Vorlesung BWL IIa: Investition und Finanzierung

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1 Vorlesung BWL IIa: Investition und Finanzierung Priv.-Doz. Dr. Dr. Aurelio J. F. Vincenti Vertretungsprofessur BWL, Unternehmensfinanzierung Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Universität Kassel Wintersemester 2012/13 Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 1

2 Kapitel 01 Grundlagen: Konzept Vermittlung von (Grund)Kenntnissen der (Unternehmens)Finanzierung: Fremd- und Eigenkapital. Bewertung dieser Instrumente. Vermittlung von (Grund)Kenntnissen der Investitionsrechnung: Auf vollkommenen und unvollkommenen Märkten. Einbeziehung von Unsicherheit. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 2

3 Kapitel 01 Grundlagen: Ziel Gegenstand der Betrachtung privatwirtschaftliches Unternehmen: Erwerbswirtschaftliches Prinzip: Langfristiges Gewinnstreben. Wirtschaftstheorie: Nutzenmaximierung. I.d.R. Operationalisierung durch Gewinn- bzw. Vermögensmaximierung als monetäres Ziel. [Nichtmonetäre Ziel (Prestige, Macht, etc.) unberücksichtigt.] Problem der Maximierung unter Unsicherheit. Nebenziel Erhalt der Liquidität: Alle Zahlungsverpflichtungen jederzeit erfüllen zu können. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 3

4 Kapitel 01 Grundlagen: Güter- / Finanzströme im Unternehmen Arbeitsmärkte Arbeitsleistungen Lohn- und Gehaltszahlungen UNTERNEHMENS- FINANZIERUNG Produktionsmittel Zahlungen an die Lieferanten/Hersteller Bezug der Produktionsmittel Staat: Vorgaben und Rahmenbedingungen Unternehmen Finanz- und Kapitalmärkte Kredite Beteiligungen Börse Finanzierungsentscheidungen Investitionsentscheidungen Absatzmärkte Einnahmen (Umsatzerlöse) Dienstleistungen/Güter Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 4

5 Kapitel 01 Grundlagen: Begriffliches I In der (modernen) finanzwirtschaftlich orientierten BWL wird das Unternehmen anhand seiner Zahlungsströme (Ein- und Auszahlungen) analysiert. Cash Flows stehen im Vordergrund der Betrachtung: Stromgrößen sind stets zeitraumbezogen (Periode). [Gegensatz zu zeitpunktbezogenen Bestandsgrößen.] Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 5

6 Kapitel 01 Grundlagen: Unternehmen als System von Cash Flows Einzahlungen Auszahlungen Steuern Löhne Rohstoffe Waren etc. Betriebsmittel Unternehmen Bestand an Liquidität Erlöse aus Umsatz und Liquidation Ausschüttungen Tilgungen Zinsen Kredite etc. Einlagen Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 6

7 Kapitel 01 Grundlagen: Begriffliches II Investition: Auszahlung zur Beschaffung von Gütern (Sachgüter oder Rechte): I.d.R. auf eine längere Frist ausgerichtet. Mit einer oder mehreren zukünftigen (unsicheren) und erwartungsgemäß höheren Einzahlungen aus der Verwertung der beschafften Güter verbunden. Finanzierung: Beschaffung von Zahlungsmitteln als Gewährleistung der Verfügung über finanzielle Mittel durch: Generierung/Vorziehen (zusätzlicher) Einzahlungen. Vermeidung/Verschiebung von Auszahlungen. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 7

8 Kapitel 01 Grundlagen: Begriffliches III Ziel jeder Investitions- / Finanzierungsentscheidung: (Sichere oder unsichere, bedingte oder unbedingte) Einkommensströme über die Zeit zu verschieben und ein höheres Konsumniveau zu erreichen. Investitions- und Finanzierungsentscheidungen führen zur Umwandlung der Vermögensstruktur. Investitions- und Finanzierungsentscheidungen sind (i.d.r.) gemeinsam zu betrachten: Zwei Sichtweisen eines einzigen Prozesses: Investition Mittelverwendung Finanzierung Mittelherkunft. Jede Investition bedingt zugleich eine Finanzierung. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 8

