5-EURO GEDENKMÜNZE. ab Ende der 9. Schulstufe

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1 ab Ende der 9. Schulstufe 5-EURO GEDENKMÜNZE 5-Euro Gedenkmünzen in Silber werden in Österreich auf Basis eines regelmäßigen Neunecks ausgegeben. Beispiel aus dem Jahre 2009 (Quelle: Österreichische Nationalbank unter muenzen_in_oesterreich_- _ausgabe_2010_tcm pdf - Seite 40) 200. Todestag Joseph Haydn Ausgabedatum: 14. Jänner 2009 Auflage: Handgehoben Normalprägung Durchmesser: 28,5 mm Feingewicht: 8g Legierung: 80,0 % Silber, 20,0 % Kupfer Ein regelmäßiges Neuneck kann aber nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Für eine näherungsweise Konstruktion (ausschließlich mit Zirkel und Lineal) gibt es viele Methoden. In der Literatur findet man zum Beispiel folgende Idee: Der zur Konstruktion notwendige Zentriwinkel AMB wurde hier näherungsweise mit Hilfe eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Katheten AM 6 cm und AB 5 cm konstruiert. Wie groß ist der näherungsweise konstruierte Zentriwinkel AMB in dieser Näherungskonstruktion und um wie viel Prozent weicht der näherungsweise konstruierte Zentriwinkel AMB vom richtigen Zentriwinkel AMB ab? 5-Euro Gedenkmünze 1

2 Möglicher Lösungsweg 5 tan( AMB) AMB 39, Exakter Zentriwinkel AMB 360 : 9 40 Anteil AMB p 0, Die Abweichung beträgt weniger als 0,5%. Grundwert 40 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Trigonometrie Definitionen von sin, cos, tan im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Winkelmaße; sin α, cos α, tan α; Sinus- und Cosinussatz Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar In der Angabe sind nur wenige Informationen für die Lösung der Aufgabe notwendig. Die Schüler/innen müssen zuerst den Text nach notwendigen Informationen filtern. In der Beschreibung der Grundkompetenzen werden drei Aspekte in Zusammenhang mit Trigonometrie genannt. Für die näherungsweise Berechnung des Zentriwinkels ist ausschließlich die Grundkompetenz Definitionen von sin, cos, tan im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können notwendig. Für die Berechnung des Prozentsatzes sind auch zurückliegende Kenntnisse aus der Prozentrechnung erforderlich (nachhaltiges Lernen). Diese Aufgabe erscheint daher als Unterrichtsaufgabe besonders gut geeignet. 5-Euro Gedenkmünze 2

3 AUSSAGEN ÜBER LINEARE FUNKTIONEN ab Ende der 9. Schulstufe Kreuze in der Tabelle an, welche Aussagen bezüglich linearer Funktionen der Form y k x d wahr bzw. falsch sind. A Jede lineare Funktion mit k 0 hat mit jeder Achse genau einen Punkt gemeinsam (schneidet genau einmal). B Jede lineare Funktion mit d 0 hat genau eine Nullstelle. C Jede lineare Funktion lässt sich als direktes Verhältnis interpretieren. D Jedes direkte Verhältnis lässt sich als lineare Funktion deuten. E Der Graph einer linearen Funktion ist stets eine Gerade. F Zu jeder Geraden im Koordinatensystem lässt sich eine lineare Funktion aufstellen. Begründe alle Fälle, bei denen du dich für falsch entschieden hast. Begründung A B C D E F wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr falsch keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Aussagen über lineare Funktionen 1

4 Möglicher Lösungsweg Begründung A B C D E F wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr falsch Lineare Funktionen mit der Gleichung y d, d 0 haben keine Nullstelle, daher falsch. Bei einem direkten Verhältnis müsste d 0 sein, was nicht angenommen werden kann, daher falsch. Für Gerade, die parallel zur 2. Achse sind, lässt sich keine Funktion finden, weil einem x-wert unendlich viele y-werte zugeordnet sind. Aussagen über lineare Funktionen 2

5 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenz- und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Auf eine Begründung, warum eine Aussage richtig ist, wurde bewusst verzichtet. Nachdem es nur zwei Möglichkeiten gibt, reicht es zu begründen, warum eine Aussage falsch ist, was vermutlich einfacher ist. Die Aufgabe ist schon durch das vorgegebene Antwortformat besonders gut als Test- oder Diagnoseaufgabe geeignet. Aussagen über lineare Funktionen 3

6 BAUSPAREN ab Ende der 9. Schulstufe Herr Karl hat in Mathematanien ein Land das sich durch besonders einfache Zahlen bei Rechnungen auszeichnet einen Bausparvertrag beginnend mit abgeschlossen. Er bezahlt an jedem Monatsbeginn 1000 ein, die Verzinsung erfolgt vierteljährlich, d. h. am Ende der Monate März, Juni, September und Dezember mit einem sagenhaften Zinssatz von jeweils 10%, die Zinsen werden mit der Einzahlung am darauf folgenden Monatsersten gut geschrieben. a) Stelle eine Tabelle auf, die für jeden Monatsanfang des Jahres 2010 den Kontostand angibt. b) Stelle den Kontostand graphisch so dar, dass der Kontostand für jeden Tag des Jahres abgelesen werden kann. c) Wie wirkt sich die vierteljährliche (halbjährlich, ganzjährig, monatlich) Verzinsung am Graphen aus? d) Welche Darstellungsform findest du für diese Funktion geeignet? Begründe deine Aussage. Möglicher Lösungsweg a) Datum Einzahlung Kontostand , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,30 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Bausparen 1

7 b) Graphisch: c) Der Sprung bei der Verzinsung ist größer als bei normalen Einzahlungen. Vierteljährlich: 3 Sprünge unterscheiden sich von den anderen Halbjährlich: nur ein Sprung ist größer Ganzjährig: alle Sprünge sind gleich groß Monatlich: die Sprünge werden immer größer d) Mögliche Erläuterungen: Der Kontostand kann aus der Tabelle am besten abgelesen werden, da muss auch nichts mehr berechnet werden im Gegensatz zur verbalen Beschreibung, die allerdings die Berechnung erklärt und so die Erstellung der Tabelle erst ermöglicht. Aus dem Graphen können keine genauen Werte abgelesen werden, er zeigt nur die ungefähre Entwicklung des Kontostandes. Bausparen 2

8 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H1 alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen b) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln c) H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten d) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) c) d) I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) c) d) K1 K3 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Die Zahlen wurden bewusst so gewählt, dass die Tabelle im Kopf gerechnet werden kann, und die Effekte in der graphischen Darstellung deutlich erkennbar werden (deshalb auch das fiktive Land Mathematien). Auf die Bedeutung der Endpunkte in der grafischen Darstellung ist einzugehen. ausgefüllt: der Punkt gehört zum Graphen nicht ausgefüllt: der Punkt gehört nicht zum Graphen Bausparen 3

9 BOOTSFAHRT ab Ende der 9. Schulstufe Die Physik verwendet zur Beschreibung von Bewegungen für die Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren (gerichtete Größen). Damit können z.b. zwei Geschwindigkeiten, die gleichzeitig an einem Körper in verschiedene Richtungen wirken, vektoriell addiert werden. Ein Boot fährt mit einer Geschwindigkeit u10 km/h u steht normal zur Strömungsgeschwindigkeit v des Flusses, wobei von einem Flussufer zum anderen. v 5 km/h a) Bestimme graphisch die Richtung und den Betrag der tatsächlichen Geschwindigkeit w des Bootes sowie den Winkel, den sie mit der Normalen zur Strömungsrichtung einschließt. Kontrolliere deine Ergebnisse durch Rechnung. ist. b) Der Bootsmann möchte tatsächlich normal zur Strömungsrichtung fahren. Dazu muss er etwas gegen die Strömungsrichtung steuern. Unter welchem Winkel muss das Boot gegen die Strömung gesteuert werden, damit es den Fluss normal zur Strömungsrichtung überquert? Löse graphisch und durch eine Rechnung. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Bootsfahrt 1

10 Möglicher Lösungsweg a) u... Geschwindigkeitsvektor des Boots, v... Geschwindigkeitsvektor der Strömung u v w, w, w , v 5 5 ( u,w), sin( ) 0,447 26, w Das Boot fährt mit einer Geschwindigkeit von etwa 11,2 km/h in einem Winkel von ungefähr 26,6 zur geplanten Fahrtrichtung (normal zur Strömung). b) cos(α ) v w ,5 2 α 60 Das Boot muss in einem Winkel von 60 gegen die Strömung gesteuert werden, um den Fluss normal zur Strömungsrichtung zu überqueren. Bootsfahrt 2

11 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Da Vektoren in vielen Gebieten der Physik gebraucht werden, sollen im Unterricht anwendungsorientierte physikalische Aufgaben nicht fehlen. Für Schulformen ohne Physik in der 5. Klasse sind gegebenenfalls zusätzliche Erläuterungen hilfreich. Das vektorielle Modell für Geschwindigkeit erlaubt die Bearbeitung komplexerer Bewegungsaufgaben. Entscheidend ist dabei das Prinzip, gleichzeitig ablaufende Bewegungsvorgänge im Modell hintereinander abzubilden. Damit kann diese Unterrichtsaufgabe zu einem Aufgabenpaket erweitert werden. Die Zusammensetzung von Kräften bzw. die Addition von Geschwindigkeiten nach dem Prinzip der Vektorrechnung gehört zu den Grundgesetzen der Mechanik und geht auf Isaac Newton zurück, der diese mathematischen Zusammenhänge richtig erkannte. Die Vektorrechnung selber wurde viel später entwickelt. Bootsfahrt 3

12 FIEBERMESSUNG ab Ende der 9. Schulstufe In einem Krankenhaus wird normalerweise immer um 6 Uhr früh und um 11 Uhr vormittags die Temperatur der Patienten/innen gemessen. Bei erhöhter Temperatur werden zusätzliche Werte um etwa 16 Uhr und 19 Uhr erhoben. Untenstehende Grafik zeigt die Temperaturwerte eines Patienten während der ersten 4 Tage. a) Wie sind die Verbindungslinien zwischen den Messpunkten zu interpretieren? b) Finde eine Begründung für diese Art der Messvorschrift. c) Wie interpretierst du die letzten zwei Messpunkte und die Verbindungslinie? Möglicher Lösungsweg a) Z.B.: Die Verbindungslinien geben eine Tendenz der Fieberkurve wieder, es können auf keinen Fall Zwischenwerte abgelesen werden. b) Z.B.: Hat ein/e Patient/in Fieber liegen die Messpunkte 11 Uhr und 6 Uhr zu weit auseinander, um den Verlauf einigermaßen genau wieder geben zu können. c) Z.B.: Die Messung um 11 Uhr ist ausgefallen, der Patient dürfte fieberfrei geblieben sein, Zwischenwerte können nicht abgelesen werden. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Fiebermessung 1

13 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Das Bespiel ist eher als Diagnosebeispiel gedacht. Die Interpretationen der Schüler/innen zeigen, wie sie Graphen interpretieren, ob sie ein Grundverständnis haben oder den Graphen falsch deuten. Ganz persönliche Antworten sind erwünscht. Durch die Fragestellung soll keine Richtung vorgegeben werden, wie Schüler/innen zu denken haben. Die Angabe erfolgte nach Rücksprache mit einer Krankenschwester; bei Bedarf können noch zusätzliche Messpunkte dazu kommen. Fiebermessung 2

14 FLÄCHENFUNKTION ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben ist das Dreieck ABC, dessen Maße der Zeichnung zu entnehmen sind. Bewegt man den Punkt D auf der Verbindungsgeraden zwischen A und C, so wird in Abhängigkeit von der Strecke x eine Fläche mit dem Flächeninhalt F(x) erzeugt. a) Stelle den Zusammenhang zwischen der Länge der Strecke x und dem Flächeninhalt F(x) der entstehenden Flächen in der nachfolgenden Tabelle dar. x F(x) b) Stelle diesen Zusammenhang in dem oben angegebenen Diagramm dar. Beachte dabei den Maßstab auf der 2. Achse. c) Stelle die Funktionsgleichung für F(x) auf. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Flächenfunktion 1

