bilinearformen auf V auf den Vektorraum M n K. Dem Unterraum der symmetrischen Bilinearformen entspricht dabei der Unterraum der symmetrischen n n-matrizen über K. Eine symmetrische Matrix wird aber festgelegt durch die n Elemente in der Hauptdiagonalen und die n + n + + Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen, also durch insgesamt n + n + n + + n+ Elemente.

4 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Eine Basis des Raums der symmetrischen n n-matrizen bilden die n+ Matrizen Eii, i n; E ij +E ji, i <j n. b Ist v v,..., v n eine C-Basis von V, so ist G v,v ein R-Isomorphismus des Raums der Sesquilinearformen auf den R-Vektor-Raum M n C. Dem Unterraum der komplex-hermiteschen Sesquilinearformen entsprecht dabei der Unterraum der komplex-hermiteschen n n-matrizen über C. Eine komplex-hermitesche Matrix wird aber festgelegt durch die n reellen Zahlen in der Hauptdiagonalen und die n + n + + komplexen Zahlen oberhalb der Hauptdiagonalen, die ihrerseits über R durch Angabe von Real- und Imaginärteil bestimmt sind. Insgesamt werden sie also durch n + n + n + + n + nn n reelle Zahlen bestimmt. Eine Basis des R-Vektorraums der komplex-hermiteschen n n-matrizen bilden die n Matrizen E ii, i n; E ij +E ji, i E ij E ji, i <j n. Abschnitt.B, Beweis von Satz.B. und Variante zu.b, Aufg. 8, p : Für jede Sesquilinearform auf einem C-Vektorraum V gilt v, w i v + w, v + w v w, v w + v + i w, v + i w v i w, v i w. Insbesondere ist durch die Werte x, x, x V, auf der Diagonalen bestimmt. ist genau dann komplex-hermitesch, wenn x, x R ist für alle x V. Beweis: Es ist i v + w, v + w v w, v w + v + i w, v + i w v i w, v i w v, v + v, w + w, v + w, w v, v v, w w, v + w, w + + i v, v + i v, w + i w, v + ii w, w v, v i v, w i w, v + ii w, w i v, w + w, v + i v, w + i w, v v, w + w, v + v, w w, v v, w. Aus u, u R für alle u V folgt mit dieser Formel sofort: w, v i w + v, w + v w v, w v + w + i v, w + i v w i v, w i v i v + w, v + w v w, v w + ii v i w, v i w ii v + i w, v + i w i v + w, v + w v w, v w + v i w, v i w v + i w, v + i w i v + w, v + w v w, v w v + i w, v + i w v i w, v i w v, w, da v+w, v+w v w, v w und v+ i w, v+ i w v i w, v i w nach Voraussetzung über reell sind. Ist umgekehrt komplex-hermitesch, so gilt x, x x, x, also x, x R für alle x V. Abschnitt.B, Aufg., p : Sei K ein Körper mit Char K. Für eine nicht-ausgeartete und nicht anisotrope symmetrische Form auf einem K-Vektorraum V ist die zugehörige quadratische Form Q : V K surjektiv. Beweis: Nach Voraussetzung gibt es einen isotropen Vektor x V, d.h. einen Vektor x mit x und x, x. Da nicht-ausgeartet ist, ist die Abbildung injektiv. Insbesondere ist die Linearform z x, z nicht, d.h. es gibt ein z V mit x, z.

5 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 5 Zu a K wählen wir nun t : a z, z. Da symmetrisch ist, gilt dann für y : z+tx V : Qy y, y z + tx, z + tx z, z + t + t x, x z, z + a z, z a. Abschnitt.B, Aufg., p : Sei x i, i I, eine Orthonormalbasis des K-Vektorraums V bzgl. der Form. Für ein beliebiges x V gilt dann x i I x, x i x i. Beweis: Da x i, i I, eine Basis von V ist, gibt es a i K I mit x a i x i. Wegen der Orthogonalität der i I x i folgt x, x j x, a i x i a i x i, x j a i δ ij a j für alle j I, also x x, x i x i. i I i I i I i I Abschnitt.B, Aufg. 5, p : Seien und zwei symmetrische oder zwei komplex-hermitesche Formen auf dem K-Vektorraum V. Die Orthogonalität möge für beide Formen übereinstimmen, d.h. es gelte für x, y V genau dann x, y, wenn x, y ist. Dann unterscheiden sich und nur um einen Faktor a K der im komplexhermiteschen Fall sogar in R liegt. Beweis: Ist und damit auch gleich, so kann man jedesa K wählen. Andernfalls gibt esx, y V mit x, y. Dazu existiert ein a K mit x, y a x, y. Da nach Voraussetzung auch x, y ist, folgt a. Zu einem beliebigen x V wählen wir t : x, y x, y und erhalten x + tx, y x, y + t x, y x, y x, y. Die Voraussetzung liefert dann x + tx, y x, y + t x, y x, y + ta x, y x, y a x, y, also x, y a x, y für alle x V. Im komplex-hermiteschen Fall gilt y, y, y, y R und somit auch a R. Sind x, y V weitere Elemente mit x, y, so gibt es analog ein b in K das im komplexhermiteschen Fall in R liegt mit x, y b x, y für alle x V. Da und hermitesch sind, gilt dann insbesondere b y, y y, y y, y a y, y a y, y. Bei y, y folgt a b. Wendet man die Überlegungen aus auf x : y, y : x, x : y, y : x an, vertauscht also die Rollen der x i und y i, so erhält man ganz analog b y, y a y, y, d.h. b x, x a x, x. Bei x, x folgt ebenfalls a b. Sei schließlich y, y x, x und somit auch y, y x, x. Dann wenden wir die Überlegungen aus mit y : x +y statt y an. Dafür gilt x, y x, x + x, y x, y und ebenso x, y x, y. Wie in folgt b y, y a y, y. Diesmal ist y, y x, y + y, y x, y, und wir erhalten wie gewünscht a b. Abschnitt.B, Aufg. 6, p : a Sei eine Bilinearform auf dem K-Vektorraum V. Aus x, y folge stets y, x, x, y V. Dann ist symmetrisch oder alternierend. b Sei eine Sesquilinearform auf dem C-Vektorraum V. Aus x, y folge stets y, x, x, y V. Dann ist a konstantes Vielfaches einer hermiteschen Sesquilinearform auf V. Ist dabei a Ri rein-imaginär, so ist k o m p l e x - s c h i e f h e r m i t e s c h, d.h. es gilt x, y y, x für alle x, y V. Beweis: a sei nicht alternierend. Dann gibt es ein x V mit x, x. Wir zeigen x, y y, x für alle y V. Bei x, y gilt dies nach Voraussetzung. Sei also x, y. Für t : x, x x, y gilt dann t sowie x, x +ty x, x +t x, y und folglich nach Voraussetzung auch x +ty, x x, x +t y, x. Es folgt t x, y x, x t y, x und somit x, y y, x. Seien nun y, z V beliebig. Wir haben y, z z, y zu zeigen. Bei x, y gilt für s : z, y x, y K dann sx +z, y s x, y + z, y und folglich nach Voraussetzung auch y, sx +z, also s y, x + y, z und somit y, z s y, x s x, y z, y, da x, y y, x bereits gezeigt wurde.