9 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Aufgabe der Investitionsrechnung Die Sicherung der Ertragskraft (Gewinne) und damit des Bestands eines Unternehmens erfordert Investitionen. Aufgabe der Investitionsrechnung: Quantitative Abwägung (mathematisches Modell), inwieweit eine Investition vorteilhaft ist. Relativität der Vorteilhaftigkeit einer Investition: Vorteilhaftigkeit gegenüber der Unterlassungsalternative. Vorteilhaftigkeit gegenüber anderen Investitionen. Vergleich anhand einer geeigneten quantitativen (operationalisierten) Zahlungsgröße als Kriterium: Maximierung des (Total)Gewinns bzw. (Total)Vermögens! Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 9

10 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Formen der Investitionsrechnung Statische Investitionsrechnungsverfahren (Praktikerverfahren): Keine Berücksichtigung des Zeitfaktors bei den einzelnen Zahlungsströmen grundsätzlich für Vorteilhaftigkeitsanalysen ungeeignet! Dynamische Investitionsrechnungsverfahren: Berücksichtigung des Zeitfaktors bei den einzelnen Zahlungsströmen Methode der Wahl für eine entscheidungsorientierte BWL! Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 10

11 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Marktmodelle 1 1. Vollkommenheit des Kapitalmarktes: a) Merkmale vollkommener Märkte: Einheitlicher fester Marktzins i für Kapitalanlage und Kapitalaufnahme (Sollzins = Habenzins). Beliebige Verfügbarkeit von Kapital zum Zinssatz i (keine Anlage- und Kreditlimits). Keine Steuern, Transaktionskosten. Unvollkommene Märkte als Gegenteil: (Etwa unterschiedliche Soll- und Habenzinsen.) 2. Berücksichtigung von Unsicherheit: a) Zukunft wird als sicher und planbar vorausgesetzt. b) Zukunft ist unsicher (Cash Flows und/oder Zins). Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 11

12 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Marktmodelle 2 4 Grundkonzepte der Investitionsrechnung: Investitionsrechnung auf einem vollkommenen Markt unter Sicherheit (VMS) Investitionsrechnung auf einem unvollkommenen Markt unter Sicherheit (UMS) Investitionsrechnung auf einem vollkommenen Markt unter Unsicherheit Investitionsrechnung auf einem unvollkommenen Markt unter Unsicherheit (UMU) Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 12

13 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes I Zeitwert des Geldes (Zeitpräferenz des Geldes) als konstitutives Kennzeichen jeder dynamischen Investitionsrechnung: Grundidee: Annahme, dass ein Wirtschaftssubjekt Güter lieber in der Gegenwart als in der Zukunft konsumieren bzw. nutzen möchte sowie umgekehrt lieber in der Zukunft als in der Gegenwart bezahlen möchte. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 13

14 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes II Der Zins i ist folglich Entgelt für die befristete Überlassung von Kapital! (Ausdruck des Zeitwertes dieses Kapitals.) Um Zahlungsströme zu unterschiedlichen Zeitpunkten miteinander vergleichen zu können, müssen diese auf einen gemeinsamen Bezugspunkt (i.d.r. die Gegenwart) bezogen werden. Vorgehensweise: Zahlungsströme verschiedener Perioden werden durch Abzinsen (bzw. Aufzinsen) vergleichbar. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 14

15 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes III Zeitwert des Geldes Beispiel: Heute Zukunft t=0 t=1 t=2 Gegenwart In 1 Jahr In 2 Jahren 1000 <=> 1100 <=> 1210 bei einem Zins i (Jahres- bzw. Periodenzeitwert) von 10%. Jede dynamische Investitionsrechnung benötigt einen geeigneten Kalkulationszins i! Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 15

16 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes IV Zins- und Zinseszinsrechnung Zwei zentrale Prinzipien: Aufzinsung: 0 Abzinsung: t bzw. Allgemein: t 0 t mit t 0 t. t t. als Zinsfaktor. t Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 16

17 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Beispiel: Zeitwert des Geldes V c ; c t 1331; t 3; i 10% q 1 0,1 1,1. Aufzinsung: Gesucht wird das Endkapital t 3 [ ]. Abzinsung: Gesucht wird das Anfangskapital 0. 3 [ ] bzw. 3 [ ]. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 17