15 Möglicher Lösungsweg a) x F(x) 0,00 0,25 1,00 2,25 4,00 6,25 9,00 12,25 16,00 b) c) Die Funktionsgleichung lautet y x 4 2 Flächenfunktion 2

16 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Die Aufgabe ist als Unterrichtsaufgabe gedacht, bei der eine Vernetzung der Grundkompetenzen aus den Inhaltsbereichen Geometrie und funktionale Abhängigkeiten erfolgt. Verschiedene Lösungswege für die Bestimmung des Flächeninhalts und damit auch für das Finden der Funktionsgleichung sind möglich, z.b. Ablesen der Längen der Katheten aus der Graphik oder Anwenden des Strahlensatzes. Damit eignet sich die Aufgabe sogar schon ab der 8. Schulstufe. Die Aufgabe umfasst den einfachen Wechsel der Darstellungsform von der Tabelle zum Graphen. Anspruchsvoller ist der Wechsel zur Funktionsgleichung. Flächenfunktion 3

17 FÜLLKURVEN ab Ende der 9. Schulstufe Die dargestellten Rotationskörper werden über einen Zufluss, der eine konstante Wassermenge pro Zeiteinheit garantiert, gefüllt. Dabei wird die Höhe des Wasserstandes abhängig von der Zeiteinheit gemessen und aufgezeichnet. Der entstehende Graph wird Füllkurve genannt. Ordne den Füllkurven durch Ankreuzen der richtigen Ziffern den zugehörigen Körper zu keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Füllkurven 1

18 Möglicher Lösungsweg Füllkurven 2

19 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Bei dieser Aufgabe sollen die Schüler/innen intuitiv eine funktionale Abhängigkeit erfassen. Ausgehend von der räumlichen Vorstellung soll der Einfluss der Querschnittsfläche auf die Höhenveränderung in Abhängigkeit von der Zeit erkannt werden. Die Aufgabe ist sehr gut für kooperative Lernformen wie Gruppen- und Partnerarbeit geeignet (Kompetenzentwicklung durch Reden über... ). Füllkurven 3

20 FUNKTIONSGRAPH JA ODER NEIN ab Ende der 9. Schulstufe Sind die folgenden Darstellungen Graphen von reellen Funktionen Kreuze an und begründe die Antwort. f : x f(x)? Ja Begründung: Nein Ja Nein Begründung: Ja Nein Begründung: Ja Begründung: Nein keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Funktionsgraph JA oder NEIN 1

21 Möglicher Lösungsweg Ja Nein Begründung: Zu jedem x-wert gibt einen eindeutigen Funktionswert. Ja Nein Begründung: Zu den x-werten (ausgenommen x=4) gibt jeweils 2 Funktionswerte. Ja Nein Begründung: Zum x-wert 2 existieren unendlich viele unterschiedliche Funktionswerte. Ja Nein Begründung: Zu jedem x-wert existiert ein eindeutiger Funktionswert. Funktionsgraph JA oder NEIN 2

22 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H4 die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische Sichtweise problembezogen argumentativ belegen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Bei dieser Aufgabe wird eine Wiederholung und Vertiefung des Funktionsbegriffes angestrebt. Die Entscheidungen sollen argumentativ begründet werden. Grundkenntnisse können erweitert werden. Partner- oder Gruppenarbeit erscheint geeignet, besonderes Augenmerk kommt dabei der Präsentation zu. Auf die Verwendung der korrekten Fachsprache soll geachtet werden. Funktionsgraph JA oder NEIN 3

23 GLEICHUNG IN 2 VARIABLEN - LINEARE FUNKTION ab Ende der 9. Schulstufe Unter welchen in der nachstehenden Tabelle angegebenen Bedingungen entspricht eine Gleichung a x b y c, (a,b,c R) einer linearen Funktion mit y f(x)? Kreuze in der Tabelle an und begründe deine Entscheidung. Falls es sich um eine Funktion handelt, gib die zugehörige Funktionsgleichung in der Form y k x d an und skizziere, wie der Graph aussehen könnte. Lineare Funktion Funktionsgleichung Graph Begründung a 0 b, c 0 ja nein b 0 a, c 0 ja nein c 0 a, b 0 ja nein a 0 c 0 b 0 ja nein keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Gleichung in 2 Variablen - lineare Funktion 1

24 Möglicher Lösungsweg Lineare Funktion Funktionsgleichung Graph Begründung a 0 b, c 0 ja nein y c b Gerade muss parallel zur 1. Achse sein. Steigung: k 0 oder b 0 a, c 0 ja nein Einem x-wert werden unendlich viele y-werte zugeordnet. c 0 a, b 0 ja nein y a b x Homogene lineare Funktion, die durch den Ursprung geht. d 0 oder a 0 c 0 b 0 ja nein y 0 Die Gerade liegt auf der x-achse. Gleichung in 2 Variablen - lineare Funktion 2

25 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und den Funktionstyp zuordnen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H1 H4 problemrelevante mathematische Zusammenhänge identifizieren und mathematisch darstellen mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder Interpretation sprechen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Die Aufgabe stellt eine Verbindung zwischen Algebra und Funktionenlehre her und ist nicht nur ein Beitrag zur Förderung von vernetztem Denken sondern auch ein wichtiger Baustein bei der Lösung komplexerer Aufgaben (Bauaufgaben). Die Aufgabe ist für den Unterricht und als Test- oder Diagnoseaufgabe geeignet. Als Arbeitsweise wären auch Partner- oder Gruppenarbeit empfehlenswert. Gleichung in 2 Variablen - lineare Funktion 3

26 GLEICHUNGEN - GRAVITATION ab Ende der 9. Schulstufe Der Wikipedia-Artikel über Gravitation enthält folgenden Absatz: Gemäß der newtonschen Gravitationstheorie erzeugt jede (schwere) Masse ein Gravitationsfeld, in der allgemeinen Relativitätstheorie aber auch jede andere Energieform, also neben schweren Massen auch Licht- und Gravitationsenergie. Die Stärke der Gravitationsbeschleunigung g in einem durch schwere Massen erzeugten Gravitationsfeld ist dabei zum einen der Größe der Masse M proportional, zum anderen dem Quadrat des Abstandes r zum Mittelpunkt von M umgekehrt proportional. Für g gilt damit die Definitionsgleichung M g G, 2 r in der G die newtonsche Gravitationskonstante ist, eine Naturkonstante, deren Wert man, sofern die Werte der übrigen Größen durch Messung bekannt sind, durch Umformen obiger Gleichung nach G bestimmen kann. ( ) Um wie viel stärker oder schwächer ist die Gravitationsbeschleunigung g für einen Körper mit doppelter Masse und halbem Abstand? g neu 2 M G 2 r 2 Möglicher Lösungsweg 2 M 4 2 M M G G 8 G 8 g r r r 4 Die Gravitationsbeschleunigung wächst auf das Achtfache. alt keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Gleichungen - Gravitation 1

27 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie (Un)gleichungen und Gleichungssysteme Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenz- und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Im Sinne einer Entwicklung von Kommunikationsfähigkeit erscheint die Arbeit mit authentischen Texten von zunehmender Bedeutung. Darüber hinaus geht es um eine Transfer-Leistung: vorhandene Kompetenzen sollen auch auf neue (Anwendungs-)Situationen übertragen werden können. Gleichungen - Gravitation 2

28 GLEICHUNGEN - HEFTE ab Ende der 9. Schulstufe Im Archiv einer Schule werden alle Mathematik-Schularbeitshefte einer bestimmten Klasse aufbewahrt. Jede Schülerin/jeder Schüler hat genau ein Heft abgegeben; die Hefte haben entweder 20 Blatt oder 40 Blatt. Es sei z die Anzahl der Hefte mit 20 Blatt und v Anzahl der Hefte mit 40 Blatt. z v 25 Es gelten zwei Bedingungen: 20z 40v 660 a) Wie viele Schülerinnen und Schüler besuchen die erwähnte Klasse? b) Wie viele Blatt Papier haben alle Mathematik-Schularbeitshefte dieser Klasse zusammen? c) Erweiterung Ein Schüler möchte die oben gestellte Aufgabe lösen. Er macht jedoch einen Angabefehler und schreibt in sein Heft die folgenden Bedingungen: z v 25 20z 40v 650 Macht dieser Angabefehler für die Beantwortung der Fragen a) und b) einen wesentlichen Unterschied? Möglicher Lösungsweg a) 25 Schülerinnen und Schüler besuchen die erwähnte Klasse b) Alle Mathematik-Schularbeitshefte dieser Klasse haben zusammen 660 Blatt Papier c) Erweiterung Es scheint zunächst, dass die Antworten 25 und 650 nach demselben Schema gefunden werden können wie oben. Man kann aber nur sagen: Wenn es Lösungen gibt, dann lauten sie 25 und 650. Berechnet man mit einer geeigneten Methode die Anzahlen der beiden Heftsorten, so erhält man im ersten Fall die Werte z = 17 und v = 8, im zweiten Fall, aufgrund des Angabefehlers jedoch die Werte z = 17,5 und v = 7,5. Für eine vernünftige Lösung kommen halbe Hefte nicht in Frage, daher besitzt das geänderte Problem keine Lösung. Eine entsprechende Überlegung ist auch allgemein möglich, ohne die Werte von z und v tatsächlich zu bestimmen. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Gleichungen-Hefte 1

29 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie (Un)gleichungen und Gleichungssysteme Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) b) c) H3 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen erkennen, sie im Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) c) I1 Variable, Terme, Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten b) b) K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Die Aufgabe zielt zunächst auf den in der Beschreibung der srp-grundkompetenzen genannten Aspekt Gleichungssysteme im Kontext interpretieren können. Die Fragen verlangen nicht die Ermittlung der Unbekannten, die Botschaft scheint klar: Wer rechnet, ist selber schuld. Die Erweiterung relativiert jedoch diese Erkenntnis, indem sie ein Nachdenken über die Existenz von Lösungen erfordert. Vermutlich wird dabei auch eine operative Tätigkeit erfolgen (die Ermittlung der Unbekannten), jedoch steht diese nicht im Zentrum der Aufgabenstellung. Keine der Teilaufgaben a), b) und c) geht über Grundkompetenzen hinaus. Die Kennzeichnung von c) als Erweiterung erfolgt hier aus taktischen Gründen und betont den Wechsel der Komplexitätsanforderung. Gleichungen-Hefte 2

30 GRAPH EINER LINEAREN FUNKTION ab Ende der 9. Schulstufe a) Zeichne den Graphen einer linearen Funktion mit einer negativen ganzzahligen Steigung in das vorgegebene Koordinatensystem. b) Wie lautet der Funktionsterm des von dir gezeichneten Graphen? keine Hilfsmittel erlaubt gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Graph einer linearen Funktion 1

31 Möglicher Lösungsweg a) b) f(x) x 2 Graph einer linearen Funktion 2

32 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H1 alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen b) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Wiederholungsaufgabe aus der Sekundarstufe 1 Die Funktionsgleichung einer Geraden soll aus der graphischen Darstellung ermittelt werden. Die Aufgabe ist für den Unterricht und als Test- oder Diagnoseaufgabe geeignet. Graph einer linearen Funktion 3

33 GRAPHEN LINEARER FUNKTIONEN ERKENNEN ab Ende der 9. Schulstufe Welche der fünf Abbildungen stellen nicht Graphen einer linearen Funktion dar? Begründe deine Meinung Abb. 1 Abb. 2 Abb. 3 Abb. 4 Abb. 5 Möglicher Lösungsweg Die Abbildung 2 stellt keinen Graphen einer Funktion dar, weil einem x-wert unendlich viele y-werte zugeordnet sind. Die Abbildung 4 stellt keinen Graph einer linearen Funktion dar, weil die Steigung nicht gleich bleibt. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Graphen linearer Funktionen erkennen 1