6 6 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Bei x, y, also auch y, x, gilt für r : z, x +y x, x K schließlich rx +z, x +y r x, x + r x, y + z, x +y r x, x + z, x +y. Nach Voraussetzung folgt x +y, rx +z, also r x, x + y, x + x +y, z r x, x + x +y, z, und somit y, z x +y, z x, z r x, x x, z z, x +y z, x z, y, da x, z z, x ebenfalls aus dem eingangs Gezeigten folgt. b Sei. Wir zeigen zunächst, dass es ein x V mit x, x gibt. Andernfalls wäre schiefsymmetrisch, d.h. x, y y, x für beliebige x, y V. Dann ist aber auch i x, y ix, y y, ix i x, y, also x, y y, x x, y und daher die Nullform. Es gibt also ein x V mit a : x, x. Wir betrachten die Sesquilinearform : a, für die x, x ist, und zeigen zunächst y, x x, y für alle y V. Bei x, y gilt dies nach Voraussetzung über. Sei also x, y. Für t : x, y gilt dann t sowie x, x +ty + t x, y und folglich nach Voraussetzung auch x + ty, x + t y, x. Es folgt t y, x und somit x, y y, x, d.h. y, x x, y. Seien nun y, z V beliebig. Wir haben y, z z, y zu zeigen. Bei x, y gilt für s : z, y x, y K dann sx +z, y s x, y + z, y und folglich nach Voraussetzung auch y, sx +z, also s y, x + y, z und somit y, z s y, x s x, y z, y, da x, y y, x bereits gezeigt wurde. Bei x, y, also auch y, x, gilt für r : z, x + y K schließlich die Gleichung rx +z, x +y r +r x, y+ z, x +y r + z, x +y und folglich nach Voraussetzung auch x +y, rx +z, also r + r y, x + x +y, z r + x +y, z. Somit erhält man y, z x +y, z x, z r x, z z, x +y x, z z, x +y z, x z, y, da x, z z, x ebenfalls aus dem eingangs Gezeigten folgt. Ist allgemein a mit a Ri und einer hermiteschen Sesquilinearform, so gilt a a und folglich x, y a x, y a y, x a y, x y, x für alle x, y V. Abschnitt.C, Aufg., p : Der Typ einer reell-symmetrischen Matrix A M n R ändert sich nicht, wenn man sie als komplex-hermitesche Matrix auffasst. Beweis: Dies folgt unmittelbar aus der Charakterisierung des Typs gemäß Satz.C., da das charakteristische Polynom einer reellen Matrix nicht davon abhängt, ob es über R oder C gebildet wird und sämtliche Nullstellen dieses Polynoms in C im hermiteschen Fall bereits reell sind. Man kann aber auch direkt schließen: Ist v,..., v n R n eine Orthogonalbasis von R n bzgl. der durch A auf R n definierten reell-symmetrischen Bilinearform, so ist v,..., v n auch eine Orthogonalbasis von C n bzgl. der durch A definierten komplex-hermiteschen Sesquilinearform, und die Werte v i, v i v i, v i, i,..., n, aus denen der Typ von bzw. ablesbar ist, stimmen überein. Abschnitt.C, Aufg., p : Man bestimme den Typ der folgenden hermiteschen Matrizen: ; ; i 5 i i ; 5 i 7 a, a C ; a 5 6 ; 5, a R ; a ; 5 ; a b a c, a, b, c C. b c ;

7 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 7 Lösung: Die Hauptminoren der. Matrix sind D, D, D, D 8. Diese Folge enthält einen Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix also,. Die Hauptminoren der. Matrix sind D, D, D 8, D 6 8. Diese Folge enthält keinen Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix also,. Die Hauptminoren der. Matrix sindd, D, D 5 6, D Diese Folge enthält keinen Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix also,. Die Hauptminoren der. Matrix sind D, D, D, D Diese Folge enthält Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix also,. Die Hauptminoren der 5. Matrix sind D, D, D +i i, D 5+5i 5 5i Da einer der Hauptminoren gleich ist, ist.c. nicht direkt anwendbar. Indem man aber wie in Beispiel.C. vorgeht, also die zu Grunde liegende Basis in umgekehrter Reihenfolge durchläuft und somit die Bildung der Haupminoren unten rechts statt oben links beginnt, bekommt man die Hauptminorenfolge D, D 7, D i i 7, D 9 ohne Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix also,. Die Hauptminoren der 6. Matrix sind D, D 5, D , D 6 8, D. Diese Folge enthält keinen Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix also,. Die Hauptminoren der 7. Matrix sind D, D, D etc. Da einer der Hauptminoren gleich ist, ist.c. nicht direkt anwendbar. Indem man aber wie in Beispiel.C. vorgeht, also die zu Grunde liegende Basis in umgekehrter Reihenfolge durchläuft und somit die Bildung der Haupminoren unten rechts statt oben links beginnt, bekommt man die Hauptminorenfolge D, D, D, D, D. Diese Folge enthält einen Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix also,. Die Hauptminoren der 8. Matrix sind D, D, D, D + Re a a Re a Im a. Diese Folge enthält bei a einen Zeichenwechsel. Nach.C. ist der Typ der Matrix dann,. Bei a ist D, also.c. nicht anwendbar. In diesem Fall ist der Rang der Matrix und damit der Rang der zugehörigen Form gleich. Beschränkt auf den Raum, der von den ersten beiden Basisvektoren erzeugt wird, hat sie die Gramsche Matrix vom Typ,. Daher hat auch insgesamt den Typ,. Die Hauptminoren der 9. Matrix sindd,d 5,D 5,D 5a++ 5 a a. Bei a> enthält die Folge keinen Zeichenwechsel, der Typ ist dann,. Bei a< enthält die Folge einen Zeichenwechsel, der Typ ist dann,. Bei a enthält die Folge keinen Zeichenwechsel, aber der Rang der Matrix ist nur. Ihr Typ ist dann,. Bei der. Matrix ist das Hurwitzsche Kriterium.C. nicht so wie oben anwendbar. Wir benutzen daher.c. und die Descartsche Vorzeichenregel, vgl. Aufg.. Das charakteristische Polynom der Matrix ist X a + b + c X Reabc X + a X + a X + a mit a, a a b c, a Reabc. Im Fall a b c ist der Typ gleich,. Andernfalls ist der Koeffizient a von