18 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes VI Beispiel (Fortsetzung): c ; c t 1331; t 3; i 10% q 1 0,1 1,1. Prinzip der Aufzinsung: Verfügt man heute über ein Kapital in Höhe von c 0 [ = 1000], so wird daraus durch Anlage zum Zinssatz i [ = 0,1] in einem Jahr ein Betrag von c 1 = c 0 q [ = ,1 = 1100]. Legt man diese Summe weiter an, resultiert am Ende des zweiten Jahres ein Guthaben von c 2 = c 1 q = c 0 q 2 [ = ,1 = ,21 = 1210]. Nach drei Jahren beträgt der Kontostand c 3 = c 2 q = c 0 q 3 [ = ,1 = ,331 = 1331] und nach t Jahren schließlich c 0 q t. Der Überschuss c 3 c 0 [331] entsteht aus zwei Effekten: Einfacher Zinseffekt (Verzinsung des Startkapitals): = 300. Zinseszinseffekt (Verzinsung der Zinsen): 31. Gesamteffekt: 331. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 18

19 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes VII Beispiel (Fortsetzung): c ; c t 1331; t 3; i 10% q 1 0,1 1,1. Ökonomische Interpretation der Aufzinsung: Die Aufzinsung ermittelt unter Einbeziehung von Zins und Zinseszins den zukünftigen Wert eines gegenwärtigen Geldbetrages. Ökonomische Interpretation der Abzinsung: Die Abzinsung ist das Gegenteil der Aufzinsung. Sie ermittelt unter Einbeziehung von Zins und Zinseszins den gegenwärtigen Wert eines zukünftigen Geldbetrages. Begriffliches: Zukünftiger Wert c t (Ende des Analysezeitraums): Endwert. Gegenwärtiger Wert c 0 (Anfang des Analysezeitraums): Barwert. Einzahlung: + Auszahlung: Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 19

20 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes VIII Beispiel (Fortsetzung): c ; c t 1331; t 3; i 10% q 1 0,1 1,1. Gesucht ist die Periodendauer : t,, Gesucht ist der Zins i: 3 Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 20

21 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes IX Auf- und Abzinsen bei unterschiedlichen Periodenzinsen i t : (Achtung: Wenn die Zinsen für Geldaufnahme und anlage in jeder Periode gleich sind, ist der Kapitalmarkt nach wie vor vollkommen!) Aufzinsung mit c t c t 1 1 i t : c 1 c 0 1 i 1. c 2 c 1 1 i 2 c 0 1 i 1 1 i 2. c 3 c 2 1 i 3 c 0 1 i 1 1 i 2 1 i 3. c t c 0 1 i 1 1 i 2 1 i t. Endwert nach t Perioden: c t c 0 1 i τ. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 21

22 Kapitel 02 Investitionstheorie 1: Zeitwert des Geldes X Auf- und Abzinsen bei unterschiedlichen Periodenzinsen i t : Abzinsen mit c t 1 c t 1 i t 1 : c 0 c t 1 i t 1 1 i t i 1 1. Barwert von c t : c 0 c 1 i τ. Beispiel: t 3; i 1 10%; i 2 30%; i 3 20%; c ; c t Abzinsen (Barwert): c ,2 1 1,3 1 1, Aufzinsen (Endwert): c ,1 1,3 1, Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 22

23 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage I Investition als Auszahlung zur Beschaffung von Gütern Verschiedene Typen von Investitionen: Investition in den betrieblichen Leistungsprozess, verbunden mit einer materiellen Gegenleistung (z.b. Kauf von Immobilien, Maschinen, Rohstoffen) Normale Sachinvestition. Investition in einen immateriellen (bilanzierbaren) Vermögensgegenstand (Intangible Asset): nicht-physischer Vermögenswert (z.b. Geschäftswert, Patent, Lizenz, Software). Investition in nicht greifbare und nicht bilanzierbare Vermögenswerte (z.b. Fortbildungsmaßnahme als Humankapitalinvestition). Finanzinvestitionen ohne Bezug zum eigentlichen güterwirtschaftlichen Prozess des Unternehmens (z.b. Aktien, Anleihen als Rechte auf künftige Zahlungen) an den Eigentümer. Typisch ist die Absicht, durch Auszahlung(en) künftige Einzahlungen zu generieren Kauf eines ganzen Unternehmens als Investition! Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 23