34 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenz- und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Die Aufgabe erfordert ein Nachdenken über den Begriff Funktion im Allgemeinen und den Begriff lineare Funktion im Besonderen. Das Verständnis der Definition lineare Funktion ist Voraussetzung für die geforderte verbale Begründung. Die Aufgabe ist für den Unterricht und als Test- oder Diagnoseaufgabe geeignet. Graphen linearer Funktionen erkennen 2

35 GRAPHEN ZUORDNEN ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben sind die Funktionen f 1, f 2, f 3 und f 4. Ordne den gegebenen Graphen den jeweils entsprechenden Funktionsterm und alle zutreffenden Eigenschaften zu. Kreuze deine Ergebnisse in der Tabelle an. f 1 f 2 f 3 f 4 a g 1 (x), a > 0 x a g 2 (x), a < 0 x a g3(x) 2 x, a > 0 a x g4(x), a < 0 2 Der Graph ist symmetrisch bezüglich der y-achse. Der Graph ist symmetrisch zum Nullpunkt. Es gilt: f(-x) = -f(x). Es gilt: f(x) = f(-x). Für x > 0 ist f(x) > 0. Für x > 0 ist f(x) < 0. Für x < 0 ist f(x) > 0. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Graphen zuordnen 1

36 Möglicher Lösungsweg f 1 f 2 f 3 f 4 a g 1 (x), a > 0 x a g 2 (x), a < 0 x a g3(x) 2 x, a > 0 a x g4(x), a < 0 2 Der Graph ist symmetrisch bezüglich der y-achse. Der Graph ist symmetrisch zum Nullpunkt. Es gilt: f(-x) = -f(x). Es gilt: f(x) = f(-x). Für x > 0 ist f(x) > 0. Für x > 0 ist f(x) < 0. Für x < 0 ist f(x) > 0. Graphen zuordnen 2

37 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen Potenzfunktion mit z 2 f(x) a x b, z Z sowie f(x) a x b Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können 1 Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenz- und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Das Kennen und Erkennen wesentlicher Eigenschaften von Potenzfunktionen wie Monotonie und Symmetrie sind eine wichtige Grundkompetenz für weiterführende Problemlöseaufgaben. Werden mit Hilfe dieser Aufgabe neue Inhalte erarbeitet, können die Graphen den Funktionstermen durch Einsetzen geeigneter Zahlenwerte zugeordnet werden; im Falle einer Wiederholung sollten die typischen Verläufe der Graphen schon bekannt sein. Die Begriffe Symmetrie und gerade bzw. ungerade Funktion sollten in jedem Fall bereits geläufig sein. Die vorliegende Aufgabe ist als Unterrichtsbeispiel (z. B. in Form einer Partnerarbeit) aber auch als Diagnoseinstrument vorstellbar. Graphen zuordnen 3

38 KRÄFTE ab Ende der 9. Schulstufe Drei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte F, 1 F 2 und F 3 lassen sich durch eine einzige am selben Punkt angreifende resultierende Kraft F ersetzen, die allein dieselbe Wirkung ausübt wie F, 1 F 2 und F 3 zusammen. Die Kraft F kann man mittels Kräfteparallelogrammen konstruieren. a) Gegeben sind drei an einem Punkt P angreifende Kräfte F, 1 F 2 und F 3. Ermittle grafisch die resultierende Kraft F als Summe der Kräfte F, 1 F 2 und F 3. b) Gegeben sind drei an einem Punkt P angreifende Kräfte F, 1 F 2 und F 3. Ermittle grafisch die resultierende Kraft F als Summe der Kräfte 1 F, 2 F und 3 F. Interpretiere das Ergebnis. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Kräfte 1

39 Möglicher Lösungsweg a) b) Interpretation: Der Betrag der resultierenden Kraft F ist null, die drei Kräfte befinden sich im Gleichgewicht. Kräfte 2

40 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H2 geometrische Konstruktionen durchführen b) H2 H3 geometrische Konstruktionen durchführen Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten b) K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Da Vektoren in vielen Gebieten der Physik gebraucht werden, sollen im Unterricht anwendungsorientierte physikalische Aufgaben nicht fehlen. Für Schulformen ohne Physik in der 5. Klasse sind gegebenenfalls zusätzliche Erläuterungen hilfreich. Die Zusammensetzung von Kräften bzw. die Addition von Geschwindigkeiten nach dem Prinzip der Vektorrechnung gehört zu den Grundgesetzen der Mechanik und geht auf Isaac Newton zurück, der diese mathematischen Zusammenhänge richtig erkannte. Die Vektorrechnung selber wurde viel später entwickelt. Kräfte 3

41 KRÄFTEPARALLELOGRAMM ab Ende der 9. Schulstufe Zwei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte F 1 und F 2 lassen sich durch eine einzige am selben Punkt angreifende resultierende Kraft F ersetzen, die allein dieselbe Wirkung ausübt wie F 1 und F 2 zusammen. Die Kraft F kann man mittels eines Kräfteparallelogramms konstruieren. Gegeben sind zwei an einem Punkt P angreifende Kräfte F 1 und F. 2 Ermittle grafisch die resultierende Kraft F als Summe der Kräfte F 1 und F. 2 Möglicher Lösungsweg keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Kräfteparallelogramm 1

42 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H2 geometrische Konstruktionen durchführen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Da Vektoren in vielen Gebieten der Physik gebraucht werden, sollen im Unterricht anwendungsorientierte physikalische Aufgaben nicht fehlen. Für Schulformen ohne Physik in der 5. Klasse sind gegebenenfalls zusätzliche Erläuterungen hilfreich. Die Zusammensetzung von Kräften bzw. die Addition von Geschwindigkeiten nach dem Prinzip der Vektorrechnung gehört zu den Grundgesetzen der Mechanik und geht auf Isaac Newton zurück, der diese mathematischen Zusammenhänge richtig erkannte. Die Vektorrechnung selber wurde viel später entwickelt. Kräfteparallelogramm 2

43 LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 1 ab Ende der 9. Schulstufe Entnimm die Lagebeziehungen der durch die Strecken AB, CD, EF und GH bestimmten Geraden aus der Zeichnung. Kreuze in der Tabelle die richtige Lagebeziehung an. g AB und g CD g AB und g EF g AB und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch g CD und g EF g CD und g GH g EF und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch Lagebeziehung von Geraden 1 1

44 Möglicher Lösungsweg g AB und g CD g AB und g EF g AB und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch g CD und g EF g CD und g GH g EF und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Geraden im R² und R³; Ebenen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Verschiedene Lösungsmöglichkeiten (Ermitteln der Steigung aus dem Steigungsdreieck, graphische Lösungsmöglichkeit) können besprochen werden. Welche Aussage über grafische Lösungen kann getroffen werden? Die Frage der mangelnden Exaktheit kann mit den Schülerinnen und Schülern diskutiert werden. Diese Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht, z.b. zum Wiederholen und Festigen der Begriffe Steigung und Steigungsdreieck. Lagebeziehung von Geraden 1 2

45 LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 2 ab Ende der 9. Schulstufe Entnimm die Lagebeziehungen der durch die Strecken AB, CD, EF und GH bestimmten Geraden aus der Zeichnung. Kreuze in der Tabelle die richtige Lagebeziehung an. Begründe deine Überlegungen. g AB und g CD g AB und g EF g AB und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch g CD und g EF g CD und g GH g EF und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Lagebeziehung von Geraden 2 1

46 Möglicher Lösungsweg g AB und g CD g AB und g EF g AB und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch g CD und g EF g CD und g GH g EF und g GH identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch identisch schneidend parallel, aber nicht identisch Mithilfe des vorgegebenen Rasters kann man die Steigung der Geraden bestimmen: ,5 g AB : k AB 0, 5 g CD : k CD 0, 4 g EF : k EF 0, 5 g GH : k GH 0, Die Geraden g AB, g EF und g GH haben die gleiche Steigung. Sie sind also parallel oder identisch. Mithilfe des Rasters erkennt man, dass die Geraden g AB und g EF identisch sind und die Gerade g GH parallel dazu liegt. Die Gerade g CD hat eine andere Steigung. Sie muss daher die drei Geraden g AB, g EF und g GH schneiden. Lagebeziehung von Geraden 2 2

47 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 H4 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische Sichtweise problembezogen argumentativ belegen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Geraden im R² und R³; Ebenen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Verschiedene Lösungsmöglichkeiten (Ermitteln der Steigung aus dem Steigungsdreieck, graphische Lösungsmöglichkeit) können besprochen werden. Welche Aussage über grafische Lösungen kann getroffen werden? Die Frage der mangelnden Exaktheit kann mit den Schülerinnen und Schülern diskutiert werden. Diese Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht, z.b. zum Wiederholen und Festigen der Begriffe Steigung und Steigungsdreieck, kann aber auch als Diagnoseinstrument verwendet werden. Der Unterschied zur Aufgabe Lagebeziehungen von Geraden 1 besteht darin, dass die Schüler/innen ihre Vorgangsweise begründen müssen. Der Handlungsbereich H4 (Argumentieren und Begründen) wird zusätzlich angesprochen. Lagebeziehung von Geraden 2 3

48 LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 3 ab Ende der 9. Schulstufe Kreuze alle richtigen Aussagen an und begründe sie. a) b) c) d) Die Geraden Aussagen Begründung 2 3 sind parallel, aber nicht g : X s 1 4 identisch. sind identisch. und schneiden einander und stehen aufeinander nicht 4 3 h : X t normal. 2 4 schneiden einander und stehen aufeinander normal. 2 3 g : X s 1 4 und 1 1,5 h : X t g : X s 1 4 und 1 6 h : X t g : X s 1 4 und 4 2 h : X t 2 1,5 sind parallel, aber nicht identisch. sind identisch. schneiden einander und stehen aufeinander nicht normal. schneiden einander und stehen aufeinander normal. sind parallel, aber nicht identisch. sind identisch. schneiden einander und stehen aufeinander nicht normal. schneiden einander und stehen aufeinander normal. sind parallel, aber nicht identisch. sind identisch. schneiden einander und stehen aufeinander nicht normal. schneiden einander und stehen aufeinander normal. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Lagebeziehung von Geraden 3 1

49 Möglicher Lösungsweg a) b) c) d) Die Geraden Aussagen Begründung 2 3 sind parallel, aber nicht Die Richtungsvektoren sind g : X s 1 4 identisch. gleich und P(2 1) h: sind identisch. 2 und schneiden einander und 2 4 3t t 3 stehen aufeinander nicht h : X t normal t t schneiden einander und Da der Parameter t verschiedene stehen aufeinander normal. Werte für die Koordinaten x und y annimmt, sind die Geraden nicht identisch. 2 3 sind parallel, aber nicht Die Richtungsvektoren sind g : X s 1 4 identisch. 3 1,5 sind identisch. parallel: 2 und und schneiden einander und 4 2 stehen aufeinander nicht Q(1 5) g: 1 1,5 h : X t normal s s schneiden einander und 5 1 4s s 1 stehen aufeinander normal. Da der Parameter s den gleichen Wert für die Koordinaten x und y annimmt, sind die Geraden identisch. 2 3 sind parallel, aber nicht Die Richtungsvektoren sind nicht g : X s 1 4 identisch. parallel, da der eine Vektor kein sind identisch. Vielfaches des anderen Vektors und schneiden einander und ist. stehen aufeinander nicht Da das skalare Produkt 1 6 h : X t normal schneiden einander und 14 0 ist, stehen die 4 8 stehen aufeinander normal. Vektoren nicht aufeinander normal. 2 3 sind parallel, aber nicht Die Richtungsvektoren stehen g : X s 1 4 identisch. aufeinander normal: sind identisch. 2 3 und schneiden einander und stehen aufeinander nicht 1, h : X t normal. 2 1,5 schneiden einander und stehen aufeinander normal. Lagebeziehung von Geraden 3 2