8 8 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 X in diesem charakteristischen Polynom negativ. Bei Reabc > hat die Koeffizientenfolge a, a, a, einen Zeichenwechsel und die Folge a, a, a, zwei Zeichenwechsel, der Typ ist also,. Bei Reabc < hat die Koeffizientenfolge a, a, a, zwei Zeichenwechsel und die Folge a, a, a, einen Zeichenwechsel, der Typ ist also,. Bei Reabc, aber abc, hat die Koeffizientenfolge a, a, a, einen Zeichenwechsel und die Folge a, a, a, ebenfalls einen Zeichenwechsel, der Typ ist also,. Abschnitt.C, Variante zu Aufg., p : Man bestimme den Typ der folgenden hermiteschen Matrizen: i + i i ; ; i. Lösung: Die Hauptminoren der. Matrix sind D, D, D, D 6. Da einer der Hauptminoren gleich ist, ist.c. nicht direkt anwendbar. Indem man aber wie in Beispiel.C. vorgeht, also die zu Grunde liegende Basis in umgekehrter Reihenfolge durchläuft und somit die Bildung der Haupminoren unten rechts statt oben links beginnt, bekommt man die Hauptminorenfolge D, D, D, D 6, der Typ ist also,. Die Determinante der. Matrix ist, das Hurwitz-Kriterium ist also nicht anwendbar. Ihr charakteristisches Polynom ist X X X X X+. Sie hat also nur einen positiven und einen negativen Eigenwert, ihr Typ ist daher nach dem Eigewertkriterium.C. gleich,. Die Determinante der. Matrix ist ebenfalls. Ihr charakteristisches Polynom X X 7X + X hat aber nach dem Zwischenwertsatz Nullstellen in ], ], in und in den Intervallen [/, ], [, ]. Der Typ der Matrix ist also nach dem Eigenwertkriterium.C. gleich,. Abschnitt.C, Variante zu Aufg., p : a Man bestimme diejenigen a R, für die die symmetrische Form auf R mit x, x, x, y, y, y : x y + x y + x y + x y + x y 5x y + x y + x y + ax y negativ definit ist. b Man bestimme diejenigen a R, für die die symmetrische Form auf R mit positiv definit ist. x, x, x, y, y, y : x y + x y + x y + x y x y x y + ax y c Man bestimme diejenigen a C, für die die komplex-hermitesche Form auf C mit z, z, w, w : z w + + i z w + i z w + a z w positiv definit ist. Lösung: a Die Gramsche Matrix von bzgl. der Standardbasis ist 5 mit den Hauptminoren a D, D, D, D a+ 58. Genau für a< 58 ist der Typ also,, d.h. negativ definit. b Die Gramsche Matrix von bzgl. der Standardbasis ist mit den Hauptminoren D, a D, D, D a. Genau für a> ist der Typ also,, d.h. positiv definit. +i c Die Gramsche Matrix von bzgl. der Standardbasis ist mit den Hauptminoren D i a, D, D b +i i a 5. Genau für a> 5 ist der Typ also,, d.h. positiv definit.

9 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 9 Abschnitt.C, Variante zu Aufg., p : Die komplex-hermiteschen Sesquilinearformen, : C C C seien gegeben durch z, z, z, w, w, w : z w + i z w i z w + z w + z w + z w, z, z, z, w, w, w : z w + i z w i z w + +iz w + iz w. Man gebe die Gramschen Matrizen von bzgl. der Standardbasis und bezüglich der Basis v :,,, v : i,,, v :,, von C an sowie die Gramschen Matrizen von bzgl. der Standardbasis und bezüglich der Basis v :, i,, v :,,, v :,, i von C. Man bestimme auch die Typen von bzw.. i Lösung: Die Gramsche Matrix von bzgl. der Standardbasis e ist G e,e i, die Gramsche Matrix von bzgl. der Basis v v, v, v ist i G v,v i i i i + i i. i Das charakteristische Polynom von G e,e ist X X X+. Nach dem Zwischenwertsatz hat es Nullstellen in den Intervallen ], [, ], [, ], [. Mit.C. sieht man, dass den Typ, hat. Man könnte auch so schließen: Die Determinante von G e,e ist, der Typ von kann also nur, oder, sein. Der erste Fall wird schon dadurch ausgeschlossen, dass e, e ist. i Die Gramsche Matrix von bzgl. der Standardbasis ist G e,e i + i, die Gramsche i Matrix von bzgl. der Basis v v, v, v ist i i G v,v i + i i i i i + i + i i i + Das charakteristische Polynom von G e,e ist X X X+ X X X+ mit positiven und einer negativen Nullstelle. Nach.C. hat daher den Typ,. Da die Determinante von G e,e gleich ist, kann man auch wie oben bei schließen. Abschnitt.C, Aufg., p : Sei A eine hermitesche Matrix. a Genau dann ist A positiv bzw. negativ definit, wenn alle Eigenwerte von A positiv bzw. negativ sind. b Genau dann ist A positiv bzw. negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte von A nicht-negativ bzw. nicht-positiv sind. Beweis: a Genau dann ist A M n K positiv bzw. negativ definit, wenn A den Typ n, bzw., n hat. Nach Satz.C. ist dies genau dann der Fall, wenn alle n Eigenwerte von A positiv bzw. negativ sind. b Genau dann ist A M n K positiv bzw. negativ semidefinit, wenn A den Typ n, bzw., n hat mit n n. Nach Satz.C. ist dies genau dann der Fall, wenn alle n Eigenwerte von A nicht-negativ bzw. nicht-positiv sind. Abschnitt.C, Aufg., p : Sei A M n K eine hermitesche Matrix mit dem charakteristischen Polynom χ A a + a X + + a n X n + X n. Dann istavom Typp, q, wobeip dieanzahl dervorzeichenwechsel in der Folgea, a,..., a n, ist und q die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge a, a,..., n a n, n. D e s c a r t e s s c h e V o r z e i c h e n r e g e l.