24 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage II Vollkommener Kapitalmarkt mit einheitlichem Zins i für Kreditaufnahme in beliebiger Höhe und Geldanlage in beliebiger Höhe: Fisher-Separation: Separation von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen auf einem vollkommenen Markt: Die wirtschaftliche Vorteilhaftigkeit einer Investition kann unabhängig von einer Finanzierungsentscheidung, d.h. für sich isoliert, mittels eines Investitionsrechenverfahrens beurteilt werden: Der extern durch i vorgegebene Zeitwert des Geldes bestimmt die Vorteilhaftigkeit eines Zahlungsstroms ganz allein. Konsumpräferenzen des Akteurs bestimmen nur den Zeitpunkt möglicher Ausschüttungen, jedoch nicht, welche Investitionen und Finanzierungen überhaupt vorteilhaft sind. Unvollkommener Kapitalmarkt als Gegensatz: Simultane Planung von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen erforderlich. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 24

25 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage III Konsumpräferenzen (eines rationalen Akteurs): Zeitliche Konkretisierung bzw. Operationalisierung des grundsätzlichen Ziels der Gewinnmaximierung für Eigentümer: Konsumierbar sind nur Ausschüttungen (Einkommen, Entnahme). Im Unternehmen gesammeltes (thesauriertes) Vermögen ist ebenfalls prinzipiell ausschüttbar, als Endvermögen bei Liquidierung. Die Konsumpräferenz bestimmt, wie der Eigner Geldausschüttungen zeitpunktbezogen bewertet 2 idealtypische Formen: Vermögensmaximierung: Gesucht ist der Investitions- und Finanzierungsplan, der gemäß der zeitabhängigen Konsumpräferenz eine maximale Geldausschüttung erlaubt (unter der Nebenbedingung eines fest vorgegebenen, regelmäßigen Einkommensstroms, der auch null sein kann). Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 25

26 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage IV Konsumpräferenzen (Fortsetzung): Vermögensmaximierung (Fortsetzung): Zwei Spezialfälle der Vermögensmaximierung: Endvermögens- oder Endwertmaximierung: Ausschüttungen (und Konsum) am Ende der Planungsperiode maximiert, d.h. zu allen übrigen Zeitpunkten erfolgen keine Ausschüttungen. Barwertmaximierung: Sofortiger Konsum maximal, später keine Ausschüttungen mehr geplant. Einkommensmaximierung: Gesucht ist der Investitions- und Finanzierungsplan, der gemäß der zeitabhängigen Konsumpräferenz die Breite eines Entnahmestroms mit gegebener Struktur maximiert (unter der Nebenbedingung fest vorgesehener Ausschüttungen zu einzelnen Zeitpunkten, vor allem im Endzeitpunkt). Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 26

27 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage V Beispiel für die Fisher-Separation: Vollkommener Kapitalmarkt mit t = 3; i = 10%. Vergleich verschiedener Investitionsprojekte A 1 bis A 4 (Auswahlentscheidung zwischen sich ausschließenden Projekten): c 0 c 1 c 2 c 3 A A A A Es gilt A 1 besser als A 2 (allgemeine zeitliche Dominanz): Cash Flows für A 1 in allen Perioden gleich oder besser als für A 2. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 27

28 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage VI Beispiel für die Fisher-Separation (Fortsetzung): Es gilt A 4 besser als A 3 (kumulative zeitliche Dominanz): Cash Flows für A 4 in allen Perioden gleich oder besser als für A 3, wenn Überschüsse vorhergehender Perioden im Rahmen einer unverzinsten Kassenhaltung zwischengelagert werden: c 0 c 1 c 2 c 3 A A A 4 mit zinsloser Kassenhaltung (aus 550 und 300) Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 28

29 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage VII Beispiel für die Fisher-Separation (Fortsetzung): Bei A 4 können auf einem vollkommenen Kapitalmarkt mit i = 10% jederzeit z.b. folgende Kapitalmarkttransaktionen durchgeführt werden: c 0 c 1 c 2 c 3 A A A 4 modifiziert ,5 (aus 550 und 1270,5) Kapitalanlage mit 10% Zins Es gilt daher A 4 besser als A 1 unabhängig von etwaigen Konsumpräferenzen des Akteurs. Kapitalanlage (1270,5) aufgelöst Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 29

30 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage VIII Beispiel für die Fisher-Separation (Fortsetzung): Bei A 1 können auf einem vollkommenen Kapitalmarkt mit i = 10% jederzeit z.b. folgende Kapitalmarkttransaktionen durchgeführt werden: c 0 c 1 c 2 c 3 A A A 1 modifiziert ,5 (aus 1800 und -1270,5) Kredit mit 10% Zins Kredit (-1270,5) zurückgezahlt Es gilt daher nach wie vor A 4 besser als A 1 unabhängig von etwaigen Konsumpräferenzen des Akteurs. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 30