50 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 H4 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen erkennen, sie im Kontext deuten mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder Interpretation sprechen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Geraden im R² und R³; Ebenen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Die Aufgabe kann im Unterricht eingesetzt werden um mit den Schülerinnen und Schülern verschiedene Lösungsmöglichkeiten der Aufgabenstellungen zu erläutern z.b.: - Ist auch eine grafische Lösung möglich? - Würden andere Darstellungsformen der Geraden die Beantwortung der Fragen erleichtern? Die Aufgabe eignet sich zum Wiederholen und Festigen des erworbenen Wissens. Die Aufgabenteile a) bis d) können aber auch einzeln als Testaufgaben Verwendung finden. Lagebeziehung von Geraden 3 3

51 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Lagebeziehung von Geraden 4 1 LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 4 ab Ende der 9. Schulstufe Zwei Geraden im R 2 sind entweder schneidend, parallel oder identisch. Gegeben sind die Gerade 4 3 t 2 5 X : g und der Punkt P(-6 4) g. a) Gib eine Gleichung der Geraden h 1 durch P an, die zu g parallel ist. b) Gib eine Gleichung einer Geraden h 2 durch P an, welche die Gerade g schneidet. c) Gib eine Gleichung einer Geraden h 3 durch P an, die mit g identisch ist. d) Gib eine Gleichung der Geraden h 4 durch P an, die normal auf g steht. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S. Möglicher Lösungsweg a) z.b. 4 3 s 4 6 X : h 1 Auch jeder zu 4 3 parallele Vektor ist möglich. b) z.b. 4 1 s 4 6 X : h 2 Auch jeder zu 4 3 nicht parallele Vektor ist möglich. c) Dieser Fall ist für diese Angabe nicht möglich, da der gegebene Punkt P(-3 8) nicht auf der Geraden g liegt. d) z.b. 3 4 s 4 6 X : h 4 Auch jeder zu 3 4 parallele Vektor ist möglich. Berechnung des Schnittpunkts: 2 s 0 25s 50 3s 4 4t 2 4s 6 3t s t S Schnittpunkt S(2 2)

52 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H1 problemrelevante mathematische Zusammenhänge identifizieren und mathematisch darstellen b) H1 H2 problemrelevante mathematische Zusammenhänge identifizieren und mathematisch darstellen elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen c) d) H1 problemrelevante mathematische Zusammenhänge identifizieren und mathematisch darstellen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) c) d) I1 Geraden im R² und R³; Ebenen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) c) d) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Diese Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht. Die Teilaufgabe c) wurde bewusst so gewählt, um mit den Schülerinnen und Schülern über die Lösbarkeit der Fragstellung diskutieren zu können. Falls der gegebene Punkt auf der gegebenen Geraden liegt, ist Fall a) nicht möglich, dafür aber Fall c). Lagebeziehung von Geraden 4 2

53 LINEARE FUNKTIONEN MIT GLEICHEM d ab Ende der 9. Schulstufe a) Zeichne drei verschiedene Graphen, die durch einen Funktionsterm der Form f(x) k x 2 dargestellt werden. b) Welche Wirkung hat eine Änderung des Parameters k auf den Graphen der Funktion? a) Möglicher Lösungsweg b) Eine Änderung von k bewirkt eine Drehung der Geraden um den Punkt (0 2) (allgemein (0 d)). oder: Eine Änderung von k bewirkt eine Änderung der Steigung. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Lineare funktionen mit gleichem d 1

54 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln b) H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) b) I2 Einfluss von Parametern Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Wiederholungsaufgabe aus der Sekundarstufe 1 Die Größe von k als Maß für die Steigung soll klar sein. Die Aufgabe ist für den Unterricht und als Testoder Diagnoseaufgabe geeignet. Lineare funktionen mit gleichem d 2

55 LINEARE FUNKTIONEN MIT GLEICHEM k ab Ende der 9. Schulstufe a) Zeichne drei verschiedene Graphen, die durch einen Funktionsterm der Form f(x) = 2x + d dargestellt werden. b) Welche Wirkung hat eine Änderung des Parameters d auf den Graphen der Funktion? a) Möglicher Lösungsweg b) Eine Änderung von d bedeutet ein Parallelverschieben des Graphen durch den Punkt (0d). oder: Eine Änderung von d bewirkt einen anderen Abschnitt auf der 2. Achse. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Lineare Funktionen mit gleichem k 1

56 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln b) H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) b) I2 Einfluss von Parametern Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Wiederholungsaufgabe aus der Sekundarstufe 1 Im Hinblick auf den Aufbau nachhaltiger Kompetenzen ist die Bedeutung des Parameters d als ein Verschieben in Richtung der 2. Achse hier für lineare Funktionsgraphen und später für alle Funktionsgraphen zu erarbeiten. Die Aufgabe ist für den Unterricht und als Test- oder Diagnoseaufgabe geeignet. Lineare Funktionen mit gleichem k 2

57 PARALLEL ODER NORMAL 1 ab Ende der 9. Schulstufe 1 Gegeben ist der Vektor a. 4 Entscheide, ob die in der Tabelle angegebenen Vektoren zum Vektor a parallel, normal bzw. weder parallel noch normal sind und kreuze die richtigen Antworten an. parallel normal weder parallel noch normal 1 b 4 2 c 8 4 d 1 4 e 1 1 f 4 Parallel oder normal 1 1

58 Möglicher Lösungsweg parallel normal weder parallel noch normal 1 b 4 2 c 8 4 d 1 4 e 1 1 f 4 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die Schüler/innen können z.b. in Individualarbeit die Aufgabe bearbeiten und dann in Partnerarbeit über die Lösungen diskutieren. Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht oder als Testaufgabe gedacht. Parallel oder normal 1 2

59 PARALLEL ODER NORMAL 2 ab Ende der 9. Schulstufe 1 Gegeben ist der Vektor a. 4 Entscheide, ob die in der Tabelle angegebenen Vektoren zum Vektor a parallel, normal bzw. weder parallel noch normal sind und kreuze die richtigen Antworten an. Begründe deine Entscheidungen rechnerisch. parallel normal weder parallel noch normal Begründung 1 b 4 2 c 8 4 d 1 4 e 1 1 f 4 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Parallel oder normal 2 1

60 Parallel oder normal 2 2 Möglicher Lösungsweg parallel normal weder parallel noch normal Begründung 4 1 b v c 8 2 0, d v e v f

61 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Der Unterschied zur Aufgabe Parallel oder normal 1 besteht darin, dass die Schüler/innen ihre Vorgangsweise begründen müssen. Der Handlungsbereich H4 (Argumentieren und Begründen) wird zusätzlich angesprochen. Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht oder als Testaufgabe gedacht. Parallel oder normal 2 3

62 PARALLEL ODER NORMAL3 ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben ist der zweidimensionale Vektor a. Wie überprüfst du, ob ein Vektor b zum Vektor a parallel, normal bzw. weder parallel noch normal ist? Möglicher Lösungsweg Ein Vektor b ist zum Vektor a parallel, wenn gilt: a v b.. Ein Vektor b ist zum Vektor a normal, wenn gilt: a b 0 Ein Vektor b ist zum Vektor a weder parallel noch normal, wenn gilt: a b 0 a v b und Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht. Mathematische Kenntnisse müssen verbalisiert bzw. niedergeschrieben werden. Die Aufgabe kann als Ergänzung der Aufgaben Parallel oder normal 1 bzw. 2 verwendet werden. Parallel oder normal 3 1

63 keine Hilfsmittel erlaubt gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Parallel oder schneidend 1 1 PARALLEL ODER SCHNEIDEND 1 ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben sind die Geraden g: 1 2 t 2 3 X und h: 2 a s 1 3 X Gib jeweils eine reelle Zahl a an, sodass die Geraden a) parallel sind. b) schneidend sind. Möglicher Lösungsweg a) 4 a t 2 2 t a 1 2 t 2 a b) a R\ {4} Anmerkung: Alle Werte außer a = 4 sind richtig zu werten.

64 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen erkennen, sie im Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Geraden im R² und R³; Ebenen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die Serie der drei Variationen der Aufgabe Parallel oder schneidend bietet die Möglichkeit die Lagebeziehungen von Geraden in R 2 im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und Nachhaltigkeit verwendet werden. Parallel oder schneidend 1 2

65 PARALLEL ODER SCHNEIDEND 2 ab Ende der 9. Schulstufe Zwei Geraden im R 2 sind entweder schneidend, parallel oder identisch. Gegeben sind die Geraden g: Gibt es Zahlen u X t und h: X s u R, sodass die Geraden g und h a) parallel, aber nicht identisch sind? b) schneidend sind? c) identisch sind? Gib jeweils alle Möglichkeiten für die Zahl u an. Begründe deine Entscheidungen. Möglicher Lösungsweg a) Die Geraden sind parallel, aber nicht identisch, wenn die Richtungsvektoren parallel sind und der gegebene Punkt der Geraden h nicht auf der Geraden g liegt. Nachweis der Parallelität der Vektoren: u 2 u 2 t t u t Für u = 4 sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel. Überprüfung der Identität: P(3 1) in g einsetzen: t t 3 t Pg t t 3 Das heißt für u = 4 sind die Geraden parallel, aber nicht identisch. b) Damit die Geraden einen Schnittpunkt haben dürfen die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander sein. Daher erhält man für u R\{4} schneidende Gerade. c) Dieser Fall ist für diese Angabe nicht möglich, da der gegebene Punkt P(3 1) der Geraden h nicht auf der Geraden g liegt. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Parallel oder schneidend 2 1

66 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 H4 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen erkennen, sie im Kontext deuten die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische Sichtweise problembezogen argumentativ belegen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Geraden im R² und R³; Ebenen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Die Serie der drei Variationen der Aufgabe Parallel oder schneidend bietet die Möglichkeit die Lagebeziehungen von Geraden im R 2 im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und Nachhaltigkeit verwendet werden. Parallel oder schneidend 2 2

67 PARALLEL ODER SCHNEIDEND 3 ab Ende der 9. Schulstufe Zwei Geraden im R 2 sind entweder schneidend, parallel oder identisch m Gegeben sind die Geraden g: X t und h: X s Gibt es eine reelle Zahl m, sodass die Geraden g und h identisch sind? Begründe deine Überlegungen. Möglicher Lösungsweg Die Geraden sind identisch, wenn die Richtungsvektoren parallel sind, und der gegebene Punkt der Geraden h auf der Geraden g liegt. Für m = 4 sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel. Überprüfung, ob P auf g liegt: P(3 1) in g einsetzen: t t 1 2 t t 3 t 3 Pg Das heißt für m = 4 sind die Geraden parallel, können aber nie identisch sein, weil P nicht auf g liegt. Oder: Für m = 4 sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel. 6 Da der Vektor zwischen den beiden Punkten der Geraden nicht parallel zum 2 Richtungsvektor von g ist, kann man die Geraden durch kein reelles m identisch machen keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Parallel oder schneidend 3 1

68 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 H4 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen erkennen, sie im Kontext deuten die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische Sichtweise problembezogen argumentativ belegen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Geraden im R² und R³; Ebenen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Die Serie der drei Variationen der Aufgabe Parallel oder schneidend bietet die Möglichkeit die Lagebeziehungen von Geraden in R 2 im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und Nachhaltigkeit verwendet werden. Parallel oder schneidend 3 2