10 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Beweis: Da A hermitesch ist, besitzt A nach Satz.C. n reelle nicht notwendig verschiedene Eigenwerte, d.h. χ A zerfällt über R in Linearfaktoren. Nach Band, 5.A, Aufg. ist dann p die Anzahl der positiven Eigenwerte von A. Die positiven Nullstellen von χ A X a a X+ + n a n X n + n X n sind die negativen Eigenwerte von A. Ihre Anzahl ist analog die Anzahl q der Vorzeichenwechsel in der Folge a, a,..., n a n, n. Somit ist p, q der Typ von A. Abschnitt.C, Aufg. 5, p : Seien A M n K eine hermitesche Matrix vom Typ p, q und m N. Dann ist A m vom Typ p, q, falls m ungerade ist, und vom Typ p + q,, falls m gerade ist. Ist A invertierbar, so gilt die entsprechende Aussage für alle m Z. Beweis: Sind λ,..., λ n die reellen Eigenwerte der diagonalisierbaren Matrix A, so sind λ m,..., λm n die Eigenwerte von A m. Bei ungeradem m hat λ m i dasselbe Vorzeichen wie λ i, bei geradem m und λ i ist λ m i stets positiv. Daraus folgt die Behauptung mit Satz.C.. Abschnitt.C, Aufg. 6, p : a Sei f : V W eine lineare Abbildung endlichdimensionaler K-Vektorräume. Auf W sei eine positiv definite hermitesche Form, gegeben. Die Form x, y f x, f y auf V ist dann hermitesch vom Typ Rang f,. b Sei A eine beliebige m n-matrix über K. Dann ist t AA hermitesch vom Typ Rang A,. Beweis: a Da, positiv definit ist, gilt f x, f x für alle x V. Daher ist die Form f, f positiv semidefinit, ihr Typ ist also von der Form p,. Es gibt eine Basis u,..., u r, v,..., v s von V derart, dass die Elemente u,..., u r eine Basis von Kern f bilden und f v,..., f v s eine Basis von Bild f ist vgl. den Beweis des Rangsatzes 5.E.. Insbesondere ist r+s n : Dim K V und s Rang f. Für ein beliebiges x a i v i Kv + + Kv s, x, sind dann a,..., a s nicht alle gleich, d.h. es ist auch f x a i f v i und somit f x, f x >, da, positiv definit ist. Daher ist der Trägheitsindex p s. Wegen f x, f x für alle x Kern f ist andererseits p n r s. Es folgt p s Rang f. Übrigens ist Kern f das Radikal V der Form f, f, vgl. auch Aufg. 7. b Wir versehen K n mit dem Standardskalarprodukt, und wenden dann a auf die durch A definierte lineare Abbildung f : K n K m mit f x : Ax an. Für die Standardbasis e,..., e n von K n gilt f e i, f e j t Ae i Ae j t e t i AAe j, d.h. die Form f, f hat die Gramsche Matrix t AA bzgl. der Standardbasis. Die Behauptung folgt nun aus a. Abschnitt.C, Aufg. 7, p : Sei, eine positiv semidefinite hermitesche Form auf dem K-Vektorraum V. x, x x, x n a Für beliebige Vektoren x,..., x n V ist x n, x x n, x n b Für beliebigevektorenx, y V ist x, y x, x y, y Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. c Für x V gilt x V genau dann, wenn x x ist. Das Radikal V der Form ist also gleich dem Lichtkegel {x V x, x } von. d Auf V : V/V wird durch x, y : x, y, x, y V, eine positiv definite hermitesche Form definiert. e Genau dann ist positiv definit, wenn nicht-ausgeartet ist. Beweis: a Sind die Vektoren x,..., x n linear abhängig, so ist die angegebene Determinante nach Lemma.A. gleich. Wir können also annehmen, dass die Vektoren x,..., x n linear unabhängig und daher Basis eines Unterraums V von V sind. Die zu betrachtende Determinante ist die Determinante der Fundamentalmatrix C von V bzgl. x,..., x n. Da V nachvoraussetzung über positiv semidefinit, also vom Typ p,, ist, gibt es nach Korollar.C. eine invertierbare Matrix A GL n K derart, dass C t AE p, n A gilt mit der Diagonalmatrix E p, n Diag,...,,,...,. Mit den Rechenregeln für Determinanten folgt Det C Det t AE p, n A Det A Det A Det E p, n Det A δ n,p.

11 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 b Im Fall n, x : x, x : y, liefert a x, x x, y y, x y, y x, x y, y x, y, d.h. x, x y, y x, y. c Natürlich folgt aus x V erst recht x x. Umgekehrt folgt aus x x, d.h. x, x, mit b für jedes y V sofort x, y x, x y, y, also x, y, und insgesamt x V. d Wir zeigen zunächst, dass wohldefiniert ist: Aus x x und y y folgt x x V, y y V und daher x, y x, y x, y x, y + x, y x, y x, y y + x x, y, also x, y x, y. ist wie eine positiv semidefinite hermitesche Form. Aus x, x, also x, x, folgt wegen c bereits x V, d.h. x. Daher ist positiv definit. e Wenn positiv definit ist, so ist erst recht nicht-ausgeartet. Sei umgekehrt nicht-ausgeartet, also : y x x, y injektiv. Für y ist dann x x, y nicht die Nullabbildung, d.h. es gibt ein x V mit x, y. Daher ist y / V. Nach c folgt y, y, also y, y >, da positiv semidefint ist. Abschnitt.C, Aufg. 8, p : Seien und positiv semidefinite Formen auf dem K-Vektorraum V. Genau dann ist + positiv definit, wenn die Radikale von bzw. nur den Nullvektor gemeinsam haben. Beweis: Mit und ist trivialerweise auch + positiv semidefinit. Für ein x aus V gilt genau dann + x, x, wenn x, x x, x gilt. Nach Aufg. 7c ist dies genau dann der Fall, wenn x im Radikal von und im Radikal von liegt. Genau dann ist also + x, x > für alle x, wenn stets x, x oder aber x, x positiv ist, d.h. wenn die Radikale von bzw. nur den Nullvektor gemeinsam haben. Abschnitt.C, Aufg. 9, p : Sei, eine hermitesche Form auf einem endlichdimensionalen K-Vektorraum V mit der Basis v v,..., v n. Dann sind äquivalent: ist positiv semidefinit. v i, v i v i, v ir Für jedes r, r n, und jede Folge i < < i r n gilt v ir, v i v ir, v ir d.h. sämtliche Diagonalminoren der Gramschen Matrix G v,v sind nicht-negativ.. Beweis: Sei erfüllt und seir ist die größte natürliche Zahlρ, zu der es einen DiagonalminorA {i,...,i r } der Ordnung ρ von A G v,v gibt. Dann gibt es nach dem verallgemeinerten Hurwitzschen Kriterium.C.8 eine Permutation σ S r derart, dass in der Folge der Hauptminoren D, D,..., D r der Gramschen Matrix von bezüglich v iσ,..., v iσr niemals zwei benachbarte Glieder verschwinden. Da die D j durch Vertauschen von Zeilen und und von Spalten gemäß derselben Permutation aus den nach Voraussetzung positiven Determinanten hervorgehen, sind sie sämtlich. Der Morse-Index q von ist daher, und somit nach.c.8 positiv semidefinit. Die Umkehrung ergibt sich sofort aus Aufg. 7a.. Beweis: Für die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms χ A X n + a n X n + + a X+ a gilt nach.a, Aufg. 8b und der Voraussetzung n r a r. Die Folge a, a,..., n a n, n besitzt also keine Vorzeichenwechsel. Nach.C, Aufg. ist A daher positiv semidefinit. Abschnitt.C, Aufg., p : Seien und hermitesche Formen auf dem K-Vektorraum V. Es sei positiv definit. Folgende Aussagen sind äquivalent: ist positiv semidefinit. Für alle ε > ist + ε positiv definit. Es gibt eine Nullfolge ε n in R derart, dass + ε n für alle n N positiv semidefinit ist. Beweis: Für alle x in V gilt nach Voraussetzung x, x und x, x >. Daraus folgt + ε x, x x, x + ε x, x >. ist trivial. Angenommen, es gebe ein x V mit x, x <. Dann ist x, x/ x, x >, und wegen lim ε n gibt es ein ε n mit ε n < x, x/ x, x, also mit +ε n x, x x, x+ε n x, x < im Widerspruch zu.