31 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: VMS Grundlage IX Beispiel für die Fisher-Separation (Fortsetzung): Unvollkommener Kapitalmarkt (!) mit unverändert i = 10% Kreditzinsen, aber Zinsen für die Geldanlage nun bei i = 1%: c 0 c 1 c 2 c 3 A A A 4 modifiziert ,555 (aus 550 und 1116,555) Kapitalanlage mit 1% Zins , Kapitalanlage (1116,555) aufgelöst Es gilt nun A 1 besser als A 4, wenn das maximale Endvermögen wichtig ist, aber A 4 besser als A 1, wenn der Entnahmestrom von A 4 das Ziel ist. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 31

32 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung I Rentenbarwert (RB): Problemstellung: Bisher ist stets ein einzelner (zukünftiger) Zahlungsstrom auf seinen Barwert abgezinst worden. Häufig kommt es jedoch vor, dass man über mehrere Perioden hinweg in konstanter Höhe anfallende Zahlungen findet. Eine derartige Folge von gleichen Zahlungen c k wird als Rente bezeichnet. Hier sollen nur nachschüssige Renten (Zahlung am Periodenende) betrachtet werden. (Vorschüssige Renten, d.h. Zahlung am Periodenanfang, verhalten sich bei geringen Änderungen ähnlich). Bestimmung des Barwertes einer Rente (Rentenbarwert bzw. RB): Im Prinzip müssen lediglich die einzelnen Barwerte jeder Periode ermittelt und aufaddiert werden. Aufgrund der Zeitpräferenz des Geldes ist der Barwertbeitrag jeder einzelnen Rentenrate c k dabei um so kleiner, je weiter sie in der Zukunft liegt. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 32

33 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung II Rentenbarwert (RB): Formale Bestimmung: Eine aus T gleichen Raten bestehende Rente hat den Barwert: RB c k q 1 c k q 2... c k q T c k q 1 q 2... q T. RB c 1 i. Der mit c k zu multiplizierende Ausdruck besitzt den Namen Rentenbarwertfaktor RBF(i;T). RBF(i;T) hängt sowohl von dem in q enthaltenen Zinssatz i als auch von der Laufzeit T ab und lässt sich als geometrische Reihe durch eine kompakte Formel berechnen: ; mit i 0. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 33

34 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung III Rentenbarwert (Fortsetzung): Beispiel RB 1: RB c k RBF i; T c k. Berechnung von RB für eine nachschüssige Rente c k in Höhe von 2000 mit einem Zins von 7% und einer Laufzeit von 4 Jahren RBF(7%;4). Es gilt: RB c RBF i; T c k RB 2000 RBF 7%; ,, ,3872,.. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 34

35 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung IV Rentenbarwert (Fortsetzung): Beispiel RB 2: Berechnung von RB für eine nachschüssige Rente c k = 2000 mit einem Zins von 7% und einer Laufzeit von 4 Jahren. Allerdings soll diese Rente erst nach 2 Jahren Wartezeit, also beginnend für das 3. Jahr (und bis zum 6. Jahr) gezahlt werden. Es gilt: Eigentlich: RB ,07 1,07 1,07 1,07. RBF 7%; 6 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07. RBF 7%; 4 1,07 1,07 1,07 1,07 3,3872. RBF 7%; 2 1,07 1,07. Alternative A: RB 2000 RBF 7%; 4 1, ,4 1, Alternative B: RB 2000 RBF 7%; 6 RBF 7%; ,7665 1, , Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 35

36 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung V Rentenbarwert (Fortsetzung): Beispiel RB 3: Berechnung von RB für eine nachschüssige Rente c k = 2000 mit einer Laufzeit von 4 Jahren. Allerdings soll der Zins in den Perioden 1 und 2 je 7% betragen, in den Perioden 3 und 4 dagegen je 9%. Es gilt: Eigentlich: RB ,07 1,07 1,09 1,07 1,09 1,07. RB ,07 1, ,09 1,09 1,07. Wegen RBF 7%; 2 1,07 1,07 1,8080 und RBF 9%; 2 1,09 1,09 1,7591 folgt: RB 2000 RBF 7%; RBF 9%; 2 1, , ,7591 0, Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 36