69 PÖSTLINGBERGBAHN ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben ist ein Streckenplan (Quelle: Wikipedia.org) der berühmten Pöstlingbergbahn in Linz. Die im Streckenplan links neben den Haltestellen angeführten Zahlen stellen die jeweilige Entfernung vom Hauptplatz in Kilometer (km) dar. In nachfolgenden Berechnungen ist näherungsweise davon auszugehen, dass die Streckenführung vom Bergbahnhof Urfahr bis hinauf auf den Pöstlingberg zwischen den einzelnen Stationen mit annähernd gleichbleibender Steigung verläuft. (Urheber: Linzer Quelle: Nikitak.de.tl-Fotograf Nikita K.) a) Berechne für den steilsten Abschnitt Schableder (km 2,7) bis Hoher Damm (km 3,0) die Steigung in Prozent und den Steigungswinkel der Bahn. b) In Wikipedia.org wird behauptet, dass die Steigung der Pöstlingbergbahn ab Bergbahnhof Urfahr fast durchgehend 10,5% beträgt. Wie lange müsste demnach die Höhendifferenz ab Bergbahnhof Urfahr sein, wenn die angegebene Streckenlänge korrekt ist? Vergleiche die angegebene Höhendifferenz mit der errechneten. Welche Annahme triffst du für deine Rechnung? keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Pöstlingbergbahn 1

70 Möglicher Lösungsweg a) 300m 47m 47 sin( α) 300 α 9; Steigung: tan(α) 0,159 16% b) l 255m tan( α) 10,5% α 6 h 2900 sin(α) 303m Die Höhendifferenz bei 10,5% Steigung beträgt ungefähr 303 m statt der im Fahrplan angegebenen 255 m. Annahme: Die Pöstlingbergbahntrasse verläuft geradlinig. Pöstlingbergbahn 2

71 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Trigonometrie Definitionen von sin, cos, tan im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H1 H2 b) H1 H3 alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen mit und in Tabellen oder Grafiken operieren alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) I1 Winkelmaße; sin α, cos α, tan α; Sinus- und Cosinussatz Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) K2 Herstellen von Verbindungen b) K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Wesentliche Aspekte dieser Aufgabe bilden das Identifizieren relevanter Informationen in einem längeren kontextbezogenen Text und das Übertragen dieser Informationen in mathematische Darstellungen. Auf Grund der Textlänge und der eher ungewohnten Darstellung des Fahrplans ist diese Aufgabe als Unterrichtaufgabe gut, als Testaufgabe jedoch kaum geeignet. Sie kann Schüler/innen zum Reflektieren über notwendige Modellvereinfachungen anregen. Pöstlingbergbahn 3

72 PRIMZAHLENZUORDNUNG ab Ende der 9. Schulstufe f ist eine Funktion, welche jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Primzahlen zuordnet, die kleiner oder gleich n sind. a) Erstelle für die Grundmenge G nn, 1 n 15 n f(n) eine Wertetabelle. b) Schreibe die Menge W der Funktionswerte bezogen auf die Grundmenge an. c) Zeichne den Graphen von f(n). keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Primzahlenzuordnung 1

73 Möglicher Lösungsweg a) n f(n) b) W 0,1,2,3,4,5,6 c) Primzahlenzuordnung 2

74 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R, verständig einsetzen können 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 I2 Zahlenmengen: Darstellungsformen, Grundgesetze und Rechenregeln Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Wiederholungsaufgabe aus der Sekundarstufe 1 Die Grundlagen von verschiedenen Darstellungsformen müssen zuerst erarbeitet werden. Die Aufgabe erfordert gute Kenntnisse über Zahlenmengen, welche in diesem Zusammenhang vertieft werden können. Ein Punktgraph statt einer Verbindungslinie soll die Grundkenntnisse erweitern und die Kenntnisse von Grundmengen und Wertemengen vertiefen. Die Aufgabe ist eher als Unterrichtsaufgabe gedacht. Primzahlenzuordnung 3

75 PUNKTE AUF EINER GERADEN 1 ab Ende der 9. Schulstufe Zur Hausübung soll überprüft werden, ob die drei Punkte A(4 3), B(1 3) und C(9 9) auf einer Geraden liegen. a) Anna rechnet: 5 AB, t BC t 6 12t 1 t 2 1 t 2 Die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden. b) Tom rechnet: 5 AB X λ λ λ ( 5) 9 3 λ 6 λ 1 λ 1 Die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden. Erkläre die einzelnen Lösungswege. Möglicher Lösungsweg a) Anna überprüft, ob die Vektoren AB und BC zueinander parallel sind, d.h. ob der eine Vektor als Vielfaches des zweiten dargestellt werden kann. 1 Da AB BC gilt, liegen die Punkte auf einer Geraden. 2 b) Tom stellt die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf und überprüft durch Einsetzen des Punktes C dessen Lage bezüglich der Geraden. Da sich für die x und ykoordinate derselbe Parameter λ 1 ergibt, liegt der Punkt C auf der Geraden durch A und B. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Punkte auf einer Geraden 1 1

76 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H4 mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder Interpretation sprechen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Durch das Nachvollziehen der verschiedenen Lösungswege sollen den Schülerinnen und Schülern unterschiedliche Lösungsstrategien verständlich gemacht werden. Das Nachdenken über die verschiedenen Ansätze und deren Erklärung vertieft und festigt die Kenntnisse in der Vektorrechnung. Die Aufgabe soll die Kommunikationsfähigkeit der Schüler/innen fördern und eignet sich auch gut für einen schülerzentrierten Unterricht. Die Serie der drei Variationen der Aufgabe Punkte auf einer Geraden bietet die Möglichkeit, eine Fragestellung im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und Nachhaltigkeit verwendet werden. Punkte auf einer Geraden 1 2

77 PUNKTE AUF EINER GERADEN 2 ab Ende der 9. Schulstufe Überprüfe, ob drei Punkte A(2 1), B(3 5) und C(7 7) auf einer Geraden liegen und erkläre deine Vorgehensweise. 5 AB, 6 Möglicher Lösungsweg 10 5 BC 2 2 AB 12 6 A, B und C liegen auf einer Geraden, wenn die Vektoren AB und BC zueinander parallel sind, d.h. wenn der eine Vektor als Vielfaches des zweiten dargestellt werden kann. Da BC 2 AB, liegen die Punkte A, B und C auf einer Geraden. oder 2 5 g(a, B) : X λ 1 6 Überprüfung, ob C auf g(a, B) λ 1 6 liegt: 7 2 λ ( 5) 7 1 λ 6 λ 1 λ 1 C g Man stellt die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf und überprüft durch Einsetzen des Punktes C dessen Lage bezüglich der Geraden. Da sich für die x und ykoordinate derselbe Parameter λ 1 ergibt, liegt der Punkt C auf der Geraden durch A und B. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Punkte auf einer Geraden 2 1

78 oder Aufgrund der günstigen Koordinaten der Punkte A, B und C kann man mithilfe der Rasterpunkte aus der Grafik ablesen, dass die Punkte auf einer Geraden liegen. Punkte auf einer Geraden 2 2

79 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H4 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Im Unterricht kann auf die Vor- und Nachteile der verschiedenen Lösungsmöglichkeiten eingegangen werden. Die Serie der drei Variationen der Aufgabe Punkte auf einer Geraden bietet die Möglichkeit, eine Fragestellung im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und Nachhaltigkeit verwendet werden. Punkte auf einer Geraden 2 3

80 PUNKTE AUF EINER GERADEN 3 ab Ende der 9. Schulstufe Entwickle eine Strategie um zu überprüfen, ob drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen. Möglicher Lösungsweg A, B und C liegen auf einer Geraden, wenn die Vektoren AB und BC zueinander parallel sind, d.h. wenn der eine Vektor als Vielfaches des zweiten dargestellt werden kann. Wenn oder AB v BC gilt, liegen die Punkte auf einer Geraden. Man stellt die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf und überprüft durch Einsetzen des Punktes C dessen Lage bezüglich der Geraden. Wenn sich für die x und ykoordinate derselbe Parameter λ ergibt, liegt der Punkt C auf der Geraden durch A und B. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Punkte auf einer Geraden 3 1

81 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H4 die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische Sichtweise problembezogen argumentativ belegen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Diese Aufgabe ist eine offene Unterrichtsaufgabe, die sich gut für kooperative Lernformen eignet. Im Unterricht können die Vor- und Nachteile der verschiedenen Lösungsmöglichkeiten thematisiert werden. Die Serie der drei Variationen der Aufgabe Punkte auf einer Geraden bietet die Möglichkeit, eine Fragestellung im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und Nachhaltigkeit verwendet werden. Punkte auf einer Geraden 3 2

82 QUADRATISCHE FUNKTIONEN 1 ab Ende der 9. Schulstufe Die Graphen f 1, f 2, f 3 quadratischer Funktionen der Form Parabeln (siehe Abbildung). f(x) ax 2 bx c sind Ordne in der Tabelle den vorgegebenen Bedingungen die entsprechenden Graphen zu und trage sie in der Tabelle ein. Kreuze die zutreffende Eigenschaft an. Bedingung Graph(en) Eigenschaften b = 0 a > 0 a < 0 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. Quadratische Funktionen 1 1

83 Möglicher Lösungsweg Bedingung Graph(en) Eigenschaften b = 0 f 1 a > 0 f 1, f 2 a < 0 f 3 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Polynomfunktion n i f (x) a 0 i x i mit n N Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Einfluss von Parametern Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Typische Verläufe von quadratischen Funktionen in Abhängigkeit von den Parametern a, b und c sollen erarbeitet werden. Die vorliegende Aufgabe ist daher als Unterrichtsbeispiel in unterschiedlichen Formen zum Erarbeiten bzw. Vertiefen neuer Inhalte vorstellbar. Quadratische Funktionen 1 2

84 QUADRATISCHE FUNKTIONEN 2 ab Ende der 9. Schulstufe Eine quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung und a 0. 2 f(x) ax bx c mit a, b, c R Kreuze in der Tabelle jene Eigenschaften an, die unter den angegebenen Bedingungen immer zutreffen. Bedingungen a < 0 und c > 0 a > 0, b = 0 und c > 0 c = 0 Eigenschaften Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung. Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung. Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung. Die unten abgebildeten Graphen quadratischer Funktionen können bei der Lösung der Aufgabe eine Orientierungshilfe sein. Quadratische Funktionen 2 1

85 Möglicher Lösungsweg Bedingungen a < 0 und c > 0 a > 0, b = 0 und c > 0 c = 0 Eigenschaften Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung. Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung. Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung. Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Polynomfunktion f (x) i n i a 0 i x mit n N Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Einfluss von Parametern Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Typische Verläufe von quadratischen Funktionen in Abhängigkeit von den Parametern a, b und c sollen erarbeitet werden. Die vorliegende Aufgabe ist daher als Unterrichtsbeispiel in unterschiedlichen Formen zum Erarbeiten bzw. Vertiefen neuer Inhalte vorstellbar. Im Zusammenhang mit der Anzahl der Nullstellen kann auch eine Verbindung zur Lösungsformel für quadratische Gleichungen hergestellt werden. Quadratische Funktionen 2 2

86 QUADRATISCHE FUNKTIONEN 3 ab Ende der 9. Schulstufe Die Graphen f 1, f 2, f 3 quadratischer 2 Funktionen der Form f(x) ax bx c sind Parabeln (siehe Abbildung). Ordne den Aussagen in der Tabelle die richtigen Begründungen und die entsprechenden Graphen zu. Aussage Graph Begründung Wenn a kleiner 0 ist, dann ist der Scheitelpunkt der Parabel ein Hochpunkt. b = 0 bedeutet, dass der Funktionsgraph symmetrisch zur y-achse verläuft. c = 0 bedeutet, dass der Funktionsgraph durch den Koordinatenursprung verläuft. Es gilt: f(x) = f(-x). Die Funktionswerte werden für wachsende x links und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner. Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden. Es gilt: f(x) = f(-x). Die Funktionswerte werden für wachsende x links und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner. Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden. Es gilt: f(x) = f(-x). Die Funktionswerte werden für wachsende x links und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner. Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Quadratische Funktionen 3 1