12 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Abschnitt.C, Aufg., p : Sei eine komplex-hermitesche Form auf dem komplexen Vektorraum V, den wir in natürlicher Weise auch als reellen Vektorraum auffassen. a Re ist eine reell-symmetrische Form auf V. b Genau dann ist Re positiv definit, negativ definit, positiv semidefinit, negativ semidefinit bzw. indefinit, wenn Entsprechendes für gilt. c Ist V endlichdimensional und vom Typ p, q, so ist Re vom Typ p, q. Beweis: a Für x, y V gilt nach Voraussetzung x, y y, x, also Re x, y Re y, x. b Da komplex-hermitesch ist, also stets x, x x, x gilt, ist x, x stets reell und es gilt stets Re x, x x, x. c Nach dem Sylvesterschen Trägheitssatz.C. gibt es eine C-Basis v,..., v n von V derart, dass die Gramsche Matrix von bzgl. dieser Basis die Form E p,q n Diag,...,,,...,,..., hat. Bzgl. der R-Basis v, iv,..., v n, iv n von V hat Re dann wegen Re v j, v k v j, v k {,, }, Re iv j, v k Re i v j, v k Im v j, v k, Re v j, iv k Re i v j, v k Im v j, v k, Re iv j, iv k Re i v j, v k Re v j, v k v j, v k {,, } die Gramsche Matrix E p,q n Diag,,...,,,,,...,,,,,...,,. Abschnitt.C, Aufg., p : Sei A a ij M n K eine hermitesche Matrix mit a ii > n j, j i a ij. Dann ist A vom Typ p, q, wobei p die Anzahl der i mit a ii > ist und q n p die Anzahl der i mit a ii <. Beweis: Für die Hauptminoren D k Deta ij i,j k von A gilt erst recht a ii > k j, j i a ij. Mit 9.D, Aufg. 5 erhält man daher a a kk D k > für alle k. Es folgt, dass a kk D k stets dasselbe Vorzeichen hat wie D k, d.h. dass an der Stelle k in der Folge der Hauptminoren genau dann ein Vorzeichenwechsel vorliegt, wenn a kk negativ ist. Das Hurwitz-Kriterium.C. liefert somit die Behauptung. Abschnitt.C, Aufg. 5, p : Seien V ein orientierter reeller Vektorraum der Dimension n N und eine reell-symmetrische Form vom Typ p, q auf V. Dann gibt es eine die Orientierung von V repräsentierende Basis v,..., v n von V, bzgl. der die Gramsche Matrix von gleich E p,q n ist. Beweis: Nach dem Sylvesterschen Trägheitssatz.C. gibt es eine Basis v,..., v n von V derart, dass die Gramsche Matrix von bzgl. dieser Basis die Form E p,q n Diag,...,,,...,,..., hat. Repräsentiert diese Basis nicht die Orientierung von V, so ersetze man einen der Basisvektoren v i durch v i. Dann repräsentiert die so erhaltene Basis von V die Orientierung, und die Gramsche Matrix hat sich dabei nicht geändert. Abschnitt.C, Aufg. 6, p : Eine hermitesche Form auf einem K-Vektorraum V ist genau dann anisotrop, wenn sie positiv oder negativ definit ist. Beweis: Definite Formen sind natürlich anisotrop. Ist umgekehrt die hermitesche Form anisotrop, so gibt es notwendigerweise linear unabhängige Elemente v, w V mit v, v > und w, w <. Dann nimmt die höchstens quadratische Polynomfunktion [, ] R mit t tv + tw, tv + tw nach dem Zwischenwertsatz den Wert an im Widerspruch dazu, dass anisotrop ist. Man kann natürlich auch direkt zeigen, dass die Beschränkung von auf den -dimensionalen Unterraum Kv + Kw von verschiedene isotrope Vektoren besitzt.