37 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung VI Rentenbarwert (Fortsetzung): Beispiel RB 3: Graphische Darstellung: Heute Zukunft i=7% t=1 i=7% t=2 t=3 t=4 i=9% i=9% Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 37

38 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung VII Spezialfall Ewige Rente: Bei gegebenem Zins i und gegebener Rentenhöhe c k hängt der Rentenbarwert nur noch von der Rentendauer T ab. Anhand der allgemeinen Rentenbarwertformel erkennt man, dass q mit Zunahme von T kleiner bzw. mit Zunahme von T größer wird. Für T nähert sich q dem Wert 0. Für die ewige Rente gilt daher: 1 q lim RBF T; i lim i bzw.. Es gilt daher: Um den Barwert einer ewigen Rente zu bestimmen, muss die Rentenhöhe c k lediglich durch den Zins i (in Dezimalschreibweise) geteilt werden. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 38

39 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Rentenrechnung VIII Ewige Rente (Fortsetzung): Beispiel: Der Barwert einer ewigen Rente in Höhe von c k = 3000 beträgt bei einem Zins i = 4%: RB c, Rentenendwert (RE): Eine eng verwandte Größe ist der Rentenendwert. Finanzmathematisch kann er als der auf die Endperiode T aufgezinste Rentenbarwert gesehen werden. Entsprechend der allgemeinen Aufzinsungsformel c t c 0 1 i t c 0 q t gilt daher für RE: RE RB c k RBF i; T q c k mit dem Rentenendwertfaktor RBF i; T q. q c k. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 39

40 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Annuitätenrechnung I Bei der Rentenrechnung wird ein vorgegebener (zukünftiger) mehrperiodiger Zahlungsstrom aus konstanten Zahlungen pro Zeiteinheit in eine Einzelgröße (RB bzw. RE) übergeführt. Selbstverständlich lässt sich auch der umgekehrte Weg gehen: Ein vorgegebener gegenwärtiger Einzelbetrag AB wird in einen zukünftigen mehrperiodigen Zahlungsstrom aus konstanten Zahlungen pro Zeiteinheit t = 1, 2,, T übergeführt. Gesucht ist also die (nachschüssige) Rente für einen Zeitraum T, deren Barwert dem vorgegebenen Zahlungsbetrag AB in der Gegenwart entspricht. Dieser gesuchte äquivalente Rentenbetrag wird als Annuität a (lat. annus = Jahr) bezeichnet. Wegen RB c k RBF i; T folgt mit a c k und AB RB und ; ANF i; T AB 1 RBF i; T AB ; : AB. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 40

41 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Annuitätenrechnung II Annuität (Fortsetzung): Beispiel Annuitätenrente: Sie haben Anspruch auf eine aktuelle Einmalzahlung von [ ], möchten diesen Betrag jedoch nicht sofort ausgezahlt erhalten, sondern in den nächsten 6 Jahren jeweils am Jahresende in konstanten jährlichen Teilzahlungen. Wie hoch muss jede dieser künftigen Teilzahlungen sein, damit der auf diese Weise entstandene Zahlungsstrom einer 6 jährigen Rente bei einem Zins von 5% äquivalent zu den gegenwärtigen [ ] ist. Gegeben sind also: AB (RB) = [ ] i = 5% T = 6 [Jahre]. Gesucht ist die Annuität a (c k ): Es gilt ja: ANF i; T AB AB. Daraus folgt: ANF 5%; ,, Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 41

42 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Annuitätenrechnung III Annuität (Fortsetzung): Beispiel Annuitätendarlehen: Ein Unternehmen plant eine aktuelle Investition in Höhe von [ ]. Zur Finanzierung soll ein Bankdarlehen zu einem Zinssatz von 10% aufgenommen werden. Zurückgezahlt werden soll das Darlehen später in 12 konstanten jährlichen Zahlungen. (1) Berechnen Sie die Höhe der zukünftigen jährlichen Rückzahlungen an die Bank sowie die Gesamtzahlung in 12 Jahren. Gegeben sind also: AB (RB) = [ ] i = 10% T = 12 [Jahre]. Gesucht ist die Annuität a (c k ): Es gilt: ANF i; T AB AB. : ANF 10%; ,, Gesamtzahlung in 12 Jahren: 12 a. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 42