87 Möglicher Lösungsweg Aussage Graph Begründung Wenn a kleiner 0 ist, dann ist der Scheitelpunkt der Parabel ein Hochpunkt. b = 0 bedeutet, dass der Funktionsgraph symmetrisch zur y-achse verläuft. c = 0 bedeutet, dass der Funktionsgraph durch den Koordinatenursprung verläuft. f 3 f 1 f 2 Es gilt: f(x) = f(-x). Die Funktionswerte werden für wachsende x links und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner. Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden. Es gilt: f(x) = f(-x). Die Funktionswerte werden für wachsende x links und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner. Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden. Es gilt: f(x) = f(-x). Die Funktionswerte werden für wachsende x links und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner. Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden. Quadratische Funktionen 3 2

88 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Polynomfunktion n f(x) a i x i0 i mit n N Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H4 zutreffende und unzutreffende mathematische Argumentationen bzw. Begründungen erkennen; begründen, warum eine Argumentation oder Begründung (un-)zutreffend ist Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Einfluss von Parametern Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Nach dem Kennenlernen typischer Verläufe von quadratischen Funktionen in Abhängigkeit von den Parametern a, b und c sollen für einige Fälle die entsprechenden Begründungen erarbeitet werden. Die vorliegende Aufgabe ist daher als Beispiel für eine schülerzentrierte Unterrichtsform gedacht. Quadratische Funktionen 3 3

89 RECHNEN MIT VEKTOREN 1 ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben sind die Vektoren r, s und t. Kreuze an, welche Aussagen zutreffend bzw. nicht zutreffend sind. zutreffend nicht zutreffend t s r 0 t s r t s r t r s t s r Möglicher Lösungsweg zutreffend nicht zutreffend t s r 0 t s r t s r t r s t s r keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Rechnen mit Vektoren 1 1

90 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Diese Aufgabe erfordert das Herstellen einer Verbindung zwischen Graphik und Gleichung. Zumindest einmal muss der Zusammenhang geometrisch richtig erkannt werden. Für die weitere Vorgangsweise gibt es zwei verschiedenen Möglichkeiten: 1) durch geometrisches Lösen mithilfe der Grafik. 2) durch Umformungen einer als richtig erkannten Gleichung (z.b. der ersten). Im Unterricht sollte auf beide Lösungsmöglichkeiten eingegangen werden. Die Aufgabe kann sowohl als Unterrichtsaufgabe wie auch als Testaufgabe verwendet werden. Rechnen mit Vektoren 1 2

91 RECHNEN MIT VEKTOREN 2 ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben sind die Vektoren r, s und t. Kreuze an, welche Aussagen zutreffend bzw. nicht zutreffend sind. Erläutere den Unterschied zwischen den beiden Darstellungen. zutreffend nicht zutreffend t s r 0 t s r 0 Möglicher Lösungsweg zutreffend nicht zutreffend t s r 0 t s r 0 Das Ergebnis einer Vektoraddition ist ein Vektor und keine Zahl. Daher ist die richtige Lösung der Nullvektor und nicht die Zahl Null. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Rechnen mit Vektoren 2 1

92 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die Aufgabe soll im Unterricht eingesetzt werden um den Schülerinnen und Schülern den Unterschied zwischen Nullvektor und der Zahl Null bewusst zu machen. Rechnen mit Vektoren 2 2

93 SCHNITTPUNKTE VON GRAPHEN ab Ende der 9. Schulstufe In der Abbildung sind die Graphen zweier Funktionen mit den Gleichungen a a f 1 (x), a 0 und f2(x), a 0 dargestellt. 2 x x Kreuze bitte die richtige Aussage an und begründe deine Entscheidung. Der Schnittpunkt S zweier solcher Funktionsgraphen ist immer: a) S(1 1) b) S(a 1) c) S(1 a) d) S(a a) Möglicher Lösungsweg a) S(1 1) b) S(a 1) c) S(1 a) d) S(a a) a x a a x a a x a 0 a (x 1) 0 x 1 2 x Für x = 1 gilt f1 2 (x) f (x) a. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Schnittpunkte von Graphen 1

94 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Potenzfunktionen mit z 2 f(x ) a x b, z Z sowie f(x ) a x b Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können 1 Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die vorliegende Aufgabe ist als Unterrichtsbeispiel (z. B. in Form einer Partnerarbeit) zur Erarbeitung neuer Inhalte aber auch als Diagnoseinstrument vorstellbar. Die durch die Grafik bedingte Irreführung zu den Lösungsvarianten S(1 1) oder S(a a) ist bei dieser Aufgabe beabsichtigt. Im Unterricht kann dabei auf die zwei Möglichkeiten Spezialfall und unterschiedliche Achsenskalierung eingegangen werden. Schnittpunkte von Graphen 2

95 SCHULWEG 1 ab Ende der 9. Schulstufe Tanja erzählt von Ihrem Schulweg am letzten Mittwoch: Zuerst bin ich langsam von Zuhause weggegangen und habe dann bemerkt, dass ich zu spät zur Busstation kommen werde. Dann bin ich etwas schneller gegangen und habe sogar noch auf den Bus warten müssen. Mit dem Bus bin ich etwas mehr als 10 min gefahren, auf den letzten Metern zur Schule habe ich mit meinen Freundinnen geredet. a) Die nebenstehende graphische Darstellung veranschaulicht die Geschichte von Tanja; die zurückgelegte Strecke s (in m) wird dabei in Abhängigkeit von der Zeit t (in min) dargestellt. Welcher Abschnitt des Schulwegs von Tanja entspricht welchen Teilen des Funktionsgraphen? Ordne eindeutig - mit möglichst genauen Grenzen zu. b) Wie lange hat Tanja auf den Bus gewartet? c) Wie lange ist sie mit dem Bus gefahren und welche Strecke hat sie mit dem Bus zurückgelegt? d) Madeleine sagt zu Tanja: Von der Bushaltestelle bis zur Schule seid ihr schon sehr langsam gegangen. Wie kommt Madeleine zu der Aussage? e) Beate sagt: Der Bus hat während deiner Fahrt bei keiner weiteren Haltestelle angehalten. Wie könnte Beate ihre Aussage begründen? Wie könnte sich die Grafik ändern, wenn nach 5 Minuten Fahrt eine Haltstelle angefahren wurde? f) Elli behauptet, dass sie sogar die Fahrgeschwindigkeit des Busses annähernd bestimmen kann. Wie könnte sie vorgegangen sein und zu welchem Ergebnis kommt sie? keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Schulweg 1 1

96 Möglicher Lösungsweg a) Zuerst bin ich langsam von zu Hause weggegangen - das sind die ersten 10 Minuten. Dann habe ich bemerkt, dass ich zu spät zur Busstation kommen werde und bin ich etwas schneller gegangen - von der 10 Minute an bis zur 25 Minute. Dann habe ich sogar noch auf den Bus warten müssen - von der 25 Minute bis zur 30 Minute. Mit dem Bus bin ich etwas mehr als 10 Minuten gefahren - genauer: von der 30 Minute bis zur 43 Minute. Auf den letzten Metern zur Schule habe ich mit meinen Freundinnen geredet von der 43 Minute bis zur 49 Minute. b) 5 Minuten c) Fahrzeit: 13 min; zurückgelegte Strecke: 4750 m 1400 m = 3350 m d) In 6 Minuten wurden nur 150 m zurückgelegt. e) In dem Abschnitt gibt es keinen Knick (Geschwindigkeit konstant) oder eine waagrechte Unterbrechung. Wird nach 5 min Fahrt eine Haltestelle angefahren, so wird bei der Graphik nach der Minute 35 ein kurzer waagrechter Strich sein. f) Mit den Angaben von c) ergibt sich eine Geschwindigkeit von: v = 3350:13 m/min 258 m/min 15,5 km/h; v 15,5 km/h Schulweg 1 2

97 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten b) c) H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten d) H3 zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen e) f) H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) c) d) e) f) I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) c) d) e) f) K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Aufbauend auf den Erfahrungen aus dem Mathematik- und Physikunterricht der Sekundarstufe 1 können auch Themen wie Geschwindigkeit bei gleichförmigen Bewegungen als Steigung der linearen Funktion bearbeitet werden. Es ergibt sich auch die Möglichkeit auf Vereinfachungen (z.b. konstante Geschwindigkeit des Busses) bei graphischen Veranschaulichungen einzugehen und die Grenzen der Gültigkeit dieser Modellbildung aufzuzeigen. Das Beispiel eignet sich vor allem für eine Partnerarbeit und bietet Gelegenheit auf Vereinfachungen bei graphischen Veranschaulichungen einzugehen. Im Plenum sollte darauf geachtet werden, dass vor allem die Schüler/innen miteinander diskutieren und zu einer Einigung kommen. Die Lehrperson fungiert hauptsächlich als Moderator. Eine Erweiterung auf den eigenen Schulweg oder das Erfinden einer Geschichte zu einem vorgegebenen Zeit-Weg-Diagramm ist ebenfalls sehr gut für kooperative Lernformen wie Gruppen- und Partnerarbeit geeignet. Schulweg 1 3

98 SCHULWEG 2 ab Ende der 9. Schulstufe a) In der nebenstehenden Graphik wird der Schulweg von Ulrich veranschaulicht. Finde dazu eine passende Geschichte, wie Ulrich gegangen sein könnte. b) Gibt es zu der zweiten Graphik eine ähnliche Geschichte? Begründe deine Aussagen. Möglicher Lösungsweg a) Sinngemäß: Ulrich geht von zu Hause fort und kommt nach 10 Minuten und 600 m zurückgelegten Weges (Strecke AB) zu seinem Freund. Dieser ist aber noch nicht fertig und er muss 10 min warten (Strecke BC). Dann gehen sie gemeinsam die restlichen 1100 m in 15 min bis zur Schule. b) Sinngemäß: Der vertikale Abschnitt CD wird nicht möglich sein (keine Funktion). Der Abschnitt DE kann erklärt werden, etwa durch Zurückgehen Richtung Ausgangspunkt. (z.b.: In der Graphik wird die Entfernung von Ulrich zu seiner Wohnung dargestellt; die Busstation ist etwas weiter entfernt als die Schule). keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Schulweg 2 1

99 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Erweiterung: Partnerarbeit Schüler/in A und Schüler/in B zeichnen jeweils eine Graphik auf ein Blatt, die eine Geschichte (z. B. Wasserstandshöhe in der Badewanne, Schulweg, Autofahrt, ) beschreibt. Dann werden die Blätter ausgetauscht. A schreibt nun eine Geschichte, die zur Graphik von B passt; B schreibt eine Geschichte, die zur Grafik von A passt. Die Kontrolle erfolgt durch Austausch der Blätter mit einer benachbarten Zweiergruppe, die versuchen muss, die Richtigkeit der Geschichte zur vorgegebenen Grafik zu überprüfen. Schulweg 2 2

100 STROMPREISE ab Ende der 9. Schulstufe Ein Energieversorger bietet Kunden folgenden Tarif für Haushaltsstrom an. Information zu Ihrem Energieprodukt Preisübersicht Optima Float April 2010 Produkt Preiskomponente Einheit Betrag Optima Float Energieverbrauchspreis ct / kwh* 8,3399 Preise inkl. 20 % USt. * in Cent pro verbrauchter Kilowattstunde Grundpreis Euro/Monat 3,00 a) Familie Kraner verbrauchte im Monat September1.020 kwh. Wie viel hätte sie mit diesem Tarif zu bezahlen? b) Stelle eine Formel zur Berechnung des monatlichen Energiegesamtpreises (Energieverbrauchpreis plus Grundpreis) auf und erkläre die von dir verwendeten Variablen. c) Besteht zwischen dem Verbrauch an kwh und dem monatlichen Energiegesamtpreis ein linearer Zusammenhang? Begründe deine Antwort. d) Besteht zwischen dem Verbrauch an kwh und dem Energiegesamtpreis (jeweils für ein Monat gerechnet) ein direktes Verhältnis? Begründe deine Antwort. e) Besteht zwischen dem Verbrauch an kwh und dem Preis für diese kwh (exklusive Grundpreis) ein direktes Verhältnis? Begründe deine Antwort. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Strompreise 1