13 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Abschnitt.C, Aufg. 7, p : Seien und indefinite hermitesche Formen auf dem K-Vektorraum V mit dem gleichen Lichtkegel. Dann unterscheiden sich und nur um einen Faktor a R d.h. es ist a mit einem a R. Beweis: NachVoraussetzung gibt esv, w V mit v, v > und w, w <. Dann ist v, v, und es gibt ein a R mit v, v a v, v. Es genügt nun zu zeigen, dass auch w, w a w, w ist. Dann gilt nämlich generell a. Es genügt nach Satz.B. dies auf der Diagonalen von V zu beweisen. Sei dazu x V. Ist x, x, so ist auch x, x a x, x nach Voraussetzung. Ist x, x >, so betrachten wir die Vektoren x, w statt v, w und erhalten x, x a x, x. Ist x, x <, so betrachten wir die Vektoren v, x statt v, w und erhalten wiederum x, x a x, x. Zum Beweis von w, w a w, w betrachten wir die reellen Polynome Ft : tv + tw, tv + tw und Gt : a tv + tw, tv + tw vom Grad. Nach Wahl von a ist F G > und F w, w <. Daher besitzt F im Intervall [, ] eine Nullstelle t. Nach Voraussetzung ist dann auch Gt. Ist Grad F, so besitzt F eine weitere reelle Nullstelle t, die dann auch eine Nullstelle von G ist. Dann stimmen F und G an den Stellen, t, t überein und sind daher identisch. Insbesondere ist dann auch w, w F G a w, w. Genau dann ist F ein Polynom vom Grad, wenn der Koeffizient v, v + w, w v, w w, v v w, v w verschwindet. Dann verschwindet aber nach Voraussetzung auch der Koeffizient von t bei G, und G ist ebenfalls linear. Dann sind F und G aber schon gleich an den beiden Stellen, t übereinstimmen. Wiederum folgt das Gewünschte w, w F G a w, w. Abschnitt.C, Aufg. 8, p : Seien und symmetrische Bilinearformen auf dem reellen Vektorraum V. Sind und nicht negativ semidefinit und sind die Mengen {x V x, x } und {x V x, x } gleich, so sind und identisch. Beweis: Generell gilt: Genau dann ist x, x a >, wenn x, x > ist, und in diesem Fall ist x, x x, x. Aus x, x a > folgt nämlich x/ a, x/ a x/ a, x/ a und somit x, x a. Sei v V mit v, v v, v >. Sei nun v V beliebig. Nach Satz.B. genügt es zu zeigen, dass v, v v, v ist. Dazu betrachten wir die qudratischen Formen s, t sv + tv, sv + tv und s, t sv + tv, sv + tv. Sie sind im Punkt, beide positiv, stimmen also dort und damit aus Stetigkeitsgründen in einer ganzen Umgebung positiv und damit gleich. Dann sind sie aber überhaupt identisch, insbesondere sind die Werte v, v bzw. v, v an der Stelle, gleich. Bemerkung: Man könnte die Aussage auch auf das Ergebnis von Aufg. 7 zurückführen. Dazu betrachtet man die Formen und auf dem Vektorraum V R mit v, a, w, b : v, w ab und v, a, w, b : v, w ab. Diese erfüllen die Voraussetzungen von Aufg. 7. Man führe dies aus. Abschnitt.C, Aufg. 9, p : Sei eine hermitesche Form vom Typ p, q auf einem n-dimensionalen K-Vektorraum. Dann gibt es einen Unterraum der Dimension m : Min p, q + n p + q n Max p, q, auf dem die Nullform ist, und jeder Unterraum, auf dem die Nullform induziert ein solcher Unterraum heißt t o t a l i s o t r o p bzgl., hat eine Dimension m. Beweis: Wir wählen eine Basis v,..., v p, v p+,..., v p+q, v p+q+,..., v n von V derart, dass die Gramsche Matrix von bzgl. dieser Basis die Form E p,q n Diag,...,,,...,,..., hat. Dies ist nach dem Sylvesterschen Trägheitssatz.C. möglich. Sei r : Min p, q. Dann ist auf dem m-dimensionalen Unterraum von V mit der Basis v v p+,..., v r v p+r, v p+q+..., v n offenbar die Nullform. Sei nun U ein Unterraum von V mit U. Dann ist U Kv + + Kv p, also Dim U n p, und U Kv p+ + + Kv p+q, also Dim U n q. Es folgt Dim U n Max p, q.

14 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Abschnitt.C, Aufg., p : Die Funktion A, B Sp A t B ist eine positiv definite hermitesche Form auf M n K für jedes n N. Beweis: Mit 8.A.8 erhält man Sp A t B Sp A t B Sp B t A, d.h. die Form ist hermitesch. Für A a ij gilt außerdem Sp A t A Sp n n n a ij a kj a ij a ij n a ij >, falls nur einer der j ij Koeffizienten a ij von verschieden ist. Die Form ist also positiv definit. Abschnitt.C, Aufg., p : a Die Spurform A, B Sp AB auf M n R ist symmetrisch vom Typ n+, n. Mn R ist die orthogonale Summe des Unterraums M n + R der symmetrischen Matrizen, auf dem die Spurform positiv definit ist, und des Unterraums o n R Mn R der schiefsymmetrischen Matrizen A mit t A A, auf dem die Spurform negativ definit ist. b Der Realteil der Spurform A,B Re Sp AB ist eine reell-symmetrische Bilinearform auf M n C vom Typ n, n. c Sei u n C M n C der R-Vektorraum der komplex-schiefhermiteschen Matrizen A mit t A A. Dann ist A,B Sp AB Sp A t B eine reell-symmetrische, negativ definite Bilinearform auf u n C. Beweis: a Da Summen und skalare Vielfache von symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrizen offenbar wieder symmetrisch bzw schiefsymmetrisch sind, sind M + n R und M n R Unterräume von M nr. Wir zeigen zunächst M n R M + n R M n R: Sei A M n R. Mit 8.A.8 erhält man t A + t A t A + A A + t A, d.h. A + t A M n + R und t A t A t A A A t A, d.h. A t A Mn R. Wegen A A + t A + A t A gilt also M n R M n + R + M n R. Für A M+ n R M n R gilt A t A und A t A, also A A und somit A. Es folgt M n R M n + R M n R. Ist schließlich A M+ n R und B M n R, so gilt A t A und B t B, also Sp AB Sp t A t B Sp t BA Sp BA Sp AB und folglich SpAB. Die obige direkte Summe ist also eine orthogonale Summe. Ist E jk, j, k,..., n, die Standardbasis von M n R, so bilden die n + n n+ Matrizen Ejj, j,..., n, sowie E jk + E kj, j <k, offenbar eine Basis von M n + R. Ferner bilden die n Matrizen E jk E kj, j <k n, eine Basis von Mn R. Es folgt Dim M+ n R n+, Dim M n R n. Auf M n + R ist die Form positiv definit und auf M n R ist sie negativ definit. Für A a jk folgt aus A t A nämlich a jk a kj für alle j, k und somit Sp A t A n n j k a jka kj n j,k a jk >. Aus A t A folgt a jk a kj für alle j, k und somit Sp A t A n n j k a jka kj n j,k a jk <. Insgesamt hat die betrachte Spurform also den Typ n+, n. b Offenbar ist die Form A,B Sp AB auf M n C symmetrisch und daher A,B Re Sp AB eine reell-symmetrische Bilinearform. Wie in a bilden die Menge M n + C : {A M nc A t A} der hermiteschen Matrizen und die Menge Mn C : {A M nc A t A} der schief-hermiteschen Matrizen R-Unterräume von M n C. Für A M n C gilt t A + t A t A+A A+ t A, d.h. A+ t A M n + C und t A t A t A+A A t A, d.h. A t A Mn C. Wegen A A + t A + A t A folgt M n C M n + C + M n C. Für A M n + C M n C gilt A t A und A t A, also A A und somit A. Es folgt M n C M n + C M n C. Ist schließlicha M+ n C undb M n C, so gilta t A undb t B, also Re Sp AB Re Sp t A t B Re Sp t BA Re Sp BA Re Sp AB Re Sp AB und folglich Re SpAB. Wir erhalten also die orthogonale Summendarstellung M n C M + n C im n C. Mit den Bezeichnungen aus a gilt ferner M n + C M+ n R im n R und M n C M n R im+ n R. Bildet man nämlich Real- und Imaginärteil der Matrizen koeffizientenweise, so gilt A t A für A M n + C, also Re A + i Im A t Re A i t Im A t Re A i t Im A und somit Re A t Re A, Im A t Im A, d.h. Re A M n + R und Im A M n R. Offenbar ist die so gewonnene Summendarstellung direkt. i,j