43 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Annuitätenrechnung IV Annuität (Fortsetzung): Beispiel Annuitätendarlehen (Fortsetzung): (2) Wie teilen sich die Annuität [ ] im ersten und im letzten (12.) Jahr jeweils in Zins und Tilgung des Darlehens auf? Gegeben sind: Zinssatz/Jahr i = 10% a = [ ]. Es gilt für das erste Jahr: Zinszahlungen: 10% Tilgung: Für das letzte Jahr: Verbleibende Restschuld [ ]. Es muss daher gelten: 0,1 Tilgung 1,0 Tilgung Tilgung., Zinszahlung Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 43

44 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Zusammenfassung Zins I Aufzinsung (Endwert): Eine aktuelle Zahlung c 0 (Zeitpunkt t = 0) wird auf ihren zukünftigen, höheren (Zeit-)Wert c T (im Zeitpunkt t = T) umgerechnet. Es gilt: c T c 0 1 i T. Graphische Verdeutlichung (mit 0 < i*< i**): c T ( ) c 0 c T ( ) T Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 44

45 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Zusammenfassung Zins II Abzinsung (Barwert): Eine zukünftige Zahlung c T (Zeitpunkt t = T) wird auf ihren gegenwärtigen, niedrigeren (Zeit-)Wert c 0 (im Zeitpunkt t = 0) umgerechnet. Es gilt: c 0 c T 1 i T. Graphische Verdeutlichung (mit 0 < i*< i**): c 0 ( ) c 0 ( ) c T T Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 45

46 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Zusammenfassung Zins III Rentenbarwert: Eine Folge konstanter zukünftiger Zahlungen c k (nachschüssig zu den Zeitpunkten t = 1, 2,,T) wird auf ihren gegenwärtigen (Zeit-)Wert RB (im Zeitpunkt t = 0) umgerechnet. Es gilt: RB c k RBF i; T c k. Graphische Verdeutlichung (mit 0 < i*< i**): c 0 ( ) c 0 ( ) c k T Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 46

47 Kapitel 03 Investitionstheorie 2: Annuität: Zusammenfassung Zins IV Ein gegenwärtig gegebener Geldbetrag AB (im Zeitpunkt t = 0) wird auf eine äquivalente Folge konstanter zukünftiger Zahlungen a (nachschüssig zu den Zeitpunkten t = 1, 2,,T) umgerechnet. Es gilt: ANF i; T AB Graphische Verdeutlichung (mit 0 < i*< i**): AB AB. a( ) a( ) T Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 47

48 Kapitel 04 Investitionstheorie 3: VMS Investitionsbeurteilung I Beurteilung eines Investitionsprojektes auf dem vollkommenen Kapitalmarkt: Um ein Investitionsprojekt auf einem vollkommenen Kapitalmarkt (d.h. einheitlicher periodenbezogener Kalkulationszins) hinsichtlich seiner ökonomischen Vorteilhaftigkeit zu bewerten, ist das Ergebnis dieser Bewertung unabhängig von der konkreten Finanzierungsentscheidung (Fisher-Separation): Keine sachliche Differenz, ob Auszahlungen für das Projekt aus frei verfügbarem Geldvermögen (Liquiditätsreserven) oder aus einer Kreditaufnahme getätigt werden: Geldvermögen: Mittel werden der Alternativanlage am Kapitalmarkt zum Zins i entzogen. Kreditaufnahme: Jeder Kredit wird zum Zins i am Kapitalmarkt aufgenommen. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 48

49 Kapitel 04 Investitionstheorie 3: VMS Investitionsbeurteilung II Investitionsprojekt VM (Fortsetzung): Grundsätzlich sind alle Rückflüsse (inklusive Zins und Zinseszins) aus der (etwaig wahrgenommenen) Kapitalanlage stets äquivalent zu allen Rückzahlungen (inklusive Zins und Zinseszins) aus dem (etwaig aufgenommenen) Kredit in gleicher Höhe. Keine sachliche Differenz, ob Mittelzuflüsse (Einzahlungen) aus dem Projekt am Kapitalmarkt angelegt werden oder zur Begleichung von Verbindlichkeiten aus einer Kreditaufnahme genutzt werden: Verwendung als Anlage am Kapitalmarkt: Liquide Mittel werden zum Zins i angelegt. Verwendung zur Begleichung von Kreditverbindlichkeiten: Tilgung der aufgenommenen Kredite einschließlich der dafür zum Zins i angefallenen Zinsen. Insgesamt: Mögliche Anlagezinsen = Eingesparte Kreditzinsen. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 49