101 a) , ,867 Familie Kraner bezahlt 88,87. Möglicher Lösungsweg b) P(x) 3 x 0, x. verbrauchte kwh, P(x). Preis in c) Ja, weil sich eine Funktionsgleichung der Form y k x d angeben lässt, wobei k 0, und d 3 ist. d) Nein, weil doppelter Verbrauch bedeutet nicht doppelter Energiegesamtpreis. e) Ja. Wird vom monatlich zu entrichtenden Grundpreis abgesehen, gilt: doppelter Verbrauch ergibt einen doppelt so hohen Energieverbrauchpreis. Strompreise 2

102 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen b) H1 ein für die Problemstellung geeignetes mathematisches Modell verwenden oder entwickeln c) d) e) H4 mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder Interpretation sprechen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) c) d) e) I2 charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenzund Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) c) d) e) K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Der Text stammt aus einem tatsächlich existierenden Schreiben der EVN und wurde so übernommen (einschließlich der Tabelle mit Angaben in ct und ). Die Aufgabe soll durch geeignete Fragestellungen den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit geben, ihre unterschiedlichen mathematischen Kompetenzen zu zeigen. Die Aufgabe ist eher für den Unterricht geeignet. Als Arbeitsweise wären auch Partner- oder Gruppenarbeit empfehlenswert. Strompreise 3

103 TEMPERATURSKALEN 1 ab Ende der 9. Schulstufe Temperaturen werden bei uns in C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist die Messung in F (Fahrenheit) üblich. Die Gerade f stellt den Zusammenhang zwischen C und F dar. Kreuze die richtigen Aussagen an: 160 C entsprechen auch 160 F. 160 C entsprechen doppelt so vielen F. f(x 2 ) f(x 1) Der Anstieg der Geraden ist k. x2 x x2 x1 5 Der Anstieg der Geraden ist k. f(x 2 ) f(x 1) 9 Eine Zunahme um 1 F bedeutet eine Zunahme um 1,8 C. Eine Zunahme um 1 C bedeutet eine Zunahme um 1,8 F. Eine Abnahme um 1 F bedeutet eine Abnahme um 5 C. 9 Temperaturskalen 1 1

104 Möglicher Lösungsweg 160 C entsprechen auch 160 F. 160 C entsprechen doppelt so vielen F. f(x 2 ) f(x 1) Der Anstieg der Geraden ist k. x2 x x2 x1 5 Der Anstieg der Geraden ist k. f(x 2 ) f(x 1) 9 Eine Zunahme um 1 F bedeutet eine Zunahme um 1,8 C. Eine Zunahme um 1 C bedeutet eine Zunahme um 1,8 F. Eine Abnahme um 1 F bedeutet eine Abnahme um 5 C. 9 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: f(x2 ) f(x1 ) f(x 1) f(x) k ; k f '(x) x x 2 1 Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H2 mit und in Tabellen oder Grafiken operieren Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Mit Hilfe dieser Aufgabe soll der Begriff des Anstiegs einer Geraden und dessen Interpretation gründlich erarbeitet werden, wobei auch die Kenntnis des Differenzenquotienten wesentlich ist. Gefordert wird auch die Kompetenz mit unterschiedlichen Achsenskalierungen zu arbeiten. Wegen der letzten Aussage (Umkehrfunktion) stellt das Beispiel in dieser Form eine Erweiterung dar. Temperaturskalen 1 2

105 TEMPERATURSKALEN 2 ab Ende der 9. Schulstufe Temperaturen werden bei uns in C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist die Messung in F (Fahrenheit) üblich. Eine Zunahme um 1 C bedeutet eine Zunahme um 5 9 F. Eine Temperatur von 50 C entspricht einer Temperatur von 122 F. Gib den entsprechenden Funktionsterm an, wenn x die Temperatur in C und f(x) die Temperatur in F sein soll. f(x) 9 k 5 k x d d d 32 5 f(x) 9 x 32 5 Möglicher Lösungsweg keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Temperaturskalen 2 1

106 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x ) k x d Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H1 alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.b. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die Funktionsgleichung f(x) = kx + d und die Bedeutung der Parameter müssen zur Lösung des vorliegenden Beispiels bereits bekannt sein. Unter dieser Voraussetzung kann die Aufgabe als Unterrichtsbeispiel zur Vertiefung geeignet für einen schülerzentrierten Unterricht aber auch als Diagnoseinstrument herangezogen werden. Ergänzend könnte eine grafische Darstellung verlangt werden. Temperaturskalen 2 2

107 TEMPERATURSKALEN 3 ab Ende der 9. Schulstufe Temperaturen werden bei uns in C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist die Messung in F (Fahrenheit) üblich. Es besteht der folgende Zusammenhang: 9 f(x) x 32 (x... Temperatur in C, f(x)... Temperatur in F) 5 Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Temperatur in C und jene in F sind zueinander direkt proportional, da gilt: Je mehr C, desto mehr F. direkt proportional, da eine Zunahme um 1 C immer eine Erwärmung um gleich viele F bedeutet. indirekt proportional, da es beispielsweise bei 320 F genau halb so viele C hat. nicht proportional, da eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele C weder bedeutet, dass die Temperatur auf dreimal so viele F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel absinkt. nicht proportional, da der entsprechende Funktionsterm die Form f(x) k x d mit d 0 hat. Möglicher Lösungsweg Die Temperatur in C und jene in F sind zueinander direkt proportional, da gilt: Je mehr C, desto mehr F. direkt proportional, da eine Zunahme um 1 C immer eine Erwärmung um gleich viele F bedeutet. indirekt proportional, da es beispielsweise bei 320 F genau halb so viele C hat. nicht proportional, da eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele C weder bedeutet, dass die Temperatur auf dreimal so viele F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel absinkt. nicht proportional, da der entsprechende Funktionsterm die Form f(x) k x d mit d 0 hat. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Temperaturskalen 3 1

108 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f(x) k x d Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x ) k x beschreiben können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I2 charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenz- und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren Kommentar Dieses Beispiel ist als Diskussionsgrundlage für den Unterricht gedacht. Der Begriff der direkten Proportionalität soll damit verständlich gemacht und vor allem der weit verbreitete Irrtum, direkte Proportionalität ist gleich bedeutend mit je mehr, desto mehr ausgeräumt werden. Temperaturskalen 3 2

109 TEMPERATURVERLAUF ab Ende der 9. Schulstufe In untenstehender Graphik wird der Temperaturverlauf (T in C) eines chemischen Experiments innerhalb der ersten 8 Minuten annähernd wiedergegeben. In der Aufgabenstellung stehen t 1 und t 2 für zwei beliebige Zeitpunkte. T a) Was wird durch T(t 1 ) bestimmt? b) Bestimme T(1), T(3,5), T(7,5). c) Erstelle eine sinnvolle Tabelle (siehe Vorlage) mit einigen Werten und mit verbalen Kommentaren so, dass der Temperaturverlauf schnell aus der Tabelle skizziert werden kann. t T Kommentar t d) Erkläre in Worten, was durch T(3,5) T(1) bzw. allgemein T(t 2 ) T(t 1 ) ausgedrückt wird. e) In welchem Intervall von einer Minute könnte die Aussage Jetzt ändert sich die Temperatur aber nicht sehr stark bzw. Jetzt ändert sich die Temperatur aber stark. gelten? Begründe deine Antworten. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Temperaturverlauf 1

110 Möglicher Lösungsweg a) T(t 1 ) gibt die Temperatur zu dem Zeitpunkt t 1 an. b) Näherungswerte: T(1) = 30, T(3,5) 25,8, T(7,5) 25,5 c) t T Kommentar 0 26 Startpunkt 1,5 30,4 Hochpunkt (oder sinngemäß) 3,5 25,8 Wendepunkt (oder singemäß) 5,8 20 Tiefpunkt (oder sinngemäß) 8 30 Endpunkt d) allgemein: T(t 2 ) T(t 1 ) gibt die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten t 2 und t 1 wieder konkret: T(3,5) T(1) gibt die Temperaturdifferenz zwischen den Zeitpunkten t 3.5 und t 1 wieder; sie beträgt - 4,2 e) Keine starke Änderung der Temperatur zwischen der 1. und 2. Minute, hier beträgt sie immer um die 30, bzw. zwischen den Minuten 5,5 und 6,5, hier sind es immer um die 20 ; eher starke Änderungen in der ersten Minute, in den Minuten 2,5 bis 6 und in der letzten Minute. Temperaturverlauf 2

111 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 2. Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) b) c) d) e) H3 H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) c) d) e) I2 wichtige Funktionseigenschaften (z.b. Nullstelle, Monotonie, Extremwert, Wendepunkt, Periodizität, Symmetrie) Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten b) c) K2 Herstellen von Verbindungen d) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten e) K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Um Lösungen der Schüler/innen beurteilen zu können, sollen die Werte auch von der Lehrperson abgelesen werden. Zusätzlich wird die verwendete Funktion angegeben: 1 f(x) (x 1) (x 2) (x 8) Der Wendepunkt wird nicht unbedingt erwartet, die Fragestellung bei e) legt eine Diskussion aber nahe. Die Aufgabe eignet sich vor allem für eine Partnerarbeit. Durch den Austausch von Gedanken soll ein intuitiver Zugang zu der Interpretation von Funktionsgraphen ermöglicht werden. Die Diskussion im Plenum über verschiedene Aussagen bietet für die Lehrperson die Gelegenheit, auf Differenzen (absolute und relative) einzugehen. Temperaturverlauf 3

112 VEKTOREN IM DREIECK ab Ende der 9. Schulstufe Ein Dreieck ABC ist rechtwinklig mit der Hypotenuse AB. Bewerte die folgenden Aussagen und kreuze entsprechend an. Aussage ist immer richtig kann richtig sein stimmt sicher nicht AB AC AB BC AC AC BC 0 AB AC BC AB BC AC BC Möglicher Lösungsweg Aussage ist immer richtig kann richtig sein stimmt sicher nicht AB AC AB BC AC AC BC 0 AB AC BC AB BC AC BC keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Vektoren im Dreieck 1

113 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Vektoren Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K2 Herstellen von Verbindungen Kommentar Die Aufgabe kann im Unterricht zum Wiederholen und Festigen der verschiedenen Begriffe der Vektorrechnung wie Länge von Vektoren, Gleichheit von Vektoren, Skalarprodukt bzw. als Diagnoseinstrument verwendet werden. Durch Ergänzen einer entsprechenden Skizze kann man das Anforderungsniveau verändern und die Aufgabe somit auch für die Differenzierung im Unterricht einsetzen. Vektoren im Dreieck 2

114 WINKELFUNKTIONEN IM EINHEITSKREIS ab Ende der 9. Schulstufe In der folgenden Abbildung sind vier Winkelfunktionswerte am Einheitskreis (farbig) dargestellt. a) Gib zu jedem dargestellten Winkelfunktionswert an, um welche Winkelfunktion es sich dabei handelt und ob der darstellte Funktionswert positiv oder negativ ist. b) Zeichne zu jedem Winkelfunktionswert alle Winkel im Einheitskreis ein, die den gleichen Winkelfunktionswert besitzen. Wie viele solche Winkel gibt es jeweils? keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Winkelfunktionen im Einheitskreis 1

115 Möglicher Lösungsweg a) I) sin( ) 0 II) sin( ) 0 III) cos( ) 0 IV) tan( ) 0 b) Es gibt mit Ausnahme von Sonderfällen wie beispielsweise bei I) dargestellt jeweils zwei Winkel, die im Einheitskreis den gleichen Winkelfunktionswert besitzen. Winkelfunktionen im Einheitskreis 2