15 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 5 Entsprechend sieht man die zweite direkte Summendarstellung ein. Nach a haben beide Summanden die reellen Dimensionen n+ + n n. Für A a ij M n + C gilt A t A und somit Re Sp A A Re Sp A t A Re n i,j a ij >, vgl. Aufg.. Für A a ij Mn C gilt A t A und somit Re Sp ia ia Re Sp i A t A Re Sp A t A Re n i,j a ij >. Die betrachtete Form ist daher auf dem ersten dieser beiden Unterräume positiv definit. Ganz analog sieht man, dass sie auf dem zweiten Unterraum negativ definit ist. Insgesamt hat sie also den Typ n, n. c Für A, B Mn C gilt Sp AB Sp AB Sp t A t B Sp t B A Sp BA Sp AB, also Sp AB R. Ist dabei A, so gilt Sp AA Sp A t A <, da Sp A t A nach Aufg. dann stets positiv ist. Abschnitt.C, Aufg., p : Man bestimme den Typ der folgenden Matrix aus M n R in Abhängigkeit von a, b R: a b b b b a b b b b a b. b b b a Beweis: Nach.A,Aufg. 9a hat die Matrix das charakteristische Polynom X+b a n X a n b. Ihre n Eigenwerte sind daher a + n b und der n -fache Eigenwert a b. Wir verwenden nun Satz.C., um den Typ der Matrix zu bestimmen. Sei zunächst a b. Dann ist der Typ, bei a>,, bei a< und, bei a. Sei nun a > b. Dann ist der Typ n, bei a > n b, n, bei a < n b und n, bei a n b. Sei schließlich a<b. Dann ist der Typ, n bei a< n b,, n bei a> n b und, n bei a n b. Abschnitt.C, Aufg. 5, p : Sei eine komplex-symmetrische Bilinearform vom Rang r auf dem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum V. Dann ist Re eine reell-symmetrische Bilinearform auf V vom Typ r, r. Aufg. b behandelt ein Beispiel hierzu. Beweis: Wir wählen eine Basis v,..., v r, v r+,..., v n, r Rang, von V derart, dass die Gramsche Matrix von bzgl. dieser Basis die Form E r n Diag,...,,..., hat, vgl. Satz.B.. Dann ist v,..., v r, iv,..., iv r, v r+,..., v n, iv r+,..., iv n eine R-Basis von V. Die Gramsche Matrix von Re bzgl. dieser Basis ist offenbar E r,r n. Re hat daher den Typ r, r.

16 6 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 Räume mit Skalarprodukt Abschnitt.A, Aufg., p : i Man zeige, dass die hermitesche Form mit der Fundamentalmatrix bzgl. der Standardbasis des i C ein Skalarprodukt ist, und orthonormalisiere die Standardbasis von C bzgl. dieses Skalarprodukts mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren. Beweis: Die Hauptminoren der Matrix sind D D D >, die Form ist also nach dem Hurwitzschen Kriterium.C. positiv definit. Sie ist außerdem komplex-hermitesch, da die angegebene Matrix komplex-hermitesch ist. Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren liefert: v i,, v, v i v v,, v i,,, i, i,, v i i i i i i Die gesuchte Orthonormalbasis ist also v,, v i,. Abschnitt.A, Aufg., p :, v v v i,. Man bestimme die Gramsche Matrix der Polynomfunktionen, t, t,..., t n bzgl. des Skalarproduktes x, y : xt yt dt x, y C R [, ]. Man beweise direkt, dass diese Gramsche Matrix positiv definit ist. Beweis: Setzen wir v i : t i für i,..., n, so ist v i, v j t i+j dt. Die gesucht i+j Gramsche Matrix ist also die Cauchy-Matrix /a i +b j mit a i : i, b j : j für i, j,..., n. Ihre Hauptminoren sind die Cauchyschen Doppelalternanten D k : Det /a i + b j i,j k. Nach 9.D, i<j n Aufg. ist D k a j a i i<j n b j b i i<j n n i,j a j i i<j n j i i + b j n >, da i,j i + j alle Faktoren in Zähler und Nenner von D k positiv sind. Mit dem Hurwitzschen Kriterium.C. sieht man, dass, positiv definit ist. Abschnitt.A, Aufg., p : Man orthonormalisiere die Polynome, t, t, t, t mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren bzgl. des Skalarprodukts x, y xt yt dt, x, y C K [, ], und bzgl. x, y xt yt dt, x, y C K [, ]. Die so aus den Polynomen, t, t,... gewonnenen Polynome heißen die L e g e n - d r e s c h e n P o l y n o m e für die Intervalle [, ] bzw. [, ], vgl. Beispiel 9.A.. Lösung: Wir behandeln zunächst das Skalarprodukt x, y xt yt dt, x, y C K [, ]. Mit w :, w : t, w : t, w : t, w 5 : t 5 erhält man die Orthonormalbasis v, v, v.v, v 5 aus v : w, v dt t, v : v v. v : w w, v v t t dt t, v t dt t,

17 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 7 v : v v t. v : w w, v v w, v v t t dt t t dt t t t t t + 6, v t t + dt t 6 t + t t + dt , v : v v 5 6t 6t+. v : w w, v v w, v v w, v v t t dt t t dt t t 5 6t 6t+ dt 5 6t 6t+ t t t 6t+ t t + 5 t, v t t + 5 t dt t 6 t t 9 t + 5 t 5 t+ dt , v : v v 7 t t + t. v 5 : w 5 w 5, v v w 5, v v w 5, v v w 5, v v t t dt t t dt t t 5 6t 6t+ dt 5 6t 6t+ t 7 t t + t dt 7 t t + t t 5 t t 6t t t+t 5 t t t 7 t + 7, v 5 t t t 7 t + dt 7, v 5 : v 5 v 5 9 7t t + 9t t+ t t + 7t 6t+. Wir behandeln nun das Skalarprodukt x, y xt yt dt, x, y C K [, ]. Mit w :, w : t, w : t, w : t, w 5 : t erhält man unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Integral von bis über eine ungerade Funktion verschwindet, die Orthonormalbasis v, v, v, v, v 5 aus v : w, v dt t, v : v v. v : w w, v v t v : v v t. t dt v : w w, v v w, v v t t, v t dt t t dt t t dt t,,