50 Kapitel 04 Investitionstheorie 3: VMS Kapitalwert I Kapitalwert KW (Net Present Value NPV) einer Zahlungsreihe: Summe aller mit dem Kalkulationszins i auf die Gegenwart (Zeitpunkt t = 0) abgezinsten Nettozahlungsströme c t eines Projektes: mit c t als Differenz der Ein- und Auszahlungen aus diesem Projekt in Periode t = 0, 1, 2,, T. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 50

51 Kapitel 04 Investitionstheorie 3: VMS Kapitalwert II Kapitalwert (Fortsetzung): Da die Cash Flows aus Periode t = 0 (Gegenwart) nicht mehr abgezinst werden müssen, gilt auch (vereinfachend) folgende Formel:. Kapitalwert KW bei periodenabhängig unterschiedlichen Zinssätzen i t :. mit c t als Differenz der Ein- und Auszahlungen aus diesem Projekt in Periode t = 0, 1, 2,, T. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 51

52 Kapitel 04 Investitionstheorie 3: Beispiel 1: VMS Kapitalwert III Ökonomische Interpretation vom KW: Gegeben sei c t (t = 0, 1, 2, 3) mit c 0 = ; c 1 = + 300; c 2 = + 400; c 3 = Ist diese Zahlungsreihe ökonomisch vorteilhaft für i = 10%? Allgemein: Eine Zahlungsreihe ist dann vorteilhaft, wenn sie die Entnahme von Geldbeträgen durch den Durchführenden gemäß der zugrunde gelegten Zielsetzung (Konsumpräferenz) ermöglicht! Es sei angenommen, der Akteur möchte im Planungszeitpunkt t = 0 möglichst viel Geld konsumieren, d.h. Ziel ist Barwertmaximierung. Die Frage nach der Vorteilhaftigkeit lässt sich leicht beantworten, indem man die Zahlungsreihe der Investition durch Gegengeschäfte zum Zins i auf den relevanten Zeitpunkt t = 0 verdichtet. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 52

53 Kapitel 04 Investitionstheorie 3: VMS Kapitalwert IV Interpretation vom KW Beispiel 1 (Fortsetzung): Da Kredite und Geldanlagen zu 10% beliebig verfügbar sind, kann in t = 0 ein Kredit in Höhe von 800 1,1 3 ( 601,1) aufgenommen werden, der nach 3 Jahren mit Zins und Zinseszins auf 800 [= (800 1,1 3 ) 1,1 3 ] angewachsen ist. Der Cash-Flow-Überschuss von 800 in t = 3 reicht gerade zur Ablösung dieser Kreditschuld aus. Analog erlauben auch die Überschüsse 300 (in t = 1) und 400 (in t =2) Kreditaufnahmen in Höhe des jeweiligen nach der Zinseszinsrechnung ermittelten Barwerts. Die Zahlungsreihe der Investition wird durch die drei Kredite exakt ausgeglichen, d.h. auf null gestellt. Nur im Zeitpunkt t = 0 kann noch ein von null verschiedener Zahlungssaldo verbleiben. Ob die Investition nun vorteilhaft ist, erkennt man durch Berechnung des in t = 0 verbleibenden Zahlungssaldos: Die Summe der zufließenden Beträge ( 1204,4) aus der Kreditaufnahme übersteigt die Anfangsauszahlung der Investition (1000) um 204,4. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 53

54 Kapitel 04 Investitionstheorie 3: VMS Kapitalwert V Interpretation vom KW Beispiel 1 (Fortsetzung): t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 c t % 800 1, , % 400 1, , % 300 1, , KW 204, ,4 0 Dieser Betrag heißt Kapitalwert KW (Nettobarwert bzw. Net Present Value) der Zahlungsreihe und kann sofort konsumiert werden, wenn man die Investition durchführt und ihre späteren Einzahlungen durch Kredite glattstellt. Künftige Cash Flows werden durch Gegengeschäfte zum Kalkulationszins i zum Verschwinden gebracht, so dass nur noch im heutigen Zeitpunkt t = 0 etwas übrigbleibt der Kapitalwert. Investition und Finanzierung Aurelio J. F. Vincenti 54

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