116 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Trigonometrie Definitionen von sin, cos für Winkel größer als 90 kennen und einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Winkelmaße; sin α, cos α, tan α; Sinus- und Cosinussatz Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die Aufgabenstellung ist für alle möglichen Winkelfunktionswerte (egal ob mit positiven oder negativen Vorzeichen) adaptierbar. Sie eignet sich auch bei geeigneter Ausgangskonstruktion mit z.b. GeoGebra für den computerunterstützten Unterricht, da dann die farbigen Winkelfunktionswerte in der Aufgabenstellung sehr leicht verändert und ihre Beträge angezeigt werden können. So können auch Wertebereiche der einzelnen Winkelfunktionen sowie Vorzeichenregeln in den vier Quadranten erarbeitet werden. Die in der Aufgabenstellung IV) geforderte Tangensfunktion stellt eine Erweiterung des Grundkompetenzmodells dar. Winkelfunktionen im Einheitskreis 3

117 WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKLIGEN DREIECK 1 ab Ende der 9. Schulstufe In der folgenden Abbildung sind vier rechtwinklige Dreiecke dargestellt. Gib in jedem Dreieck für den bezeichneten spitzen Winkel an, welche Winkelfunktion durch das angegebene Seitenverhältnis dargestellt wird. c1... e a) Dreieck 1: α b) Dreieck 2: β... c) Dreieck 3: γ... d) Dreieck 4: δ b u j k h... g 2 3 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 1_schwarz-weiß 1

118 Möglicher Lösungsweg a) cos α b) tan β c) sin γ d) sin δ Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Trigonometrie Definitionen von sin, cos, tan im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Winkelmaße; sin α, cos α, tan α; Sinus- und Cosinussatz Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Diese Aufgabe zielt auf die Festigung der Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck. Vorausgesetzt wird natürlich die Kenntnis dieser Definitionen. Didaktisch ist an einen Einsatz kurz nach der Einführung dieser Definitionen gedacht. Durch die Verwendung unüblicher Seitenbezeichnungen in rechtwinkligen Dreiecken werden die sonst üblichen Trainingseffekte vermieden und somit wirklich die oben angegebene Grundkompetenz trainiert. Die Schüler/innen festigen ihr Wissen, indem sie die Definition der Winkelfunktionen auf unterschiedliche Situationen übertragen. Zahlenangaben und Berechnungen sind dafür völlig unerheblich, wenngleich diese in Folgeaufgaben natürlich methodisch sinnvoll eingesetzt werden könnten. Dieses Beispiel ist leicht modifizier- bzw. erweiterbar. Beispielsweise könnten Schüler/innen in jedem Dreieck den Sinus, den Cosinus und den Tangens des jeweils angegebenen Winkel durch diverse vorzugebende Farbcodes kennzeichnen oder sich gegenseitig in Gruppenarbeit oder Wettbewerbsituationen ähnliche Aufgabenstellungen mit unorthodoxen Seitenbezeichnungen und Darstellungen von rechtwinkeligen Dreiecken formulieren. Die Aufgabe liegt in zwei Varianten, schwarz-weiß und farbig vor. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 1_schwarz-weiß 2

119 WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKLIGEN DREIECK 2 ab Ende der 9. Schulstufe In der folgenden Abbildung sind vier rechtwinklige Dreiecke dargestellt. Gib in jedem Dreieck für den bezeichneten spitzen Winkel an, welche Winkelfunktion durch das Verhältnis der roten zur blauen Seite dargestellt wird. a) Dreieck 1:... α b) Dreieck 2:... c) Dreieck 3:... γ d) Dreieck 4: δ... Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 2_farbig 1

120 Möglicher Lösungsweg a) cos α b) tan β c) sin γ d) sin δ Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Trigonometrie Definitionen von sin, cos, tan im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Winkelmaße; sin α, cos α, tan α; Sinus- und Cosinussatz Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Diese Aufgabe zielt auf die Festigung der Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck. Vorausgesetzt wird die Kenntnis dieser Definitionen. Didaktisch ist an einen Einsatz kurz nach der Einführung dieser Definitionen gedacht. Durch die Verwendung gleicher Farbcodes für den Zähler und Nenner von Seitenverhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken werden die sonst üblichen Seitenbezeichnungen vermieden und somit wirklich die oben angegebene Grundkompetenz trainiert. Die Schüler/innen festigen ihr Wissen, indem sie die Definition der Winkelfunktionen auf unterschiedliche Situationen übertragen. Zahlenangaben und Berechnungen sind dafür völlig unerheblich, wenngleich diese in Folgeaufgaben natürlich methodisch sinnvoll eingesetzt werden könnten. Dieses Beispiel ist leicht modifizier- bzw. erweiterbar. Beispielsweise könnten Schüler/innen in jedem Dreieck den Sinus, den Cosinus und den Tangens des jeweils angegebenen Winkel durch diverse vorzugebende Farbcodes kennzeichnen oder sich gegenseitig in Gruppenarbeit oder Wettbewerbsituationen ähnliche Aufgabenstellungen mit Farbcodes formulieren. Die Aufgabe liegt in zwei Varianten, schwarz-weiß und farbig vor. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 2_farbig 2

121 WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKLIGEN DREIECK 3 ab Ende der 9. Schulstufe Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit nebenstehender Skizze. a) Zeige, dass dieses Dreieck mit diesen Angaben möglich ist. b) Welche der folgenden Aussagen sind im oben abgebildeten rechtwinkligen Dreieck richtig beziehungsweise falsch? Kreuze in der Tabelle richtig bzw. falsch an. Aussage richtig falsch cos( sin( tan( 5 ) 13 5 ) 13 5 ) cos( ) 12 5 sin( ) tan( ) 5 sin( ) tan( ) cos( ) keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 3 1

122 Möglicher Lösungsweg a) Das Dreieck kann so existieren, da der Pythagoreische Lehrsatz erfüllt ist: b) Beziehung richtig falsch cos( sin( tan( 5 ) 13 5 ) 13 5 ) cos( ) 12 5 sin( ) tan( ) 5 sin( ) tan( ) cos( ) Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 3 2

123 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Trigonometrie Definitionen von sin, cos, tan im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) H4 mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder Interpretation sprechen b) H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) I1 Zahlenmengen: Darstellungsformen, Grundgesetze und Rechenregeln b) I1 Winkelmaße; sin α, cos α, tan α; Sinus- und Cosinussatz Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar In der Beschreibung der Grundkompetenzen werden drei Aspekte in Zusammenhang mit Trigonometrie genannt. Die Teilaufgabe a) versucht einerseits nachhaltiges Lernen zu fördern (Pythagoreischer Lehrsatz) andererseits kann man das Beispiel auch umständlicher mit Hilfe der Trigonometrie lösen, indem man die Summe der Winkel α + γ berechnet. Auch mit Hilfe des Einsatzes von dynamischer Geometriesoftware kann man die Aufgabe lösen. Die Teilaufgabe b) versucht speziell die Grundkompetenz Definitionen von sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkliger Dreiecke einsetzen können anzusprechen. Die Schüler/innen können ausschließlich durch Kenntnis der Definitionen sin(α), cos(α), tan(α) im rechtwinkligen Dreieck die richtige Antwort ankreuzen. Die Teilaufgabe b) kann zum nachhaltigen Lernen beitragen und erscheint daher als Unterrichtsaufgabe und für Testsituationen besonders gut geeignet. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 3 3

124 WINKELFUNKTIONSWERTE ab Ende der 9. Schulstufe In der folgenden Abbildung sind drei rechtwinklige Dreiecke dargestellt. In jedem dieser rechtwinkligen Dreiecke gibt das Verhältnis a n : b n den Tangens des jeweiligen Winkels α 1, α 2, oder α 3 an. Ordne in jedem Dreieck den Tangens der Winkel α 1, α 2, und α 3 der Größe nach. Was fällt dir dabei auf? Wie kannst du das begründen? keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Winkelfunktionswerte_schwarz-weiß 1

125 Möglicher Lösungsweg Dieses Beispiel bietet vielfältige Lösungsmöglichkeiten im Sinne unterschiedlicher Argumentationslinien an. Hier ist ein Lösungsweg angegeben, der für Schüler/nnen, die an Berechnungen gewöhnt sind, naheliegend sein könnte. Weitere Lösungsansätze sind im Kommentar zu finden. Durch den Satz des Pythagoras kann die fehlende (blaue) Seite b n der einzelnen Dreiecke leicht berechnet werden: b ; b 8; b 12 und somit tan α tanα tanα Die Winkelfunktionswerte sind gleich, weil es sich bei den drei Dreiecken offensichtlich um ähnliche Dreiecke handelt (Zwei Dreiecke sind unter anderem ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen). In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse von zwei beliebigen, jeweils parallelen Seiten gleich. Aus diesem Grund müssen auch die Winkelfunktionswerte für jede beliebige Winkelfunktion gleich sein. Darauf basiert die Eindeutigkeit der Definition der Winkelfunktionen. 3 4 Winkelfunktionswerte_schwarz-weiß 2

126 Klassifikation Bezug zu Grundkompetenzen des srp-konzepts 1. Algebra und Geometrie Trigonometrie Definitionen von sin, cos für Winkel größer als 90 kennen und einsetzen können Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension H4 mathematische Vermutungen formulieren und begründen (aufgrund deduktiven, induktiven oder analogen Schließens) Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension I1 Winkelmaße; sin α, cos α, tan α; Sinus- und Cosinussatz Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten Kommentar Die Aufgabenstellung zielt auf die Eindeutigkeit der Definition der Winkelfunktionen (hier am Beispiel des Tangens). Sie ist leicht in Analogie auf die anderen Winkelfunktionen übertragbar. Neben der oben dargestellten Berechnung der einzelnen Tangenswerte bieten sich bei a) auch weitere Lösungswege an, die ohne explizite Berechnung auskommen. Beispielsweise könnten die Schüler/innen damit argumentieren, dass in den explizit angegebenen Seitenlängen jeweils der Sinus der einzelnen Winkel dargestellt wird. Aufgrund der offensichtlichen Proportionalität der Seitenlängen müssen die Sinuswerte identisch sein. Dies bedeutet wiederum, dass die Winkel 1, 2 und 3 identisch sein müssen (es handelt sich ja offensichtlich um spitze Winkel). Aus diesem Grund müssen es auch die Tangenswerte dieser Winkel sein. Wenn die Schüler/innen erkennen wie im ausgeführten zweiten Lösungsteil dargestellt dass die vorliegenden Dreiecke ähnlich zueinander sein müssen, folgt daraus sofort, dass die Winkel 1, 2 und 3 identisch sein müssen. Und somit sind wiederum natürlich auch die Tangenswerte der Winkel gleich. Neben den hier angedeuteten bzw. gezeigten Lösungswegen gibt es sicher noch viele weitere korrekte Argumentationen, mit denen die Erkenntnis, dass die Winkelfunktionen eindeutig definiert sind, bei den Schülerinnen und Schülern gefestigt werden. Dieses Beispiel lädt die Schüler/innen also zur Diskussion über die Argumentation auf Basis der Definition der Winkelfunktionen ein. Es eignet sich daher zum Einsatz in einer frühen Phase nach dem Kennenlernen der Definition der Winkelfunktionen. Die Aufgabe liegt in zwei Varianten, schwarz-weiß und farbig vor. Winkelfunktionswerte_schwarz-weiß 3

127 WINKELFUNKTIONSWERTE_FARBE ab Ende der 9. Schulstufe In der folgenden Abbildung sind drei rechtwinklige Dreiecke dargestellt. In jedem dieser rechtwinkligen Dreiecke gibt das Verhältnis der roten zur blauen Seite den Tangens des jeweiligen Winkels α 1, α 2, oder α 3 an. Ordne in jedem Dreieck den Tangens der Winkel α 1, α 2, und α 3 der Größe nach. Was fällt dir dabei auf? Wie kannst du das begründen? keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich Winkelfunktionswerte_Farbe 1

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