18 8 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 v t dt v : v v 5 t. t t + 9 dt , v : w w, v v w, v v w, v v t t dt t t dt 5 t t 5 t dt t 8 5 t, v t 5 t dt t t t dt 7 v : v v 7 5t t , v 5 : w 5 w 5, v v w 5, v v w 5, v v w 5, v v t t dt t t 5 dt 5 t t 8 6 t dt 7 5t t 5t 7 t 5 dt 8 t 5 7 t t 6 7 t + 5, v 5 t 6 7 t + dt t t t 6 5 t dt , v 5 : v 5 v 5 9 5t t +. 8 Abschnitt.A, Aufg., p : Im R, versehen mit dem Standardskalarprodukt, wende man das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis,,, 5,,,,, an. Lösung: Ausgehend von w :,,, w : 5,,, w :,, erhalten wir: v,,, v + + 6, v v v,,, v w w, v v 5,, 5,,,,,,, 5,,,,,,, v , v v v 6,,, v w w, v v w, v v,,,,,,, 8, 6 7 v , v v 7 7 v,,. Die gesuchte Orthonormalbasis ist also v,,, v 6,,, v,,. Abschnitt.A, Aufg. 5, p : In der Minkowskischen Ungleichung.A. gilt genau dann das Gleichheitszeichen, wenn x ay oder y ax mit einem a R + ist. Beweis: Im Fall y oder x ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei also etwa y. Der Beweis von.a. zeigt, dass in der Minkowskischen Ungleichung genau dann das Gleichheitszeichen gilt, wenn bei beiden Abschätzungen in der Ungleichungskette x+y x + Re x, y + y x + x, y + y x + x y + y x + y

19 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 9 das Gleichheitszeichen gilt. Nach.A. gilt in der zweiten Abschätzung genau dann das Gleicheitszeichen, wenn x und y linear abhängig sind, d.h. wenn es ein a K gibt mit x ay. In diesem Fall gilt in der ersten Abschätzung a y a Re y, y Re x, y x, y a y, y a y genau dann das Gleichheitszeichen, wenn a a, d.h. a R + ist. Abschnitt.A, Aufg. 6, p : Die Vektoren x,..., x n eines Vektorraums mit Skalarprodukt sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gramsche Determinante x, x x, x n Gx,..., x n..... x n, x x n, x n ungleich ist. Sie ist dann nach.c.6 sogar positiv. Allgemeiner gilt: Der Rang der Gramschen Matrix xi, x j i,j n ist gleich der Dimension von n i Kx i. Beweis: Hat man eine Relation n i r i x i, x j der Zeilen der angegebenen Determinante, so ergibt sich n i r ix i n j r n j i r i x i, x j und somit n i r ix i, also r i wegen der linearen Unabhängigkeit der x i. Umgekehrt folgt aus n i r ix i bereits n i r i x i, x j für alle j und damit die entsprechende Relation der Zeilen. Sei r : Dim n i Kx i. Aus x,..., x n kann man eine Basis von n i Kx i auswählen. O.E. sei dies x,..., x r. Für k > r ist dann x k r r ik x i und somit x k, x j r r ik x i, x j für alle j. Die unteren n r i Zeilen der angegebenen Matrix sind also Linearkombinationen der oberen r Zeilen. Ihr Zeilenrang ist daher r. Der Minor aus den ersten r Spalten und Zeilen der Matrix ist aber nach dem Bewiesenen. Das Minorenkriterium liefert daher, dass der Rang der Matrix r und damit insgesamt gleich r ist. Abschnitt.A, Aufg. 7, p : Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt endlicher oder abzählbar unendlicher Dimension. Dann lässt sich jedes endliche Orthonormalsystem in V zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen. Beweis: Sei v,..., v n das gegebene Orthonormalsystem in V. Aus n i a iv i mit a i K folgt dann n i a iv i, v j n i a i v i, v j a n i i δ ij a j für alle j, d.h. v,..., v n ist linear unabhängig, vgl. auch die Bemerkung nach Definition.B.. Nach Satz.A.6 lässt sich v,..., v n zu einer abzählbaren Basis v,..., v n, v n+,... von V ergänzen. Wendet man darauf das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an, so bekommt man die gewünschte Orthonormalbasis. Bemerkung: Ein unendliches Orthonormalsystem lässt sich nicht notwendigerweise zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen. Dies gilt beispielsweise für ein System, das einen von V verschiedenen dichten Unterraum U von V erzeugt. In diesem Fall gibt es außer keinen Vektor, der zu U orthogonal ist, vgl. Abschnitt 9.A. Abschnitt.A, Aufg. 8, p : Für Vektoren x, y eines reellen Vektorraums mit Skalarprodukt zeige man: a Genau dann ist x y, wenn x y und x, x x, y ist. b Genau dann ist x y, wenn x y und x + y orthogonal sind. Beispiele: Ein Parallelogramm ist genau dann eine Raute oder ein Rhombus, wenn die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen. i

20 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kap. 5 S a t z d e s T h a l e s : c Genau dann ist x y x + y, wenn x und y orthogonal sind. Beispiele: Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen gleich lang sind. Definition des rechten Winkels nach Euklid vgl. Beispiel.A.: b Gilt x + y x + y, so sind x und y orthogonal U m k e h r u n g d e s S a t z e s v o n P y t h a g o r a s. Beispiel: Stößt eine Kugel elastisch auf eine ruhende Kugel gleicher Masse, so entfernen sich nach dem Stoß die beiden Kugeln orthogonal voneinander. Der Impulssatzmv +mv mv besagt, dass v, v und v die Kantenvektoren eines Dreiecks bilden, und der Energiesatz m v + m v m v seine Gültigkeit definiert den elastischen Stoß, dass v, v überdies einen rechten Winkel bilden. Beweis: a Aus x y, also x, x y, y, und x, x x, y bekommt man und somit x y. Die Umkehrung ist trivial. x y x y, x y x, x x, y + y, y b Genau dann sind x y und x+y orthogonal, wenn x y, x+y x, x + x, y y, x y, y x y, d.h. x y, gilt. c Genau dann gilt x y x+y, wenn x y x+y x y, x y x+y, x+y x, x x, y + y, y x, x + x, y + y, y x, y ist, d.h. wenn x und y orthogonal sind. d Aus x + y x + y, d.h. x, x + x, y + y, y x, x + y, y, folgt sofort x, y, d.h. die Orthogonalität von x und y. Abschnitt.A, Aufg. 9, p..6. : Für Vektoren x, y eines K-Vektorraums mit Skalarprodukt gilt x + y + x y x + y P a r a l l e l o g r a m m r e g e l. In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate über den Diagonalen gleich der Summe der Quadrate über den vier Seiten.